Capítulo 7 (montgomery) - DE/UFPBde.ufpb.br/~luiz/CEQ/Aula5.pdf · Capacidade do Processo Considerações Importantes – O uso dos índices de capacidade não tem sentido se os

Controle Estatístico de Qualidade

Capítulo 7 (montgomery)

Capacidade do Processo

� Introdução– Cartas de Controle

� Instrumento de monitoramento e detecção de desvios na estabilidade do processo

– Considerando que através das cartas de controle tenhamos um processo estável durante longos períodos de tempo, a seguinte questão precisa ser respondida:

� O processo atende de forma eficiente os requisitos impostos ao produto?


� Introdução

– No contexto do CEP, os estudos de capacidade do processo destinam-se a responder esta questão.

– É importante ressaltar que eficiência deve ser entendido como baixo nível de não-conformidades.

– Os índices de capacidade do processo são parâmetros adimensionais que indiretamente medem o quanto o processo consegue atender às especificações.


� Considerações Importantes– O uso dos índices de capacidade não tem sentido

se os dados analisados forem provenientes de um processo fora de controle� Motivo: os índices são parâmetros da distribuição estacionária

da característica da qualidade em estudo. Se o processo estiver fora de controle essa distribuição não será sempre a mesma, logo não saberemos o que estaremos estimando a partir dos dados.

– Assim, devemos primeiro examinar ocomportamento das cartas de controle. Uma vezevidenciada a condição de controle, o estudo decapacidade pode ser conduzido


� Considerações Importantes

– É costume tomar como medida de capacidade de um processo a dispersão 6-sigma na distribuição da característica da qualidade

– Se os dados são provenientes de uma distribuição normal, os LNT incluem 99,73% da variável.

– Os LNT expressam a tolerância natural do processo

σµ 3±=LNT


� Histograma ou QQ Plot– Através do histograma é possível:

� Verificar a “forma” da característica da qualidade em estudo

� Estimar a capacidade independentemente de termos a informação sobre as especificações do produto.

– Exemplo

10.34 9.25 10.80 9.34 11.39 9.968.70 11.97 10.52 9.19 9.52 7.658.97 9.79 9.74 11.24 10.31 11.34

11.27 9.95 10.03 9.49 9.56 10.4110.32 9.79 10.05 9.88 9.04 8.39


� Histograma– Exemplo

– 99.73% dentro das conformida-des

9532.0

94.9

=

=

S

x

08.7

80.12

=

=

LINT

LSNTFrequency

12111098

7

6

5

4

3

2

1

0

Mean 9.94

StDev 0.9532

N 30

Normal

Histogram


� Histograma ou QQ Plot– Através do QQ Plot é possível:

� Verificar a normalidade da característica da qualidade em estudo

– Exemplo

10.34 9.25 10.80 9.34 11.39 9.968.70 11.97 10.52 9.19 9.52 7.658.97 9.79 9.74 11.24 10.31 11.34

11.27 9.95 10.03 9.49 9.56 10.4110.32 9.79 10.05 9.88 9.04 8.39


� QQ PlotPercent

121110987

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

>0.150

9.94

StDev 0.9532

N 30

KS 0.087

P-Value

Probability Plot Normal


� Razões da Capacidade do Processo– No entanto, convém termos uma forma simples e

quantitativa de expressar a capacidade de um processo.

– Tal forma foi introduzida por Juran (1974), chamando-a de razão da capacidade de um processo (RCP) Cp

onde LIE/LSE são os limites de especificaçãoσ6

LIELSEC p

−=


� Razões da Capacidade do Processo– Em aplicações práticas, σ precisa ser estimado. Isso

resulta em uma estimativa para Cp dada por

– Note que o índice Cp relaciona a tolerância especificada com a tolerância natural do processo. Assim,� Cp < 1, TN é maior que TE (preocupante)� Cp = 1, TN é igual TE (precisa melhorar)� Cp > 1, TN é menor que TE (desejável)

σ̂6ˆ LIELSE

C p

−=

Tolerância especificada (TE)

Tolerância natural (TN)

Razões da Capacidade do Processo - Cp

� Exemplo – Anel de Pistão– Limites de Especificação

74.00mm ± 0.05mm– Do gráfico R, estimamos

– Logo,

– Cp > 1 (desejável)

68,1)0099,0(6

95,7305,74

ˆ6ˆ =

−=

−=

σ

LIELSEC p

0099,0ˆ

2

==d

Rσ


– Outra interpretação útil obtida a partir de Cp é a percentagem da faixa de especificação utilizada pelo processo (P)

– Do exemplo de anéis de pistão, temos que

1001

×

=

p

pC

P

%5,5910068,1

1=×

=pP


– Vimos que a razão da capacidade do processo mede a habilidade do processo de produzir produtos que atendam as especificações.

– A seguir, apresentaremos diversos valores de Cpjuntamente com o número de peças defeituosas ou unidades não-conformes do produto por milhão (ppm).

– Tais quantidades foram obtidas com base nas seguintes suposições importantíssimas:� A característica da qualidade tem distribuição normal� O processo está sob controle estatístico� A média do processo está centrada entre os limites de

especificação superior e inferior.


Cp Esp. Unilaterais Esp. Bilaterais0,25 226.628 453.255 0,50 66.807 133.614 0,60 35.931 71.861 0,70 17.865 35.729 0,80 8.198 16.395 0,90 3.467 6.934 1,00 1.350 2.700 1,10 484 9671,20 159 3181,30 48 961,40 14 271,50 4 71,60 1 21,70 0,17 0,341,80 0,03 0,062,00 0,0009 0,0018

Fonte: Montgomery

Falhas no processo (ppm)

Valores da Razão da Capacidade doProcesso (Cp) e Falhas Associadas (ppm)para um Processo Normalmente Distribuído

que está sob Controle Estatístico

610×

−Φ=<

σ

µLIELIEppm

6101 ×

−Φ−=>

σ

µLSELSEppm


– Para ilustrar a tabela anterior, temos que

� Cp = 1, implica em 2.700 ppm� Cp = 1,50 implica em uma taxa de apenas 4 ppm� No exemplo do anel de pistão, Cp = 1,68 ≅ 1,70. Isso

implica em 0,34 ppm, ou seja, o processo encontra-se bem calibrado.



– As suposições citadas anteriormente são críticas para precisão e validade dos valores reportados.

� Somerville e Montgomery (1996) investigaram o impacto da não-normalidade nos valores apresentados na tabela.

– A estabilidade ou controle estatístico do processo é essencial para uma interpretação correta de qualquer RCP.

� Montgomery comenta que é bastante comum se calcular uma RCP sem levar em conta se o processo está sob controle.



– Além disso, é importante ter em mente que calculamos uma estimativa da RCP, estando sujeito a erros na estimação

� Logo, um intervalo de confiança pode dar uma boa ideia do erro que podemos estar cometendo.

� Posteriormente, iremos discutir sobre intervalos de confiança para RCP.

O Índice Cpk

� Razão de Capacidade para um Processo Descentrado

– Note que o índice Cp não leva em conta a localização da média do processo com relação aos limites de especificação.

– Kane (1986) propõe uma medida (Cpk) que penaliza desvios da média do processo em relação a posição central (“ótima”), sendo definido por:

O Índice Cpk


– onde:

),min( pipspk CCC =

σ

µ

3

−=

LSEC ps

σ

µ

3

LIEC pi

−=

O Índice Cpk


– Se Cp = Cpk o processo está centrado no ponto médio das especificações.

– Quando Cpk < Cp o processo está descentrado– A diferença entre Cp e Cpk é uma medida direta de quão fora do

centro o processo está operando.– Além disso, através da tabela apresentada anteriormente, pode-se

obter uma estimativa rápida da melhoria potencial caso o processo estivesse centralizado.

– Por isso, costuma-se dizer que Cp mede a capacidade potencial no processo, enquanto Cpk mede a capacidade efetiva.

Cp versus Cpk

O Índice Cpm


– Vimos que o índice Cp não leva em conta a localização da média do processo com relação aos limites de especificação.

– Analisar apenas o Cpk também não é uma boa estratégia.

� Por si só, Cpk ainda não é uma medida adequada de centralização do processo.

� O melhor é interpretar conjuntamente Cpk e Cp.

O Índice Cpm

– Cpk depende inversamente de σ e aumenta quando σ tende a zero

� Tal situação pode tornar Cpk inadequado como medida de centralização. Um grande valor de Cpk nada nos diz sobre a localização da média.

Processo ACpk=Cp=1,0

Processo BCp=2,0>Cpk=1,0

O Índice Cpm


– Chan et al. (1988) propõe um novo índice, chamado de Cpm, que visa contornar esses problemas

onde T = (LSE + LIE)/2. – Note que, no denominador, temos o desvio quadrático

esperado em relação ao valor alvo.

2)(6 TXE

LIELSEC pm

−

−=

O Índice Cpm


– O índice Cpm pode ser estimado por

onde

,1

ˆˆ

2V

CC

p

pm

+=

.S

TxV

−=

O Índice Cpm


– Boyles (1991) elaborou uma análise detalhada sobre esse índice. Dentre alguns resultados importantes, podemos citar:

� Cpm = Cpk = Cp, quando µ = T� Cpm tende a zero, quando |µ - T| → ∞

Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses para RCP’s

– É importante lembrar que na prática trabalhamos com estimativas pontuais de Cp e Cpk e, como tal, estão sujeitas à flutuações estatísticas.

– Em outras palavras, um índice de capacidade do processo está sujeito a erro estatístico. Logo, para visualizarmos a precisão dessa estimativadevemos utilizar intervalos de confiança (IC).

– Se a característica da qualidade segue distribuição normal, então podemos obter um ICde nível (1-α)% para Cp a partir de


� Intervalo de Confiança para Cp

– Exemplo: LSE = 62, LIE = 38, n = 20 e S = 1,75

– Seja α = 5%, temos que

1.ˆ

1.ˆ

2

1,2/

2

1,2/1

−≤≤

−

−−−

nCC

nC

n

pp

n

p

αα χχ

29,2)75,1(6

3862ˆ =−

=pC

01,357,1120

.29,2120

.29,2%)95(

2

19,025.0

2

19,975.0≤≤=

−≤≤

−= pp CCIC

χχ


� Intervalo de Confiança para Cp

– Note que o IC é relativamente amplo, indicando que a estimativa de Cp pode estar sujeita a um erro de estimativa elevado (baixa precisão)

– Normalmente, Intervalos de Confiança baseados em pequenas amostras tendem a ser amplos.


� Intervalo de Confiança para Cpk

– Para RCP’s mais complicadas como Cpk e Cpm diversos autores propõem intervalos de confiança aproximados (Zhang et al. (1990), Bissel (1990), Kushler e Hurley (1992), Pearn et al. (1992), entre outros).

– Se a característica da qualidade segue distribuição normal, apresentamos um IC de nível (1-α)% para Cpk

−++≤≤

−+−

)1(2

1

ˆ9

11ˆ

)1(2

1

ˆ9

11ˆ

22/22/nCn

ZCCnCn

ZCpk

pkpk

pk

pk αα


� Intervalo de Confiança para Cpk

– Exemplo: Cpk = 1,33, n = 20– Seja α = 5%, temos que

– Trata-se de um IC extremamente amplo e não-informativo, visto que o valor de Cpk tanto pode ser inferior a 1 (situação ruim) como pode ser igual a 1,67 (situação excelente). Isso se deve ao pequeno tamanho de amostra utilizado.

67,199,0%)95( ≤≤= pkCIC

−++≤≤

−+−

)1(2

1

ˆ9

11ˆ

)1(2

1

ˆ9

11ˆ

22/22/nCn

ZCCnCn

ZC

pk

pkpk

pk

pk αα

RCP – Uso de Gráficos de Controle

– O cálculo e a análise dos índices RCP’s só fazsentido quando o processo está sob controle.

– Logo, a análise dos gráficos de controle são devital importância para correta interpretação deCp, Cpk ou Cpm.

Considerações Finais

– Índices de capacidade são muito sensíveis à mudanças na distribuição estacionária.

� Se ela não for normal, a interpretação dos índices com base nos valores de referência perde a consistência.

– Um índice de capacidade é um parâmetro do processo cujo valor é estimado através de estatísticas

� O uso de intervalos de confiança pode ajudar a ter uma ideia do erro de estimação que podemos estar cometendo

Exercício

Um processo normalmente distribuído temespecificações LIE=75 e LSE=85. Uma amostra de 25partes indica que o processo está centrado no meio dafaixa de especificação e o desvio padrão é S=1,5.

a) Determine uma estimativa pontual para o Cp. Oprocesso é eficiente?

b) Determine um intervalo de confiança de 95% para Cp.Comente sobre a amplitude do intervalo.

Exercício

Um processo está sob controle comAs especificações do processo são 95 ± 8. Acaracterística da qualidade tem distribuição normal.

a) Estime a capacidade potencial.b) Estime a capacidade efetiva.c) De quanto se reduziria a falha do processo se ele

fosse corrigido de modo a operar na especificaçãonominal?

.5 e 05,1,100 === nSX

Exercício

Suponha uma característica da qualidade tenhadistribuição normal com limites de especificação emLSE=100 e LIE=90. Uma amostra aleatória de 30partes resulta em

a) Calcule uma estimativa pontual para Cpk.b) Calcule uma estimativa pontual para Cpm.c) Encontre um intervalo de confiança de 95% para Cpk.

.6,1 e 100 == SX

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