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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Filtros Ativos
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Introdução – Filtros Ativos
Limitações dos Filtros Passivos:
Não podem gerar ganho superior a 1.
Talvez precisem de indutores volumosos e caros;
Apresentam um fraco desempenho em frequências abaixo do intervalo da audiofrequência (300 Hz < f < 3000 Hz).
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Introdução – Filtros Ativos
Vantagens em relação aos filtros passivos:
• São menores e baratos pois não usam indutores (componentes caros, grandes e que apresentam muitos parasitas)
• Permitem amplificação do sinal de entrada
• Resposta não é alterada com a conexão da carga
Circuitos ativos são utilizados no projeto de filtros quando ganho, variação da carga e tamanho físico são parâmetros importantes no projeto.
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Amplificador Operacional
CI- circuito integrado, composto
por dispositivos eletrônicos
Entrada não
inversora
Entrada
inversora
saída
Alimentação
CC positiva
Alimentação
CC negativa 1 2 3 4
Várias aplicações: operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, etc.), amplificadores, osciladores, filtros ativos, etc...
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Amplificador Operacional
Circuito equivalente a um amplificador real
A Ganho de tensão de malha aberta
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Amplificador Operacional
Faixa de valores comuns para parâmetros dos Amp-Op
Ganho de malha aberta (A)
Resistência de entrada (Ri)
Resistência de saída (Ro)
Tensão de alimentação (Vcc)
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Amplificador Operacional
• No amplificador ideal, nenhuma corrente flui pelos terminais
de entrada e a tensão de saída não é afetada pela carga conectada aos terminais de saída.
1. Correntes em ambos os
terminais de entrada
são nulas:
2. A tensão diferencial
entre os terminais de
entrada é igual a zero:
ou
𝑖1 = 0 ; 𝑖2 = 0
𝑣𝑑 = 𝑣2 − 𝑣1 = 0
𝑣2 = 𝑣1
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Amplificador Operacional
• Exemplo: Determine a função de transferência do circuito:
• 𝑉1 = 0; 𝐼𝑎 𝑠 = 0
• 𝐼1 𝑠 + 𝐼2(𝑠) = 0
•𝑉𝑒(𝑠)
𝑍1+
𝑉𝑠(𝑠)
𝑍2= 0
•𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠) = −
𝑍2
𝑍1
( )( )
( )
s
e
V sH s
V s
terra “virtual”
Amplificador Inversor
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Filtro Ativo Passa-Baixas
Filtros Ativos de 1ª Ordem
Para frequências baixas, o capacitor está aberto e o ganho é –R2/R1
Para frequências altas,
o capacitor é um curto e a saída é conectada à terra.
O circuito comporta-se como um filtro PB com ganho = -R2/R1
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Filtro Ativo Passa-Baixas
Filtros Ativos de 1ª Ordem
c
c
sKsH
)(
1
2
R
RK
CRc
2
1
Mesma forma da função geral para filtros PB,
com ganho K= (R2/R1) na faixa de passagem.
O filtro PB ativo permite ajuste de 𝝎𝒄 e
ganho na faixa de passagem.
-3dB
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Filtro Ativo Passa-Baixas
Resposta em frequência – Diagrama de Bode
)(log.20 10 jHAdB
R1 = 1Ω; R2=1; C=1F
dBAdB 32/1log.20 10
Eixo X logarítmico → permite
representar uma faixa mais ampla de
frequências
Módulo do ganho em decibéis (dB)
2
1
1 0 dBR
KR
𝜔𝑐 =1
𝑅2𝐶= 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
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Filtro Ativo Passa-Altas
cs
sKsH
)(
1
2
R
RK
CRc
1
1
• H(s) tem a forma geral da função de transferência para os filtros PA. • Com um filtro ativo, o ganho na faixa de passagem pode ser maior do que 1.
Filtros Ativos de 1ª Ordem
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Filtro Ativo Passa-Altas
Resposta em frequência – Diagrama de Bode
• K=10 20 dB • 𝝎𝒄 = 500rad/s R1 = 20 kΩ; R2 = 200kΩ C=0,1F
• Se Amp Op ideal
Característica do filtro
não se altera com a
conexão de carga .
-3dB
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Filtro Ativo Passa-Faixa
Pode ser construído com a combinação de três blocos:
1- Um filtro PB com 𝑘 = 1 e freq. de corte 𝝎𝒄𝟐
2- Um filtro PA com 𝑘 = 1 e freq. de corte 𝝎𝒄𝟏
3- Amplificador inversor com fator de amplificação igual ao
ganho desejado na faixa de passagem
Filtro PB Filtro PA Amplificador
𝝎𝒄𝟏 ≪ 𝝎𝒄𝟐
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Filtro Ativo Passa-Faixa
A função de transferência do filtro PF é o produto das 3
funções de transferência, ou seja:
i
f
cc
c
i
o
R
R
s
s
sV
VsH
12
2)(
Filtro PB
Filtro PA Amplificador
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Filtro Ativo Passa-Faixa
Considerando que 𝑠 = 𝑗𝜔, tem-se:
i
f
cc
c
i
o
R
R
s
s
sV
VsH
12
2)(
𝐻 𝑗𝜔 = −𝑅𝑓
𝑅𝑖
𝑗𝜔𝜔𝑐2
(𝜔𝑐1 + 𝑗𝜔)(𝜔𝑐2 + 𝑗𝜔)
Na frequência central 𝜔0 = 𝜔𝑐1𝜔𝑐2, a amplitude da função de
transferência é:
Portanto, o ganho na faixa de passagem é:
𝐻 𝑗𝜔0 =𝑅𝑓
𝑅𝑖
𝑗𝜔0𝜔𝑐2
(𝜔𝑐1 + 𝑗𝜔0)(𝜔𝑐2 + 𝑗𝜔0)=
𝑅𝑓
𝑅𝑖
𝜔𝑐2
𝜔𝑐1 + 𝜔𝑐2
𝐾 =𝑅𝑓
𝑅𝑖
𝜔𝑐2
𝜔𝑐1 + 𝜔𝑐2
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Filtro Ativo Passa-Faixa
Passa-baixas Passa-altas
ganho
Passa-faixa
Resposta em frequência –
Diagrama de Bode
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Filtro Ativo Passa-Faixa
i
f
cc
c
i
o
R
R
s
s
sV
VsH
12
2)(
2121
2
2
12
2)(cccc
c
cc
c
ss
sK
ss
sKsH
Para escrever a função na forma padrão do filtro PF é necessário que 𝝎𝒄𝟐 >> 𝝎𝒄𝟏
2
2 2 2
2 1 2 0
( ) c
c c c
K s sH s
s s s s
Pode-se projetar cada estágio do filtro independentemente
LL
cCR
12
HH
cCR
11
i
f
R
RjH )(
19
Filtro Ativo Rejeita Faixa (ou notch)
O filtro consiste de 3 blocos:
1- Um filtro PA com 𝑘 = 1 e freq. de corte 𝝎𝒄𝟐
2- Um filtro PB com 𝑘 = 1 e freq. de corte 𝝎𝒄𝟏
3- Amplificador somador com fator de amplificação igual ao ganho desejado na faixa de passagem
Filtro PB
Filtro PA
Amplificador
𝝎𝒄𝟏 << 𝝎𝒄𝟐
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Filtro Ativo Rejeita Faixa
A função de transferência do filtro RF é a soma das 2 funções de transferência dos filtros PB e PA, ou seja:
1
1 2
( )fo c
i c c i
RV sH s
V s s R
FPB
FPA
Amplificador
somador
21
Filtro Ativo Rejeita Faixa
1
1 2
( )fo c
i c c i
RV sH s
V s s R
Como 𝜔𝑐2 >> 𝜔𝑐1, então:
LL
cCR
11
HH
cCR
12
i
f
R
RjH )(
Nas duas faixas de passagem (quando 𝑠 → 0 e 𝑠 → ∞) o ganho da função de transferência é
Rf / Ri.
22
Filtro Ativo Rejeita Faixa
O ganho na frequência central 𝜔0 = 𝜔𝑐1𝜔𝑐2, será:
𝐻(𝑗𝜔0) =𝑅𝑓
𝑅𝑖
2𝜔𝑐1
𝜔𝑐1 + 𝜔𝑐2
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Filtros Ativos de ordem superior
É possível tornar a região de transição do filtro mais abrupta (ou seja, mais próxima do filtro ideal)
Quanto mais filtros forem adicionados em cascata, mais
abrupta será a transição.
A ordem do filtro é determinada pelo número de pólos de sua função de transferência.
Uma cascata de n filtros de 1ª ordem produz um filtro de n-
ésima ordem, com n polos na sua função de transferência
A frequência de corte muda quando a ordem do filtro é aumentada.
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Filtros Ativos PB de ordem superior
n
n
sssssH
1
1
1
1
1
1
1
1)(
Filtro PB Filtro PB Filtro PB
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Filtros Ativos PB de ordem superior
Resposta em frequência
ordem 1
ordem 2
ordem 4
ordem 3
Inclinação
- 20n dB/dec
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Referências
1. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,
Pearson, 2008.
2. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
3. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
