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.

Capítulo 7 | Testes de hipótese

com uma amostra


Seção 7.1

Introdução aos testes de hipótese


Teste de hipótese

• Um processo que usa amostras estatísticas para testar uma

afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional.

• Por exemplo: Um fabricante de automóveis anuncia que seu

novo carro híbrido tem média de milhagem de 50 milhas por

galão. Para testar essa afirmação, uma amostra deve ser tirada.

Se a média amostral difere da média anunciada, você pode

afimar que o anúncio está incorreto.


Hipótese estatística

• Uma afirmação sobre um parâmetro populacional.

• Precisa de um par de hipóteses:

• um que represente a afirmação;

• outro que seja seu complemento.

• Quando uma dessas hipóteses for falsa, a outra

deve ser verdadeira.


Estabelecendo uma hipótese

Hipótese nula

• é uma hipótese estatística

que contém uma afirmação

de igualdade, tal como ≤, =

ou ≥.

• Denotada como H0 e é lida

como “Hzero” ou “hipótese

nula.”

Hipótese alternativa

• Uma afirmação de

desigualdade, tal como >, ,

or <.

• Deve ser verdadeira se H0

for falsa.

• Denotada como Ha e é lida

como “Ha.”

Afirmações

complementares


• Para escrever as hipóteses nula e alternativa, traduza a

afirmação feita sobre o parâmetro populacional de

uma afirmação verbal para uma afirmação

matemática.

• Então, escreva seu complemento.

H0: μ ≤ k

Ha: μ > k

H0: μ ≥ k

Ha: μ < k

H0: μ = k

Ha: μ ≠ k

Sem considerarmos qual dos três pares de hipóteses

você poderá usar, sempre assuma que μ = k e examine a

distribuição amostral com base em sua suposição.


Exemplo: estabelecendo as

hipóteses nula e alternativa

Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as

hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a

afirmação.

Uma universidade pública que a proporção de seus estudantes que

se graduaram em 4 anos é de 82%

Condição de igualdade

Complemento de H0

H0:

Ha:

(afirmação) p = 0,82

p ≠ 0,82

Solução:


μ ≥ 2,5 galões por minuto

Escreva a afirmação como uma sentença matemática.

Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual

representa a afirmação.

Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de

fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5

galões por minuto.

Condição de desigualdade

Complemento de Ha H0:

Ha:

(Afirmação)

μ < 2,5 galões por minuto

Solução:


μ ≤ 20 onças

Escreva a afirmação como uma sentença matemática.

Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual

representa a afirmação.

Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos

conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do

que 20 onças.

Condição de

desigualdade

Complemento de Ha H0:

Ha: (Afirmação) μ > 20 onças

Solução:


Tipos de erros

• Não importa qual das hipóteses represente a afirmação,

você começa o teste de hipótese assumindo que a

condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira.

• Ao final do teste, você toma uma dessas duas decisões:

• Rejeitar a hipótese nula ou:

Falha ao rejeitar a hipótese nula.

Pelo fato de sua decisão ser baseada em uma amostra

em vez de ser baseada na população inteira, há sempre

a possibilidade de você tomar a decisão errada.


• Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada

quando é verdadeira.

• Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for

rejeitada quando é falsa.

A verdade de H0

Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa

Não rejeite H0 Decisão correta Erro tipo II

Rejeite H0 Erro tipo I Decisão correta


Exemplo: identificando erros tipo I e II

• O limite USDA para contaminação por salmonela por

frango é de 20%. Um inspetor de carnes reporta que o

frango produzido por uma empresa excede o limite USDA.

Você realiza um teste de hipóteses para determinar se a

afirmação do inspetor de carne é verdadeira. Quando irá

ocorrer um erro tipo I ou tipo II? Qual é mais sério? (Fonte:

United States Department of Agriculture.)


Deixe p representar a proporção de frangos contaminados.

Solução: identificando erros tipo I e II

H0:

Ha:

p ≤ 0,2

p > 0,2

Hipóteses:

(afirmação)

0.16 0.18 0.20 0.22 0.24

p

H0: p ≤ 0.20 H0: p > 0.20

O frango está

dentro dos limites

USDA.

O frango excede os

limites USDA.


Um erro tipo I está rejeitando H0 quando ele for verdadeiro.

A proporção verdadeira de frangos contaminados é

menor ou igual a 0,2, mas você decide rejeitar H0.

Um erro tipo II está falhando em rejeitar H0 quando ele

for falso.

A proporção verdadeira de frangos contaminados é maior

que 0,2, mas você não rejeita H0.

H0:

Ha:

p ≤ 0,2

p > 0,2

Hipóteses:

(Afirmação)


H0:

Ha:

p ≤ 0.2

p > 0.2

Hipóteses:

(Afirmação)

• Com um erro tipo I, você pode criar um pânico sobre

saúde e causar danos às vendas de produtores de

frangos que na verdade estão dentro dos limites da

USDA.

• Com um erro tipo II, você pode estar permitindo que

frangos que excedam o limite de contaminação sejam

vendidos ao consumidor.

• Um erro tipo II pode resultar em doenças ou mesmo em

mortes.


Nível de significância

• Sua probabilidade máxima permissível para cometer um

erro tipo I.

Ele é denotado por , a letra grega minúscula alpha.

• Configurando-se o nível de significância em um valor

pequeno, você está dizendo que quer que a probabilidade

de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja pequena.

• Os três níveis de significância comumente usados são:

= 0,10 = 0,05 = 0,01

• P(tipo de erro II) = β (beta)


Testes estatísticos

• Depois de afirmar as hipóteses nula e alternativa e especificar

o nível de significãncia, uma amostra aleatória é tomada da

população e testes estatísticos são calculados.

• A estatística que é comparada com o parãmetro na hipótese

nula é chamada de estatística do teste.

σ2

x

χ2 (Seção 7.5) s2

z (Seção 7.4) p t (Seção 7.3 n < 30)

z (Seção 7.2 n 30) μ

Estatística de teste

padronizada

Estatística

de teste

Parâmetro

populacional

p̂


Valores P

Valor P (ou valor de probabilidade)

• A probabilidade, se a hipótese nula for verdadeira, de

obter uma estatística amostral com valores tão

extremos ou mais extremos do que aquela

determninada a partir dos dados da amostra.

• Depende da natureza do teste.


Natureza do teste

• Três tipos de teste de hipóteses:

Teste unicaudal à esquerda.

Teste unicaudal à direita.

Teste bicaudal.

• O tipo de teste depende da região da distribuição da

amostra que favorece uma rejeição da H0.

• Essa região é indicada pela hipótese alternativa.


Teste unicaudal à esquerda

• A hipótese alternativa Ha contém o símbolo menor que (<).

z

0 1 2 3 -3 -2 -1

Estatística do

teste

H0: μ k

Ha: μ < k P é a área à

esquerda da

estatística do

teste.


• A hipótese alternativa Ha contém um símbolo de maior

que (>).

z 0 1 2 3 -3 -2 -1

Teste unicaudal à direita

H0: μ ≤ k

Ha: μ > k

Estatística do

teste

P é a área à

direita da

estatística do

teste.


Teste bicaudal

• A hipótese alternativa Ha contém o símbolo de não

igualdade (≠). Cada cauda tem uma área de ½P.

z

0 1 2 3 -3 -2 -1

Teste estatístico Teste estatístico

H0: μ = k

Ha: μ k

P é duas vezes a área

à esquerda do valor

negativo da

estatística do teste.

P é duas vezes a área à

direita do valor positivo

da estatística do teste.


Exemplo: identificando a natureza de um

teste

Para cada afirmação, estabeleça em palavras e símbolos

H0 e Ha. Então, determine se o teste de hipótese é

unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva

uma distribuição de amostragem normal e sombreie a

área para o valor P.

• Uma universidade pública que a proporção de seus

estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%.

(continua)


H0:

Ha:

p = 0,82 p ≠ 0,82

Teste bicaudal

z 0 -z z

½ área do

valor P

½ área do

valor P

Solução:

(continuação slide 25)


Exemplo: identificando a natureza de um

teste

• Para cada afirmação, determine se o teste de hipótese é




(continua)


2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de

fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5

galões por minuto (gpm).

H0:

Ha:

Teste unicaudal

à esquerda

z 0 -z

Área do

valor P μ ≥ 2,5 gpm

μ < 2,5 gpm

Solução:



Exemplo: estabelecendo as hipóteses

nula e alternativa

Para cada afirmação, determine se o teste de hipótese é




(continua)


3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio

dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é

mais do que 20 onças.

H0:

Ha:

Teste unicaudal à

direita

z 0 z

Área do

valor P μ ≤ 20 oz

μ > 20 oz

Solução:



Tomando uma decisão

Regra de decisão baseada em um valor P

• Compare o valor P com .

Se P , então rejeite H0.

Se P > , então falhe em rejeitar H0.

Afirmação

Decisão Afirmação é H0 Afirmação é Ha

Rejeite H0

Falhe em

rejeitar H0

Há evidência suficiente para

rejeitar a afirmação.

Não há evidência suficiente

para rejeitar a afirmação.

Há evidência suficiente para

apoiar a afirmação.

Não há evidência suficiente

para apoiar a afirmação.


Exemplo: interpretando uma decisão

Você realiza um teste de hipótese para cada uma das

afirmações. Como você deve interpretar sua decisão de

rejeitar H0 ? E se você falhar em rejeitar H0?

• H0 (Afirmação): Uma universidade alega que a

proporção de seus estudantes que se graduaram em 4

anos é de 82%.


Solução: interpretando uma decisão

• A afirmação é representada por H0.

• Se você rejeitar H0, deve concluir: “há evidência o

bastante para indicar que a afirmação da universidade

é falsa.”

• Se você falhar em rejeitar H0, deve concluir que “há

evidência o bastante para indicar que a afirmação da

universidade (de um índice de 82% na gradução de 4

anos) é falsa.”


Exemplo: interpretando uma decisão

Você realiza um teste de hipótese para cada uma das afirmações.

Como você deve interpretar sua decisão se rejeitar H0? E se você

falhar em rejeitar H0?

Ha (Afirmação): a Consumer Reports afirma que a média das

distâncias de frenagem (em superfície seca) para um Honda Civic

é menos que 136 pés.

• Solução:

• A afirmação é representada por Ha.

• H0 é “a média de distância de frenagem… é maior ou igual a

136 pés.”


• Se você rejeitar H0, então você deve concluir que “há

evidência suficiente para apoiar a afirmação da

Consumer Report de que a distância de frenagem para

um Honda Civic é menos que 136 pés”.

• Se você falha em rejeitar H0, então você deve

concluir que “não há evidência suficiente para apoiar

a afirmação da Consumer Report de que a distância

de frenagem para um Honda Civic é menos que 136

pés”.


Instruções para o teste de hipótese

1. Formule a afirmação matematicamente e verbalmente.

Identifique as hipóteses nula e alternativa.

H0: ? Ha: ?

2. Especifique o nível de siginificância.

α = ?


z 0

3. Determine a distribuição

amostral e desenhe seu

gráfico.

4. Calcule o teste estatístico e

seu valor padronizado.

Adicione-o ao seu desenho.

z 0

Teste estatístico

Esta distribuição

amostral é baseada na

premissa de que H0 é

verdade.


5. Encontre o valor P.

6. Use a seguinte regra de decisão.

7. Escreva uma sentença para interpretar a decisão no

contexto da afirmação original.

O valor P é menor ou

igual ao nível de

significância?

Falha ao rejeitar H0.

Sim

Rejeita H0.

Não


Resumo da seção 7.1

• Estabelecemos uma hipótese nula e uma hipótese alternativa.

• Identificamos os erros tipo I e tipo II e interpretamos o nível

de significância.

• Determinamos o uso do teste estatístico uni ou bicaudal e

encontramos um valor P.

• Tomamos e interpretamos decisões baseadas em resultados de

um teste estatístico.

• Escrevemos uma afirmação para um teste de hipóteses.


Seção 7.2

Testes de hipótese para a média

(amostras grandes)


Objetivos da seção 7.2

• Encontrar valores P e usá-los para testar uma média μ

• Usar valores P para um teste-z

• Encontrar valores críticos e regiões de rejeição em

uma distribuição normal

• Usar as regiões de rejeição para um teste-z


Usando valores P para tomada de

decisões

Regra de decisão baseada em um valor P

• Para usar um valor P para tomar uma decisão em um

teste de hipóteses, compare o valor P com .

1. Se P , então rejeite H0.

2. Se P > , então falhe em rejeitar H0.


Exemplo: interpretando um valor P

O valor P para o teste de hipótese é P = 0,0237. Qual sua

decisão se o nível de significância é:

1.0,05?

2. 0,01?

Solução:

Porque 0,0237 < 0,05, você deve rejeitar a hipótese nula.

Solução:

Porque 0,0237 > 0,01, você deve falhar em rejeitar a hipótese nula.


Encontrando o valor P

Depois de determinar a estatística do teste padronizada do

teste de hipótese e a área correspondente da estatística do

teste, realize um dos passos a seguir para encontrar o valor

P.

a. Para o teste unicaudal à esquerda, P = (área na cauda

esquerda).

b. Para o teste unicaudal à direita, P = (área na cauda

direita).

c. Para o teste bicaudal, P = (área na cauda da estatística

do teste).


Exemplo: encontrando o valor P

Encontre o valor P para o teste de hipótese unicaudal à esquerda

com estatística de teste z = –2,23. Decida se rejeita H0 se o nível

de significância for α = 0,01.

z 0 -2,23

P = 0,0129

Solução:

Para um teste unicaudal à esquerda, P = (Área na cauda à esquerda)

Porque 0,0129 > 0,01, você deve falhar em rejeitar H0.


z 0 2,14

Encontre o valor P para o teste bicaudal com estatística

do teste de z = 2,14. Decida se rejeita H0 se o nível de

significância for α = 0,05.

Solução:

Para um teste bicaudal, P = 2 (área na cauda da

estatística do teste).

Porque 0,0324 < 0,05, você deve rejeitar H0.

0,9838

1 – 0,9838

= 0,0162 P = 2(0,0162)

= 0,0324


Teste z para uma média μ

• Pode ser usado quando a população é normal e ó é

conhecido, ou para qualquer população quando o

tamanho da amostra n for pelo menos 30.

• A estatística do teste é a média amostral

• A estatística do teste padronizado é z.

• Quando n 30, o desvio padrão da amostra s pode ser

substituído por .


Usando valores P para um teste z para

média µ

1. Declare a afirmação matematicamente

e verbalmente. Identifique as hipóteses

nula e alternativa.

2. Especifique o nível de significância.

3. Determine o teste estatístico

padronizado.

4. Encontre a área que corresponda à z.

Declare H0 e Ha.

Identifique .

Use a tabela 4 no

apêndice B.

xz

n

Em palavras Em Símbolos


Rejeite H0 se o valor

P é menor que ou

igual à . Do

contrário, falhe em

rejeitar H0.

5. Encontre o valor-P.

a. Para um teste unicaudal à esquerda, P = (Área

na cauda esquerda).

b. Para um teste unicaudal à direita, P = (Área na

cauda direita).

c. Para um teste bicaudal, P = 2(Área na cauda

do teste estatístico).

6. Faça a decisão de rejeitar ou falhar em

rejeitar a hipótese nula.

7. Interprete a decisão no contexto

da afirmação original.

Em palavras Em símbolos


Exemplo: usando valores P para testes

de hipóteses

Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de

seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma

seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média

amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5

minutos. Há evidência suficiente para apoiar a

afirmação em α = 0,01? Use um valor P.


Solução: usando valores P para testes de

hipóteses

• H0:

• Ha:

• =

• Teste estatístico:

μ ≥ 30 min

μ < 30 min

0,01

28.5 30

3.5 36

2.57

xz

n

• Decisão:

No nível de significância 1% você tem evidência

o suficiente para concluir que o tempo médio da

entrega é menos de 30 minutos.

z 0 -2,57

0,0051

• Valor-P

0,0051 < 0.01

Rejeite H0


Exemplo: usando valores P

para testes de hipóteses

Você acha que a informação do

investimento médio de franquia mostrada

no gráfico é incorreta, então você seleciona

aleatoriamente 30 franquias e determina o

investimento necessário para cada. A média

amostral de investimento é $ 135.000 com

desvio padrão de $30.000. Há evidência

suficiente para apoiar sua afirmação em á

= 0,05. Use um valor P.


0,1310 > 0,05

Falha em rejeitar H0

Solução: usando valores P para testes de

hipóteses

• H0:

• Ha:

• =


μ = $143.260

μ ≠ $143.260

0,05

135,000 143,260

30,000 30

1.51

xz

n

• Decisão:

No nível de siginificância 5%, não há evidência

suficiente para concluir que a média do

investimento em franquias é diferente de

$143.260.

• Valor P P = 2(0,0655)

= 0,1310

z 0 -1,51

0,0655


Regiões de rejeição e valores críticos

Região de rejeição (ou região crítica)

• A amplitude de valores para a qual a hipótese nula

não é provável.

• Se uma estatística de teste está nessa região, a

hipótese nula é rejeitada.

• Um valor crítico z0 separa a região de rejeição da

região de não rejeição.


Encontrando valores críticos em uma distribuição normal

1. Especifique o nível de significância .

2. Decida se o teste é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal.

3. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) z0. Se o teste de hipótese for:

a. caudal à esquerda, encontre o z-escore que corresponda à

área de ;

b. caudal à direita, encontre o z-escore que corresponda à área

de 1 –;

c. bicaudal, encontre o z-escore que corresponda a ½ e a 1 –

½.

4. Faça a distribuição normal padrão. Desenhe uma linha vertical

em cada valor crítico e preencha a(s) região(ões) de rejeição.


Exemplo: encontrando valores críticos

Encontre o valor crítico e a região de rejeição de um teste bicaudal com = 0,05.

z 0 z0 z0

½α = 0,025 ½α = 0,025

1 – α = 0,95

As regiões de rejeição estão à esquerda de -z0 = -1,96 e à direita de z0 = 1,96.

z0 = 1.96 -z0 = -1.96

Solução:


Regra da decisão baseada numa

região de rejeição

Para usar a região de rejeição para conduzir um teste de hipótese, calcule a

estatística do teste padronizado z. Se a estatística do teste padronizado:

1. estiver na região de rejeição, então rejeite H0.

2. não estiver na região de rejeição, então falhe em rejeitar H0.

z 0 z0

Falha em rejeitar Ho.

rejeição H0.

Teste unicaudal à

esquerda

z < z0 z

0 z0

RejeiçãoHo.

Falha em rejeitar Ho.

z > z0

Teste unicaudal à direita

z 0 z0

Teste bicaudal z0 z < -z0 z > z0

Rejeição H0


Rejeiçã H0


Usando regiões de rejeição

para um teste z para uma média μ

1. Declare a afirmação matemática e

verbalmente. Identifique as hipóteses nula

e alternativa.

2. Especifique o nível de significância.

3. Faça a distribuição de amostragem.

4. Determine o(s) valor(es) crítico(s).

5. Determine a(s) região(ões) de rejeição.

Declare H0 e Ha.

Identifique .

Use a Tabela 4 no

apêndice B.



6. Encontre o teste estatístico

padronizado.

7. Tome a decisão de rejeitar ou falhar

em rejeitar a hipótese nula.

8. Interprete a decisão no contexto da

afirmação original.

Se z está na região de

rejeição, rejeite H0. Se

não, falhe em rejeitar

H0.


or if 30

use

xz n

n

s

.


Exemplo: testes com regiões de rejeição

Funcionários de uma grande firma de contabilidade afirmam que

a média dos salários dos contadores é menor que a de seu

concorrente, que é $ 45.000. Uma amostra aleatória de 30 dos

contadores da firma tem média de salário de $ 43.500 com desvio

padrão de $ 5.200. Com α = 0,05, teste a afirmação dos

funcionários.

.


Solução: testes com regiões de rejeição

• H0:

• Ha:

• =

• Região de rejeição:

μ ≥ $45.000

μ < $45.000

0,05

43,500 45,000

5200 30

1.58

xz

n

• Decisão:

No nível de siginificância 5%, não há

evidência suficiente para confirmar a

afirmação dos funcionários de que a

média dos salários é menor que

$45.000.




Exemplo: testes com regiões de rejeição

O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o

custo médio para se criar um filho até a idade de 2 anos na zona

rural é de $ 10.460. Você acredita que esse valor está incorreto,

então você seleciona uma amostra aleatória de 900 crianças (com

idade de 2 anos) e descobre que a média dos custos é $ 10.345

com desvio padrão de $ 1.540. Com α = 0,05, há evidência

suficiente para concluir que a média do custo é diferente de $

10.460? (Adaptado de U.S. Department of Agriculture Center for

Nutrition Policy and Promotion)

.


Solução: testes com regiões de rejeição

• H0:

• Ha:

• =

• Região de rejeição:

μ = $10.460

μ ≠ $10.460

0,05

10,345 10,460

1540 900

2.24

xz

n

• Decisão:

Com nível de siginificância 5%, você

tem evidência suficiente para

concluir que o custo médio de criar

uma criança até os 2 anos numa área

rural é significativamente diferente

de $10.460.


z 0 -1.96

0,025

1.96

0,025

-1,96 1,96

-2,24

Rejeitar H0

.

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