UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICAFTQ023 – FENÔMENOS DE TRANSPORTE III

DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Prof. Nazareno Braga

Manaus, 2015.

CAPÍTULO 4

ÍNDICE

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃOQUÍMICA

4.1 Difusão através de um gás estagnado4.2 Difusão pseudo-estacionária através de um gás estagnado4.3 Contra-difusão equimolar4.4 Difusão com variação de área

2Prof. Nazareno Braga

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade mássica de um soluto A

Considerando o volume de controle (∆x∆y∆z) através do qual uma mistura, incluindo o componente A, está escoando.

Prof. Nazareno Braga 3

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade mássica de um soluto A

Balanço material:

Massa de A transferida através da superfície de controle (área) ∆y∆z

Em termos de fluxo:

Taxa líquida mássica do componente A:

Direção x �

Direção y �

Direção z �

Prof. Nazareno Braga 4

Taxa de massa queentra no volume de

controle

Taxa de massa quesai do volume de

controle

Taxa de produção/consumo de

massa no volume de controle

Taxa de acúmulo de massa no volume

de controle

_ + =

ρAvA,x∆y∆z

nA,x∆y∆z

nA,x x+∆x∆y∆z− nA,x x

∆y∆z

nA,y y+∆y∆x∆z− nA,y y

∆x∆z

nA,z z+∆z∆x∆y− nA,z z

∆x∆y

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade mássica de um soluto A

Taxa de acúmulo de A no volume de controle:

Produção de A dentro do volume de controle devido à uma reação química, para umataxa rA (massa de A/volume.tempo):

Substituindo cada termo na equação de balanço:

Dividindo pelo volume ∆x∆y∆z e cancelando os termos:

Prof. Nazareno Braga 5

∂ρA

∂t∆x∆y∆z

rA∆x∆y∆z

−[nA,x x+∆x∆y∆z− nA,x x

∆y∆z+ nA,y y+∆y∆x∆z− nA,y y

∆x∆z+

nA,z z+∆z∆x∆y− nA,z z

∆x∆y]+ rA∆x∆y∆z=∂ρA

∂t∆x∆y∆z

nA,x x+∆x− nA,x x

∆x+

nA,y y+∆y− nA,y y

∆y+

nA,z z+∆z− nA,z z

∆z− rA = −

∂ρA

∂t

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade mássica de um soluto A

Aplicando o limite para ∆x, ∆y e ∆z tender a zero:

Coordenadas retangulares:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

Prof. Nazareno Braga 6

∂ρA

∂t+

∂nA,x

∂x+

∂nA,y

∂y+

∂nA,z

∂z= rA

∂ρA

∂t= −

∂nA,x

∂x+

∂nA,y

∂y+

∂nA,z

∂z

+ rA

∂ρA

∂t= −

r∇⋅

rnA + rA

∂ρA

∂t= −

∂nA,x

∂x+

∂nA,y

∂y+

∂nA,z

∂z

+ rA

∂ρA

∂t= −

1

r

∂ rnA,r( )∂r

+1

rsenθ

∂nA,θ

∂θ+

∂nA,z

∂z

+ rA

∂ρA

∂t= −

1

r 2

∂ r 2nA,r( )∂r

+1

rsenθ

∂ senθnA,θ( )∂θ

+1

rsenθ

∂nA,φ

∂φ

+ rA

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade molar de um soluto A

Dividindo a equação da continuidade mássica pela massa molecular do soluto MA.

Coordenadas retangulares:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

Prof. Nazareno Braga 7

∂CA

∂t= −

r∇⋅

rNA + RA

∂CA

∂t= −

∂NA,x

∂x+

∂NA,y

∂y+

∂NA,z

∂z

+ RA

∂CA

∂t= −

1

r

∂ rNA,r( )∂r

+1

rsenθ

∂NA,θ

∂θ+

∂NA,z

∂z

+ RA

∂CA

∂t= −

1

r 2

∂ r 2NA,r( )∂r

+1

rsenθ

∂ senθNA,θ( )∂θ

+1

rsenθ

∂NA,φ

∂φ

+ RA

4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA

Equação da continuidade do soluto A em termos da lei da difusão

Fluxo molar de A:

Escrevendo na forma vetorial:

Substituindo na eq. da continuidade:

Prof. Nazareno Braga 8

∂CA

∂t= −

r∇⋅

rNA + RA

NA = JA

* +CAv*

M

rNA = −DAB

r∇CA +CA

rv*

M

∂CA

∂t= −

r∇⋅ −DAB

r∇CA +CA

rv*

M

+ RA

∂CA

∂t+r∇[CA

rv*

M ] =r∇⋅ DAB

r∇CA

+ RA

∂ρA

∂t+r∇[ρA

rvM ] =

r∇⋅ DAB

r∇ρA

+ rA

acúmulo convecção difusão reação

4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 9

• Mistura binária: A – B• Gás estagnado: NBz=0• P e T constantes

Equação do fluxo total de A:

Equação do fluxo total de A através de um gás estagnado:

Balanço de massa (molar) no estado estacionáriodo elemento A que atravessa o volume S∆z:

Dividindo por S∆z e fazendo ∆z � 0

NAz = −CDAB

dxA

dz+

CA

CNAz + NBz( )

NAz = −CDAB

dxA

dz+ xA NAz( )

NAz = −CDAB

1− xA( )dxA

dz

SNAz z− SNAz z+∆z

= 0

−dNAz

dz= 0

4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 10

Substituindo a eq. do fluxo de A:

Simplificando, C e DAB=cte

Integrando:

Integrando novamente:

Aplicando as condicões de contorno:

C.C.1: z=z1, xA=xA1C.C.2: z=z2, xA=xA2

−d

dz−

CDAB

1− xA( )dxA

dz

= 0

−dNAz

dz= 0

d

dz

1

1− xA( )dxA

dz

= 0

1

1− xA( )dxA

dz

= C1

− ln 1− xA( ) = C1z+C

2

1− xA

1− xA1

=

1− xA2

1− xA1

z−z1

z2−z1

4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 11

Taxa de transferência de massa na interface L-G ou taxa de evaporação

NAz z=z1

= −CDAB

1− xA1( )dxA

dz z=z1

= 0

4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 12

Exercício: Escreva a equação da continuidade molar de A já na forma simplificada e as condições decontorno para a seguinte situação.

Um certo gás se difunde numa película estagnada de ar seco de 0,5 cm de profundidadeem um capilar que contém um certo ácido. Ao atingi-lo o gás é absorvidoinstantaneamente. A concentração do gás na boca do recipiente é 0,25% em mols.

Hipóteses:

4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 13

Difusão de uma gotícula esférica

• Balanço de massa em estado estacionário:

T= cte, C e DAB=cte

Taxa molar de A através da superfície esférica

d

drr 2NAr( ) = 0

r1

r2

d

drr 2 CDAB

1− xA

dxA

dr

= 0

1− xA

1− xA1

=

1− xA2

1− xA1

1/r1( )− 1/r( )1/r1( )− 1/r2( )

WA = 4πr 2

1NAr

r=r1=

4πCDAB

1/ r1−1/ r

2( )ln

1− xA2

1− xA1

Gota de líquido A

Filme gasoso

4.2. DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO

Prof. Nazareno Braga 14

Caso: difusão de vapor d’água em um tubo estreito

• Nível de líquido cai lentamente

• Assumindo estado pseudo-estacionário

Encontrar equação para tF para que o nível cai do ponto z0 em t=0 para zF a t=tF.

z = f (t) �

Nível variando:

Igualando as eqs.:

NA =DABP

RT z2

− z1( )

lnP− pA2

P− pA1

NA =DABP

RTzln

P− pA2

P− pA1

NA =ρA

MA

dz

dt

ρAdz

MAdt=

DABP

RTzln

P− pA2

P− pA1

⇒

ρA

MA

zdzz0

zF

∫ =DABP

RTln

P− pA2

P− pA1

dt

0

tF

∫ ⇒ tF =ρA z2

F − z2

0( ) RT

2MADABPlnP− pA2

P− pA1

4.3 CONTRA-DIFUSÃO EQUIMOLAR

Na contra-difusão equimolar temos:

• Regime permanente• Sem reação química• Ca = f (z)

Condições de contorno:Z=z1 � Ca=Ca1Z=z2 � Ca=Ca2

Prof. Nazareno Braga 15

NAz = −NBz

A B

NA = −CDAB

dxA

dz+

CA

CNA + NB( )

NA = −DAB

dCA

dz

−dNAz

dz= 0 −

d

dz−DAB

dCA

dz

= 0

d2CA

dz2= 0 CA −CA1

CA2− CA1

=z− z

1

z2

− z1

4.4 DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA

Casos em que a A transversal pela qual a difusão ocorre varia.

Definimos:

NA em kmol/s.No estado estacionário é constante, mas não , pois a A irá variar.

P/ r2 >>> r1:

Prof. Nazareno Braga 16

NA =NA

A

NANA

NA =NA

4π r 2

NA = −CDAB

1− xA

dxA

dr= −

DAB

RT

dpA

1−pA

P

dr

NA

4πr 2= −

DAB

RT

dpA

1−pA

P

dr

⇒NA

4π

1

r 2dr

r1

r 2

∫ = −DAB

RT

dpA

1−pA

P

pA1

pA2

∫ ⇒NA

4π

1

r1−

1

r2

=

DABP

RTln

P− pA2

P− pA1

⇒ NA = 4πr1( )DABP

RTln

P− pA2

P− pA1

⇒ NA =

NA

4π r 2

1

=

4π r1( )DABP

RTln

P− pA2

P− pA1

4π r 2

1