Capítulo 3: Álgebra Booleana e Simplificação de Circuitos

ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS VIRGINIA VAROTTO

31

Capítulo 3: Álgebra Booleana e Simplificação de Circuitos

Lógicos

1. Introdução

No capítulo anterior, trabalhamos com os circuitos lógicos sem nos preocuparmos com

simplificações. Na prática, porém, estes circuitos obtidos admitem simplificações.

Como vimos, as variáveis booleanas são representadas através de letras, podendo assumir

apenas dois valores distintos: 0 ou 1.

2. Teoremas Booleanos

Estudaremos os vários teoremas (regras) que nos ajudarão a simplificar circuitos e

equações lógicas. As regras de prioridade usadas na álgebra tradicional para parênteses,

colchetes e chaves são válidas na álgebra de boole. A operação E tem prioridade sobre a

operação OU.

1) Associatividade das operações OU e E.

( ) ( )

( . ). .( . )

X Y Z X Y Z

X Y Z X Y Z

2) Comutatividade das operações OU e E.

X Y Y X

X Y Y X

. .

3) Elemento unitário para a operação OU (dígito 0).

0 X X

4) Elemento unitário para a operação E (dígito 1).

1.X X

5) Distributividade de E sobre a operação OU.

Z.XZ.WY.XY.W)ZY).(XW(

)Z.X()Y.X()ZY.(X

6) Distributividade de OU sobre a operação E.

X Y Z X Y X Z ( . ) ( ).( )

7) Existência de um elemento complemento.

X X

X X

.

0

1

8) Lei da Absorção.

YXY.XX

XY.XX

9) Adição lógica.

X 1 1

X X X


32

10) Multiplicação lógica

X . 0 0

X . X X

11) Complemento da variável.

X X

12) Teoremas de De Morgan.

a) O complemento de uma função lógica na forma de uma soma de qualquer número de

variáveis pode ser transformada em um produto lógico, complementando para isto, cada

variável em separado e trocando o operador “+” pelo operador “.”.

n21n X ... X . X)X...XX( 21

b) O complemento de uma função lógica na forma de um produto de qualquer número de

variáveis pode ser transformada em uma soma lógica, complementando para isto, cada

variável em separado e trocando o operador “.” pelo operador “+”.

n21n 2 1 X+...+X+X)X ...X .X(

13) Lei da Dualidade.

Substituindo numa expressão lógica o símbolo da operação OU pelo da operação E (e

vice-versa) e o dígito 0 por 1 (e vice-versa) obtém-se uma nova expressão, dual da original.

Exemplos:

a) X + 0 = X dual X . 1 = X

b) X + X = X dual X . X = X

c) X + X = 1 dual X . X = 0

d) Aplicação da lei da dualidade no teorema 1.

( ) )X Y Z X Y Z

(

(X . Y) . Z X . (Y . Z)

e) )CB.(AdualC.BAF

Exercícios: Simplifique as expressões algébricas:

a) D.C.BDZ b) D.B.AD.B.AY c) BABAZ

d) D.C.B.AD.C.AX e) DB.CAX f) WZ.YXF

3. Mintermos:

Uma função booleana pode ser representada, após alguma manipulação, como somatório

de mintermos (forma disjuntiva).

Usando os teoremas apresentados no item 2 é sempre possível, através de transformações

algébricas, desenvolver uma função booleana na forma padrão. Esta operação é muito importante

na lógica combinacional por que os algorítmos de minimização são aplicados somente à forma

padrão ou canônica.


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Definições:

mintermo: um produto algébrico que contém todas as variáveis, com ou sem barra, da função.

forma disjuntiva de uma função booleana: é uma forma algébrica da função expressa numa

somatória de mintermos.

Para um sistema com n variáveis teremos 2n mintermos diferentes.

Exemplo:

A função F1 e F2 abaixo está representada como uma somatória de mintermos, já F3 e F4 não.

XYZXYZ)Z,Y,X(F

ZYYZXXZ)Z,Y,X(F

B.AB.A)B,A(F

ZYXXYZZYX)Z,Y,X(F

4

3

2

1

Na função F3 falta a variável Y no primeiro termo e a variável X no terceiro termo. Na

função F4 o primeiro termo não está escrito como um produto das variáveis da função.

Cada mintermo de uma função booleana pode ser associado a uma combinação binária

com respectivo valor decimal.

Neste sentido vamos seguir os seguintes passos:

1) Atribua o dígito 0 a cada variável que parece barrada em um mintermo;

2) Atribua o dígito 1 a cada variável que parece sem barra em um mintermo;

Para a obtenção do valor decimal deve-se proceder do modo como é mostrado nos

exemplos abaixo:

Mintermo CBA

5 decimal 1 0 1

C BA

A obtenção do equivalente decimal para cada produto ou parcela de uma forma canônica

fornece uma notação simplificada, conforme procedimento abaixo.

Seja uma função com três variáveis onde a é a variável mais significativa:

7

1 1 1

3

1 1 0

5

1 0 1c.b.ac.b.ac.b.a)c,b,a(T

Portanto, a função assume o valor lógico 1 para os mintermos 3, 5 e 7.

Entradas Forma Padrão Saída

A B C Produto Padrão F mj

0 0 0 A B C. . m0 0

0 0 1 A. B.C m1 0

0 1 0 A. B C. m2 0

0 1 1 A. B.C m3 1 m3


34

1 0 0 A B C. . m4 0

1 0 1 A. B.C m5 1 m5

1 1 0 A. B C. m6 0

1 1 1 A.B.C m7 1 m7

Termos Mínimos ou

minitermos

A forma simplificada da função é:

)7,5,3(),,(,,),,( 753 mcbaToummmcbaT

A tabela verdade de uma função booleana pode ser obtida a partir de sua forma padrão

(somatório de mintermos) Cada mintermo da expressão algébrica deve ser associado a uma linha

da tabela verdade onde a função vale 1.

Exemplo: Dada a função c.b.ac.b.ac.b.a)c,b,a(f , obter sua tabela verdade.

5 mintermo101.cba.

2 mintermo010c.b.a

7 mintermo111c.b.a

Tabela Verdade:

Mintermo a b c f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Qualquer função pode ser escrita na forma de soma de produtos (mintermos).

Exemplo 1: Dada a função lógica de três variáveis C.BA)C,B,A(F expressá-la como uma

soma de mintermos.

*Devemos multiplicar cada produto que não seja mintermo por uma parcela do tipo

)XX( correspondente a variável que está faltando no produto. A multiplicação de

um produto por uma expressão deste tipo não altera o produto original, uma vez que:

1XX .

C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.A)C,B,A(F

C.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.AC.B.A)C,B,A(F

C.B.AC.B.ACC.B.AB.AC.B.AACC.BB.A)C,B,A(F

C.BA)C,B,A(F


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Exemplo 2: Dada a função lógica de quatro variáveis )D.CB).(C.BA()D,C,B,A(F

expressá-la como uma soma de mintermos.

1o passo: obter uma soma de produtos pela lei distributiva.

C.BD.CAB.AF

2o passo: completar os termos onde for necessário.

D.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AF

D.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.A

D.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AD.C.B.AF

)DD).(C.B.AC.B.A(D.C).B.AB.A(DD.C.B.AC.B.AF

)DD.(C.B).AA(D.C).BB.(A)DD).(CC.(B.AF

Exercícios:

1- Dada a tabela verdade abaixo obter a função sob a forma de mintermos .

D C B F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

2- Dadas as funções lógicas expressá-las como soma de mintermos.

a) )E.BD).(C.BA()E,D,C,B,A(F b) CBA)C,B,A(F

c) C.AB.AC.A)C,B,A(F d) C.AB)C,B,A(F

3- Dada a função lógica de quatro variáveis )DCB)(BCA()D,C,B,A(F expressá-la

como um somatório de produtos.

4- Elaborar o circuito correspondente a tabela expressa na forma de soma de produtos.

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

5- Elaborar um circuito capaz de detetar combinações ABC lidas como números binários que

sejam maiores ou iguais a 3.

6- Em um teste, a questão A tem peso 4, a questão B tem peso 3 e a questão C tem peso 3.

Elaborar um circuito que indique se o aluno atingiu ou não o objetivo se o rendimento mínimo

é de 60%.

7- Elaborar os circuitos correspondentes as tabelas expressa na forma de soma de produtos.


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A B C F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

4- Minimização de Funções

Uma função booleana pode ter formas algébricas distintas, porém equivalentes. Se

aplicado adequadamente os postulados e teoremas da álgebra booleana, obtém-se uma nova

expressão mais simples, com menor número de variáveis e as somas possuirão menor número de

parcelas.

A simplificação de uma função evita o uso de portas lógicas desnecessárias na

implementação do circuito, reduzindo assim seu custo.

Exemplo: Simplificar a função m)0,1,4,5()c,b,a(f algebricamente.

b = 1 .b=

a)+a.(b=

ba.+ b.a=

1 .ba. 1 .b.a

)cc.(b.a)cc.(b.a

c.b.ac.b.ac.b.ac.b.af

O procedimento mostrado pode ser usado em qualquer função, embora seja sujeito a erros.

Por esta razão foram desenvolvidos os MAPAS DE KARNAUGH. O Mapa de Karnaugh é um

método gráfico usado com o objetivo de se obter a expressão minimizada de um função booleana

com até sete variáveis.

Para uma função com n variáveis, o mapa terá uma configuração gráfica com 2n quadrados,

cada um correspondente a um dos 2n mintermos possíveis para a função.

4.1- Formato do Mapa de Karnaugh.

1- O mapa de Karnaugh dá a mesma informação que a tabela verdade, só que em um formato

diferente. Cada linha da tabela verdade corresponde a um dos quadrados do mapa de

Karnaugh. Por exemplo, a condição A=1 e B=1 na tabela verdade corresponde ao quadrado

A.B do mapa e o valor da saída correspondente a esta condição é colocado no quadrado.

2- Os quadrados do mapa são arranjados de tal forma que quadrados adjacentes verticalmente ou

horizontalmente diferem de apenas uma variável. Cada quadrado da primeira linha é

considerado adjacente ao quadrado correspondente da última linha. Pode-se imaginar que o

mapa é circular, com a linha de cima tocando a última. Da mesma forma, os quadrados da

coluna mais a esquerda são adjacentes a seus correspondentes da coluna mais a direita.


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3- De maneira a fazer com que os quadrados difiram por uma única variável, a designação dos

quadrados de cima para baixo e da esquerda para a direita deve ser feita na seguinte ordem

para mapa de duas variáveis: B.A,B.A,B.A,B.A .

4- Uma vez que o mapa foi todo completado com 0s e 1s, a expressão da soma de produtos para

a saída pode ser obtida através dos quadrados que contiverem o valor 1.

O passo seguinte é a simplificação da função utilizando o diagrama.

Passos para a minimização de funções usando mapa de Karnaugh:

a) Representação da função no mapa;

b) Formação de grupos com celas unitárias;

O número de celas do grupo deve ser igual a uma potência de 2 (1, 2, 4, 8. ...);

Deve-se formar grupos com maior número de celas onde a função assume o valor 1;

Quando o grupo possui mais do que duas celas, cada uma delas deve ser adjacente a duas

outras do mesmo. Não é possível agruparmos celas com formato em L;

Os grupos com maior número de celas têm preferência sobre os menores;

Enquanto existirem celas para as quais a função é 1, não pertencente a nenhum dos grupos

formados, o procedimento deve ser continuado para a formação de novos grupos;

Se alguma cela não puder ser combinada, ela ficará isolada, formando um grupo com um único

elemento;

c) Exclusão de grupos;

Depois que todos os 1s da função forem incluídos em pelo menos um dos grupos

formados, devemos verificar quais os grupos que não podem ser dispensados da expressão

algébrica minimizada da função.

Os grupos redundantes devem ser eliminados. Um grupo é indispensável quando ele

possui pelo menos um elemento que pertence somente a ele e a mais nenhum outro grupo.

d) Obtenção da equação minimizada;

A somatória das expressões algébricas obtidas no passo c) fornece a expressão algébrica

minimizada da função.

4.2- Mapa para Duas Variáveis

Sabe-se que duas variáveis booleanas, A e B, por exemplo, admitem quatro combinações,

ou seja:

Mintermos A B

0 0 0

1 0 1

2 1 0

3 1 1

O mapa (ou diagrama) correspondente tem a seguinte forma:

B B A B 0 1

A OU 0

A 1

O quadrados que constituem o mapa são chamados () celas. Pode-se distribuir, então, as

4 possibilidades neste mapa, da seguinte forma:


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B B

A

A

onde os números no interior das celas representam o correspondente mintermo.

Logo, cada linha da tabela verdade possui sua região própria dentro do mapa de Karnaugh.

Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que a expressão assume nas

diferentes possibilidades.

Nas figuras abaixo são apresentadas as possibilidades de grupos de celas para duas

variáveis:

Grupo proibido:

A combinação de um par de 1s adjacentes em um mapa de Karnaugh elimina a variável

que aparece nos dois termos em sua forma normal e complementada. As variáveis que

não mudam em todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente

aparecer na expressão final.

Exemplo 1: Montar o mapa de Karnaugh e obter a equação minimizada da seguinte expressão:

ABBABA)B,A(S

Mintermos A B S

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 1

O diagrama correspondente fica:

B B

A 0 1

A 1 1

Equação minimizada: BAS

Deve-se observar que a função dada está na forma de somatória de mintermos. Caso ela

não esteja nesta forma, deve-se levantar sua tabela verdade ou realizar manipulações algébricas

para obtê-la.

Exemplo 2: Montar o mapa de Karnaugh e obter a equação minimizada da seguinte expressão:

ABABA)B,A(S

Sua tabela verdade fica:

Mintermos A B S

0 0 0 1


39

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 0

E seu mapa de Karnaugh:

B B

A 1 1

A 1 0

Equação minimizada: BAS

Exemplo 3: Obter a equação minimizada de ABBAB.A)B,A(S

B B

A 1 0

A 1 1

Equação minimizada: BA)B,A(S

Exercício: Obter a equação minimizada algebricamente e pelo mapa de Karnaugh.

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

4.3- Mapa para três variáveis

Para três variáveis booleanas, tem-se oito combinações, ou seja:

Mintermos A B C

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

O mapa ou diagrama de Karnaugh correspondente tem a seguinte forma:

B C. B C. B C. B C.

A

A

Possibilidades de formação de grupos:


40

Grupos proibidos:

A combinação de uma quadra de 1s elimina as duas variáveis que aparecem tanto em sua

forma complementada como na não complementada. As variáveis que não mudam em

todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente aparecer na

expressão final.

Exemplo 1: Obter a equação minimizada de ABCCABCBA)C,B,A(S

Mintermos A B C S

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

O mapa correspondente:

B C. B C. B C. B C.

A 0 0 0 1

A 0 0 1 1

Equação minimizada: C.BB.A)C,B,A(S

Exercícios:

Obter a equação minimizada de:

a) CABCBABCACBACBA)C,B,A(S b) )6,4,3,2,0()C,B,A(F m

d) )5,4,2,0()C,B,A(F m d) )7,3,2,1()Z,Y,X(F m

e) )6,4,3,2,0()C,B,A(F m f) B.AC.BC.B.A)C,B,A(F

4.4- Mapa para quatro variáveis

Para quatro variáveis booleanas, tem-se dezesseis combinações, ou seja:


41

Mintermos A B C D

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

O mapa ou diagrama de Karnaugh correspondente tem a seguinte forma:

C D. C D. C D. C D.

A B.

A B.

A B.

A B.

Possibilidades de formação de grupos (incluem-se os grupos de uma, duas e quatro celas

unitárias):

Grupos proibidos:

A combinação de um octeto de 1s elimina as três variáveis que aparecem tanto em sua

forma complementada como na não complementada. As variáveis que não mudam em

todos os quadrados envolvidos na combinação devem necessariamente aparecer na

expressão final.


42

Exemplo: Minimizar a função m4,15),7,10,13,1(0,1,2,3,5G

Aplicando o procedimento sugerido, tem-se:

C D. C D. C D. C D.

A B. 1 1 1 1

A B. 0 1 1 0

A B. 0 1 1 1

A B. 0 0 0 1

Com relação à exclusão de grupos, o produto A D. não fará parte da expressão minimizada, uma

vez que parte dele pertence ao conjunto A B. e a outra parte pertence ao conjunto B D. . Já os

grupos A B. e B D. são indispensáveis, pois possuem pelo menos uma cela unitária pertencente

só a eles. Desta forma, a equação minimizada fica:

D.C.AB.AD.BG

Exercícios:

1- Minimizar a função:

a) )15,14,13,12,9,8,5,1,0()D,C,B,A(F m b) )15,14,13,8,7,6,3,2()D,C,B,A(F m

c) DCBAABCBCCA)D,C,B,A(F d) B.A.B.B.A.A)C,B,A(F

e) )10,8,2,0()D,C,B,A(F m f) )15,12,11,8,7,4,3,0()D,C,B,A(F m

g) )14,12,10,8,6,4,2,0()D,C,B,A(F m h) )11,10,9,8,3,2,1,0()D,C,B,A(F m

i) )14,12,8,7,5,0()D,C,B,A(F m

2- Projetar um circuito capaz de detetar números binários de 4 bits que sejam maiores que 4 e

menores que 14.

3- Minimizar a função que possui o seguinte mapa de Karnaugh:

C D. C D. C D. C D.

A B. 1 0 0 1

A B. 0 0 1 0

A B. 0 0 1 1

A B. 1 0 0 0

Podemos montar o mapa de Karnaugh através da manipulação da expressão algébrica para a

obtenção da expressão na forma de soma de mintermos ou, também, podemos apresentar a

solução que representa diretamente no mapa a função booleana através da teoria dos

conjuntos.

Por exemplo, na função booleana B.AC.BC.B.A)C,B,A(S teremos a seguinte

situação: a) o primeiro termo apresenta todas as variáveis; b) no segundo termo a variável A

não está representada então para representarmos o segundo termo no mapa devemos colocar

1 em cada cela que contém C.B , ou seja, C.B.AeC.B.A ; c) no terceiro termo a variável C


43

não está representada e, de forma análoga a anterior, colocamos 1 em cada cela que contém

B.A , ou seja, C.B.AeC.B.A .

5. Condições Irrelevantes ou Funções Incompletas

Em certos circuitos digitais, uma função pode ser apresentada sem ser definida para uma

ou mais das combinações possíveis das variáveis. Isto significa que, para a combinação não

definida, a função pode assumir, indiferentemente, o valor 0 ou 1.

Na representação de tais funções em mapas de Karnaugh, um “X” deve ser colocado nas

celas onde elas são indefinidas.

Quando da formação dos grupos de celas unitárias, deve-se escolher, convenientemente,

uma ou mais celas assinaladas com “X” e considerá-las como celas unitárias. O critério de escolha

é o que permite a formação de grupos com o maior número possível de celas unitárias, garantindo

uma expressão mais simples para a função.

Exemplo 1: Minimizar a função (1,8,10) + ,13,15)(3,4,5,7,9Fm

A notação 1,8,10)( é usada para indicar que nas celas 1, 8 e 10 deve-se colocar um “X”.

C D. C D. C D. C D.

A B. X 1

A B. 1 1 1

A B. 1 1

A B. X 1 X

Logo, D.AD.BD.CC.B.AF

Exemplo 2: Suponha que a tabela verdade de uma função de quatro variáveis tenha uma saída alta

para um entrada 0000 e saídas baixas para 0001 a1001. Qual a função mais simples com esta

tabela verdade?

A B C D Y

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 X

1 0 1 1 X

1 1 0 0 X

1 1 0 1 X

1 1 1 0 X

1 1 1 1 X


44

Mapa correspondente:

C D. C D. C D. C D.

A B. 1 0 0 0

A B. 0 0 0 0

A B. X X X X

A B. 0 0 X X

Expressão minimizada: Y A B C D . . .

Exercícios:

1- Minimizar a função:

a) )15,11,9,78,6(I)13,5,3,2,1()D,C,B,A(F m

b) )4,3(I)7,6,5()C,B,A(F m

2- Um sistema de iluminação é composto por quatro lâmpadas. Somente duas podem ser acessas

ao mesmo tempo. Projete um sistema digital de controle de iluminação. É proibido acionar

duas ou mais chaves ao mesmo tempo.

6. Utilização do Mapa de Karnaugh pelo Complemento da Expressão

Uma expressão canônica na forma de produto de maxtermos pode ser inscrita em um mapa

de Karnaugh e posteriormente simplificada. Significa tomarmos os casos onde a expressão é nula

(os zeros da função). As variáveis dos termos soma são transcritas da tabela verdade na forma

complementar. Desta forma obtém-se o complemento da função, bastando inverter a saída.

Exemplo:

B C. B C. B C. B C.

A 1 1 1 1

A 0 1 1 0

CASC.ASC.AS

7. Função Booleana na Forma de Proposição

Uma função lógica pode ser representada por expressão algébrica, tabela verdade, mapa

de Karnaugh ou na forma de proposição.

Exemplo: Obter a função que executa a afirmação: “Um aluno poderá se matricular numa

disciplina X se já cursou as disciplinas A e B ou as disciplinas A e C”.

Considera-se F como a saída de uma função booleana com variáveis A, B e C. Uma variável

igual a 1 significará disciplina cursada. A função F assumirá 1 quando a matrícula for

permitida. Assim:

A B C F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0


45

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Da tabela, obtém-se a equação: C.B.AC.B.AC.B.AF

O mapa correspondente:

B C. B C. B C. B C.

A 0 0 0 0

A 0 1 1 1

Equação minimizada: B.AC.AF

Exercício: Obter a equação minimizada para a seguinte proposição: uma função com três variáveis

assume nível 1 quando A e B assumem nível 0 ou quando B e C assumem nível 1.


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Exercícios:

1) Reescreva as funções abaixo na forma de soma de mintermos:

VXYUWY)UY)(XW(VF)e

)CB)(BA(F )dCBAF )c

)ZY.X)(YX(F )b)D.CC)(B.AB.A(F )a

2) Para cada uma das funções abaixo: (I) levante sua tabela verdade; (II) expresse a função como

uma soma de mintermos; (III) minimize as funções usando mapas de Karnaugh.

)Z+)(WYW.+X)(Z+(X=F d)).ZY+W(+X+W.Y=F c)

C)+A)(C+B+B)(A+(A=F b))C+BA.(=F a)

3) Use o mapa de Karnaugh para encontrar as expressões mais simples das seguintes funções:

a) f(A,B,C) = m(0,2,3) b) f(A,B,C) = m(1,2,4,6,7)

c) f(A,B,C) = m(0,1,2,3) d) f(A,B,C) = m(0,2,4,6)

e) f(A,B,C) = m(0,3,5,6) f) f(A,B,C,D) = m(0,1,2,3,4,5,8,9,11,12,15)

g) f(W,X,Y,Z) = m(0,2,6,9,10,14,15) + I(1,5,7) h) f(A,B,C,D) = m(0,2,8,10)

i) f(A,B,C,D) = m(0,2,4,6,8,10,12,14) j) f(W,X,Y,Z) = m(7,8,9,13,14) + I(1,4,10)

k) f(P,Q,R,S) = m(1,2,3,4,5,11) + I(0,12,15) l) f(W,X,Y,Z) = m(2,9,10,12,13,14,15)

m) f(F,G,H,I) = m(0,3,4,7,8,11,12,15)

4) Use o mapa de Karnaugh para simplificar as seguintes funções :

a) )D,C,B,A(f = ACADCBDCBA b) )C,B,A(f = BCACABABC

c) f (A,B,C,D) = D.CD.BC.BD.BD.C.A

5) Simplificar as saídas da tabela verdade, usando mapa de Karnaugh:

A B C D Y1 Y2 Y3 Y4

0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 X X

1 0 1 1 1 1 X X

1 1 0 0 0 1 X X

1 1 0 1 0 1 X X

1 1 1 0 1 1 X X

1 1 1 1 1 1 X X

6) Dadas as variáveis de entrada (A, B,...), a variável de saída S e a proposição a ser

desempenhada pelo circuito, fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação

booleana simplificada e o circuito lógico correspondente.


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A: existe tensão na rede;

B: houve comutação para o sistema de baterias;

C: ocorreu alarme;

D: as baterias não estão funcionando;

S: o motor gira.

Proposição: “O motor gira se não houve alarme e as baterias estão funcionando sempre e existe

tensão na rede e não houve comutação ou, não existe tensão na rede e houve comutação”.

7) A tabela abaixo é a tabela verdade de um somador completo, um circuito lógico com duas

saídas chamadas VAI-UM e SOMA. Qual o circuito simplificado para a saída VAI-UM? E

para a saída SOMA? Utilize o mapa de Karnaugh para a simplificação.

A B C VAI-UM SOMA

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

8) Dados 4 interruptores, S1, S2, S3 e S4, dispostos nesta seqüência, operar um dispositivo

somente quando forem acionados 2 destes interruptores, desde que não sejam consecutivos,

ou quando forem acionados 3 interruptores quaisquer. Fazer a tabela verdade, o mapa de

Karnaugh para obter a equação booleana simplificada e o diagrama de blocos lógicos

correspondente.

9) Mostre através do mapa de Karnaugh que a função S = A B C não admite simplificação.

10) Dispõe-se de um amplificador de áudio para conectar três fontes: um microfone, um CD player

e um rádio FM. Elabore um circuito lógico mínimo que permita ligar os aparelhos obedecendo

às seguintes prioridades:

1a prioridade: CD player. 2a prioridade: rádio FM. 3a prioridade: microfone.

11) Seja o circuito de inversor abaixo e seu respectivo circuito de comando (não apresentado).

Sabendo que a combinação das chaves que ocasionaria um curto-circuito da fonte jamais será

realizada graças ao circuito de comando das mesmas, encontre a função mínima, usando o

mapa de Karnaugh, que descreve o modo de operação do circuito.

±

SA

SB

SC

SD

VS

R


48

12) Elabore um circuito lógico para encher ou esvaziar um tanque industrial por meio de duas

eletroválvulas, sendo uma para a entrada do líquido e outra para o escoamento de saída. O

sinal de comando é enviado por dois sensores e um operador, um de nível máximo e outro de

nível mínimo.

13) Quatro juizes participam de um programa de televisão e cada um tem, a sua disposição, uma

chave on/off correspondente ao julgamento de um calouro (on – aprovado, off – reprovado).

Na saída temos três lâmpadas, correspondentes a três resultados: aprovado (pela maioria),

reprovado (pela maioria) e empate. Pede-se um circuito lógico.

14) O circuito recebe dois números binários de dois bits, A e B. Projete um circuito para produzir

a saída quando A > B.

15) Projete um circuito que receberá um número binário de quatro bits e indicará quando o número

é divisível por 2, 5 e 6.

16) A figura abaixo mostra um diagrama para um circuito de alarme de automóvel. As três chaves

são usadas para indicar os estados da porta do motorista, da ignição e dos faróis,

respectivamente. Projete um circuito lógico que receba como entradas as saídas destas três

chaves, e faça com que o alarme seja ativado sempre que uma ou mais das condições abaixo

venha a ocorrer:

- os faróis estiverem ligados e a ignição desligada.

- a porta estiver aberta e a ignição ligada.

Siga as seguintes etapas: fazer a tabela verdade, o mapa de Karnaugh para obter a equação

minimizada e o circuito lógico correspondente.

Circuito

Lógico

+5V

fechada Porta

aberta

+5V

desligada Ignição Alarme

ligada

+5V

desligadas Luzes

ligadas

17) A figura abaixo mostra a interseção de uma via preferencial com uma outra secundária. Vários

sensores de detecção de veículos estão colocados ao longo das mãos de direção C e D (via

principal) e A e B (via secundária). A saída de tais sensores está no nível lógico BAIXO

quando nenhum veículo foi detectado, e no nível lógico ALTO quando pelo menos um veículo

tiver sido detectado. O sinal de tráfego no cruzamento deve ser controlado:

a) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deverá estar verde sempre que houver veículos em ambas as

mãos de direção C e D.

b) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deverá estar verde sempre que houver veículos ou em C ou em

D, estando ambas as outras mãos, A e B, sem nenhum veículo detectado.

c) a luz do sinal norte-sul (N-S) deverá estar verde sempre que houver veículos em A e em B,

estando C e D ambas desocupadas.


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d) a luz do sinal norte-sul (N-S) deverá estar verde quando ou A ou B estiverem ocupadas,

enquanto C e D estiverem vazias.

e) a luz do sinal leste-oeste (L-O) deve estar verde quando nenhum veículo tiver sido detectado

pelos sensores.

Usando as saídas dos sensores A, B, C e D como entradas, projete um circuito lógico para

controlar os sinais. Deve haver duas saídas, N-S e L-O, que vão para o nível lógico ALTO

quando a luz correspondente tiver de estar verde.

A

B

C

D

N

O L

S

18) Um dispositivo lógico de entradas A, B, C e D e saída S, opera segundo o diagrama no

tempo abaixo. Determine o circuito lógico mínimo que realiza tal função.

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Capítulo 3: Álgebra Booleana e Simplificação de Circuitos