CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO … · Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Vetor

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

CELSO SUCKOW DA FONSECA

ÁLGEBRA IENGENHARIA

Profª Cristiane Pinho Guedes

www.cristianeguedes.pro.br

[email protected]


CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA

Aula 1 – data:_________________

MATRIZES

Introdução:

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo,

ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas,

podemos dispô-los na tabela:

Altura (m) Peso (kg) Idade (an0s)Pessoa 1 1,70 70 23Pessoa 2 1,75 60 45Pessoa 3 1,60 52 25Pessoa 4 1,81 72 30

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

1 70 70 23

1 75 60 45

1 60 52 25

181 72 30

,

,

,

,

Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:

A

a a a

a a a

a a a

m n

n

n

m m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

: : : :

...

Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a

ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas) , escreveremos Am n . Também

podemos usar colchetes ou duas barras, além dos parênteses, para representar uma matriz.

Duas matrizes Am n [ ]aij m n e B br s ij r s [ ] são iguais se elas têm o mesmo número de

linhas (m = r ) e colunas ( n = s ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais.

Tipos especiais de matrizes:

Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Matriz nula é aquela em que aij 0 , para todo i e j.

Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna.

Matriz linha é aquela que possui uma única linha.

Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij 0 , para i j .

Matriz identidade é aquela em que aii 1 e aij 0 para i j .

Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da

diagonal são nulos.


Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal

são nulos.

Matriz simétrica é aquela onde m = n e a aij ji .

Operações com matrizes:

Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é uma matriz, também de mesma ordem

cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B.

Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:

a) A + B = B + A ( comutatividade)

b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( associatividade)

c) A + O = A onde O denota a matriz nula.

Multiplicação por um escalar: Seja Am n [ ]aij m n e k um número, então definimos uma nova

matriz k Am n. [ ]kaij m n .

Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números k k, 1 e k2 , temos:

a) k A B kA kB( )

b) ( )k k A k A k A1 2 1 2

c) 0. A O isto é, se multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero dará a matriz nula.

d) ( . ). .( . )k k A k k A1 2 1 2

Transposição: Dada a matriz Am n [ ]aij m n , chamamos de matriz transposta de A, e

representamos por mnijt bA ][ a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A.

Ex:

53

01

32

A

503

312tA

Propriedades:

1) Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta.

2) Uma matriz é anti-simétrica se e somente se ela é igual ao simétrico da sua transposta.

Exemplifique uma matriz Simétrica e uma matriz Anti-simétrica. Comente.


3) AAtt

4) tttBABA

Exercícios: Considere

142

113

201

221

102

413

BeA e calcule:

2A

A + B

2A - 3B

Respostas: ) ൭6 2 8−4 0 22 4 4

൱ )൭4 1 6−5 1 23 6 3

൱ ) ൭3 2 25 −3 −1−4 −8 1

൱

Multiplicação de matrizes: Sejam Am n [ ]aij m n e pnrspn bB

. Definimos pmuvcBA

. onde:

kv

n

kukuv bac

1

Observações:

Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao

número de linhas da segunda.

O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto é obtido , multiplicando os elementos

da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda

matriz, e somando estes produtos.

Ex:

75

44

22

4.3)1.(50.31.5

4.2)1.(40.21.4

4.1)1.(20.11.2

40

11.

35

24

12


Propriedades: (desde que sejam possíveis as operações)

Em geral ABBA .. . Quando A.B = B.A, as matrizes A e B são ditas comutáveis.

AIIA ..

CABACBA ..).(

CBACBA ....

tttABBA ..

0. BA não implica necessariamente em A = 0 ou B = 0

Exercícios:

1) Quando possível, efetuar a multiplicação das matrizes:

a)

14

31

12

202

153

b)

20

31.

01

78

46

24

c)

2

2

1

.

101

254

341

d)

614

513.

221

164

e)

141

513.

12

64

2) Se

36

24

42

26,

23

35CeBA . Encontre X que satisfaz a equação AX + B = C

3) Encontre matrizes não-nulas A, B e C tais que AB = AC, mas B C.


4) Verdadeiro ou falso?

Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, a primeira e a terceira colunas de AB também

são.

Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.

Se a primeira e a terceira linhas de A são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.

Respostas:

1) a) ቀ15 196 0

ቁ b) ቌ

4681

810383

ቍ c) ൭323൱ d) ∄ d) ቀ

18 28 −267 6 −15

ቁ

2) ቀ20 −5−34 7

ቁ 3) ݎ ݔ ܣ: = ቀ2 12 1

ቁ,ܤ = ቀ4 40 0

ቁ ܥ = ቀ2 24 4

ቁ

4) ) ) ܨ )

Matriz Inversa

A matriz quadrada A, de ordem n, é dita inversível se e somente se existir uma matriz

quadrada A-1, também de ordem n, tal que A.A-1 = A-1.A = In.

OBS: ଵܣ = ௧ܣ ⟺ ܣ é ݖݎݐݑ

Exs: 1) Dada a matriz ܯ = ൭ߠݏ ݏ− ߠ 0ݏ ߠ ߠݏ 0

0 0 1൱, calcular C = M.MT e classificar C.

2) Dada a matriz ܧ =

⎝

⎜⎛

√ଷ

ଷ

√ଷ

ଷ

√ଷ

ଷ

−√

ଷ

√

√

0 −√ଶ

ଶ

√ଶ

ଶ⎠

⎟⎞

, calcular E.ET e classificar.


Propriedades:

(A.B)-1 = B-1.A-1

( A-1)-1 = A

( A-1)T = ( AT)-1

Operações Elementares:

São operações realizadas nas linhas (ou colunas) de uma matriz. São consideradas operações

elementares:

A troca da linha i pela linha j. Li ↔ Lj

A multiplicação da linha i por um escalar k não nulo. Li → k.Li

A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j. Li → Li + k.Lj

Equivalência de matrizes:

Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A quando for possível

transformar A em B através de um número finito de operações elementares.

Cálculo da matriz inversa utilizando operações elementares:

Problema: Calcular a inversa de uma matriz A quadrada.

Solução:

Construimos a matriz ( A ⁞ I )

Utilizando operações elementares “transformamos “ A em I. Consequentemente I se transformará

em A-1. No final temos ( I ⁞ A-1 )

OBS: Se não conseguirmos obter a identidade (uma linha zerada) a matriz não terá inversa

(detA=0).

Ex: Encontrar a matriz inversa de ܣ = ൭1 2 32 4 25 2 3

൱



Aula 2 – data:_________________

SISTEMAS LINEARES

Definição: Um sistema linear S com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:

൞

ଵଵݔଵ + ଵଶݔଶ + ଵଷݔଷ + ⋯+ ଵݔ = ଵ

ଶଵݔଵ + ଶଶݔଶ + ଶଷݔଷ + ⋯+ ଶݔ = ଶ

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ଵݔଵ + ଶݔଶ + ଷݔଷ + ⋯+ ݔ =

�

com , ∈ ℝ ,= 1, … , = 1, … , .

→ são os coeficientes das variáveis.

ݔ → são as incógnitas (ou variáveis)

→ termos independentes.

Matrizes de um sistema S

Forma matricial de S:

൮

ଵଵ ଵଶ… ଵ

ଶଵ ଶଶ … ଶ

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ଵ ଶ …

൲ .൮

ଵݔଶݔ⋮ݔ

൲ = ൮

ଵ

ଶ

⋮

൲

.ܣ = ܤ

A → Matriz dos coeficientes

X → Matriz das variáveis

B → Matriz dos termos independentes.

OBS: Se B for a matriz nula, o sistema é chamado de homogêneo.

Matriz Ampliada de S:

൮

ଵଵ ଵଶ… ଵ

ଶଵ ଶଶ … ଶ

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ଵ ଶ …

ଵ

ଶ

⋮

൲

Soluções de um sistema S:


Método de Redução de Gauss-Jordan:

Escalonamos a matriz ampliada de S, reescrevemos o sistema equivalente a S, encontramos o valor

de uma variável, e por substituição determinamos as demais variáveis.

OBS1: Se o sistema for possível e indeterminado (SPI), temos que dar a resposta em função da(s)

variável(variáveis) livre(s).

OBS2: Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial →

(0, 0,..., 0).

Ex1: ൞

−ݔ2 +ݕ =ݖ3 11−ݔ4 +ݕ3 =ݖ2 0+ݔ +ݕ =ݖ 6

+ݔ3 +ݕ =ݖ 4

�

S

POSSÍVEL

DETERMINADO→uma única

solução

INDETERMINADO→ infinitas soluções

IMPOSSÍVEL→ nenhuma solução


Ex2: ൝

−ݔ +ݕ2 =ݖ 0−ݔ2 −ݕ =ݖ2 1−ݔ3 −ݕ3 =ݖ 2

�

Ex3: ൞

ଵݔ + ଶݔ3 + ଷݔ5 = 7−ଵݔ2 ଶݔ + ଷݔ3 = 0−ଵݔ −ଶݔ4 ଷݔ2 = −7−ଵݔ5 ଶݔ2 + ଷݔ8 = 1

�


Ex4: ൝

+ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ2 +ݕ =ݖ 0+ݔ −ݕ2 =ݖ 0

�


Ex5: ൞

−ݔ +ݕ2 =ݖ2 0+ݔ2 −ݕ =ݖ2 0+ݔ3 −ݕ4 =ݖ6 0−ݔ3 +ݕ11 =ݖ12 0

�

Exercícios:

1) Determine os valores de a, de modo que o sistema abaixo tenha:

I) nenhuma solução.

II) mais de uma solução.

III) uma única solução.

൝

+ݔ −ݕ =ݖ 1+ݔ2 +ݕ3 =ݖ 3+ݔ +ݕ =ݖ3 2

�


2) Estudar o sistema em função de k:

൝

+ݔ +ݕ =ݖ 2+ݔ3 +ݕ4 =ݖ2 +ݔ2 −ݕ3 =ݖ 1

�



Aula 3 – data:__________________

VETORES

Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o

mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos

orientados eqüipolentes a AB.

Vetor:

módulo

direção

sentido

vyyxxABAB ABAB ),(

22 )()( ABAB yyxxv

vetor unitário → módulo = 1

Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .

Operações:

1) Adição

ሬݑ +ሬݑ ݒ

ݒ

),(

),(

22

11

yxv

yxu

),( 2121 yyxxvu

2) Diferença

ሬݑ −ሬݑ ݒ

ݒ

3) Multiplicação por um escalar

vk

direção: mesma de v


módulo: vkvk

sentido: mesmo de v , se k > 0 e contrário ao de v , se k < 0.

OBS1: versor de v v

v*

v

OBS2: −ሬݑ ݒ = +ሬݑ (−1). ݒ

Decomposição de um vetor no plano:

Dados dois vetores 21 vev , não colineares, qualquer vetor v , co-planar com 21 vev , pode ser

decomposto segundo as direções de 21 vev .

2211 vavav v escrito como combinação linear de 21 vev .

Um par de vetores 21 vev não colineares é chamado base do plano.

ଶݒଶሬሬሬሬ ݒ ଶሬሬሬሬݒ

ଵݒଵሬሬሬሬ ଵሬሬሬሬݒ

21 aea são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { 21 , vv }

11va = projeção de v sobre 1v segundo a direção de 2v .

22 va = projeção de v sobre 2v segundo a direção de 1v .

Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.

Uma base é ortonormal quando os seus vetores são ortogonais (perpendiculares) e unitários.

Bases Canônicas : do R2 : ଓ= (1, 0)ଔ= (0, 1)

do R3 : ଓ= (1,0,0) , ଔ= (0, 1, 0) ሬ= (0, 0, 1)

jiv 53)5,3(

kzjyixzyxu ),,(

Condição de paralelismo de dois vetores: ),,( 111 zyxu e ),,( 222 zyxv

vu // ( ou colinear ) se vku . ou seja, kz

z

y

y

x

x

2

1

2

1

2

1

componentes proporcionais


Produto de vetores:

1) Produto Escalar.

212121

222

111

zzyyxxvu

kzjyixv

kzjyixu

Ex: )1,2,3()2,1,4()3,2,()1,,4( BAvu . Calcular tal que 5)( BAvu .

Resp: ∝ = 7/3

Módulo

21

21

21 zyxvvv

Propriedades do Produto Escalar:

I) 000 uuueuu

II) uvvu

III) wuvuwvu )(

IV)2

uuu

V) )()( vumvum

Ângulo de dois vetores:

cos vuvu

ݒ

θ

ሬݑ


Pela Lei dos cossenos, temos:

cos2222

vuvuvu

Pela (IV) propriedade, temos :

cos2 vuvvuuvuvu

Pela (III) propriedade, temos:

cos2 vuvvuuvvuvvuuu

Pela (II) propriedade e fazendo os devidos cancelamentos, temos:

cos22 vuvu cos vuvu

Logo:

vu

vu

cos

Daí, conclui-se que:

Se agudoévu 0

Se obtusoévu 0

Se laresperpendicusãoveuretoévu 0

Condição de ortogonalidade de dois vetores: ሬݑ ⊥ ݒ ⇔ ሬݑ . =ݒ 0

Exercícios:

1) Sabendo que a distância entre os pontos A( -1, 2, 3) e B( 1, -1, m) é 7, calcular m.

2) Determinar α para que o vetor =ݒ ቀ∝,−ଵ

ଶ,ଵ

ସቁseja unitário.


3) Sabendo que o vetor =ݒ (2,1,−1) forma um ângulo de 60º com o vetor ሬሬሬሬሬܤܣ determinado pelos

pontos A( 3, 1, -2) e B( 4, 0, m), calcular m.

4) Determinar os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C( 1, 0, 2).

5) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores (1, -1, 0) e (1, 0, 1).

6) Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determinar as coordenadas de um ponto S tal

que P, Q, R e S sejam os vértices de um paralelogramo.

7) Determinar os valores de m e n para que os vetores =ሬݑ ( + 1, 3, =ݒ(1 (4, 2, 2− 1) sejam

paralelos.



Aula 4 – data:__________________

Uma Aplicação na Física:

O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas

físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o

O Trabalho realizado por uma força constante

definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está

aplicada.

Pode-se observar que a componente da f

trabalho é ௫ሬሬሬܨ , paralela ao deslocamento

mostra a figura. Então หܨ௫ሬሬሬห= หܨห. onde θ ,ߠݏ

força e o deslocamento.

A grandeza física Trabalho , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema

Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é

= .ܨ ሬሬሬ ݑ = หܨห. ห ห. ߠݏ e 1 J = 1 N . 1 m

Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas fo

deslocar o bloco de A até B, sabendo que



físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o Trabalho.

O Trabalho realizado por uma força constante ܨ ao longo de um determinado deslocamento


se observar que a componente da força ܨ que realiza o

, paralela ao deslocamento ሬሬሬሬሬܤܣ = , conforme

, onde θ é o ângulo entre a

, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema

Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é

e 1 J = 1 N . 1 m

Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, ܨ ேሬሬሬሬሬܨ,ሬሬሬܨ, ሬ e pela força resultante para

deslocar o bloco de A até B, sabendo que หܨห= 10 ,หܨሬሬሬห= 8 , หሬห= 3 ,หܨேሬሬሬሬห= 3



ao longo de um determinado deslocamento é


, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema

e pela força resultante para

, ሬሬሬሬ= ሬሬሬሬሬหܤܣ ห= 10


Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor ( R3 )

Seja o vetor =ݒ +ଓݔ +ଔݕ =ሬݖ .(ݖ,ݕ,ݔ) Ângulos diretores de ݒ são os ângulos α, β e γ que ݒ

forma com os vetores ଓ, ଔ ሬda base canônica.

z

ݒ

ሬ α

γ ଔ y

x ଓ

cos α =௩ሬ.ప

|௩ሬ|.|ప|=

(௫,௬,௭).(ଵ,,)

|௩ሬ|.ଵ=

௫

|௩ሬ|

cos β =௩ሬ.ఫ

|௩ሬ|.|ఫ|=

(௫,௬,௭).(,ଵ,)

|௩ሬ|.ଵ=

௬

|௩ሬ|

cos γ =௩ሬ.ሬ

|௩ሬ|.หሬห=

(௫,௬,௭).(,,ଵ)

|௩ሬ|.ଵ=

௭

|௩ሬ|

Notemos que ( cos α, cos β, cos γ) = ቀ௫

|௩ሬ|,௬

|௩ሬ|,

௭

|௩ሬ|ቁ=

(௫,௬,௭)

|௩ሬ|=

௩ሬ

|௩ሬ|= ሬሬሬሬ∗ݒ (versor de ݒ )

Portanto: ඥ ଶݏ ∝ + +ߚଶݏ =ߛଶݏ 1 ⟹ ଶݏ ∝ + +ߚଶݏ =ߛଶݏ 1

“ A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.”

Exercícios:

1) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determinar α.


2) Dados os pontos A( 2, 2, -3) e B( 3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor .ሬሬሬሬሬܤܣ

3) Um vetor ݒ forma com os vetores ଓ ଔ ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determinar o vetor ,ݒ

sabendo que =|ݒ| 2.

Projeção de um vetor

Sejam os vetores ሬݑ e ,ݒ com ≠ሬݑ 0ሬሬሬݒ≠ 0ሬሬሬ , e θ o ângulo por eles formado. O vetor ሬሬݓ que representa a

projeção de ሬሬሬݑ sobre ሬሬሬݒ é calculado por:

=ሬݑଔሬሬሬሬሬሬሬሬ௩ሬݎ ቆ.ሬݑ ݒ

.|ݒ| |ݒ|ቇ . =ݒ .ሬݑ) .(∗ݒ ∗ݒ

ሬݑ ሬݑ

θ

Θ

ሬሬݓ ݒ ሬሬݓ ݒ


Exemplo1: Determinar o vetor projeção de =ሬݑ (2,3,4) sobre =ݒ (1,−1,0).

Exemplo2: Sejam os pontos A(1, 2, -1), B(-1, 0, -1) e C(2, 1, 2). Pede-se:

a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A.

b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.

c) Determinar o pé da altura relativa à hipotenusa.



Aula 5 – data:__________________

2) Produto Vetorial

Dados os vetores =ሬݑ +ଵଓݔ +ଵଔݕ ଵሬݖ e =ݒ +ଶଓݔ +ଶଔݕ ,ଶሬݖ tomados nesta ordem, chama-se

produto vetorial dos vetores ሬሬሬݑ e ,ݒ e se representa por ×ሬሬሬݑ ݒ ou ∧ሬݑ ݒ o vetor:

×ሬሬሬݑ =ݒ (yଵzଶ− zଵyଶ)ı − (xଵzଶ− zଵxଶ)ଌ+ (xଵyଶ− yଵxଶ)kሬ

Podemos também calcular o produto vetorial através de um determinante “fictício”, mostradoabaixo:

×ሬݑ =ݒ ቮଓ ଔ ሬ

ଵݔ ଵݕ ଵݖଶݔ ଶݕ ଶݖ

ቮ

Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores =ሬݑ 5ଓ+ 4ଔ+ 3ሬe =ݒ ଓ+ ሬ.

Propriedades:

I) ×ሬݑ =ሬݑ 0ሬ

II) ×ሬݑ =ݒ ×ݒ− ሬݑ (o P.V. não é comutativo)

III) ×ሬݑ +ݒ) (ሬሬݓ = ×ሬݑ +ݒ ×ሬݑ ሬሬݓ

IV) ( (ሬݑ. × =ݒ . ×ሬݑ) (ݒ = ×ሬݑ ( . (ݒ

V) ×ሬݑ =ݒ 0ሬ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ሬݑ e ݒ são colineares.

VI) ×ሬݑ ݒ é ortogonal simultaneamente aos vetores ሬeݑ .ݒ

VII) Os vetores u

, v

e u

x v

tem as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um

saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que , de Ox para Oy, avançar no sentido positivo

de Oz, o triedro é direto).

×ሬݑ ݒ ݒ

ሬݑ

×ݒ ሬݑ


VIII) ×ሬݑ| |ݒ = .|ሬݑ| .|ݒ| ݏ ߠ

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores

Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u

e v

mede a área do

paralelogramo ABCD determinado pelos vetores =ሬݑ ሬሬሬሬሬܤܣ e =ݒ .ሬሬሬሬሬܥܣ

B

ሬݑ h

θ

A ݒ C

×ሬݑ| |ݒ =

3) Produto Misto

Dados os vetores =ሬݑ +ଵଓݔ +ଵଔݕ ଵሬݖ , =ݒ +ଶଓݔ +ଶଔݕ ଶሬݖ e ሬሬݓ = +ଷଓݔ +ଷଔݕ ,ଷሬݖ tomados

nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores ሬሬሬݑ , ݒ e ,ሬሬݓ e se representa por ,ሬሬሬݑ) ሬሬݓ,ݒ ) o número

real :

,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = .ሬݑ ×ݒ) (ሬሬݓ ou ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = อ

xଵ yଵ zଵxଶ yଶ zଶxଷ yଷ zଷ

อ

Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores =ሬݑ 2ଓ+ 3ଔ+ 5ሬ, =ݒ −ଓ+ 3ଔ+ 3ሬ e ሬሬݓ = 4ଓ− 3ଔ+

2ሬ.

Propriedades:

I) ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são

coplanares.

Repetindo: se ,ሬሬሬݑ eݒ ሬሬݓ são coplanares, ,ሬሬሬݑ) (ሬሬݓ,ݒ = 0 . Esta propriedade é de fundamental

importância em vários tópicos a serem estudados.

De forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano

se os vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e ሬሬሬሬሬܦܣ forem coplanares, isto é, se ൫ܤܣሬሬሬሬሬ,ܥܣሬሬሬሬሬ,ܦܣሬሬሬሬሬ൯= 0.


3 vetores coplanares 3 vetores não coplanares

Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos em 2 .

Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto

Geometricamente, o produto misto ).( wvu

é igual, em módulo, ao volume do

paralelepípedo de arestas determinadas pelos

vetores =ሬݑ ,ሬሬሬሬሬܦܣ =ݒ =ሬሬݓሬሬሬሬሬܤܣ .ሬሬሬሬሬܥܣ

= .ሬݑ| ×ݒ) |(ሬሬݓ = ,ሬሬሬݑ)| |(ሬሬݓ,ݒ

Volume do Tetraedro

Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma

triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à

base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 1/6 do volume do paralelepípedo.

Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não

colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e ሬሬሬሬሬܦܣ e, portanto,

o volume do tetraedro ABCD é: =ଵ

൫ܤܣሬሬሬሬሬ,ܥܣ,ሬሬሬሬሬሬ ሬሬሬሬሬ൯ܦܣ

D

C

A

B


Exercícios:

1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores =ሬݑ (2,−6,3) e =ݒ (4,3,1).

2) Dados os vetores =ሬݑ (1,2,−1) e =ݒ (0,−1,3), calcular a área do paralelogramo determinado

pelos vetores ሬݑ.3 e −ݒ .ሬݑ


3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C( -1, -3, 3).

4) Qual deve ser o valor de m para que os vetores = ( , 2,−1), ሬ= (1,−1,3) = (0,−2,4) sejam

coplanares?

5) Dados os vetores =ሬݑ ,ݔ) 5,0), =ݒ (3,−2, 1) ሬሬݓ = (1, 1,−1), calcular o valor de x para que o

volume do paralelepípedo determinado por ,ሬሬሬݑ ሬሬݓ,ݒ seja 24 u. v.



Aula 6 – data:__________________

ESTUDO DA RETA

1) Equação vetorial da reta

Uma reta r está perfeitamente determinada quando conhecemos um ponto por onde ela passa

e um vetor que dá a direção dela (chamado vetor diretor da reta).

Consideremos o ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ pertencente à reta r e o vetor diretor .ݒ Seja P(x,y,z) um

ponto qualquer de r. Os vetores ݒሬሬሬሬሬܣ são colineares. Logo, =ሬሬሬሬሬܣ .ݐ ,ݒ com t ÆR.

ሬሬሬሬሬܣ = .ݐ ݒ ⟹ − ܣ = .ݐ ݒ ⇒ = ܣ + .ݐ ݒ ⟹ (ݖ,ݕ,ݔ) = (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ) + .ݐ ( , , ), =ݒ ( , , )

(1)

De (1) , tiramos as equações paramétricas de r.

2) Equações Paramétricas da reta.

൝

=ݔ ଵݔ + ݐ=ݕ ଵݕ + ݐ=ݖ ଵݖ + ݐ

ݐ,� ∈ , onde (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ é um ponto pertencente à reta e =ݒ ( , , ) é o vetor

diretor .ݒ

A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas

quando t varia de -∞ a +∞.

Exemplo 1: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e é

paralela ao vetor =ݒ (−3,−2, 1).

Exemplo 2: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelos pontos A(1, -2, -3)

e B( 3, 1, -4).

3) Equações Simétricas da reta.

Das equações paramétricas, supondo a.b.c ≠ 0, temos:

=ݐ−ݔ ଵݔ

, =ݐ−ݕ ଵݕ

, =ݐ−ݖ ଵݖ

Logo:

−ݔ ଵݔ

=−ݕ ଵݕ

=−ݖ ଵݖ

Que são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ e tem vetor diretor

=ݒ ( , , )


Exemplo 1: Encontre as equações simétricas da reta r, que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e

B(4, 0, -2).

Exemplo 2: Verifique se os pontos A(5, 2, -6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7) estão alinhados.

Retas paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados

1) Duas das componentes do vetor diretor são nulas:

1.1) Seja =ݒ ( , 0,0). Então =ݒ ( , 0,0) = . (1,0,0) = . ଓ. Logo ⇒ଓሬ//ݒ //ݒ ݔݔ .

z

=ݒ ( , 0,0)

Reta paralela ao eixo x

r

ଓ=(1,0,0) y

x

1.2) Seja =ݒ (0, , 0). Então =ݒ (0, , 0) = . (0,1,0) = . ଔ. Logo ⇒ଔ//ݒ //ݒ ݕݔ .

z =ݒ (0, , 0)

r

Reta paralela ao eixo y

ଔ= (0,1,0) y

x


1.3) Seja =ݒ (0,0, ). Então =ݒ (0,0, ) = . (0,0,1) = . ሬ. Logo ⇒ሬ//ݒ //ݒ .ݖݔ

z =ݒ (0,0, )

r

Reta paralela ao eixo z

ሬ= (0,0,1) y

x

2) Uma componente do vetor diretor é nula:

2.1) Seja =ݒ (0, , ). Então .ݒ ଓ= (0, , ). (1,0,0) = 0. Logo ⊥ݒ ଓ⇒ //ݎ .ݖݕ

Equações simétricas:

ቊ

=ݔ ଵݔ−ݕ ଵݕ

=−ݖ ଵݖ

�

2.2) Seja =ݒ ( , 0, ). Então .ݒ ଔ= ( , 0, ). (0,1,0) = 0. Logo ⊥ݒ ଔ⇒ //ݎ .ݖݔ

ቊ

=ݕ ଵݕ−ݔ ଵݔ

=−ݖ ଵݖ

�

2.3) Seja =ݒ ( , , 0). Então .ݒ ሬ= ( , , 0). (0,0,1) = 0. Logo ⊥ݒ ሬ⇒ //ݎ ݕݔ .

ቊ

=ݖ ଵݖ−ݔ ଵݔ

=−ݕ ଵݕ

�

Exercícios:

1) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor

=ݒ 3ଓ+ 2ሬ.

2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9).


3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3, -2) e tem a direção do vetor =ݒ 2ଓ.

Ângulo de duas retas

O ângulo entre duas retas r1 e r2 é o menor ângulo entre o vetor diretor de r1 e o vetor diretor de r2.

ߠݏ =|ଶሬሬሬሬݒଵ.ሬሬሬሬሬݒ|

.|ଵሬሬሬሬݒ| |ଶሬሬሬሬݒ|, 0 ≤ ≥ߠ

ߨ

2

Exercício: Calcular o ângulo entre as retas ଵ:൝ݎ=ݔ 3 + ݐ=ݕ ݐ

=ݖ −1 − ݐ2

�e :ଶݎ௫ାଶ

ଶ=

௬ଷ

ଵ= .ݖ

OBS1: Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos (vetores diretores têm

componentes proporcionais).

OBS2: Duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais ( =ଶሬሬሬሬݒଵ.ሬሬሬሬሬݒ 0)

Exercício: Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam ortogonais.

ଵ:ቄݎ=ݕ −ݔ 3=ݖ ݔ2−

� ଶ:൝ݎ=ݔ −1 + ݐ2=ݕ 3 − ݐ=ݖ ݐ5

�

OBS3: Sejam as retas: r1 que passa pelo ponto A1 e tem a direção do vetor ଵሬሬሬሬݒ

r2 que passa pelo ponto A2 e tem a direção do vetor ଶሬሬሬሬݒ

As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores ,ଵሬሬሬሬݒ ଶሬሬሬሬݒ e ଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬܣଵܣ forem coplanares, isto é ൫ݒଵሬሬሬሬ,ݒଶሬሬሬሬ,ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ൯= 0

r1

r2



Aula 7 – data:__________________

POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS

1) Coplanares: concorrentes ou paralelas

r1 r1

r2 r2

2) Reversas:

r1 r2

Exemplos:

1) Estudar a posição relativa das retas:

) :ଵݎ ቄ=ݕ −ݔ2 3=ݖ ݔ−

� :ଶݎ ൝=ݔ 1 − ݐ3=ݕ 4 − ݐ6=ݖ ݐ3

�


) :ଵݎݔ

2= 1 − =ݕ :ଶݎݖ ൝

=ݔ 2 − ݐ4=ݕ ݐ2

=ݖ +ݐ2− 1

�

) :ଵݎ−ݔ 2

2=ݕ

3=−ݖ 5

4:ଶݎ ൝

=ݔ 5 + ݐ=ݕ 2 − ݐ=ݖ 7 − ݐ2

�

) :ଵݎ ቄ=ݕ 3=ݖ ݔ2

=ݔ:�ଶݎ =ݕ ݖ



Aula 8 – data:__________________

ESTUDO DO PLANO

1) Equação geral do plano

Um plano π está perfeitamente determinado quando conhecemos um ponto pertencente ao

plano (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ e um vetor normal ሬ= ଓ+ ଔ+ ሬ .

Consideremos o ponto (ଵݖ,ଵݕ,ଵݔ)ܣ pertencente ao plano π e o vetor normal ሬ. Seja P(x, y, z)

um ponto qualquer de π. Os vetores ሬሬሬሬሬܣ ሬ são perpendiculares. Logo, .ሬሬሬሬሬܣ ሬ= 0.

ሬ A(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ)

P(x, y, z)

.ሬሬሬሬሬሬܣ ሬሬሬ = 0 ⟹ ( , , ). −ݔ) −ݕ,ଵݔ −ݖ,ଵݕ (ଵݖ = 0 ሬ= ( , , ) . Logo,

−ݔ) (ଵݔ + −ݕ) (ଵݕ + −ݖ) (ଵݖ = 0 ⟹ +ݔ +ݕ −ݖ −ଵݔ −ଵݕ ଵݖ = 0

Fazendo: −ଵݔ− −ଵݕ ଵݖ = , temos +ݔ +ݕ +ݖ = 0.

Portanto, a equação geral do plano é :

ߨ ∶ +ݔ +ݕ +ݖ = 0

com ሬ= ( , , ).

Obs: Se ሬé um vetor normal ao plano, então ሬ também é normal ao plano.

Exemplos: 1) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto (2, -1, 3), sendo

ሬ= (3, 2,−4) um vetor normal a π.

2) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (3, 1, -4) e é paralelo ao plano

−ݔ2 +ݕ3 −ݖ 6 = 0


3) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2, -1, 4) e B(4, -3, -2).

(plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento, passando pelo ponto

médio)

4) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1, -2) e é perpendicular à reta

ଵ:൝ݎ=ݔ −4 + ݐ3=ݕ 1 + ݐ2=ݖ ݐ

�

5) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (1, -3, 4) e é paralelo aos vetores

=ଵሬሬሬሬݒ (3, =ଶሬሬሬሬݒ(2−,1 (1,−1, 1)

6) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos (2, 1, -1), (0, -1, 1) e (1, 2, 1).


7) Calcular os valores de m e n para que o plano :ଵߨ (2 − −ݔ(1 +ݕ2 −ݖ 3 = 0 seja paralelo ao

plano :ଶߨ +ݔ4 −ݕ4 =ݖ 0

8) Verificar se a reta :ݎ௫ଶ

ଷ=

௬ାଵ

ଶ=

௭

ଵé perpendicular ao plano :ߨ −ݔ9 −ݕ6 +ݖ3 5 = 0

9) Determine os valores de m e n para que a reta ൝:ݎ=ݔ 2 + ݐ=ݕ 1 + ݐ=ݖ −3 − ݐ2

�esteja contida no plano

+ݔ:ߨ +ݕ −ݖ2 1 = 0


LISTAS

DE

EXERCÍCIOS



Professora: Cristiane Pinho Guedes

Lista nº 1 - Matrizes

1) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A

quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:

Moderno

Mediterraneo

Colonial

Ferro Madeira Vidro T a Tijoloint

5 20 16 7 17

7 18 12 9 21

6 25 8 5 13

a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,

quantas unidades de cada material serão empregadas?

b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam

respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?

c) Qual o custo total do material empregado?

2) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissões de potências distintas.

Estabelecemos que aij 1 na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à

estação j, aij 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a

diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.

A

0 1 1 1 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 0

Qual seria o significado da matriz A2 ?

a) Calcule A2 .

b) Qual o significado de c13 2 ?

c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a

afirmação: “ A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a

outra com uma única retransmissão”.

d) Qual o significado das matrizes A A A 2 3, ?

e) Se A fosse simétrica o que significaria?

3) Existem 3 tipos de marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu.

O termo aij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o

carro da coluna j, quando comprar um carro novo.

Para

De

0 7 0 2 0 1

0 3 0 5 0 2

0 4 0 4 0 2

, , ,

, , ,

, , ,

Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro da

mesma marca. Calcule A2 e interprete.



Professora: Cristiane Pinho Guedes

Lista nº 2 – Matriz Inversa

Nos problemas 1 a 17, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.

1) ܣ = ቀ3 51 2

ቁ 2) ܤ = ൭−3 4 −5

0 1 23 −5 4

൱ 3) ܥ = ቌ

1 0 0 02 1 0 034

23

12

01

ቍ

ܦ(4 = ൭1 0 −22 −2 −2

−3 0 2൱ ܧ(5 = ൭

−4 0 −10−2 −4 −4

2 −2 6൱ ܨ(6 = ൭

−3 −6 −120 3 −3

−6 −9 −24൱

7) ܩ = ൭−1 10 −7−1 −4 3

1 −2 1൱ 8) ܪ = ൭

2 2 23 4 71 2 5

൱ 9) =ܬ ൭−1 −2 −3−2 −4 −5−3 −5 −6

൱

10) =ܮ ൭−3 −1 −3

2 −4 −11 −2 −2

൱ 11) ܯ = ൭−1 0 0−1 −1 0−1 −1 −1

൱ 12) = ൭1 −2 −4

−2 −1 23 0 −5

൱

13) = ൭0 2 −11 4 −2

−1 −7 3൱ 14) = ൭

−1 −1 −1−3 −3 −4−3 −4 −3

൱ 15) = ൭2 0 00 3 00 0 7

൱

16) = ൭0 0 50 6 09 0 0

൱ 17) = ቌ

−1 2 0 −80 −1 2 100

00

−10

1−1

ቍ

Nos problemas 18 a 23, supondo as matrizes quadradas e inversíveis, resolver as equações

matriciais na variável X.

18) ܦ.ܣ . = ܥ.ܤ.ܣ 19) .ܦ = ܦ ܥ. 20) ଶܦ.ଶ.ܥ.ܤ.ܣ = .ܥ.ܤ.ܣ

21) ܦ..ଵܦ = ܥ.ܣ 22) .ܥ + ܤ.2 = ܤ.3


RESPOSTAS:

1) ଵܣ = ቀ2 −5

−1 3ቁ 2) ଵܤ = ቌ

−ଵସ

ଷ−

ଽ

ଷ−

ଵଷ

ଷ

−2 −1 −21 1 1

ቍ 3) ଵܥ = ቌ

1 0 0 0−2 1 0 0

10

−21

1−2

01

ቍ

4) ଵܦ =

⎝

⎛

−12ൗ 0 −1

2ൗ

14ൗ −1

2ൗ−1

4ൗ

−34ൗ 0 −1

4ൗ ⎠

⎞ 5) ଵܧ =

⎝

⎛

−4 52ൗ −5

12ൗ − 1

2ൗ1

2ൗ

32ൗ −1 2 ⎠

⎞ 6) ଵܨ =

⎝

⎛

113ൗ

43ൗ −2

−23ൗ 0 1

3ൗ

−23ൗ −1

3ൗ1

3ൗ ⎠

⎞

7) ଵܩ =

⎝

⎛

−12ൗ −1 −1

2ൗ

−1 −32ൗ

−52ൗ

32ൗ −2 −7

2ൗ ⎠

⎞ 8) ଵܪ∄ 9) ଵܬ = ൭−1 3 −23 −3 1−2 1 0

൱

10) ଵܮ = ൭6 4 −115 3 −9

−8 −5 14൱ 11) ܯ ଵ = ൭

−1 0 01 −1 00 1 −1

൱ 12) ଵ = ൭5 −10 −8

−4 7 63 −6 −5

൱

13) ଵ = ൭−2 1 0−1 −1 −1−3 −2 −2

൱ 14) ଵ = ൭−7 1 13 0 −13 −1 0

൱ 15) ଵ =

⎝

⎛

12ൗ 0 0

0 13ൗ 0

0 0 17ൗ ⎠

⎞ 16)

ଵ =

⎝

⎛

0 0 19ൗ

0 16ൗ 0

15ൗ 0 0 ⎠

⎞ 17) ଵ = ቌ

−1 −2 −4 20 −1 −2 −300

00

−10

−1−1

ቍ

18) = ܥ.ܤ.ଵܦ 19) = ܥ 20) = ଵܦ 21) = ܦ ଵܦ.ܥ.ܣ.

22) = ܤ.ଵܥ



Professora Cristiane Pinho Guedes

Lista nº 3

Sistemas Lineares

1) Classificar e resolver os sistemas:

a

x y z

x y z

x y z

b

x y z

y z

c

x y z

x y z

x y z

d

x y z

x y z

x y z

e

x y z

x

)

)

)

)

)

2 3 2 2

3 5 4 5

2 7 24

4 6 0

3

26 9 0

2 3 10

3 4 6 23

3 2 3 10

5 3 7 5

4 2

2 4 8 10

3 9 12 24

4 16

y z

x y z

fx y z

x y z

g

x y z

x y z

x y z

h

x y

y z

x y z

26 46

7 14 20

6 2 4 0

9 3 6 0

4 6 11

2 3 4 9

3 2 2 7

0

2 4 6

4 6

)

)

)

2) Resolva o sistema:

2 2 5

3 2 2 3

4 2 3 12

3 2 10

a b d

a b c d

a b c d

a b c d

Resp: 1) a) SPD S={( 1, 2, 3)} b) SPI S={( 1,4

61 z, z)} c) SI S=

d) SPD S={( 1, 1, 1)} e) SI S= f) SPI S= {( x, -3x - 2z, z)}

g) SPI S= {( ( 3 + 2z)/5, (13 - 8z)/5, z)} h) SPI S={( y, y,2

3 y)}

2) S={( 22, 25, 7, 37)}



Professora Cristiane Pinho Guedes

Lista nº 4

Sistemas Lineares – Discussão

1) Resolva e classifique os sistemas abaixo:

) ൝+ݔ3 −ݕ2 =ݖ5 8

−ݔ2 −ݕ4 =ݖ2 −4−ݔ −ݕ2 =ݖ3 −4

�

b) ൝

+ݔ2 +ݕ4 =ݖ6 −6−ݔ3 −ݕ2 =ݖ4 −38+ݔ +ݕ2 =ݖ3 −3

�

c) ൝

+ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ2 +ݕ3 =ݖ 0

−ݔ4 −ݕ4 =ݖ2 0

�

d) ൝

+ݔ =ݖ3 −8−ݔ2 =ݕ4 −4

−ݔ3 −ݕ2 =ݖ5 26

�

2) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que os

sistemas abaixo sejam compatíveis (possíveis).

a) ൝ଵ + 2 ଶ = ݔ

−3 ଵ + 4 ଶ = ݕ2 ଵ− ଶ = ݖ

�

b) ൝+ 2= ݔ−2+ = ݕ−+ = ݖ

�

3) Resolver, em função de x e y, o sistema:

൜3+ 5= ݔ+ 2= ݕ

�

4) Determinar o valor de k para que o sistema abaixo admita solução não trivial:

൝

−ݔ −ݕ =ݖ 0−ݔ −ݕ2 =ݖ2 0+ݔ2 +ݕ =ݖ 0

�

GABARITO:

1) a) S = {( 3, 2, 1)}

b) S = ቄቀସଵା௭

ସ,ଶଽ ଵଷ௭

ቁቅݖ,

c) S = {( 0, 0, 0)}

d) S = {( 4, 3, -4)}

2) a) x = y + 2z

b) x = 5z – 3y

3) a = 2x – 5y e b = 3y – x

4) k = 1



Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I

Lista de exercícios nº 5 - Vetores

1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ݒ = (2, -5), sabendo que sua origem é o

ponto A (-1, 3).

2) Dados os vetores =ሬݑ (3, -1) e ݒ = (-1, 2), determinar o vetor ሬሬݓ tal que

a) 4 ሬݑ) - (ݒ +ଵ

ଷሬሬݓ = 2 ሬݑ - ሬሬݓ

b) 3 ሬሬݓ - (2 ݒ - (ሬݑ = 2(4 ሬሬݓ - 3 (ሬݑ

3) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5) e C (3, -1), calcular ሬሬሬሬሬܣ - ,ሬሬሬሬሬܤܣ −ሬሬሬሬሬܥ ሬሬሬሬሬܥܤ e 3 −ሬሬሬሬሬܣܤ. 4 .ሬሬሬሬሬܤܥ.

4) Dados os vetores =ሬݑ (3,-4) e ݒ = (-9/4 , 3), verificar se existem números a e b tais que

=ሬݑ a ݒ e ݒ = b .ሬݑ

5) Dados os vetores =ሬݑ (2,- 4), ݒ = (-5, 1) e ሬሬݓ = (-12,6), determinar 1k e 2k tal que =ሬሬݓ 1k +ሬݑ + 2k .ݒ

6) Dados os pontos A (-1, 3), B (1, 0), C (2, -1), determinar D tal que ሬሬሬሬሬܥܦ = .ሬሬሬሬሬܣܤ

7) Dados os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determinar o ponto P tal que ሬሬሬሬሬܣ = .ሬሬሬሬሬܤ

8) Dados os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determinar o ponto P tal que ሬሬሬሬሬܣ = .ሬሬሬሬሬܤܣ.3

9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 ݒ = (6, 10, 4) - .ݒ

10) Encontrar os números 1a e tais que ሬሬݓ = 2211 vava , sendo 1v = (1, -2, 1), 2v = (2, 0,-4) e ሬሬݓ = (-4, -4,

14).

11) Determinar a e b de modo que os vetores =ሬݑ (4, 1, -3) e ݒ = (6, a, b) sejam paralelos.

12) Verificar se são colineares os pontos:

a) A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1)

b) A (2, 1, -1), B (3, -1, 0) e C (1, 0, 4)

13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7).

14) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B (5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.

15) Determinar o simétrico do ponto P (3, 1, -2) em relação ao ponto A (-1, 0, -3).

GABARITO:

1) (1,-2) 2) a) ሬሬݓ = (−ଵହ

ଶ,ଵହ

ଶ) b) ሬሬݓ = (

ଶଷ

ହ,−

ଵଵ

ହ)

3) (-4, 1), (2, 5), (-5, -30) 4) a = - 4/3 , b = - ¾

5) k1 = -1 e k2 = 2 6) D(4, -4)

7) P(3, 1, -1/2 ) 8) (14, -10, -6)

9) =ݒ (1,1,1) 10) a1= 2 , a2 = -3

11) a = 3/2 e b = - 9/2 12) a) sim b) não

13) a = -3 e b = 13 15) (-5, -1, -4)

2a




Lista de exercícios nº 6 - Vetores II

1) Dados =ሬݑ (4,2) =ݒ (−3,5) o produto escalar ሬݑ . ݒ é igual a

a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2

2) Se A = (7, -1), B = ( 0, 4) e C = (-2, 3), então, o produto escalar dos vetores ሬሬሬሬሬܥܣሬሬሬሬሬܤܣ é

a) – 8 b) 15 c) 0 d) – 13 e) 9

3) O módulo do vetor (4, -2) é igual a

a) 5 b) 2 c) 4 d) 2√3 e) 2√5

4) Dados =ሬݑ (3,−1) =ݒ (1,4), o módulo do vetor soma +ሬݑ ݒ é igual a

a) √27 b) 4 c) 5 d) 3√5 e) √10 + √17

5) O vetor ሬሬ= ቀ ,ଵ

ଷቁé um vetor unitário se a =

a) ±ଶ

ଷb) ±2√2/3 c) ±

ଵ

ଷd) ±√3 e) n r a

6) Um vetor unitário na direção da bissetriz do 1º e 3º quadrante é

a) ½ (1, 1) b) (1, 1) c) √2)(1, 1) d)√ଶ

ଶ(1,1) e) n r a

7) A distância do ponto P( 8, -6) à origem do sistema cartesiano é

a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) n r a

8) Os pontos A(1, 1), B(-2, 3) e C(3, -2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro é

a) 2√13 + 5√2 b) √2 + √3 + √17 c) 2(√13 + √5) d) √102

9) Os pontos A(1, 0), B(0, 1) e C(2, 2) são os vértices de um triângulo

a) eqüilátero b) retângulo c) isósceles, mas não retângulo

d) escaleno e) n r a

10) Dado o triângulo de vértices A(0, 0(, B(5, -3) e C(3, -3), a medida da mediana relativa ao vértice A é

a) 5 b) 4 c) √17 d) √20

11) Na figura temos A = (2, 3), A’= (6, 9), AB ∥ A’B’. Se หܤܣሬሬሬሬሬห= 3,5 , então ቚܤ'ܣ'ሬሬሬሬሬሬሬሬቚ=

a) 7 b) 9 c) 10,5 d) 12

e) n r a

12) O ponto (x, 2x) é eqüidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para x =

a) -2 b) – 5/2 c) -3 d) 0 e) 7/2

13) Um vetor paralelo ao vetor (4, -2) é

a) (6, -4) b) (-2, 1) c) -2, 4) d) (1, ½)


14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é

a) (1, 2) b) (12, 6) c) (1, -2)

15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =

a) 3 b) 3,5 c) 4,5

16) Dados A(1, 0), B(2, 3) e C(5, y), os vetores

a) -4/3 b) 4/3 c) ¾

17) Dados =ሬݑ (3,0) =ݒ (2,2), os vetores

a) 0 b) -1 c) ¾

18) Os pontos A(1, 1), B(4, 6) e C(6, -2) são os vértices de um triângulo

a) retângulo em A b) retângulo em B

d) isósceles, mas não retângulo

19) Se =ሬݑ (ଵ

ଶ,ଵ

ଷ) =ݒ (

ଵ

ଶ,ଶ

ଷ), então a ângulo formado pelos vetores

a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º

20) O seno do ângulo formado pelos vetores

a) ½ b) 0 c) √3/2

21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é

a) necessariamente 1b) necessariamente 0

d) a tangente do ângulo formado por eles

22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é

a) superior a 2 b) ඥ2 + √

23) Num triângulo equilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares

respectivamente

a) 9/2 e -9/2 b) 9/2 e 9/2

24) Os pontos (1, 1), (a, b) e (a2, b2) são colineares se e somente se

a) a = 1 b) a = b

e) a ≠ b ≠ 1 ≠a

25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se

a) a = 0 b) a ≠ 1 e a ≠ -1

26) A( -1, -5), B(1, 3) e C(7, -5) são os

a) 16 b) 64

27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a,

pontos médios dos lados do triângulo ABC é

a) a/2 b) 2a²

28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5,

a) x = 5/3 ou x = 11/2 b) x = 2 ou x = 11/2

ou x = 17/3 d) x = 5/3 ou x = 13/3

29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa

e B(2, 3), então temos necessariamente

a) 2x – y = 1 b) x + y = 3

d ) x – y = 5 e) x + y = 5

14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é

d) (-12, 6)

15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =

d) -8/7

), B(2, 3) e C(5, y), os vetores ሬሬሬሬሬܤܣሬሬሬሬሬሬܥܣ são ortogonais se y =

d) -3/4

, os vetores ݒ e +ሬݑ ݒ (k real) são ortogonais se k =

d) -3/4

2) são os vértices de um triângulo

b) retângulo em B c) retângulo em C

e) eqüilátero

, então a ângulo formado pelos vetores +ሬݑ ݒ e −ሬݑ2

5º c) 60º d) 120º

20) O seno do ângulo formado pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣሬሬሬሬሬሬܥܤ sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a

d) 1

21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é

b) necessariamente 0c) o cosseno do ângulo formado por eles

d) a tangente do ângulo formado por eles


√3 c) √2 d) √3

ilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ሬሬሬሬሬܤܣ.ሬሬሬሬሬሬܥܣ

c)ଽ√ଷ

ଶଽ√ଷ

ଶd) -9/2 e 9/2

) são colineares se e somente se

c) a = 1, b = 1 e a = bd) a = 1 ou b = 1 ou a = b

25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se

c) a ≠ 0 e a ≠ 3 d) a = 2 ou a = 4

5) são os vértices de um triângulo cuja área é

c) 56 d) 32

27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, -a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os

pontos médios dos lados do triângulo ABC é

c) a² d) a²/2 e) a²/4

28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, -

b) x = 2 ou x = 11/2 c) x = 2

d) x = 5/3 ou x = 13/3

29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa por A(1, 4)

e B(2, 3), então temos necessariamente

c) x – y = -3

e) x + y = 5

(k real) são ortogonais se k =

ݒ é

, sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a

c) o cosseno do ângulo formado por eles


ܤܣ e ሬሬሬሬሬܤܣ.ሬሬሬሬሬሬܥܤ valem

d) a = 1 ou b = 1 ou a = b

d) a = 2 ou a = 4

a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os

-1) e C(6, 3) se


30) Se a área hachurada na figura é igual a 16, então a vale

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) n r a

31) Dados os vetores =ሬݑ (2, 4,−1) =ݒ (0, 1, ,ℝଷ(3 o vetor ሬሬݓ que satisfaz a equação +ሬሬݓ3 ==ሬݑ +ሬሬݓ ݒ2

é

a) (2, 5, 2) b) (1, -1, 7/2 ) c) (1, 3, 5/2) d) (2, 3, -4) e) (6, 14, 0)

32) Dados A(1, 0, 1), B(2, 3, -1) e C(x, y, z), se ሬሬሬሬሬܥܣ = ,ሬሬሬሬሬܤܣ3 então, podemos concluir que x + y + z =

a) 18 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10

33) Dados =ሬݑ (1, 2,−1), =ݒ (3, 2,1) ሬሬݓ = (4, 0, 5), o produto escalar dos vetores +ሬݑ2 ݒ3 +ݒ−−ሬݑ ሬሬݓ2 é

a) 118 b) 128 c) 108 d) 8 e) n r a

34) Dados =ሬݑ (1, 0, 0), =ݒ (1,1,0) ሬሬݓ = (1, 1, 1),o vetor .ሬݑ) −ሬሬݓ(ݒ ሬéݑ(ሬሬݓ.ݒ) igual a

a) (1, 1, -1) b) (1, -1, 1) c) (-1, 1, 1) d) (-1, -1, 1) e) (1, -1, -1)

35) Qual dos vetores seguintes é um vetor unitário?

a) (1, 1, 1) b) (1/3, 1/3, 1/3) c) (1/2, -1/2, 0) d) (0, 1, -1) e) (8/9, 1/9, 4/9)

36) Se o vetor (4, 12, k) tem módulo 13, k pode ser

a) -3 b) 1 c) -10 d) 5

37) A medida do ângulo interno A do triângulo ABC, A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 2) e C = (1, 3, 3) é

a) 45º b) 60º c) 30º d) 90º e) 120º

38) Se for verdadeira a igualdade .ሬݑ| |ݒ = .|ሬݑ| |ݒ| podemos concluir que os vetores

a) são ortogonais b) são paralelos e de mesmo sentido c) são paralelos e de sentidos opostos

d) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos

e) não são paralelos, nem ortogonais

39) Um vetor paralelo ao vetor (8, 0, 2) é

a) (16, 0, 8) b) (4, 0, 4) c) (-16, 0, 4) d) (2, 0, ½)

40) Se os vetores (2, -1, 5) e (8, a, b) são paralelos, podemos concluir que a + b vale

a) 16 b) 20 c) 24 d) 4

41) Os vetores (1, 1, k) e (k, -1, 1) são ortogonais se k =

a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2

42) Os pontos A(0, 1, 0), B(k, 1, 1) e C(k, k, -1) são os vértices de um triângulo retângulo em A se k=

a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2

43) Os pontos A(1, -1, 3), B(2, 1, 7) e C(4, 2, 6) são

a) os vértices de um triângulo retângulo b) os vértices de um triângulo eqüilátero

c) os vértices de um triângulo isósceles e não retângulo

d) são colineares

44) Se o ponto P(x, y, z) pertence ao plano yz e eqüidista dos pontos A(1, 1, 0) e B(-1, 0, 1), podemos

concluir que

a) x = y = z b) x = 0 e y = z c) y = 0 e x = z d) x = 0 e y + z = 0


GABARITO:

1) A 32) D

2) E 33) E

3) E 34) C

4) C 35) E

5) B 36) A

6) D 37) D

7) C 38) D

8) A 39) D

9) C 40) A

10) A 41) C

11) C 42) A

12) A 43) A

13) B 44) B

14) D

15) B

16) A

17) D

18) A

19) B

20) D

21) C

22) B

23) A

24) D

25) B

26) D

27) E

28) A

29) E

30) B

31) B




Lista de exercícios nº 7 – Vetores – Produto Escalar.

1) Dados os vetores ሬݑ = (1, a, -2a - 1), ݒ = (a, a -1,1) e ሬሬݓ = (a, -1, 1), determinar a de modo que .ሬݑ ݒ = ሬݑ) +

(ݒ . .ሬሬݓ

2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar ݔ o vetor tal que ݔ2 - ሬሬሬሬሬܤܣ = ݔ + ሬሬሬሬሬܥܤ)+ . ሬሬሬሬሬܤܣ )

.ሬሬሬሬሬܥܣ

3) Determinar o vetor ݒ , sabendo que (3, 7, 1) + ݒ2 = (6, 10, 4) - ݒ .

4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor ሬሬሬሬሬܣܤ3 .ሬሬሬሬሬܥܤ2-

5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: ,ሬ=(1ݑ 1, 1) e1 2 1

, ,6 6 6

v

6) Determinar o valor de n para que o vetor ݒ = (n, -4/5 , 2/5) seja unitário.

7) Seja o vetor ݒ = (m + 7) ଓ+ (m + 2) ଔ+ 5ሬ. Calcular m para que I ݒ I = 38 .

8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que 7v

, sendo =ݒ

mܥܣሬሬሬሬሬ + ሬሬሬሬሬܥܤ .

9) Dados os pontos A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determinar m de modo que IܤܣሬሬሬሬሬI= 35 .

10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).

11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1).

12) Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.

13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto

escalar dos vetores ሬሬሬሬሬܤܣ e .ሬሬሬሬሬܥܣ

14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular .ሬሬሬሬሬܤܣ +ሬሬሬሬሬܥܣ .ሬሬሬሬሬܣܤ+ ሬሬሬሬሬܥܤ +

.ሬሬሬሬሬܤܥ.ሬሬሬሬሬܣܥ

15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).

16) Sabendo que o ângulo entre os vetores ሬݑ = (2,1, -1) e ݒ =(1, -1, m + 2) é3

determinar m.

17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores ,ሬ=(1ݑ n, 2) e ଔ.

18) Dados os vetores = (2, 1, ), ሬ= ( + 2, -5, 2) e = (2 , 8, ), determinar o valor de para que o

vetor + ሬ seja ortogonal ao vetor - .

19) Determinar o vetor ,ݒ paralelo ao vetor =ሬݑ (1, -1, 2), tal que ݒ . ሬݑ =-18.

20) Determinar o vetor ݒ ortogonal ao vetor ሬݑ = (2, -3, -12) e colinear ao vetor ሬሬݓ = (-6,4,-2).

21) Determinar o vetor ݒ , colinear ao vetor ሬݑ = (-4, 2, 6), tal que .ݒ ሬሬݓ = -12, sendo ሬሬݓ = (-1, 4, 2).

22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.

23) Qual o valor de a para que os vetores a = ଓ+ 5ଔ- 4ሬe b = ( + 1) ଓ+ 2ଔ+ 4ሬsejam ortogonais?

24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).

25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar.

26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e y. Determinar y.

27) Determinar o vetor v, sabendo que I ݒ I = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ݒ . ሬሬݓ = 6 e .ሬሬ=2ଔ+3ሬݓ


28) Sabe-se que I ݒ I = 2, cos = 1/2 e cos = - 1/4 . Determinar ݒ .

29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor ݒ = (2, -1, 1).

30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ݒ = (1, -1, 2).

31) 0 vetor ݒ é ortogonal aos vetores ሬݑ =(2, -1, 3) e ሬሬݓ = (1, 0, -2) e forma ângulo agudo com o vetor ଔ

. Calcular ݒ , sabendo que I ݒ I = 3 6

32) Determinar o vetor ݒ , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ݒ . 1ݒ = 10 2.v v

=-5, sendo

1ݒ =(2,3,-1) e 2v

=(1,-1,2).

33) Determinar o vetor projeção do vetor ሬݑ = (1, 2, -3) na direção de ݒ =(2, 1, -2).

34) Qual o comprimento do vetor projeção de ሬݑ = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?

35) Se o vetor ሬሬሬሬሬܤܣ tem co-senos diretores p, q e r e ângulos diretores e, , quais são os co-senos e

os ângulos diretores de ?ሬሬሬሬሬܣܤ

36) Mostrar que se u e ݒ são vetores, tal que ሬݑ + ݒ é ortogonal a ሬݑ - ,ݒ então l ሬݑ I = l ݒ I

37) Mostrar que, se u é ortogonal a ݒ e ,ሬሬݓ ሬݑ é também ortogonal a ݒ + .ሬሬݓ

38) Calcular o módulo dos vetores ሬݑ + ݒ e ሬݑ - ,ݒ sabendo que I ሬݑ I = 4, I ݒ I= 3 e o ângulo entre ሬݑ e ݒ é de

60°.

39) Sabendo que I ሬݑ I = 2, I ݒ I =3 e que ሬݑ e ݒ formam um angulo de4

3, determinar I ሬݑ2) - (ݒ . ሬݑ) - I(ݒ2 .

40) Determinar .ሬݑ +ݒ .ሬݑ +ሬሬݓ .ݒ ,ሬሬݓ sabendo que +ሬݑ +ݒ =ሬሬݓ 0, I ሬݑ I= 2, I ݒ I= 3 , 5w

41) 0 vetor ݒ é ortogonal aos vetores = (1, 2, 0) e ሬ = (1, 4, 3) e forma ângulo um agudo com o eixo dos x.

Determinar ݒ , sabendo que I ݒ I = 14.

Respostas dos Problemas Propostos:

1. a = 2

2. (-17, -13, -15)

3. (1, 1, 1)

4. (7/9, 4/9, 4/9)

5. éݒ unitário

6. ±√ହ

ହ

7. −4 −ݑ 5

8. 3 13/5−ݑ

9. −3 ou -1

10. 2(√11 + √3)

11. (1, 0, 0)

12. 45º

13. 50

14. 169

15. =መܣ ݎ cosଵ

ଷ√ଶ=ܤ ݎ cos

ଶ√

ଽ=መܥ ݎ cos

ଶ

√ସଶ

16. m = - 4

17. ±√15

18. 3 −ݑ 6


19. (-3, 3, -6)

20. t . (3, -2, 1)

21. (2, -1, -3)

22. ሬሬሬሬሬܥܤ.ሬሬሬሬሬܣܤ = 0

23. – 3 ou 2

24. መܣ

25. não

26. 60º ou 120º

27. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0)

28. =ݒ ቀ1,−ଵ

ଶ, ±

√ଵଵ

ଶቁ

29. Um deles é ቀ0,ଵ

√ଶ,ଵ

√ଶቁ

30. ቀ±ହ

√,∓

ହ

√, ±10/√6ቁ

31. (2, 7,1)

32. (−1,4,0)

33.ଵ

ଽ(2,1,−1)

34. 3

35. –p, -q e –r ou π – α , π – β e π – γ

38. √37 √13

39. 26 + 15√2

40. – 9

41. (12, -6, 4)




Lista de exercícios nº 8 – Vetores – Produto Vetorial e Produto Misto .

1) Dados os vetores ሬݑ = (2, -1, 1), ݒ = (1, -1, 0) e ሬሬݓ = (-1, 2, 2), calcular:

) ×ሬሬݓ ݒ ) ×ݒ −ሬሬݓ) (ሬݑ +ሬݑ)( ×ሬሬሬሬ(ݒ −ሬݑ) (ݒ )(2 (ሬݑ × (ݒ3) ×ሬݑ)( .ሬሬሬሬ(ݒ ×ሬݑ) (ݒ ) ×ሬݑ)

.ሬݑሬሬݓ.ሬሬሬሬ(ݒ ×ݒ) (ሬሬݓ ) ×ሬݑ) ×ሬሬሬሬ(ݒ ×ሬݑሬሬݓ ×ݒ) (ሬሬݓ ℎ) +ሬݑ) .(ݒ ×ሬݑ) (ሬሬݓ

2 ) Dados os vetores = (1, 2, 1) e ሬ= (2, 1, 0), calcular:

) 2× (+ ሬ) ) (+ 2 ሬ) × (− 2 ሬ)

3) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ሬሬሬሬሬܤܥ x ሬሬሬሬሬܥܤ) - 2 .(ሬሬሬሬሬܣܥ

4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 + ሬ e ሬ - , sendo = (3, -1, -2)

e ሬ= (1, 0, -3).

5) Dados os vetores = (1, -1, 2), ሬ = (3, 4, -2) e = (-5, 1, -4), mostrar que . ( ሬ x ) =

( x ሬ) . .

6) Determinar o valor de m para que o vetor ሬሬݓ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores 1ݒ=(2,-

1,0) e 2ݒ =(1,-3,-1).

7) Dados os vetores ݒ =

2,5,

cba e ሬሬݓ = (-3a, x, y), determinar x e y para que ݒ x .ሬሬ=0ݓ

8) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores iݒ = (1, 1, 0) e 2ݒ = (2, -1, 3).

Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.

9) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

)ଔ× 2ଓ ) 3ଓ× 2ሬ

10) Sabendo que I I= 3, I ሬ I= 2 e 45° é o ângulo entre e ሬ, calcular I x ሬ I.

11) Se lݑሬ x =Iݒ 3 3 , Iݑሬ I = 3 e 60° é o ângulo entre ሬݑ e ,ݒ determinar I ݒ I.

12) Dados os vetores = (3, 4, 2) e ሬ =(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo

ortogonal aos vetores 2 - ሬe + ሬ.

13) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ሬݑ = (3; 1, 2) e ݒ = (4, -1, 0).

14) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1, -2, 3), B(4, 3,-1), C(5, 7, -3) e D(2, 2, 1) é um

paralelogramo e calcular sua área.

15) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores ሬݑ2 e - ݒ , sendo ሬݑ = (2, -1,

0) e ݒ = (1, -3, 2).

16) Calcular a área do triângulo de vértices

a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)

c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2) d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1)

17) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades

B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2).

18) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1,), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de área2

29.

19) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao

lado BC.


20) Determinar ݒ tal que ݒ seja ortogonal ao eixo dos y e ݒ = ݒ x ,ሬሬݓ sendo =ሬݑ (1, 1, -1) e ሬሬݓ = (2,-1, 1).

21) Dados os vetores ሬݑ =(0, 1, -1), ݒ =(2, -2, -2) e ሬሬݓ =(1, -1, 2), determinar o vetor ,ݔ paralelo a ,ሬሬݓ que

satisfaz à condição: x u v

.

22) Dados os vetores ሬݑ = (2, 1, 0) e ݒ = (3, -6, 9), determinar o vetor ݔ que satisfaz a relação =ݒ ×ሬݑ eݔ que

seja ortogonal ao vetor ሬሬݓ = (1, -2, 3).

23) Demonstrar que x ሬ= ሬx = x , sabendo que + ሬ+ = 0.

24) Sendo ሬݑ e ݒ vetores do espaço, com 0v

:

a) determinar o número real r tal que ሬݑ - rݒ seja ortogonal a ;ݒ

b) mostrar que ሬݑ) + (ݒ x ሬݑ) - (ݒ = ݒ2 x ሬݑ .

25) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é

paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.

26) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

a) ሬݑ =(3, -1, 2), ݒ =(1, 2, 1) e ሬሬ=(-2,3,4)ݓ b) ሬݑ =(2, -1, 0), ݒ =(3, 1, 2) e ,ሬሬ=(7ݓ -1, 2)

27) Verificar se são coplanares os pontos:

a) A(1, 1, 1), B(-2,-1,-3), C(0, 2,-2) e D(-1, 0, -2) b) A(1,0,2), B(-1, 0, 3), C(2,4,1) e D(-1, -2, 2)

c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1)

28) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares?

29) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:

a) =(2,-1,k), ሬ=(1,0,2) e =(k,3,k)b) =(2, 1, 0), ሬ=(1, 1,-3) e =(k, 1,-k)

c) =(2, k, 1), ሬ=(1, 2, k) e =(3, 0, -3)

30) Sejam os vetores ሬݑ =(1,1,0), ݒ = (2, 0,1), ሬሬ1ݓ ሬݑ3= ,ݒ2- ሬሬ2ݓ = ሬݑ ݒ3+ e ሬሬ3ݓ =ଓ+ଔ-2ሬ. Determinar o volume do

paralelepípedo definido por ,ሬሬ1ݓ ሬሬ2ݓ e .ሬሬ3ݓ

31) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 1ݒ = 2ଓ-ଔ, 2ݒ =

6ଓ+mଔ-2ሬe 3ݒ = - 4ଓ+ሬseja igual a 10.

32) Os vetores =(2, -1, -3), ሬ =(-1, 1, -4) e =(m+ 1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42.

Calcular m.

33) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de

20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ,ሬሬሬሬሬܤܣ ሬሬሬሬሬܥܣ e .ሬሬሬሬሬܦܣ

34) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:

a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 1) e D(4,2,7)

b) A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Para este, calcular também a medida da altura traçada do

vértice A.

GABARITO:

1) a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) (4, -1, 3) e (1, -4, -6)

h) 1

2) a) (-2, 4, -6) b) (4, -8, 12)

3) (12, -8, -12)

4) x (3, 7, 1)

5) . ( ሬ x ) = ( x ሬ) . = 10

6) – 5

7) x = -15 b , y = 3/2 c


8) Duas soluções para cada caso: ቀଵ

√ଷ,−

ଵ

√ଷ,−1/√3ቁou ቀ−

ଵ

√ଷ,ଵ

√ଷ,ଵ

√ଷቁ5ቀ

ଵ

√ଷ,−

ଵ

√ଷ,−

ଵ

√ଷቁ −5ቀݑ

ଵ

√ଷ,ଵ

√ଷ,ଵ

√ଷቁ

10) 3

11) 2

12) ቀ

√ଷ,ଷ

√ଷ,−15/√30ቁ

13) √117

14) √89

15) 6√5

16) a) √6 b) 7/2 c) 9√2/2 d) 2√6

17) √74

18) 3 ou 1/5

19) 3√35/7

20) (1, 0, 1)

21) (-2, 2, -4)

22) (2y – 9, y, 3)

24) a) =ݎ .ሬݑ) ଶ|ݒ|/(ݒ

26) a) não b) sim

27) a) sim b) não c) sim

28) m = 4

29) a) 6 b) 3/2 c) 2 ou -3

30) 44 uv

31) 6 ou -4

32) 2 ou -8/3

33) 6 ou 2

34) a) 2 b) 4 e 8/√10




Lista de exercícios nº 9.

1) Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta

:ݎ−ݔ 3

−1=+ݕ 1

2=

2 − ݖ

2

2) Determinar o ponto da reta ൝:ݎ=ݔ 2 − ݐ=ݕ 3 + ݐ=ݖ 1 − ݐ2

�que tem abscissa 4.

3) Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta ൝:ݎ=ݔ 1 − ݐ2=ݕ −3 − ݐ=ݖ −4 + ݐ

�

4) Determinar os pontos da retaݎ:௫ଷ

ଶ=

௬ାଵ

ଵ=

௭

ଶque têm: (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1

5) 0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.

6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, -3) e

tem a direção do vetor kjiv

542 .

7) Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de

pontos: a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1) b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3)

8) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos

pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).

9) Mostrar que os pontos A (-1, 4, -3), B (2, 1, 3) e C (4, -1, 7) são colineares.

10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(l, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à

mesma reta?

11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

) ቊ௫ାଵ

ଷ=

௭ ଷ

ସ

=ݕ 1� ) ቄ

=ݕ 3=ݖ −1

�

) ቄ=ݔ ݕ2=ݖ 3

� ) ቄ=ݕ ݔ−=ݖ 3 + ݔ

�

) ൝=ݔ ݐ2=ݕ −1=ݖ 2 − ݐ

� ) =ݔ =ݕ ݖ

12) Determinar as equações das seguintes retas:

a) reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x;

b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z;

c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;

d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i - j ;

e) reta que passa pelos pontos M(2, -.3, 4) e N(2, -1, 3).

Respostas:

1) Apenas P1 2) (4, 1, 5) 3) m = -2, n = -5 4) (5, -2, -2), (-7, 4, 10), (2, -1/2, 1)

5) P(2, 1, 9) 6) y = 2x – 8 e z = 5/2 x – 13 7) a) ቊ=ݕ

௫

ଶ−

ହ

ଶ

=ݖ +ݔ2− 5

� b) ቄ=ݕ +ݔ− 1=ݖ 3

�

8) x = ½ z – 5/2 e y = ½ z – 3/2 10) m = -5

12) ) ቄ=ݕ −2=ݖ 4

� ) ቄ=ݔ 3=ݖ 1

� ) ൜=ݔ 2=ݕ 3

� ) ൜=ݖ 2=ݔ +ݕ− 3

� ) ቊ=ݔ 2

௬ାଵ

ଶ=

௭ ଷ

ଵ

�




Lista de exercícios nº 10 .

1) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

) :ݎ ൝=ݔ −2 − ݐ2=ݕ ݐ2

=ݖ 3 − ݐ4

� :ݏ௫

ସ=

௬ା

ଶ=

௭ ଵ

ଶ) :ݎ ቄ

=ݕ −ݔ2− 1=ݖ +ݔ 2

:ݏ௬

ଷ=

௭ାଵ

ଷ=ݔ, 2 �

) :ݎ ൝=ݔ 1 + √2 ݐ

=ݕ ݐ=ݖ 5 − ݐ3

:ݏ ൜=ݔ 0=ݕ 0

�� ) :ݎ௫ସ

ଶ= =ݕ−

௭ ଵ

ଶ :ݏ ቊ

=ݔ 1௬ାଵ

ସ=

௭ ଶ

ଷ

�

2) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas

:ݎ−ݔ 2

4=+ݕ 4

5=ݖ

3 :ݏ ቄ

=ݕ +ݔ 5=ݖ −ݔ2 2

�

3) Calcular o valor de n para que seja de 30° o ângulo que a reta :ݎ ቄ=ݕ +ݔ 5=ݖ −ݔ2 3

� forma com o eixo dos y.

4) A reta :ݎ ൝=ݔ 1 + ݐ2=ݕ ݐ

=ݖ 3 − ݐ

� forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2)

e B(4, 0, m). Calcular o valor de m.

5) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:

) :ݎ ൝=ݔ ݐ3−=ݕ 3 + ݐ=ݖ 4

� :ݏ௫ାହ

=

௬ଵ

=ݖ; 6 ) :ݎ ൝

=ݔ 2 − ݐ3=ݕ 3=ݖ ݐ

� :ݏ௫ସ

=

௭ ଵ

ହ=ݕ; 7

6) A reta r passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela à reta :ݏ ൝=ݔ 2 + ݐ=ݕ ݐ3−=ݖ ݐ−

� .Se P(-3, m, n) r, determinar m

e n.

7) Quais as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 1, 0) e é paralela à reta

:ݎ+ݔ 1

1=ݕ

4= ?ݖ−

8) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,-

1,1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D.

9) A reta :ݎ ቄ=ݕ +ݔ 3=ݖ −ݔ 1

� é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m,

2m). Calcular o valor de m.

RESPOSTAS:

1) a) 60º b) 30º c) 30º d) ߠ = ݎ cosቀଶ

ଷቁ≅ 4811'

2) 7 ou 1

3) ± √15

4) – 4

5) a) -2 b) -5/2

6) m = 10 e n = 5

7) y = 4x + 9 e z = -x – 2

8) D(0, 1, 0) 9) 1 ou -3/2




Lista de exercícios nº 11 .

1) Seja o plano : 2 x - y+ 3 z+ 1=0 . Calcular:

a) 0 ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3;

b) 0 ponto de que tem abscissa 1 e cota 2;

c) 0 valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) pertença a ;

d) 0 ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.

Nos problemas 2 a 10, determinar a equação geral do plano

2) paralelo ao plano : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto A(4, -1, 2);

3) perpendicular à reta

1

32:

yz

yxr e que contém o ponto A(1, 2, 3);

4) mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0);

5) mediador do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1);

6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1);

7) paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1);

8) paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);

9) paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3);

10) perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).

Nos problemas 11 a 14, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:

11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1).

12) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).

13) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5).

14) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).

15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0, 3) sejam

coplanares.

Nos problemas de 16 a 19, determinar a equação geral do plano nos seguintes casos:

16) 0 plano passa pelo ponto A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores kjei

2

17) 0 plano passa pelos pontos A(-3, 1,-2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo ao vetor kiv

32

18) 0 plano contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano : 2x+y -z+ 8=0.

19) 0 plano contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 1 : 2x - y - 4z - 6 = 0 e 2 :x + y+ 2z -

3 =0.

RESPOSTAS:

1) a) (4, 3, -2) c) k = -2

b) (1, 9, 2) d) (0, -2, -1)

2) 2x - 3y - z - 9 = 0

3) 2 x + y - z - 1= 0

4) x + y - 3z + 8 = 0

5) 4x + 4y + 2z + 3 = 0

6) 3x+2y- 6=0


7) y - 2z + 4 = 0

8) x + 2z - 2 = 0

9) 9) z = 3

10) y = 4

11) 4x + 5y + 3z – 6 = 0

12) x – 2y = 0

13) x = 0

14) z = 3

15) a = -3

16) y + 2z + 4 = 0

17) 3x - 12y + 2z + 25 = 0

18) x – 12y – 10z – 5 = 0

19) 2x – 8y + 3z = 0


Documents

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO … · Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Vetor