Capítulo 2 Circuitos Resistivos - DECOM | Faculdade de

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 2

Circuitos Resistivos


2.1 Lei de Ohm

Resistor:

• qualquer dispositivo que exibe somente uma resistência.

• a resistência está associada ao número de colisões dos elétrons

com os átomos do condutor, quando uma corrente flui por este

dispositivo.

Símbolo:

Unidade da resistência R: ohm [Ω] = volt/ampère

v

+

−

i

R R ≥ 0


Lei de Ohm:

A tensão sobre um resistor é diretamente proporcional à corrente que o

atravessa.

Se R é constante, a equação acima é uma linha reta:

Portanto, R é chamado de resistor linear.

Riv =

i

v

θ

tanθ = R


A corrente entra no resistor pelo terminal com potencial mais elevado e sai pelo

terminal de potencial mais baixo.

Como as cargas são transportadas pelo resistor do potencial mais alto para o

mais baixo, a perda de energia por carga q (energia = qv) é dissipada pelo

resistor na forma de calor.

Potência instantânea = velocidade que a energia é dissipada:

v

+

−

i

R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )R

tvtRititvtp

22 ===


Gráfico da potência instantânea:

p(t)

i(t)ou v(t)

Condição de passividade:

p(t) ≥ 0 ⇒ R é um elemento passivo!

( ) ( )∫ ∞− ≥= tdttptw 0

( ) ( ) ( )R

tvtRitp

22 ==


v

-

+

i

R

Observação:

Lei de Ohm: v = −Ri

Potência nominal (wattagem nominal) de um resistor:

• máxima potência que o resistor pode dissipar sem se danificar por

excesso de calor.

Condutância G:

Unidade: siemens (S) = ampère/volt = mho

RG

1=


Lei de Ohm: i = Gv

Potência instantânea:

Termos:

• Curto circuito: R = 0 [ohm]

• Circuito aberto: R = ∞ [ohm]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tGvG

tititvtp 2

2===


Nó 1

Nó 2

Nó 3Nó 4

2.2 Leis de Kirchhoff

Circuito de parâmetros concentrados:

• elementos conectados por condutores ideais (resistência nula),

• energia inerente ou concentrada inteiramente dentro de cada elemento

do circuito.

+-


Lei de Kirchhoff das correntes:

a) A soma algébrica das correntes que chegam em um nó é igual a zero.

b) A soma algébrica das correntes que saem de um nó é igual a zero.

c) A soma das correntes que chegam em um nó é igual à soma das

correntes que saem deste nó.

a) i1 + (-i2) + (-i3) + i4 = 0

b) (-i1) + i2 + i3 + (-i4) = 0

c) i1 + i4 = i2 + i3

01

=∑=

N

nni N = nº de correntes no nó.

+

i1i2

i3

i4

-


Lei de Kirchhoff das tensões:

• A soma algébrica das tensões ao longo de um percurso fechado de

um circuito é zero.

+-

v1

v4

v2

v3

+

-+-

+-

0

ou

0

4321

4321

=++−−

=−−+

vvvv

vvvv

01

=∑=

N

nnv

N = nº de tensões no percurso fechado.


Exemplo:

Nó a:

Nó b:

Nó c:

Nó d:

+-

vx 5 Ω

1 A

10 V

+

-

ix

i1

i3

i2

4 A 2 A

2 A

a b

d c

[ ] [ ]V 2555A 5014 22 −=⋅−=⇒=⇒=−− xvii

[ ]A 3012 11 =⇒=−− ii

[ ]A 1023 33 −=⇒=−+ ii

( ) [ ]A 415032 =−+=⇒=−− xx iiii

Lei de Ohm


Lei de Kirchhoff das correntes generalizada:

• A soma algébrica das correntes que entram em uma superfície

fechada é igual zero.

+-

+

-

i4

i1

i3

i2

a b

d c

i1 + i2 + i3 + i4 = 0


2.3 Resistência em Série e Divisão de Tensão

+- v

+

-

i

+

-

v1

v2

R1

R2

+- v

is = i

Rs

( )iRRiRiRvvv 212121 +=+=+=

21 RR

vi

+=

ss R

vi =

21 RRRs +=

vRR

RiRv

21

111 +

== vRR

RiRv

21

222 +

==


Exemplo:

+- v = 12 V

+

-

i

+

-

v1

v2

R1 = 8 Ω

R2 = 4 Ω

[ ]A 148

12

21=

+=

+=

RR

vi

[ ]V 81248

81 =⋅

+=v

[ ]V 41248

42 =⋅

+=v


Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:

( )2

221

1

1

21

1 vRR

R

R

vp

+==

+- v

+

-

i

+

-

v1

v2

R1

R2

( )2

221

2

2

22

2 vRR

R

R

vp

+==

ivRR

vv

RR

vppp ⋅=

+=

+=+=

2121

2

21

Potência total absorvida:

Note que a potência entregue pela fonte de tensão é igual a potência dissipada

pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).

vRR

RiRv

21

111 +

==

vRR

RiRv

21

222 +

==


Generalização para N resistores em série:

+

+- v

+-

i

+

v1

v2

R1

R2

-

-

vN RN

iRiRiRvvvv NN +++=+++= LL 2121

NRRR

vi

+++=

L21

∑=

=+++=N

nnNs RRRRR

121 L

NnvR

RiRv

s

nnn , 2, 1, L===

NnvR

R

R

vp

s

n

n

nn , 2, 1, 2

2

2L===

2

2

12

1

2iv

R

vv

R

R

R

vp

s

N

n s

nN

n n

n ==== ∑∑==

Potência instantânea sobre Rn:

Potência total dissipada:


2.4 Resistências em Paralelo e Divisão de Corrente

i1 i2G1 G2

i

v

+

-

Gp

i

vp

+

-

( )vGGvGvGiii 212121 +=+=+=

21 GG

iv

+=

pp G

iv =

21 GGGp +=

iGG

GvGi

21

111 +

== iGG

GvGi

21

222 +

==


Em termos de resistências:

21

111RRR

Gp

p +==

i1 i2R1 R2

i

v

+

-

Rp

i

vp

+

-

21

21RR

RRRp +

⋅=

21 GGGp += ⇒

iRR

Ri

GG

Gi

21

2

21

11 +

=+

= iRR

Ri

GG

Gi

21

1

21

22 +

=+

=


Potência total absorvida:

Note que a potência entregue pela fonte de corrente é igual a potência dissipada

pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).

( ) ( )ivi

RR

RR

RR

iRR

RR

iRRppp ⋅=

+=

++

+=+= 2

21

212

21

221

2221

222

121

Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:

( )221

222

12111

RR

iRRiRp

+==

i1 i2R1 R2

i

v

+

-

( )221

221

22222

RR

iRRiRp

+==

iRR

Ri

21

21 +

=

iRR

Ri

21

12 +

=


Generalização para N resistores em paralelo baseada nas condutâncias:

vGvGvGiiii NN +++=+++= LL 2121

pN G

i

GGG

iv =

+++=

L21

∑=

=+++=N

nnNp GGGGG

121 L

NniG

GvGi

p

nnn , 2, 1, L===

NniG

G

G

ip

p

n

n

nn , 2, 1, 2

2

2L===

2

2

12

1

2iv

G

ii

G

G

G

ip

p

N

n p

nN

n n

n ==== ∑∑==

Potência instantânea sobre Gn:

Potência total dissipada:

i1 i2G1 G2

i

v

+

-

iN GN


Generalização para N resistores em paralelo baseada nas resistências:

i1 i2R1 R2

i

v

+

-

iN RN

∑∑==

=⇒=N

n np

N

nnp RR

GG11

11

NniR

Ri

G

Gi

n

p

p

nn , 2, 1, L===


Ω=+⋅= 910901090

5RΩ=+= 10644R

Ω=+⋅= 6

824824

3RΩ=+= 242222R

Exemplo: Calcule a resistência equivalente vista pela fonte e a corrente i.

Ω=+⋅= 2

4444

1R

+-

i

1 Ω 4 Ω

90 Ω20 V

22 Ω

4 Ω 4 Ω

8 Ω

Ω=+= 10916R

Corrente i:

A 21020

6===

R

vi f

if


Corrente i:

A 21020

6===

R

vi fCorrente que sai da fonte:

Queda de tensão sobre resistor de 1 Ω: V 2211 =⋅== fRiv

Queda de tensão sobre resistor de 90 Ω: V 18220 20 90190 =−=⇒+= vvv

Corrente i: A 2,09018

9090 === v

i

+-

if 1 Ω 4 Ω

90 Ω20 V

22 Ω

4 Ω 4 Ω

8 Ω

i+ v1 -


2.5 Exemplos de Análise

2.5.1 Encontrar i, v1 e vab.

Aplicando lei de Kirchhoff para tensão e lei de Ohm:

30 V+-

i 20 Ω 30 Ω

+-

50 Ω

a

b

+ v1 -

20 V

[ ]A 1,010010

05020302030

==

=++++−

i

iii [ ]V 31,030301 =⋅== iv

[ ]V 281,050201,030502030 =⋅++⋅=++= iivab

i 20 Ω 30 Ω

-+ 50 Ω

a

b

+ v1 -

20 V

+-

30 V

≡ +-

i

100 Ω10 V≡


2.5.2 Princípio da conservação de potência

[ ]

[ ]

[ ]W 5,01,050

W 3,01,030

W 2,01,020

250

230

220

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Ω

Ω

Ω

p

p

p

30 V+-

i 20 Ω 30 Ω

+-

50 Ω

a

b

+ v1 -

20 V

absorve potência

[ ][ ]W 31,030

W 21,020

V30

V20

=⋅=

=⋅=

p

p

5,03,02,023 +++=

Portanto, a potência entregue ao circuito é igual a potência absorvida.

potência absorvida:

potência fornecida:


2.5.3 Calcular i e v e verificar o princípio da conservação de potência

i0,01 Sv

+

-

0,02 S 0,07 S10 sen(πt) [A] 5 [A]

Lei de Kirchhoff no nó superior:

( )( ) ( ) [ ]V 50sen1001,0

5sen10

007,0502,001,0sen10

−π=−π=

=−−−−π

tt

v

vvvt

( )[ ] ( ) [ ]A 1sen2 50sen10002,002,0 −π=−π== ttvi


i0,01 Sv

+

-

0,02 S 0,07 S10 sen(πt) [A] 5 [A]

Conservação de potência:

( )[ ] ( ) ( ) [ ]W 250sen1000sen100050sen1001,0 222 +π−π=+π⋅== tttvGp pabsorvida

( ) ( ) [ ]W 250sen1000sen1000 221 +π−π=+= ttppp fontes

( )[ ] ( ) [ ]( )[ ] [ ]W 550sen100

W sen1050sen100

22

11

−⋅−π==

π⋅−π==

tvip

ttvip

0,1 Sv

+

-

i1 = 10 sen(πt) [A] i2 = 5 [A]

Potência das fontes:

Potência absorvida pelos resistores:


[ ]Ω=+= 12841R

2.5.4 Calcular i e v e potência entregue pela fonte.

[ ]Ω=+⋅= 4

126126

2R

[ ]Ω=+= 161243R

[ ]Ω=+⋅= 8

16161616

4R

[ ]Ω=+= 1028eqR

[ ]A 31030 11 =⇒⋅= ii

[ ]W 90 33030 1 =⋅=⋅= ippotência entregue pela fonte:

+-

i1 2 Ω 12 Ω

16 Ω30 V 6 Ω

4 Ω

8 Ω

i

v1

+

-

v2

+

-

v

+

-

a

b

c

d

i2

corrente i1:

+-

i1

30 V

a

b

Req = 10 Ω


Cálculo de v e i:

[ ]V 243028

81 =⋅

+=v

[ ]V 624124

42 =⋅

+=v

[ ]V 46128

488

2 =⋅=⋅+

= vv

+-

i1 2 Ω 12 Ω

16 Ω30 V 6 Ω

4 Ω

8 Ω

i

v1

+

-

v2

+

-

v

+

-

a

b

c

d

i2

[ ]A 511624

321 , iii =−=−=

+-

i1 2 Ω

30 V v1

+

-

a

b

R4 = 8 Ω

+-

i1 2 Ω 12 Ω

16 Ω30 V R3 = 4 Ωv1

+

-

v2

+

-

a

b

c

d


[ ]Ω= 31eqR[ ]Ω= 22eqR

2.5.5 Calcular i.

i6 Ω 3 Ω 6 Ω12 [A]

3 Ω

4 Ω

I1

6 Ω

[ ]A 31262

21 =⋅

+=i2 Ω12 [A]

3 Ω

3 Ω

I1

[ ]A 43

341

6644

1 =⋅=⋅++

= ii

Divisão de corrente:


2.6 Amperímetros, Voltímetros e Ohmímetros

São exemplos de aplicações de divisores de tensão e de corrente.

Mundo ideal:

• amperímetro ideal mede a corrente que flui por seus terminais e

apresenta tensão nula sobre os mesmos.

• voltímetro ideal mede a tensão entre seus terminais e apresenta

corrente nula pelos mesmos.

• ohmímetro ideal mede a resistência conectada entre seus terminais e

entrega potência nula ao resistor.

Mundo real:

• tensão, corrente e potência não nulas.


Amperímetro popular:

• dispositivo mecânico, medidor de D’Arsonval.

• constituído de 1 bobina elétrica suspensa entre os pólos de um imã

permanente.

• 1 corrente contínua provoca a rotação proporcional da bobina.

• bobina ligada a um ponteiro e uma escala.

• corrente de fim de escala IFS: 10 µA a 10 mA.

Dispositivo equivalente do Medidor de D’Arsonval:

MRM

medidor ideal

valor baixo


Circuito para medir a corrente acima de IFS:

MRM

Rp

ip

iFS

IFS

Rp = usado para reduzir a corrente que flui pelo medidor.

FSRR

RFS iI

Mp

p+=

FSFS

FSMIi

IRpR −=


Voltímetro:

v

M

RM

RSi

+

-

0=++− FSMFSsFS IRIRv

MFS

FSs R

I

vR −=

A tensão de fim de escala vFS ocorre quando a corrente do medidor é IFS.

Sensibilidade de corrente:FS

s

FS

Msv

R

v

RR ≈+=Ω nominal V


Ohmímetro:

Rx

M

RM

RSiE

0=+++− iRiRiRE Msx Msx RRi

ER −−=

Selecionamos E e Rs tal que, se Rx = 0 então i = IFS, logo temos:

Assim,

MsFS RR

EI

+=

⇒

( )MsFS

x RRi

IR +

−= 1


2.7 Resistores Reais


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