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Capıtulo 7
As equacoes de Maxwell
7.1 As equacoes de Maxwell e a propagacao de
ondas eletromagneticas no vacuo
As leis do eletromagnetismo que vimos ate aqui foram leis descobertas empiri-
camente, no laboratorio, e em sua forma integral sao dadas por
∮E · dS =
q
ε0
lei de Gauss
∮B · dS = 0 lei de Gauss magnetica
∮E · dl = − ∂
∂t
∫ ∫B · dS lei de Faraday
∮B · dl = µ0I lei de Ampere
Se, por um instante, deixamos de lado a lei de Faraday, veremos que, em
situacoes estaticas temos a seguinte imagem:
“A fonte dos campos eletrostaticos sao distribuicoes estaticas de carga.”
190
“A fonte dos campos magnetostaticos sao correntes.”
Observe que, nao fosse pela lei de Faraday, que introduz uma nova fonte de
campo eletrico (campos magneticos dependentes do tempo) terıamos uma teoria
para os fenomenos eletricos completamente separada e independente daquela refer-
ente a fenomenos magneticos.
A lei de Faraday foi o primeiro passo para unificar a eletricidade e o mag-
netismo, uma vez que nos mostra que existe uma outra fonte de campos eletricos,
alem das distribuicoes de cargas, e que esta diretamente relacionada aos campos
magneticos : - Faraday concluiu que variacoes do fluxo de campo magnetico sao
capazes de produzir uma forca eletromotriz e portanto, um campo eletrico.
Se pararmos agora um momento para refletir, teremos a sensacao estranha de
que as equacoes nao estao simetricas ! Se um campo magnetico que varia no tempo
e capaz de gerar um campo eletrico, porque sera que um campo eletrico variavel no
tempo nao pode gerar um campo magnetico? Se fosse assim, terıamos uma simetria
nas equacoes descobertas em laboratorio para o eletromagnetismo. Haveriam entao
duas fontes para o campo eletrico: distribuicoes de cargas e campos magneticos
variaveis no tempo; e tambem duas fontes possıveis para o campo magnetico: cor-
rentes e campos eletricos dependentes do tempo.
A pergunta fundamental e: porque esse efeito nao foi observado? Logo chegare-
mos a resposta dessa pergunta. Antes disso, vamos ver como foi que Maxwell chegou
a essa mesma ideia sem usar experimento algum, apenas estudando o conjunto de
equacoes que ele tinha disponıveis.
Vamos, antes de mais nada, escrever as equacoes de Maxwell em forma difer-
encial, sabemos que
∮E · dS =
∫∇ · EdV
(pelo teorema da divergencia) e
∮E · dl =
∫ ∫(∇× E) · dS
(pelo teorema de Stokes). Usando esses teoremas em todas as equacoes teremos
191
∮E · dS =
∫∇ · EdV =
∫ρ
ε0
dV
Que implica em
∇ · E =ρ
ε0
lei de Gauss da eletricidade
E tambem teremos
∮B · dS = 0
Que implica em
∇ · B = 0 lei de Gauss do magnetismo
Assim como, usando Stokes
∮E · dl = − ∂
∂t
∫ ∫B · dS
−→∫
(∇× E) · dS = − ∂
∂t
∫ ∫B · dS
De onde
∇× E = −∂B
∂tlei de Faraday
E, finalmente
∮B · dl = µ0I
−→∫ ∫
(∇× B) · dS = µ0
∫j · dS
Que nos fornece
∇× B = µ0j lei de Ampere
Agora, ao inves de pensarmos em coisas muito abstratas, como a simetria das
equacoes, vamos considerar algo bem concreto e que sabemos ser verdade desde os
192
primordios de qualquer teoria: a carga e conservada.
O que quer dizer que a carga e conservada, matematicamente? Existem, na
realidade, duas maneiras completamente distintas de implementar a conservacao da
carga:
a) A lei de conservacao de cargas e GLOBAL. Isto quer dizer que se uma
quantidade de carga desaparece de um lugar e aparece num lugar arbitrariamente
distante, a carga estara, neste sentido, conservada.
b) A lei de conservacao de cargas e LOCAL. Se a lei de conservacao e local,
ela deve obedecer uma equacao de continuidade. Por que? Ora, imagine um volume
qualquer arbitrario contendo uma densidade volumetrica de cargas ρ.
Figura 7.1: fluxo de carga para fora da superfıcie
A lei de conservacao LOCAL de cargas nos diz que a carga nao desaparece
instantaneamente de um volume para aparecer em outro volume arbitrariamente
distante, mas que a densidade de carga por unidade de volume que desaparece, nao
desaparece “de qualquer jeito”. Ela e obrigada a atravessar a superfıcie que engloba
o volume considerado. Se a densidade de carga desaparece de um volume arbitrario,
ela o faz atravessando as fronteiras desse volume, como uma densidade superficial de
corrente. Matematicamente, a lei de conservacao local de qualquer quantidade (seja
massa, carga, energia eletromagnetica, probabilidade, etc...) se exprime atraves da
equacao de continuidade
193
∂ρ
∂t= −∇ · j
Onde j e a densidade de corrente especıfica de cada caso. Embora a forma de
j varie de caso para caso na Fısica, a equacao da continuidade e uma caracterıstica
geral da maior parte das leis de conservacao em Fısica.
Como a conservacao da carga pode ser deduzida das equacoes que temos?
∇ · E =ρ
ε0
∇ · B = 0
∇× E = −∂B
∂t
∇× B = µ0j
Podemos, por exemplo, calcular o divergente da ultima equacao, onde aparece
explicitamente a densidade de corrente. Isto da
∇ · (∇× B) = µ0∇ · jMas, do calculo vetorial sabemos que o divergente do rotacional de qualquer
campo e nulo (verifique!). Portanto, Maxwell se encontrou frente a um dilema
∇ · j = 0
Ou a equacao de Ampere estava incompleta, ou a conservacao local de cargas
nao esta contida nas equacoes do eletromagnetismo!! E claro que ele optou pela
segunda hipotese e descobriu uma maneira de compensar esse efeito. Imagine que
a equacao de Ampere adicionemos um termo que depende da variacao temporal do
campo eletrico
+µ0ε0∂E
∂t
Neste caso o divergente da equacao de Ampere modificada daria
194
∇ · (∇× B) = µ0∇ · j + µ0ε0∂(∇ · E)
∂t
O termo do lado esquerdo da equacao e nulo e do lado direito vemos que o
ultimo termo e
µ0ε0∂(∇ · E)
∂t
Ora, da lei de Coulomb (Gauss), sabemos que
∇ · E =ρ
ε0
Inserindo entao, na expressao anterior temos
µ0ε0∂(∇ · E)
∂t= µ0
ε0
ε0
∂ρ
∂t
E a equacao de Ampere modificada nos daria
0 = µ0∇ · j + µ0ε0
ε0
∂ρ
∂t
Que implica
∂ρ
∂t= −∇ · j
Entao compatibilizando as equacoes do eletromagnetismo com a equacao de
conservacao local das cargas. Com isso, a equacao de Ampere se transforma na
chamada equacao de Ampere-Maxwell, escrita como
∇× B = µ0j + µ0ε0∂E
∂tequacao de Ampere − Maxwell
Isto nao so conserta as equacoes com relacao a respeitar a conservacao local
de cargas como tambem prove a simetria da qual estavamos sentindo falta: agora
vemos que existem duas fontes de campo eletromagnetico - as correntes e a variacao
temporal do campo eletrico.
Agora uma pergunta pratica se coloca: porque Ampere nao viu esse termo ao
fazer suas experiencias em laboratorio? A resposta e que, a presenca de correntes
domina a geracao do campo magnetico. O segundo termo, batizado de corrente de
deslocamento de Maxwell e quantitativamente muito menor
195
jD = ε0∂E
∂t
Por isso, nao foi percebido por Ampere. Podemos no entanto, perceber seu
efeito em situacoes onde nao hajam correntes estacionarias como as que veremos nos
exemplos que seguem.
Exercıcios:
Exercıcio 1) Considere um capacitor plano paralelo formado por placas cir-
culares de raio R separados por uma distancia L, como mostra a figura abaixo. A
placa direita do capacitor e a placa positiva e ele esta sendo carregado por cargas
transportadas por uma corrente i. Considere que, durante o carregamento a carga
se distribua uniformemente sobre as superfıcies das placas do capacitor.
Figura 7.2: Capacitor plano de placas circulares
a) Considerando a superfıcie circular plana S1 de contorno C e raio ρ, ache
a corrente de deslocamento atraves dessa superfıcie e o campo magnetico na curva
ampereana.
Para determinar a corrente de deslocamento atraves da superfıcie, precisamos
do campo eletrico dentro do capacitor, que pode ser obtido da seguinte forma
196
E =σ
ε0
n
De modo que∂E
∂t=
1
ε0
∂σ
∂tn
Assim, a corrente de deslocamento fica
iD = ε0
∫∂E
∂t· ndS = ε0
∫S1
1
ε0
∂ρ
∂tn · ndS
Ou ainda
iD =dσ
dt
∫S1
dS = πρ2dσ
dt
Utilizando agora a lei de Ampere modificada (ou lei de Ampere-Maxwell)
∮B · dl = µ0
∫j · ndS + µ0ε0
∮∂E
∂t· ndS
Lembrando que nao ha nenhuma corrente real atravessando a superfıcie S1,
de modo que j = 0 e a primeira integral e nula. Obtemos, portanto
∮B · dl = µ0iD
Como B = Bθ e dl = ρdθθ, temos
∫ 2π
0
Bdθ · ρdθθ = µ0πρ2dσ
dt
Ou ainda
Bρ
∫ 2π
0
dθ = µ0πρ2dσ
dt
De modo que B = µ0ρ2
dσdt
, ou vetorialmente
B =µ0ρ
2
dσ
dtθ
197
Figura 7.3: Placa imersa em campo eletrico
1)Uma area A = 0, 020m2 esta no plano xy e completamente inverso num
campo el/’etrico E na direcao z. E varia sinusoidalmente com o tempo com um
perıodo T = 4, 0µs e |E| = 800 × 103N/C
E = Em cos (ωt)z
a) Ache uma expressao para a corrente de deslocamento
iD = ε0
∫∂E
∂t· dS = ε0Em(−ω) sin (ωt)A = −ε0EmA
2π
Tsin (ωt)
iD = −(0, 220A) sin 1, 5708 × 106s−1t = 220mA sin 1, 6 × 10−6s−1t
b) t ≥ 0 em que instantes do tempo iD = 0?
1, 5708 × 106 = nπ n = 0, 1, 2, , ...
t =nπ
1, 5708 × 106s−1= 0µs, 2µs, 4µs, , ...
Exercıcio 3) Um capacitor de placas paralelas e constituiıdo por duas placas
circulares de raio R, muito proximas. Uma corrente de 2, 5A esta entrando em uma
198
Figura 7.4: Capacitor de placas paralelas
das placas e saindo da outra. Calcule a corrente de deslocamento na regiao entre as
placas
ID = ε0dΦE
dt
(Placas muito proximas implica que o campo e uniforme e que e nulo fora do
capacitor.)
ΦE = EA
ID = ε0dΦE
dt
ΦE = EA =σA
ε0
=Q
ε0
−→ ID =ε0
ε0
dQ
dt= ε0A
dQ
dt(ε0)= 2, 5A
3) Mesmo caso do problema anterior, mas aqui R = 3, 0cm. Determine o
campo magnetico e r = 2, 0cm se a corrente ρ entre as placas e 2, 5A.
∮B · dl = µ0I + ε0µ0ID
B · 2πr = 0 + µ02, 5Ar2
R2
199
B =µ0
2π2, 5
r
R2= 2 × 10−2Tm/A
0, 02
(0, 03)2× 2, 5A = 1, 11 × 10−5T
Menor que o campo magnetico da Terra.
7.2 A equacao de onda
Para deduzir a equacao de onda, devemos utilizar o conjunto completo e cor-
reto das equacoes de Maxwell. As equacoes na forma diferencial sao mais adequadas
para essa deducao.
Nosso ponto de partida e, entao
∇ · E =ρ
ε0
, ∇× E = −∂B
∂t
∇ · B = 0 , ∇× B = µ0j + µ0ε0∂E
∂t
No vacuo
∇ · E = 0 , ∇× E = −∂B
∂t
∇ · B = 0 , ∇× B = µ0ε0∂E
∂t
Para deduzir a equacao de onda, precisaremos usar uma identidade vetorial,
como segue
∇× (∇× A) = −∇2A + ∇(∇ · A)
Uma vez de posse dessa identidade, podemos calcular o rotacional da terceira
ou da quarta equacao. Vamos trabalhar com o rotacional da quarta equacao e deixar
o da terceira como exercıcio
∇× (∇× B) = µ0ε0∂
∂t(∇× E)
200
−∇2B + ∇(∇ · B) = µ0ε0∂
∂t(∇× E)
Pela segunda das equacoes de Maxwell temos ∇·B = 0 e pela terceira ∇×E =
−∂B∂t
Assim temos a equacao de onda para o campo magnetico
∇2B − µ0ε0∂2B
∂t2= 0
Da mesma forma podemos deduzir uma equacao de onda para o campo eletrico
e ficamos com
∇2B − 1
c2
∂2B
∂t2= 0
∇2E − 1
c2
∂2E
∂t2= 0
Aparentemente, essas equacoes estao desacopladas, o que implica imediata-
mente que a propagacao espaco-temporal dos dois campos sao independentes. A
razao disto e que obedecer as equacoes de onda acima nao necessariamente quer
dizer que as solucoes obedecem tambem as equacoes de Maxwell.
Vamos ver como isso funciona. A solucao geral de uma equacao de onda da
forma acima e
B(r, t) = Re(B0ei(k·r−ωt))
E(r, t) = Re(E0ei(k·r−ωt))
Onde a relacao entre k e ω deve ser determinada por substituicao na equacao
de onda.
Dica matematica importante: Verifique que
∇× E = k × E ∇× B = k × B
e
201
∇ · E = k · E ∇ · B = k · BSe substituirmos as solucoes gerais para E(r, t) e B(r, t) nas equacoes de
Maxwell no vacuo, obteremos
k · E = 0 k · B = 0
k × E = +ωB k × B = −ω
cE
Das duas primeiras equacoes vemos que tanto E como B devem ser perpen-
diculares a direcao de propagacao da onda k. A terceira (e quarta) equacoes nos
dizem que E (B) devem ser perpendicular a k e a B (E). Devemos ter entao, na
propagacao de uma onda eletromagnetica
Figura 7.5: Direcoes numa onda eletromagnetica
Esses tres vetores devem ser perpendiculares entre si e isso e exigencia das
equacoes de Maxwell, nada tendo a ver com a equacao de onda. Esta exige uma
relacao entre k, ω e c. Substituindo as solucoes obtidas para a equacao de onda nas
mesmas obtemos
k2 =ω2
c2−→ k =
ω
c−→ 2π
λ=
2πf
c
202
c = λf
Uma expressao muito conhecida de todos (decorada).
Vemos assim que a geracao de uma onda eletrica implica necessariamente na
geracao de uma onda magnetica e nao se pode separar as duas. E o Eletromag-
netismo.
Vamos ver como gerar uma onda eletromagnetica e a importancia da con-
tribuicao do termo novo introduzido por Maxwell, fundamental para isso:
7.2.1 Producao de ondas eletromagneticas por uma antena
As ondas eletromagneticas sao geradas em consequencia de dois efeitos:
(1) Um campo magnetico variavel que produz um campo eletrico.
(2) Um campo eletrico variavel que produz um campo magnetico.
Portanto, e claro que nem cargas estacionarias, nem correntes constantes po-
dem gerar ondas eletromagneticas. Sempre que uma corrente num condutor se altera
no tempo, o condutor emite radiacao eletromagnetica.
“O mecanismo fundamental responsavel por essa irradiacao e a aceleracao de
partıculas carregadas. Sempre que sofre uma aceleracao, uma partıcula carregada
irradia energia.”
Uma voltagem alternada aplicada nos condutores de uma antena obriga as
cargas na antena a oscilarem. Essa e uma tecnica comum para acelerar partıculas
carregadas e e a fonte de radio emitida pelas antenas das estacoes radioemissoras.
A figura abaixo ilustra a producao de uma onda eletromagnetica pelas cargas
eletricas oscilantes de uma antena.
203
Figura 7.6: Campo eletrico numa antena
Duas hastes metalicas estao ligadas a um gerador de corrente alternada, o
que provoca oscilacao das cargas entre as duas hastes. A voltagem de saıda do
gerador e senoidal. Em t = 0 a haste de cima tem uma carga positiva maxima e a
haste de baixo uma carga igual, porem negativa, como mostra a parte a) da figura.
O campo eletrico nas vizinhancas da antena, neste instante tambem aparece nesta
figura. Quando a carga oscila, as hastes ficam menos carregadas, o campo eletrico
nas vizinhancas das hastes diminui de intensidade e o campo eletrico maximo, gerado
no instante t = 0 se afasta das hastes. Quando as cargas se neutralizam, como na
parte seguinte da figura (b), o campo eletrico cai a zero. Isto ocorre perıodo igual a
1/4 do perıodo de oscilacao. Continuando dessa maneira, a haste de cima logo fica
com uma carga negativa maxima e a de baixo fica positiva como na figura seguinte
(c) provocando um campo eletrico dirigido para cima. Isto ocorre num instante igual
a metade do tempo de oscilacao. As oscilacoes continuam como na parte seguinte
da figura (d). Ha tambem um campo magnetico que oscila perpendicularmente ao
plano da firgura acima, que acompanha o campo eletrico, mas que omitimos em
benefıcio da clareza. O campo eletrico nas vizinhancas da antena oscila em fase
204
com a distribuicao de cargas. Isto quer dizer que o campo esta dirigido para baixo
quando a haste de cima for positiva para baixo quando a haste de cima for negativa.
Alem disso, o modulo do campo, em qualquer instante, depende da quantidade de
carga nas hastes neste instante.
A medida que as cargas continuam a oscilar (e a serem aceleradas entre as
hastes) o campo eletrico se afasta da antena a velocidade da luz. Esta figura mostra
a configuracao do campo eletrico em diversos instantes durante o ciclo de oscilacao.
Agora consideremos o que acontece quando duas hastes condutoras sao ligadas aos
terminais de uma bateria como mostra a figura seguinte.
Figura 7.7: Par de barras metalicas ligadas numa bateria
Antes da chave ser fechada, a corrente e nula e entao nao existem campos
(figura). Logo depois da chave ser fechada, cargas de sinais opostos principiam a se
acumular nas hastes (parte seguinte da figura), o que corresponde a uma corrente
variavel no tempo I(t). As cargas variaveis provocam um campo eletrico variavel
que, por sua vez, provoca um campo magnetico envolvendo as hastes. Finalmente,
quando as hastes estiverem plenamente carregadas, a corrente e nula e nao havera
campo magnetico (parte c da figura).
205
7.3 Exercıcios
Uma onda eletromagnetica plana senoidal tem frequencia de 40Mhz e se
propaga no vacuo na direcao do eixo dos x, como mostra a figura.
Figura 7.8: Segmento de fio condutor
Em certo ponto e num certo instante o modulo do campo eletrico |E| tem o
valor maximo de 750N/C e tem a orientacao do eixo dos y.
a) Determine o comprimento de onda e o perıodo da onda;
b) Calcular o modulo e direcao do campo magnetico B quando E = 750N/C ;
c) Escrever as expressoes da variacao no espaco e no tempo dos campos eletrico
e magnetico componentes dessa onda plana.
Neste tipo de problema, as duas coisas importantes para se ter em mente sao:
1) No vacuo tanto o campo eletrico como o campo magnetico obedecem a
seguinte equacao de onda
206
∇2B − 1
c2
∂2B
∂t2= 0
∇2E − 1
c2
∂2E
∂t2= 0
Cujas solucoes sao
B(r, t) = Re(B0ei(k·r−ωt)) E(r, t) = Re(E0e
i(k·r−ωt))
Essas solucoes sao solucoes da equacao de onda SE E SO SE:
k =ω
c
Entao, embora aparentemente independentes, e com k e ω arbitrarios, isso
NAO E ASSIM.
A EQUACAO DE ONDA FIXA A RELACAO ENTRE k E ω
2) Alem da relacao acima, tenha sempre em mente que a solucao da equacao
de onda NAO NECESSARIAMENTE e solucao das equacoes de Maxwell. Entao,
dada uma equacao de onda plana e necessaario verificar se as equacoes de Maxwell
estao satisfeitas, i.e; se
∇ · E = 0 , ∇× E = −∂B
∂t
∇ · B = 0 , ∇× B = µ0ε0∂E
∂t
Vamos agora a solucao do presente problema
a) Da equacao de onda sabemos que
k =ω
c−→ 2π
λ=
2πf
c−→ c = λf
Sabemos que f = 40Mhz = 4 × 107s−1 e entao
λ =c
f=
3 × 108m/s
4 × 107s−1= 7, 50m
207
O perıodo e o inverso da frequencia T = 1f
= 14×107s−1 = 2, 5 × 10−8s
b) Queremos relacionar Em e Bm. Entao devemos usar uma das duas equacoes
de Maxwell que contenha ambos os campos. Por exemplo
∇× E = −∂B
∂tk × E = +ωB
Portanto, em modulo (uma vez que os tres vetores que aı aparecem sao per-
pendiculares)
B =k
ωE =
E
c
c)
E = Em cos (kx − ωt) = 750N
Ccos (kx − ωt)
B = Bm cos (kx − ωt) = 2, 5 × 10−6 cos (kx − ωt)
ω = 2πf = 8π × 107rad/s
k =2π
λ=
2π
7, 5m= 0, 838m−1
Exemplo 4) Uma antena constituıda por uma unica espira de raio 10cm e us-
ada para detectar uma onda eletromagnetica de intensidade tal que Em = 0, 15V/m.
Determine o valor da tensao induzida se a frequencia de onda for
a) 600 kHz
b) 600 MHz
Tensao induzida −→ relacionada a taxa de variacao do fluxo de campo magnetico
pela Lei de Faraday.
|E| =dΦm
dt= πr2dB
dt
|E| = πr2(−ωBx) cos kx − ωt
208
Figura 7.9: Antena constituıda por uma espira
dB
dt|max = ωBmax = ω
Emax
c
dB
dt|max =
2πf
cEmax
|E| = πr2(dB
dt) = πr2 2πf
cEmax = π(0, 1)22π(0, 15V/m)(3×108m/s) = 5, 92×10−5V
No outro caso, E = 0, 0592V , mil vezes maior.
Exercıcio 4) O vetor campo eletrico de uma onda eletromagnetica e dado por
E(x, t) = E0 sin (kx − ωt) + E0 cos (kx − ωt)k
B(x, t) =?
Calcule E · B e E × B:
∇ · E = 0 −→ k · ı −→ ok!
∇ · B = 0 −→ nao da nada!
∇× E =∂B
∂t−→ ∂Bz
∂t= −∂Ey
∂x
209
−→ − ∂
∂x[E0 sin (kx − ωt)] = −kE0 cos (kx − ωt)
−→ Bz = −kE0 sin (kx − ωt)(−1/ω) = −E0/c sin (kx − ωt)
B =E0
csin (kx − ωt)k =
E0
ccos (kx − ωt)
E · B = 0
e
E × B = E0B0ı
(A fazer.Tem a ver com a propagacao da energia do campo eletromagnetico.)
5) Quais dos seguintes pares de campo podem corresponder a uma onda eletro-
magnetica?
a) E = Em sin 2πλ
(x − ct) e B = Em
csin 2π
λ(x − ct)
b) E = cBm sin (2πλ
x − 2πT
t) e B = Bm sin (2πλ
x − 2πT
t)
c) E = Em sin ω(xc− t) e B =
√µ0ε0Em sin ω(x
c− t)
d) E = Bm√µ0ε0
sin 2π(xλ− ft) e E = Bm sin 2π(x
λ− ft)
Exercıcio 6) Bx = (400µT ) sin (ky − 2 × 1015s−1)t. Qual a direcao na qual se
propaga a onda? Esta polarizada em que eixo?
7) Onda plana eletromagnetica λ = 200nm no vacuo com a direcao de propagacao
x positivo. O campo magnetico maximo e 50µT polarizado segundo z.
a) f , ω e k. Que parte do expectro esta envolvido?
f =c
λ=
3 × 108
200 × 10−9= 1, 50 × 1015Hz
ω = 2πf = 9, 42 × 1015rad/s
210
k =2π
λ= 3, 14 × 107m−1
Exercıcio 8) Dado o campo eletrico
E(r, t) =−1
(4πε0r2)qθ(vt − r)r
B(r, t) = 0
Mostre que estes campos satisfazem todas as equacoes de Maxwell e determine
ρ e j. Descreva a situacao fısica que da origem a esses campos.
Para demonstrar que esses campos satisfazem as equacoes de Maxwell use o
rotacional e gradiente em coordenadas esfericas. Deixamos esta parte do exercıcio
para voce.
Mais interessante e determinar ρ e j. Sabemos que
∇ · E = ρ −→(
∂
∂rr2r
)Er = ρ
−→ 1
(4πε0)q
∂
∂rθ(vt − r) = ρ
ρ =1
(4πε0)qδ(vt − r)
Entao a densidade de carga que determina esse campo eletrico e uma carga
puntiforme viajando com velocidade constante.
E a densidade de corrente? Tomemos a lei de Ampere-Maxwell:
∇× B = µ0j + µ0ε0∂E
∂t
0 = µ0j + µ0ε0∂E
∂t−→ j = −ε0
∂E
∂t
211
j = +ε0
(1
(4πε0)q
∂
∂tθ(vt − r)
)=
qv
4πδ(vt − r)
E uma densidade de corrente qv que se move tambem com velocidade constante
v.
212
