Circuito Resistivos 1

7/23/2019 Circuito Resistivos 1

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CAPITULO

MAKRON

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Circuitos Resistivos

Neste captulo introduziremos alguns conceitos bsicos e leis que so fundamentais anlise de circuitos. Emgeral, restringiremos nossas atividades anlise, isto , determinao de uma tenso especfica, corrente oupotncia em alguma parte do circuito. As tcnicas que sero introduzidas tm uma aplicao ampla na anlisede circuitos, ainda que as discutamos no contexto de circuitos simples.

2.1 A Lei de Ohm assim chamada em homenagem ao fsico alemo Georg Simon Ohm, a quem coube estabelecer a relaotenso-corrente em resistores. Como resultado de seu trabalho pioneiro, a unidade de resistncia leva seunome.

A lei de Ohm estabelece que a tenso em um resistor diretamente proporcional corrente queflui atravs dele. A resistncia, medida em ohms, a constante de proporcionalidade entre a tenso e acorrente.

Um componente de circuito cuja caracterstica eltrica primeiramente resistiva chamado deresistor e representado pelo smbolo mostrado na Figura 2.1. Um resistor um componente fsico que podeser adquirido em valores padronizados em qualquer loja de componentes eletrnicos. Amplamente utilizadosem uma variedade de aplicaes eltricas, tais resistores so normalmente compostos de carbono oubobinados. Alm disso, resistores podem ser fabricados usando-se xido bruto ou filmes de metal fino parauso em circuitos hbridos ou ainda podem ser difusos em circuitos semicondutores integrados.

Figura 2.1 Smbolo para resistor.

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Circuitos resistivos 19

A relao matemtica da lei de Ohm ilustrada pela equaov(t) =R i(t) ondeR 0 (2.1)

ou, equivalentemente, pela caracterstica tenso-corrente mostrada na Figura 2.2a. Notecuidadosamente a relao entre a polaridade da tenso e a direo da corrente. Note tambm que assumimostacitamente que um resistor tem um valor constante e, portanto, a caracterstica tenso-corrente linear.

O smbolo Q usado para representar ohms, e portanto1 = 1 V/A

Apesar de sempre assumirmos em nossa anlise que resistores so lineares e so, portanto, descritospor uma curva caracterstica reta que passa atravs da origem, importante que o leitor perceba que existemalguns elementos prticos e teis que exibem uma caracterstica no-linear, isto , a relao tenso-correnteno uma linha reta. Diodos, que so extensivamente usados em circuitos eltricos, so exemplos deresistores no-lineares. Uma caracterstica tpica de diodos mostrada pelo grfico da Figura 2.2b.

(a) (b)

Figura 2.2 Representao grfica da relao tenso-corrente para (a) um resistor linear e (b) um diodo.

Desde que um resistor um elemento passivo, a relao correta tenso-corrente ilustradana Figura 2.1. A potncia fornecida aos terminais consumida pelo resistor. Note que a carga semove do potencial mais alto para o potencial mais baixo quando ela passa pelo resistor e a energiaabsorvida dissipada pelo resistor em forma de calor. Como indicado no Captulo 1, a taxa dedissipao de energia a potncia instantnea, e portanto

p(t) = v{t)i{t) (2.2)

a qual, usando-se Equao 2.1, pode ser escrita como

Essa equao ilustra que a potncia uma funo no-linear ou da corrente ou da tenso eque tem sempre um valor positivo.

Condutncia, representada pelo smbolo G, uma outra quantidade com ampla aplicaoem anlise de circuitos. Por definio, condutncia o inverso da resistncia, isto ,

(2.4)

A unidade de condutncia o siemens, e a relao entre unidades

1 S = 1 A/VUsando-se a Equao 2.4, podemos escrever duas expresses adicionais,

i(t) = Gv(t) (2.5)

(2.6)

A Equao 2.5 uma outra expresso da lei de Ohm.


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20 Anlise de Circuitos em Engenharia Cap. 2

Dois valores especficos de resistncia e, portanto, de condutncia, so consideravelmente importantes:R = 0 e R = . Se a resistnciaR = 0, temos o que chamado de curto-circuito. Da lei de Ohm,

v(t) = Ri(t)= 0

Portanto, v(t) = 0, apesar de a corrente poder, teoricamente, assumir qualquer valor. Se a resistnciaR = , temos o que chamado de um circuito aberto, e da lei de Ohm,

Repare, porm, que uma vez que / conhecida, Vs pode ser obtida utilizando-se a lei de Ohm. Note queI = -4Ae Vs = -16V tambm satisfazem as equaes matemticas acima.

Exemplo 2.3Dado o circuito da Figura 2.3c, desejamos determinar a tenso sobre os terminais e a potncia consumida peloresistor.

Da Equao 2.5, a tenso

A potncia determinada pela Equao 2.6 como

Portanto, a corrente zero independentemente do valor da tenso atravs dos terminais abertos.Exemplo 2.1

No circuito mostrado na Figura 2.3a, determine a corrente e a potncia consumida pelo resistor. Utilizando-se aEquao 2.1, achamos que a corrente

e da Equao 2.2 ou 2.3, a potncia consumida pelo resistor P = vi = (10)(5) = 50 W=RI2 =(2)(5)2 = 50 W.

Exemplo 2.2

A potncia consumida pelo resistor de 4 da Figura 2.3b de 64 W. Determine a tenso e a corrente.Utilizando-se a Equao 2.3, podemos determinar de imediato qualquer uma das variveis.

64 W = (4)I2

I = 4A


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Cap. 2 Circuitos resistivos 21

Figura 2.3 Circuitos para os Exemplos 2.1 a 2.4.

Exemplo 2.4Dado o circuito da Figura 2.3d com uma entrada senoidal, determine a corrente resultante e a potnciaconsumida pelo resistor.

Da lei de Ohm,

Portanto, tanto a tenso como a corrente so senoidais. A potncia

Note que apesar de a tenso e a corrente serem negativas durante os intervalos quando afuno seno negativa, a potncia tem sempre um valor positivo.

Exerccios

E2.1 Dado o circuito da Figura E2.1, determine a tenso Vs sobre o resistor e a potncia consumida por ele.

Resp.: Vs = 8 V, P = 32 W.


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E2.2 Dado o circuito da Figura E2.2, determine a resistncia R ea tenso Vs.

Resp.: R = 4,VS= 32V.

2.2 As Leis de Kirchhoff

Os circuitos que consideramos at agora continham somente um resistor cada e foram analisados utilizando-sea lei de Ohm. Comeamos, neste momento, a expandir nossa capacidade de manuseio de redes maiscomplicadas, que resultam de uma interconexo de dois ou mais desses componentes. Assumiremos que talinter-conexo feita por condutores eltricos (fios) que tm resistncia zero, isto , condutores perfeitos.Porque os condutores tm resistncia zero, a energia no circuito armazenada em cada componente e

empregamos o termo circuito de parmetros concentrado para descrever a rede.Para auxiliar nossa argumentao, definiremos alguns termos que sero empregados no decorrer da

anlise. Como ser a nossa proposio neste texto, faremos uso de exemplos para ilustrar os conceitos e definiros termos apropriados. Por exemplo, o circuito mostrado na Figura 2.4a ser usado para descrever os termosn, lao e ramo. Um n simplesmente um ponto de conexo de dois ou mais componentes do circuito. Os nsno circuito da Figura 2.4a esto ressaltados na Figura 2.4b para maior clareza. O leitor deve ter o cuidado decomparar as duas figuras cuidadosamente e notar que apesar de um n poder ser 'espalhado' com condutoresperfeitos, ele ainda somente um n. Por exemplo, o n 5 consiste da parte inferior do circuito inteiro. Emoutras palavras, se comearmos em algum ponto do circuito e movermos ao longo de condutores perfeitos emqualquer direo at encontrarmos um componente eltrico, o caminho total que cobrirmos representa um n.Portanto, assumimos que um n o final de um elemento do circuito junto com todos os condutores perfeitosque esto ligados a ele. Um lao simplesmente qualquer caminho fechado atravs do circuito no qual nenhumn encontrado mais de uma vez. Por exemplo, comeando do n 1, um lao conter os elementosRl, R2, R3 e

v(t); outro lao conteria R2, i(t), R5 e R6; e assim por diante. Finalmente, um ramo a poro de um circuitocontendo somente um elemento e os ns conectados aos terminais do elemento. O circuito na Figura 2.4contm oito ramos.

Dadas as definies anteriores, estamos agora em condies de considerar as leis de Kirchhoff,assim chamadas em homenagem ao cientista alemo Gustav Robert Kirchhoff. Essas duas leis so considera-velmente simples, mas extremamente importantes. No tentaremos prov-las porque as provas vo alm donosso nvel de entendimento atual. Entretanto, mostraremos a sua utilidade e tentaremos tornar o leitor peritoem seu uso. A primeira lei a lei de Kirchhoff para corrente, a qual estabelece que a soma algbrica dascorrentes entrando em qualquer n zero. Matematicamente, a lei aparece como

onde ij(t) a j-sima corrente entrando no n atravs do ramo j e N o nmero de ramos conectados ao n.Para entender o uso dessa lei, consideremos o n mostrado na Figura 2.5. Aplicando-se a lei de Kirchhoff paracorrente a esse n, tem-se

Assumimos que os sinais algbricos das correntes entrando no n so positivos e, portanto, ossinais das correntes deixando o n so negativos.


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A soma algbrica das correntes entrando no n

I1 + 5 2 1 = 0

ou

I1

= -2 A

Essa equao indica que a magnitude deI1 de 2 A, mas a direo oposta que foi definida e, portanto,

uma corrente de 2 A est deixando o n.

Figura 2.6 Ns ilustrados para a lei de Kirchhoff para corrente: (a) exemplo de n nico; (b)exemplo de n mltiplo.

Exemplo 2.6Na Figura 2.6b, desejamos determinar as correntes /] e 72.

As equaes da lei de Kirchhoff para corrente para os ns 1 e 2, so, respectivamente,

2 4 2 I1 = 0

I1 - 8 + 3 - I2 = 0

Da primeira equao, I1 = 4 A. Desde que foi assumido que I1{ estava deixando o n 1, o sinal negativoilustra que uma corrente positiva est realmente entrando no n 1. Usando esse valor de I 1 na segundaequao, sabemos que I2 = - 9 A.

Finalmente, possvel generalizar a lei de Kirchhoff para corrente para incluir uma superfcie fechada. Poruma superfcie fechada podemos entender um conjunto de elementos interconectados que estocompletamente contidos dentro dessa superfcie. Desde que a corrente entrando em cada elemento dasuperfcie seja igual corrente deixando o elemento (ou seja, o elemento no armazena carga),conseqentemente a corrente entrando em uma interconexo de elementos igual quela que deixa qualquersuperfcie que contenha tal interconexo. Portanto, a lei de Kirchhoff para corrente pode ser enunciada daseguinte forma:A soma algbrica das correntes entrando em qualquer superfcie fechada zero.

Exemplo 2.7Para ilustrar essa generalizao da lei de Kirchhoff para corrente enunciada acima, precisamos considerarsomente o arranjo de ns mltiplos discutidos no Exemplo 2.6 e ilustrado na Figura 2.6b.


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Vamos agora aplicar a lei de Kirchhoff para corrente a uma superfcie. Assumindo que as correntes entrandona superfcie so positivas e aquelas saindo so negativas, podemos escrever:

-2 + 4 + 8+I2 -3 + 2 = 0

I2 = -9 A

que , obviamente, o que obtivemos para I2 no Exemplo 2.6. Repare, entretanto, que no precisamos achar I1para determinar I2.

Exercciost.

E2.3 Calcule 7, na rede da Figura E2.3.

Figura E2.3

Resp.: 7j = 4 A.

E2.4 Determine as correntes 7i, 72 eI-, na rede da Figura E2.4.

Resp.: 7, = -3 A, 72 = - 2 A, 73 = 3 A.

A segunda lei de Kirchhoff, chamada de lei de Kirchhoff para tenso, afirma que a soma algbrica dastenses ao longo de qualquer lao zero. Como foi o caso da lei de Kirchhoff para corrente, no levaremosem considerao a prova dessa lei e nos concentraremos em entender como aplic-la. Mais uma vez o leitordeve lembrar-se de que estamos lidando somente com circuitos de parmetros concentrados. Tais circuitosso conservativos, significando que o trabalho necessrio para mover uma unidade de carga ao longo dequalquer lao zero.

Lembre-se que na lei de Kirchhoff para corrente, o sinal algbrico se fazia necessrio para indicar se as correntes estoentrando ou saindo de um n. Na lei de Kirchhoff para tenso, o sinal algbrico usado para indicar a polaridade datenso. Em outras palavras, ao percorrer o circuito, necessrio cancelar os aumentos e as diminuies nos nveis deenergia. Portanto, importante indicar se o nvel de energia est aumentando ou diminuindo medida que passarmos porcada elemento.

Exemplo 2.8Consideremos o circuito mostrado na Figura 2.7a. Aplicando-se a lei de Kirchhoff para tenso, devemos percorrer ocircuito e somarmos os aumentos e diminuies no nvel de energia. J que a rede um lao nico, podemospercorrer o caminho tanto no sentido horrio como no anti-horrio. Alm do mais, podemos considerar um aumentono nvel potencial de energia como positivo e uma diminuio no nvel de energia como


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negativo, ou vice-versa. Baseados nesses argumentos, neste caso temos quatro opes para aplicar a lei deKirchhoff para tenso. Eles so ressaltados na tabela a seguir.

Aumento no Nvel Diminuio no Nvel Sentido de Percurso

Conveno de Energia de Energia no Circuito1 + - CW

2 + - ccw3 - + cw4 - + ccw

Comeando no ponto a, os resultados obtidos pelo uso dessas quatro convenes so os seguintes:

Desde que uma equao no seja modificada pela multiplicao de cada termo por -1, um exame das qua

equaes acima ilustra que todas elas so idnticas. Sob tais condies, qual conveno deveramos usar? J que todas eso vlidas, use a que mais lhe agrada. Por enquanto, faremos uso da conveno 1. Porm, desde que o primeiro passo pse resolver uma equao algbrica colocar os valores conhecidos de um lado e os desconhecidos de outro, comearemoescrever as equaes da seguinte forma:

+VR1 + VR2 + VR3 = 5 + 15 + 30 = 50

Suponhamos agora que VR1 e VR2 so 18 V e 12 V, respectivamente. Ento, qualquer uma das equaes pode usada para encontrarmos VR3 = 20 V. O circuito com todas as tenses representadas mostrado na Figura 2.7b.

Finalmente, empregaremos a conveno Vab para indicar a tenso no ponto a com respeito ao ponto b: isto varivel de tenso entre os pontos a e b, com o ponto a considerado positivo em relao ao ponto b. Uma vez que o potenc medido entre dois pontos, conveniente usar uma seta entre os dois pontos, com a ponta da seta indicando o n positiNote que a notao de subndices duplos, a notao + e -, e a notao que usa a seta so todas elas equivalentes se a seestiver apontando na direo do terminal positivo e do primeiro ndice na notao de subndices duplos. Todas essas form

equivalentes para representao de tenso so mostradas na Figura 2.8. Se empregarmos os resultados da Figura 2.8 na reda Figura 2.7, acharemos, por exemplo, que Vaf = 30 V, Vfa = -30 V, Vab - 18 V, Vdc = -12V,Ved = 15 V e Vef = 20 V. Aldisso, podemos aplicar a lei de Kirchhoff para tenso ao circuito para determinar a tenso entre quaisquer dois pontos. Pexemplo, suponhamos que queremos determinar a tenso Vbe como mostrado na Figura 2.7c. Apesar de podermos emprequalquer uma das quatro convenes mostradas anteriormente, usaremos a conveno 1 e comearemos no ponto b. Nque temos uma escolha de dois caminhos; um bcdeb e o outro befab. Para o primeiro caminho, temos:

+5-12 + 15 + Vbe = 0

Vbe = -8V

Conveno 1 Conveno 2

Conveno 3 Conveno 4


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Para o segundo caminho, a equao

-Vbe -20 + 30 -18 = OV = -8 V De uma maneira semelhante, mostramos que Vad= 25 V e VIc = -17

V. .

Exemplo 2.9Consideremos agora a rede da Figura 2.9a. Alm da fonte de tenso, as seguintes tenses so conhecidas: VR,= 2V, VR, = 4V, VR, = 9V e VR, = -3V. Dada tal informao, vamos determinar VR"Vae e Vec'Poderamos, claro, comear de qualquer ponto da rede e empregar qualquer uma das convenes mostradasanteriormente. Mais uma vez faremos uso da conveno I e aplicaremos a lei de Kirchhoff para tenso ao laoabcdefa.

-24 + VR2 -VR, +VR, -VR, +VR, =O Substituindo-se os valores conhecidos nessa equao temos

-24 + 4 - VR) +9- (-3) + 2=O ouV

R, = -6 V

Usando-se o mesmo mtodo, podemos determinar Vae' Todas as tenses conhecidas at este ponto somostradas na Figura 2.9b. Lembre-se que poderamos mudar as tenses sobre R3 eRs para valores positivosse tambm revertssemos a polaridade de ambos VR) e VR, (ou seja, trocar os sinais + e - nos terminais dosresistores). Usando o caminho abcdea, obtemos

-24 + 4 - (-6) + 9 + Vae =O

Vae = 5 V Usando o caminho aefa temos

-Vae -(-3) + 2 = O

1/ _ C \7

Figura 2.9 Outro circuito usado para ilustrar a lei de Kirchhoft para tenso.


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Figura 2.7 Circuitos usados para ilustrar a lei de Kirchhoff para tenso.

Figura 2.8 Formas equivalentes para se identificar tenso.


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Cap 2 Circuitos resistivos 29

Finalmente, com a informao obtida, .Vec pode ser calculada de vrias formas. Usando-se o caminho cdec,temos

-(-6) +9-Vec = 0

Vec = 15V

O uso do caminho cefabc nos d

Vec - (-3) + 2 - 24 + 4 = O

Vec = 15V

Utilizando-se o caminho ceabc, temos

Vec + Vae - 24 + 4 = O

Vec + 5 24 + 4 = O

Vec = 15 V

Em geral, a representao matemtica da lei de Kirchhoff para tenso

Resp.: VR2. = 14 V, Vbd= 8 V.E2.6 Na rede da Figura E2.6, calcule VR4 Vbfe Vec

Figura E2.6Resp.: VR4 = -5 V, Vbf= 13 V, Vec = -22 V.

Antes de avanarmos com a anlise de circuitos simples, de suma importncia enfatizar um pontocrtico, mas sutil. A lei de Ohm, como definida pela equao V = IR, refere-se relao entre a tenso ecorrente como definida na Figura 2.10a.

onde vj(t) a tenso sobre o j-smo ramo (com a devida referncia ao sentido) em um lao contendoN tenses.Essa expresso anloga Equao 2.7 para a lei de Kirchhoff para corrente.Exerccios

E2.S Na rede da Figura E2.5, VR1 conhecido como 4 V. Calcule VR2 e Vbd


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!:il (W (C)

Figura 2.10 Circuitos usados para explicar a lei de Ohm.

Se o sentido da corrente ou da tenso, mas no ambos simultaneamente, invertido, o relacionamento entre

a corrente e a tenso seria V = - IR. De forma semelhante, dado o circuito da Figura 2. l0b, V = IR implica que acorrente I flui do pontoB atravs do resistor para o pontoA. Do mesmo modo, para o circuito da Figura 2.l0c, V =IRimplica que o pontoD est em um potencial mais alto que o ponto C, e portanto a seta representando a tenso V estdo ponto C para o pontoD.

2.3 Circuitos de Lao nicoPodemos agora aplicar as leis apresentadas anteriormente na anlise de circuitos simples. Para comear,examinaremos o que talvez seja o mais simples dos circuitos um nico caminho fechado, ou lao, de componentes.Os elementos de um lao nico transportam a mesma corrente e, portanto, diz-se que esto em srie. No entanto,aplicaremos a lei de Kirchhoff para tenso e a lei de Ohm no circuito para determinar os muitos valores encontradosno circuito.

Nosso mtodo consistir em comear com um circuito simples e ento generalizar a anlise para os maiscomplicados. O circuito mostrado na Figura 2.11 nos servir como base para tal discusso. Esse circuito consiste deuma fonte de tenso independente que est em srie com dois resistores. Assumimos que a corrente flui no sentidohorrio. Se tal afirmao est correta, a soluo das equaes que determina a corrente ter um valor positivo. Se acorrente est na realidade fluindo na direo oposta, o valor da varivel de corrente ser simplesmente negativo,indicando que a corrente est fluindo no sentido oposto ao originalmente assumido. Fizemos tambm afirmaes arespeito da polaridade das tenses para VR1 e VR2 . Tais afirmaes foram feitas usando-se a conveno empregada emnossa discusso da lei de Ohm e o sentido escolhido para i(t), isto , a conveno mostrada na Figura 2.10a.

Figura 2.11 Circuito de lao nico.

Aplicando-se a lei de Kirchhoff para tenso a esse circuito, tem-se


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Entretanto, da lei de Ohm sabemos que

Portanto,

Conhecendo a corrente, podemos agora aplicar a lei de Ohm para determinar a tenso em cada re-sistor:

Similarmente,

Note que as equaes satisfazem a lei de Kirchhoff para tenso, j que

Apesar de simples, as equaes 2.10 e 2.11 so muito importantes porque descrevem a operaochamada de divisor de tenso. Em outras palavras, a fonte v(t) est dividida entre os resistores Rl e R-, eiproporo direta s respectivas resistncias.

Exemplo 2.10Considere o circuito mostrado na Figura 2.12. O circuito idntico ao da Figura 2.11, com a diferena quR I um resistor varivel tal como os de controle de volume para rdio e televiso. Suponhamos que Vs = 24,

R1 = 10 e R2 = 2.I

Figura 2.12 Circuito divisor de tenso.

Usando-se a Equao (2.11), obtemos a tenso Vz que

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