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Capítulo 2

Processamento de sinais I

quarta versão 2006.2

Favor me comunicar os erros que encontrar! Prof. Antônio Carlos

Os detectores de radiação fornecem uma variedade de informação sobre as partículas detectadas na forma de sinais elétricos. De modo a extrair esta informação, os sinais devem ser processados por um sistema eletrônico.

Terminologia A codificação da informação em eletrônica nuclear é geralmente realizada na forma de sinais. A informação pode estar contida em uma ou mais de suas características, por exemplo, polaridade, amplitude, forma, etc.... Vamos primeiramente identificar algumas das características básicas dos pulsos de sinais. A figura 1 mostra um pulso retangular ideal, seja em voltagem ou em corrente, em função do tempo. A escala de tempo pode variar de µs à frações de ns. Além das características indicadas na figura, temos ainda:

1) Leading edge – é a parte do sinal que vem primeiro no tempo 2) Falling edge – é a parte do sinal que vem por último 3) Unipolar ou Bipolar – Um pulso unipolar é aquele que tem está quase que inteiramente em um

lado da linha de base (baseline). Por outro lado, um pulso será bipolar se cruza a linha de base e forma um segundo lóbulo de polaridade oposta (figura 2).

Fig. 1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

baseline

pulse height

fall timerise time

90 %

10 %

width

13

Fig. 2 – Esquerda: um pulso unipolar positivo. Direita: um pulso bipolar.

Figura 3 – um típico sinal real

bipolarunipolar

undershoot

t

tilt

ringingovershooting

14

Sinais analógicos e digitais

Os sinais em geral carregam informação de duas maneiras: analógica ou digital. Um sinal analógico codifica continuamente a informação variando uma ou mais de suas características (por exemplo, a amplitude) em função do valor da informação. Alguns detectores geram pulsos cuja amplitude são proporcionais à energia ali depositada. Se um feixe de partículas, com um espectro contínuo de energias, incide sobre o detector, resultando então num sinal contínuo analógico de alturas de pulso. Mais geralmente, se considerarmos cada amplitude do pulso com um estado, então o sinal analógico pode ser dito ter um número infinito de estados. Como a altura de pulso é geralmente linear com a energia depositada, estes pulsos são também chamados de pulsos lineares. Em oposição ao contínuo de amplitudes que são possíveis ao pulso analógico, o pulso digital ou lógico pode somente ter um número discreto de estados; a informação representada é assim de natureza quantizada. Por exemplo, o sinal de um contador Geiger-Müller tem essencialmente dois estados: presente ou ausente. Ou a radiação foi detectada ou não foi detectada. Em eletrônica nuclear, os dois estados de um sinal lógico são padronizados pela convenção NIM. Um sinal lógico é usualmente tido como 0V, ou seja, nenhum pulso presente, e o outro a um nível fixo de voltagem. Devido à dificuldade óbvia de se gerar um pulso com um certo nível de voltagem exato, uma banda de voltagens é definida como a presença de um sinal. Estes limites serão vistos mais a frente quando estudarmos o padrão NIM.

Sinais rápidos e lentos É necessário distinguirmos sinais rápidos e lentos em um sistema eletrônico. Sinais rápidos são aqueles que têm tempos de subida (rise times) da ordem de alguns ns ou menores, enquanto que sinais lentos possuem rise times da ordem de centenas de ns ou maiores. Sinais rápidos são importantes para medidas de tempo (coincidência). Por outro lado, sinais lentos são geralmente menos susceptíveis a ruídos e oferecem uma melhor informação sobre as altura de pulsos, fator importante em espectroscopia.

O domínio em freqüência. Largura de Banda

Uma compreensão completa da eletrônica de pulsos, especialmente possíveis distorções, requer um estudo do pulso em termos da freqüência de seus componentes. Sabemos da análise de Fourier que um pulso pode ser decomposto em uma superposição de várias componentes senoidais. De fato, se tivermos um pulso cuja forma em tempo é representada pela função f(t), onde t é o tempo, então ele pode ser decomposto como

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω degtf ti)(2

1)( (1)

onde g(ω) é a transformada de Fourier ou espectro de freqüências do pulso. Invertendo a equação anterior temos:

∫+∞

∞−

−= dtetfg iwt)(2

1)(

πω (2)

Como um exemplo ilustrativo, considere um pulso retangular de largura T conforme mostrado na figura abaixo.

Atf =)( se 2/Tt < e 0)( =tf 2/Tt > (3)

15

Fig. 4 – representação de um pulso ideal

Sua transformada de Fourier é dada por

( )2/

2/sen

22

1)(

2/

2/ T

TATdtAeg

T

T

ti

ωω

ππω ω == ∫

−

− (4)

Fig. 5 – Transformada de Fourier de um pulso retangular

-T/2 T/20

A

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

f (ωωωω/2ππππ) em unidades de 1/T

16

Obs. As freqüências negativas são puramente imaginárias.

Fig. 6 – curvas típicas de resposta em freqüência. Parte superior: ganho versus freqüência, mostrando as

freqüências superior e inferior de meia potencia (3 dB) e a largura de banda de meia potencia (com acoplamento AC). Parte inferior: o mesmo com acoplamento DC

Todas as freqüências contribuem com a forma da função f(t). Assim, de modo a um aparelho eletrônico tratar fielmente a informação contida neste sinal, o aparelho deve ser capaz de responder uniformemente a uma faixa infinita de freqüências. Em qualquer circuito real, no entanto, isto é impossível. Sempre haverá componentes resistivos e reativos presentes, que filtrarão algumas das freqüências mais do que outras, de modo que a resposta é limitada a uma faixa finita de freqüências. A faixa de freqüências delimitada pelos pontos nos quais a resposta cai de 3 dB (1 dB = 20 log (Vout/Vin) = 10 log (Pout/Pin)) é definida com a largura de banda (também conhecidas como freqüências de meia potencia, Pout/Pin = ½ ou Vout/Vin = (½)

1/2 ) e representa a faixa de freqüências aceitas, conforme mostrado na figura 6. Em alguns casos, como mostrado na Fig. 6, o ganho cai a zero para freqüência zero (dc). Tais dispositivos são freqüentemente construídos colocando vários circuitos em cascata que são conectados por

Uma maneira conveniente para estimar a freqüência da componente de freqüência mais elevada, f max,é dividir 0,3 pelo risetime do pulso. Ou seja,

fmax = 0,3/risetime

104

105

106

-4

-3

-2

-1

0

largura de banda

Resposta Relativa (dB)

frequência (kHz)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

fmin

fmax

largura de banda

(1/2)1/2

A/Ao

f

17

capacitores de acoplamento, de modo que tensões dc dos circuitos não afetam a fonte de sinal. Quando transformadores são usados para o acoplamento, que levam a acoplamentos ac com ganho zero para dc. Outros amplificadores têm ganho constante para freqüências tendentes a zero ou dc (Fig. 6, parte inferior). Eles são chamados diretamente acoplados (acoplamento dc) Enquanto que uma reprodução fiel do sinal é altamente desejável, não é absolutamente necessário que esta reprodução seja ideal. De fato, o que importa é que aquelas partes do sinal que levam a informação sejam reproduzidas com boa fidelidade. Para pulsos em eletrônica nuclear, estas partes são a amplitude e, mais particularmente, o rise time. Para uma boa aproximação do pulso, uma largura de banda mínima de ∆f ≥ 1/T, é necessária. Este fato não é surpreendente, uma vez que a maioria das freqüências estão contidas nesta região (veja fig. 5). Para um pulso típico de 5 ns de duração ∆ f≥ 200 MHz . Temos também que:

A eletrônica rápida deve ser capaz de aceitar freqüências até 500 MHz. Podemos definir também um limite inferior. Uma vez que estamos interessados mais no tempo de subida do que nas partes planas, eliminar algumas das freqüências mais baixas não deve afetar a informação no nosso sinal. Para pulsos de ns, pode-se mostrar que freqüências até 100 kHz podem ser removidas sem grandes prejuízos.

103

104

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

Faixa de frequências de interesse em eletrônica nuclear

~ 100 kHz ~1 GHz

frequência (Hz)

Fig. 7

O overshoot e o ringing de um pulso – são relacionados com a resposta do aparelho para

frequencias altas. Um amplificador, por exemplo, que apresenta overshoot (subida além da altura média) e ringing (oscilações) pronunciados, geralmente tem um um pico no seu ganho característico, conforme mostrado na Fig. 8 . A freqüência de ganho máximo é aproximadamente igual a freqüência de ringing. Devido ao fato de que o tanto o rise time e o overshoot estão relacionados com a resposta para altas

Altas freqüências ⇒ permitem que o sinal tenha um risetime pequeno Baixas freqüências ⇒ são responsáveis pelas partes suaves do pulso

18

freqüências, há um compromisso entre ambos. Em particular, componentes que reduzem o rise time, tendem a produz mais overshoot e ringing. O tilt (declinação) de um pulso de saída, ocorre se a eletrônica possui um acoplamento ac, e surge do carregamento de capacitores de acoplamento durante o pulso. O tilt é especificado com um percentual da amplitude de entrada:

%100% ×∆

=V

Vtilt (5)

onde ∆V e V são definidas na Fig. 9. Se a duração do pulso aumentar, formas de sinais de saída tais como os mostrados na Fig. 9 podem aparecer. Para tilt´s pequenos, a percentual de tilt esta relacionado com a freqüência inferior de meia potencia de um amplificador (Fig. 6) como

Tftilt min200% π= (6)

onde T é a duração do pulso.

Fig. 8 Ganho versus freqüência para um dispositivo que apresenta um ringing pronunciado na sua resposta.

A freqüência de ringing é aproximadamente fr.

Fig. 9 – Resposta de um amplificador com acoplamento ac. T é a duração do pulso.

pico da resposta em frequencia

fr f

ganho

T

V∆V

V

tempo

19

Cabos coaxiais Voltaremos nossa atenção para o problema de transmissão dos pulsos de uma parte da eletrônica para a outra, ou seja, os cabos conectores. Pode parecer um tanto quanto trivial a princípio, mas de fato não o é. Levando o fato que o pulso geralmente consiste de um spectrum contínuo de freqüências desde 0 até infinito, significa que o cabo deveria ser capaz de transmitir uma faixa infinita de freqüências uniformemente e coerentemente através da requerida distância – geralmente da ordem de alguns metros. Tal cabo ideal, não existe é claro. Capacitâncias, indutâncias e resistências intrínsecas, inerentes a qualquer configuração de condutor, irão invariavelmente atenuar algumas freqüências mais do que outras, causando distorção do pulso. Realmente, enviar um pulso através de um fio simples, por exemplo, resulta numa distorção intolerável em apenas alguns centímetros. Na prática , como vimos anteriormente, não é necessário transmitir uma faixa infinita de freqüências. A transformada de Fourier de um pulso de largura T esta quase totalmente contida numa região ∆f ≈ 1/T, e, como vimos, a maior parte da informação será reproduzida se esta faixa é mantida. Em eletrônica nuclear, a linha de transmissão padrão é o cabo coaxial (Fig. 10). Uma vez que é o físico quem faz estas conexões (o engenheiro projeta!), é muito importante que compreendamos como estes sinais são transmitidos. A geometria básica de um cabo coaxial é a de dois condutores cilíndricos separados por um material dielétrico. O cilindro externo, que transmite a corrente elétrica de retorno, é geralmente feito de uma malha de fios e serve também para blindar o condutor interno de campos eletromagnéticos externos. O material dielétrico é usualmente o polietileno ou teflon. O cabo é protegido externamente por uma capa plástica. Há uma variedade enorme de cabos de diversos tamanhos e configurações disponíveis no mercado. Os mais comumente usados são o RG-58C/U (50Ω) para sinais rápidos, RG-58/U (93Ω) para espectroscopia, RG59/U (75Ω) para transmissão de alta tensão e o RG-174/U.

Fig. 10 – um cabo coaxial. A – cobertura plástica externa; B- blindagem de cobre; C- dielétrico interno; D – núcleo de cobre.

Os sinais são transmitidos pelo cabo coaxial como uma onda. Neste sentido, o cabo coaxial nada mais é do que um guia de ondas, os sinais são transmitidos no modo TEM (Fig. 11). O próximo modo começa a freqüências muito acima daquelas de interesse. É comum representar um cabo coaxial como um elemento de circuito e considerar a tensão e a corrente no cabo em vez dos campos elétricos e magnéticos. Devido a sua configuração geométrica (dois condutores separados por um dielétrico), os cabos coaxiais necessariamente contém uma auto-capacitancia e auto-indutância. Para cabos suficientemente longos

20

=a

buL ln

2π [H/m] (5)

=

a

bC

ln

2πε [F/m] (6)

onde a e b são os raios do cilindros interno e externo, respectivamente, µ e ε são a permeabilidade magnética e permissividade elétrica, respectivamente.

Fig. 11 – Secção de um cabo coaxial com os campos elétrico e magnético instantâneos presentes quando

um sinal senoidal se propaga no cabo. Num cabo real, ainda existem uma certa resistividade, devido ao fato do condutor não ser perfeito e uma certa condutividade através do dielétrico devido a sua imperfeição como isolante. Estes componentes estão distribuídos uniformemente ao longo do comprimento do cabo. Para a maioria das aplicações, no entanto, podemos representar um cabo de comprimento unitário como um circuito localizado (lumped) conforme mostrado na Fig. 12.

Fig. 12- Circuito equivalente de uma unidade de linha de transmissão

1/GC

LR

21

Pela Fig. 12 podemos escrever uma equação para a tensão, V e a corrente I , no cabo. Considere uma pequena unidade de comprimento infinitesimal do cabo, ∆Z. Vamos então calcular as diferenças ∆V e ∆I através desta pequena distância:

t

tzIzLtzzIRtzV

∂∂

∆−∆−=∆),(

),(),(

(7)

t

tzVzCtzzVGtzI

∂∂

∆−∆−=∆),(

),(),(

Dividindo por ∆Z e levando no limite ∆Z→ 0, encontramos as equações diferenciais

t

ILRI

z

V

∂∂

−−=∂∂

(8)

t

VCGV

z

I

∂∂

−−=∂∂

Diferenciando com respeito a z e t, e substituindo, as equações podem ser desacopladas e resulta em

RGVt

VRCLG

t

VLC

z

V+

∂∂

++∂∂

=∂∂

)(2

2

2

2

(9)

fica como exercício encontrar a equação correspondente para I. Estas são as equações de onda para o cabo coaxial.

O cabo ideal sem perdas Vamos considerar o caso mais simples de um cabo ideal sem perdas onde R e G são zero. Para comprimentos relativamente curtos (alguns poucos metros), os dois últimos termos do lado direito da Eq. 9 se anulam, deixando

2

2

2

2

t

VLC

z

V

∂∂

=∂∂

(10)

Que é nossa velha conhecida, a equação de ondas. Suponha que um sinal senoidal no tempo (ou seja, uma componente Fourier) V=V(z) exp(iωt) é aplicado no cabo e substituindo em (10), temos:

VkLCVdz

Vd 222

2

−=−= ω (11)

onde k2 = ω2

LC. A solução espacial é então da forma

22

ikzikz eVeVzV +− += 21)( (12)

que resulta em

)(2

)(1)( kztikzti eVeVzV +− += ωω (13)

que representa duas ondas, uma viajando no sentido +z, e a outra na direção oposta –z. Esta segunda onda corresponde a uma reflexão e sua presença ou ausência depende das condições de contorno para o cabo em questão. Como veremos mais tarde, reflexões desempenham um papel importante na transmissão do sinal, uma vez que podem distorcer a forma do sinal original. Da Eq. 13 temos que a velocidade de propagação é

LCv

1==

κω

(14)

Se a geometria do cabo não mudar ao longo de seu comprimento, o produto LC é independente do comprimento e LC = µε. Isto é idêntico ao caso ótico.

A velocidade de propagação do sinal é freqüentemente expressa em termos de seu inverso, o tempo de propagação por unidade de comprimento T= v-1 = (LC)1/2. Esta quantidade é conhecida como o atrazo (delay) do cabo e é tipicamente da ordem de 5 ns/m para um cabo padrão de 50 Ω.

Então, num cabo de comprimento l , o tempo de trânsito de pulso, ou seja, o tempo que o pulso leva para propagar de um extremo a outro do cabo é Ttr = lT . Um pulso será considerado rápido se o seu rise time for menor do que Ttr e será lento de o rise time for maior do que Ttr. Mas por quê 50 Ω ? A impedância teórica para atenuação é 77 Ω, enquanto que a melhor impedância para lidar com o máximo de potência é 30 Ω. A média é 53,5 Ω, que arredondando dá os 50 Ω. Cabos de 75 Ω também são muito utilizados porque são próximos a impedância para minimizar a atenuação.

Impedância Característica Uma propriedade importante do cabo coaxial é a impedância característica. Ela é definida como a razão da voltagem pela corrente no cabo, ou seja

I

VZo = (15)

fica como exercício demonstrar que para um cabo ideal vale

C

LZo = (16)

Pode-se também mostrar que para um cabo coaxial ideal, Zo assume uma forma ainda mais explícita: Zo =

60(Km/Ke)1/2 ln(b/a). Onde a e b são os diamêtros internos e externos do cabo coaxial, respectivamente, e

Km e Ke são a permeabilidade magnética relativa e a permissividade elétrica relativa do dielétrico. Zo tem caráter puramente resistivo, sendo totalmente independente do comprimento do cabo, dependendo somente da geometria e dos materiais que constituem o cabo. Como exemplo, um cabo padrão, utilizado em eletrônica rápida têm uma impedância característica de 50 Ω, enquanto que cabos de 93 Ω são geralmente utilizados para sinais lentos para fins espectroscópicos.

23

Todos os cabos coaxiais necessariamente têm suas impedâncias características limitadas a uma faixa de 50-200 Ω. Isto se deve ao fato de Zo depender do logaritmo de b/a . Para construir um cabo de 1000 Ω de impedância, por exemplo, seria necessário uma razão entre os diâmetros da ordem de 1011 !!!!!. Além do mais, há um valor em torno de b/a ≈ 3,6 que minimiza as perdas, como veremos mais a frente. Para b/a ≈ 3,6 e Ke ≈ 2.3 (polyetileno), então Zo ≈ 50 Ω.

tipo Material isolante

Diâmetro (cm)

Impedância característica

(Ω)

Velocidade de

propagação (em

unidades de c)

Capacitância (pF/m)

Faixa de Tensão (V)

RG-8/U polietileno 1,03 52 0,659 96,8 5000 RG-11/U

polietileno 1,03 75 0,659 67,3 5000

RG-58/U

polietileno 0,50 53.5 0,659 93,5 1900

RG-58C/U

polietileno 0,50 50 0,659 100,1 1900

RG-59/U

polietileno 0,61 73 0,659 68,9 2300

RG-62/U

Polietileno 0,61 93 0,840 44,3 750

Tabela I – Propriedades de alguns cabos coaxiais

Reflexões Como vimos anteriormente, o sinal em um cabo coaxial é, em geral, a soma de um sinal original e um refletido viajando em sentido oposto. Para um sinal arbitrário f , pode-se escrever V = f(x-vt)+ g(x+vt), onde g é a onda refletida. A presença de reflexões pode ter conseqüências desastrosas, como interferência, distorção e ecos. Reflexões ocorrem sempre que uma onda propagante encontra um novo meio no qual a velocidade é diferente. Em meios óticos, isto corresponde a uma mudança do índice de refração. Por analogia, em linhas de transmissão, reflexões ocorrem quando a impedância característica de uma linha muda abruptamente. Estas reflexões podem ser calculadas considerando as condições de contorno nas interfaces. Considere um cabo com impedância característica Z, terminado por uma impedância R, a impedância de entrada de algum aparelho eletrônico, por exemplo, conforme ilustrado na Fig. 13.

Fig. 13 - Um cabo com impedância característica Z, terminado por uma resistência R.

R

Z

R

Z

24

Conforme o sinal atravessa o cabo, a razão V/I deve ser sempre igual a Z por definição. Quando chega à interface, reflexões são formadas de modo a ajustar V/I para a nova impedância característica.

o

o

I

VZ =

(11)

r

r

I

VZ −=

onde Vo e Io são a voltagem e a corrente do sinal original e Vr e Ir são as correspondentes do sinal refletido.

Fig. 14

Na saída da fonte

osos IZVV += (12a)

oo ZIV = (12b)

ZZ

ZVV

s

so += (12c)

( ) ( )kzwti

r

kzwti

o eVeVtzV −+ +=),( (13)

( ) ( )kzwtirkzwtio eZ

Ve

Z

Vtzi −− −=),( (14)

na interface z = 0

),(),( toRitoV = (15)

R

Z

R

Z

Zs

Vs

25

( ) ( ) ( ) ( )[ ]wti

r

wti

o

wti

r

wti

o eVeVZ

ReVeV −=+ (16)

( ) ttroro RIVVVZ

RVV ==−=+ (17)

Onde Vt e It são a tensão e a corrente transmitidos. A partir destas equações encontramos

ZR

ZR

I

I

V

V

o

r

o

r

+−

=−==ρ (18)

ZR

R

V

VT

o

t

+==

2 (18a)

onde ρ é conhecido como o coeficiente de reflexão e T é o coeficiente de transmissão. A polaridade da amplitude do sinal refletido depende do valor relativo das duas impedâncias. Se R é maior do que Z, então a reflexão será sempre da mesma polaridade, mas com uma amplitude entre 0 e Vo. No caso limite de carga infinita (um circuito aberto, por exemplo), o sinal refletido é igual em amplitude ao sinal incidente. Por outro lado, se R é menor do que Z, a reflexão tem polaridade oposta e valor entre 0 e Vo. No limite de carga zero (curto circuito), a reflexão é igual e oposta ao pulso incidente. No caso especial onde R = Z, ρ anula-se e não temos nenhuma reflexão. Note que T + ρ ≠ 1. É fácil perceber o acontecerá se a extremidade de entrada do sinal também terminar por uma impedância diferente de Z. Quando o sinal refletido alcançar a extremidade de entrada de novo por algum coeficiente ρ´.

Casamento de impedâncias O padrão NIM (veremos mais adiante) requer que todas as impedâncias de entrada e saída de todos os aparelhos seja 50 Ω. No entanto, freqüentemente nos deparamos com situações nas quais os módulos possuem impedâncias diferentes. Um exemplo comum é quando precisamos observar um sinal rápido no osciloscópio. Uma vez que osciloscópios têm uma alta impedância de entrada (assim como um voltímetro!) – da ordem de 1 MΩ - uma entrada direta de um pulso rápido irá resultar num não casamento de impedâncias e uma leitura falsa. Neste caso, o cabo pode ser terminado com uma impedância adicional de modo a ajustar a impedância vista pelo cabo. Para aparelhos com impedância alta, osciloscópio por exemplo, podemos casar as impedâncias colocando uma resistência em paralelo com o aparelho. Como necessitamos casar impedâncias freqüentemente, terminadores especiais de 50 Ω feitos para se conectar facilmente aos cabos são manufaturados comercialmente (vide figura 15).

26

Fig .15 – terminador de 50 Ω BNC

Mais geralmente, terminação pode ser feita de dois modos: ou adicionando uma impedância em série com a carga ou em paralelo (shunt termination).

Fig 16 – terminação em série e paralelo

Exemplo 1: um sinal é enviado de um cabo coaxial de impedância Z1 para outro cabo de impedância Z2. Que tipo de terminação deve ser usado de modo a evitar reflexões? Se Z1 < Z2 Aqui a impedância que o cabo 1 vê deve ser reduzida. Isto implica que devemos adicionar uma resistência R em paralelo ao cabo A combinação deve ser igual à Z1 Z1 = RZ2/(R+Z2) R = (Z1 Z2)/(Z2- Z1)

Terminação em paralelo

RR

entrada saidaTerminação em série

R R

Terminação em paralelo

RR

entrada saidaTerminação em série

R R

27

Se Z1 > Z2 A impedância vista pelo cabo 1 deve aumentar. Então somamos uma resistência R em série.

Então Z2 + R = Z1 R = Z1 – Z2

Perdas em cabos coaxiais Perdas de sinal são devidas à resistência (R) no fio condutor e perda através do dielétrico (G). Um terceiro fator, embora desprezível, é devido a perda por radiação eletromagnética. A blindagem dos cabos coaxiais minimiza bastante este efeito. O efeito de R e G sobre a propagação do sinal pode ser visto retornando à Eq. 9 e aplicando o sinal senoidal V=V(z) exp(iωt) ao cabo, o que leva a

VVCiGLiRdz

Vd 22

2

))(( γωω =++= (19)

onde o número complexo, γ,

))(( CiGLiRi ωωκαγ ++=+= (20)

é conhecido como a constante de propagação. A solução geral é então

[ ] [ ])(

2)(

1),( ztizztiz eeVeeVtzV κωακωα +−− += (21)

que também representam ondas que se propagam ao longo do cabo. A introdução de R e G, entretanto, leva a uma atenuação exponencial do sinal com a distância à uma taxa dada por α. Mas α é geralmente pequeno, de modo que a perda começa a ser um problema para cabos com algumas dezenas de metros.

Z1Z2

R

Z1Z2

R

Z1Z2

RZ1

Z2

R

28

Porém, um outro problema surge da Eq. 20 que é a dependência de α e a velocidade de fase v = dκ/dω com com a freqüência ω. Isto implica uma atenuação diferencial nos componentes de freqüência que leva à dispersão do pacote de pulsos. Além da dependência explicita dada pela Eq. 19, há ainda uma dependência implícita devido ao fato que R e G também dependem de ω.: R pelo efeito de superfície (skin effect) e G pela pelas perdas através do dielétrico de componentes de altas freqüências (dielectric leakage) . Para sinais com f = (ω/2π) ≥100 kHz, a velocidade é aproximadamente independente da freqüência (veja exercicio 7 da primeira lista), que por sorte é a região de interesse para pulsos rápidos (Fig. 7). Por outro lado, na região de altas freqüências, R começa a variar com ω através do skin effect. De fato, com o aumento de ω, a corrente começa a se localizar cada vez mais numa camada próxima à superfície do condutor. A área efetiva do condutor é então reduzida, aumentando a resistência. Para um cabo coaxial, resulta que a resistência por unidade de comprimento que varia aproximadamente com a raiz quadrada da freqüência e inversamente com os raios internos e externos

)11

(22

1)(

baR +=

σωµ

πω Ω/comprimento (22)

onde σ é a condutividade, µ a permeabilidade, a e b os raios interno e externo do cabo.

Distorções no pulso

Vamos considerar um caso simples de um pulso com a forma da função degrau (para um caso arbitrário, o problema se torna bem complicado). V(t) = 0 para t < 0 ; V(t) = 1 para t ≥ 0, Encontramos uma resposta

V(t) = 0 para t < 0 e

=

o

terfctV

τ2

1)( onde τo = (xα)

2/πf

Onde x representa o comprimento do cabo. A função erro é definida com

∫ −−=x

o

duuerfc )exp(2

1 2

π

ignoramos o delay causado pela passagem através do cabo. A Fig. 17 mostra o gráfico da resposta em função de t/τo.

29

Fig. 17 – Resposta de um cabo com perdas a uma função degrau.

Da Fig. 17 podemos ver que τo é o tempo que a resposta leva para atingir metade de sua altura máxima.

Revisão sobre Osciloscópio

Na maioria de suas mais freqüentes aplicações, o osciloscópio pode ser considerado como um voltímetro, que mostra o sinal de entrada em função do tempo.

Bandwidth e Risetime

Bandwidth → (largura de banda) determina a habilidade fundamental do osciloscópio para medir um sinal. A capacidade do osciloscópio de medir um sinal diminui com o aumento da freqüência do sinal. A largura de banda é definida como a freqüência na qual um pulso senoidal de entrada é atenuado para 70.7 % da amplitude real ( - 3 dB), fdB. Regras para determinar a largura de banda necessária para medir corretamente um sinal

0 2 4 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Resposta

t/ττττοοοο

30

Regra das 5 vezes – Bandwidth = 5 ×××× componente de freqüência mais alta do sinal Devido à largura de banda finita, o osciloscópio tem um risetime intrínseco, ou seja, um sinal com um flanco vertical (risetime = zero) aparecerá na tela com um risetime finito tosc . Uma estimativa entre a largura de banda e este risetime é dada por

][

350][

3 MHzfnst

dB

osc =

para osciloscópios com largura de banda < 1 GHz. Para osciloscópios com largura de banda > 1 GHz, utilizamos um valor entre 400 e 450 no lugar de 350.

O risetime de um sinal com risetime tpulso mostrado num osciloscópio será a combinação dos risetimes do osciloscópio e do pulso

(tmostrado)

2 = (tpulso)

2 + (tosc)2

Aplicações e exemplos

Comparação de sinais Sinais podem ser comparados no tempo e amplitude usando a configuração da figura 1. A varredura do osciloscópio é “trigada” por ou A ou B. O modo de amostragem em Alternate. Se o osciloscópio não possue dois canais, um modo alternativo é mostrado na figura 2.

31

Fig. 1 – visualizando uma coincidência com um osciloscópio. Trigger no canal A ou B (aquele que chega

primeiro), source: int ; mode : normal

Fig. 2 – usando o trigger externo: mode: normal; display: em A; trigger: em externo

Problemas:

1 - Um cabo coaxial RG-59/U tem uma capacitância de 20 pF/ft (desculpe-me a unidade :-) ) e uma

impedância característica de 73 Ω. Encontre o comprimento do cabo necessário para gerar um atraso de 5 µs.

2 – Um cabo coaxial com dielétrico de nylon (εr = 3.00) tem uma impedância característica de 200 Ω.

a) Qual o comprimento do cabo para dar um atraso de 50 ns? b) Qual a razão do raio externo para o interno?

3 – É possível construir um cabo coaxial com impedância característica de 10.000 Ω? Suponha, por exemplo, que o diâmetro interno seja 0,1 cm e (εr = 3). Calcule o diâmetro externo deste condutor.

4 – Calcule o tempo de trânsito de um pulso através de 15 m de um cabo coaxial RG-59/U. 5 – Classifique os pulsos abaixo em rápidos ou lentos

a) Um pulso de 0,5 µs de rise time através de 20 m de um cabo RG-59/U. b) Um pulso de 10 ns de rise time através de 10 m de um cabo RG-62/U

6 - A figura abaixo mostra um sinal visto numa tela de um osciloscópico de 100 MHz.

a) Qual o rise time medido na tela do osciloscópio? b) Qual o rise time real do pulso? c) Qual o valor da componente Fourier mais elevada do espectro de freqüências do sinal?

A B Alt

A B AExt trig

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7-Um sinal de 10 V é transmitido em um cabo coaxial de 50 Ω terminado com uma carga de 200 Ω. Calcule

a) Os coeficientes de reflexão e transmissão b) As magnitudes do sinais refletido e transmitido

8 - Qual a amplitude do pulso refletido na extremidade de um cabo coaxial de impedância Zo, após a incidência de um pulso de amplitude A , se

a- o cabo é terminado com uma resistência R=0 b- o cabo é terminado com uma resistência R= Zo c- o cabo é deixado sem terminação d- Se Zo= 50 Ω, a capacitância do cabo é C = 100 pF/m, e o seu comprimento é de 2m, quanto tempo

leva um pulso para atravessar o cabo? 9 - Um cabo coaxial de impedância Zo= 45 Ω, a capacitância do cabo é C = 90 pF/m, e o seu comprimento é de 25 m, quanto tempo leva um pulso para atravessar o cabo? Respostas 1- 1027 mm 2- 3- 0,1 cm exp[104 31/2/60] 4- 75.9 m 5 – a) rise time = 5 µs = 5000 ns >> tempo de transito =107 ns – sinal lento b) rise time = 10 ns < tempo de transito = 39, 6 ns – sinal rápido

Referências:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

-50 0 50 100 150 200 250

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

zoom

V(V

olts)

t(ns)

sinal

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Estas notas foram baseadas nas seguintes referências: W. R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments, capítulos 11, 13 G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurement

J. H. Moore, C. C. Davis, M. A. Coplan, Building Scientific Apparattus, parte 6 A. R. Hambley, Electrical Engineering Principles & Applications. J. Millman e H. Taub, Pulse, Digital and Switching Waveforms. G. H. Watson, Am. J. Phys. 63, 423 (1995)

Prática 1.1 Transmissão , reflexão e atenuação de pulsos eletromagnéticos

Adaptado das notas do MIT sob o mesmo título 1 – Reflexão de pulsos elétricos a partir de descontinuidades na linha de transmissão

a) conecte o gerador de pulsos na entrada de osciloscópio usando um conector T. Na terceira

extremidade do conector T, conecte um cabo coaxial longo RG-58, conforme ilustrado na Fig. 1. Com o gerador de pulsos, produza pulsos de de –0.8 V de amplitude, com um menor rise time possível (~ 10 –30 ns) com uma taxa da ordem de ~ 10 kHz. Coloque a escala vertical do osciloscópio em 500 mV/divisão, a base de tempo (velocidade de varredura) em 50 ns/divisão, e o trigger em interno, normal e negative slope. Observe o pulso proveniente diretamente do pulsador e descreva o pulso refletido da extremidade do cabo quando este esta i) aberto; ii) em curto; iii) terminado por uma resistência variável na faixa de 0 a 1000 ohms. Varie o potenciômetro de modo a encontrar a impedância característica do cabo, Z. Faça várias medidas independentes de Z, variando o os ajustes do osciloscópio, e a pessoa que mede.

b) Conecte outro cabo na extremidade do primeiro cabo usando um mal conector (jacaré por exemplo) e observe o efeito da discontinuidade. Não se esqueça de desenhar todas as formas do pulso em suas anotações!!!

2 – Velocidade e atenuação dos pulsos em linhas de transmissão.

Meça a atenuação no cabo RG-58 comparando a amplitude do pulso refletido da terminação aberta do cabo com e sem um cabo adicional usando um conector BNC. Determine a velocidade dos pulsos no cabo adicionado medindo os pulsos diretos e refletidos com o osciloscópio. Faça várias medidas independentes com o cabos mais longos disponíveis. Compare a velocidade dos pulsos no cabo com a velocidade da luz no vácuo. Propagação de uma onda contínua numa linha de transmissão Explore o fenômeno de uma onda senoidal contínua propagando numa linha de transmissão com varias terminações e freqüências. Faça um gráfico de atenuação versus freqüência para o cabo RG-58 usando um gerador de ondas senoidais. Um modo comum de expressar a atenuação é o dB/100 ft, onde dB=20log[Vout/Vin] quando há um casamento entre a terminação do cabo sua impedância característica. Conecte o cabo como antes, mas olhe para a outra extremidade do cabo com o canal 2 do osciloscópio. Análise Determine a partir de seus dados a velocidade do pulso e o coefiente de atenuação (% de perda por metro) para o cabo. Compare com os valores do fabricante.

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Fig. 1 – arranjo experimental para testar o efeito de varias terminações em cabos coaxiais.

Gerador de pulsos osciloscopio

R