Ano VII - N.º 22 - Abril/Junho 2001 - Escola Secundária Jaime Moniz

“A Natureza está escrita emlinguagem matemática”

Galileu Galilei

Prémios Páginas 15 e 16

GG ee oo mm ee tt rr ii aa FF rr aa cc tt aa ll ee TTee oo rr ii aa dd oo CC aa oo ss

Páginas 7 a 10

Problemas, PPassatempos e CCuriosidades

Testes de GrupoA avaliação é sempre o lado mais de-

licado, menos alegre e mais exigente, paraquem avalia como para quem é avaliado.

Página 11

O CCaos ttem aa vver ccom aa ccom-plexidade ddo ccomportamento nnotempo ee oo FFractal ccom aa ccomplexi-dade nno eespaço, mmas rrepresentamdois aaspectos dda mmesma rrealidade.

Esta éé uuma mmatéria qque sseráintroduzida nno rreajustamento ddosprogramas eem 22002. Página 4

Sérgio Filipe, Aluno da E.S.J.M., T. 10.º 9, n.º 30

SSAANNTTOOSS

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Página 3

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2

Quem faz o Choque MateA 1.ª edição foi em 1988

SumárioVida e obra de Santos Guerreiro..............................................................................................................3Geometria Factal e Teoria do Caos..........................................................................................................4Programa “Geração De Números Aleatórios” para a calculadora gráfica Casio.................................6Problemas, Passatempos e Curiosidades..............................................................................................7Avaliação grupal.....................................................................................................................................13Agenda.....................................................................................................................................................14Soluções..................................................................................................................................................15Problema e Prémios.......................................................................................................................................16

Editorial

O reaparecimento do Jornal Choque Mate, no ano lectivo 2000-2001 constituiu moti-vo de regozijo e de esperança para a nossa comunidade escolar.

Em nome da escola não posso deixar de elogiar esta feliz iniciativa do núcleo deestágio de Matemática que, passados doze anos, entendeu dar seguimento aos objectivospropostos pela equipa promotora do projecto: "instrumento de divulgação de temas rela-cionados com a disciplina de Matemática de modo a contribuir para modificar a atitude dosalunos face à aprendizagem, no desenvolvimento da intuição, da actividade, do gosto pelapesquisa e do espírito de observação."

Como responsável pela nossa comunidade educativa posso testemunhar a dinâmi-ca e o espírito de mudança que este projecto inovador veio proporcionar.

Ao nível do sucesso educativo estou convicto, que o Jornal Choque Mate, também,deu o seu contributo para uma melhoria nos processos de ensino-aprendizagem, na medi-da em que trouxe novas abordagens, apresentou novas experiências e incentivou a novaspráticas.

O jornal Choque Mate introduziu na escola uma atitude de reflexão, de debate, demotivação para uma disciplina de grande importância no processo, lento e gradual, de for-mação dos alunos.

Apesar de todos os entraves, de todas as dificuldades que o sistema educativoenfrenta temos consciência de que estas experiências inovadoras constituem ecelentesmecanismos para superar os bloqueios que nos são impostos e constituem estímulos àComunidade Educativa no sentido de perspectivar melhorias significativas nos processosde ensino-aprendizagem.

Jorge Moreira de SousaPresidente do Conselho Directivo

João ViveirosJosé Luís da MataJ. Orlando de FreitasMárcia RodriguesMariana BarrosTânia Gonçalves

Editores e Redactores

António CasimiroHenrique AlvesNelson AlmeidaPatrocinadores

Agradecimentos

Editores e RedactoresDigitalização

Grafimadeira

2500 exemplares

Execução Gráfica

O Choque Mate inibe-se de qualquer encargo pelos artigos publicados, estes são inteiramente da responsabilidade dos seus autores.

José Luís da Mata

Paginação

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VIDA E OBRA DE . . .3

JOÃO COSME SANTOS GUERREIRO,nasceu no Funchal a 27 de Setembro de 1923 e fale-ceu a 5 de Novembro de 1987. Foi um matemáticoe professor ilustre que marcou gerações de estu-dantes na Faculdade onde adquiriu a licenciatura emmatemática, a Faculdade de Ciências de Lisboa.

Na qualidade de assistente, leccionou em1957 e 1958 no Instituto Superior de Agronomia,transitando para a faculdade de Ciências de Lisboa,onde obteve o doutoramento em 1962. NestaFaculdade esteve ligado à Secção de Análise eGeometria do Departamento de Matemática, tendoascendido a professor catedrático em 1973. Foicolaborador do Centro de Estudos Matemáticos

SANTSANTOS GUERREIROOS GUERREIRO( 1923 - 1987 )

João Viveiros ( 1.º Grupo )Orientador de estágio da E.S.J.M.

H O M E N A G E M A U M G R A N D E M AH O M E N A G E M A U M G R A N D E M A T E M Á T I C O M A D E I R E N S ET E M Á T I C O M A D E I R E N S E

anexo à Faculdade de Ciências de Lisboa; foi presi-dente da Comissão Directiva do Centro deMatemática e Aplicações Fundamentais do entãoInstituto Nacional de Investigação Científica.

Nos últimos anos da sua vida deu um impor-tante apoio ao Centro de Apoio da Faculdade deCiências de Lisboa na R.A.M., leccionando umacadeira ligada à História da Matemática. Na alturaem que faleceu era Presidente da Assembleia Geralda Sociedade Portuguesa de Matemática.

Considerava-se " um produto da escola de40 ", assim reivindicando a sua filiação a nomescomo António Aniceto Monteiro e José Sebastião eSilva, entre outros, sendo discípulo e colaboradordeste último. A concepção que tinha da Matemática,enraizada na história (timbre daquela escola) levá-lo-ia a leccionar durante anos, e até o fim da vida , umacadeira de História do Pensamento Matemático.

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ARTIGO4

Geometria Fractal e Teoria do CaosJosé Luís da Mata, Márcia Rodrigues, Mariana Barros e Tânia Gonçalves*

1. Geometria FractalA palavra "Fractal" surgiu do adjectivo

latino fractus, que significa "irregular" ou "quebra-do". Assim, um fractal é uma forma geométricairregular ou fragmentada que pode ser subdividi-da em partes, e cada parte será ( pelo menosaproximadamente ) uma cópia reduzida da formatoda.

A ciência dos fractais apresenta estru-turas geométricas de grande complexidade ebeleza infinita, ligadas às formas da natureza, aodesenvolvimento da vida e à própria compreen-são do Universo.

Um fractal é formado por elementos deuma variedade infinita, cada um completo eúnico, e que se pode repetir em escalas distintas.

Há mais de dois mil anos atrás, ummatemático grego chamado Euclides estava -segundo reza a tradição - caminhando pela praiaquando notou que a areia, vista como um todo,assemelhava-se a uma superfície uniforme. Aareia aos seus pés, entretanto, era composta depequenas partes visíveis. Desde então Euclidesempenhou-se em tentar provar, matematica-mente, que todas as formas da natureza podiamser reduzidas a formas geométricas simples -cubos, paralelepípedos, esferas... Euclides esta-va tão concentrado nas formas , deixando de ladoum elemento muito importante neste tipo deanálise: a dimensão.

Foi este o ponto de partida para ummatemático chamado Benoit Mandelbrot, quedescreveu matematicamente a ideia original deEuclides acrescentando-lhe a questão da dimen-são. Foi este matemático o pai da GeometriaFractal que surgiu nos fins do séc.XX. Mandelbrot

define fractal como um objecto geométrico cujaforma pode ser extremamente irregular ouextremamente fragmentada, qualquer que seja aescala utilizada na sua observação; e acrescentaainda que a dimensão é um número (não neces-sariamente inteiro) que permite quantificar o graude irregularidade ou de fragmentação de um con-junto.

Mandelbrot, um dos pioneiros da geome-tria fractal, considerou a curva de Koch comosendo "um modelo grosseiro mas vigoroso deuma linha costeira". A linha da costa com todasas suas baías e as penínsulas a revelarem sub-baías e sub-penínsulas cada vez mais pequenaspelo menos até à escala atómica também tendepara infinito.

Para construir o floco de neve de Kochusa-se o seguinte processo: começa-se com umtriângulo equilátero, cujo lado mede por exemplo3a, em seguida, transforma-se esse triânguloaplicando ao terço médio de cada um dos ladosum triângulo, com a mesma forma mas com umterço do tamanho. O resultado é uma estrela deDavid. Em vez de três segmentos de medida 3ao contorno da forma tem agora doze segmentosde um terço 3a (mede a). Em vez de três vérticeshá agora seis. Repita-se a transformação emcada um dos doze lados, aplicando-lhe um triân-gulo mais pequeno no se terço médio. E repete-se este processo até o infinito, torna-se parecidocom o floco de neve.

Outro exemplo de geometria fractal é otriângulo de Sierspinski, obtém-se a partir de umtriângulo equilátero, unindo os pontos médios doslados, formando-os assim um novo triângulo eretira-se esse triângulo. Voltamos a repetir oprocesso para os triângulos resultantes e assimsucessivamente. No manual da calculadora TI-83, existe um programa para gerar este fractal.

Conjunto de Mandelbrot

Curva de Koch

Construção do tr iângulo de Sierpinski

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ARTIGO5

A natureza proporciona-nos alguns"objectos" muito familiares que têm estrutura frac-tal: o feto, a couve-flor, os bróculos, as nuvens eno corpo humano, o sistema circulatório, o sis-tema urinário, o sistema pulmonar, o aparelhodigestivo, etc.

2. Teoria do CaosO caos supostamente era uma matéria

que não podia ser previsível. Foi assim que sepensou até algum tempo atrás, quando se desco-briu que existe ordem dentro do caos. MitchellFeigenbaum, em 1975 "descobriu" uma cons-tante que está associada a uma transição parti-cular da ordem para o caos. Trata-se de umacons-tante universal, observada nos mais varia-dos sistemas: nas oscilações do hélio líquido, no"pingar" de uma torneira, etc. Este número deFeigenbaum é uma constante previsível nummundo do caos.

Armado com um equipamento que con-sistia apenas em papel e lápis, Feigenbaumdecidiu começar com uma equação análoga àsimples equação que Robert May estudara nocontexto da Biologia populacional. Sucedia queera a expressão que os estudantes do ensinosecundário usavam para desenhar uma parábola.Ela pode escrever-se da seguinte forma Kx(1-x).

Seria interessante poder prever aevolução, ao longo do tempo, de qualquer espé-cie biológica, e poder determinar facilmente quala quantidade máxima de caça ou pesca que sepoderá autorizar sem perigo de extinção para aespécie.

Tentaremos descrever sumariamentecomo o problema está foi estudado e explicar arazão porque é extremamente difícil obter umasolução.

A ideia básica é que uma populaçãoevolui proporcionalmente ao número de indivídu-

os presentes em cada instante e a diferençaentre o número máximo possível de indivíduos eo número de indivíduos presentes em cadainstante. A isto chama-se o modelo logístico dapopulação.

Suponhamos que medimos a populaçãoem intervalos sucessivos de um ano. Seja xo apopulação inicial. Se mudarmos as unidades demodo a considerar que a população máxima éigual a uma unidade, então a população f(xo), aofim de um ano, em função da população inicial xo,é dada por:

f(xo)=Kxo(1-xo)=k(xo-xo2)onde k é um número positivo. No ano seguinte apopulação será dada por:

f(f(xo)),no ano seguinte por:

f(f(f(xo)))e assim sucessivamente. Diz-se que se está aiterar a função f a partir do valor inicial .

Vejamos qual o comportamento dasdiferentes iterações quando se varia o valor doparâmetro k. Para isso tentemos fazer umadescrição gráfica da iteração. Tracemos o gráficode f (no intervalo [0,1]) e assinalemos o valor ini-cial xo. Unamos o ponto de coordenadas (xo,0),no eixo dos XX, com o ponto de coordenadas(xo,f(xo)) sobre o gráfico de f, e unamos este últi-mo ponto com o ponto de coordenadas (0,f(xo))no eixo dos YY.

Esta curva chama-se curva de repro-dução da população em causa, pois permitemedir as consequências da reprodução (nasci-mentos menos mortes) e assim obter a evoluçãoao longo do tempo da população dada.

Auto-semelhança no feto

Continua na página 12

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ARTIGO6

C E N T R O C O M E R C I A L O U D I N O TL O J A 2 8 - T E L F . 2 9 1 7 6 6 8 8 9

Programa “Geração de Números Aleatórios”“Geração de Números Aleatórios”para a calculadora gráfica CasioCecília Barros, Duarta Ferro, Rita Pedro e Sílvia Viveiros*

Os novos programas de Matemática doEnsino Secundário (1991) estabelecem comouma das finalidades da disciplina:

" Desenvolver a capacidade de usar aMatemática como instrumento de interpre-tação e intervenção no real "

Neste contexto assume importância con-siderável a tecnologia de uso "obrigatório". A ex-ploração das calculadoras gráficas com possibili-dade de introdução de um ou dois pequenos pro-gramas.

O ajustamento de 1997 considera que"as calculadoras gráficas", são um instrumentonecessário não só para o cálculo, mas tambémcomo meio incentivador do espírito de pesquisa.

Vários "problemas" ligados ao realpodem ser explorados com o auxilio das calcu-ladoras usando programas específicos.

DescriçãoGera N números aleatórios num intervalo

definido pelo utilizador.

Entradas1 Número N de elementos a serem criados.2 Limite inferior (M) e superior do intervalo (P).

SaídasColoca a lista de números

criados na lista 1 e arespectiva frequência nalista 2.

ExemploSimular 50 lança-

mentos de um dado.

Geração de números aleatórios

*Grupo de Estágio de Matemática da Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

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Problemas - Passatempos - Curiosidades7

As páginas da enciclopédia

Para numerar as páginas de uma enciclopédia, imprimiu-se 1993vezes o algarismo 1.

Quantas páginas tem a enciclopédia?

Tangram

O Tangram é um jogo que tem origensna China.

É conhecido pela “placa das sete astú-cias” e com ele é possível construir figuras apartir de sete polígonos muito simples.

Podes construir o teu próprio Tangram. Constrói em cartolina um quadradocom 12 cm de lado e decompõe esse quadrado nas sete figuras geométricascomo mostra a figura.

As sete figuras geométricas que obtiveste foram 5 triângulos e 2quadriláteros. Estas figuras constituem as peças do Tangram.

As figuras 1, 3, 4, 6 e 7 são triângulos, a figura 2 é um paralelogramo e afigura 5 é um quadrilátero.

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Problemas - Passatempos - Curiosidades8

A Adivinha de S. Matias (séc.XVIII)

Quando me dirigia para S. Matias,Encontrei um rapaz com sete tias.Cada tia tinha sete sacos,Cada saco tinha sete gatasE cada gata sete gatinhos.Gatinhos, gatas, sacos e tiasQuantos é que iam para S. Matias?

2Ibn Kallikan ( c. 1256 )

Sissa e o tabuleiro de xadrez.Ibn Kallikan foi o primeiro autor a con-

tar a história de Sissa ben Dahir, a quemo rei indiano Shirham perguntou querecompensa pretendia por ter inventado

o jogo de xadrez." Majestade, dê-me 1 grão de trigo para

colocar na primeira casa, 2 na segunda, 4na terceira, 8 na quarta, e desta forma, ohmeu Rei, permita-me cobrir cada uma das

64 casas do tabuleiro.""E é só isso que pretendes, Sissa, oh

insensato?", exclamou o rei, espantado."Senhor", respondeu Sissa, "o que eu

pedi é uma quantidade de trigo maior do quea que existe em todo o Vosso reino, maior

mesmo do que a que existe no mundo inteiro e, na verdade, sufi-ciente para cobrir toda a superfície da terra!"

Quantos grãos de trigo pediu Sissa?

3

A Pirâmide de Louvre, em Paris

Esta pirâmide, em vidro, tem umabase quadrada de 35,4 m de lado etem 21,65 m de altura.

Qual é o volume desta pirâmide?

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Problemas - Passatempos - Curiosidades9

A Geometria e os EspelhosUm livro de espelhos pode ser facil-

mente construído por qualquer um. Bastapegar em dois espelhos, num bocado de fitaadesiva e uni-los como a figura indica.

O que é que se pode fazer com estelivro de espelhos para estudar Geometria?

Basta usar um pouco de imaginação. Para começar...

- Coloca o livro com o eixo perpendicular a uma folha de papel onde se traçou um seg-mento de recta. Variando a posição do livro sobre a folha e a sua abertura, tenta construirpolígonos regulares - triângulos, quadrados, pentágonos,... Tente relacionar o polígono obti-do com o ângulo de abertura dos espelhos.

- Existirão diferentes maneiras de se obter um quadrado? E outros polígonos?

- Será possível representarmos sólidos? Tente obter pirâmides e prismas no livro deespelhos.

- Imagina mais actividades.

Peixes e Pescadores

O João e ofilho, mais o Luís e o filho

foram à pesca.O João pescou tantos

peixes como o filho, enquantoque o Luís pescou o triplo dos peixes doseu filho. No total pescaram 35 peixes.

O filho do João chama-se Vasco.Como se chama o filho do Luís?

Quantos peixes pescou cada um?

As Freiras nas Celas

Há oito freiras, cada umanuma cela, perfazendo trêsfreiras em cada uma das alasque circundam o claustro.

Como é possível redis-tribuí-las de modo quefiquem quatro freiras

em cada ala?6

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Problemas - Passatempos - Curiosidades10

Números Perfeitos

Um número é perfeito quan-do é igual à soma dos seus divi-sores (incluindo o 1, mas não opróprio número)

A fórmula de Euclides ,, permite descobrir

relações interessantes dosnúmeros perfeitos. Já reparasteque todos os números sãonúmeros triangulares? Porexemplo:

Por outro lado, qualquernúmero perfeito é uma somaparcial da série 1 + 2 + 3 + 4+......

6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + .... + 31.....

E ainda propriamenteespantosa. A soma dos inversosdos divisores de um número per-feito é 2. Tomando, por exemplo,os divisores de 6 e 28:

Quatro Noves

Represente o número 100a partir de 4 algarismos “9”, uti-lizando as operações básicas.

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Os Apertos de Mão

As pessoas que assistiram auma reunião cumprimentaram-seapertando as mãos.

Uma delas verificou que foram66 apertos de mão.

Quantas pessoas estiveramna reunião?

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ARTIGO11

A avaliação é sempre o lado mais delica-do, menos alegre e mais exigente para quemavalia como por quem é avaliado. De acordo comas sugestões feitas pelos autores dos actuaisprogramas de Matemática do Ensino Secundário,devemos além dos testes tradicionais (com umpeso tão elevado na forma de avaliar emPortugal) apresentar aos alunos outras propostasde avaliação: relatórios, trabalhos de investi-gação quer individual ou em grupo, apresentaçãode resumos temáticos...

Como criar novas formas de avaliação?Este desafio motivou o nosso grupo deMatemática pois gostamos muito de trocar mate-riais, dar ideias e apresentar sugestões para me-lhor desempenhar a nossa profissão. O professorRoberto Oliveira foi o autor de dar testes grupaisque são respondidos por dois alunos, impulsion-ado por ter tentado já mini-testes de curtaduração (15 a 20 minutos) para testar conheci-mentos trabalhados na semana ou aula anterior.

Após algumas conversas com o profes-sor Roberto percebi a concepção destes testesde grupo e como avaliava os resultados obtidospor dois alunos. Os testes de grupo realizadosem aulas de 50 minutos podem conter proble-mas do dia-a-dia ligando temas de anos anterio-res (trabalhar as conexões entre temas é umobjectivo do programa oficial) ou apresentar nomáximo três grupos de duas questões sobreassuntos trabalhados num mês.

Os alunos para realizarem o teste degrupo são escolhidos pela proximidade das suasmédias dos testes individuais e desta forma osalunos mais fracos não vão se apoiar nos colegasmais fortes para subir as notas. Já aconteceu umcaso muito curioso nos resultados de um teste degrupo comigo e com o professor Roberto: alunosfracos nos testes normais, terem notas positivasaltas no teste de grupo e isso aconteceu porqueos alunos complementaram os seus saberes,algo não muito aceite entre dois bons alunos de-vido às médias para entrar na faculdade.

Este modelo de avaliação tem ajudado àverificação de como os alunos se ajudam paraobter as respostas aos problemas, pois sem a

discussão de ideias, o testar raciocínios e a uti-lização de todos os meios disponíveis não podehaver resultado nos grupos. Tenho observadomuitas vezes a alegria com que os alunos rea-lizam os testes de grupo e a forma como traba-lham em conjunto para obter as respostas aosdesafios.

Aqui ficam algumas opiniões dos meusalunos de 12ºano sobre um dos cinco testes degrupo realizados neste ano lectivo:

"Do teste de grupo eu achei que era umaboa oportunidade para haver mais coesão naturma e penso que houve, pois pode-se melhorara comunicação com mais trabalhos destes."Pedro

"Achei que é uma boa maneira de recu-perar a nota e é uma coisa diferente do comum,é mais acessível aos alunos, podendo tirar certasdúvidas em alguma coisa que não tenha perce-bido. É muito bom quando podemos trocarimpressões com alguém." Bárbara.

"Acho que o trabalho de grupo foi umbocado difícil, até a resolução poderia não ser tãodifícil, mas as perguntas!! Até perceber o que épedido é um quebra-cabeças. Não gosto de pro-babilidades!" Sónia.

Ao testar várias vezes diferentes gruposde alunos e de obter resultados muito satis-fatórios (apenas o último teste feito neste final deperíodo não funcionou devido ao cansaço dosalunos) confio na fiabilidade desta nova forma deavaliar e proporciona-me sempre um bem estarao conceber um novo teste de grupo.

Mudar a nossa forma de avaliar é cadadia mais importante! Devemos criar certosespaços próprios para os alunos debaterem osproblemas, testar conjecturas, utilizar a calcu-ladora gráfica e construir em conjunto (bastamdois para haver novas formas de pensar e agir)respostas melhor concebidas.

Nota: Agradeço a preciosa criação do professorRoberto Oliveira e dos comentários dos meusalunos do 12º9 ao teste de grupo realizado emOutubro de 2000.

* Orientador de estágio de Matemática da E.S. A. A. S.

Testes de Grupo: Uma Avaliação de Grupos?José Luís Freitas*

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ARTIGO12

...Continuação da página 5

Para determinar f(f(xo)) será mais fáciltransportar o valor f(xo) para o eixo dos XX, parapoder repetir o processo anterior. Para isso con-vém sobrepor a recta y=x ao gráfico de f.

Se unirmos o ponto de coordenadas(0,f(xo)), no eixo dos YY, com o ponto de coorde-nadas (f(xo),f(xo)) sobre a recta y=x, e unirmoseste último ponto com o ponto de coordenadas(0,f(xo)), no eixo dos XX, podemos agora repetiro processo anterior para obter f(f(xo)).

Para que os gráficos não se tornemilegíveis com muitas iterações, podemos traçarapenas uma parte dos segmentos anteriormentedescritos.

O gráfico seguinte foi obtido com o valor2,2 para o parâmetro k.

O que poderemos concluir?Que a população vai estabilizar num

valor que será a abcissa do ponto de intersecção

do gráfico de f com a recta y=x. Tal pode ser tam-bém observado se traçarmos um gráfico com osdiferentes valores das iteradas da função f a par-tir do valor xo:

Esta é uma situação muito favorável poisa população da espécie em estudo estabilizanum certo valor.

Consideremos agora que o parâmetro kvale 3,3.

O que se observa?

Observa-se uma oscilação da populaçãoem causa, a partir de certa altura, entre dois va-lores. Esta situação é claramente visível no gráfi-co dos sucessivos valores das iteradas de f:

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ARTIGO13

Se o parâmetro k valer 3,9, aparece-nosuma situação muito diferente:

Como poderemos interpretar esta situ-ação?

Observemos o gráfico dos sucessivosvalores das iteradas de f:

O comportamento aparece muito irregu-lar, mesmo muito irregular. A este comportamen-to designamos de comportamento caótico. Isto é,a evolução é tão irregular que se torna difícil (oumesmo impossível) prever com exactidão aevolução da população.

Fenómenos semelhantes a estes aconte-cem na meteorologia, na bolsa de valores e eminúmeras outras situações.

3. ConclusãoAs formas da geometria euclidiana não

são adequadas para descrever formas tão com-plexas da Natureza como as nuvens, as árvores.Sistemas Dinâmicos é considerada a terceiragrande revolução das ciências fisico-matemáti-cas do Séc. XX, as outras duas foram aRelatividade e a Mecânica Quântica.Na História dos Sistemas Dinâmicos, i.e. no ca-

minhar do conhecimento para a descoberta dasimplicações entre causa e efeito, encontramostrês etapas:1.ª Newton que nos fez acreditar na existência deLeis, que nos introduziu o conceito de SistemaDinâmico e que criou o Cálculo Diferencial e inte-gral;2.ª Poincaré que nos fez ver que os comporta-mentos dinâmicos são muito complexos e não seresolvem com as ferramentas do CálculoDiferencial e Integral;3.ª Sharkovsky que nos forçou a olhar noutradirecção. A ideia de forcing, de ordem que impli-ca o seguinte: A existência de certos aconteci-mentos forçam a existência de outros. É o princí-pio da Ordem do Caos, da codificação dasFormas Fractais, da Ciência da Complexidade.

Como vimos esta é uma matéria interes-sante e cheia de potencialidades, razão mais doque suficiente pela qual este tema será introduzi-do no reajustamento dos programas em 2002.

Os conceitos de Caos e de Fractal sãodemasiados ricos para terem uma definiçãogeral. Cada tipo de sistema dinâmico terá umadefinição precisa e rigorosa.

O Caos tem a ver com a complexidadedo comportamento no tempo e o Fractal com acomplexidade no espaço, mas representam doisaspectos da mesma realidade.

*Grupo de estágio da E. S. Jaime Moniz

Mapa tridimensional de uma localidade

Bibliografia:Infinito 10, Areal EditoraInfinito 11, Areal EditoraDeus Joga aos Dados, GradivaInternet

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AGENDA14

Escola Secundária Francisco FrancoDecorreu no último período a "Semana da Matemática"; Sessões desti-

nadas a alunos utilizando calculadoras (tema: Estatística) e o programaCabri (tema: Circunferência e Polígonos, Rotações); Problema do mês;Problema da Quinzena; Peça de teatro alusiva ao Euro.

Escola Secundária Ângelo Augusto da SilvaSemana da Matemática de 25 a 29 de Maio; Problemas semanais;

Acção de formação de calculadoras para o 9º ano sobre estatística;Campeonato de xadrez.

Escola Secundária de Jaime MonizDecorreu no 2.º período a "EXPOMAT";

Lançamento do n.º 22 do "Choque Mate".

Escola Secundária do Porto SantoVitrine com curiosidades Matemáticas.

Escola Básica do Porto MonizSemana da Matemática no final do mês de Abril.

Escola Básica do Estreito de Câmara de LobosSemana da Matemática elaborada pelos alunos da escola.

Escola Básica do Porto da CruzProblema do trimestre.

Escola Secundária da TorreJogo do 24 a 16 de Fevereiro; Elaboração de uma exposição nos dias 17

e 18 de Maio.

Escola Básica e Secundária de MachicoSemana da Matemática (de 23 a 27 de Abril); Jogos didácticos; Jogos

no computador; Torneio de Abaloon; Peça de teatro; Uma história comMatemática; Concurso "O desafio do dia"; Olhos mágicos; Rir com matemáti-ca.

Escola Básica e Secundária de São VicenteSemana das Ciências - 2.ª semana do 3.º período.

"EXPOMAT"

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SOLUÇÕES

Sorteio - Choque Mate n.º 21

1.º 4232.º 14233.º 4134.º 16025.º 2014

1.1. Imaginemos que os números de 000 até 999 são daforma ABC.

Na posição C, cada algarismo vai aparecer omesmo número de vezes. Como há mil números do tipo ABCe os algarismos são dez, cada um aparece 100 vezes naposição C. O mesmo se passa nas posições B e A. Portanto,até 999 o algarismo 1 aparece 300 vezes.

De 1000 até 1999 há mil números da forma 1ABC.O algarismo 1 aparece mil vezes na posição da esquerda e,tal como no caso anterior, 300 vezes em ABC. Portanto, sãomais 1300 “uns”.

De 2000 até 2999 são mais mil números da forma2ABC, onde o 1 aparecerá 300 vezes.

Já temos 300+1300+300 “uns”, ou seja, 1900.Estamos perto.

De 3000 a 3099 são cem números da forma 30BC.O 1 aparece dez vezes na posição B e outras dez na C. Total:1920.

De 3100 a 3109 - 11 vezes.De 3110 a 3119 - 21 vezes.De 3120 a 3129 - 11 vezes.De 3130 a 3139 - 11 vezes.De 3140 a 3149 - 11 vezes.O total é agora de 1985 “uns”. Faltam oito.

Escrevendo os números seguintes, temos:3150, 3151, 3152, 3153, 3154, 3155,3156.A enciclopédia tem 3156 páginas.

2.2. Um! Todos os outros vinham de S. Matias.

3. 3. Sissa pediu grãos de trigo.

4.4. Sabemos que o volume de uma pirâmide é dadapela seguinte expressão:

Podemos pois proceder aos seguintes cálculos:

O volume desta pirâmide é de 9043,638 m3

5.5. Representemos por:J - o número de peixes pescados pelo João,V- os do Vasco,L- os do Luís,F- os do filho do Luís.Sabemos da pescaria que J+V+L+F=35.Como J=V e L=3F vem que V+V+3F+F=35, ou seja,

2V+4F=35.Ora 2V e 4F são números pares (pois são múltiplos

de 2 e de 4, respectivamente) e portanto a sua soma é umnúmero par. Mas 35 é ímpar e temos uma contradição. O

problema é impossível nestas condições, isto é, se consider-armos que os participantes na pescaria são quatro.

A única hipótese é admitirmos que os pescadoressão só três: um avô, um pai e um filho. Assim, o Luís será paido João, que por sua vez é pai do Vasco. Vejamos se isto fun-ciona desta maneira.

L+J+V=35, ou seja, 3J+J+J=35, que é o mesmoque, 5J=35. Logo J=7.

Não há dúvida:- O Vasco pescou 7 peixes;- O João pescou também 7;- O Luís pescou 21 peixes.Portanto, o filho do Luís chama-se João.

6.6. Basta colocar 2freiras em cada uma das celassituadas nos cantos, deixandoas celas centrais vazias.

7.7.

8.8. Cada uma das x pessoas cumprimentou as outrasx-1.

Portanto, o número total de apertos de mão pareceser x(x-1).

Porém, deve ter-se em conta que quando, porexemplo, o João aperta a mão do Pedro, este aperta a mãodo João. Assim, o número de apertos de mão é metade dex(x-1). Consequentemente surgue a equação

ou seja, depois das transformações convenientes

e por aplicação da Fórmula Resolvente, x=12 ou x=-11, éclaro que atendendo ao nosso problema só faz sentido x=12.

Na reunião estiveram 12 pessoas.

15

Neste jornal encontram-se extractos soba forma de texto e imagem dos seguinteslivros: Desafios 3 e Desafios 4 dasEdições Afrontamento, dia-a-dia com aMatemática, agenda do professor de1990/1991 da A.P.M. e Antologia dos puz-zles de David Wells.

O Secretário Regional da Educação,Francisco Fernandes, esteve na EXPOMAEXPOMATT

Entrega a resolução deste problema ao teu professor deMatemática ou envia-a para:

Jornal Choque MateEscola Secundária Jaime Moniz

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s

Timóteo tem na sua cómoda 17 gravatasazuis, 11 gravatas amarelas, 9 gravatas cor delaranja, 34 gravatas verdes e 2 gravatas roxas.

As gravatas estão todas misturadas.Timóteo pega em algumas, às escuras, sem lhesver a cor.

Em quantas gravatas deve pegar para ter acerteza de conseguir, pelo menos, duas da mesmacor?