Capitulo 7 Medidas Eletricas Fabiobleao

Captulo 7 Wattmetros Prof. Fbio Bertequini Leo / Srgio Kurokawa

1

Captulo 7 - Wattmetros

7.1 Introduo

Os wattmetros eletromecnicos pertencem uma classe de instrumentos denominados instrumentos eletrodinmicos.

Os instrumentos eletrodinmicos possuem dois circuitos independentes que permitem que os mesmos sejam utilizados como ampermetros, voltmetros, wattmetros (medidores de potncia ativa) e varmetros (medidores de potncia reativa).

O torque produzido nestes instrumentos surge de foras magnticas produzidas por correntes eltricas que circulam em duas bobinas, sendo que uma bobina fixa e a outra mvel.

O princpio de funcionamento pode ser explicado, qualitativamente, com base no galvanmetro de dArsonval (galvanmetro de bobina mvel) onde o im permanente substitudo pela bobina fixa. Esta bobina disposta de modo tal que o campo magntico produzido pela corrente que circula na mesma seja praticamente uniforme. A Figura 7.1 ilustra uma representao esquemtica de um instrumento eletrodinmico.

Figura 7.1: Esquema de um instrumento eletrodinmico.

Na Figura 7.1 a bobina fixa C dividida em duas partes, sendo que o campo magntico que envolve a bobina mvel P praticamente uniforme. A interao do campo, produzido na bobina fixa C pela corrente ic, com a corrente ip que circula na bobina mvel P, resulta em um torque (de modo semelhante ao observado no galvanmetro de dArsonval). O ponteiro ento


2

sofre um deslocamento angular at uma posio tal que o torque resultante seja anulado pelo torque produzido pela mola. A escala pode ser calibrada em volts (V), ampres (A), watts (W) ou volt-ampre reativo (Var) dependendo da maneira como as bobinas so conectadas.

7.2 Expresso do Torque para Instrumentos Eletrodinmicos

A energia armazenada no campo magntico do sistema mostrado na Figura 7.1 expressa por:

2 21 12 2c c p p c p

W L i L i M i i= + + (7.1)

Na equao (7.1) Lc e Lp so respectivamente, as indutncias prprias das bobinas C e P e M a indutncia mtua devido ao acoplamento magntico entre estas bobinas. As correntes ic e ip so, respectivamente, as correntes nas bobinas C e P.

O torque instantneo, ao qual submetida a bobina P, dado por:

WT= (7.2)

Na equao (7.2) a posio angular do ponteiro que est acoplado bobina P. Portanto, a partir de (7.1), o torque instantneo em funo de ser escrito como sendo:

c pMT i i

= (7.3)

Observe que a derivada dos dois primeiros termos de (7.1) nula devido a indutncia mtua ser uma funo de mas as correntes ic e ip e as indutncias prprias Lc e Lp no. Isto

porque a indutncia mtua depende da permencia magntica do meio de acoplamento magntico das bobinas (neste caso o ar) e esta permencia varia em funo do descolamento do ponteiro de um ngulo (rotao da bobina P).

Sabe-se que o ponteiro ser deslocado at uma posio angular tal que o torque produzido pelas correntes ic e ip seja igual ao torque restaurador TR produzido pela mola. Ento teremos:

R c pMT T S i i

= =

1c p

M i iS

=

(7.4)


3

O instrumento pode ser construdo de modo tal que o termo M seja constante. Deste

modo a posio angular do ponteiro torna-se:

1c pi ik

= (7.5)

A expresso (7.5) mostra a posio angular instantnea do ponteiro. Conforme apresentado no captulo 6, em regime permanente, o ponteiro do galvanmetro de bobina mvel (sendo o sistema eletrodinmico de funcionamento equivalente) alcana uma posio fixa que corresponde ao valor mdio de . Deste modo, a posio final av do ponteiro de um instrumento

eletrodinmico ser dada por:

0

1 Tav dtT

= (7.6)

Sendo:

av: Posio angular mdia do ponteiro;

T: Perodo do movimento angular do ponteiro.

Substituindo (7.5) em (7.6) teremos:

0

1 1 Tav c pi i dtk T

=

(7.7)

Exemplo 1: Mostre que o instrumento eletrodinmico mostrado na Figura 7.2 pode ser utilizado como um ampermetro que mede valor RMS verdadeiro.

Figura 7.2: Instrumento eletrodinmico como ampermetro.


4

7.3 Wattmetros

As Figuras 7.3 e 7.4 ilustram duas configuraes bsicas que possibilitam a utilizao de um instrumento eletrodinmico como sendo um medidor de potncia ativa (wattmetro).

Figura 7.3: Configurao A.

Figura 7.4: Configurao B.

Nas Figuras 7.3 e 7.4 C e P so as bobinas de corrente e potencial, respectivamente. A bobina de corrente possui uma resistncia que representada pelo resistor Rc e a bobina de potencial possui uma resistncia Rp. O resistor Rext uma resistncia externa (de valor elevado) que deve ser conectada em srie com a bobina de potencial.


5

7.3.1 Wattmetros na Configurao A

A Figura 7.5 mostra um wattmetro na configurao A conectado a uma carga genrica.

Figura 7.5 Wattmetro na Configurao A

Na Figura 7.5 ic(t) e ip(t) so, respectivamente, as correntes nas bobinas de corrente e de potencial. A carga est submetida a uma tenso e(t) e a corrente que circula na mesma i(t). A posio angular do ponteiro do wattmetro obtida a partir da equao (7.7) considerando um instante de tempo t qualquer. Desta forma temos:

0

1 1 ( ) ( )Tav c pi t i t dtk T

=

(7.8)

Do circuito da Figura 7.5 temos ainda que:

( ) ( ) ( )c pi t i t i t= + (7.9)

Substituindo (7.9) em (7.8) fica:

( )0

1 1 ( ) ( ) ( )Tav p pi t i t i t dtk T

= +

2

0 0

1 1 ( ) ( ) ( )T Tav p pi t dt i t i t dtk T

= + (7.10)

Desprezando a reatncia da bobina P, a corrente ip(t) pode ser escrita como sendo:

( )( )pp ext

e ti tR R

=

+ (7.11)

Substituindo (7.11) em (7.10) temos:


6

( )2

20 0

1 1 ( ) 1 ( ) ( )T Tavp extp ext

e t e tdt i t dtk T T R RR R

= +

+ +

( ) ( )2

0 0

1 1 ( ) 1 ( ) ( )av

dA

T T

av

p ext p extP

P

e t dt e t i t dtT Tk R R R R

= +

+ +

144424443

144424443

(7.12)

Na equao (7.12) PdA a potncia mdia (ativa) dissipada na resistncia Rp da bobina de potencial e na resistncia externa Rext enquanto que Pav a potncia mdia (ativa) fornecida para a carga. Portanto, independente da carga ou da forma de onda da tenso aplicada no circuito, a posio angular do ponteiro do wattmetro da Figura 7.5 proporcional soma da potncia mdia fornecida para a carga com a potncia mdia dissipada no instrumento.

7.3.2 Wattmetros na Configurao B

A Figura 7.6 mostra um wattmetro na configurao B conectado a uma carga genrica.

Figura 7.6: Wattmetro na Configurao B A posio angular do ponteiro do wattmetro na Figura 7.6 dada por:

0


=

(7.13)

Desprezando as reatncias das bobinas C e P e considerando o somatrio de tenses na malha I da Figura 7.6 temos:

( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0p c p ext p c cv t v t e t R R i t R i t e t = + =


7

( ) ( )( ) c cpp ext

e t R i ti tR R

+ =

+ (7.14)

Substituindo (7.14) em (7.13) fica:

( )0

( ) ( )1 1 ( )T c cav cp ext

e t R i ti t dt

k T R R

+ =

+

( )2

0 0

1 1 1( ) ( ) ( )av dB

T T

av c c c

p extP P

e t i t dt R i t dtT Tk R R

= + +

144424443 144424443

(7.15)

A equao (7.15) mostra que o deslocamento angular do ponteiro do wattmetro, na configurao B, proporcional soma da potncia mdia (ativa) Pav fornecida para a carga com a potncia dissipada PdB no instrumento.

7.3.3 Anlise das Perdas no Wattmetro

Foi mostrado na seo anterior que, na configurao A, o valor da medida fornecida pelo wattmetro inclui as perdas na bobina de potencial e que na configurao B a leitura inclui as perdas na bobina de corrente.

Na configurao A, conforme a equao (7.12) as perdas no instrumento so escritas como sendo:

( ) ( ) ( ) ( )2

2

0 0

1 1 ( ) 1 1 1 ( )T TdAp ext p ext p ext p ext

e tP dt e t dtT Tk R R R R k R R R R

= = + + + +

( ) ( )21 RMS

dAp ext p ext

EPk R R R R

=

+ + (7.16)

Analogamente ao desenvolvimento matemtico feito para as perdas na configurao A tambm feito para a configurao B considerando PdB na equao (7.15). Assim temos que as perdas na configurao B so escritas como sendo:

( )21

dB c RMSp ext

P R Ik R R

=

+ (7.17)

Nas equaes (7.16) e (7.17) os termos ERMS e IRMS so, respectivamente, os valores RMS da tenso e da corrente na carga.

A partir das equaes (7.16) e (7.17) observa-se que ambas as configuraes possuem vantagens e desvantagens dependendo do projeto do equipamento e de sua aplicao. Na


8

configurao A, analisando a equao (7.16), percebe-se que para um dado valor nominal de tenso, o valor das perdas constante e no depende do valor da carga. Na configurao B, analisando a equao (7.17), nota-se que para um dado valor nominal de tenso, o valor das perdas varia com a corrente do circuito e portanto com a carga do circuito, pois o valor da corrente funo da carga. A concluso imediata a de que a configurao A mais adequada quando a aplicao do instrumento se d em casos de tenso constante e portanto a perda pode ser compensada atravs da calibrao da escala fazendo com que o valor mostrado pelo wattmetro corresponda somente a potncia mdia (ativa) consumida pela carga. Wattmetros analgicos comerciais apresentam um nmero de escalas de tenso e de corrente que ditam os nveis de tenso e corrente mximos de utilizao do equipamento e que podem ser utilizadas para compensar as perdas do equipamento em ambas s configuraes. Por outro lado, a configurao B tambm pode ser utilizada para equipamentos que possuem a resistncia Rc da bobina de corrente muito pequena de modo que as perdas possam ser desprezadas para diferentes valores de carga. De qualquer forma o fabricante deve informar qual a configurao mais adequada para seu equipamento.

7.4 Conexo de um Wattmetro em Circuitos Monofsicos

A Figura 7.7 ilustra um wattmetro conectado na configurao A para medir a potncia ativa da carga.

(a) (b)

Figura 7.7: (a) Conexo do wattmetro na configurao A; (b) sentido das correntes nas bobinas.

Na Figura 7.7 os terminais 1 e 2 correspondem aos terminais da bobina de corrente enquanto os terminais 3 e 4 so os terminais da bobina de potencial. Na Figura 7.8 ilustrada a conexo do wattmetro na configurao B.


9

(a) (b)

Figura 7.8: (a) Conexo do wattmetro na configurao B; (b) sentido das correntes nas bobinas.

Comparando as conexes para as configuraes A e B observa-se que, independente da conexo das bobinas, as correntes ic e ip sempre entram pelos terminais 1 e 3, respectivamente. Esta uma conveno utilizada pelos fabricantes de wattmetros analgicos para a conexo das bobinas do equipamento.

O valor mostrado pelo instrumento, nas conexes A ou B, desprezando as perdas do equipamento, ser o valor mdio da potncia ou potncia ativa em Watts fornecida para a carga, ou seja:

0

1 ( ) ( )T

P e t i t dtT

= (7.18)

Exemplo 2: Considere o circuito mostrado a seguir:

( )( ) ov t V sen t=

a) Insira um wattmetro na configurao A no circuito e determine a expresso para o deslocamento angular do ponteiro do instrumento. Despreze as reatncias e as perdas das bobinas C e P;

b) Calcule a potncia mdia fornecida para a carga e a potncia mdia dissipada em Rext. Compare estes valores com o deslocamento angular do ponteiro encontrado no item a).


10

Exemplo 3: Considere o circuito mostrado a seguir:

( )( ) ov t V sen t=

Insira um wattmetro na sada do retificador (pontos C e D) e determine a expresso para o deslocamento angular do ponteiro do wattmetro. Despreze as reatncias e as perdas das bobinas C e P.

Exemplo 4: Considere um wattmetro conectado na configurao A como o apresentado na Figura 7.7. Considere ainda que as formas de onda de v(t) e i(t) da Figura 7.7 so dadas por:

oV

oT

oV

2 oT 3 oT 4 oT


11

oI

oT

oI

2 oT 3 oT 4 oT

a) Determine uma expresso para o deslocamento angular do wattmetro. Despreze as reatncias e as perdas das bobinas C e P.

b) Calcule a potncia mdia fornecida para a carga e a potncia mdia dissipada em Rext. Compare estes resultados com a posio angular do ponteiro encontrada no item a).


12

Reviso do Captulo

0

1 1 Tav c pi i dtk T

=

Instrumento Eletrodinmico

1 1 (constante)Mk S

=

Wattmetro

A V+- +-

1 2 3 4

i(t)

e(t)

ip(t)

ic(t)

v(t) Carga

Cic(t)+-

1 2

Pip(t)+-

3 4

Rext

0


=

( ) ( ) ( )c pi t i t i t= +

( )( )pp ext

e ti tR R

=

+

( ) ( )2

0 0

1 1 ( ) 1 ( ) ( )av

dA

T T

av

p ext p extP

P

e t dt e t i t dtT Tk R R R R

= +

+ +

144424443

144424443

( ) ( )21 RMS

dAp ext p ext

EPk R R R R

=

+ +


13

( ) ( )( ) (Malha I)c cpp ext

e t R i ti tR R

+ =

+

( ) 20 01 1 1( ) ( ) ( )

av dB

T T

av c c c

p extP P

e t i t dt R i t dtT Tk R R

= + +

144424443 144424443

0


=

( )21

dB c RMSp ext

P R Ik R R

=

+

Documents

Capitulo 7 Medidas Eletricas Fabiobleao