CBPF-MO-OOl/Sl

FISSÃO NUCLEAR

por

T. Kodama

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CBPF/CNPq Av. Wenceslau Braz, 71, fundos 22290 - Rio de Janeiro - Rd - WASIl

„ ,•; FISSÃO, .NUCLEAR ; . ; , . t , .,

.-., -.<:,-• T . K o dama... 0 f , ; :

Cent ro B r a s i l e i r o de Pesqu i sa s F í s i c a s

T . I n t r o d u ç ã o

Foi em f i n s de 1938 que os d o i s qu ímicos alemães 0 .

Hahn e F. Strassmann observaram de maneira c o n c l u s i v a , ao con­

t r a r i o , das e x p e c t a t i v a s da é p o c a , que os p rodu tos r a d i o a t i v o s re

s u l t a n t e s do bombardeamento de u r â n i o por neutrons não eram e l e ­

mentos t r an su ran iOS j me-;, sim núc leos de massa i n t e r m e d i á r i a ^ .

Este f a t o f o i i n t e r p r e t a d o pe 1 a f í s i c a a u s t r í a c a L . Mei t n e r , ex.

- c o l a b o r a d o r a de Hahn que t inha f u g i d o da Alemanha, e p e l o seu

s o b r i n h o 0 . F r i s c h como d i v i s ã o do n ú c l e o pai ( u r â n i o ) em do i s

núc leos f i l h o s de massas aproximadamente i g u a i s . E l e s chamaram

e s s e fenômeno de f i s s ã o nu l e a r , em a n a l o g i a com a f i s s ã o de cê

l u l a s .

Os p r i m e i r o s moc.-los t e ó r i c o s de f i s s ã o n u c l e a r foram

p u b l i c a d o s no ano s e g u i n t e por Y , F r e n k e l , e por N . Bohr e J . A .

W h e e l e r . A t e o r i a de Bohr e Whee le r baseada no modelo da g o ­

ta l i q u i d a do n ú c l e o , o f e r e c e u uma base de compreensão do f e n ô ­

meno, cuja e s s ê n c i a e ainda v a l i d a a t é h o j e .

P e l a s c i r c u n s t â n c i a s p o l i t i c a s da época e p e l o f a t o

de que a f i s s ã o n u c l e a r r e p r e s e n t o u a p r i m e i r a p o s s i b i l i d a d e de

ace s so ao uso da e n e r g i a n u c l e a r para a humanidade, os a s p e c ­

to s t e c n o l ó g i c o s foram s e m p r e e n f a t i z a d o s , mesmo após a Guer ra .

Não obs t an t e i s t o , foram encon t r ados v á r i o s fenôme­

nos i n t e r e s s a n t e s , a s s o c i a d o s ao p r o c e s s o d e , f i s s ã o , e -ao mes­

mo tempo- foram d e s e n v o l v i d o s , métodos t e ó r i c o s capazes de t r a ­

t a r os núc leos em e s t a d o s de y-an.de d e f o r m a ç ã o . Desse modo, o

i n t e r e s s e dos f í s i c o s n u c l e a r e s , mo t ivados p r i n c i p a l m e n t e pe la

procura de e l e m e n t o s s t ipe rpesados , r e t o r n o u ao v e l h o problema

da f i s s ã o . I s t o o c o r r e u nas décadas de 60 e 70 , nas q u a i s , do

l ado e x p e r i m e n t a 1 , f o i d e s c o b e r t a a e x i s t ê n c i a de i sômeros de

f i s s ã o ' e , do l ado t e ó r i c o , f o i e s t a b e l e c i d o o método de re -

n o r m a l i z a ç ã o de S t r u t i nsky 4 ^ .

C á l c u l o s e x t e n s i v o s foram f e i t o s com a s u p e r f í c i e de

p o t e n c i a l por d i v e r s o s m é t o d o s , e o problema de a s s i m e t r i a dos

f ragmentos de f i s s ã o , que permaneceu durante l o n g o ' tempo como

um m i s t é r i o , f o i , p e l o menos q u a l i t a t i v a m e n t e , e x p l i c a d o "por in

terméd i o da e x i s t ê n c i a de uma e s t r u t u r a f i na da s u p e r f í c i e do

p o t e n c i a l . 0 d e s e n v o l v i m e n t o t e ó r i c o se es tendeu na área " dos

núc leos l onge da l i n h a de e s t a b i l i d a d e 3 e dos e l e m e n t o s super

p e s a d o s , e s t i m u l a n d o consequentemente o e s tudo e x p e r i m e n t a l das

r e a ç õ e s de Tons p e s a d o s .

Nos ú l t i m o s anos , a "Ts i ca N u c l e a r e s t a en t rando em

uma nova e r a : Com as r e a ç õ e s cli Tons pesados de a,lta e n e r g i a ,

esperamos compreender a dinâmica da m a t é r i a n u c l e a r , e i s s o s e »

r á , conforme e x p r e s s ã o de D. S c o t t " ' , "o pequeno passo em dire_

ção ao cosmos, e ãs e s t r e l a s " .

Apre sen t amos , nes tas n o t a s , uma b r e v e e p e d a g ó g i c a

r e v i s ã o sobre o p r o c e s s o de f i s s ã o n u c l e a r do ponto de v i s t a ma

croscÓpi co-mi c r o s c õ p i c o . As d i s c u s s õ e s sob re a e s t r u t u r a dos

n í v e i s t r a n s i e n t e s ou cana i s de f i s s ã o são comple tamente omi -

t i d a s 5 ' . '

3-

Na S e c . 2» d i s c u t i m o s » p r i n c i p a l m e n t e , a s p r o p r i e d a ­

des b á s i c a s da f i s s ã o espontânea e mostramos como o modelo da

g o t a l í q u i d a f u n c i o n a . Na S e c . 3 , e x p l i c a m o s o mecanismo do

su rg imen to da c o r r e ç ã o de camada na b a r r e i r a de p o t e n c i a l de

d e f o r m a ç ã o , e demonstramos como o e f e i t o ê* r e i e v a n t e para a

• a s s i m e t r i a de massa e para a e x i s t ê n c i a dos isÔmeros de f i s s ã o .

Na S e ç . 4^ - t r a t amos o problema da dinâmica da f i s s ã o e di s cuti_

omos como c á l c u l o s recém d e s e n v o l v i d o s , como por e x e m p l o , o mé­

todo de i n t e g r a l d e - t r a j e t ó r i a e a aprox imação s e m i - c l ã s s i c a ,

poderão se r a p l i c a d o s .

2- D e s c r i ç ã o Convenci onal do P r o c e s s o de F i s s ã o

A imagem mais i n t u i t i v a do p r o c e s s o de f i ssão ê a A

d ê D u m I : g $ t a d ' i g i i a , d i v i d i n d o - s e èm d o i s . No caso da go ta dVf-

. :^ü3í| ' : !o bmetíani§m !o-qüè p rovoca a d i v i s ã o é* e n t e n d i d o como procesi,

- so - 'Be ' ^Bmpi t i çSò ; en t r e o peso da p r o p r i a g o t a e 'sua t ensão su-

: p é f í i c í a l i 1 : No^caso do n ú c l e o , um mecani smo a n á l o g o pode s e r

c o n s i d e r a d o , onde o e f e i t o do peso da g o t a deve se r s u b s t i t u í -

' dò ' pé la ' ' f iWçâ Cbulbmbiána do n ú c l e o .

Para d i s c u t i r q u a n t i t a t i v a m e n t e a di nâmi ca da f i ssão ,

e n e c e s s á r i o i n t r o d u z i r um- con jun to de v a r i a v e i s c h a m a d o s c o ­

ordenadas c o l e t i v a s . Estas Coordenadas , de um 1 a d o , devem re -

p r e s e n t a r d e s t a d o f i naT-tiâ f i s s a o , i o s i s t ema de d o i s

^ f r a g m e n t o s , e de o u t r o l a d o , devem r e p r e s e n t a r o e s t a d o do nú­

c l e o p a i . A coordenada mais i m p o r t a n t e e aque la que d e s c r e v e o

"'grau dè l i b e r d a d e do movimento r e l a t i v o dos f r a g m e n t o s . Para

i l u s t r a r , vamos c o n s i d e r a r o caso u n i - d i m e n s i o n a l , èm qüè o nú

4

O O o

Gi i s ao.*.

V

• C J CO C O

c ~ (I c

J

o o

c l e o pai ( A , Z ) v f i s s i o n a em d o i s núc leos f i l h o s ( A y , Z ^ ) e ( A 2 » .

Z g ) . Imaginamos en tão uma' f a m í l i a de' s u p e r f í c i e s que r e p r e s e n ­

tam a forma do núc l eo duran te a f i s s ã o , como mostrada na F i g . l .

A' cada etapa-, do d e s e n ­

v o l v i m e n t o da fo rma , a s soc iamos

uni parâmetro e . Este parâmetro

pode s e r u t i l i z a d o como v a r i á v e l

•drnSmi campara d e s c r e v e r a f i s s ã o ,

Quando :e ê pequeno , e l e é r e l a -

ci onado l i n e a r m e n t e cora o parârae

t r o de deformação £ . Naturalmen_

t e , e x i s t e m v ã r i as maneiras de

se es tabe: 1 ecer^ expTi ?c:i tamente " a

f a m í l i a de formas n u c l e a r e s . I s -

t o c o n s t i t u i uma das, ambiguida, -

des i n t r í n s e c a s na t e o r i a de fis_

s ã o . A p e s a r des ta ambiguidade ,

podemos d i s c u t i r as p r o p r i e d a d e s basi cas do mecanismo de, f i s -

s ã o , pe lo menos qual i ta t i vãmente ,,; .

Como ponto de p a r t i da , são .va i i das ! ;,as segui ntes, re -

c e l t a s . : . ', •

1. Cons idera - se o n ú c l e o como uma g o t a 1 T q u i d a , com formas, geo

m é t r i c a s dadas, na Fl,g..+i , 1 , .. .

2 . C a l c u l a - s e a e n e r g i a p o t e n c i a l a s s o c i a d a a v a r i á v e l As

c o n t r i b u i ç õ e s vêm da e n e r g i a Coulombiana e da e n e r g i a de ,su_

p e r f i c i e . -. ,

3 . De te rmina- se a i nérc.ia ; com r ,o .núcleo, t r a t a d o como um f l u i d o

i n c o m p r e s s í v e l e i r r a t a c i o n a l .

; F i g . : T / ' A família de formas nucle ares envolvidas no processo de f issão?) . A coordenada e represen_ ta o desenvolvimento da forma.

- 5 -

Para pequenas deformações, ê* conveniente e s p e c i f i c a r a forma

do núcleo pela equação

R = R(6,<J>) = R Q ( e ) {1 + e Y 2 0 ( 6 , < i > ) } ( 1 )

Neste caso , a energia de deformação, associada com o parâmetro

e , ê calculada como

W - Edef<*> - ?H 0 >(1 -x )e Z < 2 >

onde x é o parâmetro de f i ss i onabi1 idade , defi ni do por

v _ 1 C a c l á A

s "

"i s j o n 9 ;r

H 6 U D Oñ 2 ?

E^ 0 ^ e E ^ são , re spec t i vãmente, as energias de s u p e r f í c i e

e de Coulomb do núcleo na forma « s f e r i ca; a e a são os co

e f i c i e n t e s dos termos correspondentes na fórmula de massa de

gota 1Tqui da .

Na verdade, a Eq. ( 2 ) Ó dada como a soma da energi a

de tensão superf i c i a i ^ ~ E^° ^ e Z e da energi a Cou1ombi ana

- 1 E<°> x ê . 2rr S

Para grandes va lores de e , a energi a de tensão super

f i c i a l tende a uma c o n s t a n t e , v i s t o que, após a ' separação

( c i s s ã o ) dos fragmentos , a área tota 1 da conf iguração é cons -

t a n t e . As curvas de potenc ia l em função de e são i 1 ustradas es_

quemati camente na F i g . 2 . Obvi amenté, quando x > 1, o núcleo

-± C Lssão

i

I A,Z) - E ( A . , Z\) - E (As, 2

^ 200 M e V

Fig . 2. Dependência esquemática da energia potencial em relação a % para

núcleo pesado (A ~ 240). A 1 i.nha.continua ê para x < 1 e a linha

tracejada e para x > T.

e i n s t á v e l c o n t r a deformação e . í , i n t e r e s s a n t e no ta r que , de fa

t ò , os núc leos têm maior p r o b a b i l i d a d e de f i s s ã o quando os v a l o

r e s de x f i cam mais p róx imos de 1 . Na F i g . 3 , ê mostrada a sis_

t e m á t i c a ' das mei a s - v i das obse rvadas de f i s s ã o e s p o n t â n e a .

Thj

230 Th J.

Fig . 3. A sistemática das meias-vidas observadas de fissão espontânea 8}

_7-

Como mostrado na F i g . 2 , surge uma b a r r e i r a de p o t e n c i al para

x < 1, p r o v e n i e n t e do p r o c e s s o de competi ção e n t r e as f o r ç a s

nuc lea res ( d e c u r t o a l c a n c e ) e Cou 1ombiana (de l o n g o a l c a n c e ) .

As a l t u r a s da b a r r e i r a foram medidas e x p e r i m e n t a l m e n t e ^ para

a lguns n ú c l e o s , u t i l i z a n d o - s e o p r o c e s s o de f i s s ã o i n d u z i d a

( F i g . 4 ) . São m o s t r a d a s , também na F i g . 4 , as a l t u r a s das ba r ­

r e i r a s c a l c u l a d a s p e l o modelo de g o t a l i q u i d a , i n c l u i n d o e f e i ­

tos de e s t r u t u r a de camada 1 ^^ . Vemos q u e , apesar da extrema

s i m p l i c i d a d e do m o d e l o , o a s p e c t o b á s i c o do fenômeno de f i s -

são é bem r e p r o d u z i d o p e l o modelo de g o t a l i q u i d a .

E n t r e t a n t o , a lguns problemas não são e x p l i c a d o s p o r

e s t e m o d e l o . 0 problema mais i m p o r t a n t e é o da a s s i m e t r i a em

massa dos f r a g m e n t o s , obse rvada na f i s s ã o de ba ixa e n e r g i a ou

na f i s s ã o espon tãnea na r e g i ã o dos a c t i nTdeos ( v e r F ig . 5 ) . 0

mecanismo m a c r o s c ó p i c o ( e n e r g i a de s u p e r f í c i e + e n e r g i a Cou 1om

b i a n a ) sempre f a v o r e c e a s epa ração s i m é t r i c a dos f r agmentos

Além des t a d i f i c u l d a d e b á s i c a , podemos c i t a r o u t r a s , t a i s como

o d e s v i o s i s t e m á t i c o da mei a - v i da dos i s ó t o p o s , como se pode

v e r na F i g . 3 , e a e s t r u t u r a supercomplexa dos n í v e i s do núcleo

t r a n s i e n t e , obse rvada na seção de choque para r e a ç ã o do t i p o

( n , f ) .

Foi S w i a t e c k i quem p r i m e i r a m e n t e chamou a a t e n ç ã o

para a i m p o r t â n c i a do e f e i t o da e s t r u t u r a m i c r o s c ó p i c a do nú­

c l e o sobre a f i s s ã o n u c l e a r , e s p e c i a l m e n t e quanto ã c o r r e ç ã o

de camada nas massas n u c l e a r e s ^ . E le mostrou e x p l i c i t a m e n t e

que a d i s c r e p â n c i a e n t r e o l o g a r i t m o da m e i a - v i d a obse rvada e

a curva suave na F i g . 2 ê l i n e a r m e n t e p r o p o r c i o n a l â d i f e r e n ç a

yvjTiassa observada e x p e r i m e n t a l m e n t e e / c a l cu 1 ada p e l o mode! o 'entre . ' o N

-i?

H umero- ]. à e ' Rassc\

- 9 -

2T Z3&0

•is 2

50 r

2S

ó'

28 50 « 2 H

235 Fig. 5. Distribuição es ta t í s t i ca dos fragmentos de fissão do U induzida

por neutron térmico 11)

de g o t a l i q u i d a .

Os a c o n t e c i m e n t o s r e l e v a n t e s para o en tend imen to do

e f e i t o da e s t r u t u r a m i c r o s c ó p i c a no fenômeno de f i s s ã o foram

3 )

a d e s c o b e r t a dos i someros de f i s s ã o por Pol i kanov e t al . , e

a r e a l i zação de c á l c u l o s de s u p e r f i c i e de p o t e n c i a 1, usando-se o método macroscop i co-mi c r o s c ó p i co

4 , 1 2 )

Na s eção s e g u i n t e , o x p l i c a r e m o s o método m a c r o s c ó p i c o

-mi c r o s c ó p i co e mostraremos como os problemas c i t a d o s foram re_

so l v i d o s .

3 . Método M a c r o s c o p i c o - M i c r o s c ó p i c o

O método mai s r i g o r o s o para ca 1 cu 1 ar o p o t e n c i al em

função da deformação s e r i a o método m i c r o s c ó p i c o , t i p o H a r t r e e

- F o c k . Mas t a l abordagem f i c a p r o i b i t i v a m e n t e compl icada ..p.ara.

grande numero de massa A e , mesmo quando a p l i c a d a , não d a r i a ne

c e s s a r i amente o v a l o r da e n e r g i a com p r e c i s ã o dese jada ( < £ M e V ) ,

d e v i d o i f a l t a de i n fo rmações sob re a i n t e r a ç ã o e f e t i v a e n t r e nu_

c l e o n s . Por o u t r o l a d o , sabemos que o modelo da g o t a l í q u i d a ,

apesar do c a r á t e r s e m i - e m p í r i c o , da uma es t i m a t i va da e n e r g i a

com p r e c i s ã o b a s t a n t e r a z o á v e l ( e r r o r e l a t i v o < 0 ,8%) e , ao

mesmo tempo, p e r m i t e c o n s t r u i r f a c i l m e n t e uma imagem i n t u i t i v a

da f i s s ã o .

Em 1963, S w i a t e c k i , em vez de c a l c u l a r a e n e r g i a t o -

t a l , s u g e r i u um método para c a l c u l a r a c o r r e ç ã o sobre a formula

s e m i - e m p í r i ca causada p e l a e s t r u t u r a mi c r o s c õ p i ca do nu c l e o ' 3 ^ .

Seja AE t a l c o r r e ç ã o , i . e .

AE = E > - E ~ obs macro

onde, E . v é* a massa n u c l e a r obse rvada e massa de termi o D s macro —

nada .pela fórmula de massa s e » i - e m p í r i c a > : .,0-pon to .•• f u-ndamen ta 1

do método m a c r o s c ó p i c o - m i c r o s c Ó p i c o é ; s u è s v t i t w í r -;::AE ¿ ;não o- pro

p r i o E, p e l o v a i or :'^':^Q^ef¿' ' rca.ljCUiíadpi p#.r • ...unt ;mpde}l o :;fl:«a1 quer .

Ass im , a e n e r g i a,, t o t a 1 c a í c i i T a d a £ c a ^ pode ser-escr;i-:tav como

E c a l ~ " c a l + A E m o d e l o

macro modelo 1 ;

onde E" c a^ é a p a r t e mac roscóp i ca da e n e r g i a no modelo m i c r o s ­

c ó p i c o . Em ou t ra s p a 1 a v r a s , r e n o r m a l i zamos a e n e r g i a macroscÓpi

„11-

c a E c a y clo "cSl cu'Td mi c r o s c o p i Co Ha base 'tf¥" formula semi~empT~

r i c a . '•'"'• ;

0 modelo mais s i m p l e s para e s t i m a r A E

m o c | e ] 0 ^ 0 m 0 ~

del o de gas de Fermi , o que f o i p r o p o s t o por Myers e Swi a t e -

cki 10)

Para i l u s t r a r o mecanismo do método mac roscõp i co -mi

c r o s c o p í c o ( , vamos v e r como o.•modelo' de gas- de Fermi funciona'";

Consideremos o gas-,de Fermiycom número t o t a l " desar­

t i c u l a s i g u a l a N. 0 e s p e c t r o de p a r t í c u l a s imples do gSs ; ( e s ­

p e c t r o "homogéneo") para o n-és imo n í v e l é

Por o u t r o l a d o » o e s p e c t r o nao-homogéneo , c o r r e s p o n d e n t e ao sis_

tema num poco de p o t e n c i a l , e da forma

E n h ( n ) - E. M, , < n < M ' i - 1 _ " i ( 7 )

onde M.. é o i - é s imo número mag ico (camada, f e c h a d a ) do s i s t ema

Fig . 6. Os espectros homogéneo e nao-homogéneo,

I d e n t i f i c a n d o A E m o ¿ e } 0

c o m o a d i f e r e n ç a das e n e r g i a s t o t a i s

c a l c u l a d a s p e l o s d o i s e s p e c t r o s E n h e E^, temos

A£ N

n = 0 E h ( n ) d n ( 8 )

0

A Eq. ( 8 ) e baseada na i d e i a de que o e s p e c t r o de gás de Fermi

r e p r e s e n t a a p r o p r i e d a d e média do s i s tema de N nucleons .E c l a ­

ro que a c o r r e ç ã o AE^ p , como função de N, tem a forma mos t r a -

jf\ J w i *

Fig . 7. A dependência de AE F em relação a N. M.'s são os números magi

cos 1 .

da na F i g . 7, que ê j u s t amen te a forma o b s e r v a d a . d e AE, em fun­

ção d e N, para núc l eo no e s t a d o fundamenta l ,

S t r u t i nsky g e n e r a l i z o u ^ a i d e i a de Swi a t e c k i e f o r ­

mulou um método para ca l cu l a r AE . , . i n c l u s i v e no caso de rn o a e i o

núcleos d e f o r m a d o s . Como j á v i m o s » a o r igem da c o r r e ç ã o de cama­

da vem da d i f e r e n ç a nas d i s t r i b u i ções de n í v e i s do caso não-ho-

mogêneo (agrupamento dos nTvei s ) e d o caso homogêneo ( V e r F i g .

8 ) . Se ja E ^ S J e " ] a e n e r g i a do i - é s i m o n í v e l de p a r t í c u l a sim

p i e s , c a l c u l a d a com• o poço de p o t e n c i a 1 cuja deformação é espe

y •< n. y ff .;

F i g V 8 . 0 mecanismo de correção de'camada. v { , j t

c i f i c a d a p e l o pa râmet ro e . A e n e r g i a t o t a l do s i s tema de N

p a r t í c u l a s é *

t o t

N = 2 y E.

1 1

= 2 dE E g ( E ) ( 9 )

onde, g ( E ) = | ô ( E ~ E ^ ) e a dens,,i dade, de n i v e i sM»» Xq » a e n e r g i a

de Fermi do s i s t ema e o f a t o r Z vem do s p i n . Seja g ( E ) a den­

s i d a d e de n í v e i s dp es.pe.ctro_ howogfê.nep. c o r r e s p o n d e n t e ao s i s t e

ma.. Então» a 'corre.,ção de, .çama;c|a .A fFm.oC|.e..}o - c a ^ c u ^ a d a ; c o m o r

AE model o

AE model o

O •2jq B 9dE . . .Eg( :&>6t22 dE oE .§(;•&;) ~,

- 1 4 -

onde A e ca lcu lado pela conservação de numero de neutrons ou

de protons ,

dE g(E) = 2 dE g(E) = N ou Z (11

A densidade de n í v e i s homogênea g(E) e obtida de g(E) a t r a ­

vés do procedimento de suavi zação . S trut i nsky 4 ^ propôs um mêto_

do de suavização que c o n s i s t e na convolução de g(E) com a fun_

çao de peso

E~ " "T p

f ( E ) - 1 - 1 G Y l a . E 1 .-.r-o;. ( 1 2 )

g(E) = | dE' g ( E ' ) f ( E - E ' ) ( 1 3 )

onde y ê um parâmetro a j u s t á v e l e os a_.'s são determinados pe­

la condição

- E 2 p ' — I e J a. E 1 + K dE = 5 k 0 k = 0 , l , . ! . . p (14 )

/ F j i

, • • . 14) A ordem p do pol inómio e estimada como sendo em torno de 6 ' ,

- - 151 . , .

Vários c á l c u l o s foram f e i t o s por d iversos grupos ' , que u t i l i ­

zaram d i f e r e n t e s parametrizações da deformação. Os resu l tados

são bastante s a t i s f a t õ r i o s . Para o estado fundamental , os cãlcu

los de AE reproduzem os va lores observados com erro máximo de

2 MeV (ver F i g . 9 ) . E n t r e t a n t o , va le a pena lembrar que o meto-

~ 5

¡40 160 200 220 240 260 280 SOO 320 340 MASS NUMB?R A

Fig . 9 . A E o b s (acima), A E m o d e l o

1 5 ) ( c e n t r o ) , e A E o b s - A E m o d e l o ( b a i x o ) .

t odo s e m i - f e n o m e n o l 5 g i c o de gás de Fermi de Myers-Swi a t e c k i tam

bem rep roduz com a mesma p r e c i s ã o o comportamento da e n e r g i a do

e s t a d o fundamental dos n ú c l e o s ,

A vantagem do método de S t r u t i n s k y é que e l e p e r m i t e

c a l c u l a r A E

m o d e i o P a r a qua lque r d e f o r m a ç ã o . Nes te mé todo , a va_

r i a ç ã o de AE em r e i ação ao parâmet ro de de fo rmação e e fa -

c i I m e n t e c o n h e c i d a , uma v e z conhec ido o modo como as e n e r g i a s de

p a r t í c u l a s i m p l e s v a r i am em função de e . A deformação do poço

de p o t e n c i a l p rovoca o l e v a n t a m e n t o da d e g e n e r e s c ê n c i a dos m -

v e i s . "K medida em que a de formação aumenta, os n í v e i s se r e - o r -

denam, de modo t a l q u e , para c e r t o s v a l o r e s de d e f o r m a ç ã o , o c o r -

- l e ­

rem re-agrupamentos de n T v e i s , dando surgimento a novas cama -

das fechadas . Tal s i tuação 5 mostrada na F i g . 10, onde os rn -

ve i s de o s c i l a d o r harmônico t r i -dimensi onal são p l o t a d o s em fuji

ção da deformação e.

^ a * ' C o' cirí-*., c/c

0 QO 'oi " " J " cie o.e " o '

Fig. 10. NTveis de oscilador harmônico em função da deformação

A F ig . 10 mostra nit idamente que os números mágicos mudam em re

1 ação â deformação. 0 caso de um c a l c u l o com potencia l mais rea,

i T s t i co ê mostrado na F i g . 11 .

Quando à correção AE(e) e superposta ã curva de de­

formação do modelo de gÔta-1Tqui da, a curva de potenc ia l f i c a

modulada conforme mostra a F i g . 1 2 .

A e x i s t ê n c i a de isõmeros de f i s s ã o ê agora fac i lmente

entendida . Com e f e i t o , o lhando-se a F i g . 1 2 , os es tados isoméri_

cos de f i s s ã o são i d e n t i f i c a d o s como sendo os nTveis quase-1 iga_

dos assoc iados ao segundo poço da curva.

- 1 7 -

Fig . 11. Níveis de neutrons para núcleos pesados em função da deformação de

quadrupolo, tais como calculados por Nilsson e t a l ^ . A linha gros 250

sa representa o estado fundamental do Cf (N = 152 ) .

\

~/._ „!L\J\..> 'iwmevtco

X \ \

> \> i . . .

Fig . 12. C u r v a do potenciar incluindo o e f e i t o microscópico AE.

- 1 8 -

Ate a g o r a , r e s t r i n g i m o s nossa d i s c u s s ã o ao caso un i ­

d i m e n s i o n a l , ou s e j a , um ún ico parâmet ro para e s p e c i f i c a r a de

formação n u c l e a r . A fim de d i s c u t i r o fenômeno de a s s i m e t r i a em

massa, temos que aumentar o número de graus de l i b e r d a d e no mo

v imento c o l e t i v o . Como mencionamos a n t e r i o r m e n t e , o e f e i t o

m a c r o s c ó p i c o f a v o r e c e a f i s s ã o s i m é t r i c a . P o r t a n t o , o fenômeno

de f i s s ã o a s s i m é t r i c a deve ser e x p l i c a d o p e l o e f e i t o m i c r o s c ó ­

p i c o .

0 c a l c u l o de AE . , , : n c l y i r d o o grau de l i b e r d a -

de de d i v i s ã o a s s i m é t r i c a do l ú c i o o , mos cr aram que de f a t o t a l

1 2 )

e f e i t o e x i s t e . Na F i g . 13 , mostramos o r e s u l t a d o de Nix ; , on

de se obse rvo um reba ixamento do p o t e n c i a l para d i v i s ã o assime

t r i c a em r e l a ç ã o 5 d i v i s ã o s i m é t r i c a . £ i n t e r e s s a n t e notar que

Distonce Be.fweon Mass Ceníers r (Units of R Q )

Fig . 13, Superfícies de energias potenciais do U (acima) e Fm ( b a i x a ) , os contornos são :especi ' ' ados em termos de energia (MeV).

- " 9 -

t a l r eba ixamen to é c o n s i s t e n t e ••cdm '.-o f a t o de que o v a l o r o b s e r ­

vado da a l t u r a da segunda b e r r e i ra é s i s t e m a t i c a m e n t e aba ixo do

v a l o r ca l cu l a d o , para d i v i s ã o s i m é t r i c a , da- segunda barre i ra .En_

t ^ e t a n t o , esperamos que e a s s i m e t r i a dinr nu? para i s ó t o p o s bem

p e s a d o s , porcue o e f e i t o m a c r o s c ó p i c o c r e s c e com A e , p o r t a n t o ,

nes te caso o e f e i t o . m j c r o s c é p i c o ( e f e i t o de p a r t í c u l a s i m p l e s )°

permanece aproximedamente c o n s t a n t e .

4 . D i na m i c a d a _JF i s js ã o

Ma S e c . 3 , d i scu t i -nos a p r o p r i e d a d e da s u p e r f í c i e de

p o t e n c i a l em termos de coordenadas c o l e t i v a s . Sabemos que o f e ­

nômeno de F i s s ã o e e s s e n c i a l m e n t e um o r o c e s s o s e m i - c l á s s i c o . Po

demos, e n t ã o , no caso u n i d i m e n s i o n a l , a p M c a r a .. . aprox imação

WKB, por e x e m p l o , pa»*a c a l c u l a r a c o n s t a n t e de d e c a i m e n t o . En -

t r e t a n t o , no caso de dimensão maior do que um, p rec i samos de um

mb todo mais s o f i s t i c a d o . A g e n e r a l i z a ç ã o da aprox imação WKB pa­

ra mais do que ume dimensão nãc ê t r i v i a l . Para d i s c u t i r a f i s ­

são a s s i m é t r i c a , porém, t.al-.-.gç.neral i z a ç ã o e e s s e n c i a l . Além d i s_

s.o, p e l o s dados e x p e r i m e n t a i s , sabemos que os f rSgn ien tos ,de f i s

são são a l t amen te exC>H:a:dp;S:;,T!;:p.rpyocando e. emi ssão- der ^ a ^ t í c u las

.p rontas . E i m p o r t a n t e ; ^ p o r t a n t o , para o es tudÔÍJtfa? f i s s ã o , anal i

sar a d i s t r i b u i ç ã o dos núc leos f i l h o s l o c o a p ô s ' a c i s s ã o . . I s t o

e , p r e c i sa"ios e n f r e n t a r o problema do mecanismo d inâmico da f is_

5 ão . '•' : u - : <"- . - í : : , . .

Sejam •' f éí o | ; • 0 /(,c o. o r de n a d a s c o l e t i v a s que- desc revem

as fornias do núcVé^-a^rorpr/i.ad.as â f i s s ã o . 0 Hami T t o n i ano do s i s_

toma tem a f oriríá ' S m ^ o ••. v ; : , ,. \, :-

-20-

H c = T c + V c ( e ) ( 1 6 )

onde V é o p o t e n c i a l para o mov imen to , conforme f o i d i s c u t i d o

na S e c . 2 . A i n t e r a ç ã o e n t r e os graus de l i b e r d a d e c o l e t i v o s e

os graus de l i b e r d a d e i n t e r n o s f o r n e c e , no movimento c o l e t i v o ,

um mecanismo de dissipação, como no caso de r e a ç õ e s de Tons pe

s a d o s . A q u i , não en t ra remos no assunto da d i s s i p a ç ã o , e -s imples

mente di s c u t i remos o termo H c .

A p a r t e da e n e r g i a c i n é t i c a T c do Hami 1 ton i ano no mo_

de 1 o c l á s s i c o tem a forma

T c = ÈM Ê ( 1 7 )

onde É é a d e r i v a d a tempora l da v a r i á v e l c o l e t i v a ( v e t o r ) , M,

a m a t r i z de i n é r c i a . Em termos de momentum,

T c = P M _ 1 P ( 1 8 )

E v e n t u a l m e n t e , a m a t r i z de i n é r c i a M pode depender das c o o r d e ­

nadas e . Em g e r a l , M não è d i a g o n a l ( a c o p l a m e n t o c i n é t i c o das

v a r i ã v e i s ) .

Estudos sobre os parâmet ros de i n é r c i a para f i s s ã o ,

i n f e l i z m e n t e , não são tão bem e s t a b e l e c i d o s como no caso do po­

t e n c i a l . I s t o p o r q u e , além do f a t o de os v a l o r e s dos parâmetros

de i n é r c i a não serem medidos e x p e r i m e n t a l m e n t e , temos que u t i ­

l i z a r a t e o r i a m i c r o s c ó p i c a para c a l c u l a r M, sem a ajuda de es_

t i m a t i v a s f e i t a s com modelos m a c r o s c ó p i c o s . A e s t i m a t i v a p e l o

modelo h i d r o d i n â m i c o de um f l u i d o i n c o m p r e s s í v e l e i r r o t a c i o -

nal dá normalmente • 1/10 1/5 v e z e s menor que o v a l o r encon-

- 2 1 -

t r a d o p e l o estudo m i c r o s c ó p i c o ^ . Em p a r t i c u l a r , o e f e i t o de

emparelhamento m o d i f i c a s u b s t a n c i a l m e n t e a: na tu reza c i n é t i c a do,,

s i s t ema ( s u p e r f l u i d e z ) , p rovocando uma a l t e r a ç ã o dos v a l o r e s dos

parâmet ros de i n e r c i a em r e l a ç ã o aos o b t i d o s p e l o modelo h i d r o ­

d i n á m i c o .

No' t r a t amen to m i c r o s c ó p i c o , os parâmet ros de i n é r c i a

são c a l c u l a d o s , i d e n t i f i c a n d o - s e a p a r t e da energ i a t o t a l que,

contém ¿ do s i s tema submet ido a um p o t e n c i a l cuja de fo rmaçãova

r i a l e n t a m e n t e , como sendo a e n e r g i a c i n é t i c a T . 0 c a l c u l o

p e r t u r b a t i vo em 1- ordem conduz a formula de " c r a n k i n g " de In_

g l i s 1 8 ) . ; ., y r r . v

Além da d i f i c u l d a d e de se o b t e r os parâmet ros de i né>

c i a , e x i s t e o problema de q u a n t i z a ç ã o do si s tema, quando t a i s

parâmet ros de i n é r c i a dependem de coordenadas e . I s t o e r e l a -

c i o n a d o com o problema de o rdenação de o p e r a d o r e s não comuta -

v e i s . No p roced imen to de q u a n t i z a ç ã o t r a d i c i o n a l , o ope rador

T c o r r e s p o n d e n t e ao T da Eq. ( 1 8 ) ê dado por

T = - í5 — I v (v^èTeTR M " 1 ¥ ) ( 1 9 )

onde detM é o d e t e r m i n a n t e da m a t r i z M, e ¥ , o g r a d i e n t e

em r e l a ç ã o a e . 0 problema da d inâmica de f i s s ã o , e n t ã o , re -

duz-se ao problema de se r e s o l v e r a equação de Schrõdi nger

* 2 1

/ detR" ( / 3 e T l f M ~ W i | / ) + V = E if> ( 2 0 )

com condi çã"o de c on to r no a p r o p r i a d a , onde 4» = i | » (e ) é a fun

ção de onda do e s t a d o c o l e t i v o .

-22

Hofmann4" 1 propôs um método de c a l c u l a r , no caso b i - . .

d i m e n s i o n a l , a" pro&abi 1 idade:-de - f i s s ã o » l e v a n d o - s e em consi .de- .

r ação o' mecanismo de e x c i t a ç ã o • dos f r agmen tos , Tal método con­

s i s t e em e s s e n c i a l m e n t e i n t r o d u z i r .o " c a mi nho d e . f i s são" . . ; _ po _(

plano e-i-e?!. ao I c n ^ o do qur l se a p l i c a , e n t ã o , a aproximação, . .

WK8. Â"o mesmo : ;tera :po, a f i m C--. c o n s i d e r a r as e x c i t a ç õ e s z^* * n~

t r o d u z - s e a -pr c . i t v c?o de n -i, paravo,-grau, de l i b e r d a d e perp,en.

di cu 1 cr c. * • : r ' , Il.í...

U i : ''. E n t r e t a n t o , para processos- que -oco r r em na r e g i ã o , ; de...

e n e r g i a c l a s s i c a m e n t e p r o i b i d a » , c o t . o .-no-caso de túnel amento, . .o.

p r ó p r i o c o n c e i t o de "c aninho sa to rna a m b í g u o * ^ . '. •'

O,. \ o r " ' ' o i ra f j n l t ~ o s i s t ema I, usar a i n t e -

— 211 g r a l de tra.ir , v i * » l sl ~o r i s . c n « z i d o por Feynmann. ' .

A arcpl 1 atéz 'de"- pr&.oabi l i ^ a c a ; - í < ( e ^ , , ; t^; eg,,...t|j;.) ...[:;...da.

c o n f i g u r a ç f ó in i c i a l e.V: -no% temp-o: • t ^ o p a m a .conf i gwraçãp, , . f j ; -

nal "Cg '" no tempo t p õ dada í - G . m a l R f i r r t e . [ p o r . ; ,- :

r e 3

A A

( ] a f e - ¥ c ) d t j> . ( 2 i )

t

íVo onde ( v &} Tf7] denota i n t e o r a l f u n c i o n a l sobre" as fun-

çÕes f. = rtf'(t) com f ( ' - . n ) - % o ' f ( t ' B ) ' = f g . A amp'Ti'tude K

corií3m tr-.».s os ' v f o r u o e o o s f';a mecânicé. quân t i c a do- s i s tema- . in

f e l i z m e n t e , pcrÓm, ox i s i . . - u p o o t o c o g o r a i de c a l c u l a r a in_

t egra l de t r a j e t ó r i a s . Especo f i casronte , como a :mediday de" uma

t r a j e t ó r i a e ( . t ) depende a o s parâmet ros 'de i n é r c i a , temos que

t e r c e r t o cu idado no' ca 1 cu 1 o 'da " i ' n t e g r a l f unci onaT . ; ' Nes te ca -

s o , eB \jc ~l e d e f i i í i d a c e v o ' ' ' •

- 2 3 t

.Cr

'/ V f.. ' ( 2 2 )

onde At = ( t ß - t A ) / N e =e t = t A + k . A t

t ;<

Contudo» a Eq. ( 2 1 ) e u t i 1 para d i s c u t i r a e s t r u t u r a

da ampl i tude q u â n t i c a , p a r t i c u l a r m e n t e quando a aproximação se

m i - c l a s s i c a e a p l i c á v e l . M i T l e r ^ u t i l i z o u e x t e n s i v a m e n t e •• á-

aprox imação s e m i - c l as s i ca para a amp1i tude de t r a n s i ç ã o , Eq.

( 2 1 ) . A aprox imação s e m i - c l a s s i c a r e s i d e na expansão da ação f t p ' „ a

i n t e g r a l L d t em t o r n o da t r a j e t ó r i a c l á s s i c a a t e 2-

ordem em r e l a ç ã o a v a r i a ç ã o 5c. = e ( t ) - e ( t ) , onde e c ( t ) e

a t r a j e t ó r i a c l á s s i c a e , a segui r - , na a p l i c a ç ã o da i n t e g r a l . - 1

Gaussiana para o 29 termo da e x p a n s ã o . A s s i m , a ampl i tude - K

e r e p r e s e n t a d a em termos de quan t idades c l á s s i c a s que s a t i s f a ­

zem as r e l a ç õ e s o b t i d a s pe l a equação de movimento c l a s s i c o .

E s c r e v e n d ò : a ação c l á s s i c a como

* ( e A , c B ) = L dt

i t E = e c ( t ) ( 2 3 )

M i l l e r o b t e v e a. e x p r e s s ã o da aprox imação semi - c l ass i ca da am

pi i t u d e , ' "" ""• - -

• k S - C ( c A , C B - ) " -

1/2 e x p s . ( 2 4 ) :

Uma a p l i c a ç ã o i n t e r e s s a n t e d e s t e método e c a l c u l a r ' a "

- 2 4 «

c o n s t a n t e de deca imen to de um e s t a d o p reparado no tempo t A = 0.

Seja ^ q ( c ) a função de onda i n i c i a l do e s t a d o c o l e t i v o » que

é o a u t o - e s t a d o de e n e r g i a do s i s t ema sem o canal de deca imen­

t o . A ampli tude de e n c o n t r a r o s i s t e m a , no tempo t , ainda no

e s t a d o não d e c a í d o e

f f * Efjt A n < d ( t ) =. J d e B j de A * J ( e B ) K ( c A,0; e B , t ) U > 0 ( e A ) e" ( 2 5 )

onde Ejj é a e n e r g i a do s i s t e m a . P o r t a n t o , podemos d e f i n i ,

c o n s t a n t e de deca imen to X por

dP dT

onde P ~ | A n ^ | . 0 ponto i m p o r t a n t e , na hora de a p l i c a r a

aproximação • semi . -c láss ica para o p r o c e s s o c l a s s i c a m e n t e p ro i bi_

d o , e e s t e n d e r o c o n c e i t o de t r a j e t ó r i a a t e ao domínio comple ­

xo da v a r i á v e l e e do tempo t . Es te f a t o pode s e r e n t e n d i d o

quando olhamos a t r a j e t ó r i a c l á s s i c a do ponto de v i s t a do pri n_

c T p i o da mínima a ç ã o . No p r i n c i p i o da mínima a ç ã o , a t r a j e t ó ­

r i a c l á s s i c a e de te rmi nada p e l a equação

A I P . E dt = 0 i

onde A é a v a r i a ç ã o , mantendo-se a e n e r g i a t o t a l c o n s t a n t e . No

ponto de r e t o r n o c l ã s s i c o , apa rece um "branchi ng p o i n t" da fun

ção e •= c ( t ) no p lano c o m p l e x o . Consequentemente , e x i s t e m tra

j e t ó r i a s " c l á s s i c a s " , no domínio complexo das v a r i á v e i s e do

tempo, que l i gam os d o i s pontos e A e e & . M i l l e r mos­

t r o u ^ que t a i s t r a j e t Ó r i as c l ã s s i cas complexas reproduzem o

f a t o r f a m i l i a r de p e r e t r a ç ã o de b a r r i r a , e n t c u r i o s o

no ta r que a e x t e n s ã o a n a l í t i c a da . t r a j e t ó r i a , no,, plano, complexo

para o caso de e n e r g i a a b a i x o da b a r r e i r a e q u i v a l e e s s e n c i a l ~

mente a t r o c a r o s i n a l do p o t e n c i a l na e q u <i ç ã o de movimento . ís_

to d e s 1 o c a as t r a j e t o r ' a s ' e n e r g i a ba ixa em d i r e ç ã o ã r e ­

g i ã o de p o t e n c i a l maior (.- r-r H g , K ) t o que aparentemente^ e

c o n t r a r i o a i d e i a de "caminho" de f i s s ã o a d i a b á t i c a . Ao mesmo

tempo, o c a l c u l o de parâmetros de i n é r c i a , t i p o "cranki n g " , de

ve s e r r e - i n v e s t i g a d o no c o n t e x t o de t r a j e t ó r i a s c o m p l e x a s , t

d e s e j á v e l r e a l i za r um estu do c o m p a r a t i v o dos v á r i o s métodos rie

F ig . 14 - As t ra je tór ias para energia abaixo da barreira.

dinâmica da f i s s ã o , i n c l u i n d o o e f e i t o da m a t r i z de i n é r c i a .Co

mo se v e , o prob1 ema da di nâmi ca de f i s s ã o es tã ai nda bem l o n ­

ge de s e r e n t e n d i d o com c l a r e z a .

Nes tas n o t a s , estudamos a lguns a s p e c t o s da f i s s ã o nu

- 2 6 -

c l e a r , p r i n c i p a l m e n t e a f i s s ã o e s p o n t â n e a , r e l a c i o n a d o s com as

coordenadas c o l e t i v a s ( v a r i á v e i s m a c r o s c ó p i c a s ) . Mu i tos ou t ros

a s p e c t o s i m p o r t a n t e s , con tudo ,não foram menc ionados . E s p e c i a l ­

mente , os processos n u c l e a r e s que envolvem o canal de f i s s ã o ,

por exemplo (y,f), ( n , f ) , (d , p f ) e t c . T a i s p r o c e s s o s c o n s t i tu

em uma v a s t a area de pesqu i sa para o e s tudo da e s t r u t u r a nucle

ar nos e s t a d o s t r a n s i e n t e s " " ,

A c r e d i t a m o s que , a t r a v é s do es tudo da f i s s ã o , v a r i a s

s u r p r e s a s , quanto ao mecanismo n u c l e a r , poderão ainda ser rev

1 adas .

G o s t a r i a de a g r a d e c e r aos P r o f s . K . C . Chuno e R . A . I "

S. Nazare th pe l a l e i t u r a cu idadosa do t e x t o e p e l a s s u g e s t õ e s ,

e s p e c i a l m e n t e ao K . C . Chung p e l a s c o r r e ç õ e s de P o r t u g u ê s . Agro

deço também aos P r o f s . L . C . Gomes* e O . A . P . Tava re s p e l o i n t e

r e s s e nas d i s c u s s õ e s .

B i b l i o g r a f i a

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L C . L N .