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Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 17
FORMULÁRIO
Regime de Juros Compostos
S C J 1 1n
nJ C i
1n
nS C i 1
nn
SC
i
1
1n
nSi
C
LN
LN 1
nS
Cn
i
3.7 Exercícios Propostos1
1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 aplicados por um prazo de 12
meses, a uma taxa de 5% a.a?
Solução 1
1(1 ) 100000 (1 0,05) $105.000,00n
nS C i S R
2) Qual o capital inicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao final
de 1 ano e meio gerar R$ 100.000,00?
Solução
18
100000$ 91.413,62
1 1 0,005
n
n
SC C R
i
3) Qual o prazo de uma aplicação a 5% a.m. que dobra seu capital inicial?
Solução
Observe-se que, caso houvesse sido explicitado a adoção da convenção linear, a parte
fracionária f do prazo deveria ser tal que
14
14
21
1 0,052 1 0,05 1 0,05 0,2027
0,05
14 0,2027 14,2027
C C f f
então n meses
1 Na resolução dos problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias,
salvo menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Compostos, com a adesão à convenção exponencial, salvo menção explicita de adesão à convenção linear.
2LN LN
LN 2 0,6931514,2067
LN 1 LN 1 0,05 LN 1,05 0,04879
nS C
C Cn n meses
i
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 18
4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele
dobre o seu valor num prazo de 10 anos?
Solução 1 1
1021 1 0,07177 7,177% . .
nnS C
i i a aC C
5) Qual o total de juros acumulado, ao final de 7anos, de uma aplicação de
R$ 20.000,00, à taxa de juros de 5% a.a.?
Solução
7
1 1 20000 1 0,05 1 $ 8,142,01n
nJ C i R
6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias
resgatou R$ 1.033.650,00 brutos.
a) Qual foi a taxa mensal de juros composto auferida pelo investidor?
b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações
financeiras for aplicada sobre o rendimento auferido, antecipadamente e
postecipadamente?
Solução
a)
1 30
18310336501 1 0,053994 5,3994% . .
750000
nnS
i i ou a mC
b) IOF Antecipada
1 1
183
1033650 750000 283650
0,10 283650 28365
750000 28365 $ 778.365,00
1033650
10336501 1 0,001551 0,1551% . .
778365
n n
líquido
n n
líquido nn
S C J J S C
T t J
Desembolso inicial C T R
S S
Si i ou a d
C T
Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo,
pois, conhecido na data da aplicação.
IOF Postecipada
1 1
183
1033650 750000 283650
0,10 283650 28365
1033650 28365 1005285
10052851 1 0,001602 0,1602% . .
750000
líquido
n n
líquido nn
l
S C J J S C
T t J
S S T
Si i ou a d
C
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 19
7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, à taxa
de juros compostos de 22% a.a., se for pago imposto de renda, com a alíquota de 20%
incidindo sobre os juros, no resgate da aplicação, considerando:
a) a Convenção Exponencial?
b) a Convenção Linear?
Solução
a) Considerando a Convenção Exponencial
5
125/12 5/12
5/12 5/12
5/12 5/12
(1 ) 1 1
1 1 8000 1 0,22 1 691,07
8000 691,07 8691,07
8691,07 0,2 691,07 8552,86
nn
n n
n n n n
n
S C i e J C i
S S T S t J
J C i J
S C J
S S t J
b) Considerando a Convenção Linear
5/12
5/12 5/12
5/12 5/12 5/12
(1 )
58000 0,22 733,33
12
8000 733,33 8733,33
8733,33 0,2 733,33 8586,66
n
n n
n n n n
S C i e J C i n
S S T S t J
J C i n
S C J
S S t J
na parte fracionária
8) Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros composto de 1% a.m. pelo prazo de 50 meses.
Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 1,5% a.m.
referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de
R$ 190.725,49. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das
taxas , considerando a Convenção Exponencial?
Solução
1 1
1
1 1 1
1
1 2
50 50
50
(1 ) , 1 1 , 50
1 1 100000 1 0,01 1
1 1 100000 1 0,01 1 0,015 1
nn
n n
n n
n
n n n
n
S C i J C i n n
J C i
J S i
Alternativa 1
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 20
1
1 1 1
1 1 1
1
50 50
50
50
100000 190725,49
190725,49 100000 100000 1 0,01 1 100000 1 0,01 1 0,015 1
190725,49 100000 100000 1,01 100000 100000 1,01 1 0,015 1
190725,49 100000 1,01 1 1,01
n
n n n
n n n
n
S J J
1 1 150 505 1 100000 1,01 1,015
n n n
Alternativa 2
1 2
1 1 1 1
50 1 2
50 50
1 2
100000 1 1 190725,49
190725,49 100000 1 1 100000 1,01 1,015
n n
n n n n
S i i
i i
Logo
1 1 1 150 50
1 1
1 1
1
1 1
1,9072549 1,01 1,015 LN 1,9072549 LN 1,01 1,015
LN 1,9072549 LN 1,01 50 LN 1,015
0,64566 0,00995 50 0,01489 0,01489
0,64566 0,00494 0,74450
0,098840,00494 0,09884 20
0,00494
n n n n
n n
n n
n
n n meses
2 30n meses
9) Uma pessoa realizou dois investimentos com o mesmo capital inicial de
R$ 3.000,00, em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo taxas de
juros idênticas. Sabendo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; que a
diferença entre os prazos é de 20 dias; e que uma rendeu de juros R$ 806,02 a mais
que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros diária
obtida.
Solução
1 2
1 2
1 2 2 1
1 2 1 1 1 1 2
40 20
2 1
40 20
40 20
3000 1 1 ; 3000 1 1 ;
20 20
60 20 60 2 40 20 40
806,02 3000 1 1 3000 1 1 806,02
3000 1 1 1 1 806,02
806,021 1 0,
3000
n nJ i J i
n n n n
n n n n n n n
J J i i
i i
i i
2
40 20 20 20
26867
1 1 0,26867 0 1 1 0,26867 0i i i i
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 21
20
12
2
1
1,220191 1 4 0,268670,26867 0
0,220192
fazendo y i temos
yy y y
y
y
Como é um número elevado a uma potência inteira par,
ele nunca pode ser negativo. Logo, a segunda raíz deve ser desprezada.
20
201 1,22019 1,22019 1 0,01 1% . .y i i a d
10) Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras
(IOF), no recebimento do rendimento, a uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o
mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida
semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido no fim do 1º
semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período?
Solução
O rendimento líquido em cada semestre, do investimento inicial, é dado por:
1 1
1 1 1 100000 1 0,15 1 1 0,015 14775lJ C i t
O rendimento líquido no 2º semestre, do juros líquidos reinvestidos, é dado por:
1 1
1 1 1 14775 1 0,15 1 1 0,015 2183,01l lJ J i t
Logo, no resgate, o aplicador recebe:
1 12 100000 2 14775 2183,01 131733,01nS E J J
O esquema abaixo representa o fluxo de caixa do investimento.
Logo a taxa líquida semestral é dada por:
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 22
1 1
2
2 2
131733,011 1 0,14775 14,775 . .
100000
2 14775 2183,010,31733 31,733 .
100000
1 1 1 0,14775 1 0,31733 1,
nn
l
l
s a
Si a s
C
ou
Jurosi a a
Capital
i i
Lógico que estas taxas são equivalentes, já que:
31733
11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções:
i. R$ 1.800,00 à vista.
ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00.
iii. R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00.
iv. 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses.
Pede-se:
a) qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros
composto de 4% a.m. e data focal na data da compra?
b) qual a taxa de juros compostos, que está embutida em cada um dos 3 planos de
compra à prazo?
Solução
A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente; isto é, na
data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções, temos:
a) qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros
composto de 4% a.m. e data focal na data da compra?
i. Como o valor é a vista, 1800aVP
ii.
1 2 3
600 600 600300 1965,05
1 0,04 1 0,04 1 0,04bVP
iii.
1 2 3
500 500 500500 1887,55
1 0,04 1 0,04 1 0,04cVP
iv.
3 4 5 6 7
8 9 10
275 275 275 275 275
1 0,04 1 0,04 1 0,04 1 0,04 1 0,04
275 275 2751711,82
1 0,04 1 0,04 1 0,04
dVP
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 23
Logo a melhor opção para o comprador é a opção iv.
b) qual a taxa de juros compostos, que está embutida em cada um dos 3 planos de
compra à prazo?
i. Como o valor é à vista, 1800aVP
ii.
1 2 3
600 600 600300 1800 9,701% . .
1 1 1Valor à Vista i a m
i i i
Usando a função IRR da HP 12C, temos os seguintes comandos:
[f] [REG] –1500[CHS][g][CF0 ] 600[g][CFj]3[g][Nj] [f][IRR]9,701
A planilha abaixo mostra o cálculo utilizando a função TIR do Excel
iii.
1 2 3
500 500 500500 1800 7,511% . .
1 1 1Valor à Vista i a m
i i i
Usando a função IRR da HP 12C, temos os seguintes comandos:
[f] [REG] –1300[CHS][g][CF0 ] 500[g][CFj]3[g][Nj] [f][IRR]7,511
A planilha abaixo mostra o cálculo utilizando a função TIR do Excel
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 24
iv.
3 4 5 6 7
8 9 10
275 275 275 275 275
1 1 1 1 1
275 275 2751800 3,176% . .
1 1 1
Valor à Vistai i i i i
i a mi i i
Usando a função IRR da HP 12C, temos os seguintes comandos:
[f] [REG] –1800[CHS][g][CF0]0[g][CFj] 2[g][Nj]275[g][CFj]8[g][Nj]
[f][IRR]3,176
A planilha abaixo mostra o cálculo utilizando a função TIR do Excel
12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e
R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado lhe pagará juros compostos à taxa de 10% ao
trimestre, qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12?
Solução
2 1
2 2000 1 0,10 3000 1 0,10 $ 5.720,00S R
13) João faz uma aplicação de R$ 500,00, pelo prazo de um ano, à taxa de 18% a.s.. Qual a taxa
de juros ao ano que resultaria no mesmo montante no mesmo período?
Solução
2
2
1
1 500 1 0,18 696,20
696,20696,20 1 696,20 500 1 1 0,39240 39,24% . .
500
n
n s
n
a a a
S C i S
então
C i i i a a
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 25
14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e
R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente
financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de
dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação
se faça à taxa de 5%a.t., qual o valor dos novos pagamentos?
Solução
A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual à soma dos valores
atuais dos pagamentos propostos.
1 3 4 5
120000 80000
1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
114285,71 69107,01 0,8227 0,78353
183392,721,60623 183392,72 $114.175,88
1,60623
P P
P P
P P R
15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e
R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento
daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros
compostos de 10% ao ano, com convenção exponencial?
Solução
A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do
pagamento proposto.
2 3 4 1
12 12 12 12
50000 100000 20000
1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1
49212,02 97645,41 19374,59 0,99209
166232,020,99209 166232,02 $167.557,40
0,99209
P
P
P P R
16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão R$12.000,00,
com prazo de vencimento igual a dois anos, taxa de rendimento bruta 10% . .bi a a ,
e tributo cobrado à alíquota de 10%, sobre cada rendimento; com o título sendo
negociado com deságio de 7%.
a) Considerando que os rendimentos são pagos anualmente, pede-se determinar a taxa
anual de rentabilidade líquida se o tributo não levar em conta o deságio.
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 26
b) O tributo levar em conta o deságio, com o rendimento só sendo pago no resgate do
título; ocasião onde é apurado o lucro contábil e cobrado o tributo.
Solução
a)
Não sendo considerado o deságio, para fins do cálculo do tributo, o fluxo de caixa é:
Data 0: 0 1 12000 1 0,07 11160CF E
Data 1: 1 1 12000 0,1 12000 0,1 0,1 $1.080,00CF J T E i E i R
Data 2: 2 1 $13.080,00CF E J T E E i E i R
Sendo que a taxa anual líquida de rentabilidade, ie , é tal que:
2
2
2
2
2
1080 1308011160 0 11160 1 1080 1 13080 0
1 1
1 11160 1080 13080 0
1080 1080 4 11160 13080
2 11160
1080 1080 4 11160 13080 1080 24187,9641,1321
2 11160 2 11160
:
e e
e e
e
i ii i
se y i y y
y
y
obs
só a r
1 1,1321 0,1321 13,21% . .e ey i i ou a a
aiz positiva tem significado financeiro.
b)
2
2 2
2 2 2
2 2
1
1
1 1 12000 1 0,1 1 2520
1 (1 ) 1 1 12000 1,1 1 0,07 3360
0,1 3360 336
1 12000 1 0,1 336 14184
1 0,93 12000 11160
11
b
b
b b
b
n
l
N E i T
R E i
LC E i E E i
T t LC
N E i T
V E
Ni
V
1
241841 0,1274 12,74% .
11160ou a a
17) Seja uma instituição financeira que esteja emitindo títulos com prazo de 2 anos e taxas
brutas de rentabilidade de 18% ao ano.
a) Em sendo cobrado imposto de renda no resgate à uma alíquota de 15%, qual será a
taxa anual de rentabilidade líquida para o investidor?
b) Supondo que o investidor demande uma taxa líquida de rentabilidade de 17 % a.a.,
quanto deverá ser concedido de deságio se o deságio for ou não considerado para fins
de imposto de renda?
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 27
Solução
a)
2
2 2
2 2
1 1
2
1 ;
1 1 1 0,18 1 0,3924
0,15 0,3924 0,05886
1 1 0,18 0,05886 1,33354
1,333541 1 0,15479 15,479% .
b
b
b
n
l
N E i T V E
R E i E E
T t R E E
N E i T E E E
N Ei a a
V E
b) Deságio não considerado para fins imposto de renda
2
2 2
2 2
112
1
2
1 ; 1
1 1 1 0,18 1 0,3924
0,15 0,3924 0,05886
1 1 0,18 0,05886 1,33354
1,333541 1
1
1,33354 1,333540,17 1 1,17
1 1
b
b
b
n
l
N E i T V E
R E i E E
T t R E E
N E i T E E E
N Ei
V E
1
22 1,33354
1,171
1,3689 1 1,33354 1,3689 1,3689 1,33354
0,035360,02583 2,583%
1,3689
Deságio considerado para fins imposto de renda
2
2 2
2 2 2
2 2
1 ; 1
1 1 1 0,18 1 0,3924
1 (1 ) 1 1 1,18 1 0,3924
0,15 0,3924 0,05886 0,15
1 1,18 0,05886 0,15 1,33354 0,15
b
b
b b
b
l
N E i T V E
R E i E E
LC E i E E i E E
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N E i T E E E
i
1121,33354 0,15
1 11
n EN
V E
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 28
1
22
1,33354 0,15 1,33354 0,150,17 1 1,17
1 1
1,3689 1 1,33354 0,15 1,2189 0,03536
0,035360,02901 2,901%
1,2189
E
E
ou
18) Certo indivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, cobrando juros
compostos, possui em sua Carteira de Investimentos as seguintes quatro notas
promissórias:
a) A primeira, com valor de face de R$ 1.000,00, termo de 8 meses a juros
compostos de 5% ao mês, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje.
b) A segunda, com valor de face de R$ 2.000,00, termo de 10 meses a juros
compostos de 80% ao ano, sendo datada de 3 meses antes da data de hoje.
c) A terceira com valor nominal de R$ 1.500,00, vencendo-se de hoje a 3 meses.
d) A quarta com valor nominal de R$ 3.000,00, vencendo-se de hoje a 6 meses.
Tendo o indivíduo recebido a proposta de vender as quatro notas promissórias
em questão, por R$ 6.400,00, pagáveis à vista, deve ou não aceitar a proposta se,
na data de hoje, consegue fazer empréstimos cobrando a taxa de juros compostos
de:
i. 6% ao mês
ii. 8% ao mês
Solução
Calculando o valor nominal das notas promissórias
8
10
12
1000 1 0,05 1477,46
2000 1 0,8 3264,05
1500
3000
a
b
c
d
N
N
N
N
, seis meses após a data de hoje (0)
, sete meses após a data de hoje (0)
, três meses após a data de hoje (0)
, seis meses após a data de hoje (0)
I. Taxa de 6% ao mês, na data de hoje
O valor atual das notas promissória é:
6 7 3 6
1477,46 3264,05 1500 30006586,64
1 0,06 1 0,06 1 0,06 1 0,06VP
Logo, como R$ 6.586,64 é maior que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se recusar a
oferta.
Capitulo 3 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 29
II. Taxa de 8% ao mês, na data de hoje
O valor atual das notas promissória é:
6 7 3 6
1477,46 3264,05 1500 30005916,85
1 0,08 1 0,08 1 0,08 1 0,08VP
Logo, como R$ 5,916,85 é menor que o valor oferecido, R$ 6.400,00, deve-se aceitar a
oferta.
19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro
usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações
mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a
taxa de juros compostos do financiamento é de 2% a.m., qual o valor da avaliação do carro
usado?
Solução
Na data de hoje, a equação de valor é:
1 2 3 4 5
2600 2600 2600 2600 260020000
1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02
20000 2549,02 2499,04 2450,04 2402,00 2354,90 12255,00
20000 12255,00 $ 7.745,00
usado
usado
usado
V
V
V R
20) Uma aplicação no regime de juros compostos durante o prazo de 5 meses, rende juros à
taxa de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no
resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00?
Solução
5
125/12 1 1 8000 1 0,22 1 691,07
0,2 691,07 138,21
8000 691,07 138,21 8552,86
n
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