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7/23/2019 Capítulo 3 Vetores
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Capítulo 3 Vetores
Escalares e Vetores
Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor. São especificadas
por um número com uma unidade (10°C por eemplo! e o"edecem #s re$ras da aritm%tica e da
al$%"rica comum. &s $randezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um m'dulo e uma
orientaão ()m pra cima, por eemplo! e o"edecem #s re$ras de *l$e"ra vetorial.
Soma Geom%trica de Vetores
+ois vetores a e b podem ser somados $eometricamente desenando-os na
mesma escala e posicionando-os comom etremidade de um na ori$em do outro. vetor /ue
li$a a ori$em do primeiro # etremidade do se$undo % o vetor soma, s . ara su"stituir " de a
invertemos o sentido de b para o"ter - b e somamos - b e a . a soma vetorial %
comutativa e associativa.
em"re-se do m%todo para somar vetores $eom%tricamente2
1. +esene o vetor a em uma escala coveniente e no 3n$ulo apropriado4
5. +esene o vetor b na mesma escala, com ori$em na etremidade do vetor a ,
tam"%m no 3n$ulo apropriado4
6. vetor soma s % o vetor /ue vai da ori$em de a at% a etremidade de b .
Lei comutativa
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Lei associativa
Subtração vetorial
+ois vetores com o mesmo m'dulo, mesma direão mas com sentidos opostos, a soma
vetorial dos dois ser* zero, ou se7a, b 8 (- b ! 9 0
Sendo assim podemos ter2
Componentes de vetores
&s componentes (escalares! a e a : de um vetor "idimensional a em relaão ao
eio de um sistema de coordenadas : são o"tidas traando retas perpendiculares aos eios a
partir da ori$em e da etremidade de a . &s componentes são dadas por2
a x=a.cosθ
a y=a.senθ
nde ; % o 3n$ulo entre a e o semi-eio de positivo. sinal al$%"rico de uma componente
indica seu sentido eem relaão ao eio correspondente, dadas as componentes, podemos
encontrar o m'dulo e a orientaão de um vetor a atrav%s das e/ua<es
a=√ a x
2+a x
2 e tanθ=
a x
a y
=otaão com Vetores >nit*rios
s vetores unit*rios i , j e k t?m m'dulo unit*rio e sentido i$ual ao sentido positivo
dos eios , : e z, respctivamente, em um sistema de coordenadas dextrogiro. odemosepressar um vetor em termos de vetores unit*rios como
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a=a x i+a y j+a z k
nde a x i , a y j e a z k são componentes vetoriais de a , e a x , a y e a z são
componentes escalares.
Soma de vetores na forma de componentes
ara somar vetores na forma de componentes, usamos as re$ras, ou se7a2
1. +evemos o"ter as componentes ealares dos vetores4
5. +evemos com"inar essas componentes escalares, eio por eio, para o"ter as
componentes do vetor soma r 4
6. +evemos com"inar as componentes de r para o"ter o valor de r . @sso pode ser
feito de duas maneiras2 podemos epressar r em termos dos valores unit*rios ou
atrav%s da notaão m'dulo-3n$ulo4
nde a e b são vetores a serem somados e d % o vetor soma.
roduto de um escalar por um vetor
produto de um escalar s por um vetor v % um vetor m'dulo sv com a mesma orientaão de
v se s % positivo e com direão oposta se s for ne$ativo. ara dividir
v por s,
multiplicamos v .1
s.
roduto escalar
produto escalar de dois vetores a e b % representado por a . b e % i$ual #
$randeza escalar dada por2
a . b=a . bcosɸ
nde ɸ % o menor dos 3n$uloos entre as dire<es de a e b . produto escalar % om
produto do m'dulo de um dos vetores pela componente escalar do outro em relaão ao primeiro.
Em termos dos vetores unit*rios,
a . b=( a x i+a y j+a z k ) .(b x i+b y j+b z k )
nde pode ser expandida de acordo com a lei distributiva. =ote a. b=b .a .
roduto Vetorial
produto vetorial de dois vetores a e b , representado por a x b % o menor vetor ccu7o o c % dado por
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a b=a. bs enɸ
nde ɸ % o menor dos 3n$uloos entre as dire<es de a e b . & orientaão de c %
perpendicular ao plano definido por a e b , e % dada pela regra da mão direita, como
mostra a fi$ura Ai$. 6-51. =ote /ue
a b
b=−¿
a¿ . Em termos dos vetores
untit*rios,
a b=(a x i+a y j+a z k ) x (b x i+b y j+b z k )
Bue pode ser epandida de acordo com a lei distri"utiva.