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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Quadripolos
2
Introdução
O que é um quadripolo (rede de duas portas) ?
• Um quadripolo tem duas portas, que consistem em pares
de terminais. Toda a corrente que entra por um dos
terminais de um par sai pelo outro terminal do mesmo
par.
3
Introdução
Limitações:
1- Não deve ter energia
armazenada;
2- Não deve ter fontes
independentes;
3- Não são permitidas ligações
entre portas;
4
Introdução
No Quadripolo
Somente as variáveis terminais são de interesse (I1, V1, I2 e
V2)
• Deseja-se relacionar v e i de uma porta com v e i de outra
porta.
• A descrição mais geral é no
domínio da frequência, sendo
circuitos resistivos e senoidais
casos particulares.
5
Introdução
No Quadripolo
A partir de duas variáveis pode-se determinar as outras
duas. Assim, o circuito pode ser escrito sempre por duas
equações simultâneas, de seis maneiras diferentes.
6
Introdução
• Os seis conjuntos de equações podem ser considerados três pares de relações mutuamente inversas.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g I
V g V g I
1 2 2
1 2 2
V AV BI
I CV DI
2 1 1
2 1 1
V aV bI
I cV dI
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V z I z I
V z I z I
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I y V y V
I y V y V
Parâmetros z Parâmetros h Parâmetros T
Parâmetros y Parâmetros g Parâmetros t
Os coeficientes das variáveis V e I são denominados parâmetros do quadripolo.
7
Parâmetros de Impedância (z)
O circuito de duas portas pode ser excitado por tensão ou
por corrente.
As tensões nos terminais podem ser relacionadas com as
correntes nos terminais como segue:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V z I z I
V z I z I
Os termos z são denominados
de parâmetros de impedância.
8
Parâmetros de Impedância
Os parâmetros z podem ser determinados fazendo:
I1=0 (porta de entrada como circuito aberto)
ou I2=0 (porta de saída como circuito aberto)
zii = impedância de entrada/saída.
zjk = impedância de transferência.
9
Parâmetros de Impedância
Eles também são denominados de parâmetros de impedância
de circuito aberto.
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
I I
I I
V Vz z
I I
V Vz z
I I
zii = impedância de entrada/saída.
zjk = impedância de transferência.
10
Parâmetros de Impedância
Quando z11=z22 diz-se que o quadripolo (circuito de duas
portas) é simétrico.
Quando o quadripolo for linear e não tiver fontes de tensão
dependentes, as impedâncias de transferência são iguais
(z12=z21) e as duas portas são reciprocas.
Isso significa que se os pontos de excitação e de resposta
forem trocadas entre si, as impedâncias de transferência
permanecem as mesmas.
11
Parâmetros de Impedância
Qualquer circuito de duas portas, formado inteiramente por
resistores, capacitores e indutores deve ser reciproco.
O circuito equivalente para um quadripolo
Para alguns circuitos de duas portas, os parâmetros z não
existem (ex. transformador ideal).
(Para quadripolo recíproco)
12
Parâmetros de Admitância (y)
Pode ser que os parâmetros de impedância não existam,
portanto, há a necessidade de uma forma alternativa.
Esta necessidade poderia ser atendida expressando-se as
correntes nos terminais em termos de tensões nos terminais.
Os termos y são conhecidos como parâmetros de admitância.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I y V y V
I y V y V
13
Parâmetros de Admitância
Os parâmetros y podem ser calculados fazendo:
V1=0 (porta de entrada curto-circuitada)
ou V2=0 (porta de saída curto-circuitada)
yii = admitância de entrada/saída.
yjk = admitância de transferência.
14
Parâmetros de Admitância
Eles também são denominados de parâmetros de admitância
de curto-circuito.
yii = admitância de entrada/saída.
yjk = admitância de transferência.
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
V V
V V
I Iy y
V V
I Iy y
V V
15
Parâmetros de Admitância
Quando o quadripolo for linear e não tiver fontes de tensão
dependentes, as admitância de transferência são iguais
(y12=y21) e as duas portas são reciprocas.
O circuito equivalente
(Para quadripolo recíproco)
16
Parâmetros Híbridos (h)
Algumas vezes os parâmetros z e y de um circuitos de duas
portas nem sempre existem.
Assim, há a necessidade de criarmos um terceiro conjunto de
parâmetros.
Se considerarmos V1 e I2 as variáveis dependentes, tem-se:
Os termos h são conhecidos como parâmetros híbridos.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
17
Parâmetros Híbridos
Estes parâmetros tendem a ser muito mais fáceis de medir
que os parâmetros z e y.
São particularmente uteis para caracterizar transistores.
Os transformadores também podem ser caracterizados pelos
parâmetros h.
Os valores dos parâmetros são:
Para circuitos recíprocos, h12=-h21
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
V I
V I
V Vh h
I V
I Ih h
I V
18
Parâmetros Híbridos
Os parâmetros h correspondem a:
h11, impedância de entrada de curto-circuito
h12, ganho de tensão inverso de circuito aberto
h21, ganho de corrente direto de curto-circuito
H22, admitância de saída de circuito aberto.
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
V I
V I
V Vh h
I V
I Ih h
I V
19
Parâmetros Híbridos (h)
Circuito equivalente
20
Parâmetros Híbridos Inversos (g)
É um conjunto de parâmetros estritamente ligados aos
parâmetros h.
Estes são usados para descrever as correntes e tensões nos
terminais como:
Os termos g são conhecidos como parâmetros híbridos
inversos.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g I
V g V g I
21
Parâmetros Híbridos Inversos (g)
Os valores dos parâmetros g são determinados como segue:
O circuito equivalente com parâmetros g
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
I V
I V
I Ig g
V I
V Vg g
V I
22
Parâmetros Híbridos Inversos (g)
Os parâmetros g correspondem a:
g11 admitância de entrada de circuito aberto
g12 ganho de corrente inverso de curto-circuito
g21 ganho de tensão direto de circuito aberto
g22 impedância de saída de curto-circuito.
2 1
2 1
1 111 12
1 20 0
2 221 22
1 20 0
I V
I V
I Ig g
V I
V Vg g
V I
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Parâmetros de transmissão (T)
Não existe restrições sobre quais tensões e correntes devem ser
consideradas variáveis independentes e quais devem ser
consideradas variáveis dependentes, há vários conjuntos de
parâmetros possíveis.
Outro conjunto de parâmetros estabelece uma relação entre as
variáveis na porta de entrada e as variáveis na porta saída,
portanto:
1 2 2
1 2 2
V AV BI
I CV DI
No cálculo é usado –I2 em
vez de I2. Porque considera-
se que a corrente está saindo
do circuito.
24
Parâmetros de transmissão
Os parâmetros de transmissão são:
Sendo:
A=razão de tensão de circuito aberto.
B=impedância de transferência de curto-circuito negativa [Ω].
C= admitância de transferência de circuito aberto [S].
D=razão de corrente de curto-circuito negativa.
2 2
2 2
1 1
2 20 0
1 1
2 20 0
I V
I V
V VA B
V I
I IC D
V I
25
Parâmetros de Transmissão Inversa (t)
Pode-se derivar parâmetros expressando as variáveis da porta de
saída em termos das variáveis da porta de entrada.
Os parâmetros de transmissão inversa são determinados por:
2 1 1
2 1 1
V aV bI
I cV dI
1 1
1 1
2 2
1 10 0
2 2
1 10 0
I V
I V
V Va b
V I
I Ic d
V I
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Parâmetros de transmissão
Os parâmetros de transmissão inversa são:
Sendo:
a=ganho de tensão de circuito aberto.
b=impedância de transferência de curto-circuito negativa [Ω].
d= admitância de transferência de circuito aberto [S]
d=ganho de corrente de curto-circuito negativa.
1 1
1 1
2 2
1 10 0
2 2
1 10 0
I V
I V
V Va b
V I
I Ic d
V I
27
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos
Se um conjunto de parâmetros é conhecido, é possível determinar
todos os outros conjuntos, pois as equações envolvem a mesmas
variáveis.
Exemplo: Determinação dos parâmetros z em função de y
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I y V y V
I y V y V
(1) 1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V z I z I
V z I z I
(2)
28
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos
Exemplo: Determinação dos parâmetros z em função de y.
Determinar V1 e V2 da eq. (1) [Cramer]
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I y V y V
I y V y V
(1)
212
122222
121
1 Iy
yI
y
y
y
yI
yI
V
2
111
21221
111
2 Iy
yI
y
y
y
Iy
Iy
V
29
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos
Comparar com os coeficientes da eq. (2)
212
122222
121
1 Iy
yI
y
y
y
yI
yI
V
2
111
21221
111
2 Iy
yI
y
y
y
Iy
Iy
V
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V z I z I
V z I z I
(2)
y
yz
22
11y
yz
12
12y
yz
21
21y
yz
11
22
30
Interconexão de Circuitos Elétricos
Um circuito elétrico grande e complexo pode ser divido em
subcircuitos para fins de análise e projeto.
A interconexão pode ser:
em série,
em paralelo
ou em cascata.
31
Conexão em Serie
São considerados em serie
porque suas correntes de
entrada são idênticas e
suas tensões são somadas.
Os parâmetros z para a
rede toda são somadas.
a bz z z
32
Conexão em Paralelo
São considerados em
paralelo quando as tensões
em suas portas forem
iguais e as correntes no
circuito maior forem as
somas das correntes em
cada porta.
Os parâmetros y para a
rede toda são somadas.
a by y y
33
Conexão em Cascata
Diz-se que dois circuitos estão em cascata quando a saída de
um for a entrada do outro.
Os parâmetros de transmissão para o circuito global são:
a bT T T
34
Problema 19.1
Obtenha os parâmetros z para o circuito da figura abaixo.
35
Problema 19.7
Calcule o parâmetro de impedância equivalente para circuito da
figura abaixo.
36
Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,
Pearson, 2008.
3. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
