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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3

1

Esta aula: ! Análise nodal, ! Análise de malha.

Análise Nodal

Consideremos o circuito abaixo:

1R 3R2R

1I 2I

3

1 2

3

1R 3R2R

1I 2I

3

1 2

3 Redesenhando e designando o nó 3 como nó de referência, temos:

1R 3R2R

Ref

1v 2v21 vv −

1I 2I1R 3R

2R

Ref

1v 2v21 vv −

1I 2I

Designamos uma tensão para cada nó, com relação ao nó de referência.


2

Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes: Nó 1:

12

21

1

1 IRvv

Rv

=−

+ ou ( ) 121211 IvvGvG =−+

Nó 2:

( ) 232212 vGIvvG +=−

Temos, então, um sistema de duas equações e duas incógnitas:

G1 +G2( )v1 −G2v2 = I1−G2v1 + G2 +G3( )v2 = −I2

"#$

%$

Exemplo numérico: Para Ω= 21R , Ω= 52R e Ω=13R ; AI 31 = e

AI 22 −= , teremos: Vv 51 = e Vv 5,22 =


3

Outro exemplo:

S3

S1

S2

S4

S5A8− A25−

A3−

S3

S1

S2

S4

S5A8− A25−

A3−

Redesenhando

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

S21v 2v 3v

Ref

A3−

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

S21v 2v 3v

Ref

A3−


4

Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes para os três nós, temos o sistema:

!"

!#

$

−=−+

−=+−

−=−−

251124326311437

321

321

321

vvvvvvvvv

Resolvendo esse sistema de equações, chegamos à

Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 =

Note que podemos reescrever o sistema da seguinte forma:

!"

!#

$

=+−−

=−+−

−=−−

251124326311437

321

321

321

vvvvvv

vvv

ou

!!!

"

#

$$$

%

&−

=

!!!

"

#

$$$

%

&

!!!

"

#

$$$

%

&

−−

−−

−−

25311

1124263437

3

2

1

vvv

A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na verificação das equações.


5

Consideremos agora esse mesmo circuito, mas com uma fonte de tensão entre os nós 2 e 3:

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

1v 2v 3v

Ref

V22

Super nóA3−

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

1v 2v 3v

Ref

V22

Super nóA3−

Dificuldade: não podemos associar a corrente entre os nós 2 e 3 à tensão do gerador de 22 V (a tensão do gerador independe da corrente). • Portanto, não podemos aplicar a Lei de

Kirchhoff das correntes nos nós 2 e 3. • No entanto: se a soma algébrica das correntes

que saem de um nó é nula, então a soma algébrica das correntes que saem dos nós 2 e 3 (dito super-nó) também deve ser nula (Lei de Kirchhoff Generalizada)


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Para o nó 1:

11437 321 −=−− vvv .

Para super-nó (nós 2 e 3):

0255)(43)(3 231312 =+−+−+−− vvvvvv ou

28947 321 =++− vvv .

Além disso, sabemos que 2223 =− vv .

Finalmente:

!"

!#

$

=+−

=++−

−=−−

222894711437

32

321

321

vvvvvvvv

Resolvendo, temos

Vv 5,41 −= , Vv 5,152 −= e Vv 5,63 −= .


7

Consideremos agora a presença de um gerador de tensão dependente:

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

1v 2v 3v

Ref

8xi

Super nóA3−

xi

A8−

S4

S3

S1A25−

S5

1v 2v 3v

Ref

8xi

Super nóA3−

xi

Novamente, como temos um gerador de tensão entre os nós 2 e 3, consideraremos este par de nós como um super-nó. Aplicando a Lei de Kirchhoff, temos, como antes, Super-nó: 28947 321 =++− vvv Nó 1: 11437 321 −=−− vvv

Entre os nós 2 e 3: 8

)(48

1323

vvivv x −

==−

Ou 05,05,0 321 =−+− vvv Resulta: Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 =


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Resumo – Análise nodal

Procedimento

• Redesenhe o circuito, escolhendo um nó como referência,

• Atribua uma variável a cada um dos outros nós, para indicar a tensão daquele nó com relação ao nó de referência,

• Se o circuito contiver apenas fontes de corrente, escreva a Lei de Kirchhoff das correntes para cada um dos nós, com exceção do nó de referência; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós.

• Se o circuito contiver fontes de tensão, escreva a Lei de Kirchhoff generalizada das correntes para os super-nós formados; além disso, relacione as tensões dos geradores às tensões dos nós; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós.


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Análise de malhas

Algumas definições: Circuito planar: é aquele que pode ser desenhado em um plano, sem que um ramo cruze outro. Exemplo de circuito não planar:

Laço: percurso fechado formado por bipolos e que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo bipolo ou nó. Malhas: laços em um circuito plano que não contém outros laços em seu interior. Corrente de malha: corrente que circula nos perímetro de uma malha


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Exemplos:

Não é laçoNão é laço Não é laçoNão é laço

É laço, mas não é malhaÉ malha É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malhaÉ malhaÉ malha


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Análise de malhas: Aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões nas malhas do circuito, para obter as correntes de malha. Consideremos o circuito abaixo:

2i

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iV6

1i

21 ii −

32 ii −

31 ii −

2i

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iV6

1i

21 ii −

32 ii −

31 ii −

Três malhas = três equações a partir da Lei de Kirchhoff das tensões: Para a malha I:

( ) ( ) 0267 2121 =−−−−− iiii ou 123 321 =−− iii


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Repetindo para as outras malhas, chegamos ao sistema:

!"

!#

$

=+−−

=−+−

=−−

6632036123

321

321

321

iiiiiiiii

que resulta em: Ai 31 = , Ai 22 = e Ai 33 = . Note que podemos escrever o sistema de equação por meio de uma equação matricial:

!!!

"

#

$$$

%

&=

!!!

"

#

$$$

%

&

!!!

"

#

$$$

%

&

−−

−−

−−

601

632361213

3

2

1

iii

Matriz de resistência !!!

"

#

$$$

%

&

−−

−−

−−

=

632361213

R


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Se: • O circuito contiver apenas fontes de tensão

independentes, • As correntes de malhas são indicadas no

sentido horário, • As linhas de R contiverem os coeficientes de

…21,ii , (ordenados), • A i-ésima linha corresponde à i-ésima malha, então, R será uma matriz simétrica. Essa propriedade pode ser um teste para verificar a correção da matriz. Consideremos agora a presença de um gerador de corrente no circuito anterior, ou seja:

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iA7

31 ii −

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iA7

31 ii −


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Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos relacionar sua tensão à sua corrente.) Porém, sabemos que 731 =− ii . Da 2a. malha, temos 036 321 =−+− iii Precisamos de mais uma equação: obtida pela aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para o laço formado pelas malhas 1 e 3:

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iA7

V7

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3iA7

( ) ( ) 037 33221 =−−+−− iiiii

AiAiAiii

iiiiii

2,5,2,97

036744

321

31

321

321

===⇒"#

"$

%

=−

=−+−

=+−


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Consideremos, por fim, a presença de um gerador dependente:

A15

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3i9xv xv

A15

Ω1 Ω2

Ω1Ω2

Ω31i

2i

3i9xv xv

Como antes, precisamos de três equações relacionando as correntes de malha. A primeira pode ser obtida da malha 2:

0)(32)(1 32212 =−++− iiiii

ou 036 321 =−+− iii

Seguindo o procedimento adotado para o caso da presença de gerador de corrente (abrir o circuito naquele ponto), resulta em um circuito com apenas a malha 2, de onde já extraímos uma equação.


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Porém, por inspeção, temos que Ai 151 = e

032

31

9 32113 =++−→=− iiiv

ii x ,

completando o conjunto de equações necessário, resultando em:

Ai 151 = , Ai 112 = e Ai 173 = .


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Resumo – Análise de mlaha

Procedimento Esse método é válido apenas para circuitos planos. • Indique as correntes de malha, • Se o circuito contiver apenas geradores de

tensão, escreva a Lei de Kirchhoff das tensões para cada uma das malhas e resolva o sistema de equações obtido.

• Se o circuito contiver geradores de corrente, substitua-os por circuitos abertos (o que reduz o número de malhas), escreva a Lei de Kirchhoff para as malhas restantes e resolva o sistema de equações obtido.

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