CEQ 2ª prova.pdf

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JLIO DE

MESQUITA FILHO CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA

REA DE MATERIAIS E PROCESSOS

Segunda Prova

de

Controle Estatstico da Qualidade Maio de 2008

Professor: Dr. Daniel Yvan Martin Delforge

Alunos:

Alan Corra ............................................................ R.A. 200411552

Bruno Rodrigues de Sunti ...................................... R.A. 200524251

Fabrcio Fanton ....................................................... R.A. 200525511

Rafael Rodrigues dos Santos .................................. R.A. 200525481

Vincius Oliveira da Silva ... R.A. 200525541

Questo 01: Os dados exibidos aqui so valores de x e R para 24 amostras de

tamanho n=5 tiradas de um processo que produz mancais. As medidas so feitas no

dimetro interno dos mancais, registrando-se apenas as trs ltimas decimais (isto ,

34,5 representam 0,50345).

Amostra x R Amostra x R

1 34,5 3 13 35,4 8

2 34,2 4 14 34 6

3 31,6 4 15 37,1 5

4 31,5 4 16 34,9 7

5 35 5 17 33,5 4

6 34,1 6 18 31,7 3

7 32,6 4 19 34 8

8 33,8 3 20 35,1 4

9 34,8 7 21 33,7 3

10 33,6 8 22 32,8 1

11 31,9 3 23 33,5 3

12 38,6 9 24 34,2 2

(a) Construa grficos de mdia e da amplitude para esse processo. O processo parece estar sob controle estatstico? Se necessrio, revise os limites de controle;

(b) Se as especificaes para o dimetro so 0,5030 0,0010, encontre a percentagem de mancais no conformes produzidos por esse processo. Suponha

que o dimetro siga a distribuio de Gauss (distribuio normal).

Resoluo: Encontramos:

,

Por no conhecermos os valores de e do iremos estim-los.

Faremos: 34 x e , onde um fator de correo, tabelado em

funo do tamanho da amostra. A estimativa do foi feita pelos valores de R,

por se tratar de amostras com n=5. Assim, da tbua 2, temos A2=0,577 e

d2=2,326.

Grfico da mdia:

Calculamos o valor de LSC e LIC por:

Obs: - Seu valor tambm tabelado em funo da amostra.

Obtivemos o grfico da fig.1

Figura 1: Grfico da mdia

Por encontrarmos dois pontos alem da linha de controle teremos de refazer as

contas, excludo as amostras que esto fora da regio I.

A seguir os valores encontrados foram:

33,65 e 54,4R

LSC= 36,27

LIC= 31,03

Figura 2: Grfico da mdia

Como os valores das mdias esto todos na regio I, a carta aceita. Nossa carta

de controle assim a seguinte:

Grfico da amplitude:

Utilizaremos primeiro os valores de , que da amostra original. Da

tabua 2 temos que D3=0 e D4=2,115.

75,4 RLM

Assim o grfico fica:

Fig.3 Grfico da amplitude

Refazendo os clculos para a nova mdia teremos,excluindo as amostras 12 e 15:

Fig.4 Grfico da amplitude

Questo 02: Um fornecedor de energia de alta voltagem deve ter uma voltagem

nominal de sada de 350 volts. Uma amostra de quatro unidades selecionada todos os

dias e testada, com o propsito de se controlar o processo. Os dados mostram a

diferena, multiplicada por 10, entre a leitura observada em cada unidade e a voltagem

nominal; isto :

Xi = (voltagem observada na unidade i 350)10

Amostra X1 X2 X3 X4 Amostra X1 X2 X3 X4 1 6 9 10 15 11 8 12 14 16

2 10 4 6 11 12 6 13 9 11

3 7 8 10 5 13 16 9 13 15

4 8 9 6 13 14 7 13 10 12

5 9 10 7 13 15 11 7 10 16

6 12 11 10 9 16 15 10 11 14

7 16 10 8 4 17 9 8 12 10

8 7 5 10 12 18 15 7 10 11

9 9 7 8 13 19 8 6 9 12

10 15 16 10 16 20 14 15 12 16

(a) Construa grficos da mdia e da amplitude para esse processo. O processo est sob controle estatstico?

Resoluo:

45,10x e 65,2R . Da tbua 2, para n=4, temos: A2=0,729.

Grfico da Mdia

45,10 xLM

38,122 RAxLSC

52,82 RAxLIC


Temos que 65,2R . Da tabua 2 temos que D3=0 e D4=2,282, para n=4.

65,2 RLM

0.3 RDLIC

05,6.4 RDLSC

Como pode ser observado os pontos no esto todos dentro da regio I, o que

nos indica que o processo no se manteve sob controle.

(b) Se as especificaes so 350V 5V, o que voc pode dizer sobre a capacidade do processo?

Resposta: Para esta especificao o processo esta sob controle, uma vez que ao

observarmos o grfico da mdia notamos que a distancia dos 350 V gira em torno de 3501,6 V.

(c) H alguma evidncia que suporte a afirmao de que a voltagem normalmente distribuda?

Resposta: O prprio comportamento do grfico da mdia nos garante isso.

Questo 03: Grficos de controle de X e de S devem ser mantidos para as leituras de

torque de rolamentos utilizados na montagem do atuador de flap das asas de aeronaves.

Amostras de tamanho n = 10 devem ser inspecionadas e sabe-se que quando o processo

est sob controle, o torque do rolamento tem distribuio normal com mdia = 80 polegadas.libra e desvio padro = 10 polegadas.libra. Encontre a linha mdia (LM) e os limites superior (LSC) e inferior (LIC) de controle para esses grficos de controle.

Resoluo:

e

Da tbua 2 temos que d2=3,078 e A2=0,308, para n=10. Assim,

78,30R

- Seu valor tambm tabelado em funo da amostra.

Questo 04: Amostras de n = 6 itens so retiradas da linha de fabricao de bicos de

injeo de combustvel de motores da Honda do Brasil. Uma caracterstica da qualidade,

normalmente distribuda, medida, e, valores de X e de S so calculados para cada

amostra. Depois de 50 subgrupos serem analisados, obtm-se:

50

1

50

1

75100i i

Siex

(a) Calcule os limites de controle para os grficos de controle de X e S;

Resoluo:

Dos dados temos que:

2x e 5,1s

Por no conhecermos os valores de e do iremos estim-los.

Faremos: 2 x e , onde um fator de correo, tabelado em

funo do tamanho da amostra, no caso n=6 e c2=0,8686, da tabua 2, assim

723,1 .

Grfico da mdia:

Da tbua 2, temos que A1=1,410 para n=6, calculamos o valor de LSC e LIC

por:

115,4.1 sAxLSC

0)(.1 negativosAxLIC

Obs: - Seu valor tambm tabelado em funo da amostra.

Grfico de :

Da tbua 2, para n=6, temos B1=0,026 e B2=1,711, assim:

495,1723,1.8686,02 cLM

045,0723,1.026,01 BLIC

948,2723,1.711,12 BLSC

(b) Suponha que todos os pontos em ambos os grficos caiam entre os limites de controle. Quais so os limites naturais de controle do processo?

Resposta: Neste caso os limites seriam os mesmos calculados acima.

(c) Se os limites de especificao so 19 4,0, quais so as concluses com relao habilitao do processo em produzir itens de acordo com essas especificaes?

(d) Supondo que, se um item excede o limite superior de especificao ele pode ser retrabalhado e se ele est abaixo do limite inferior de especificao ele tem que

ser sucatado. Qual a percentagem de sucata e de retrabalho que o processo est

produzindo?

(e) Se o processo estivesse centrado em = 19,0 qual seria o efeito sobre as percentagens de sucata e de retrabalho?

Questo 05: Considere os grficos X e R construdos no exerccio 01, usando n = 5.

(a) Suponha que voc queria continuar plotando essa caracterstica da qualidade,

usando grficos de X e R baseado em um tamanho de amostra n = 3. Quais limites deveriam ser usados nesses grficos?

,

Grfico da mdia:

Temos, da tbua 2, que para n=3, A2=1,023, assim calculamos o valor de LSC e

LIC por:

34 xLM


Da tbua 2, para n=3, temos D3=0 e D4=2,575, assim:

(b) Qual seria o impacto da deciso tomada em (a) sobre a habilidade do grfico

X em detectar um deslocamento de 2 na mdia? Resposta: Um deslocamento de 2 na mdia representa um valor de 2,35, valor este que identificado como normal em ambos os casos, assim no surtiria

efeito para esta diferena.

(c) Suponha que voc queira continuar plotando essa caracterstica da qualidade,

usando grficos de X e R baseado em um tamanho de amostra n= 8. Quais limites deveriam ser usados nesses grficos?

,

Grfico da mdia:

Temos, da tbua 2, que para n=8, A2=0,373, assim calculamos o valor de LSC e

LIC por:

34 xLM


Da tbua 2, para n=8, temos D3=0,136 e D4=1,864, assim:

646,075,4.136,0.3 RDLIC

854,875,4.864,1.4 RDLSC

(d) Qual seria o impacto da deciso tomada em (c) sobre a habilidade do grfico X em detectar um deslocamento de 2 na mdia? Resposta: Neste caso seu impacto seria visvel, uma vez que para estes valores

que antes estavam na regio I, no mais estaro para este grfico.

Questo 06: Duas peas, do sistema eixo/furo, so montadas conforme a figura abaixo.

Suponha que as dimenses x e y sejam normalmente distribudas com mdias x e y e desvios padro x e y, respectivamente. As peas so produzidas em mquinas diferentes e so montadas aleatoriamente. Grficos de controle devem ser mantidos

sobre cada dimenso para a amplitude de cada amostra com n = 5. Ambos os grficos da

amplitude esto sob controle.

(a) Para 20 amostras no grfico da amplitude controlando x e 10 amostras no grfico da amplitude controlando y, tem-se que:

20

1

10

1

978,6608,18i i

yixi ReR

Faa uma estimativa de x e y.

Resoluo: Uma boa estimativa fazer , sendo d2=2,326, para n=5, na tabua

2, assim:

4,0326,2

9304,0x

3,0326,2

6978,0y

(b) Se a probabilidade de uma folga (isto x - y) menor do que 0,09 deve ser 0,006, que distncia entre as dimenses mdias (isto x y) deve ser especificada?

Questo 07: Numa fbrica que produz correias de transmisso de borracha em lotes de

2500 unidades, os registros de inspeo dos ltimos 20 lotes, mostram os seguintes

dados:

Lote

Nmero de correias no-

conformes Lote

Nmero de correias no-

conformes

1 230 11 456

2 435 12 394

3 221 13 285

4 346 14 331

5 230 15 198

6 327 16 414

7 285 17 131

8 311 18 269

9 342 19 221

10 308 20 407

(a) Calcule limites de controle tentativos para um grfico de controle para a frao no conforme;

Resoluo: Com os dados da tabela encontramos os valores de:

0,1228220.2500

...221435230

p

1425,02500

)123,01(123,03123,0

)1(3

n

pppLSC

1225,02500

)123,01(123,03123,0

)1(3

n

pppLIC

(b) Se voc desejasse estabelecer um grfico de controle para controlar a produo futura, como usaria esses dados para obter a linha central e os limites de controle

para o grfico?

Resoluo: Utilizaria os limites encontrados para traar o grfico.

Questo 08: Uma fbrica de tecidos deseja estabelecer um procedimento de controle

para falhas na produo dos tecidos de linho que fabrica. Com uma unidade de inspeo

de 50 unidades, inspees passadas evidenciaram que 100 unidades de inspeo

anteriores tiveram um total de 850 falhas. Supondo que voc seja um consultor em

controle estatstico de processos, pergunta-se: que tipo de grfico de controle voc

recomendaria? Planeje o grfico de controle com limites de controle bilateral de = 0,06, aproximadamente. D a linha mdia e os limites de controle.

Soluo: Como temos amostras de igual tamanho, podemos traar o grfico do nmero

de defeitos na amostra.

Linha central:

k

c

amostrasdenmero

amostrasastodasemdefeitosdetotalnmeroc

onde,

c = 850 k = 100.

Limites de controle:

ccLSC 3

ccLIC 3

Assim, a linha mdia ser:

50,8100

850c

E os limites de controle:

25,1750,8350,8 LSC

0)(50,8350,8 negativoLIC

Questo 09: Numa fbrica de engrenagens fabricadas pela metalurgia do p, foram

separadas 31 amostras contendo 20 itens cada. Na inspeo foi adotado o critrio

perfeito-defeituoso. Os resultados esto listados na seguinte tabela:

AMOSTRA d AMOSTRA d AMOSTRA d

1 2 12 0 23 0

2 3 13 2 24 1

3 2 14 3 25 1

4 5 15 0 26 0

5 7 16 2 27 0

6 2 17 0 28 1

7 0 18 1 29 5

8 1 19 0 30 2

9 0 20 0 31 0

10 1 21 0

11 0 22 1

Construir o grfico da frao defeituosa.

Soluo:

Nmero total de defeitos: 42; n = 20.

Frao defeituosa mdia: 0677,02031

42

p

2362,01685,00677,0)1(

3

n

pppLSC

0)(1685,00677,0)1(

3

negativon

pppLIC

Os valores das amostras 4, 5 e 29 esto fora dos limites de controle. Assim esses pontos

devero ser descartados, e os valores recalculados:

Nmero total de defeitos: 25; n = 20.

044643,02028

25

p

LSC = 0,18318

LIC = (negativo) =0

Assim, o grfico da frao defeituosa :

Questo 10: Um carregamento de 6500 cabeas de leitura ptica a laser foi dividido em

lotes de 130 peas cada um, e inspecionados, contra defeitos. Construir a Curva

Caracterstica de Operao (CCO) correspondente, para a = 2 e valores de P desde 1 at

15% em intervalos de 1,5%.

Resoluo: Temos 50 amostras com n=130 peas cada uma, uma frao defeituosa (P)

de 1% at 15%, em intervalos de 1,5% e um nmero de aceitao (a) igual a 2.

Para resolvermos o exerccio, sabemos que L(P) = F(x) e xnx

ax

a

QPx

naF

0

)( , onde Q

= 1- P, substituindo temos: xnx

ax

a

PPx

nxF

)1.()(

0

.

Para n = 130, P = 0.015 e x variando de 0 at 2, temos:

01300 )015,01(015,00

130)0(

F = 0,14019

11301 )015,01(015,01

130)1(

F = 0,27753

21302 )015,01(015,02

130)2(

F = 0,2726

Somando todos os resultados: F(2) = 0,69032 para um P=0,015


01300 )03,01(03,00

130)0(

F = 0,01907

11301 )03,01(03,01

130)1(

F = 0,07667

21302 )03,01(03,02

130)2(

F = 0,15294


Realizando o mesmo procedimento para P variando de 0,015 at 0,15 com intervalos de

0,015, obtemos a seguinte tabela:

P F(2)

0,015 0,69032

0,030 0,24868

0,045 0,06472

0,060 0,01395

0,075 0,002644

0,090 0,000454

0,105 0,0000718

0,120 0,0000106

0,135 0,00000146

0,150 0,0000001903

Logo obtemos a seguinte curva caracterstica de operao:

GRFICO

Questo 11: Refazer o exerccio da questo 10, para a = 3.

Resoluo: Temos 50 amostras com n = 130 peas cada uma, uma frao defeituosa (P)

de 1% at 15%, em intervalos de 1,5% e um nmero de aceitao (a) igual a 3.

Para resolvermos o exerccio, sabemos que L(P) = F(x) e xnx

ax

a

QPx

naF

0

)( , onde Q

= 1- P, substituindo temos: xnx

ax

a

PPx

nxF

)1.()(

0

.

Para n = 130, P = 0.015 e x variando de 0 at , temos:

01300 )015,01(015,00

130)0(

F = 0,14019

11301 )015,01(015,01

130)1(

F = 0,27753

21302 )015,01(015,02

130)2(

F = 0,2726

31303 )015,01(015,03

130)3(

F = 0,17712

Somando todos os resultados: F(3) =0,86744 para um P=0,015


01300 )03,01(03,00

130)0(

F = 0,01907

11301 )03,01(03,01

130)1(

F = 0,07667

21302 )03,01(03,02

130)2(

F = 0,15294

31303 )03,01(03,03

130)3(

F = 0,20182


Realizando o mesmo procedimento para P variando de 0,015 at 0,15 com intervalos de

0,015, obtemos a seguinte tabela:

P F(3)

0,015 0,86744

0,030 0,45050

0,045 0,15883

0,060 0,04382

0,075 0,01021

0,090 0,002093

0,105 0,000387

0,120 0,00006561

0,135 0,00001028

0,150 0,000001503

Logo obtemos a seguinte curva caracterstica de operao:

GRFICO

Questo 12: Construir a CCO correspondente inspeo de defeituosos (proporo);

amostragem simples, sem reposio, com n = 100. Para aceitao, admite-se que o

nmero de defeituosos seja no mximo igual a 4. Qual a probabilidade de aceitao para

p = 4% e para p = 10%?

Resoluo: Temos inspeo de defeituosos (proporo), amostragem simples, sem

reposio, n = 100, x variando de 0 at 4, assim temos:

xnxax

a

PPx

nxF

)1.()(

0

Calculando os valores, montamos a tabela a seguir:

P F(4)

0,01 0,996568

0,02 0,94917

0,03 0,817855

0,04 0,628864

0,05 0,435981

0,06 0,276775

0,07 0,163164

0,08 0,090337

0,09 0,047387

0,1 0,023711

O grfico CCO correspondente inspeo de defeituosos, com amostragem

simples, sem reposio e com n=100 :

GRFICO

L(P)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

P (%)

Para p=4% a probabilidade de aceitao de 62,88% e para p=10% a probabilidade de

aceitao de 2,37%.

Questo 13: Construir a CCO para a inspeo da proporo de defeituosos, amostragem

simples sem reposio, com n = 200, nas condies da questo 12. Compare a CCO

obtida com a desse exerccio.

Resoluo: Temos inspeo de defeituosos (proporo), amostragem simples, sem

reposio, n = 200, x variando de 0 at 4, assim temos:

xnx ppx

nxf

)1.()(

Calculando os valores, montamos a tabela a seguir:

P F(4)

0,01 0,948254

0,02 0,628844

0,03 0,28098

0,04 0,095018

0,05 0,026447

0,06 0,006377

0,07 0,001375

0,08 0,000271

0,09 4,94E-05

0,1 8,42E-06

O grfico CCO correspondente inspeo de defeituosos, com amostragem

simples, sem reposio e com n=200 :

GRFICO

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

P(%)

L(P

)

Para p=4% a probabilidade de aceitao de 9,5% e para p=10% a probabilidade de

aceitao de 8,42E-04%.

Questo 14: 20 amostras de cabo eltrico isolado, utilizado para a fiao industrial, de

325 ps cada uma, foram inspecionadas e a quantidade de defeitos de isolamento em

cada amostra foi: 1,8.

(a) Determinar os limites de controle de 3; (b) Calcular os limites de controle de modo que a probabilidade de um ponto se

localizar acima do LSC seja igual a 0,04.

Resoluo:

(a) Sendo u

j

j

n

c= 1,8

onde: jc o n total de defeito em todas as amostras

jn o n total de unidades em todas as amostras

uuLSC 3 825,5LSC

uuLIC 3 225,2LIC , mas no podemos adotar LIC negativo. Logo,

0LIC .

(b) P( X>LSC) = 0,04

Pela Tbua I na tabela de reas simtricas nas caudas, 054,22

z .

556,48,1

8,1054,2

x

xuxZ

Questo 15: Estabelea um plano de amostragem simples (pela distribuio de

Poisson), cuja CCO passe pelos pontos P1 = 0,04, com = 0,06; e P2= 0,02 com = 0,04.

Resoluo: O plano de amostragem simples pela distribuio de Poisson, tambm

conhecido como Lei dos eventos raros, mostra a ocorrncia de pequeno nmero de vezes sem periodicidade em grande nmero de repeties. Esse o caso de amostragem

(com ou sem reposio) em que f = n/N seja menor que 0,10, de partidas com baixa

frao de defeituosos, isto , com P menor que 10%.

Sendo o nvel de qualidade aceitvel P1 = 4%, o de qualidade inaceitvel P2 =

2%, o risco de consumidor = 4% necessrio utilizar amostras de mais de 90 peas para assegurar uma proteo dada pela probabilidade L(P2) = 0,06 de aceitar partidas de

qualidade inaceitvel. Logo, o tamanho da amostra (n) igual a 90 e o nmero de

Aceitao a igual a 5.

Questo 16: Numa fbrica de circuitos integrados a qualidade mdia resultante limite

(QMRL) 4,5%. Estabelea um plano de amostragem simples (Dodge & Roming), com

FTD = 6,0%, para partidas de 15000 peas. Se for realizada inspeo retificadora, qual a

QMRL correspondente ao plano escolhido?

Resoluo: Na tbua 6 do apndice para a inspeo retificadora, s temos uma mdia

do processo at 3,5%, logo temos de achar um valor aproximado para 4,5%. Com os

dados fornecidos no exerccio: mdia do processo = 3,5%, tamanho da partida = 15000

peas, no temos a QMRL obtemos um plano de amostragem simples com n = 470, a =

25 e QMRL = 3,7. Assim para uma mdia do processo

Questo 17: Pela norma ABC-STD-105, qual seria plano de inspeo comum, para

partidas de N = 25000 peas, com NQA = 8,5%, amostragem simples, nvel II?

Resoluo: Pela Tabela I (Tbua 5, Apndice), para n = 10001 a 35000, obtm-se a

letra M, para um nvel geral de inspeo II.

Como um NQA = 8,5% no existe na tabela II-A, temos de tirar uma mdia entre 6,5%

e 10% existentes na mesma tabela:

- Tabela II-A, com NQA = 6,5%, para cada uma dessas letras, encontram-se os demais

parmetros dos planos:

N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22

- Tabela II-A, com NQA = 10%, para cada uma dessas letras, encontram-se os demais

parmetros dos planos:

N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22

Portanto, como os parmetros a e r so iguais em ambos os casos, temos o seguinte

plano de inspeo comum, para NQA = 8,5% :

N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22

Questo 18: Qual o plano de inspeo, nas condies do exerccio da questo 17, se o

NQA for de 4,0%?

Resoluo: Pela Tabela I (Tbua 5, Apndice), para n = 3201 10000, obtm-se a letra

M, para um nvel geral de inspeo II.

Entrando-se na Tabela II-A, com NQA = 4,0%, para cada uma dessas letras, encontram-

se os demais parmetros dos planos:

N = 25000 Letra M n = 315 a = 21 r = 22

Onde a = nmero de aceitao e r = nmero de rejeio.

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