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CAPÍTULO I
Relações Básicas
Há uma causa básica para todos os efeitos.
Giordano Bruno 15487-1600
Para explicar todos os efeitos do calor e os processos de transferência de massa, é preciso modelos matemáticos. Esses modelos são desenvolvidos utilizando os princípios fundamentais da física, o princípio da conservação. Neste capítulo, as leis básicas de calor e de difusão de massa são introduzidas, as equações de conservação são derivadas, as condições de contorno pertinentes são discutidas, e sete classes diferentes de problemas de fronteira generalizada valor de difusão de calor e massa, o objeto de análise neste livro, são indicados. Para sua conveniência e referência nos capítulos subsequentes, a transformação do sistema de coordenadas retangulares para um sistema de coordenadas ortogonais é apresentado, e à redução dos problemas tridimensionais para os dois e unidimensional é discutida.
1.1 derivação da equação do balanço
Consideramos que a transferência de alguma substância (isto é, massa, energia, etc) em um volume V de material em movimento no espaço com uma velocidade v e deformante em movimento. Seja S a superfície deste material de volume V e ϵ denotam a quantidade desta substância contida por unidade de volume; ϵ é referido como a densidade da substância. Assumimos que o meio é fisicamente contínuo ou de continuidade, ou seja, propriedades como a densidade e velocidade variam de forma contínua no espaço ou são lisas, funções contínuas das variáveis espaço.
Nós introduzimos um vetor quantidade J, chamado de vetor de fluxo de substância, para indicar o fluxo de substâncias em uma posição espacial x, em qualquer instante t. A magnitude desse vetor de fluxo de substância é igual à quantidade de substância que atravessam uma unidade de área, normal à direção do fluxo de substância, na posição considerada, por unidade de tempo.
O princípio fundamental da conservação para o equilíbrio da substância dentro do elemento finito de volume V, em qualquer instante, pode ser declarado como
(Taxade
armazenagemdesubstâncias
emV)=(
Taxa de substânciaentrar V atravésdesuas superfíciesdelimitadora
)+(taxadegeração
de substânciaemV
)(1.1)
Vários termos desta relação são avaliados.O prazo de armazenamento é determinado tomando a derivada substancial (ou derivada total) da substância contida no volume do material K, ou seja,
(Taxa dearmazenamento desubstância emV )= DDt
∫V
❑
ϵ dV (1.2)
onde D/Dt denota a derivada substancial. Ao fazer uso do teorema de transporte de Reynolds [1], podemos transformar a derivada de um volume substancial na forma integral
DDt
∫V
❑
ϵ dV=∫V
❑∂ϵ∂ t
dV +¿∫V
❑
ϵv . ndS(1.3)¿
onde n é o fora-drawn vetor direção normal da unidade. Agora, usando o teorema da divergência [2], nós escrevemos
∫V
❑
ϵv .ndS=∫V
❑
∇ .(ϵv). ndS (1.4)
Introduzindo as equações (1.3) e (1.4) na equação (1.2) obtemos
( Taxadearmazenamento
desubstância emV )=∫V❑ [ ∂ϵ∂t +∇ .(ϵv)]dV (1.5)
A substância entrar V através de uma área elementar dS sobre a superfície de fronteira é - J • n, onde J é o vetor de fluxo de substâncias em dS, n é o fora-drawn vetor direção normal da unidade, e o sinal negativo é usado para indicar que : Fluxos ele substância no volume V. Então a substância entrar V através de toda a fronteira S é dada por
(Taxa de substânciasqueentram atravésdeV é delimitadora
superfícies)=−∫
S
❑
J .ndS=−¿∫S
❑
∇ . JdV (1.6)¿
1.1 derivação da equação do balanço
Se eu denoto a produção (ou geração) taxa da substância por unidade de volume, então
(Taxa de geração de substância em V) =∫V
❑
1dV (1.7)
Substituindo as equações (1.5), (1,6) e (1,7) na Equação (1.1) obtemos
(1.8)
A equação (1.8) é derivada para um volume finito arbitrário V \ nesse elemento de volume podem ser escolhidos tão pequena para remover a integral. Em seguida, obtemos a equação de equilíbrio como
(1.9)
Utilizando as relações
(1.10)
e (1.11)
a equação de equilíbrio (1.9) pode ser expressa na forma alternativa como
(1.12)Aqui ξ é a densidade de matéria (isto é, substância contida por unidade de volume do volume de material V), J é o vetor de fluxo de substâncias e I é a taxa de produção de substância por unidade de volume V da substância considerada.
Se ρ é a densidade do material de volume V, introduzimos uma quantidade ξ chamada substância específica, definida como
ξ=ϵ / ρ (1.13)
Assim ξ representa a substância por unidade de massa do volume do material. Então, em termos de ξ Equação (1.12) pode ser expressa na forma alternativa como
(1.14)
Aqui as quantidades I, J, v, ρ, ϵ, e ξ são nas funções gerais de tempo e espaço de coordenadas.
1.2 equação de conservação da massa para um sistema multicomponente
Na seção anterior, derivamos a equação de equilíbrio para uma determinada substância, caracterizada por sua densidade substância ϵ ou substância específica ξ. Vamos agora considerar um sistema composto de n componentes entre os quais as reações químicas são possíveis. Deixa ϵ ≡ ρk (k = 1,2 ,.., n) denota a massa por unidade de volume do componente k th densidade total de todos os componentes, a saber, (1.15)
Se vk é a velocidade da componente k th diz respeito a estacionário eixos coordenados, então para o sistema composto por n componentes, o centro local de massa (ou média baricêntricas ou massa média), a velocidade v é definida como [3]
(1.16)
Em seguida, o fluxo de massa difusão da k th componente relativa ao movimento baricêntricas é definido como (1.17)
Agora, somando-se a equação (1.17) sobre todos os componentes (k= 1,2,...,n) e utilizando os resultados obtidos pelas Equações (1.15) e (1.16), encontramos
(1.18)
A Equação de equilíbrio geral (1,12) é aplicada para o componente k th neste sistema multicomponente, ou seja, deixando ϵ ≡ ρk , J ≡ Jk e I ≡ Ik Equação (1.12) torna-se
(1,19)
Onde Ik é a taxa de produção por unidade de volume k th como resultado de reações químicas (3] e J k é o vetor de fluxo de massa para o componente k th. Como a massa é conservada em cada reação química em separado, temos
(1-20)
Finalmente, somando-se as equações (1.19) sobre todos os componentes (k = 1,2 ,..., n)
1.3 equação diferencial de difusão linear
utilizando as equações (1.15), (1.18) e (1.20), obtemos a lei da conservação da massa para todo o sistema sob a forma (1.21)
Essa lei expressa o fato de que a massa total do volume de material é conservada, ou seja, a massa total do volume de material só pode mudar se o assunto flui (ou não) o elemento de volume [3].A lei da conservação de massa dada pela equação (1.21) pode ser utilizada para simplificar a equação de equilíbrio (1,14) para a forma (1.22) Se a velocidade v do material de volume V é igual a zero, o volume V é fixo no espaço. Depois, de acordo com a Equação (1.11), a derivada substancial reduz a derivada parcial com respeito ao tempo ea Equação (1.22) simplifica para (1.23) O significado físico da substância específica ξ para o processo de transferência de massa multicomponente considerado aqui é melhor visualizada se lembrarmos a sua definição ξ=ϵ / ρ dada pela equação (1.13). Para a
componente k th montamos ϵ= ρk e ξ=ξk e obtem ξk= ρk / ρ, o que implica que ξk é a fração de massa k th do
componente. As equações anteriores (1,22) e (1.23) conter o vetor de fluxo de matéria-J e eles ainda não estão em forma útil para a obtenção da distribuição da substância a menos que o vetor de fluxo de matéria-J passa a ter. a expressão apropriada que envolvem um potencial adequadamente escolhidos, que controla o fluxo de substância. Esse assunto é discutido na próxima seção.
1.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAL DE DIFUSÃO LINEAR
Em todos os fenômenos físicos do fluxo da substância (ou seja, massa, energia, etc.) pode ser relacionado com um T adequadamente escolhido potencial (ou seja, temperatura, concentração, etc.) O potencial em qualquer localização no espaço é definido pelo seu valor numérico, pois é uma quantidade escalar. Quando o potencial de distribuição não é uniforme em todo o espaço, a experiência tem mostrado que um fluxo de substância surge no sentido de diminuir o potencial. É mostrado empiricamente que para uma grande classe de fenômenos irreversíveis e uma ampla gama de condições experimentais, o fluxo de substância é uma função linear do gradiente de potencial. Esta observação constitui a base para estabelecer uma relação linear entre o fluxo de substância e o gradiente de potencial. Por exemplo, Lei de Fourier da condução de calor dá uma relação linear entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura; lei de Fick para a difusão de massa, estabelece uma relação linear entre o fluxo de massa e do gradiente de concentração [3].Portanto, na análise seguinte, transferir a equação de equilíbrio (1,22) em uma forma útil, substituindo a R $ substância específica e o vetor fluxo de substância-J em termos de potencial escolhida. Seja T o escolhido apropriadamente potencial (ou seja, temperatura, concentração, etc.). Então, a relação entre a substância de fluxo e o gradiente de potencial, de acordo com a lei de difusão linear, é dada como
(1.24)
onde o factor de proporcionalidade k é uma quantidade escalar para materiais isotrópicos (isto é, a propriedade não varia com a direção). Na medida em que o fluxo de substância é no sentido de diminuir o potencial, o sinal negativo é incluído para fazer o fluxo de uma substância quantidade positiva quando o fluxo de substâncias pontos vetor J no sentido de diminuir o potencial. A substância específica ξ pode ser expressa como uma função do potencial de T e da pressão média p
(1.25)
Para a pressão média constante, nós utilizamos a equação (1.25) para obter
(1.26)
onde C ξp é a capacidade de substância constante pressão por unidade de massa definida como
(1.27)
Substituindo as equações (1.24) e (1.26) na Equação (1.22), obtemos a equação de equilíbrio na forma
(1.28)
onde k = (x), T = T (x, t).
Se o volume do material V é fixo no espaço (ou seja, v = 0), a substância específica ξ pode ser expressa como uma função da T potencial e densidade ρ (1.29)
Supomos que as equações (1.25) e (1,29) mantenha em todo tempo e espaço, ou seja, impomos a hipótese de equilíbrio local. Na medida em que a densidade ρ é constante, o que é consistente com a hipótese de v = 0, nós utilizamos a equação (1.29) para obter
(1.30)
onde cξV é a capacidade de substância constante do volume por unidade de massa definida como
(1.31)
Para solidos temos cξP≅ cξV
Agora, substituindo as equações (1.24) e (1.30) na Equação (1.23), obtemos.
(1.32)
onde k = k (x) e T = T (x, t). O termo / produção, em geral, depende do potencial. Assumimos uma relação linear na forma
I = P (x, t)-d (x) T (x, t) (1,33)
onde P (x, t) é a fonte ou sumidouro prazo. Então a equação (1.32) torna-se
w(x) (1.34)
onde definimos
w(x) (1.35)L (1,36)
e X é um ponto V (isto é, x ϵ V).
1.4 Condições Linear de Contorno
A equação diferencial (1.34) terá várias soluções menos que as condições iniciais e de contorno são prescritos. Aqui,
consideramos apenas as condições de contorno linear, que cobrem a maior parte dos casos de interesse prático [4].Nós assumimos que a distribuição inicial do T potencial (x, t) é uma função prescrita f (x) na região V, ou seja,
T (x, 0) = f (x), x ϵ V (1.37)
Para a generalidade, podemos considerar uma condição de contorno dada na forma
BT (x, t) x S E (1,38)
onde B é o operador de condição fronteira linear definida como
B = a (x) + (1.39a)
e ∂∂n
é a derivada normal no limite da superfície S no sentido externo, definido como
(1.39b)
com lx , l ye lz sendo o co-senos direção.
Aqui, um α (x )=0 , β ( x )=1são prescritos coeficientes de fronteira definida no limite da superfície S, a função
∅ (x ,t) que é a parte não homogénea da condição de contorno (1.38) é uma função prescrita que, no geral, pode ser
uma função tanto da posição e do tempo. O coeficiente k (x) é associado com a definição da lei de difusão linear dada pela equação (1.24).
As condições gerais de fronteira definida pelas Equações (1.38) e (1.39) para o caso de um α (x )≠0 , β ( x )≠0 são
referidos como a condição de contorno do terceiro tipo. Se o termo não homogêneo ∅ (x ,t) é zero, temos a condição
de contorno homogênea de terceiro grau. No caso de transferência de calor, o potencial T(x, t) é a temperatura, então a condição de contorno homogênea do terceiro tipo representa a transferência de calor, de acordo com a lei de Newton do resfriamento, a partir da superfície de contorno em um ambiente em temperatura zero. Os casos especiais das condições de contorno (1.38) e (1.39) incluem o seguinte.
O caso α (x )=0 , β ( x )=1 , x ϵ Sé chamado a condição de contorno do segundo tipo. Esta condição de contorno é
equivalente ao da prescrição da magnitude do fluxo de substância ao longo da fronteira. Se o termo não homogêneo
∅ (x ,t) é zero, temos a condição de contorno homogênea de segunda espécie que representa zero fluxo substância na
superfície de fronteira.
O caso α (x )=1, β (x )=0 , x ϵ S é chamado a condição de contorno do primeiro tipo, que representa a magnitude do
potencial a ser fixado à superfície de contorno. Se o termo não homogêneo ∅ (x ,t) é zero, temos a condição de
contorno homogênea do primeiro tipo, que corresponde ao potencial zero na superfície de fronteira. Uma superfície de fronteira mantida a um potencial constante T0 também satisfaz a condição de contorno homogênea do primeiro tipo quando o potencial é medido em excesso de T0. Processos acoplado de difusão envolvem condições de contorno mais complicado. Os casos linear das condições de contorno são discutidas na seção seguinte.
1,5 Classificação de Problemas de valor linear FRONTEIRA
1,5 Classificação de Problemas de fronteira linear VALOR DE DIFUSÃO DE CALOR E MASSA
Neste livro, estamos preocupados com a análise de uma grande variedade de problemas de calor e massa de difusão que são encontrados em inúmeras aplicações práticas. Para lidar com esses problemas com uma abordagem
sistemática e unificada, que classificam os problemas de fronteira linear valor de difusão de calor e massa, que são estudados neste livro nas seguintes categorias.
Classe I Os problemas nesta classe incluem o calor instável ou de difusão de massa em uma região finita de geometria arbitraria caracterizado pela Equação (1.34) sujeita às condições iniciais e de contorno (1.37) e (1,38). A formulação matemáticas de tais problemas é dado como
w (x) (1.40a)
sujeita à condição inicial
(1.40b)
e as condições de contorno
(1.40c)
onde os operadores lineares L e B são definidos como
(1.40d)
e
(1.40e)
Classe II Os problemas nesta classe incluem o calor instável ou de difusão de massa em uma região finita composta V, limitado por uma superfície S, e subdividida em n sub-regiões finitas Vk (k = 1,2, .., n) [5] . O contato hk importância condução hkp (x) entre as duas sub-regiões adjacentes Vk e Vp é considerado dependente do espaço. Para cada sub-região Vk o problema de valor inicial de fronteira é obtida a partir de equações (1.34), (1.37) e (1,38), mas eles são acoplados através da condição de fronteira entre duas regiões adjacentes que exigem atenção especial. A formulação matemática dos problemas que pertencem a esta classe é dado como
w (1.41a)
sujeita à condição inicial
(1.41b)
e às condições de contorno na superfície externa x ES dada como
B (1.41c)
onde os operadores lineares Lc e Bk são definidos como (1.41d)
e
(1.41c)
Aqui d / dn representa a derivada normal na superfície externa S em Vk região no sentido de ida.A condição de contorno nas interfaces xe Skp (k = p), é dada como
(1.41f)
onde d / dnkp é a derivada normal no Skp interface entre as regiões Vk, Vp, no sentido de Vk a Vp.
Classe III Os problemas pertencentes a esta classe são caracterizados por duas equações de difusão do tipo de dado pela Equação (1.34) acoplado no limite, mas as condições de contorno associadas a este acoplamento são mais gerais que os citados anteriormente, consequentemente, a sua solução requer matemática especial técnicas [6]. Há numerosos problemas práticos que podem ser caracterizadas por um tal sistema de equações: por exemplo, a transferência de calor em fluxos concorrentes trocadores de calor tubo duplo, simultânea de calor e massa. iransier no fluxo interno em um duto, cujas paredes são revestidas com um material sublimatórios, transferência de massa simultâneas entre um líquido e um gás fluindo em separado em um canal de placas paralelas, e muitos outros [7 |. A formulação matemática dos problemas pertencentes à classe III, é dada como
wk (x) (1.42a)
1.5 Classificação de Problemas de valor linear FRONTEIRA sujeita à condição inicial
Tk (x, 0) = fk (x), EV x (k = 1,2) (1.42b)
e as condições de contorno
Ak (1.42c) Bk (1.42d)
onde os operadores e Lc Bk são definidos pelas equações (1,41 d) e (1.41e), respectivamente.
Classe IV Os problemas desta classe são caracterizados por um conjunto de equações de difusão em que os potenciais Tk (x, t), k = 1,2,3 ,...,/?, em cada ponto do espaço xe V são acoplados através de termos fonte-dreno. Esse modelo matemático é apresentado em [8] para descrever as temperaturas dos componentes de um meio heterogêneo (concreto solo, água e / ou óleo saturado de camadas de areia, etc.) Alguns processos de difusão na presença de reações químicas são acoplados através de termos fonte-dreno também. A formulação matemática dos problemas desta classe é dado como [14]
WK (1.43a)
com a condição inicial
Tk (xt )=/*( 0 x), x «K = (k = n 1,2) (1.43b)
e as condições de contorno
Bk (1.43c)
onde os operadores e Lc Bk são definidos pelas Equações (1.41d) e (1.41e), respectivamente.
Classe V Nos problemas pertencentes à classe IV, que assumiu relação de simetria entre o AKP condutâncias (ie, AKP = APK), como dada pelas equações (1.43a). No entanto, alguns problemas de difusão, como a transferência de calor na mistura fluido-sólido em fluxo turbulento no interior de um tubo [9] ou de difusão em um reator tubular [10], não há simetria entre as condutâncias AKP, ou seja, do AKP ≠APK. Portanto, em classe V, consideramos os problemas com
AKP ≠APK para o caso n = 2; a formulação matemática destes problemas é dado como [11]
wk (1.44a) com as condições iniciais e de fronteira
Tk (x, 0) (1.44b) BkTk {x, t) (1.44c)
onde os operadores Lc e são definidos pelas Equações (1.41d) e (1.41e), respectivamente
Classe VI Os problemas desta classe são caracterizados por um conjunto de equações de difusão do tipo de dado pela Equação (1.34) por d (x) = 0, mas a sua ligação através das condições de contorno é complicada pelo fato de que um equilíbrio substância bruta é envolvidos ao longo da superfície de contorno. Existem muitas aplicações dos problemas que pertencem a esta classe. No processo de extração de substância de um meio poroso sólido, pode-se considerar a extração do açúcar a partir de curvas de beterraba sacarina, a extração de óleo vegetal a partir de sementes, e muitos outros. Na produção de sais minerais na indústria química, pode-se considerar a extração dos componentes solúveis a partir da linha mineral por meio de sais ou água. Um processo análogo em metalurgia extrativa envolve o uso de soluções muito diluídas de ácidos e sais para os fins de dissolução. Todos esses processos têm um mecanismo comum, isto é, a transferência de massa a partir do interior do corpo poroso por um processo de difusão descrita pela equação (1.34) para d (x) = 0. A condição de contorno para esse problema é complicado pelo fato de que o acúmulo da substância no líquido de extração e da separação da substância a partir de partículas porosas são acoplados. A condição de contorno desejada para esse processo pode ser desenvolvido a partir da condição de contorno (1.38) através da modificação adequada da termo ∅ (t) não homogeneo. Ou seja, a p <nonhomogeneous prazo (t) é agora uma função desconhecida, mas deve estar relacionado com a variação da concentração do líquido ao redor através de um balanço de massa. Formulação matemática deproblemas pertencentes à classe VI é dada como [12]
Wk (1.45A)
com o contorno e condições iniciais
BktK (1.45b) (1.45c) Tk (1.45d) O (1.45e)
onde os operadores e Lc Bk são definidos como
Lc (1.45f) Bk (1.45g)
Aqui Q (0) é a fonte de substância em redor ak líquido e é o coeficiente constante.
Classe VII: O problema geral desta classe pode ser convenientemente expressa em termos de difusão do soluto a partir de uma bem agitada de volume limitado de solução para uma região de material de geometria arbitraria. A solução bem a agitação, a concentração do soluto na solução depende apenas de tempo, e é determinada por um balanço de massa nas fronteiras da região do material, ou seja, a taxa na qual as folhas de soluto, a solução deve ser igual à que está em que entra na região de material através de superfícies de sua fronteira. Como soluto difunde através da região, material de primeira ordem, a reação ocorre e reversível. como resultado, um produto não
difundido é formado em qualquer ponto, a uma taxa proporcional à concentração do soluto livre para difundir. O produto formado depois desaparece a um ritmo proporcional à sua própria concentração [13]. A formulação matemática deste problema é dado como [15] (1.46a) (1.46b)
com o contorno e condições iniciais
(1.46c)(1.46d)(1.46e)(1.46f)
onde os operadores L e B são definidos como
(1.46g)(1.46h)
Aqui alfa é um coeficiente constante.
1,6 transformação de coordenadas
Na formulação matemática dos problemas de fronteira várias valor discutido anteriormente, as equações governantes são apresentados sem uma referência a um determinado sistema de coordenadas. Quando estas equações devem ser resolvidas para um meio de ter uma configuração específica, o sistema de coordenadas escolhido deve ser tal que deve caber às superfícies de fronteira da região em causa. Por exemplo, os corpos rectangulares requerem um sistema de coor ¬ retangular Nate, um cilindro circular exige um sistema de coordenadas cilíndricas, e assim por diante. Portanto, apresentamos uma breve discussão sobre a transformação do sistema de coordenadas retangulares para um sistema de coordenadas ortogonais.Considere um sistema de coordenadas cartesianas (x1, x2, x3) e um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais (u1, u2, u3). M Um diferencial de comprimento ds 'o sistema de coordenadas cartesianas é dada como
(1.47)
Vamos a relação funcional entre os dois sistemas ser
(1.48)
A dxi comprimento diferencial ao longo do eixo xi está relacionado com as coordenadas (u1, u2, u3) por
(1.49)
1.6 transformação de coordenadas
Substituindo a equação (1.49) na Equação (147), e notando que o rodufcts cruz deve desaparecer quando ut, U2 e U3 são ortogonais entre si, os rendimentos
(1.50)onde(1.51) Os coeficientes ak são chamados fatores de escala, que podem ser constantes ou funções das coordenadas. Quando a relação funcional entre o cordinales do cartesiano eo ortogonais> sistema de coordenadas curvilíneas dado, o ak fatores de escala são avaliados usando a Equação (1.51). Uma vez que os fatores de escala são conhecidos, a transformação linear de V operador [] é dada pela seguinte relação
(1.52)
Se k (x) é uniforme (isto é, independente da posição), a Equação (1.52) dá o Laplaciano
(1.53) Exemplo 1.1 Nós consideramos a transformação do operador Laplaciano do •. ele sistema de coordenadas retangulares (x, y, z) para o sistema de coordenadas cilíndricas (r, 0, z), mostrado na Figura 1.1.
A relação funcional entre as coordenadas é dada por
x = 0 RCOs, rsin y = 0, z = z (1-54)
Deixe ar, a, os fatores de escala para a (r, 0, z) do sistema. Elas são avaliadas por meio deEquação (1.51) como segue:
ARa0az Portanto os fatores de escala para o sistema de coordenadas cilíndricas são
AR = 1, a0 = r, z = 1 (1,55)
O Laplaciano em coordenadas cilíndricas sistema, a partir da Equação (1.53), é dada por
(1.56)
Exemplo 1.2 Consideremos agora a transformação do operador Laplaciano do sistema de coordenadas retangulares (x, y, z) para o sistema de coordenadas esféricas (r, O, 0), ilustrada na Figura 1.2
FIGURA
1.7 REDUÇÃO DE FORMAS DE DUAS e unidimensional
A relação funcional entre os sistemas de coordenadas é dado como
(1.57)
Em seguida, os fatores de escala tornam-se
(1.58)
e o Laplaciano no sistema de coordenadas esféricas assume a forma
(1.59)
1.7 REDUÇÃO DE FORMAS DE DUAS e unidimensionalNa Seção 1.5, apresentamos a formulação matemática das sete classes diferentes de problemas de valor de contorno no domínio geral tridimensional. Um é instrutivo para descrever brevemente as considerações físicas que levam à redução do problema tridimensional para os dois e unidimensional.
Redução à forma bidimensional
Vamos primeiro considerar uma região finita delimitada por uma superfície S 2 cuja geratrizes são paralelas ao eixo z, e pelo S0 superfície em z = z 0 e S1, em z = z1 como ilustrado na figura 1.3.
FIGURA
A fim de reduzir o problema geral em três dimensões (1,40) para a forma bidimensional, podemos escolher todos os parâmetros em que este sistema seja independente da coordenada z e definir
(1.60)
O domínio da solução é a área S0 = S1 multiplicado por ZX - ZQ e a superfície delimitadora é a curva C delimitadora multiplicado por ZX - z0. O valor da zx - z0 pode ser arbitrária, uma vez o problema não depende de z. Então o problema (1.40) tem a mesma forma para o caso bidimensional, mas V denota a área do domínio da solução e S denota a curva delimitadora deste domínio.
Redução à forma unidimensional
Para ilustrar o conceito básico, mais uma vez considerar o problema do valor limite da classe I definida pelas Equações (1.40). No tridimensional sistema retangular temos (1.61a) (1.61b)
Suponha que nós consideramos uma região finita limitada por uma superfície S = 52, cuja geração de linhas são paralelas ao eixo x, e pela superfície S = 50 em x = x0 e S = Sx em * = xx como ilustrado na figura 1.4. A fim de reduzir o problema geral em três dimensões (1,40) para a forma unidimensional na variável x, podemos escolher os vários parâmetros neste sistema como
(1.62)
Quando a identidade (1.62) são introduzidas as equações (1.40), segue-se que a variação de T (x, t) ocorre apenas nas variáveis x e f, isto é,
(1.63)
Então, d dy / = d / dz - 0 eo operador L definido pelas Equações (1.40a) tornam-se
(1.64a)
Da mesma forma, o limite B operador condição definida pela Equação (1.40e) toma a forma
(1.64b)(1.64c)
O sinal negativo que aparece na Equação (1.64b) é devido ao fato de que a ida desenhado normal à superfície de contorno x = x0 está na direção x negativa. Portanto, d / dn = - d / dx na fronteira x = x0.
As condições de contorno operadores B0 e BY, dada pelas equações (1.64b, c) pode ser escrita de forma mais compacta como
(1.64d,e)
Assim, a forma unidimensional da Classe I torna-se problema (1.65A)
sujeita às condições de contorno
(1.65b, c)
E a condição inicial
T (x, 0) = f (x) (1.65d)
Outros problemas em três dimensões consideradas neste capítulo pode ser reduzido à forma unidimensional por processos similares.
REFERÊNCIAS
