Capítulo 7 - uncor...CAPITULO 7 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS _____ _ PRATO, MASSA -8- Figura 7.6 Equilibrio de fuerzas: 4 d e g h P P P P P j j i i (Ec. 7.14) La fuerza exteriorP

CAPITULO 7 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS ____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Capítulo 7

Método de Rigidez - Reticulados

7.1- Relaciones cinemáticas para barras de reticulado

A los efectos de formular el Método de Rigidez resulta indispensable relacionar los

desplazamientos de los extremos de una barra de reticulado con el alargamiento de la misma,

relaciones que se conocen como “relaciones cinemáticas”.

Considérese una barra de longitud “l” que se extiende desde el origen definido por el

nudo "i" al extremo definido por el nudo "j". Se considera que el origen experimenta un

desplazamiento iU pasando al punto “I” mientras que el extremo "j" se desplaza jU hasta “J”.

Figura 7.1

1X2X

3X

ir

jr

t

iU

jU

iUU

:

.

:

I i i

J j j

j i

j i

J I

R r UR r UNotaciónr r r

r l tr l

t versorU U U

R R R r U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

La posición inicial esté definida por los vectores de posición ,i jr r . Estos vectores de

posición una vez deformada la barra se obtienen en función de los corrimientos nodales ,i jU U .

La elongación de la barra resulta igual a la diferencia entre la longitud final y la inicial:

e L l R l donde: R R R

Dividiendo por “ l ”: 2

2 21 1e R R e R Rl l l l

Los materiales normalmente usados en la construcción de estructuras permiten asumir

1el

, de modo que:

2 2

2

11 1 2. 1 2. .2

e e e R R R R lel l l l l

Recordando que R r U y desarrollando el producto punto resulta:

1 .2

r re

22 r U U U l l

Finalmente, para pequeñas deformaciones específicas resulta:

..2.

U Ue U tl

(Ec. 7.1)

La (Ec. 7.1) permite obtener la elongación de la barra en función de las componentes de

desplazamientos de los nudos; se trata de una relación no lineal respecto a los desplazamientos.

Si U es pequeño, como ocurre en la mayoría de los casos de aplicación, el segundo

término (término no lineal) del segundo miembro de (Ec. 7.1) puede despreciarse y, para

pequeñas deformaciones y pequeños giros, adopta la siguiente forma:

.e U t (Ec. 7.2)

Esta expresión implica que para U pequeño, la elongación de la barra resulta

aproximadamente igual a la proyección del desplazamiento relativo entre los extremos sobre la

dirección de la barra indeformada.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

7.2- Matriz de rigidez de una barra de un reticulado plano A continuación se relacionan las fuerzas aplicadas en los extremos de una barra con los

desplazamientos de los extremos de dicha barra. Dicha relación se logra a través de la matriz de

rigidez de la barra que depende de sus características elásticas y su orientación.

Existen dos componentes de desplazamiento incógnita por nudo y se pueden plantear dos

ecuaciones de equilibrio por nudo, por lo que el tamaño de la matriz de rigidez resulta de (4 x 4).

Figura 7.2

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

.

x xi iy y

i ix x

j jy y

j j

K K K K U PK K K K U PK K K K U PK K K K U P

(Ec. 7.3)

Para deducir los elementos de la matriz K , se sigue el siguiente razonamiento:

1000

xiy

ix

jy

j

UUUU

(Ec. 7.4)

xiU

yiU

yiP

xiP

xiU

yjU

yjP

xjP

xjU


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-

El desplazamiento horizontal del nudo "i" se define igual a la unidad mientras que los

restantes desplazamientos se consideran nulos. La elongación de la barra asumiendo la hipótesis

lineal resulta, según la (Ec. 7.2), igual a la proyección del corrimiento unitario sobre la dirección

primitiva de la barra.

Figura 7.3

1.cose (Ec. 7.5)

La fuerza que comprime la barra una magnitud “e” está dada por la ley de Hooke.

.P K e (Ec. 7.6)

Nótese que las condiciones de equilibrio se plantean en el sistema indeformado.

Sustituyendo (Ec. 7.4) en (Ec. 7.3) se obtiene:

11

21

31

41

.1

.1

.1

.1

xiy

ix

jy

j

K PK PK PK P

(Ec. 7.7)

La (Ec. 7.7) muestra que la primera columna de K es numéricamente igual al valor de las

fuerzas que mantienen el estado de deformación prefijada definido en (Ec. 7.4).

A partir de la Figura 7.3 se tiene:

.cos ; .cos ; .cos ; .cosx y x yi i j jP P P P P P P P (Ec. 7.8)

Teniendo en cuenta el sentido adoptado como positivo para fuerzas y desplazamientos,

sustituyendo (Ec. 7.5) en (Ec. 7.6), y luego en (Ec. 7.8), resulta:

2

2

.cos ; .cos .cos ;

.cos ; .cos .cos

x yi i

x yj j

P K P K

P K P K

(Ec. 7.9)

xiP

yiP

P

xjP

yjP P

1

t

21

11

yi

xi

P K

P K

41

31

yj

xj

P K

P K


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-

La primera columna de la matriz K se obtiene reemplazando las expresiones de (Ec. 7.9)

en (Ec. 7.7).

Un razonamiento similar permite determinar una por una las restantes columnas.

Resulta conveniente destacar que se ha planteado el equilibrio en el sistema indeformado,

como una primera aproximación al problema.

La forma explícita de la matriz de rigidez de una barra de rigidez axial K cuyos cosenos

directores son:

1 2.cos ; cos ; A EKl

; es

2 2" " 1 1 2 1 1 2

2 21 2 2 1 2 2

2 2" " 1 1 2 1 1 2

2 21 2 2 1 2 2

. . . . . .. . . . . .

. . . . . .. . . . . .

Nudo i

Nudo j

Nudo "i"

K K K KK K K K

KK K K K

K K K K

Nudo "j"

(Ec. 7.10)

Se observa que la tercera fila de (Ec. 7.10) es igual a la primera fila cambiada de signo, la

cuarta fila es igual a la segunda cambiada de signo, y la segunda es igual a la primera

multiplicada por 2 1 . El sistema (Ec. 7.3) contiene sólo una ecuación linealmente

independiente. La matriz K es singular y el sistema no tiene solución única, ya que no se han

fijado aún condiciones de vínculo para la barra. La simetría de la matriz resulta una simple

consecuencia del Teorema de Reciprocidad.

Si las componentes de fuerza del segundo miembro de (Ec. 7.3) no guardan las mismas

relaciones que las filas del primer miembro, el sistema no tiene solución (no hay equilibrio). Si el

sistema tiene solución (se cumplen las condiciones de equilibrio) hay infinitas soluciones que

corresponden a un alargamiento de la barra seguido de un desplazamiento de cuerpo rígido.

12K

22K

32K

42K

13K

23K

33K

43K

14K

24K

34K

44K


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

Si se conocen los desplazamientos de los extremos de la barra, la (Ec. 7.3)

permite calcular la fuerza axial que solicita a la barra. Si se adopta como orientación de la barra a la opuesta, es decir que si la barra tiene por

origen al nudo “i” y como extremo al nudo “j”, y se intercambian los roles entre “i” y “j”,

cambian simultáneamente ambos cosenos directores, y por lo tanto la (Ec. 7.10) no cambia.

Figura 7.4

Las ecuaciones de equilibrio (Ec. 7.3) se denominan ecuaciones "fuerza-movimiento", y

pueden escribirse particionadas de la siguiente manera:

.ii ij i i

ji jj j j

K K U PK K U P

(Ec. 7.11)

O también:

. .ii i ij j iK U K U P (Ec. 7.12)

. .ji i jj j jK U K U P (Ec. 7.13)

Nótese que ijK es una submatriz (2 x 2) y los vectores iP y iU son vectores de dos

componentes. La (Ec. 7.11) es un sistema de dos ecuaciones matriciales. Cada vector tiene dos

componentes escalares (proyecciones sobre el sistema global), y por lo tanto se trata de cuatro

ecuaciones algebraicas lineales.

La matriz de rigidez de la (Ec. 7.10) constituye una descripción completa de las

características elásticas de cada barra que permite plantear las ecuaciones de

equilibrio global y de compatibilidad de desplazamientos para un conjunto de barras.

7.3- Matriz de rigidez del reticulado plano (2-D)

El número de incógnitas en el Método de Rigidez está asociado al número de grados de

libertad o incógnitas que definen la posición de los nudos. Se define como "Grados de Libertad

Geométricos" o simplemente "Grados de Libertad" (G.L.) a los desplazamientos necesarios para

determinar la configuración deformada de la estructura.

2 b

1 a

tt

1 a

2 b


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-

En un reticulado "ideal" con nudos perfectamente articulados, el conocimiento de la

posición final de cada nudo resulta suficiente para definir la configuración deformada. En un

reticulado plano, es suficiente conocer las dos componentes ,x yU U del desplazamiento de

cada nudo para definir la posición deformada de los nudos.

El número de G.L. para un reticulado plano es dos veces el número de nudos, menos el

número de condiciones de vínculo que introducen restricciones cinemáticas sobre los

desplazamientos.

La matriz de rigidez del conjunto se obtiene “ensamblando” las matrices de rigidez de

cada una de las barras individuales, como se ilustra para el reticulado de la Figura 7.5.

Figura 7.5

Este reticulado tiene 7 nudos y por lo tanto 14 G.L. Inicialmente no se imponen

condiciones de vínculo.

Al ensamblar la matriz de rigidez de la estructura completa (de orden 14x14) se

describen dos importantes aspectos del problema:

a) Las características elásticas y orientación de cada barra.

b) La topología o conectividad de la estructura. El primer aspecto está totalmente definido a través de la matriz de rigidez de la (Ec. 7.10)

de cada barra. El segundo aspecto se refiere a la forma en que se unen los nudos a través de las

barras (conectividades). La matriz K será de orden 14 y corresponderá a un sistema de 14

ecuaciones de equilibrio.

A modo de ejemplo, a continuación se describen en detalle las 2 ecuaciones de equilibrio

que surgen para el nudo 4.

Empleando notación matricial se plantea una ecuación vectorial de equilibrio del nudo 4

en la que intervienen las fuerzas que ejercen las distintas barras que convergen a este nudo.

4P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-

Figura 7.6

Equilibrio de fuerzas:

4d e g h

j j i iP P P P P (Ec. 7.14)

La fuerza exterior 4P se descompone en cuatro fuerzas que actúan en el extremo "j" de las

barras (d) y (e) y en el origen "i" de las barras (g) y (h).

Compatibilidad de desplazamientos. Se describe a través de las condiciones:

4d e g h

j j i iU U U U U (Ec. 7.15)

La (Ec. 7.15) expresa simplemente que los desplazamientos de los extremos de las barras

que concurren al nudo 4 son iguales al desplazamiento del nudo.

Las fuerzas en los extremos de las barras en la ecuación de equilibrio (Ec. 7.14) pueden

expresarse en función de los desplazamientos de los extremos recurriendo a las ecuaciones

fuerza-desplazamiento (Ec. 7.12) y (Ec. 7.13).

2 3 4 44 4 5 6

4. . . . . . . .d d d d e e e e g g g g h h h hji i jj j ji i jj j ii i ij j ii i ij j

U U U UU U U U

K U K U K U K U K U K U K U K U P

Teniendo en cuenta las ecuaciones de compatibilidad del tipo (Ec. 7.15) para cada nudo

se obtiene:

1 2 3 4 5 6 7 40. . . . . . 0.d e d e g h g hji ji jj jj ii ii ij ijU K U K U K K K K U K U K U U P (Ec. 7.16)

La expresión vectorial de la (Ec. 7.16) corresponde a las dos ecuaciones de equilibrio del

nudo 4, que resultan ser la séptima y octava ecuaciones del sistema (14 x 14) correspondiente al

reticulado de la Figura 7.5.

Ensamble de la matriz de rigidez del conjunto

La expresión vectorial (Ec. 7.16), desarrollada para el nudo 4 (a modo de ejemplo),

resulta de validez general y provee una forma sistemática de plantear las ecuaciones de

equilibrio. Esta ecuación indica cómo debe ensamblarse la matriz de rigidez del reticulado a

partir de las matrices de rigidez de cada barra.

4P

hP

gPePdP


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-

(Ec. 7.17)

Sobre la diagonal principal de la matriz (elemento 44K ) se suman las contribuciones de la

rigidez de las cuatro barras que concurren al nudo 4.

El elemento 42K contiene solamente el aporte de la única barra que une los nudos 2 y 4.

El elemento 41K es nulo porque no hay ninguna barra conectando el nudo 1 con el 4.

A manera de ejemplo, a continuación se procede a ensamblar directamente la

contribución de una barra cualquiera, por ejemplo la barra (d) que une el nudo 2 con el 4.

2 4

2

4

d dii ijd

d dji jj

K KK

K K

(Ec. 7.18)

:diiK Se suma a la contribución de las barras (a) y (c) para generar 22K .

:dijK Resulta ser 24K .

:djiK Resulta ser 42K .

:djjK Se suma a la contribución de las barras (e), (g) y (h) para generar 44K .

djiK e

jiK0

(**) : d e g hjj jj ii iiK K K K

(**) gijK h

ijK 0

1U

2U

5

0R

000F

1

1

x

y

RR

0P

004

4

x

y

PP

3U

4U

5U

6U

7U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

El procedimiento indicado para la barra (d) es totalmente general, y para una barra

genérica (*) que une el nudo "i" con el nudo "j" se tiene: * *. .i ii i ij jP K U K U contribución de las otras barras

* *. .j ji i jj jP K U K U contribución de las otras barras (Ec. 7.19)

Para ensamblar la matriz global del conjunto se parte inicialmente de una matriz (2n x 2n)

cuyos coeficientes son todos nulos, donde “n” es el número de nudos del reticulado, y se

acumulan en dicha matriz las contribuciones de todas las barras que integran la estructura.

Por ejemplo, la contribución de una barra (*) será según la (Ec. 7.19) la indicada en la

Figura 7.7.

Figura 7.7

Propiedades de la matriz de rigidez

1) La matriz de rigidez del reticulado plano es cuadrada y de orden 2n, donde n es el

número de nudos. Para una barra en 3 dimensiones, la matriz sería de orden (3n x 3n).

2) Esta matriz global resulta simétrica como consecuencia que las matrices de las barras

individuales son también simétricas.

3) La matriz de rigidez, tal como resulta del proceso de ensamble antes descrito, es una

matriz singular (determinante nulo) de modo que el sistema de la (Ec. 7.17) no tiene solución

única porque no se han impuesto las condiciones de vínculo que restringen los desplazamientos

de cuerpo rígido. Para impedir desplazamientos de cuerpo rígido en el plano deben definirse al

menos tres condiciones de vínculo apropiadas que restrinjan estos desplazamientos.

Condiciones de vínculo

Habiendo ya considerado las relaciones constitutivas, las ecuaciones de equilibrio y las

cinemáticas (o de compatibilidad), sólo resta introducir las condiciones de vínculo (apoyos). El

*iiK

*jjK

*ijK

*jiK


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

nudo 1 es un apoyo fijo y el nudo 5 es un apoyo móvil, de modo que se tienen tres

desplazamientos nulos:

51 5

0;

0 0

xUU U

(Ec. 7.20)

Las columnas primera, segunda y décima que van a ser multiplicadas por cero, no son

necesarias para resolver el sistema de ecuaciones ya que los respectivos desplazamientos son

nulos en función de las condiciones de vínculo impuestas, y pueden ser omitidas del sistema de

ecuaciones a resolver.

Las filas primera, segunda y décima también deben omitirse del sistema de ecuaciones,

para resolver un sistema 11 x 11 que permita determinar los 11 desplazamientos desconocidos.

Una vez calculados los 11 desplazamientos sin considerar la primera, segunda y décima

filas, se pueden utilizar estas ecuaciones suprimidas para obtener las reacciones de apoyo

desconocidas (Ec. 7.17).

La diagonal principal de la matriz tiene todos sus elementos distintos de cero, los que

además son siempre positivos. Esto concuerda con el hecho que para producir un desplazamiento

en una dirección y sentido dado se requiere aplicar en dicho nudo una fuerza distinta de cero y

del mismo signo que el desplazamiento. Como además los elementos de la diagonal son los

únicos que se obtienen sumando la rigidez de las distintas barras, éstos resultan ser dominantes

(mayores) respecto a los restantes elementos de la matriz.

Observando la Figura 7.7 se deduce que si los números que definen los nudos extremos

de una barra difieren en pocas unidades, las cuatro submatrices de esa barra se ubican muy cerca

de la diagonal principal (es evidente que cualquiera sea la numeración, las submatrices iiK y jjK

se encuentran siempre sobre la diagonal principal).

Una numeración óptima de los nudos debería permitir que todos los elementos no nulos

de la matriz estén próximos a la diagonal principal. De esta manera se obtiene una matriz de tipo

"bandeada" como se indica en la Figura 7.8.

Figura 7.8


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

Para lograr una adecuada optimización computacional, dentro de la banda puede haber

también algunos elementos nulos, pero fuera de la banda todos los elementos deben ser nulos.

Ejemplo:

Figura 7.9

En el caso (a) se obtiene una matriz con elementos no nulos desparramados en toda la

matriz mientras que con la numeración (b) ninguna barra tiene extremos cuya enumeración

difiera en más de dos unidades y se obtiene una banda como se indica en la siguiente figura.

En ambos casos, antes de introducir las condiciones de vínculo se tiene una matriz

simétrica de orden (24x24). El ancho de la banda tiene importancia desde el punto de vista

computacional o de programación, pero no afecta la validez del método cualquiera sea el

esquema de numeración que se adopte. El caso (b) permite ciertas ventajas de ordenamiento

computacional y requiere menos capacidad de memoria porque la parte fuera de la banda no


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

necesita ser calculada o almacenada. Además, por simetría sólo se requiere calcular y guardar en

memoria la diagonal principal y la mitad del resto de la matriz.

Para ilustrar los cambios del sistema de ecuaciones a resolver según las condiciones de

vínculo, a continuación se introducen variantes al reticulado de la Figura 7.5.

1) Se agrega un apoyo móvil en el nudo 3 en dirección horizontal.

En el método de las fuerzas se tendría ahora una estructura hiperestática, pero en el

Método de Rigidez simplemente se elimina la sexta columna (que multiplica a 3 0yU ) y no se

considera la sexta ecuación, con lo que se reduce en uno el número de incógnitas a calcular.

2) Se agrega una barra que une los nudos 2 y 5.

En el Método de Rigidez sólo resulta suficiente sumar la contribución de las cuatro

submatrices de rigidez de la nueva barra, pero no aumenta el número de incógnitas resolver.

De estos dos ejemplos se concluye que en el Método de Rigidez no interesa el

grado de indeterminación estática, sino únicamente la indeterminación geométrica que

está relacionada con el número de nudos y el número de condiciones de vínculo. 3) Se agrega un apoyo elástico en dirección vertical en el nudo 3.

Si el apoyo elástico (resorte) tiene rigidez constante de valor “k” resulta que para

desplazar en dirección vertical al nudo 3 en un valor unitario, además de la rigidez del reticulado

habrá que vencer la rigidez del resorte. Para tenerlo en cuenta se debe sumar el valor “k” al

coeficiente de la diagonal principal de la sexta fila y columna.

4) Se reemplaza el apoyo 5 por un apoyo elástico.

Se suma la rigidez del resorte sobre la diagonal principal al elemento de la décima fila y

columna. En este caso, el desplazamiento vertical del nudo 5 pasa a ser una incógnita más

5 0yU y el sistema a resolver resulta de 12 x 12.

1U

2U

3U

4U

5U

6U

7U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

7.4- Esfuerzos en barras

El "esfuerzo computacional" de la solución por el Método de Rigidez está determinado

casi exclusivamente por el tiempo requerido para resolver el sistema de ecuaciones.

Una vez hallados los desplazamientos, la determinación de los esfuerzos en las barras

resulta muy simple. Primero se determina la elongación de la barra según (Ec. 7.2) y luego se

calcula la fuerza según (Ec. 7.6). Para el caso de una barra genérica cuyo origen es el nudo "i" y

su extremo el "j", se tiene:

1 2,t ; .e U t ; .F K e ; .A EKL

;x x y yj i j i j iU U U U U U U

1 2. . .x x y yj i j iF K U U U U (Ec. 7.21)

Si la proyección del corrimiento relativo j iU U sobre la dirección t (que se ha

definido de "i" hacia "j") es positiva, la barra se ha alargado y, por lo tanto, está traccionada.

De esta forma, si el valor dado por (Ec. 7.21) resulta positivo, implica esfuerzo

de tracción para la barra considerada.

Un “procedimiento alternativo” consiste en efectuar el producto .K U indicado en la

ecuación fuerza-desplazamiento (Ec. 7.3) para obtener las fuerzas en los extremos de la barra.

Como las fuerzas en los extremos son iguales y opuestas, será suficiente aplicar la (Ec. 7.12).

11 12 13 14. . . .x y x y xi i j j iK U K U K U K U P

21 22 23 24. . . .x y x y yi i j j iK U K U K U K U P

(Ec. 7.22)

Finalmente:

2 2x yi i iP P P (Ec. 7.23)

xiP

yiP

iP . i

ii ij ij

UK K P

U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

El esfuerzo será de compresión si la resultante iP tiene el sentido de "i" hacia "j". Se

puede comprobar que reemplazando (Ec. 7.22) en (Ec. 7.23) y utilizando los elementos de K

dados por (Ec. 7.10) se llega a la (Ec. 7.21).

7.5- Reticulados Espaciales (3-D)

Los mismos conceptos desarrollados para el reticulado plano pueden generalizarse para el

reticulado espacial. Sólo es necesario considerar que las fuerzas y los desplazamientos tienen en

este caso tres componentes (según x, y, z). Todas las expresiones vectoriales, como son las

ecuaciones (Ec. 7.1), (Ec. 7.2), (Ec. 7.11), (Ec. 7.12), (Ec. 7.13), (Ec. 7.14), (Ec. 7.15), etc.

mantienen su vigencia.

Procediendo de una manera totalmente análoga a la empleada para el caso plano se arriba

a una expresión explícita de la matriz de rigidez de una barra de reticulado similar a (Ec. 7.10).

1 2 3, ,t

Donde:

1 2 2 2

x xj i

x x y y z zj i j i j i

r r

r r r r r r

Los cosenos directores 1 2 3, , se calculan a partir de las coordenadas de los nudos "i"

y "j", y la ecuación fuerza-desplazamiento resulta:

yiU

yiP

xiP

xiU

yjU

yjPx

jP xjU

ziU

ziP

zjU

zjP

1

3

2

t

t


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

(Ec. 7.24)

El armado de la matriz sigue el mismo procedimiento desarrollado para el caso plano.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se pueden calcular las fuerzas en las barras utilizando

una expresión similar a la (Ec. 7.21).

1 2 3. . . . . . .x x y y z zj i j i j iF K e K U t K U U U U U U (Ec. 7.25)

Ejercicio Nº 1:

Calcular los esfuerzos en las barras (2-7) y (7-12)

Datos:

Para todas las barras: 24,00A cm ; 22100000 /E kg cm

Nudo 7 8 9 10 11 12

xU 0,04 0,01 -0,02 0,02 0,01 -0,01

yU -0,01 0,02 0,001 -0,001 0,03 0,02

zU -0,001 -0,001 -0,002 -0,002 -0,002 -0,002

z

21 1 2 1 3

21 2 2 2 3

21 3 2 3 3

. . . . .. . . . .. . . . .

.

x xi iy y

i iz z

i ix x

j jy y

j jz

j j

K K K U PK K K U PK K K U P

U PU PU P

igual y cambiada de signo

igual y cambiada de signo igual

z


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

Posición de los nudos:

12 7 20;1;6 ; 2;1;3 ; 2;0;0P m P m P m

Barra (12-7): Cosenos directores:

12 7 1 2 312 7

1 1. 2;0;3 ; ;13

P P tP P

.

1 2 30,5547 ; 0 ; 0,832

12 7 12 7360,55 ; 23297, 408 Kgl cm Kcm

.e U t ; .F K e

12 7 0,01;0,02; 0,002 0,04; 0,01; 0,001U U U

. 0,05;0,03; 0,001 . 0,5547;0,00;0,832 0,0269029U t cm

12 7 626,8F Kg

Barra (7-2):

Cosenos directores: 0,00;0,3162;0,9488t

7 2 0,04; 0,01; 0,001 0;0;0 0,04; 0,01; 0,001U U U

3. 0,04; 0,01; 0,001 . 0,00;0,3162;0,9488 4,11 10e U t cm

7 2 7 2316, 2 ; 26563,13 Kgl cm Kcm

7 2 109, 2F Kg


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

Ejercicio Nº 2:

Escribir el sistema de ecuaciones de equilibrio (considerar un apoyo fijo en el nudo 2):

Datos:

Coordenadas de los nudos:

Nudo Coord. x Coord. y 1 0 0 2 3 0 3 0 4 4 3 4 5 3 8

Barras 1, 3 y 5:

1 2

.400 ; 31500

0 ; 1

A E Kgl cm Kl cm

0 0 0 00 31500 0 315000 0 0 00 31500 0 31500

Barras 2 y 6:

1 2

.500 ; 25200

0,6 ; 0,8

A E Kgl cm Kl cm

2

1 2 3 4 5 62

1000 ; 20º6,00

2100000 /

P KgA A A A A A cmE kg cm


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

9072 12096 9072 1209612096 16128 12096 16128

9072 12096 9072 1209612096 16128 12096 16128

Barra 4:

1 2

.300 ; 42000

1 ; 0

A E Kgl cm Kl cm

42000 0 42000 00 0 0 0

42000 0 42000 00 0 0 0

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 2

1 2

3 3

11 6

4 64

2

3

3

3

4

4

5

5

0000

.

2 34 5

4 5

6 5 6 5

x

y

x

y

x

y

UUUUUU

3

3

4

4

5

5

51072 12096 42000 0 9072 1209612096 47628 0 0 12096 1612842000 0 51072 12096 0 0

.0 0 12096 79128 0 315009072 12096 0 0 9072 12096

12096 16128 0 31500 12096 47628

x

y

x

y

x

y

UUUUUU

0000

939,7342,02

Ejercicio Nº 3:

En la estructura del ejercicio anterior calcular los esfuerzos en las barras si los

desplazamientos son los dados a continuación:


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

Nudo

Desp.

3 4 5

xU 0,2465017 0,2241279 0,59117511

yU 0,0397756 -0,0904091 -0,1410425

Barra 1:

1 31500. 0, 2465 0 .0 0,03977 0 .1F

1 20 ; 1 ; 31500 KgKcm

1 1252,93F Kg

Barra 2:

2 25200. 0, 224128 0 .0,6 0,090409 0 .0,8F

1 20,6 ; 0,8 ; 25200 KgKcm

2 1566,04F Kg

Barra 3:

3 31500. 0,22412 0 .0 0,09040 0 .1F

1 20 ; 1 ; 31500 KgKcm

3 2847,88F Kg

Barra 4:

4 42000. 0, 2241 0, 2465 .1 0,0904 0,03977 .0F

1

2

cos

cos

1 2. . .j i j iBarra x x y yF K U U U U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

1 21 ; 0 ; 42000 KgKcm

4 939,70F Kg

Barra 5:

5 31500. 0,5911 0, 22412 .0 0,141 0,090409 .1F

1 20 ; 1 ; 31500 KgKcm

5 1594,95F Kg

Barra 6:

6 25200. 0,59117 0, 2465 .0,6 0,14104 0,039 .0,8F

1 20,6 ; 0,8 ; 25200 KgKcm

6 1566,17F Kg

Nota: por tratarse de una estructura isostática se pueden comprobar fácilmente los

resultados por cualquier método de análisis estático disponible.

Ejercicio Nº 4:

Determinar las fuerzas en las barras del reticulado cuya base es un triángulo equilátero.

Todas las barras: 24,00A cm 400l cm

Lado del triángulo base: 200d cm

Carga: = 200;-100;0 P 62= 2,1 10 KgE

cm

h

3h

y

z


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

Coordenadas de los nudos:

Nudo Coord. x Coord. y Coord. z

1 0 0 0

2 100 173,205 0

3 200 0 0

4* 100 57,735 0

4 100 57,735 382,971

14 100;57,735;382,971

Barra 1:

1 2 30, 25 ; 0,144338 ; 0,957427

1 4

1

4

/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / 1312,50 757,77 5026, 49/ / / / / / 757,77 437,50 2902,05/ / / / / / 5026, 49 2902,05 19250

Barra 2:

1 2 30,00 ; 0, 288675 ; 0,957427 2 4

2

4

/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / 0 0 0/ / / / / / 0 1750 5804,1/ / / / / / 0 5804,1 19250

Barra 3:

1 2 30, 25 ; 0,144338 ; 0,95427


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

3 4

3

4

/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / 1312,50 757,77 5026, 49/ / / / / / 757,77 437,50 2902,05/ / / / / / 5026, 49 2902,05 19250

Ecuaciones de equilibrio de nudo 4:

4

4

4

2625 0 0 2000 2625 0 . 1000 0 57750 0

x

y

z

UUU

Desplazamientos:

4

4

4

0,0761904760,038095238

0,000000000

x

y

z

UUU

Esfuerzos en las barras:

1 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0, 25;0,1443;0,9574F K U t

1 284,53F Kg

2 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0,00; 0, 2886;0,9574F K U t

2 230,94F Kg

3 . . 21000. 0,07619; 0,03095;0,00000 . 0, 25;0,1443;0,9574F K U t

3 515, 47F Kg


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-

Ejercicio Nº 5:

Calcular las fuerzas en las barras del reticulado plano

Matrices de rigidez de las barras:

Barra 1:

1 11;0 ; 60 ; 350000 Kgt l cm Kcm

1 2

1

2

/ / / / / / / // / / / / / / // / / / 350000 0/ / / / 0 0

Barra 2:

2 20; 1 ; 80 ; 262500 Kgt l cm Kcm

1 3

1

3

/ / / / / / / // / / / / / / // / / / 0 0/ / / / 0 262500

Barra 3:

3 30,6; 0,8 ; 100 ; 420000 Kgt l cm Kcm

2 2 21 2 3

62

10 10 20

4000 2000 2,1 10

A cm A cm A cmKg KgP Kg K Ecm cm


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -25-

2 3

2

3

151200 201600 151200 201600201600 268800 201600 268800151200 201600 151200 201600201600 268800 201600 268800

Sistema de ecuaciones de equilibrio: 2 3

22

2

33

3

501200 201600 151200 201600 0201600 268800 201600 268800

.151200 201600 153200 201600201600 268800 201600 531300

x

y

x

y

UUUU

400000

Desplazamientos:

2

2

3

3

0,00857142861,1615476191,500000000

0,0152380952

x

y

x

y

UUUU

Fuerzas en las barras:

.i iF K e e U t barra barra

1 11 1 2 1 2 1 1 2. ; ;

350000. 0,0085714; 1,1615476 1;0

x x y yF K U U U U

1 3000F Kg

2 22 2 3 1 3 1 1 2. ; ;

262500. 1,5000; 0,0152381 0; 1

x x y yF K U U U U

2 4000F Kg

3 33 3 3 2 3 2 1 2. ; ;

420000. 1,508571;1,1463095 0,6; 0,8

x x y yF K U U U U

3 5000F Kg


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -26-

Fuerza en el resorte: . 2000 1,5 3000R K U Kg

Ejercicio Nº 6:

La torre arriostrada del croquis tiene una carga horizontal en la dirección del eje "y".

Determinar el esfuerzo en todas las barras. 2

1 2 3

24

0,07065

2,0

A A A cmA cm

Longitudes en metros.

Coordenadas de los nudos: Nudo Coord. x Coord. y Coord. z

1 0,00 -4,47 0,00

2 4,00 2,00 0,00

3 -4,00 2,00 0,00

4 0,00 0,00 0,00

5 0,00 0,00 5,00

1

2

tan 0,0194

tan 0,0188

1

2

4

5

z

1

2

3

4

5

x

y

(1)

(2)

(3)

(4)

4, 47

4, 00

4, 00

2, 00

2, 00

100

5, 00


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -27-

Barra 1:

1 2 3

0;0;5 0; 4,47;0 0;4, 47;5,00.670,80 ; 221,18

0 ; 0,666 ; 0,745

A E Kgl cm Kl cm

0 0 0 0 0 00 98,3 109,9 0 98,3 109,90 109,9 122,9 0 109,9 122,90 0 0 0 0 00 98,3 109,9 0 98,3 109,90 109,9 122,9 0 109,9 122,9

Barra 2:

1 2 3

0;0;5 4;2;0 4; 2;5.670,80 ; 221,18

0,596 ; 0, 298 ; 0,745

A E Kgl cm Kl cm

78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,339,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,1598,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,978,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,339,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15

98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9

Barra 3:

1 2 3

0;0;5 4;2;0 4; 2;5.670,80 ; 221,18

0,596 ; 0, 298 ; 0,745

A E Kgl cm Kl cm

78,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,339,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,15

98,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,978,6 39,3 98,3 78,6 39,3 98,3

39,3 19,67 49,15 39,3 19,67 49,1598,3 49,15 122,9 98,3 49,15 122,9


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -28-

Barra 4:

1 2 3

.500 ; 8400

0 ; 0 ; 1

A E Kgl cm Kl cm

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 8400 0 0 84000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 8400 0 0 8400

Sistema de ecuaciones de equilibrio del nudo 5:

157,3 0 0 00 137,6 11,6 . 1000 11,6 8768 0

x

y

z

UUU

0,00000,72674

0,00096

x

y

z

UUU

Esfuerzos en las barras:

1 1 1. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,00;0,666;0,745F K e

1 107,0F Kg

2 2 2. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,596; 0, 298;0,745F K e

2 48,08F Kg

3 3 3. 221,18. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0,596; 0,298;0,745F K e

3 48,08F Kg

4 4 4. 8400. 0,00; 0,7267;0,00096 . 0;0;1F K e

4 8,06F Kg

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Capítulo 7 - uncor...CAPITULO 7 METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS _____ _ PRATO, MASSA -8- Figura 7.6 Equilibrio de fuerzas: 4 d e g h P P P P P j j i i (Ec. 7.14) La fuerza exteriorP