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1
Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Ganho e Deslocamento de Fase
Função de Rede (ou de Transferência)
Estabilidade
2
Definições
• Ganho?
• Deslocamento de fase?
• Função de transferência?
• Como a impedância dos capacitores e indutores do
circuito varia com a frequência, consequentemente,
essas três propriedades são funções da
frequência.
3
Definição de Ganho
• Ganho: é um parâmetro que expressa a relação
entre a intensidade do sinal de saída e a
intensidade do sinal de entrada. No caso de
sinais senoidais em circuitos lineares, o ganho é a
razão entre a amplitude da senoide da saída e a
amplitude da senoide da entrada.
4
Definição de Deslocamento de Fase
• Deslocamento de fase: é um parâmetro que
descreve a relação entre o ângulo de fase do
sinal de saída e o ângulo de fase do sinal de
entrada. No caso de sinais senoidais em circuitos
lineares, o deslocamento de fase é a diferença
entre o ângulo de fase da senoide de saída e o
ângulo de fase da senoide de entrada.
5
Ganho e Deslocamento de Fase
6
Ganho e Deslocamento de Fase
𝑣𝑖𝑛(𝑡)
𝑣𝑜𝑢𝑡(𝑡)
7
Ganho e Deslocamento de Fase
Resposta em frequência
8
Definição de Ressonância
Ressonância é uma condição em um circuito RLC no qual as reatâncias capacitivas e indutivas são iguais em módulo.
9
Exemplo A
𝐼 𝑠 =𝑉(𝑠)
𝑅+ 𝐶𝑠𝑉 𝑠 +
𝑉(𝑠)
𝐿𝑠
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)=
𝐿𝑠
𝐶𝐿𝑠2 +𝐿𝑅
𝑠 + 1 𝒙
𝟏
𝑳𝑪
𝒙𝟏
𝑳𝑪
10
Exemplo A (cont.)
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)=
𝑠/𝐶
𝑠2 +1
𝑅𝐶𝑠 +
1𝐿𝐶
Equação
característica
𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0 𝑟1,2 = −
1
2𝑅𝐶±
1
2𝑅𝐶
2
−1
𝐿𝐶
𝑠2 +1
𝑅𝐶𝑠 +
1
𝐿𝐶= 0
𝛼 =1
2𝑅𝐶 Np/s
𝜔0 =1
𝐿𝐶 rad/s
𝑟1,2 = −𝛼 ± 𝑗𝜔𝑑
(freq. de
amortecimento) 𝜔𝑑 = 𝜔𝑜2 − 𝛼2
(frequência de ressonância)
𝛼 𝛼2 𝜔02
(fator de amortecimento)
11
Fator de Qualidade
O de fator de qualidade do circuito ressonante (𝑄) expressa a rapidez com a qual |Z| diminui para valores da frequência maiores ou menores que a frequência de ressonância. No caso de sinais sinusoidais:
𝑄 = 𝑅𝐶
𝐿
12
Fator de Qualidade
O de fator de qualidade do circuito ressonante (𝑄)
13
Exemplo
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)= 𝑍(𝑠) =
𝑠/𝐶
𝑠2 +1
𝑅𝐶𝑠 +
1𝐿𝐶
C=100 uF
L=1 mH
R=100Ω
Q=31,623
C=100 uF
L=1 mH
R=10kΩ
Q=3162,3
14
Funções de Rede (ou de Transferência)
Circuito Linear u(t) y(t)
Função de Rede: G(s)
condições iniciais nulas
G(s) não depende da excitação
15
Funções de Rede e Resposta Forçada
Conhecendo-se a Função de Transferência de um circuito linear,
é possível obter a resposta forçada a qualquer excitação e(t):
1 1( ) ( ) ( ). ( )f fy t Y s G s E s L L
yf (t) e (t)
Domínio s
Tempo
𝓛−𝟏 𝓛−𝟏
16
Exemplo B
eg(t)
2Ω
1H
eg(t) = 4.H(t)
i(0-) = 4A ; i = ?
E.D.O.: ( )( ) ( )g
di tL Ri t e t
dt
resposta forçadaL𝓛 𝓛
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑖 𝑡 = 𝑒𝑔(𝑡)
ℒ𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑖 𝑡 = ℒ 𝑒𝑔(𝑡)
𝑠𝐼 𝑠 − 𝑖 0− + 2𝐼 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)
𝐼 𝑠 𝑠 + 2 = 𝐸𝑔 𝑠 + 𝑖(0−)
𝐼 𝑠 =𝐸𝑔(𝑠)
(𝑠 + 2)+
𝑖(0−)
(𝑠 + 2)
17
Exemplo B (cont.)
Resposta forçada ao degrau: e(t)= 4H(t)
Resposta forçada ao impulso: e(t)= 4(t)
1 L 2( ) 2 2 [A,s]t
fi t e 4 /
( ) ( ). ( ) ( 2)
f
sI s G s E s
s
forçada (transitório+permanente)
𝓛−𝟏
4( ) ( ). ( )
( 2)fI s G s E s
s
1 L2( ) 4 [A,s]t
fi t e
forçada (transitório)
𝓛−𝟏
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.
=𝐼(𝑠)
𝐸𝑔(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.
=1
(𝑠 + 2) [ função de rede G(s) ]
18
Obtenção de Função de Rede
Funções de Entrada (circuitos de 1 porta, 2 terminais)
19
Tipos de Funções de Rede
20
Tipos de Funções de Rede
Funções de
Transferência
(circuitos de 2 portas,
4 terminais)
21
Exemplo C
A função de transferência depende do sinal que é definido
como saída.
Como um circuito pode ter múltiplas fontes, podem existir várias
funções de transferência.
1 . . . 2
( ) 1( )
( ) 1/ 1c i n
g
I s sCH s
V s R sL Cs s LC RCs
2 . . . 2
( ) 1/ 1( )
( ) 1/ 1c i n
g
V s CsH s
V s R sL Cs s LC RCs
Circuito de segunda ordem
22
Resposta Impulsiva
A Resposta Impulsiva
é a anti-transformada da
Função de Rede
23
Resposta Impulsiva
Com a resposta ao impulso do sistema, é possível
obter a função de transferência do sistema.
24
Exemplo D: resposta ao impulso unitário
eg(t)
2Ω
1H
Resposta Impulsiva: eg(t) = (t) e i(0-)=0
2( ) . ( ) [V,s]tg t e H t
Circuito de primeira ordem
1( ) ( )g t G s L𝓛−𝟏
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.
=𝐼(𝑠)
𝐸𝑔(𝑠) 𝑐.𝑖.𝑛.
=1
(𝑠 + 2)
25
Exemplo E: resposta ao impulso unitário
0
11 /rd s
LC
2 2
0 0,995 /d rd s 0
. . . 2
( ) 1( )
( ) 1c i n
g
V sG s
V s s LC RCs
Circuito RLC série sub-amortecido ou oscilatório
R=0,2 Ω
L=1H
C=1F
𝛼 =𝑅
2𝐿= 0,1
𝑁𝑝𝑠
1( ) ( )g t G s L
26
Resposta transitória e permanente
• Considerando: Y(s) = G(s)X(s)
• Os termos gerados pelos pólos de G(s) dão origem à
componente transitória da resposta global,
• Enquanto que, os termos gerados pelos pólos de X(s) dão
origem à componente permanente da resposta global.
entrada Função de
transferência
27
Exemplo F
A fonte vg é a alimentação e vo a saída. Determine:
A expressão numérica para a função de transferência;
Os valores de pólos e zeros.
Domínio s Domínio t
28
Exemplo F (cont.)
62 10.256000
)5000(1000)(
ss
s
Vg
VosH
010
.
05,02501000 6
sVo
s
VoVgVop1=-3000+j4000
p2=-3000-j4000
z1=-5000
29
Exemplo F (cont.)
Considere que o circuito é alimentado por uma fonte de tensão que aumenta linearmente com o tempo, isto é, vg = 50tu(t). Use a função de transferência para determinar vo. Identifique a componente transitória da resposta. Identifique a componente de regime permanente da
resposta.
262
50
10.256000
)5000(1000
sss
sVo
𝑉𝑔 𝑠 = ℒ 50𝑡𝑢(𝑡) =50
𝑠2 62 10.256000
)5000(1000)(
ss
s
Vg
VosH
30
Exemplo F (cont.)
Vttevo t ]10.410)º70,794000cos(.10.36,22[ 430004
ssjsjsVo
4
2
44 10.410
40003000
º7,7910.18,11
40003000
º7,7910.18,11
262
50
10.256000
)5000(1000
sss
sVo
transitória permanente
31
Exemplo F (cont.)
)º70,794000cos(.10.36,22 30004 teatransitóri t
)10.410( 4 tpermanente
Parcela transitória: gerada pelos polos de G(s).
Parcela permanente: gerado pelo pólo de 2ª ordem da tensão de alimentação.
• Após 1 ms a diferença entra a resposta global e de regime permanente é imperceptível
32
Resposta em Regime Permanente Senoidal (RPS)
Uma vez calculada a função de transferência, não é necessário realizar uma análise fasorial para determinar a resposta em RPS.
Admita que x(t) = A.cos(wt + )
222222
.cos...cos.)(
ws
senwsA
ws
wsenA
ws
sAsX
cos 𝑎 + 𝑏 = cos𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
𝑥 𝑡 = 𝐴. cos𝑤𝑡 . cos 𝜙 − 𝐴. sin𝑤𝑡 . sin𝜙
Laplace
33
Resposta em RPS
G(jw) quantidade complexa
𝑌 𝑠 =𝐾1
𝑠 − 𝑗𝑤+
𝐾1∗
𝑠 + 𝑗𝑤+
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜𝑠 𝑝ó𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺(𝑠)
G 𝑗𝑤 = 𝐺(𝑗𝑤) . 𝑒𝑗∠𝐺(𝑗𝑤) Se: 𝐾1 =𝐴
2𝐺(𝑗𝑤) . 𝑒𝑗(∠𝐺 𝑗𝑤 +𝜙)
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑋(𝑠) 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos 𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)
𝑠2 + 𝑤2
𝐾1 =1
2𝐺 𝑗𝑤 . 𝐴. 𝑒𝑗𝜙
𝑝1 = 𝑗𝑤; 𝑝2 = −𝑗𝑤 Pólos =>
Não contribuem para a resposta em reg. permanente
Utilizando o método dos resíduos:
𝑦𝑟𝑝 𝑡 = ℒ−1𝐾1
𝑠 − 𝑗𝑤+
𝐾1∗
𝑠 + 𝑗𝑤= 𝐴. 𝐺 𝑗𝑤 . cos(𝑤𝑡 + 𝜙 + ∠𝐺(𝑗𝑤))
34
Cálculo do resíduo K1
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos 𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)
𝑠2 + 𝑤2 =𝐾1
𝑠 − 𝑗𝑤+
𝐾1∗
𝑠 + 𝑗𝑤+
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑜𝑠 𝑝ó𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐺(𝑠)
𝐾1 = 𝑌 𝑠 𝑠 − 𝑗𝑤 𝑠=𝑗𝑤
= 𝐺 𝑠 .𝐴. (𝑠. cos𝜙 − 𝑤. sin 𝜙)
(𝑠 − 𝑗𝑤)(𝑠 + 𝑗𝑤)𝑠 − 𝑗𝑤
𝑠=𝑗𝑤
𝐾1 = 𝐺 𝑗𝑤 .𝐴. (𝑗𝑤. cos𝜙 − 𝑤. sin𝜙)
(2𝑗𝑤)= 𝐺 𝑗𝑤 .
𝐴. (cos𝜙 + 𝑗. sin𝜙)
2
𝐾1 = 𝐺 𝑗𝑤 .𝐴
2𝑒𝑗𝜙
35
Exemplo G
Para o circuito da figura abaixo, determine a tensão vo(t) em
regime permanente, para t>0, se as condições iniciais são nulas.
𝐴 = 10; w = 2;
36
Exemplo G (cont.)
Transformar o circuito para o
domínio da Laplace. Considerar
todas as condições iniciais nulas.
1
12
1V
s
Vo
:divider VoltageDivisor tensão
0
1222
: 111
s
VVVV i1KCL@VLKC@V1:
s
𝑠𝑒: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(𝑤𝑡 + 𝜙)
𝑦𝑟𝑝 𝑡 = 𝐴. 𝐺 𝑗𝑤 . cos(𝑤𝑡 + 𝜙 + ∠𝐺(𝑗𝑤))
𝑉0 𝑠 =𝑠2
3𝑠2 + 4𝑠 + 4𝑉𝑖(𝑠)
𝐺 𝑠 =𝑠2
3𝑠2 + 4𝑠 + 4
𝐺 𝑗2 =𝑗2 2
3 𝑗2 2 + 4 𝑗2 + 4= 0,354∠45°
𝑣𝑜,𝑟𝑝 = 3,54 cos 2𝑡 + 45° 𝑉
𝐴 = 10; w = 2; 𝑣𝑖 𝑡 = 10 cos 2𝑡
L=1H; C=1/2 F; w = 2 rad/s;
37
Exemplo 1
Encontrar a função de transferência:
Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação,
considerando condições iniciais nulas
3𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌(𝑠) = 𝑋 𝑠
Logo, isolar a saída em função da entrada:
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)=
1
3𝑠 + 2=
13
𝑠 + 23
3𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)
38
Exemplo 2
Encontrar a função de transferência:
Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação,
considerando condições iniciais nulas
10𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌(𝑠) = 𝑋 𝑠
Logo, isolar a saída em função da entrada:
𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)=
1
10𝑠 + 2=
110
𝑠 + 15
=0,1
𝑠 + 0,2
10𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)
39
Exemplo 3
Obtenha a resposta no tempo y(t) a partir da função de
transferência anterior, considerando como sinal de entrada uma
função degrau unitário, admitindo condições iniciais nulas.
𝐺 𝑠 =1
10
𝑠 + 15
=0,1
𝑠 + 0,2
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 ;
𝑌 𝑠 =1
10
𝑠 𝑠 + 15
=𝐾1
𝑠+
𝐾2
𝑠 + 15
𝑋 𝑠 = ℒ 𝑢(𝑡) =1
𝑠
40
Exemplo 3 (cont.)
𝑌 𝑠 =1
10
𝑠 𝑠 + 15
=𝐾1
𝑠+
𝐾2
𝑠 + 15
𝑌 𝑠 =1
2
𝑠−
12
𝑠 + 15
𝑦 𝑡 = ℒ−1{𝑌 𝑠 } =1
2𝑢 𝑡 −
1
2𝑒−(1 5 )𝑡𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 =1
2−
1
2𝑒− 1
5 𝑡 ; 𝑝/ 𝑡 > 0
41
Exemplo 4
Obtenha a resposta no tempo y(t) à rampa para um sistema cuja
função de transferência é:
𝑌 𝑠 =𝑠
𝑠2 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=
1
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)=
𝐾1
𝑠+
𝐾2
𝑠 + 4+
𝐾3
𝑠 + 8
𝑌 𝑠 =1
32
𝑠+
−116
𝑠 + 4+
132
𝑠 + 8
𝑦 𝑡 = ℒ−1{𝑌 𝑠 } = (1
32−
1
16𝑒−4𝑡 +
1
32𝑒−8𝑡)𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 =1
32−
1
16𝑒−4𝑡 +
1
32𝑒−8𝑡 ; 𝑝/ 𝑡 > 0
𝐺 𝑠 =𝑠
𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋 𝑠 ; 𝑋 𝑠 = ℒ{𝑡} =1
𝑠2
42
Estabilidade das redes lineares
Pólos da rede
43
Estabilidade das redes lineares
Assintoticamente
Estável
44
Estabilidade das redes lineares
Marginalmente
Estável
45
Estabilidade das redes lineares
Instável
linear exponencial
multiplicidade
46
Exemplo
Veja o exemplo do colapso da ponte Tacoma Narrows, localizado em
Washington, Estados Unidos.
“Resonance, Tacoma Narrows Bridge Failure, and Undergraduate Physics
Textbooks,” by K. Y. Billah and R. H. Scalan published
in the American Journal of Physics, vol. 59, no. 2 (1991), pp. 118–124.
7 de Novembro de 1940
https://www.youtube.com/wat
ch?v=j-zczJXSxnw
47
Próxima Aula
1. Exercícios.
48
Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,
Editora Pearson, 2009.