Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.1

Capítulo 3

Métodos Analíticos na Análise de Placas

3.1. Solução de Navier para Placas Simplesmente Apoiadas

3.1.1. Formulas Gerais

Considere-se uma placa simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior como se

representa na figura 3.1 e submetida à acção de uma carga distribuída, )x,x(p 21 , a qual se

pode representar através de séries trigonométricas duplas de Fourier do seguinte modo:

( )bxnsen

axmsenpx,xp 21

mn1n1m

21ππ

∑∑=∞

=

∞

= 3.1

onde pmn são constantes e m e n são números inteiros. Esta série dupla permite a

representação de quaisquer casos de distribuição de carga aplicada.

Pretende-se resolver a equação de Lagrange:

( )2142

4

22

21

4

41

4

x,xpD1

xxx2

x−=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇∇ωωω

ω 3.2

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.2

a

b

B

D

A

C

x2

x1

x3, W

Figura 3.1: Placa Simplesmente Apoiada.

sujeita às condições de fronteira que no caso da placa simplesmente apoiada, são:

bxe0x22

2

axe0x21

2

2211

0x

e0e0x

e0====

=

∂∂

=

=

∂∂

=ω

ωω

ω 3.3

Uma solução possível para a equação de Lagrange é a chamada solução de Navier

para a qual se considera ser ω(x1,x2) uma função tipo série dupla de senos que verifica

simultaneamente a equação de Lagrange e as condições de contorno, ou seja uma função

do tipo:

( )bxnsen

axmsenW

D1x,x 21

mn1n1m

21ππ

ω ∑∑−=∞

=

∞

= 3.4

O carregamento p(x1,x2) é nulo no contorno, multiplicando ambos os membros da

equação (3.1), por b

x´nsen 2π

e integrando entre 0 e b, obtém-se:

( )

∑∫

′

=∫ ∑=′

′′

∞

=

∞

= axmsenpdx

bxnsen

bxnsendx

bxnsenx,xp 1

nm1n

b0 2

22b0

1n2

221

ππππ 3.5

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.3

onde n´ é um número inteiro e o integral entre 0 e b da expressão dentro de parentesis recto

é:

nnpara2b

nnpara0dx

bxn

senbxn

sen 222b

0 ′=

′≠=

′∫

ππ 3.6

consequentemente a expressão (3.5) toma a forma seguinte:

( )axmsenp

2b

bxnsenx,xp 1

nm1m

221

b0

ππ′

∞

=∑=

′∫ 3.7

se se multiplicar ambos os membros desta equação por sen (m´π x1/ a) e se integrar entre 0

e a, obtém-se:

( ) 111a

0nm2112

21b0

a0 dx

axm

senaxm

senp2bdxdx

axm

senbxn

senx,xpππππ ′

∫=′′

∫∫ ′ 3.8

ou seja tendo em conta o integral (3.6):

( ) nm2112

21b0

a0 p

4abdxdx

axm

senbxn

senx,xp ′′=′′

∫∫ππ

3.9

Resolvendo a equação (3.9) em ordem a pm´n´ obtém-se:

( ) 2122

21bo

a0nm dxdx

axmsen

bxnsenx,xp

ab4p ππ ′′

∫∫=′′ 3.10

Esta é a forma geral dos coeficientes pmn. Substituindo a forma geral da solução (3.4)

na equação de Lagrange (3.2) e tendo em conta a equação (3.1) obtém-se para Wmn:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.4

2

2

2

2

2

mn4mn

bn

am

p1W

+

=π

3.11

Substituindo a equação (3.11) na equação (3.4), obtém-se a equação da deformada

com a seguinte forma:

( )bxn

senaxm

sen

bn

am

pD

1x,x 212

2

2

2

2

mn

1n1m421

πππ

ω

+

∑∑−=∞

=

∞

= 3.12

onde m e n são números inteiros.

Os momentos M11, M22 e M12 são obtidos tendo em conta as expressões (3.12) e (2.12)

e são respectivamente:

bxnsen

axmsen

bn

am

bn

am

p1M 212

2

2

2

2

2

2

2

2

mn1n1m

211ππν

π

+

+∑∑=∞

=

∞

= 3.13

bxn

senaxm

sen

bn

am

am

bn

p1M 212

2

2

2

2

2

2

2

2

mn1n1m

222ππν

π

+

+∑∑=∞

=

∞

= 3.14

bxncos

axmcos

bn

am

abmn

p1M 212

2

2

2

2mn

1n1m212

πππ

ν

+

∑∑−

−=∞

=

∞

= 3.15

Os esforços transversos T1 e T2 são obtidos a partir das equações (3.12) e (2.20) e são

respectivamente:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.5

bxn

senaxm

cos

bn

am

am

p1T 21

2

2

2

2mn1n1m

1ππ

π+

∑∑=∞

=

∞

=

bxn

cosaxm

sen

bn

am

bn

p1T 21

2

2

2

2mn1n1m

2ππ

π+

∑∑=∞

=

∞

= 3.16

No caso das placas simplesmente apoiadas as reacções de apoio, R1 ao longo do lado

x1 = 0, R2 ao longo do lado x2 = 0, R´1 ao longo do lado x´1 = a e R´2 ao longo do lado

x= b, são de acordo com as formulas (3.15),(3.16) e (2.22), as seguintes:

( )

bxnsen

bn

am

bn2

am

am

p1R 22

2

2

2

2

2

2

2

2

mn1n1m

1π

ν

π

+

−+

∑∑=∞

=

∞

=

( )

axmsen

bn

am

am2

bn

bn

p1R 12

2

2

2

2

2

2

2

2

mn1n1m

2π

ν

π

+

−+

∑∑=∞

=

∞

=

( )( )

bxn

sen

bn

am

bn2

am

am

1p1R 22

2

2

2

2

2

2

2

2

1mmn

1n1m1

πν

π

+

−+

−∑∑=′ +∞

=

∞

=

( )( )

axm

sen

bn

am

am2

bn

bn

1p1R 12

2

2

2

2

2

2

2

2

1nmn

1n1m2

πν

π

+

−+

−∑∑=′ +∞

=

∞

= 3.17

As reacções concentradas no canto são de acordo com as formulas (3.15) e (2.24) as

seguintes:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.6

2

2

2

2

2mn1n1m

2A

bn

am

abmn

p12R

+

∑∑−

−=∞

=

∞

=πν

( )2

2

2

2

2

1m

mn1n1m

2B

bn

am

abmn1

p12R

+

−∑∑

−−=

+

∞

=

∞

=πν

( )2

2

2

2

2

1n

mn1n1m

2C

bn

am

abmn1

p12R

+

−∑∑

−−=

+

∞

=

∞

=πν

( )2

2

2

2

2

nm

mn1n1m

2D

bn

am

abmn1

p12R

+

−∑∑

−−=

+

∞

=

∞

=πν 3.18

Estas reacções concentradas impedem os cantos da placa de levantar. As séries

duplas que são utilizadas no cálculo dos momentos M1, M2 e M12 dos esforços transversos

T1 e T2, das reacções de apoio R1, R2, R´1 e R´2 e das reacções nos cantos RA, RB, RC e RD

convergem mais lentamente que a série ω (x1, x2) sendo portanto necessário o uso de um

maior número de termos para conseguir a convergência desejada.

3.1.2. Aplicações da Solução de Navier

3.1.2.1.Carga Uniformemente Repartida sobre um Rectângulo Arbitrariamente

Localizado sobre a Placa.

No caso de se considerar a placa sujeita a uma carga uniformemente repartida de

intensidade, p )x,x( 21 =p, sobre um rectângulo cujos lados têm dimensões,

´´xx´x;´´xx´x sendo ´´x´x;´´x´x 2221112211 ≥≥≥≥−− , como se representa na figura 3.2.Os

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.7

lados do rectângulo são lados paralelos aos lados da placa. A fórmula (3.10), indica-nos o

modo de cálculo dos coeficientes pmn , ou seja:

pA A´

a

b

Secção A-A´

a´´x 1

´´x 2

´´x´x 11 −

´´x´x 22 −

x1

x2

Figura 3.2: Placa Rectangular Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga

Uniformemente Distribuída numa área Rectangular.

2121x

xxxmn dxdx

bxn

senaxm

senabp4p 2

2

1

1

ππ∫∫= ′

′′′′′

ou seja calculando os integrais:

−

−=

bx´ncos

bx´´ncos

ax´mcos

ax´´mcos

mnp4p 2211

2mnππππ

π

Podem considerar-se alguns casos particulares da situação genérica referida

nomeadamente, o caso da carga Pontual, o caso da carga uniformemente distribuída em

toda a placa e o caso da carga distribuída num rectângulo concêntrico com a placa.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.8

3.1.2.1 Carga Concentrada

No caso da carga concentrada, P, no ponto de coordenadas (ξ, η) da placa, os

coeficientes pmn tomam a forma seguinte:

bnsen

amsen

abP4pmn

πηπξ= 3.19

Substituindo este valor na equação (3.12) obtém-se a solução seguinte para a

deformada:

( ) 2

2

2

2

2

21

1n1m421

bn

am

bxnsen

axmsen

bnsen

amsen

abDP4x,x

+

∑∑−=∞

=

∞

=

πππηπξ

πω 3.20

A série (3.20) permite a determinação de ω (x1, x2) e é sempre convergente. As séries

duplas que são obtidas por consideração da expressão (3.20) para efeitos de cálculo dos

esforços unitários são divergentes para x1 = ξ e x2 = η. À esquerda e à direita do ponto

(ξ, η) é necessário considerar-se que os esforços tendem para infinito.

3.1.2.2. Carga uniformemente Distribuída em Toda a Superfície da Placa

Neste caso a função p (x1, x 2) é constante e igual a p0, sendo os coeficientes pmn calculados a partir da expressão (3.10), obtendo-se para os referidos coeficientes a expresão:

( ) ( )πππ

ncos1mcos1mnp4

p 20

mn −−= 3.21

donde:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.9

mnp16

p 20

mn π= com m e n números inteiros impares 3.22

Substituindo a expressão de pmn, (3.22), na equação da deformada (3.14), obtém-se:

( )bxnsen

axmsen

bn

ammn

1´´Dp16x,x 21

2

2

2

2

21n1m621

πππ

ω

+

∑∑−=∞

=

∞

= 3.23

onde m e n são números inteiros impares.

A determinação da solução aproximada da deformada para este tipo de placas é

simples, considerando quatro termos da série por exemplo, a determinação dos esforços é

feita também rapidamente utilizando a expressão (3.23) e as expressões (3.15-3.18). Note-se

que na expressão (3.23) se utiliza o símbolo Σ´ para indicar somatório estendido números

impares.

3.1.2.3. Carga Uniformemente Distribuída num Rectângulo Concêntrico à Placa

Designe-se por u e v os lados do rectângulo de carga concêntrica com os lados da

placa. Introduzindo os limites apropriados na expressão (3.11) e considerando p (x1, x2) =

p0, obtém-se para os coeficientes pmn a formula seguinte:

b2vnsen

a2umsen

2nsen

2msen

mnp16

p 20

mnππππ

π= 3.24

sendo pmn igual a zero se m e n não são os dois números impares.

Por uso da expressão (3.24) pode deduzir-se a fórmula necessária ao cálculo do

deslocamento ω que é:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.10

( )bxnsen

axmsen

bn

ammn

b2vnsen

a2umsen

2nsen

2msen

´´Dp16x,x 21

2

2

2

2

21n1m621

ππππππ

πω

+

∑∑−=∞

=

∞

=

As expressões dos momentos podem ser facilmente obtidas a partir da expressão

anterior.

3.1.3.Método Energético

Para se considerar o método energético é preciso calcular a energia de deformação U

e a energia potencial V da densidade de carga p (x1, x2) aplicada à placa. A deformada da

placa pode ser definida pela expressão (3.4) sendo necessário determinar os coeficientes

ωmn.

A energia de deformação foi definida do seguinte modo:

( )

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

−−

∂∂

+∂∂

∫∫=2

21

2

22

2

21

2

22

2

21

2 2b0

a0 xxxx

12xx

D21U ωωω

νωω 3.25

Calculando as segundas derivadas de ω, o qual é definido de acordo com a expressão

(3.4), obtém-se:

bxnsen

axmsen

amW

Dx21

2

2

mn1n1m

2

21

2 πππω∑∑−=

∂∂ ∞

=

∞

=

bxn

senaxm

senbnW

Dx21

2

2

mn1n1m

2

22

2 πππω∑∑−=

∂∂ ∞

=

∞

=

bxn

cosaxm

cosabmnW

Dxx21

mn1n1m

2

21

2 πππω∑∑−=

∂∂∂ ∞

=

∞

= 3.26

e utilizando as fórmulas:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.11

mmforse2/ammforse0

dxa

xmcosaxmcosdx

axmsen

axmsen 1

11a01

11a0 ′=

′≠=

′∫=

′∫

ππππ

nnforse2/bnnforse0

dxbxncos

bxncosdx

bxnsen

bxnsen 1

22a01

22a0 ′=

′≠=

′∫=

′∫

ππππ

3.27

a expressão da energia de deformação toma a forma seguinte: 2

2

2

2

22mn

1n1m

4

bn

amW

Dab

81U

+∑∑=

∞

=

∞

=π 3.28

Calculamos agora a energia potencial para a densidade de carga p (x1, x2), ou seja:

( ) 2121

21b0

a0mn

1n1m21

b0

a0 dxdx

bxnsen

axmsenx,xpW

D1dxdxpV ππ

ω ∫∫∑∑−=∫∫=∞

=

∞

=

3.29 Tendo em conta a fórmula (3.11) que determina coeficientes pmn, obtém-se a seguinte

fórmula para o trabalho realizado pela carga p, ou seja:

mnmn1n1m

pWD4

abV ∑∑−=∞

=

∞

= 3.30

A energia potencial total toma a forma:

−

+∑∑=+=Π

∞

=

∞

=mnmn

2mn

2

2

2

2

24

1n1mWpW

bn

am

21

D4abVU π 3.31

Derivando em ordem a W mn ,a energia potencial total e igualando a zero, obtém-se:

2

2

2

2

2

mn4mn

bn

am

p1W

+

=π

3.32

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.12

Esta fórmula é análoga à que foi encontrada pelo processo conducente à equação (3.13).

3.1.4.Placas Simplesmente Apoiadas. Aplicações

A obtenção de soluções concretas para placas rectangulares simplesmente apoiadas é

simples desde que se recorra ao Excel ou à programação em Matlab, a obtenção de

soluções analíticas para vários tipos de carregamento é também possível.

Exemplo 1

Considere uma placa rectangular de dimensões a×b simplesmente apoiada ao longo do

contorno exterior e sujeita a uma carga uniformemente distribuida de intensiddade p ou a

uma carga pontual de grandeza P. Obtenha o deslocamento no ponto médio da placa em

função de a/b para a placa sujeita a uma carga uniformemente distribuida ou sujeita a

uma carga concentrada e para a/b entre 0 e 5.0.

É preferível considerar o valor adimensional do deslocamento, ω, que pode designar-se

por ϖ e cujo valor é:

ϖωωϖDpaou

paD o

4

o4

==

sendo ppo = para a carga uniformemente distribuida de intensidade p , )ba(Ppo ×= para

a carga concentrada e D o módulo de rigidez à flexão da placa.

O deslocamento adimensional no centro da placa simplesmente apoiada sujeita a uma

carga uniformemente repartida toma a forma:

( )( ) 2

nsen2

msenxnmmn

1´´16x,x 22221n1m621

πππ

ϖ+

∑∑=∞

=

∞

=

sendo x=a/b.

O deslocamento adimensional no centro da placa simplesmente apoiada sujeita a uma

carga concentrada toma a forma:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.13

( )( ) 2

nsen2

msenxnmmn

1´´4x,x 22221n1m421

πππ

ϖ+

∑∑=∞

=

∞

=

Consequentemente um programa em Matlab que permita o cálculo de ϖ em função de a/b

pode ter a forma:

%calculo do Deslocamento por series de Navier% %Calculo do Deslocamento numa Placa Simplesmente Apoiada% %sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuida e % % sujeita a uma carga concentrada% for l=1:50; x(l)=l/10 const=16/(pi^6); const1=4/(pi^4); w(l)=0; wc(l)=0; for m=1:2:55; for n=1:2:55; coef1=1/(m*n); coef2(l)=1/(((m^2)+(n^2)*(x(l)*x(l)))^2); term1=sin(m*pi/2); term2=sin(n*pi/2); w1(l)=coef1*coef2(l)*term1*term2; w(l)=w(l)+w1(l); w2(l)=coef2(l)*term1*term2; wc(l)=wc(l)+w2(l); end; end; wreal(l)=const*w(l); wrealc(l)=const1*wc(l); end; plot(x,wreal,x,wrealc,'--'); xlabel('a/b'); ylabel('~w '); legend('carga distribuida','carga concentrada') x wreal wrealc Os valores tabelados permitem a construção da tabela seguinte: a/b .5 .7 0.9 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 ϖ 0.01013 0.007273 0.004957 0.004062 0.001526 0.000633 0.000151 0.000021ϖc 0.022758 0.017014 0.011731 0.009623 0.003555 0.001422 0.000308 0.000036Quadro 3.1: Deslocamento Adimensional para uma Placa Simplesmente Apoiada. O gráfico obtido tem a forma representada na figura 3.3.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

a/b

~W carga distribuida

carga concentrada

Figura 3.3: Deslocamento Adimensional para uma Placa Simplesmente Apoiada

Exemplo 2 Para a placa referida no exemplo 1, determine o modo como evoluem os momentos flectores e torsores no ponto médio da placa com o quociente a/b no caso da placa estar sujeita a uma carga uniformemente distribuida. A consideração de valores adimensionais para os momentos é também adequada

MapMouMap

1M 2o2

o

==

As expressões para os momentos adimensionais, no caso da placa estar sujeita a uma carga uniformemente distribuida são:

( ) 2nsen

2msen

xnm

xnmmn116M 2222

222

1n1m411

ππνπ +

+∑∑=∞

=

∞

=

( ) 2nsen

2msen

xnm

mxnmn116M 2222

222

1n1m422

ππνπ +

+∑∑=∞

=

∞

=

( ) 2nsen

2msen

xnm

x)1(161M 22221n1m42

πππ

ν

+∑∑

−=

∞

=

∞

=

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.15

Para n=0.3, pode considerar-se o programa seguinte, feito por uso do Matlab para efeitos de obtenção de M em função de a/b. %calculo dos Momentos por series de Navier% %Calculo dos Momentos numa Placa Simplesmente Apoiada% %sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuida % for l=1:50; x(l)=l/10 c=0.3 const=16/(pi^4); const1=16*(1-c)/(pi^4); m1(l)=0; m2(l)=0; m3(l)=0; for m=1:2:55; for n=1:2:55; coef1=1/(m*n); coef2(l)=m^2+(c*n^2)*(x(l)*x(l)); coef3(l)=(n^2)*(x(l)*x(l))+c*m^2; coef4(l)=1/(((m^2)+(n^2)*(x(l)*x(l)))^2); term1=sin(m*pi/2); term2=sin(n*pi/2); term3=cos(m*pi/2); term4=cos(m*pi/2); m11(l)=coef1*coef2(l)*coef4(l)*term1*term2; m22(l)=coef1*coef3(l)*coef4(l)*term1*term2; m33(l)=-x(l)*coef4(l)*term3*term4; m1(l)=m1(l)+m11(l); m2(l)=m2(l)+m22(l); m3(l)=m3(l)+m33(l); end; end; ma11(l)=const*m1(l); ma22(l)=const*m2(l); ma33(l)=const1*m3(l) end; plot(x,ma11,x,ma22,'--',x,ma33,':'); xlabel('a/b'); ylabel('~M '); legend('Momento segundo x','Momento segundo y ', 'Momento torsor') x ma11 ma22 ma33 O modo, como evoluem os momentos flectores e torsor com x=a/b, pertencente ao intervalo [0,5], está representado na figura 3.4.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

a/b

~M

Momento segundo xMomento segundo yMomento torsor

Figura 3.4: Evolução dos Momentos em função de a/b para uma Placa Simplesmente

Apoiada sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuida.

Exemplo 3

Considere uma placa rectangular de dimensões a e b simplesmente apoiada ao longo

do contorno exterior como se representa na figura. A placa está sujeita a uma carga

distribuida com a forma sinusoidal. Para o sistema de eixos representado na figura esta

carga é da forma: b/ysena/xsenpp o ππ= onde op representa a intensidade da carga

no centro da placa. Verifique se as reacções de apoio equilibram a carga exterior,

determine os esforços de flexão e os esforços transversos num ponto genérico da placa e

determine os referidos esforços no centro da placa. Ilustre graficamente o andamento da

deformada e dos esforços.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.17

a

b

O

y

x

e

Figura 3.5:Placa Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga Sinusoidal

A equação de Lagrange tem de ser verificada em todos os pontos da placa, isto é:

bysen

axsen

Dp

yyx2

xo

4

4

22

4

4

4 ππωωω=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

e por outro lado têm de verificar-se as condições de fronteira que são:

bypara0y/e0eaxpara0x/e0 2222 ==∂∂===∂∂= ωωωω .

Admitindo que a função deformada ω tem de verificar as condições de fronteira,

pode considerar-se uma função da forma:

bysen

axsen0

ππωω =

onde ω0 é uma constante igual ao deslocamento transversal no ponto médio que pode ser

calculada fazendo uso da equação de Lagrange. As derivadas necessárias para efeitos de

substituição na equação de Lagrange são:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.18

bysen

axsen

ax 4

40

4

4 πππωω=

∂∂

bysen

axsen

by 4

40

4

4 πππωω=

∂∂

bysen

axsen

ba2

yx 22

40

22

4 πππωω=

∂∂

Substituindo estas expressões na equação de Lagrange obtém-se:

2

224

00

b1

a1D

p

+

=

π

ω

Substituindo esta expressão na função deformada, obtém-se:

bysen

axsen

b1

a1D

p2

224

0 ππ

π

ω

+

=

Uma vez determinada a forma da função deformada é possível calcular os momentos

flectores e torsores, que são:

bysen

axsen

ba1

b1

a1

pyx

DM 222

222

02

2

2

2

xππν

π

ων

ω

+

+

=

∂∂

+∂∂

−=

bysen

axsen

ab1

b1

a1

pxy

DM 222

222

02

2

2

2

yππν

π

ων

ω

+

+

=

∂∂

+∂∂

−=

( ) ( )bycos

axcos

b1

a1

1pyx

1DM 2

222

02

xyππ

π

νων

+

−−=

∂∂∂

−−=

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.19

O deslocamento transversal máximo e os momentos flectores máximos ocorrem no

centro da placa e são:

[ ] 2

224

0max

b1

a1D

p

+

=

π

ω

[ ]

+

+

= 222

224

0maxx ba

1

b1

a1D

pM ν

π

[ ]

+

+

= 222

224

0maxy ab

1

b1

a1D

pM ν

π

No caso de se tratar de uma placa quadrangular como a que se representa na figura

3.6 o andamento dos momentos é do tipo representado na figura, sendo os valores do

deslocamento e dos momentos máximos os seguintes:

[ ] [ ] [ ] ( )2

20max

ymax

x4

40max

4ap1

MM;D4

apπ

νπ

ω+

===

As tensões normais máximas ocorrem no centro da placa e são, para a placa

quadrada, as seguintes:

( )22

20

2

max

yx e2a1p3

eM6

πν

σσ+

===

A tensão de corte máxima ocorre a meio do bordo e é:

e

R

23 y

max =τ

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.20

My

Mx

σx

σy

Figura 3.6: Placa Quadrangular.

para se poder calcular esta tensão é necessário calcular as reacções no bordo.

Os esforços transversos são:

bysen

axcos

b1

a1a

pyxx

DT 2

22

02

2

2

2

xππ

π

ων

ω

+

=

∂∂

+∂∂

∂∂

−=

bycos

axsen

b1

a1b

pyxy

DT 2

22

02

2

2

2

yππ

π

ων

ω

+

=

∂∂

+∂∂

∂∂

−=

As reacções distribuídas ao longo dos bordos são:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.21

[ ]bysen

b2

a1

b1

a1a

py

MTR 222

22

0

ax

0xe

xyx

ax

0xex

πν

π

−

+

+

=

∂

∂+=

=

=

=

=

[ ]axsen

a2

b1

b1

a1b

px

MTR 222

22

0

ay

0ye

xyy

ay

0yey

πν

π

−

+

+

=

∂

∂+=

=

=

=

=

As reacções nos cantos são:

[ ] ( )2

222

0by;axxyDCBA

b1

a1ab

1p2M2VVVV

+

−−=====

==

π

ν

As reacções nos bordos e nos cantos estão representadas na figura 3.7. A resultante

das reacções distribuídas nos bordos com as reacções nos cantos é igual à resultante da

carga distribuída como se pode facilmente constatar.

a

A B x

D

VV

yC

b V

Figura 3.7: Reacções na Placa Simplesmente Apoiada.

Exemplo 4 Considere uma placa ortotrópica simplesmente apoiada ao longo do contorno e

sujeita a uma distribuição de cargas p (x, y). Determine a deformada da placa e os

esforços considerados relevantes. A placa tem de dimensões a segundo x e b segundo y.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.22

A carga distribuída p (x, y) pode ser representada através de séries duplas de

Fourier à semelhança do que acontecia com as placas isotrópicas, do seguinte modo.

( )b

ynsena

xmsenpy,xp mn1n1m

ππ= ∑∑

∞

=

∞

=

onde pmn são constantes e m e n são números inteiros.

Pretende-se resolver a equação de Lagrange:

( )y,xpD1

yD

yxD2

xD 4

4

222

4

34

4

1 −=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ ωωω

sujeita às condições de fronteira. Estas condições são: ao longo dos lados x = 0 e x = a:

0x

e0 2

2

=∂∂

=ω

ω

e ao longo dos lados y = 0 e y = b são:

0y

e0 2

2

=∂∂

=ω

ω

Uma solução possível para a equação de Lagrange é a chamada solução de Navier

para a qual se considera ser w (x, y) uma função tipo série dupla de senos que verifica

simultaneamente a equação de Lagrange e as condições de contorno, ou seja uma função

do tipo:

( )b

ynsena

xmsenWy,x mn1n1m

ππω ∑∑=

∞

=

∞

= (a)

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.23

Os coeficientes pmn da série dupla de Fourier são calculados de forma análoga à

considerada nas placas isotrópicas e são determinados do seguinte modo:

( ) 2112

21b0

a0nm dxdx

axmsen

bxnsenx,xf

ab4p ππ ′′

∫∫=′

Esta é a forma geral dos coeficientes pmn. Substituindo a forma geral da solução

ω(x, y) na equação de Lagrange e tendo em conta o desenvolvimento em série dupla de

Fourier da função de carga p (x, y), obtém-se a equação seguinte:

=

+

+

∑∑∞

=

∞

=mn

4

mn2

22

mn3

4

mn11n1m

pb

mwDb

na

mwD2a

mwD ππππ

+

+

=4

2

22

3

4

1

mnmn

bmD

bn

amD2

amD

pW

ππππ

Substituindo estes coeficientes na equação (a), obtém-se:

( )b

ynsena

xmsen

bnD

bn

amD2

amD

p1y,x4

2

22

3

4

1

mn

1n1m4

πππ

ω

+

+

∑∑=∞

=

∞

=

Os momentos M11, M22 e M12 são obtidos tendo em conta a expressão da deformada

acabada de obter, e as expressões dos momentos em termos das curvaturas (2.12), ou

sejam:

bynsen

axmsen

bnD

bn

amD2

amD

bn

amp

DM4

2

22

3

4

1

2

2

212

2

mn

1n1m21

xππ

ν

π

+

+

+

∑∑−=∞

=

∞

=

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.24

bynsen

axmsen

bnD

bn

amD2

amD

am

bnp

DM4

2

22

3

4

1

2

2

122

2

mn

1n1m22

yππ

ν

π

+

+

+

∑∑−=∞

=

∞

=

byncos

axmcos

bnD

bn

amD2

amD

abmnp

DM4

2

22

3

4

1

mn

1n1m23

xyππ

π

+

+

∑∑−=∞

=

∞

=

Os esforços transversos Tx e Ty são obtidos a partir dos momentos flectores considerando

as equações de equilíbrio de momentos. As reacções de apoio são calculadas a partir dos

esforços transversos e do momento Torsor, fazendo uso das fórmulas deduzidas no

Capítulo2.

3.2. Métodos de Levy. Placas Apoiadas em Dois Lados Opostos

3.2.1. Fórmulas Gerais

A equação de Lagrange:

( )2142

4

22

21

4

41

4

x,xpD1

xxx2

x−=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∆∆ωωω

ω 3.33

tem de acordo com Levy soluções, para placas simplesmente apoiadas em dois lados

opostos, representadas por uma série trignométrica simples do tipo:

( ) ( )axmsenxF

D1x,x 1

2m1m

21π

ω ∑−=∞

= 3.34

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.25

cujos coeficientes são Fm função de x2. A função carregamento, p(x1,x2), pode ser

desenvolvida em série simples da forma:

( ) ( )axm

senxpx,xp 12m

m21

π∑= 3.35

sendo o coeficiente pm(x2) determinado do seguinte modo:

( ) 11

2a0 12m dx

axm

sen)x,x(pa2xp

π∫= 3.36

com p = p (x1, x2).

Estas soluções, (3.34), verificam as seguintes condições de contorno:

axe0xpara0x

e0 1121

2

===∂∂

=ω

ω

ou seja as condições de contorno de uma placa rectangular simplesmente apoiada ao longo

de dois lados opostos. As funções ( )xF 2m podem ser calculadas de modo a verificar as

condições de contorno ao longo dos outros dois lados da placa e a equação de Lagrange,

figura 3.8a e 3.8b. O sistema de eixos da figura 3.8b pode não ser o mais adequado quando

se consideram condições de simetria, neste caso a consideração do sistema de eixos a

passar pelo centro é mais conveniente, tendo de considerar-se outra função trignométrica na

equação (3.34), por exemplo a função cos.

Considere-se a densidade de carga p (x1, x2), definida de acordo com a equação (3.35), os

desenvolvimentos em série de ω (x1, x2), definidos de acordo com a equação (3.34) e

substitua-se na equação de Lagrange. Nessas condições chega-se à conclusão que a

função ( )xF 2m , deve obedecer à serie de equações diferenciais seguintes:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.26

b

a

x2

x1O

x2

x1O

(a) (b)

Figura 3.8: Placa Rectangular.

( )2mm

4

22

m22

42

m4

xpFa

mxdFd

am2

xdFd

=

+

−

ππ 3.37

A forma geral da solução destas equações é:

Fm = (Fm)c + (Fm)p 3.38

onde (Fm)c é a solução geral da equação sem segundo membro e (Fm)p é uma solução

particular da equação que vai depender da forma do carregamento considerado. A solução

da equação sem segundo membro é do tipo exponencial, erx2 sendo r raiz da equação

característica:

0a

mra

m2r4

22

4 =

+

−

ππ 3.39

ou seja r = ± mπ /a.

A solução geral da equação sem segundo membro, tendo em conta a solução da

equação característica, é da forma:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222xa

m

2m4xa

m

2m3

xam

m2xa

m

m1compm exCexCeCeCF

−

−

+++=ππππ

3.40

sendo as constantes (C1)m, (C2)m, (C3)m, (C4)m, calculadas a partir das condições de

fronteira para x2 = 0 e x2 = b. Esta solução também pode ser considerada com a forma:

( ) ( ) +′+′=axmhcosC

axmhsenCF 2

m22

m1mππ

( ) ( )2 2 2 23 4m m

m x m x m x m xC senh C cos ha a a aπ π π π′ ′+ +

Existe uma relação1 entre as constantes C´e as constantes C.

A equação (3.37) conjuntamente com as condições de contorno estabelecidas em

função de Fm devem ser satisfeitas pela função Fm(x2). As condições de fronteira constituem

um sistema de equações a ser satisfeito pelas constantes da expressão (3.40).

3.2.2. Placa Simplesmente Apoiada em dois Lados Opostos e Encastrada nos outros

Dois e sujeita a uma Carga Distribuída p (x1, x2)

Para efeitos de ilustração do método de Levy considere-se uma placa rectangular de

dimensão a, segundo x1 e de dimensão b, segundo x2 que está simplesmente apoiada ao

longo dos lados x1 = 0 e x1 = b e encastrada ao longo dos lados x2 = b/2 e x2 = b/2, a escolha

deste sistema de eixos é adequada pela simetria existente em relação ao eixo x1 . Esta placa

está submetida a uma carga distribuída do tipo triangular como se representa na figura 3.9.

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;CCC;CCC;CCC m4m3m3m2m1m2m2m1m1 +=′+=′−=′

( ) ( ) ( )m4m3m4 CCC −=′

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.28

b

a

x2

x1

O

p

Figura 3.9: Placa Simplesmente Apoiada em Dois Lados Opostos e Encastrada nos

Outros Dois.

As condições de fronteira referentes aos bordos simplesmente apoiados estão

automaticamente satisfeitos pelos termos em x1 da série (3.34), as condições que devem ser

satisfeitas pelos bordos encastrados são as seguintes:

( ) ( ) 2/bxe2/bxpara0xFxF 222m2m ===′= 3.41

O termo pm (x2) a ser utilizado na série (3.35) toma a forma seguinte, ou seja:

( ) 11

21a0m dx

axmsenx,xp

a2p π

∫= 3.42

Sendo ( )

=

ax

x,xp 121 no caso de se tratar de uma carga triangular, o integral

(3.42) toma, após integração, a forma seguinte:

( )πmp21p 1m

m+−= 3.43

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.29

Substituindo o valor acabado de obter na equação de Lagrange (3.36), obtém-se:

( )π

ππm

p21Fa

mxdFd

am2

xdFd 1m

m

4

22

m22

42

4+−=

+

− 3.44

As soluções complementares são obtidas considerando uma solução do tipo exponencial,

como foi referido anteriormente, convertível numa solução em termos de senos e cossenos

hiperbólicos com a forma :

( ) ( ) +′+′=axmhcosC

axmhsenCF 2

m22

m1mππ

( ) ( )axmhcos

axmC

axmhsen

axmC 22

m222

m1ππππ ′+′+

a qual pode ser simplificada tendo em conta a simetria existente que obriga a que a função

Fm seja par, ou seja:

axm

hsenaxm

Caxm

hcosCF 22m2

2m1m

πππ+= 3.45

A solução particular da equação (3.44) pode ser considerada com a forma:

( ) ( )( )5

41m

partm map21F

π+−= 3.46

Consequentemente uma forma da solução geral da equação (3.37), é:

( ) ( ) =+= partmcompmm FFF ( )( )

++− +

axmsenh

axm

CaxmcoshC1

map21 22

m22

m15

41m πππ

π

3.47

Introduzindo as condições (3.41) na equação (3.47), obtém-se as equações seguintes

que constituem um sistema de equações por resolução do qual se obtém, as

constantes C,C 2m1m . As referidas equações, designando por Am o cociente a2bmπ ,são:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.30

2/bxe2/bxpara0F 22m −=== , ou seja: 0AsenhACAcoshC1 mmm2mm1 =++

2/bxe2/bxpara0F 22m −===′ , ou seja: ( ) 0AcoshACAsenhCC mmm2mm2m1 =++

3.48

Por resolução deste sistema de equações obtêm-se as constantes seguintes:

AAcoshAsenhAsenh

CeAAcoshAsenhAcoshAAsenh

Cmmm

mm2

mmm

mmmm1 +

=+

+−=

3.49 Substituindo estas constantes na equação (3.47) obtém-se para a deformada a expressão

seguinte:

( )( )

+

++

+−×

××−∑−= +∞

=

axmsenh

axm

AAcoshAsenhAsenh

axmcosh

AAcoshAsenhAcoshAsenhA1

axmsen

map21

D1

22

mmm

m2

mmm

mmm

15

41m

1m

πππ

ππ

ω

3.50

Para efeitos do cálculo de M11 ,M22 e M12 substituímos a expressão de ω (x1, x2) acabada

de obter nas equações (2.12).

3.2.3 Placa Sujeita a Momentos Distribuídos ao Longo de dois Lados Opostos

Considere-se uma placa simplesmente apoiada ao longo dos lados x1 = 0 e x1 = a e

sujeita a uma distribuição uniforme de momentos ao longo dos lados e simplesmente

apoiada ao longo dos lados x2 = b/2 e x2= -b/2, como se representa na figura 3.10.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.31

x 1

x2

M

M

Figura 3.10: Placa Sujeita a Momentos Distribuídos.

A equação de Lagrange é neste caso:

0xxx

2x 4

2

4

22

21

4

41

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇∇ωωω

ω 3.53

A deformada ω, obtém-se por resolução desta equação, sujeita às condições de

contorno

axe0xparax/e0 1121

2 ==∂∂= ωω

2/bxe2/bxparax/e0 2222

2 −==∂∂= ωω 3.54

A solução da equação (3.53), tem neste caso a forma já referida e que é:

( ) ( )axmsenxF

D1x,x 1

2m1m

21π

ω ∑−=∞

= 3.55

a qual satisfaz as condições de contorno para x1 = 0 e x1 = a. A função Fm de x2 é da forma

da função 3.40, a qual também pode ser escrita com a forma seguinte:

( ) ( ) ( ) +++=axmhsen

axmC

axmhcosC

axmhsenCF 22

m32

m22

m1mππππ

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.32

( )axmhcos

axmC 22

m4ππ

+ 3.56

Como existe simetria segundo x2 a função Fm deve ser uma função par de x2, o que implica

que seja: (C1)m = (C4)m = 0. Portanto a deformada é da forma:

( ) ( )axm

senaxm

hsenaxm

Caxm

hcosC 122m3

2m2

1m

ππππω

+∑=

∞

= 3.57

Como ω = 0 para x2 = -b/2 e x2 = b/2, deve ser:

( ) ( ) 0AhsenACAhcosC mmm3mm2 =+ 3.58

onde Am = mπb/2a e

( ) ( ) mmm3m2 AtanhACC −= 3.59

Transformando-se a equação da deformada 3.57 em:

( )axm

senaxm

hcosAtanhAaxm

hsenaxm

C 12mm

22m3

1m

ππππω

−+∑=

∞

= 3.60

Dando à distribuição de momentos M a forma de desenvolvimento em série:

axmsenEM 1

m1m

π∑=∞

= 3.61

onde os coeficientes Em são calculados de modo análogo ao considerado para a carga p no

parágrafo 3.2.1, obtém-se para M22 a expressão seguinte:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.33

( )axmsen

m1M4

2bM 1

,...5,3,1m2/by22

ππ

∑=∞

== 3.62

Substituindo esta expressão na condição de fronteira, 3.54, obtém-se:

( )axmsenE

axmsenAhcosC

amD2 1

m1m

1mm32

22

1m

πππ∑=∑−∞

=

∞

= 3.63

donde:

( )m

22m

2

m3AhcosDm2

EaCπ

−= 3.64

A deformada é facilmente obtida, tendo em conta que Em = 4M / mπ, fazendo uso das

expressões 3.57, 3.59 e 3.64, ou seja:

axmsen

axmsenh

axm

axmhcosAtanhA

Acoshm1

DMa2 1222

mmm

3,...5,3,1m

3

2 πππππ

ω

−∑=

∞

=

3.64

Conhecida a expressão da deformada os esforços são facilmente calculados fazendo uso das

equações 2.12.

3.2.4. Método de Levy. Aplicações

A utilização do método de Levy para efeitos de obtenção de soluções analíticas da equação

de Lagrange para placas com dois lados opostos simplesmente apoiados e sujeitas a

condições de carga várias não oferece dificuldades. A utilização das expressões obtidas

para efeitos de resolução de problemas concretas é simples desde que se utilizem meios de

programação, nomeadamente folhas Excel e Matlab.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.34

Exemplo 5

Considere uma placa simplesmente apoiada em dois lados opostos, x=0 e x=a e

encastrada ao longo dos lados y=-b/2 e y=b/2, sujeita a uma carga uniformemente

distribuida. Determine uma expressão para a deformada ω.

A obtenção da solução para este caso, uma vez conhecida a solução para o caso estudado

em 3.2.2., resume-se ao cálculo da solução particular da equação

( )2mm

4

22

m22

42

m4

xpFa

mxdFd

am2

xdFd

=

+

−

ππ (a)

e á determinação de )x(p 2m tendo em conta que a carga aplicada é uma carga

uniformemente distribuida, ou seja

ππ

mp4

xda

xmpsena2)x(p 1

a0

12m =∫= com m=1,3,5,…

Uma solução particular da equação (a) é:

( )map4

F 55

4

m pπ

=

A solução da equação (a) é:

( ) ( ) ( )

++=+=

axmsenh

axm

Ca

xmcoshC1FFFF 22m2

2m1m pm pm compm

πππ

Tendo em conta que ( )Fm p é uma constante e que as condições de fronteira são análogas às

consideradas no caso 3.2.2., as constantes CeC m2m1 que se obtêm por imposição das

condições de fronteira são as que foram obtidas em 3.2.2.

Nestas condições a expressão da deformada é:

( )

+

++

+−×

××∑−=∞

=

axmsenh

axm

AAcoshAsenhAsenh

axmcosh

AAcoshAsenhAcoshAsenhA1

axmsen

map4

D1

22

mmm

m2

mmm

mmm

15

4

1m

πππ

ππ

ω

com Am =mπb/a e as constantes CeC m2m1 com a forma:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.35

AAcoshAsenhAsenh

CeAAcoshAsenhAcoshAAsenh

Cmmm

mm2

mmm

mmmm1 +

=+

+−=

Exemplo 6

Considere uma placa rectangular de dimensões a×b com as condições de apoio e

carregamento referidas no exemplo 5. Obtenha o deslocamento no ponto médio da placa

em função de a/b nas condições de carga referidas no exemplo 5 e nas condições de carga

referidas em 3.2.2 , para um mesmo valor de p máximo e para a/b entre 0 e 5.0.

É preferível considerar o valor adimensional do deslocamento ω,que pode designar-se por

ϖ e cujo valor é:

ϖωωϖDpaou

paD o

4

o4

==

Para a obtenção da deformada pode escrever-se um pequeno programa em Matlab, tendo

em conta que as expressões da deformada já são conhecidas, esse programa pode ter a

forma seguinte:

%calculo do Deslocamento pelo Método de Levy% %Calculo do Deslocamento numa Placa com dois lados Simplesmente % %Apoiados e Encastrada nos outros Dois sujeita a uma Carga % %Uniformemente Distribuida e a uma Carga Hidrostática% for l=1:50; x(l)=l/10; wd(l)=0; %Deslocamento devido à Carga Uniformemente Distribuida% for m=1:2:55; am(l)=(m*pi)/(2*x(l)); coef1=4/((m*pi)^5); c2m(l)=-(sinh(am(l))+am(l)*cosh(am(l))); c3m(l)=(sinh(am(l))*cosh(am(l))+am(l)); c1m(l)=c2m(l)/c3m(l); term1=sin(m*pi/2); w1(l)=coef1*term1*(1+c1m(l)); wd(l)=wd(l)+w1(l); end; end; for l=1:50; x(l)=l/10 wh(l)=0; %Deslocamento devido à Carga Hidrostática% for m=1:1:55;

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.36

am(l)=(m*pi)/(2*x(l)); coef2=((-1)^(m+1))*2/((m*pi)^5); c2m(l)=-(sinh(am(l))+am(l)*cosh(am(l))); c3m(l)=(sinh(am(l))*cosh(am(l))+am(l)); c1m(l)=c2m(l)/c3m(l) term1=sin(m*pi/2); w2(l)=coef2*term1*(1+c1m(l)); wh(l)=wh(l)+w2(l); end; end; plot(x,wd,x,wh,'--'); xlabel('a/b'); ylabel('~w '); legend('carga distribuida','carga hidrostática') x wd wh O gráfico obtido é o que se representa na 3.11 .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

a/b

~w

carga distribuidacarga hidrostática

Figura 3.11: Evolução da Deformada com a/b

3.3 Métodos de Solução Ditos Exactos

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.37

Os métodos de solução da equação de Lagrange ditos exactos, são métodos que se

baseiam no uso de séries para efeitos de obtenção da solução e são exactos no sentido que

um conjunto infinito de equações algébricas não - lineares pode ser truncado a fim de obter

um certo grau de precisão na solução. As soluções referidas anteriormente, isto é, a solução

de Navier e a solução de Levy são soluções deste tipo. As soluções ditas exactas são

obtidas por consideração de séries duplas de Fourier, por séries duplas generalizadas de

Fourier ou por combinação dos dois tipos de séries. As séries são escolhidas de tal modo

que as condições de fronteira sejam satisfeitas.

O processo seguido na determinação da solução de equações diferenciais, no caso da

teoria das placas a equação deiferencial é a equação de Lagrange, consiste no caso de se

usarem séries duplas de Fourier, em exprimir as variáveis dependentes e a função

carregamento em séries duplas de Fourier, as quais podem ser séries duplas de senos, séries

duplas de senos - cossenos ou séries duplas de cossenos. No caso da equação de Lagrange a

variável dependente é o deslocamento transversal ω(x1,x2) e a função carregamento é

p(x1,x2). O critério de convergência das séries duplas de Fourier é análogo ao critério que

se considera nas séries simples1. Considerem-se as funções f1 (x1, x2), f2 (x1, x2) e f3(x1, x2)

que são funções continuas definidas nos domínios 0 ≤ x1 ≤ a e 0 ≤ x2 ≤ b e representadas

por:

( )bxnsen

axmsenAx,xf 21

mn1n1m

211ππ

∑∑=∞

=

∞

=

( )bxncos

axmsenBx,xf 21

mn1n1m

212ππ

∑∑=∞

=

∞

=

( )bxncos

axmcosCx,xf 21

mn1n1m

213ππ

∑∑=∞

=

∞

= 3.66

onde Amn, Bmn e Cmn são os coeficientes de Fourier das funções f1 (x1, x2), f2 (x1, x2) e

f3(x1, x2) respectivamente. As funções trignométricas consideradas nas séries possuem as

seguintes propriedades:

1 Zygmund A. , Trigonometric Series , Vol 1 ; Cambridge University Press , 1959.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.38

nnpara2b

nnpara0dx

bxn

senbxn

sen 222b

0 ′=

′≠=

′∫

ππ

nnpara2b

nnpara0dx

bxn

cosbxn

cos 222b

0 ′=

′≠=

′∫

ππ

( ) imparnncomnnparann

bn2parnncomnnounnpara0

dxbxnco

bxnsen

222

22b0 =′±′≠

′−

=′±′≠′==

′∫

π

ππ

3.67

Para uma função dada, por exemplo a função de carga, os coeficientes de Fourier

Amn podem ser calculados fazendo uso destas propriedades de ortogonalidade no caso da

integração termo a termo da respectiva série ser possível, como foi referido no caso da

solução de Navier. Os coeficientes Amn da série f1 (x1, x2), são obtidos do seguinte modo:

( ) 2112

21b0

a0mn dxdx

axm

senbxn

senx,xfab4A

ππ∫∫= 3.68

No caso de a variável dependente ser definida por uma destas funções, os

coeficientes de Fourier são calculados fazendo uso das condições de fronteira e da equação

de Lagrange, no caso da solução de Navier considerada anteriormente, escolheu-se uma

série de Fourier que verificava as condições de fronteira termo a termo e os coeficientes

foram calculados por uso da equação de Lagrange, no entanto as séries de Fourier nem

sempre verificam as condições de fronteira.

As funções senos e cossenos não são as únicas funções ortogonais e é possível

considerar séries duplas generalizadas de Fourier fazendo uso de outros conjuntos de

funções ortogonais. Considere-se a função f(x1, x2) definida no domínio a ≤ x1 ≤ b e

c≤x2≤d que pode ser representada, por um conjunto de funções ortogonais Xm(x1) e Yn(x2),

do seguinte modo:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.39

( ) ( ) ( )2n1mmn1n1m

21 xYxXfx,xf ∑∑=∞

=

∞

= 3.69

que é a chamada série dupla generalizada de Fourier correspondente à função f(x1,x2). Os

coeficientes fmn são chamados constantes de Fourier de f(x1,x2) com respeito às funções

ortogonais Xm(x) e Yn(x2). Estas funções gozam das propriedades de ortogonalidade, ou

seja:

nmparaXnmpara0

dxXX 2n

1nmba =

≠=∫

nmparaYnmpara0

dxYY 2n

1nmdc =

≠=∫ 3.70

onde nm YeX são as normas de nm XeX respectivamente.

No caso de f (x1, x2) ser uma função conhecida, por exemplo a função de carga, os

coeficientes fmn podem ser calculados fazendo uso da ortogonalidade dos termos da série

do seguinte modo:

( ) ( ) ( ) 212n1m21dc

ba2

m2

mmn dxdxxYxXx,xf

YX1f ∫∫= 3.71

No caso da função f (x1, x2) ter de ser determinada, como seria o caso do

deslocamento transversal, a representação desta função por séries de Fourier generalizadas

é feita em geral fazendo uso de funções que verifiquem as condições de fronteira. As

constantes de Fourier destas séries são determinadas através da equação ou equações

diferenciais em que intervenham as variáveis.

3.4. Método de Ritz

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.40

3.4.1. Energia Potencial

O método de Ritz à semelhança do que acontece com o método energético referido

para efeitos de obtenção da solução de Navier, também considera a energia potencial Π,

que tem a forma seguinte:

( ) ( ) dSDp2

xxxx12

2D

22

2

21

22

21

22

S

−

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂−+∇∫=∏

ωωωωνω 3.72

Esta expressão tem uma forma mais simplificada para o caso das placas rectangulares

encastradas ao longo do contorno cujas condições de fronteira são:

0x1

=∂∂

=ω

ω para ax1 ±=

0x 2

=∂∂

=ω

ω para bx 2 ±= 3.73

A segunda parcela do segundo membro da equação (3.72) é designada por curvatura

de Gauss, considerando o integral estendido a toda a superfície da placa encastrada

representada na figura 3.4. A curvatura de Gauss é:

dSxxxx 2

2

2

21

22

21

2

S

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂∫

ωωω 3.74

Vamos proceder à integração por partes da 1ª parcela do integrando, ou seja:

dSxxxx

dSxx 2121

2

S

2

21

2

S

∂∂

∂∂

∂∂∂

∫=

∂∂

∂∫

ωωω

dSaxxx

dSxxx 1x

221

2

2221

3

S νωωωω

∂∂

∂∂∂

∫+∂∂

∂∂∂

∫−= 3.75

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.41

Este integral toma a forma seguinte tendo em conta o teorema de Gauss:

2221

2

2221

32

21

2

dxxxx

dSxxx

dSxx ∂

∂∂∂

∂∫+

∂∂

∂∂∂

∫−=

∂∂

∂∫

ωωωωω 3.76

Proceda-se agora à integração do segundo termo do integrando da equação (3.74), ou

seja:

=∂∂

∂∂

∫− dSxx 2

2

2

21

2

Sωω

=∂∂

∂∂

∫−∂∂

∂∂∂

∫ dSaxx

dSxxx 2x

221

2

2212

3

νωωωω

12

21

2

2212

3

S dxxx

dSxxx ∂

∂∂∂

∫+∂∂

∂∂∂

∫=ωωωω 3.77

Substituindo (3.76) e (3.77) na equação (3.74), pode dar-se a esta equação a forma

seguinte:

=

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂∫ dS

xxxx 22

2

21

22

21

2 ωωω

dsxds

dxx

dx

dxxx

dxxxx 1212

111

2122

∂∂

∂∂

∫=

∂∂

∂∂

∫=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

∫=ωωωωωωω

3.78

É agora imediatamente visível que no caso da placa rectangular encastrada ao longo

do contorno o valor de 2x/ ∂∂ ω é nulo para x1 = ± a e 1x/ ∂∂ ω é nulo para x2 = ± b.

Sendo assim, a curvatura de Gauss é nula na expressão (3.72) e a energia potencial toma a

forma seguinte:

( ) dSD

22D 2

S

−∇∫=Π

πωω 3.79

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.42

É esta portanto a forma da energia potencial total para efeitos de aplicação do método

de Ritz ao estudo de placas rectangulares encastradas.

3.4.2 Formulação do Método de Ritz

Admitindo que o campo de deslocamentos transversais se pode escrever do seguinte

modo:

( )321ii

n

1ix,x,xNa∑=

=ω 3.80

sendo ai constantes desconhecidas e Ni funções das coordenadas x1, x2 e x3, que devem

satisfazer as condições de fronteira.

Uma vez escolhidas as funções ( )321i x,x,xN , as constantes ai são determinadas

de tal modo que a energia potencial Π seja mínima, isto é:

0ai

=∂

Π∂ 3.81

Esta minimização da energia potencial corresponde portanto a um sistema de n

equações a n incógnitas.

Para efeitos de ilustração do método de Ritz consideremos uma placa rectangular

encastrada como se representa ns figura 3.5 a qual está submetida a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade p.

A placa tem dimensões 2a e 2b e as condições de fronteira são:

0x1

=∂∂

=ω

ω para ax1 ±=

0x2

=∂∂

=ω

ω para bx2 ±=

Considerando um parâmetro só o deslocamento transversal toma a forma seguinte:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.43

( ) ( )[ ]2222

221

211 bxaxx2C −−=ω 3.82

para o qual a função N satisfaz as condições de fronteira e é par.

p p

Figura 3.5: Placa rectangular encastrada submetida a uma carga

uniformemente distribuída.

A partir da equação (3.82) podem determinar-se facilmente as derivadas em ordem a

x1 e x2, obtendo-se para o quadrado do Laplaciano uma expressão com a forma seguinte:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ){ }( )22221

22

222

222

221

2211

2 axx4bx2bxx4ax2C −+−+−+−=∇ ω 3.83

e para a energia potencial total uma expressão com a forma seguinte:

( ) ( ) ( ) ( )( ){ }( ) −−−+−−∫∫=Π −−

22222

222

222

22211

bb

aa axb2x6bxa2x6C

2D

( ) ( )21

2222

22211 xdx

DbxaxCp2 −−

− 3.84

Derivando em ordem a C1 a equação (3.84) e igualando a zero por forma a obter um

mínimo da energia potencial obtém-se:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.44

42241b7ba4a7

Dp

383.0C++

= 3.85

A solução aproximada da equação de Lagrange, considerando a função de

aproximação:

( ) ( )2222

221

2 bxaxN −−= 3.86

é

( ) ( )( )2222

221

24224 bxax

b7ba4a7D

p383.0−−

++=ω 3.87

No quadro 3.2 estão representadas, a solução tabelada e a solução de Ritz para uma

placa encastrada.

Solução Tabelada(Timoshenko) Solução de Ritz

0.02127 pa4 / D 0.0202 p a4 / D

Quadro 3.2: Solução de Obtida e Solução Timoshenko

A solução de Ritz pode ser melhorada por consideração das funções de forma

seguintes:

( ) ( )222

2221

21 bxaxN −−=

( ) ( )2222

2221

212 bxaxxN −−=

( ) ( )2222

2221

223 bxaxxN −−= 3.88

Sendo a solução ϖ

332211 NCNCNC ++=ϖ

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.45

Neste caso as constantes C1, C2 e C3 são obtidas por minimização da funcional Π,

resultando desta minimização um sistema de três equações a três incógnitas.

3.4.3. Aplicações do Método de Ritz

A utilização do Método de Ritz é facilitada se se utilizar o programa MAPLE para

tratamento das expressões analíticas.

Exemplo 7

Determine a solução aproximada de Ritz para o deslocamento transversal no centro de

uma placa quadrangular simplesmente apoiada ao longo do contorno sujeita a uma carga

uniformemente distribuida. Use funções que satisfaçam as condições cinemáticas do

problema. Compare com a Solução Exacta.

O campo de deslocamentos pode escrever-se com a forma:

( )321ii

n

1ix,x,xNa∑=

=ω

sendo ai constantes desconhecidas e Ni funções que satisfaçam as condições de fronteira

que são:

0x

e02

2

=∂∂=

ωω para x=0 e x=a

0y

e0 2

2

=∂∂=

ωω para y=0 e y=a

A energia potencial total Π é:

( ) ( ) dSDp2

xxxx12

2D

22

2

21

22

21

22

S

−

∂∂

∂∂

−

∂∂

∂−+∇∫=∏

ωωωωνω (a)

Por minimização da energia potencial

0ai

=∂Π∂

podem calcular-se as constantes ai .

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.46

As funções Ni a utilizar são, por exemplo

ay3sen

ax3senN;

aysen

ax3sen

ay3sen

axsenN;

aysen

axsenN 321

ππππππππ=+== (b)

sendo consequentemente

ay3sen

ax3sena

aysen

ax3sen

ay3sen

axsena

aysen

axsena 321

ππππππππω +

++=

Calculando as derivadas de w necessárias para efeitos de cálculo da energia potencial

(a), calculando a energia potencial e derivando em ordem às constantes ai , obtém-se:

Dap00000571.0

Dap

729040

a

Dap00005548.0

Dap

4500240

a

Dap004161.0

Dap

90360

a

44

63

44

62

44

61

==

==

==

π

π

π

As operações acabadas de referir podem ser efectuadas por uso do MAPLE, o que facilita

a resolução do problema.

Uma vez conhecidas as constantes obtém-se para a deformada a expressão seguinte:

[ +

++=

aysen

ax3sen

ay3sen

axsen000055.0

aysen

axsen00416.0 ππππππ

ω

]Da 4p

ay3sen

ax3sen0000057.0 ππ

+

Para x=a/2 e y=a/2, obtém-se o deslocamento no centro da placa que é:

Dap004111.0

4

=ω

Comparando este valor, com o valor tabelado no Timoshenko1que é:

Dap00406.0

4

=ω

Constata-se que por uso das funções (b) se obtém uma aproximação razoável, para a

deformada da placa simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuida,

recorrendo ao método de Ritz.

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.47

3.5. Método de Galerkin

3.5.1 Formulação do Método de Galerkin

Consideremos uma equação linear do tipo:

L u = f 3.89

onde L é um operador linear;

u é uma variável desconhecida ou conjunto de variáveis;

f é um vector conhecido.

Admitindo que as condições de fronteira são homogéneas, uma solução aproximada

da equação anterior é:

ii

n

1iau Φ∑=

= 3.90

onde iΦ são funções das coordenadas, isto é são funções de forma que satisfazem as

condições de fronteira.

ia são constantes a determinar impondo a condição:

( ) 0dvfuL iV =Φ−∫ ∫ ∫ 3.91

que representa o princípio variacional a satisfazer pelo vector u. Para o caso de se tratar da equação de Lagrange:

Dp2 =∇ ω ou 0D/p2 =−∇ ω 3.92

1 Stephen P. Timoshenko and S. Woinowski-Krieger, Theory of Plates and Shells , McGRAW-HILL

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.48

admitindo uma solução aproximada:

ii

n

ia Φ∑=ϖ 3.93

e uma vez conhecidas as funções de forma iΦ , as constantes ai são determinadas por

solução do sistema de equações:

0dxdxDp

21i2b

ba

a =Φ

−∇∫∫ −− ϖ 3.94

para i = 1, 2, …, n

Este é portanto o sistema de equações que resulta da aplicação do método de Galerkin à

equação de Lagrange.

3.5.2. Aplicação a uma Placa Rectangular

Resolve-se agora o problema de uma placa encastrada de dimensões 2a e 2b e

submetida a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p, como se representa na

figura 4.4, recorrendo ao método de Galerkin.

As condições de fronteira são:

0=ω e 0x

=∂∂ ω para

axax

=−=

0=ω e 0y

=∂∂ ω para

byby

=−=

3.95

Introduzindo as coordenadas adimensionais ξ e η definidas do seguinte modo:

ax

=ξ e by

=η 3.96

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.49

As condições de fronteira neste sistema de coordenadas adimensionais será:

0=∂∂

=ξω

ω para 1±=ξ

0=∂∂

=ηω

ω para 1±=η 3.97

Considere-se o conjunto de funções seguinte:

( )221 1F −= ξ ; ( )23

2F ξξ −= ; ( )221 1H −= η ; ( )23

2H ηη −= 3.98

As funções de forma iΦ em termos das coordenadas adimensionais 3.97 podem

obter-se considerando produtos adequados das funções 3.98, sendo funções de forma

possíveis as seguintes:

( ) ( )2222111 11HF −−==Φ ηξ

( ) ( )2322212 1HF ηηξ −−==Φ

( ) ( )2223123 1HF −−==Φ ηξξ

( ) ( )2323224 HF ηηξξ −−==Φ 3.99

Por recurso às funções de forma acabadas de definir a equação 3.93 toma a forma

seguinte:

44332211 aaaa Φ+Φ+Φ+Φ=ϖ 3.100

As constantes ai são determinadas a partir da equação 3.94, de acordo com o método

de Galerkin. Note-se que em virtude da mudança de coordenadas efectuada se obtém:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.50

22

2

22

2

2

2

2

2

bayx ηω

ξωωω

ω∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

=∇ 3.101

Atendendo à equação 3.100 e à equação 3.101 o sistema de equações 3.94 toma a

forma seguinte:

( ) 0ddD

pbaaaaab

1

4

44332211

2

2

2

2

2

2

210

10 =Φ

−Φ+Φ+Φ+Φ

∂∂

+∂∂

∫∫ ηξηξ

( ) 0ddD

pbaaaaab

2

4

44332211

2

2

2

2

2

2

210

10 =Φ

−Φ+Φ+Φ+Φ

∂∂

+∂∂

∫∫ ηξηξ

( ) 0ddD

pbaaaaab

3

4

44332211

2

2

2

2

2

2

210

10 =Φ

−Φ+Φ+Φ+Φ

∂∂

+∂∂

∫∫ ηξηξ

( ) 0ddD

pbaaaaab

4

4

44332211

2

2

2

2

2

2

210

10 =Φ

−Φ+Φ+Φ+Φ

∂∂

+∂∂

∫∫ ηξηξ

3.102

Para o caso de ser ( )ba1ab

2

2

== , obtém-se o sistema de equações seguinte:

=

005805.0040635.0040635.028444.0

Dpa

aaaa

118993.0218235.0218235.0135098.0218235.060843.2135098.021588.1218235.0135098.060843.221588.1135098.021588.121588.13747.13

4

4

3

2

1

3.103

Resolvendo o sistema de equações anterior:

( ) ( ) +

−

−

+

−

−

=

23222222

by

by1

ax00534806.01

by1

ax0202319.0ϖ

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.51

( ) ( )D

paby

by

bx

bx00624451.01

by

bx

bx00534806.0

422232223

−

−

+

−

−

O deslocamento máximo obtido, (x = y = 0), é:

=

Dpa0202319.0

4

maxϖ 3.104

Comparando com o valor obtido por séries, que é:

=

Dpa0202.0

4

maxϖ

Verifica-se que os dois valores são de facto muito próximos.

Problemas Propostos

1. Considere uma placa rectangular de dimensões a segundo x1 e b segundo x2 e

sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p. A placa considera-se

simplesmente apoiada ao longo dos lados x1 = 0, x1 = a e x2 = 0 e encastrada para x2 = b. A

placa é considerada isotrópica de espessura t. Determine:

a) A forma da deformada fazendo uso do Método de Levy.

b) As expressões para os momentos flectores e para o momento torsor.

c) Calcule o Momento no bordo encastrado.

Considere para a função Fm(x2) a seguinte expressão:

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.52

( ) [ ]YcoshYDYsenhCYsenhBYcoshA1mapxF mmmm

4

m2m ++++

=

π

com m2 pe

axmY π

= os coeficientes do desenvolvimento em série de senos da carga p.

2. Considere uma placa rectangular de dimensões a segundo x1 e b segundo x2 e

sujeita a uma carga uniformemente distribuida de intensidade p. A placa considera-se

simplesmente apoiada ao longo dos lados x1 = 0, x1 = a e x2 = 0 e livre para x 2= b .A placa

é considerada isotrópica de espessura constante e igual a t. Determine:

a) A forma da deformada fazendo uso do Método de Levy.

b) As expressões para os momentos flectores e para o momento torsor.

Considere para a função Fm(x2) a seguinte expressão:

( ) [ ]YcoshYDYsenhCYsenhBYcoshA1mapxF mmmm

4

m2m ++++

=

π

com m2 pe

axmY π

= os coeficientes do desenvolvimento em série de senos da carga p.

3. Considere uma placa isotrópica rectangular de dimensões a segundo x1 e b

segundo x2 sendo encastrada ao longo do contorno exterior e sujeita a uma carga

uniformemente distribuída de intensidade p. Determine a Deformada e os momentos

considerando o princípio da Sobreposição de Efeitos.

4. Para uma placa simplesmente apoiada ao longo do contorno de dois lados opostos

e livre nos outros dois e para uma placa encastrada ao longo do contorno submetidas a

Métodos Analíticos na Resolução de Placas 3.53

cargas uniformemente repartidas, trace diagramas que mostrem como evoluem a deformada

e os momentos com o quociente a/b. Use o método de Levy.

5. Fazendo uso do Método de Ritz determine a deformada no ponto médio de uma

placa quadrangular, simplesmente apoiada em dois lados opostos e encastrada nos outros

dois, sujeita a uma carga uniformemente distribuida de intensidade p. Use funções de forma

que verifiquem as condições cinemáticas.