Capítulo XI Introdução à Cosmologia Relativistica... · ou organizam-se em estruturas de galáxias, podendo conter entre 10 ... em relação à direção da velocidade ... A lei

11 Introdução à cosmologia

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Capítulo XI

Introdução à Cosmologia

A cosmologia trata de temas cujo interesse é inerente a todos os seres humanos que após uma longa jornada evolucionária, de certa forma revivida por todos a partir da concepção até o despertar da consciência, passa a explorar o mundo que os acollhe. O conhecimento sobre este mundo vai se tornando cada vez maior, idade após idade e geração após geração, graças à capacidade humana de transmitir os conhecimentos adquiridos para as gerações futuras, num processo cumulativo responsável pela civilização tecnocientífica atual. Assim como a necessidade de saciar a fome fisiológica é um dos instintos básicos de sobrevivência, a necessidade de saciar a fome de conhecimento é um instinto necessário para a sobrevivência futura como civilização, empurrando do confortável berço humano que é a Terra em direção ao espaço exterior. É possível intuir que, assim como os peixes que abandonaram o ambiente aquático para colonizarem a terra firme não são peixes, os homens que colonizarem o espaço deverão passar por um longo processo evolucionário para se adaptarem ao novo ambiente. A partir daí, por enquanto, somente a ficção científica para explorar as múltiplas possibilidades. Assim, é natural que a cosmologia desperte tantos fascínios, seja entre leigos ou cientistas. Nos remete a questões que podem afetar as crenças mais arraigadas de cada um de nós e de por à prova todos os conhecimentos adquiridos pela ciência ao longo do tempo. Questões tão ancestrais quanto a origem e o destino do próprio homem assim como a origem e o destino do universo. Questões ligadas a conceitos intangíveis como o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, as propriedades físicas e geométricas do espaço-tempo e a sua relação com a matéria e tudo o mais que o popula.

O Princípio Cosmológico é a base da Cosmologia Moderna e a Relatividade Geral fornece a ferramenta teórica matemática para lidar com a estrutura do espaço tempo na presença da interação gravitacional que, acredita-se, seja predominante em escala cosmológica. A equação fundamental da Cosmologia é a equação de Friedmann que, casualmente, pode ser obtida usando a energia potencial gravitacional newtoniana na equação de conservação da energia mecânica total. Numa fase introdutória, é um procedimento útil para manter em foco a cosmologia, evitando o estresse de uma abordagem direta via Relatividade Geral. Dados estes passos iniciais, a cosmologia é sem dúvida um dos maiores campos de aplicação da Relatividade Geral, o que pode tornar sua aprendizagem bastante prazerosa.

O Modelo Cosmológico Padrão descreve a evolução do Universo comandada pela interação gravitacional após a grande explosão inicial (Big Bang) que forneceu a energia cinética necessária para o movimento de expansão atual. Levando em conta o ambiente do espaço-temporal e o seu conteúdo energético, o modelo cosmológico padrão faz uma série de previsões bem sucedidas como a presença da radiação cósmica de fundo na região do micro-ondas e a abundância relativa dos elementos químicos leves. Um modelo cosmológico mais abrangente, o Modelo Inflacionário explora os efeitos quânticos e interações de curto alcance que acredita-se sejam predominantes na fase inicial da evolução do Universo para descrever a dinâmica da grande expansão inicial e a presença de pequenas inomogeneidades primordiais que darão origem às grandes inomogeneidades atuais como os aglomerados galácticos.


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Entre os problemas da cosmologia moderna, a densidade prevista de matéria bariônica é da ordem de 4% em relação à densidade crítica, sendo que a dinâmica da evolução do universo prevê uma densidade bem próxima à densidade crítica. O universo observável é constituído de matéria bariônica com as suas quatro interações fundamentais. Estudos das velocidades de rotação das estrelas em torno de núcleos galácticos preveem a exixtência de uma matéria não visível (interagindo apenas gravitacionalmente) responsável por cerca de 80% da massa total de uma galáxia, restando 20% para a matéria bariônica. Esta proporção também está de acordo com os dados fornecidos pelas lentes gravitacionais.

No cômputo geral, a matéria bariônica contribui com 5%, a matéria escura com 20% e uma ainda misteriosa energia escura com 75%, tendo como base a densidae crítica. Enquanto que a matéria escura seja parte das grandes inomogeneidades, moldando as galáxias e os aglomerados galácticos, a energia escura deve estar diluída numa distribuição uniforme constante no tempo. Necessária para explicar a expansão acelerada do universo nos tempos mais recentes, observada a partir dos levantamentos sistemáticos das velocidades de recessão de supernovas padrões conhecidas como tipo Ia, deve ser responsável por uma força gravitacional de natureza repulsiva, estando associada à constante cosmológica introduzida por Einstein num outro contexto.

Muitas das teorias de unificação das interações fundamentais pretendem ser solidárias com a evolução do universo, partindo de uma interação inicial unificada e sofrendo quebras em processos similares a transições de fases à medida que a densidade de energia do universo vai diminuindo em função da expansão. A primeira a se desacoplar é a interação gravitacional, de longo alcance, responsável pela evolução do universo em escala cosmológica. A seguir, a interação nuclear forte, de curto alcance, responsável pela estrutura da matéria hadrônica (bárions e mésons), possibilitando a formação dos núcleos atômicos. Por último, a separação das interações fraca e eletromagnética, resultando na configuração presente, quando os elétrons são capturados pelos núcleos atômicos com a formação dos elementos químicos.

11.1 Cosmologia Observacional Vamos começar da Terra, o planeta que habitamos. É um dos oito planetas do Sistema Solar que inclui ainda planetóides, cometas, asteróides, luas, etc. Acredita-se que sistemas planetários como o Sistema Solar sejam comuns, sendo que o Sol é apenas uma estrela entre tantas outras que se organizam sistemas binários, ternários, etc. ligadas gravitacionalmente em órbitas próximas. Estas estrelas ou sistemas estelares, por sua vez, formam aglomerados ou organizam-se em estruturas de galáxias, podendo conter entre 10⁶ a 10¹² estrelas. A Via Láctea é onde o Sol se hospeda, nos limites de um dos seus braços espirais. Uma galáxia típica tem dimensão da ordem de 0,1 ��. O �� (paralax per second) corresponde à distância de uma estrela fixa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições opostas durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição desta estrela deslocada de um segundo de arco, e equivale a 3, 262 �� − ��. Um ano-luz, por sua vez, é a distância percorrida pela luz no vácuo durante um ano, �� − �� = 9,461 × 10¹⁷�� . Estima-se que a Via Láctea contenha aproximadamente 100 bilhões (10�� ) de estrelas distribuídas no bulbo central e no disco equatorial que se estende a 110 �� anos-luz de diâmetro.


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As galáxias próximas ligam-se gravitacionalmente em sistemas binários assim como aglomerados de galáxias separadas por distâncias da ordem de 1 ��. Os aglomerados de galáxias podem conter de poucas dezenas a alguns milhares de galáxias. A nossa Via Láctea pertence a um pequeno aglomerado chamado Grupo Local, com cerca de outras 25 galáxias menores. Os grupos e aglomerados de galáxias formam estruturas maiores, os super-aglomerados de galáxias, com dimensões da ordem de 100 ��, sendo estas as maiores estruturas ligadas gravitacionalmente. Acima dos 100 ��, a interação gravitacional torna-se bastante tênue, de modo que os super-aglomerados de galáxias praticamente não interagem entre si, distribuindo-se uniformemente, separadas por distâncias também da ordem de 100 ��. Conforme as observações astronômicas se aprofundam no espaço, a distribuição de matéria altamente inomogênea e anisotrópica representada pelas estrelas, galáxias, aglomerados e super-aglomerados de galáxias passa a se repetir, mostrando que, a partir de uma determinada escala, da ordem de 100 ��, a distribuição de matéria observável torna-se homogênea e isotrópica, reforçando a idéia de que não deve haver posições ou orientações privilegiadas no universo. A recessão sistemática das galáxias distantes, observada pela primeira vez por Hubble, com velocidade de recessão proporcional à distância, também indica uma distribuição homogênea de matéria estelar. Mais recentemente foi detectada a radiação cósmica de fundo na faixa de micro-ondas, com distribuição altamente isotrópica. Presume-se que esta radiação provenha dos primórdios da evolução do universo, quando a temperatura esfriou o suficiente para possibilitar o desacoplamento da matéria e radiação, ocorrida com a captura dos elétrons livres remanescentes pelos núcleos atômicos com a formação dos primeiros elementos químicos.

A expansão do universo afeta as distâncias somente a partir da escala cosmológica, justamente pelo fato de os super-aglomerados de galáxias, distribuídas uniformemente, não mais estarem ligadas gravitacionalmente.

11.1.1 Desvio da Raia Espectral

As luzes provenientes das galáxias são emitidas no interior das estrelas podem passar através dos gases quentes, nuvens e aglomerados globulares. Deste modo, além de informações macroscópicas como o tamanho e a forma das galáxias, por exemplo, carregam informações sobre as propriedades microscópicas, como a composição química dos gases, nuvens e aglomerados galácticos, que podem ser obtidas pela análise espectral da luz. De fato, a decomposição espectral acusa a presença de linhas de absorção características dos elementos químicos presentes nos gases através dos quais passa a luz proveniente do interior das estrelas.

Um dos fatos mais importantes da cosmologia observacional é a presença de um desvio sistemático para o vermelho (red shift) das raias espectrais das galáxias distantes, tanto maior quanto mais distante. Estas observações foram apresentadas pela primeira vez por Edwin Hubble em 1929 como resultado dos estudos sistemáticos conduzidos pelo mesmo no levantamento das distâncias das galáxias. Supondo que se conheça a luminosidade absoluta da fonte (potência), �� !, a distância pode ser inferida a partir da sua luminosidade aparente (energia/área/unidade de tempo), ��"�# através da relação geométrica


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��"�# = �� !4$% . (11.1) Observa-se que quanto mais distante a galáxia maior é o desvio para o vermelho

(redshift) e se este desvio for creditado ao efeito Doppler, significa que as galáxias distantes estão se afastando da Via Láctea com velocidades crescentes com a distância. O efeito Doppler relativístico é dado por

) = )′+(1 − ,��-) (11.2)

onde )′ é a frequência de emissão, ) a freqüência de observação, - o ângulo de incidência da luz definida pelo vetor de onda . em relação à direção da velocidade relativa fonte-observador / e

+ = 101 − ,% , , = /� . (11.3)

Em deslocamentos frontais, - = 0 e - = $ implicam movimentos relativos de aproximação e de afastamento, respectivamente, entre a fonte e o observador. O desvio para o vermelho significa que as frequências de observação são menores do que as correspondentes frequências de emissão, ) < )′ e, portanto, a fonte e o observador devem estar se afastando (- = $), de modo que a equação (11.2) fica

) = )′+ (1 + ,) (11.4)

ou, em termos de comprimento de onda 4 = �/), 4 = 46+ (1 + ,) . (11.5)

No caso de velocidades não relativísticas, / ≪ �, , ≪ 1 e + ≃ 1, de modo que 4 ≃ 46(1 + ,) , (11.6)

de onde resulta o parâmetro de red shift

� = 4 − 464′ ≃ /� . (11.7)

Hubble observou que o parâmetro de red shift das galáxias resultava proporcional à distância das mesmas em relação à Via Láctea,

� = /� = ;<� , (11.8)

atualmente conhecida como a lei de Hubble. A constante de Hubble é definida como

;< = 100ℎ ?�� /�� (11.9)

juntamente com o parâmetro ℎ que deve ser determinado a partir das observações, que lhe confere o valor


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ℎ = 0.65@<,�A<,�B . (11.10)

11.1.2 Universo em expansão

A lei de Hubble (11.8) é mais uma evidência da homogeneidade e isotropia espacial do universo, e pode ser considerado como mais uma evidência desta homogeneidade e isotropia espacial, embora em evolução no tempo. Na forma vetorial, a lei de Hubble fica C = ;< D , (11.11)

onde D e C são os vetores posição e velocidade, respectivamente, para um observador em repouso tendo como referencial a Via Láctea, por exemplo. Sejam D� e D% as posições relativas a este observador e que devem também satisfazer à lei de Hubble, isto é, CE = ;< DE , (� = 1 e 2) (11.12)

onde C� e C% são as velocidades de recessão dos objetos localizados nas posições D� e D%, respectivamente. Então CG − CH = ;< (DG − CH) = ;< D , (11.13)

mostrando que a lei de Hubble também é válida para um observador em D� ao observar o objeto em D% e vice-versa. Esta dinâmica e a isotropia tornam conveniente a introdução de um fator de escala, I(J), para a distância radial, (J) = I(J)(J<) = I(J)< , (11.14)

onde J< é um tempo de referência, que pode ser o tempo presente tal que I(J<) = 1. Em situações não suscetíveis a confusões, pode-se usar a notação simplificada = (J<) = < para indicar a distância no tempo presente. A derivada em relação ao tempo da equação (11.14) é a velocidade radial K(J) = IK (J)(J<) = IK (J)< (11.15)

que, com o parâmetro de Hubble

;(J) = IK (J)I(J) (11.16)

resulta na lei de Hubble L(J) = ;(J)(J) . (11.17)

No tempo presente resulta justamente a equação (11.8) para

;< = IK (J<)I(J<) = IK (J<) . (11.18)

Existe uma outra relação importante envolvendo o parâmetro de red shift: considere uma fonte luminosa localizada a uma distância radial . Se a luz for emitida no instante J� chegando até o observador no instante posterior J<, o intervalo de tempo gasto neste percurso pode ser calculado integrando a relação diferencial


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�MJ = M(J) = I(J)M (11.19)

que descreve a propagação da luz da fonte até o observador. Assim,

� N 1I(J)OPOQ MJ = N M<

# = R() . (11.20)

Se a segunda frente de onda partir no instante J� + S� chegando ao observador no instante J< + S<, resulta

� N 1I(J)OPATPOQATQ MJ = N M<

# = R() . (11.21)

A integral do lado esquerdo desta equação pode ser desdobrada em

N �MJI(J)OPATPOQATQ = − N �MJI(J)OQATQ

OQ MJ + N �MJI(J)OPOQ + N �MJI(J)OPATP

OP (11.22)

que, comparada com as integrais (11.20) e (11.21) resulta

− �S�I(J�) + R() + �S<I(J<) = R() . (11.23)

que, a partir das relações entre período, frequência e comprimento de onda, resulta S�S< = )<)� = 4�4< = I(J�)I(J<) = I(J�) , (11.24)

lembrando que I(J<) = 1. Assim, o parâmetro de red shift resulta

� = 4< − 4�4� = 1I(J�) − 1 . (11.25)

O desvio para o vermelho significa 4< > 4� e, portanto, � positivo, significando um universo em expansão tal que I(J�) < I(J<) = 1. De uma forma geral,

I(J) = 1� + 1 (11.26)

e

4< = 4�I(J�) = 4I(J) . (11.27)

Esta última relação pode ser reescrita em termos de frequências, )< = )�I(J�) = )I(J) . (11.28)

11.1.3 Radiação Cósmica de Fundo

A observação feita em 1929 por Edwin Hubble do desvio sistemático para o vermelho das raias espectrais provenientes de objetos astrofísicos distantes, diretamente proporcional à distância (lei de Hubble), mostra o universo como um todo em expansão, tornando-se cada vez mais diluído e frio. Significa um passado muito mais quente e denso, resfriando-se e


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tornando-se mais rarefeito devido à expansão. Portanto, durante a sua evolução, o universo deve ter passado por uma época na qual a densidade de energia e a temperatura tinham valores extremamente altos comparados com os valores atuais. Deve ter passado por fases onde matéria e radiação mantinham-se em equilíbrio térmico, pares matéria e antimatéria sendo criados e aniquilados em igual velocidade. Com a expansão e consequente diminuição da temperatura, a matéria no estado presente começa a emergir, tendo como componentes elétrons, prótons, nêutrons, etc., em velocidades médias relativísticas e em equilíbrio térmico com a radiação. Com o gradual esfriamento, núcleos atômicos começam a se formar, primeiramente em estado ionizado e, depois, começando a capturar os elétrons, originando primeiras estruturas atômicas (recombinação). Isto ocorre quando a temperatura cai abaixo de S < 3000<V (?S < 10 �/), causando o desacoplamento matéria-radiação quando os fótons, até então em equilíbrio térmico com os elétrons e os prótons remanescentes, não podem mais interagir com a matéria agora na forma atômica neutra, e passam a propagar-se com pouquíssima interferência, resfriando e diluindo com a expansão do universo a uma taxa mais elevada que a matéria. Estes fótons residuais são a origem da radiação cósmica de fundo, detectada hoje na faixa de frequências das micro-ondas.

Em perfeito equilíbrio térmico com a matéria até o desacoplamento matéria-radiação, deve resultar num espectro de radiação de corpo negro, como realmente ocorre, correspondente à temperatura atual de aproximadamente 3<V . A distribuição espacial é extremamente isotrópica, coerente com o universo inicial também homogêneo e isotrópico. No entanto, observações mais precisas indicam minúsculas inomogeneidades representadas por perturbações de uma parte em 10B com relação à temperatura de fundo, que correspondem a flutuações da ordem de (~10@B)<V . Acredita-se que estas pequenas inomogeneidades (em escala cosmológica) são a origem das atuais inomogeneidades formando os aglomerados de matéria que formam os sistemas de galáxias.

Esta radiação cósmica de fundo foi detectada, casualmente, em 1964, por Arno Penzias e Robert Wilson, dois astrônomos a serviço da Bell Laboratories, cujo objetivo era identificar as fontes causadoras das persistentes interferências nas telecomunicações.

11.1.4 Raios Cósmicos

A maior parte das informações do espaço exterior é obtida através de observações ópticas estendidas a um amplo espectro da radiação eletromagnética através de detectores sensíveis a faixas específicas de frequências, desde ondas de baixa frequência (ondas de rádio), passando por micro-ondas, infravermelho, a luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. Outras informações chegam de forma mais direta, através de inúmeros impactos de objetos e matérias provenientes do espaço exterior. Podem ser objetos macroscópicos, como os meteoritos, ou microscópicos, essencialmente partículas elementares que formam a matéria usual, como prótons e outros núcleos atômicos altamente energéticos, identificados como raios cósmicos. Os raios cósmicos de baixa energia, até da ordem de 10X �/, são principalmente de origem solar ou sofrem forte influência solar, e são em parte desviados ou capturados pelo campo geomagnético, direcionados na alta atmosfera para as regiões polares. Os raios cósmicos de alta energia, até da ordem de 10�Y �/, são partículas liberados nas explosões


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estelares super-novas, por exemplo, com energias iniciais da ordem de centenas de ��/ e que, sob a influência do fraco campo magnético intergaláctico, são mantidos aprisionados pelas linhas de campo. Ao encontrarem e colidirem com regiões de inomogeneidades do campo magnético, aumentam a sua energia, num processo estatístico sucessivo sugerido por Fermi. A partir de aproximadamente 10�Z �/ , o raio giromagnético torna-se maior que a espessura do disco galáctico, podendo abandonar a galáxia. Por este motivo acredita-se que os raios cósmicos ultra-energéticos, com energias entre ∼ 10�Z �/ a 10%< �/ , sejam extra-galácticos. Evidências recentes apontam a sua origem para as galáxias de núcleos ativos onde, aparentemente, matérias estelares estão sendo capturadas por buracos negros. ⇒ Obs.: O elétron-volt (�/) é uma unidade de energia correspondente à energia potencial de um elétron submetido a uma diferença de potencial de 1 L��J , e tem a equivalência 1 �/ = 1,602@�X ]��′�. Comumente é usado também como unidade de massa, considerando a equivalência massa-energia ^ = ��% da Relatividade Restrita.

Como partículas carregadas com energias da ordem de 10¹⁹�/, ao interagirem com os fótons da radiação cósmica de fundo, tendem a perder energia rapidamente em reações de foto-produção de píons do tipo � + + → � + $⁺ e � + + → � + $⁰, por exemplo, a presença dos raios cósmicos com energias acima da ordem de 10²⁰eV configura-se um dos grandes mistérios da física atual, principalmente porque não se conhece nenhuma fonte próxima, até da ordem de 50 ��, com mecanismos capazes de fornecer energias tão altas, agravado pelo fato de estes raios cósmicos ultra-energéticos aparecerem distribuídos isotropicamente. As partículas primárias dos raios cósmicos são essencialmente matéria comum, prótons e núcleos atômicos leves, em proporção similar à da matéria presente no sistema solar, e a ausência de antipartículas é um indicativo de que, pelo menos nas regiões de onde vêm os raios cósmicos, o universo é constituído principalmente de matéria.

11.1.5 Matéria Escura

Uma galáxia típica tem dimensão da ordem de 0,1 ��, podendo conter algo entre 10Y a 10�% estrelas. A maior parte localiza-se no núcleo da galáxia, bulbo (bojo) esférico com raio da ordem de 1 ?��, em cujo centro pode residir um buraco negro super massivo. Além do bulbo central, a maioria das galáxias estende-se em forma de disco, com diâmetro da ordem de 50 ?�� contendo estrelas, gases e poeira intergaláctica em formações de braços espirais mais densos.

Estudos mostram que as velocidades de rotação das estrelas ao redor do núcleo das galáxias, em função da distância radial ao centro galáctico, não é compatível com a distribuição da matéria observável (estrelas, gases e poeira intergaláctica), indicando um deficit da ordem de 80% da matéria total necessária para explicar a dinâmica do movimento estelar. Esta matéria não visível, que recebeu a denominação de matéria escura, deve estar distribuída em toda a extensão da galáxia, estendendo-se muito além do núcleo e dos braços espirais, numa distribuição esfericamente simétrica, denominada halo. A matéria escura deve interagir predominantemente via interação gravitacional e, dependendo da sua natureza física, por enquanto desconhecida, via interação fraca, o que poderia tornar detectável, indiretamente, pelas observações de decaimentos previstos pela interação eletrofraca. Outra evidência associada à matéria escura é o efeito de lente gravitacional observada em algumas


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formações de galáxias distantes só justificável pela presença de uma massa muito maior que a devida à matéria visível.

11.1.6 Energia Escura

As medições das velocidades de recessão das supernovas tipo d (usadas como velas padrão de luminosidade) em função de suas distâncias mostram que a expansão do universo ocorre de forma acelerada, contrariando a previsão do Modelo Cosmológico Padrão, onde a aceleração é intrinsecamente negativa devido à força gravitacional atrativa. No entanto, esta dificuldade pode ser contornada recorrendo a um artifício inicialmente usado por Einstein para obter soluções estacionárias, introduzindo a constante cosmológica nas suas equações, cuja origem física é atribuída a uma misteriosa energia escura. Considerando os dados atuais, chega-se à conclusão de que, dentre todos os constituintes do universo, algo da ordem de 75% corresponde à energia escura, com distribuição (densidade) espacial uniforme e temporal constante, 20% à matéria escura distribuída no halo das galáxias (Cold Dark Matter) e apenas 5% corresponde à matéria bariônica (matéria comum que forma os elementos químicos) presente nas estrelas, galáxias e nebulosas (poeira e gás). Da matéria bariônica, 75% corresponde ao hidrogênio (próton), 23% ao hélio e 2% aos outros elementos.

11.2 Equação de Friedmann Dados observacionais indicam que a distribuição de matéria no universo observável é espacialmente homogênea e isotrópica, e está num processo de expansão, indicada pelo desvio sistemático para o vermelho das raias espectrais provenientes das fontes distantes. O Princípio Cosmológico assume a homogeneidade e a isotropia do universo como um postulado fundamental.

A rigor, o formalismo teórico adequado para descrever a dinâmica do universo como um todo é a Relatividade Geral, que abriga a interação gravitacional como parte da sua estrutura teórica, através das equações de Einstein. Sendo um sistema de equações tensoriais de segunda ordem, simétrica, abriga dez equações, que podem ser reduzidas a apenas duas pelo Princípio Cosmológico. Destas duas equações, uma define a conservação de energia e a outra é a equação de movimento (equação de Friedmann), que determina a dinâmica da evolução do universo.

Um tratamento mais simplificado consiste em analisar o balanço energético de uma região arbitrária do universo sob a ação gravitacional do resto do universo. Considere uma pequena região arbitrária tomada como um corpo de prova, cujo conteúdo de massa é � = ef/, onde e é a densidade de matéria, uniforme, e f/ o volume da região considerada localizada na superfície de uma esfera imaginária de raio arbitrário . A ação gravitacional sobre o corpo de prova é devida unicamente à massa

� = 4$g3 e (11.29)


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contida no interior desta esfera imaginária. As contribuições devidas à distribuição externa de massas se anulam devido à isotropia do sistema. A energia potencial gravitacional da massa � devido à massa � contida na esfera imaginária é

h() = − ��i = − 4$3 �i%e (11.30)

de modo que a energia mecânica total do corpo de prova será

^ = 12 K % − 4$3 �i%e (11.31)

que pode ser escrita na forma K%% = 8$3 i e + 2^�% . (11.32)

Em termos do fator de escala R(t) definido em (11.15) e do parâmetro

j = − 2^�<% (11.33)

resulta IK %I% = ;% = 8$3 ei − jI% . (11.34)

Esta é a equação de Friedmann, uma equação diferencial de primeira ordem no tempo, não linear, cuja solução depende da densidade de matéria e(I). Derivando em relação ao tempo, resulta a aceleração

Ik = 4$3 iI% lelI + 8$3 eiI . (11.35)

A energia total contida na esfera imaginária é essencialmente devida ao conteúdo de massa,

m = � = 4$3 ge (11.36)

(a velocidade da luz pode ser omitida desde que massa e energia sejam medidas numa unidade comum) e a relação diferencial envolvendo a variação da energia em função da variação do volume esférico é

Mm = 4$%eM + 4$3 g lel M (11.37)

que, combinada com a relação termodinâmica Mm = −�M/ = −4$%�M (11.38)

resulta

4$%eM + 4$3 g lel M + 4$%�M = 0 , (11.39)

isto é,


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lelI = − 3I (e + �) , (11.40)

de modo que a aceleração (11.35) fica

Ik = − 4$3 iI(e + 3�) . (11.41)

Para um universo em evolução sob a ação da força gravitacional atrativa e em fase de expansão é de se esperar que a velocidade de recessão seja decrescente, isto é, que esteja sujeito a uma desaceleração. Assim, o parâmetro de desaceleração, definida por

n = − IIKIK % (11.42)

tem um papel relevante na cosmologia.

11.2.1 Densidade crítica

Se a única interação responsável pela evolução do universo for gravitacional, a aceleração é intrinsecamente negativa porque, devido à natureza atrativa da força gravitacional, a expansão deve ser necessariamente desacelerada. Se a desaceleração é suficiente ou não para reverter a expansão depende da energia cinética inicial disponível em comparação com a energia potencial.

Se a energia total for positiva (j < 0) a expansão continuará indefinidamente. Se for negativa (j > 0) o sistema está ligado gravitacionalmente e a expansão deve cessar e reverter para um processo de contração.

No caso limite (j = 0) , a expansão continuará indefinidamente, a velocidade de expansão tendendo a zero no limite do tempo infinito. Este caso define a densidade crítica eo tal que

;% = 8$3 eoi ⟺ eo = 3;%8$i . (11.43)

A relação entre a densidade real e a densidade crítica define o parâmetro de densidade Ω = e/eo . (11.44)

Em termos da densidade crítica eo e do parâmetro de densidade Ω a equação de Friedmann (11.34) fica jI% = 8$3 i(e − eo) = 8$3 ieo(Ω − 1) (11.45)

e o parâmetro de desaceleração,

n = (e + 3�)2eo (11.46)

No universo domindado pela matéria não relativística, � ≃ 0 , e portanto n = Ω/2 . (11.47)


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Assim, dependendo da densidade atual do universo, a sua evolução futura pode seguir uma das três alternativas, conforme tabela abaixo: e< j Ω< q< Evolução

> eo > 0 > 1 > 1/2 expansão seguida de contração = eo = 0 = 1 = 1/2 expansão tendendo a estacionário em J → ∞ < eo < 0 < 1 < 1/2 expansão para sempre

A densidade de matéria bariônica atual, componente visível da matéria presente nas estrelas e galáxias, é estimado em Ωt = (0,013 ± 0,0002) ℎ@% < 0,09 (11.48)

para 0,4 < ℎ < 1. Usando a constante de Hubble, a densidade crítica atual é estimada em ρo,< = (1,88 × 10@%X) ℎ%w ∙ ��g = 10,5 ℎ%i�//∙ �g . (11.49)

Dados cosmológicos indicam que o parâmetro de densidade atual deve ser da ordem da unidade, Ω₀≃1, indicando que a densidade atual seja da ordem da densidade crítica, o que está longe de ser satisfeita se considerarmos apenas a densidade bariônica. As contribuições dos fótons e dos neutrinos, estimados em Ωz = (2,51 × 10@B) ℎ@% (11.50)

e Ω{ = (1,71 × 10@B) ℎ@% (11.51)

respectivamente, não são suficientes para aproximar o parâmetro de densidade Ω = Ωt + Ωz + Ω{ + ⋯ da unidade. Além da matéria visível, as galáxias devem conter até da ordem de 80% da massa em matéria escura, e a contribuição restante é preenchida pela energia escura cosmológica tal que Ω = Ωt + Ωz + Ω{ + Ω}~ + Ω}� ≃ 1 (11.52)

11.2.2 Evolução de universo

Em princípio, a evolução do universo pode ser obtida resolvendo a equação de Friedmann, que pode ser escrita na forma

�1I MIMJ �% − 8$3 ei = − jI% , (11.53)

se a distribuição de matéria e(I) for conhecida. Para a matéria não relativística, dominante no universo atual,

e(I) = e<Ig , (11.54)

de modo que a equação de Friedmann fica


187

�MIMJ �% − 8$3 e<I i = −j , (11.55)

A seguir serão consideradas as três possibilidades do parâmetro κ.

Caso � = �

Este é o caso mais simples, a equação de Friedmann reduzindo-se a

�MIMJ �% = 8$3 e<I i . (11.56)

Usando a densidade crítica no presente,

eo,< = 3;<%8$i (11.57)

resulta

�MIMJ �% = ;<%I . (11.58)

que pode ser integrada como

N √I�< MI = ;< N MJO

< (11.59)

cuja solução é

I(J) = �32 ;<�%/g J %/g . (11.60)

No presente, I(J<) = 1 por definição, resultando a idade do universo

J< = 23 1;< = 23 J� . (11.61)

onde

J� = 1;< ≃ 9,78 × 10X ℎ@� �� (11.62)

define o tempo de Hubble, de modo que J< = 0,65 × 10�< ℎ@� �� (11.63)

é a estimativa da idade do universo, em torno de 10 bilhões (10 × 10X) de anos. A idade de um objeto distante pode ser estimada em função do parâmetro de red shift,

J(�) = 23;< � 1� + 1�g/% . (11.64)

Naturalmente, J(� = 0) = J< assim como no limite � → ∞ , J(� → ∞) = 0 . Na realidade o limite superior de z está definido pelo tempo em que ocorreu o desacoplamento entre a matéria e a radiação, quando o universo tornou-se transparente à radiação


188

eletromagnética, e que tem como resquício a radiação cósmica de fundo na faixa de micro-ondas. Estando em perfeito equilíbrio com a matéria, o espectro desta radiação é dada pela distribuição de Planck a uma dada temperatura S,

�())M) = 8$ℎ�g )g�� ℎ)?S� − 1 M) . (11.65)

No tempo presente J< a radiação cósmica de fundo deve manter a mesma distribuição de Planck, agora na temperatura S<. Como ) = )</I (veja a equação 11.28),

I��())M) ⟶ �<()<)M)< = 8$ℎ�g )<g�� ℎ)<?S<� − 1 M)< (11.66)

desde que seja satisfeita a relação S< = IS (11.67)

Em função do parâmetro de red shift, equação (11.26), resulta S = (� + 1)S< (11.68)

que pode ser usada para relacionar o tempo e a temperatura,

J(S) = 23;< �S<S �g/% . (11.69)

Na equação (11.66) )< é uma variável de integração, cujo índice é irrelevante, a equação podendo ser reescrita como

I��())M) ⟶ �<())M) = 8$ℎ�g )g�� ℎ)?S<� − 1 M) (11.70)

de modo que I��()) ⟶ �<()), isto é, a densidade da radiação evolui como

I�� = �<I� . (11.71)

Comparada com a evolução da densidade de matéria não relativística, a densidade de radiação dilui mais rapidamente que a densidade de matéria no universo em expansão, razão porque, a partir do desacoplamento, a matéria passa a ser dominante no universo. A energia de ionização é da ordem de grandeza de 10 �/, que corresponde à temperatura em torno de 3 × 10g V . Aproximando a temperatura atual a 3 V e substituindo em (11.69), resulta no tempo

J(S) = �S<S �g% J< ≃ 3 × 10B �� . (11.72)

para a idade do universo na era da recombinação. De (11.68), pode-se verificar que a radiação proveniente desta era deve ter o parâmetro de red shift da ordem de


189

� = SS< − 1 ≃ 1000 (11.73)

Para finalizar, o parâmetro de desaceleração (11.47) fica

n = Ω2 = 12 . (11.74)

Caso � > � (? = 1)

Para deixar numa forma mais simples, a equação de Friedmann (11.55) será reescrita na forma

�MIMJ �% = �I − ? , (11.75)

onde se redefiniu o tempo

J6 = 0|j|J ⟶ J , (11.75)

as constantes

j ⟶ ? = j|j| (11.76)

e

� = 8$ie<3|j| = ;<%|j| Ω< = Ω<(Ω< − 1) . (11.77)

Veja que

j = 8$ie<3 − ;<% = ;<%(Ω< − 1) . (11.78)

Neste caso j > 0, ? = 1, a equação de Friedmann fica

IK % = �I − 1 . (11.79)

Introduzindo a parametrização I = � ��%- (11.80)

tal que

IK = 2� ��- ��- M-MJ (11.81)

e fazendo as subistituições na equação (11.79) resulta

4�% ��%- ��%- �M-MJ �% = 1 ��%- − 1 = 1 − ��%- ��%- , isto é,

2� ��%- M-MJ = 1 (11.82)


190

que pode ser integrada como

N MJO< = 2� N ��%-�

< M- (11.83)

cuja solução é

J = 1H<Ω<(Ω< − 1)g/% �- − 12 �� 2-� . (11.84)

Esta equação, junto com a (11.80),

I = 12 Ω<(Ω< − 1) (1 − ��2-) (11.85)

definem a solução parametrizada da equação de Friedmann, caso ? = 1. Neste caso o universo todo é um sistema ligado gravitacionalmente, com fases de

expansão e de contração, cíclico. Veja que I(J = 0) = 0, expandindo até atingir a expansão máxima

I = Ω<(Ω< − 1) (11.86)

quando ��2- = −1 �- = �%�, que corresponde ao tempo

J = $2H<Ω<(Ω< − 1)g/% , (11.87)

iniciando então a fase de contração até o colapso final quando - = $, que corresponde ao tempo

J = $H<Ω<(Ω< − 1)g/% , (11.88)

a partir do qual tem início um novo ciclo de expansão, num processo infinito, desde que se repitam as condições que originaram a expansão inicial, resultante de uma interação não gravitacional. O tempo presente resulta da condição I(J<) = 1, que fornece o parâmetro -< na equação (11.85)

1 = 12 Ω<(Ω< − 1) (1 − ��2-<) (11.89)

que deve ser substituído na equação paramétrica do tempo (11.84),

J< = 1H<Ω<(Ω< − 1)g/% �-< − 12 �� 2-<� . (11.90)

Condição assimptótica: Sempre que possível é bom checar as condições assimptóticas das soluções para casos onde tenham soluções conhecidas. O caso ? = 0 corresponde à solução no limite �< ⟶ 1, quando a fase de expansão leva um tempo infinito para atingir o máximo. Neste limite, na equação (11.84), deve-se ter a condição


191

�< ⟶ 1 ⟹ �- − 12 �� 2-� ⟶ 0

de modo que pode-se usar a aproximação

�- − 12 �� 2-� = 23 -g

e, portanto,

J = 1H<Ω<(Ω< − 1)g/% 23 -g

ou

- = (Ω< − 1)�/% �32 H<J��/g

que pode ser substituída na equação (11.85) calculada para o limite �< ⟶ 1, resultando

I = 1(Ω< − 1) -% = �32 H<J�%/g , justamente a solução (11.60) do caso j = 0 (? = 0).

Caso � < � (? = −1)

Neste caso, que corresponde a ? = −1, a equação de Friedmann fica

IK % = �I + 1 . (11.91)

onde agora

� = Ω<(1 − Ω<) . (11.92)

Usando a parametrização I = � ��ℎ%� (11.93)

tal que

IK = 2� ��ℎ � cosh � M�MJ (11.94)

e

4�% ��ℎ%� ��ℎ%� �M�MJ �% = 1 ��ℎ%� + 1 = 1 + ��ℎ%� ��ℎ%� , resulta

2� ��ℎ%� M�MJ = 1 (11.95)

Nesta forma é fácil de ser integrada,


192

N MJO< = 2� N ��ℎ%��

< M� , (11.96)

resultando

J = 1H<Ω<(1 − Ω<)g/% �12 ��ℎ 2� − �� (11.97)

que, junto com a equação (11.93),

I = 12 Ω<(1 − Ω<) (cosh 2� − 1) (11.98)

definem a solução parametrizada da equação de Friedmann, caso ? = −1. Descreve um universo em expansão com energia cinética suficiente para manter esta

condição para sempre, a densidade de energia e matéria rarefazendo-se e a temperatura diminuindo indefinidamente.

A figura 1 apresenta, de forma comparativa, os gráficos das funções I(J) para os três casos, ? = 0 (azul), ? = 1 (vermelho) e ? = −1 (roxo), a origem do tempo no presente, de modo que I(0) = 1 para os três casos, tornando visível a diferença da idade do universo para os três casos. A unidade de tempo é o tempo de Hubble J� = 1/;<, e a origem do tempo no presente, quando I(0) = 1, por definição.

Figura 1:

Gráficos comparativos da evolução do universo para os

três casos, ? = 0 (azul), ? = 1 (vermelho) e ? = −1 (roxo). A unidade de tempo é o tempo de Hubble J� = 1/;< , e a origem do tempo no presente, quando I(0) = 1, por definição. O gráfico verde supõe a presença

de uma força adicional não gravitacional, repulsiva.

Condição assimptótica: No limite �< ⟶ 1 resulta

� = (Ω< − 1)�/% �32 H<J��/g

e, portanto,


193

I = 1(Ω< − 1) �% = �32 H<J�%/g , que é a solução, equação (11.60), do caso j = 0 (? = 0).

11.2.3 História da Evolução do Universo

A solução da equação de Friedmann descreve a evolução do ambiente espaço-temporal e o seu conteúdo de energia e matéria (as partículas e suas interações fundamentais), estabelecendo as eras e os principais eventos em função do conteúdo energético (temperatura), resumidas na tabela a seguir:

Tempo Era Evento

0 Singularidade Big Bang

Até 10@�g segundos Era de Planck Inflação?

Até 10@Y segundos Era dos hádrons Criação das partículas pesadas

Até 1 segundo Era dos léptons Criação das partículas leves

1 minuto Era da radiação Formação de hélio e deutério

10 mil anos Era da matéria A matéria torna-se predominante

300 mil anos Desacoplamento O universo torna-se transparente

1 bilhão de anos Formação de galáxias

10 bilhões de anos Formação do sistema solar

15 bilhões de anos Época atual

A seguir, a descrição dos acontecimentos mais relevantes que marcam as diversas

eras:

J = 10@�g�, S = 10g%V As interações forte, fraca e eletromagnética formam uma única interação, unificada. A

inflação causa uma rápida expansão. Criação das partículas fundamentais a partir das flutuações do vácuo.

J = 10@g��, S = 10%�V A interação forte se desacopla das interações fraca e eletromagnética. O universo é

uma sopa de quarks e elétrons. Termina a inflação, e a expansão do universo passa a ser governada pela interação gravitacional.

J = 10@�<�, S = 10�BV


194

As interações fraca e eletromagnética se separam. Estabelece-se a assimetria partícula-antipartícula, numa proporção de um em um bilhão. Quarks se ligam, formando prótons e nêutrons.

J = 1 �, S = 10�<V Neutrinos se desacoplam e ocorre a aniquilação de pares elétron-pósitron, restando os

elétrons residuais. Forma-se a radiação, que permanece em equilíbrio com a matéria.

J = 3 �, S = 10XV Prótons e nêutrons se ligam formando os primeiros núcleos de átomos leves: �, 3;�, 4;�, até o lítio, 7��. Restam 75% de hidrogênio e 25% de hélio.

t=3×10⁵anos, T=3×10³K

Matéria e radiação se separam, isto é, o universo se torna transparente. Os elétrons se ligam aos núcleos formando átomos neutros. A radiação proveniente desta época é a atual radiação cósmica de fundo na faixa do micro-ondas.

J = 10X�, S = 18V Aparecimento dos aglomerados de matéria, estrelas e galáxias. Núcleos pesados são

formados no interior das estrelas. As explosões supernovas dispersam os átomos pesados que posteriormente formarão os sistemas estelares de segunda e de terceira geração, como o nosso Sistema Solar, que contém os elementos químicos indispensáveis ao surgimento da vida.

J = 15 × 10X�, S = 3V Época presente. Há 5 bilhões de anos forma-se o condensado de remanescentes de

explosões estelares, dando origem ao Sistema Solar.

11.3 Modelo Cosmológico Padrão O modelo cosmológico padrão toma por postulado a homogeneidade e isotropia espacial do universo, dentro da concepção filosófica atual de que não exista nenhuma posição ou orientação privilegiada no universo. Em outras palavras, o universo visto a partir de qualquer lugar será, em média, igual ao que se observa a partir da Terra. Esta é a base do Princípio Cosmológico. Por outro lado, o indicativo da expansão significa um universo evolucionário.

Princípio Cosmológico: o universo é espacialmente uniforme (homogêneo e isotrópico), não havendo nenhuma posição ou orientação privilegiada.

A Relatividade Geral é o suporte teórico para a construção do modelo cosmológico padrão a partir das equações de Einstein da gravitação. O Princípio Cosmológico implica na possibilidade de definição de um tempo universal, de modo que os relógios possam ser sincronizados para todos os observadores. Isto ocorre nos referenciais comóveis, localmente inerciais, em queda livre no campo gravitacional cosmológico. Também impõe severas restrições à métrica do espaço-tempo, implicando na


195

isometria, pois a geometria do espaço-tempo deve ser a mesma para todos os observadores em quaisquer outros referenciais comóveis, w6�{(�) = w�{(�) . (11.99)

De um modo geral, os tensores devem ser invariantes na forma, S6�{�⋯(�) = S�{�⋯(�) . (11.100)

Dentro destas restrições a métrica de Robertson-Walker

�%M�% = �%MJ% − I%(J) � M%1 − ?% + %M-% + %��%-M�% (11.101)

é a métrica usada no modelo cosmológico padrão. O fator de escala I(J) definido por

(J) = I(J) (11.102)

dá conta da expansão do universo e a constante ? define a sua geometria através da curvatura espacial

V(J) = ?I@%(J) . (11.103)

Esta constante depende do conteúdo de matéria e energia do universo, e pode assumir os valores ? = −1 (espaço infinito de curvatura negativa, hiperbólica), ? = 0 (espaço infinito, plano) e ? = +1 (espaço finito porém ilimitado).

A métrica de Robertson-Walker define as componentes do tensor métrico:

wOO = 1, w## = I%(J)1 − ?% , w�� = I%(J)% , w¡¡ = I%(J)%��%- . (11.104)

As demais componentes, não diagonais, são nulas, w�{ = 0 para ¢ ≠ ).

No modelo cosmológico padrão, assume-se que o universo se comporte como um gás perfeito, cujo tensor de energia e momento é S�{ = �w�{ + (� + e)m�m{ . (11.105)

No referencial comóvel, m� = +¤¥�, L¦§ = (�, 0) (11.106)

e, portanto,

¨S<< = �w<< + (� + e)S¦¦ = �w¦¦ S�{ = 0 para ¢ ≠ ) . (11.107)

O termo de fonte da equação (10.83), usando T = (� + e), fica

S�{ = T�{ − 12 g�{ T = T�{ − 12 g�{(� + e) , (11.108)

cujas componentes não nulas são


196

°±²±³´OO = 12 (� − e)wOO + (� + e)

¦¦ = 12 w¦¦(� − e) . (11.109)

Usando as componentes não nulas do tensor métrico, resulta

°±±²±±³ ´OO = 12 (3� + e) ´�� = 12 (� − e)I%(J)% ´¡¡ = 12 (� − e)I%(J)%��%-

. (11.110)

Para obter tensor de Ricci, equação (10.75), que fica

I�{ = I�{ = lΓ�l�{ − lΓ�{l� + Γ�¶ Γ{¶ − Γ�{¶ Γ¶ , (11.111)

considere a conexão afim (10.27), cujas componentes não nulas são

°±±²±±³

Γ¦·O = IIK w¦· ΓO·¦ = IKI ¹·¦ Γ·º¦ = 12 1w¦» ¼lw¦·l�º + lw¦ºl�· − lw·ºl�¦ ½ = Γ¾·º¦

. (11.112)

As componentes não nulas do tensor de Ricci são

°±²±³IOO = 3 IkI IO¦ = 0 I¦· = I¾¦· − ¥IIk + 2IK %§w¦·

. (11.113)

onde

I¾¦· = lΓ¾º¦ºl� · − lΓ¾¦·ºl�º + Γ¾»¦ºΓ¾º·» − Γ¾¦·ºΓ¾º»» . (11.114)

Usando o fato de que um espaço maximamente simétrico exige que I¾¦· = −2?w¦· , (11.115)

resulta I¦· = −¥IIk + 2IK % + 2?§w¦· . (11.116)

Combinando com as componentes não nulas do tensor de energia e momento, da componente tempo-tempo resulta,


197

Ik = − 4$i3 (e + 3�)I (11.117)

e da componente espaço-espaço, IIk + 2IK % + 2? = 4$i(e − �)I% , (11.118)

sendo que as componentes espaço-tempo são nulas. Combinando estas duas equações, resulta a equação de Friedmann

IK % + ? = 8$i3 eI% , (11.119)

e, da conservação de energia,

�KIg = MMJ ¿Ig(e + �) À (11.120)

ou MMI (eIg) = −3�I% (11.121)

O universo atual é dominado pela matéria não relativística, quando � ≃ 0. Portanto, e = e<I@g . (11.122)

No universo primordial predomina a matéria relativística, quando � = e/3 e, portanto, e = e<I@� . (11.123)

Substituindo ρ(R) na equação de Friedmann, podemos calcular a função R(t), o qual descreve a evolução do universo em função do tempo.

11.3.1 Constante cosmológica

O Modelo Cosmológico Padrão admite um universo evolucionário em expansão a partir de um grande evento (Big Bang) que forneceu a energia cinética. Devido à natureza da interação gravitacional, esta expansão deve ocorrer de forma desacelerada, dada pelo parâmetro de desaceleração

n< = Ω<2 (11.124)

em valores no tempo presente. No entanto, uma das constatações observacionais mais relevantes da cosmologia atual é a expansão acelerada do universo, contrariando a força eminentemente atrativa da interação gravitacional.

A maneira imediata de obter uma aceleração positiva é pela introdução da constante cosmológica nas equações de Einstein, que fica

R�{ − 12 g�{I + Λg�{ = 8πGT�{ . (11.125)

O termo da constante cosmológica pode ser adicionado ao termo de fonte,


198

R�{ − 12 g�{I = 8πG �T�{ − Λg�{8πG � (11.126)

resultando a mesma equação original de Einstein sem a constante cosmológica,

R�{ − 12 g�{I = 8πGTÅ�{ . (11.127)

mas com o termo de fonte corrigido para

TÅ�{ = T�{ − Λg�{8πG (11.128)

Manter a forma da equação original é interessante, pois isto torna possível aproveitar os resultados anteriores apenas realizando algumas modificações nas componentes do tensor de energia e momento que agora passa a ser

S�{ = �� − Λ8πG� w�{ + (� + e)m�m{ (11.129)

ou S�{ = �w�{ + (� + e)m�m{ (11.130)

para

e = e + Λ8πG = e + eÆ (11.131)

e

� = � − Λ8πG = � + �Æ . (11.132)

Note que

eÆ = −�Æ = Λ8πG (11.133)

e, portanto, satisfaz à condição eÆ + �Æ = 0 . (11.134)

Deste modo, se quiser associar uma origem física à constante cosmológica, deve estar atentos para esta condição.

Como as equações de Einstein permanecem formalmente idênticas ao caso sem a constante cosmológica, com as substituições e → e e � → �, o mesmo deve ocorrer com a equação de Friedmann, que fica

IK % + ? = 8$i3 eI% = 8$i3 �e + Λ8πG� I% . (11.135)

Da mesma forma, a aceleração fica IkI = − 4$i3 (e + 3�) = − 4$i3 �e + � − Λ4πG� , (11.136)


199

isto é, IkI = − 4$i3 (e + �) + Λ3 , (11.137)

o que mostra a possibilidade de uma aceleração positiva para Ç > 0. Na era dominada pela matéria, � ≃ 0, resultando IkI = − 4$i3 (e − 2eÆ) = − 4$i3 (Ω~ − 2ΩÆ)eÈ (11.138)

onde

eo = 3;%8$i = 38$i IK %I% (11.43)

é a densidade crítica,

Ω~ = eeÈ (11.144)

é o parâmetro de densidade, o subscrito reforçando que se refere à densidade de matéria, e

ΩÆ = eÆeÈ (11.145)

é o parâmetro de densidade associado à constante cosmológica. O parâmetro de desaceleração fica

n = − IIkIK % = 12 (e − 2eÆ)eÈ = 12 Ω~ − ΩÆ (11.146)

Esta expressão mostra que o parâmetro de desaceleração pode ser negativo, dependendo do valor da constante cosmológica Ç > 0.

Se admitir que Ω~ + 2ΩÆ = 1 (11.147)

então

n = 23 Ω~ − 1 . (11.148)

O parâmetro de desaceleração

n< = 12 Ω~ − ΩÆ (11.149)

dependendo do valor de Ç, permite uma expansão acelerada. Das observações do WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe - 2003), juntamente com as pesquisas de ´É� d, admitindo que Ω~ − ΩÆ = 1, foram obtidos Ω~ = 0,28 (11.150)


200

e ΩÆ = 0,72 , (11.151)

a matéria bariônica respondendo por ΩÊ = 0,044 , (11.152)

e a matéria escura, ΩËÌ = Ω~ − ΩÊ = 0,236 , (11.153)

que corresponde a

n< = 12 Ω~ − ΩÆ = −0,58 . (11.154)

Num universo em expansão indefinida, para um tempo suficientemente grande, a densidade de matéria tornar-se-á tão rarefeita que podemos considerar Ω~ = e/eÈ ≃ 0 e n ≃ −1, que indica um universo em expansão acelerada.

Efeito local

A densidade de energia associada à constante cosmológica deve permanecer com a distribuição uniforme, sem tomar parte na formação dos aglomerados de matéria. Do contrário, afetaria a interação gravitacional na escala macroscópica, impossibilitando a existência de sistemas gravitacionais como a conhecemos. Isto porque a equação do campo na aproximação estacionária traz consigo um termo de pressão, que deve ser considerado na presença da constante cosmológica, pois a ela é associada uma pressão negativa. Deste modo,

∇%h = 4$i(e + 3�) = 4$i �e + 3� − Λ4πG� (11.155)

que, para a matéria não relativística, � ≃ 0, fica ∇%h = 4$i(e + 3�) = 4$i(e~ − 2eÆ) . (11.156)

Isto mostra que a densidade

eÆ = Λ8πG

associada à constante cosmológica deve ser desprezível em relação à densidade de matéria normal nas grandes inomogeneidades representadas pelas galáxias e aglomerados de galáxias, ou no sistema solar, por exemplo.

Energia escura

A constante cosmológica, introduzida à mão nas equações de Einstein, pode ser formalizada introduzindo a ação gravitacional

´ = 116$i N 0−w (I − 2Ç)M�� + ´~ . (11.157)

onde I é o escalar de Ricci e ´~ a soma de todas as componentes não gravitacionais e que entram como fonte nas equações de Einstein.


201

Se o termo em Λ for movido para ´~ , pode ser interpretada como densidade de energia, eÎ, satisfazendo à condição eÎ + �Î = 0, que corresponde a uma pressão negativa. Genericamente batizada de energia escura, na teoria quântica dos campos a chamada energia do vácuo tem esta propriedade e à primeira vista é o seu um candidato natural.

A energia do vácuo está associada com um campo escalar com ação

´ = N 0−w Ï12 w�{l�l{h − /(h)Ð M�� (11.158)

que corresponde, em termos do tensor de energia e momento, a

S�{ = 12 l�hl{h + 12 ¥w�Ñ l�hlÑh§w�{ − /(h)w�{ , (11.159)

a configuração de energia mais baixa dada pela ausência de energia cinética, isto é, l�h = 0,

quando

S�{ = −/(h<)w�{ , (11.160)

onde h< é o campo que minimiza o potencial /(h). Na realidade, a teoria quântica dos campos fornece outras componentes para a energia

do vácuo, e a constante cosmológica poderia ser o resultado da soma de todas estas contribuições. Além disto, abre a possibilidade de que não seja exatamente uma constante, assumindo diferentes valores nas diversas transições de fase ligadas às quebras de simetria ocorridas durante a evolução do universo. No entanto a contribuição prevista é extremamente pequena comparada com as diversas opções teóricas propostas para a energia escura.

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Oxford Un. Press, New York (1998).

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Capítulo XI Introdução à Cosmologia Relativistica... · ou organizam-se em estruturas de galáxias, podendo conter entre 10 ... em relação à direção da velocidade ... A lei