Circuitos em Corrente Contínua - parte 2 - UFSJ em... · 4/8/2015 1 circuitos em corrente 4/8/2015 1 contÍnua – parte 2 1.1. topologia topologia 2.2. leis de leis de kirchhoffkirchhoff

4/8/2015

1

CIRCUITOS EM CORRENTE

4/8/2015 1

CONTÍNUA – PARTE 2

1.1. TOPOLOGIATOPOLOGIA2.2. LEIS DE LEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFF3.3. MCMMCM4.4. MTNMTN

24/8/2015

5.5. MRRMRR6.6. MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO7.7. MTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZERO8.8. QUADRIPOLOSQUADRIPOLOS

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

TOPOLOGIATOPOLOGIATOPOLOGIATOPOLOGIA

34/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• A topologia estuda os circuitos (não necessariamenteelétricos) sob o ponto de vista de suas ligações, semse preocupar no que consistem as ligações.

• Três entidades estão envolvidas na topologia:

Definição

Três entidades estão envolvidas na topologia:

• Ramo

• Malha

• Nó

44/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

Ramo (loop)

• Definição 1: União entre dois nós.

• Definição 2: Intersecção entre duas malhas.

Malha (mesh)

Definições na topologia

Malha (mesh)

• Definição 1: Caminho fechado formado por dois ramos ou mais.

• Definição 2: Caminho fechado formado por dois nós ou mais.

Nó (node)

• Definição 1: Extremidades de um ramo.

• Definição 2: Ligação entre dois ou mais ramos.54/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Tal como o potencial gravitacional e elástico, o potencialelétrico necessita de uma referência.

• Define-se terra (ground) o nó de referência do circuito, aquelecuja tensão é dada como 0V.

• Todas as demais tensões nodais no circuito são tomadas com

Terra

referência ao terra.

• A escolha do nó zero é arbitrária.

• A análise fica mais fácil se o nó zero tem a menor tensão nodaldo circuito. Todas as demais tensões nodais são positivas.

• A análise de malhas não requer definição de terra.

64/8/2015

4/8/2015

2

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Tensão nodal: Tensão em um nó comreferência ao terra.

Tipos de tensão

• Tensão de ramo: Diferença de tensãoentre os dois nós que delimitam o ramo.

74/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Corrente de malha: Correnteque circula em uma malha.

Tipos de corrente

• Corrente de ramo: Correntetotal que atravessa um ramo.

84/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Análise das malhas

• Análise dos nós

Tipos de análise de circuitos

• Análise dos nós

• Análise dos ramos

94/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de malhas

Malha 1

104/8/2015Malha 0 (externa)

Malha 2

Malha 3 Malha 4

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de nós

Nó 1 Nó 2 Nó 3

Nó 5

114/8/2015

Nó 4 Nó 5 Nó 6

Nó 7 Nó 8 Nó 9 Nó 0

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Exemplo de ramos

Ramo 1 Ramo 2

Ram

o 9

Ram

o 12

124/8/2015

Ramo 3 Ramo 4

Ramo 5 Ramo 6 Ramo 13

Ram

o 8

Ram

o 10

Ram

o 11

R

4/8/2015

3

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Por meio da LTK, é possívelagrupar ramos em série.

• Isto simplifica a análise do circuito.

• Desta forma, serão considerados,

Simplificação dos ramos

apenas, ramos interligandodivisores de corrente.

• Todo nó deve ligar três ou maisramos.

134/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Nós simplificados

Nó 1

Nó 3

144/8/2015

Nó 2 Nó 3 Nó 4

Nó 5 Nó 6 Nó 0

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Mudando a escolha da referência detensão para um nó com três ramos,é possível simplificar o circuito.

• A referência de tensão não precisa

Nós simplificados

ser, necessariamente, o ponto deaterramento físico do sistema.

• Essa simplificação não altera aanálise de malhas.

154/8/2015

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Nós simplificados

Nó 1

Nó 3

164/8/2015

Nó 2 Nó 3 Nó 4

Nó 5 Nó 0

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Ramos simplificados

Ramo 1 Ramo 2

Ram

o 9

174/8/2015

Ramo 3 Ramo 4

Ramo 5 Ramo 6Ram

o 7

Ram

o 8

R

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Método das correntes de malha

• Método das tensões nodais

Métodos matriciais

• Os métodos matriciais consistem de uma

184/8/2015

• Os métodos matriciais consistem de umaferramenta sistemática para o cálculodas tensões e correntes em um circuito.

• Por serem métodos sistemáticos, elespodem ser implementados na forma desoftware.

4/8/2015

4

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Correntes de malha

• É adotado o sentido horário (arbitrário).

• É possível adotar a malha externa comomalha redundante com sentido anti horário

194/8/2015

malha redundante, com sentido anti-horário.

• Qualquer caminho fechado do circuito podeser tomado como uma malha.

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Correntes de malha

IM1

204/8/2015IM0

IM2

IM3 IM4

TOPOLOGIATOPOLOGIA1Tensões nodais

VN1

V

214/8/2015

VN2VN3 VN4

VN5 VN6 VN0

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• O nó escolhido como referencial é redundante enão deve ser considerado nas análises dos nós.

• A malha que circunda o circuito é redundante e nãodeve ser considerada nas análises das malhas.

Redundâncias

224/8/2015

• Se o ramo em análise estiver ligado àmalha redundante (externa), sua correntede ramo é a própria corrente de malha.

• Se o ramo em análise estiver ligado ao nóredundante (terra), sua tensão de ramo éa própria tensão nodal do outro nó.

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Considerando a malha 0, todos os ramos são percorridospor duas e apenas duas correntes de malha.

• As duas correntes de malha possuem sentidos contrários,isto é, a corrente de ramo é uma menos a outra.

Redundâncias

234/8/2015

• Considerando o nó 0, todos os ramos são delimitados porduas e apenas duas tensões nodais.

• As duas tensões nodais são consideradas com sinaiscontrários, isto é, a tensão de ramo é uma menos a outra.

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Curto-circuito virtual: Dois nós cuja tensão éa mesma. Pode-se fazer um curto-circuitoreal entre tais nós sem influenciar nofuncionamento do circuito.

• Circuito aberto virtual: Um ramo cuja corrente

Virtualidade

• Circuito aberto virtual: Um ramo cuja correnteé nula. Pode-se remover tal ramo seminfluenciar no funcionamento do circuito.

• Terra virtual: Um nó diferente do terra cujatensão é igual ao terra.

244/8/2015

4/8/2015

5

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• Nem sempre é possível, no início da análise, determinara polaridade de:

• Tensões nodais.

• Correntes de malha.

• Tensões de ramo.

Escolhas

254/8/2015

• Correntes de ramo.

• É preciso fazer suposições quanto aos valores de ramos.

• Resistências e condutâncias são sempre positivas.

• Obtendo-se tensão de ramo positiva, obtém-se correntede ramo positiva, ou vice-versa.

• Obtendo-se tensão de ramo negativa, obtém-se correntede ramo negativa, ou vice-versa.

TOPOLOGIATOPOLOGIA1

• A habilidade leva à obtenção detensões de ramo sempre

Escolhas

264/8/2015

tensões de ramo semprepositivas, o que facilita a análise.

LEIS DE KIRCHHOFFLEIS DE KIRCHHOFF2

LEIS DELEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFFLEIS DE LEIS DE KIRCHHOFFKIRCHHOFF

274/8/2015


Leis de Kirchhoff:

• Lei das tensões LTK

• Lei das correntes LCK

As duas leis

• Estas leis possuem estes nomes emhomenagem ao físico alemão GustavRobert Kirchhoff (1824 – 1887).

284/8/2015


• LTK em malha fechada: A soma de todasas tensões de ramo que compõe umamalha fechada é nula.

• LTK em malha aberta: A soma de todas

Lei das tensões

• LTK em malha aberta: A soma de todasas tensões de ramo que compõe umamalha aberta é igual à tensão em suasextremidades, ainda que haja derivações.

294/8/2015


04321 VVVV

n

xx

malhaV0

0

Lei das tensões

VVVV 321

x 0

304/8/2015

4/8/2015

6


• LCK em um nó: Se o fluxo de elétronsfor incompressível, a soma de todas ascorrentes de ramo dos ramos ligados aum nó é nula

Lei das correntes

um nó é nula.

• LCK em uma caixa preta: A soma dascorrentes de todas as conexõesexternas de um circuito qualquer é nula.

314/8/2015


04321 IIII

n

xx

nó I0

0

Lei das correntes

x 0

4321

4321 0

NNNN VVVV

IIII

324/8/2015

MCMMCM3

MCMMCMMCMMCM

334/8/2015

MCMMCM3Entidades

• Fontes de tensão.

• Resistências.

344/8/2015

• Condutâncias e fontes de correntedevem ser convertidas.

MCMMCM3

R1 R2 R3

Circuito genérico com duas malhas

Malha 1 Malha 2+– VS1

+– VS2

+– VS3

354/8/2015

Malha 1 Malha 2

MCMMCM3As tensões e correntes de ramo

IR1 IR2 IR3

V1

–

+

–

+

–

+VR1 VR2 VR3

Malha 1 Malha 2

364/8/2015

0V

+–

+–

+–

Malha 1 Malha 2

4/8/2015

7

MCMMCM3As duas correntes de malha

IM1 IM2

374/8/2015

+–

+–

+–

MCMMCM3As duas malhas separadas

R1 R2

IM1

R2 R3

IM2

Malha 1 Malha 2

–

+

–

+

–

+

–

+

384/8/2015

VS1 VS2 VS2 VS3

+–

+–

+–

+–

12121

2121

1

:

0

0:

MRRSS

RRSS

IIIIILCK

VVVVV

VVLTK

23232

3232

2

:

0

0:

MRRSS

RRSS

IIIIILCK

VVVVV

VVLTK

MCMMCM3

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

0 :2 Malha

0:1 Malha

3232

2121

VVVVV RRSS 02121

Sistema de equações

394/8/2015

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

0

0

3232

2121

VIRIRVV

VIRIRVV

RRSS

RRSS

0

0

332232

221121

MCMMCM3

23

122

11

MR

MMR

MR

II

III

II

Tensões e Correntes de Ramo Correntes de Malha

Ramos e malhas

V1

404/8/2015

IM1 IM2IR1 IR2 IR3

0V

–

+

–

+

–

+VR1 VR2 VR3

+–

+–

+–

+–

+–

+–

MCMMCM3

VIIRIRVV MMMSS 01221121


VIRIRVV

VIRIRVV

RRSS

RRSS

0

0

332232

221121

23

122

11

MR

MMR

MR

II

III

II

VIRIIRVV MMMSS 02312232

VIRIRIRVV

VIRIRIRVV

MMMSS

MMMSS

0

0

23122232

12221121

VIRRIRVV

VIRIRRVV

MMSS

MMSS

0

0

2321232

2212121

414/8/2015

MCMMCM3Sistema de equações

2321232

2212121

MMSS

MMSS

IRRIRVV

IRIRRVV

424/8/2015

2

1

322

221

32

21

M

M

SS

SS

I

I

RRR

RRR

VV

VV

2

1

221

211

2

1

M

M

S

S

I

I

RR

RR

V

V

4/8/2015

8

MCMMCM3Circuito genérico de duas malhas

2

1

221

211

2

1

M

M

S

S

I

I

RR

RR

V

V

VS(1) : Somatório das fontes de tensão na malha 1.

VS(2): Somatório das fontes de tensão na malha 2.

434/8/2015

( )

R(1): Somatório das resistências na malha 1.

R(2): Somatório das resistências na malha 2.

-R(12): Somatório das resistências na intersecçãoentre as malhas 1 e 2.

IM1: Corrente de malha 1.

IM2: Corrente de malha 2.


111 MS IRV 1 malha

2 malhas

IRRV

444/8/2015

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

M

M

M

S

S

S

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

3 malhas

2

1

221

211

2

1

M

M

S

S

I

I

RR

RR

V

V


Mn

S

S

I

I

RRR

RRR

V

V 1

2221

1211

2

1

n malhas

454/8/2015

Mn

M

nnn

n

nS

S

I

I

RRR

RRR

V

V

2

21

22212

Matriz das fontes de tensão

Matriz das resistências Matriz das correntes de malha

MCMMCM3Matriz das resistências

n

n

RRR

RRR

RRR

22221

12111

464/8/2015

nnnn RRR 21

• Matriz de intersecções.

• A intersecção de um conjuntoconsigo próprio é o próprio conjunto.

MCMMCM3

M

M

n

n

S

S

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

2

1

2221

1211

2

1


MnnnnnS IRRRV 21

• MCM: 1ª lei de Ohm na forma matricial

• Matriz das fontes de tensão 1n

• Matriz das resistências nn

• Matriz das correntes de malha 1n

IRV

474/8/2015

MCMMCM3

n

n

RRR

RRR

2221

1211

Matriz das resistências

484/8/2015

nnn RRR 21

Resistências próprias das malhasResistências mútuas

4/8/2015

9

MCMMCM3

• Uso de fontes de tensão

• Fontes de corrente devem serconvertidas para fontes de tensão.

Conversão de fontes

494/8/2015

SS IRV R

VS

GIS

MCMMCM3

R2

+ VR2 –

R1

+ VR1 –

Exemplo

222

111

213

22

11

333

222

111

:1LΩ

MR

MR

MMR

MR

MR

RR

RR

RR

IIRV

IRV

IRV

III

II

II

IRV

IRV

IRV

504/8/2015

R3

–V

R3

+VS1+–

VS2–+IM1

IM2

2

1

323

331

2

1

232132

231311

213222

213111

322

311

2133

:2 Malha

:1 Malha:LTK

M

M

S

S

MMS

MMS

MMMS

MMMS

RRS

RRS

MMR

I

I

RRR

RRR

V

V

IRRIRV

IRIRRV

IIRIRV

IIRIRV

VVV

VVV

IIRV

MTNMTN4

MTNMTNMTNMTN

514/8/2015

MTNMTN4Entidades

• Fontes de corrente.

• Condutâncias.

524/8/2015

• Resistências e fontes de tensão devemser convertidas.

MTNMTN4

IS1

Circuito genérico com dois nós

Nó 1 Nó 2

G1IS1 G3IS1

G2

534/8/2015

MTNMTN4

– +V

As tensões e correntes de ramo

Nó 1 Nó 2

IG1

–

+

VG1

IG3

IG2+

–

VG2

VG3

544/8/2015

4/8/2015

10

MTNMTN4

VN1 VN2

As duas tensões nodais

554/8/2015

MTNMTN4

VN1 VN2

Os DOIS nós separados

G1

G2 G2

G3

564/8/2015

12121

2121

1

:

0

0:

NGGSS

GGSS

VVVVVLTK

AIIII

AILCK

23232

3232

2

:

0

0:

NGGSS

GGSS

VVVVVLTK

AIIII

AILCK

3

MTNMTN4

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

0 :2 Nó

0:1 Nó

3232

2121

AIIII GGSS 02121


574/8/2015

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

0

0

3232

2121

AVGVGII

AVGVGII

GGSS

GGSS

0

0

332232

221121

MTNMTN4

23

122

11

NG

NNG

NG

VV

VVV

VV

V V

Tensões e Correntes de Ramo Tensões Nodais

Ramos e nós

584/8/2015

IG3

–

+

VG3

IG1

VG1

IG2

– ++

–

VG2

VN1 VN2

MTNMTN4Sistema de equações

23

122

11

NG

NNG

NG

VV

VVV

VV

AVGVGII

AVGVGII

GGSS

GGSS

0

0

332232

221121

AVVGVGII NNNSS 01221121

AVGVGVGII

AVGVGVGII

NNNSS

NNNSS

0

0

23122232

12221121

AVGGVGII

AVGVGGII

NNSS

NNSS

0

0

2321232

2212121

594/8/2015

AVGVVGII NNNSS 02312232

MTNMTN4

2321232

2212121

NNSS

NNSS

VGGVGII

VGVGGII

VGGGII


2

1

322

221

32

21

N

N

SS

SS

V

V

GGG

GGG

II

II

2

1

221

211

2

1

N

N

S

S

V

V

GG

GG

I

I

604/8/2015

4/8/2015

11

MTNMTN4

2

1

221

211

2

1

N

N

S

S

V

V

GG

GG

I

I


IS(1) : Somatório das fontes de corrente no nó 1.

IS(2): Somatório das fontes de corrente no nó 2.

614/8/2015

( )

G(1): Somatório das condutâncias no nó 1.

G(2): Somatório das condutâncias no nó 2.

-G(12): Somatório das condutâncias na uniãoentre os nós 1 e 2.

VN1: Tensão nodal 1.

VN2: Tensão nodal 2.

MTNMTN4

VGGI

111 NS VGI 1 nó

2 nós


624/8/2015

2

1

221

211

2

1

N

N

S

S

V

V

GG

GG

I

I

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

N

N

N

S

S

S

V

V

V

GGG

GGG

GGG

I

I

I

3 nós

MTNMTN4

NnS

V

V

GGG

GGG

I

I 112111

n nós


634/8/2015

Nn

N

nnn

n

nS

S

V

V

GGG

GGG

I

I

2

21

22212

Matriz das fontes de corrente

Matriz das condutâncias Matriz das tensões nodais

MTNMTN4

n

n

GGG

GGG

GGG

22221

12111


644/8/2015

nnn GGG 21

• Matriz de uniões.

• A união de um conjunto consigopróprio é o próprio conjunto.

MTNMTN4

N

N

n

n

S

S

V

V

V

GGG

GGG

GGG

I

I

I

2

1

2221

1211

2

1


NnnnnnS VGGGI 21

• MTN: 1ª lei de Ohm na forma matricial

• Matriz das fontes de corrente 1n

• Matriz das condutâncias nn

• Matriz das tensões nodais 1n

VGI

654/8/2015

MTNMTN4

n

n

GGG

GGG

GGG

2221

1211

Matriz das condutâncias

664/8/2015

nnn GGG 21

Condutâncias próprias dos nósCondutâncias mútuas

4/8/2015

12

MTNMTN4

• Uso de fontes de corrente.

• Fontes de tensão devem serconvertidas para fontes de corrente.

Conversão de fontes

674/8/2015

SS VGI R

VS

GIS

MTNMTN4

222

111

213

22

11

333

222

111

:1LΩ

NG

NG

NNG

NG

NG

GG

GG

GG

VVGI

VGI

VGI

VVV

VV

VV

VGI

VGI

VGI

G1

+ VG1 –

VN1

+ +

VN2

Exemplo

684/8/2015

2

1

323

331

2

1

232132

231311

2132222

213111

322

311

2133

:2 Nó

:1 Nó:LCK

N

N

S

S

NNS

NNS

NNNS

NNNS

GGS

GGS

NNG

V

V

GGG

GGG

I

I

VGGVGI

VGVGGI

VVGVGI

VVGVGI

III

III

VVGI

–V

G1

+G

1IS1

–V

G2

+G

2IS2

MRRMRR5

MRRMRRMRRMRR

694/8/2015

MRRMRR5Motivação

• Correntes de malha e tensões nodais são uma abstraçãomatemática que não possui significado num circuito real.

• Somente as correntes de ramo e as tensões de ramo sãoúteis para os cálculos em circuitos elétricos.

• Leis de Ohm e de Kirchhoff somente podem ser

704/8/2015

paplicados sobre correntes de ramo e tensões de ramo.

• Cálculos de potência somente podem ser aplicadossobre correntes de ramo e tensões de ramo.

• Correntes de malha e tensões nodais somente são úteisse usados para o cálculo das correntes de ramo e dastensões de ramo.

MRRMRR5Análises

• Por meio do MCM, são obtidos os valores decorrente para todos os ramos do circuito.

• Usando a 1L, é possível obter os valores detensão para estes ramos.

• A corrente sobre o receptor é dada pela diferença

714/8/2015

• Por meio do MTN, são obtidos os valores detensão para todos os ramos do circuito.

• Usando a 1L, é possível obter os valores decorrente para estes ramos.

• A tensão sobre o receptor é dada pela diferençaentre as duas tensões nodais sobre por ele.

entre as duas correntes de malha sobre ele.

MRRMRR5

• Não é preciso aplicar ambos métodos matriciais, MCMe MTN para o mesmo circuito. Um deles já é suficiente.

• Se todas as tensões nodais e correntes de malha jáestão definidas, então os valores dos receptorespodem ser determinados pela primeira lei de Ohm.

Redundância

724/8/2015

• Com o MCM, MTN e o MRR, tem-se um métodoredundante, pois dois deles são suficientes paradeterminar todos os valores do circuito.

• O método redundante pode ser usado na confirmaçãodos resultados

4/8/2015

13

MRRMRR5

R

Ramo genéricopara MCM Ramo genérico

para MTNRamo genérico

Ramos

+– VS

GIS

734/8/2015

MRRMRR5

IM3

Ramo 3

Ramo 6 Ramo 5V

Exemplo de circuito genérico

IM1 IM2Ram

o 1

Ram

o 4

Ram

o 2

VN1 VN3

VN2

744/8/2015

MRRMRR51. LTK Malha 1: Ramos 1,4,6

2. LTK Malha 2: Ramos 2,5,4

3. LTK Malha 3: Ramos 3,6,5

4. LCK Nó 1: Ramos 1,6,3



7. 1L Ramo 1: Malha 1 Malha 0


IM3

Ramo 3

Ramo 6 Ramo 5

VN1 VN3

VN2

Fórmulas





13. 1L Ramo 1: Nó 1 Nó 0

14. 1L Ramo 4: Nó 2 Nó 0

15. 1L Ramo 2: Nó 3 Nó 0

16. 1L Ramo 6: Nó 1 Nó 2

17. 1L Ramo 5: Nó 2 Nó 3

18. 1L Ramo 3: Nó 3 Nó 1

IM1 IM2Ra

mo

1

Ra

mo

4

Ra

mo

2

N1 N3

754/8/2015

MRRMRR5

• Dois circuitos são duais quando aequação matricial pelo MCM de umdeles é numericamente igual à equaçãomatricial pelo MTN do outro.

Dualidade

764/8/2015

Nó

Resistor

Tensão nodal

Tensão de ramo

Fonte de tensão

Malha

Condutor

Corrente de Malha

Corrente de Ramo

Fonte de corrente

MRRMRR5

111121 ABBA

2

1

2212

1211

2

1

C

C

BB

BB

A

A

Método de Crammer

774/8/2015

2212

1211

212

111

2

2212

1211

222

121

1

BB

BB

ABC

BB

BB

BAC

CBDADC

BA

MRRMRR5

ABBA

2

1

2212

1211

2

1

C

C

BB

BB

A

A

Método de Crammer

784/8/2015

12122211

1212112

12122211

2122211

BBBB

BAABC

BBBB

ABBAC

4/8/2015

14

MRRMRR5

22212

11211

23212

13111

23222

13121

ABB

ABB

BAB

BAB

BBA

BBA

3

2

1

332313

232212

131211

3

2

1

C

C

C

BBB

BBB

BBB

A

A

A

Método de Crammer

794/8/2015

332313

232212

131211

32313

22212

3

332313

232212

131211

33313

23212

2

332313

232212

131211

33233

23222

1

BBB

BBB

BBB

ABB

ABB

C

BBB

BBB

BBB

BAB

BAB

C

BBB

BBB

BBB

BBA

BBA

C

GECIDBHFAHDCGFBIEA

IHG

FED

CBA

MRRMRR5Exemplo de circuito genérico

RVS4 RVS5

R6

I3

VS6

804/8/2015

R1

VS1

R4VS4

R2

VS2

R5VS5

R3

VS3

I1 I2

V1 V3V2

MRRMRR5

1. LTK Malha 1: Ramos 1,2 e 4






10.1L Ramo 2: Malha 1 Malha 2

11 1L R 4 M lh 1 M lh 3

As 18 equações:Exemplo de circuito genérico

814/8/2015

4. LCK Nó 1: Ramos 1,4 e 6





13.1L Ramo 1: Nó 1 Nó 0

14.1L Ramo 2: Nó 2 Nó 0

15.1L Ramo 3: Nó 3 Nó 0

16.1L Ramo 4: Nó 1 Nó 2

17.1L Ramo 5: Nó 2 Nó 3

18.1L Ramo 6: Nó 1 Nó 3

MRRMRR5

235

124

352

241

QuedaElevação

RSS

RSS

RRS

RRS

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV


824/8/2015

546654 RRSRSS VVVVVV

654

542

241

653

542

641

SaindoEntrando

SSG

GSG

GGG

GGS

SGS

SSS

III

III

III

III

III

III

MRRMRR5

3

2

1

65454

55322

42421

654

532

421

I

I

I

RRRRR

RRRRR

RRRRR

VVV

VVV

VVV

SSS

SSS

SSS

MCM


834/8/2015

3

2

1

65356

55424

64641

653

542

641

V

V

V

GGGGG

GGGGG

GGGGG

III

III

III

SSS

SSS

SSS

MTN

MRRMRR5

12202222

01101111

IIVVVIVR

IIVVVIVR

SRR

SRR

MRR com V0 e I0 (vide próximo capítuo)


844/8/2015

30136666

23235555

13124444

20303333

IIVVVIVR

IIVVVIVR

IIVVVIVR

IIVVVIVR

SRR

SRR

SRR

SRR

4/8/2015

15

MRRMRR5

111111

00 00

IIVVIVR

IVVIVR

AIVV

SRR

MRR


854/8/2015

3136666

23235555

13124444

233333

1222222

IVVVIVR

IIVVVIVR

IIVVVIVR

IVVIVR

IIVVIVR

SRR

SRR

SRR

SRR

SRR

MRRMRR5Potência fornecida pela fonte

• No cálculo da potência fornecida pela fonte de tensãoou de corrente, é preciso verificar se a corrente positivaentra pelo pólo negativo da fonte.

• Sempre que isso acontece, a fonte está agindo comogerador e sua potência fornecida é positiva.

864/8/2015

• Quando isso não acontece, então outra(s) fonte(s) estãoimpondo uma corrente invertida numa fonte de tensãoou uma tensão invertida numa fonte de corrente.

• Quando ocorre esta inversão, a potência fornecida énegativa.

MRRMRR5

R1 = 6R2 = 4R3 = 3V1 = 42VV2 = 10V

Exemplo 1

R R

874/8/2015

VS1

R1 R2

R3

VS2+–

–+

MRRMRR5Exemplo 1 por MCM

IM1 IM2

VS1

R1 R2

R

+–

VS2

–+

RRR

RRR

V

V

I

I

RR

RR

V

V

I

I

S

S

M

M

S

S

M

M

/

/

323

331

2

1

2

1

221

211

2

1

2

1

884/8/2015

R1 = 6R2 = 4R3 = 3VS1 = 42VVS2 = 10V

R3

AI

I

VI

I

VI

I

RRRVI

M

M

M

M

M

M

SM

4

6

73

39/

10

42

343

336/

10

42

2

1

2

1

2

1

32322

MRRMRR5

AAAIM 6

54

324

3379

1037421

Exemplo 1 – Usando o método de Crammer

894/8/2015

AAAIM 4

54

216

3379

3421092

MRRMRR5Exemplo 1 por superposição

IM1A IM2A

VS1

R1 R2

R3

+–

AIAIRR

RI

AIVRVI

RRRRR

AMAAM

AMA

TOTSAM

ATOT

ATOT

33,244,534

3

44,571,742

71,73//46//

:V Anulando

2132

32

111

321

2

904/8/2015

4/8/2015

16


IM1B IM2B

R1 R2

R3

VS2–+

mAIAIRR

RI

AIVRVI

RRRRR

BMBBM

BMBTOTSBM

BTOT

BTOT

55567,136

3

67,1610

63//64//

:V Anulando

1231

31

222

312

1

914/8/2015

AIAIRR

RI

AIVRVI

RRRRR

AMAAM

AMA

TOTSAM

ATOT

ATOT

33,244,534

3

44,571,742

71,73//46//

:V Anulando

2132

32

111

321

2


IM1A IM2A

VS1

R1 R2

R3

+– IM1B IM2B

R1 R2

R3

VS2–+

AIAAIII

AImAAIII

MBMAMM

MBMAMM

467,133,2

655544,5

2222

1111

924/8/2015

3 3

MRRMRR5Exemplo 1 – Correntes de ramo

IM1 IM2

VS1

R1 R2

R3

+–

VS2

–+

934/8/2015

213

22

11

MMR

MR

MR

III

II

II

AI

AI

AI

R

R

R

2

4

6

3

2

1

AI

I

M

M

4

6

2

1

AAI

AI

AI

R

R

R

46

4

6

3

2

1

MRRMRR5Exemplo 1 por MTN

IM1 IM2

G3

VN1

G1IS1

G2 IS2

944/8/2015

G1 = 1/6 SG2 = 1/4 SG3 = 1/3 S

I1 = 42/6 AI2 = 10/4 A

VV

SAV

SAV

GGGIIV

GIV

N

N

N

SSN

N

6

75,0/5,4

314161/410642

/

/

1

1

1

321211

111

MRRMRR5Exemplo 1 – Tensões de ramo

VS1

R1 R2

R3

VN1

+–

VS2

–+

+ – + –+

–

954/8/2015

13

122

111

NR

NSR

NSR

VV

VVV

VVV

VV

VV

VV

R

R

R

6

16

36

3

2

1

VVN 61

13

2

1

610

642

NR

R

R

VV

VVV

VVV

MRRMRR5

111 RR

IVR

IVR

AV

AV

4164

6366

OK44

OK 66

R1 = 6

R = 4

Exemplo 1 – Verificação ramo a ramo

333

222

RR

RR

IVR

IVR

AV

AV

263

4164

OK 33

OK 44

R2 = 4

R3 = 3

964/8/2015

4/8/2015

17

MRRMRR5Exemplo 1 – Conclusão

42V

R1 R2

10V+ –+

6A 4A2A

36V+ – + –

16V

+

974/8/2015

R3

– +2A

–6V

MRRMRR5Exemplo 1 – Potências

WP

WP

WP

WP

WWWP

AVP

AVP

AVP

PPPP

IVP

IVP

IVP

R

R

R

R

R

R

RRR

RRR

RRR

292

12

64

216

1264216

26

416

636

consumidas Potências

3

2

1

3

2

1

333

222

111

984/8/2015

WPWWWPPPPP CONSCONSRRRCONS 2921264216321

WP

WP

WP

WWP

AVP

AVP

PPP

IVP

IVP

FORN

R

R

FORN

R

R

SSFORN

SSS

SSS

292

40

252

40252

410

642

fornecidas Potências

2

1

2

1

21

222

111

FORNCONS PP

MRRMRR5

VS1 = 20VVS2 = 10VR1 = 1R2 = 2

Exemplo 2

R3V

R1

VS1

R2

+ +2

R3 = 3R4 = 4R5 = 5R6 = 6

994/8/2015

R3VS2

R4 R5R6

+–

+–

MRRMRR5

R3VS2

R1

VS1

R2

+ +

IM1

IM2

Exemplo 2 por MCM

M1 M2 M3

VS1

VS2

R1

M1

M2

M2

M3

M3

M1

VS1

VS2

R1 VS2

R4 R5R6

– –IM3

1004/8/2015

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R1

R2

R3

R4

R5

R6

MRRMRR5

R3VS2

R1

VS1

R2

+ +

IM1

IM2

Exemplo 2 por MCM

RRRRR

RRRRRVV

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

SS

M

M

S

S

S

M

M

M

/0

/

33211

4164121

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

VS2

R4 R5R6

– –IM3

1014/8/2015 A

I

I

I

V

I

I

I

V

I

I

I

RRRRRVI

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

64,1

09,1

60,1

1234

361

4111

/

10

0

10

54334

33211

41641

/

10

0

1020

3

2

1

3

2

1

3

2

1

5433423

MRRMRR5

AIAIAI MMM

1234

361

4111

1034

061

10111

1234

361

4111

12104

301

41011

1234

361

4111

12310

360

4110

321

Exemplo 1 – Usando o método de Crammer

1024/8/2015

123412341234

AAI

AAI

AAI

M

M

M

634,1561

920

087,1561

610

604,1561

900

3

2

1

4/8/2015

18

MRRMRR5

233

22

211

MMR

MR

MMR

III

II

III

AAI

AI

AAI

R

R

R

09,164,1

09,1

09,160,1

3

2

1

AI

AI

AI

R

R

R

55,0

09,1

51,0

3

2

1

Exemplo 2 – Correntes de ramo

A

I

I

I

M

M

M

64,1

09,1

60,1

3

2

1

1034/8/2015

16

35

134

MR

MR

MMR

II

II

III

AI

AI

AAI

R

R

R

60,1

64,1

60,164,1

6

5

4

AI

AI

AI

R

R

R

60,1

64,1

04,0

6

5

4

R3VS2

R1

VS1

R4 R5

R2

R6

+–

+–

IM1

IM2

IM3

MRRMRR5

V

IS1 = 20/6 AIS2 = 10/4 A

G1 = 1/1 SG2 = 1/2 SG3 = 1/3 SG4 = 1/4 SG5 = 1/5 SG6 = 1/6 S

Exemplo 2 por MTN

/

2162111

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

GGGGGIV

GGG

GGG

GGG

I

I

I

V

V

V

SN

S

S

S

N

N

N

1044/8/2015

VN1

G3

G1

G5

G2

VN2

IM1

IM2

IM3

VN3

G6IS1

G4IS2

s.aproximado valoresdospartir a feito Cálculo

14,8

80,9

3,10

03,133,05,0

33,058,11

5,0167,1

/

0

5,2

33,3

5131213121

3141311111

2111612111

/

0

410

620

/

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

53232

343112

3

2

V

V

V

V

SA

V

V

V

SA

V

V

V

GGGGG

GGGGGI

V

V

N

N

N

N

N

N

N

N

N

S

N

N

MRRMRR5

V

V

V

V

N

N

N

14,8

80,9

3,10

3

2

1

323

312

211

NNR

NNR

NNR

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV

R

R

R

14,880,9

14,83,10

80,93,10

3

2

1

VV

VV

VV

R

R

R

66,1

16,2

50,0

3

2

1

Exemplo 2 – Tensões de ramo

1054/8/2015

116

35

224

NSR

NR

NSR

VVV

VV

VVV

VVV

VV

VVV

R

R

R

3,1020

14,8

80,910

6

5

4

VV

VV

VV

R

R

R

70,9

14,8

20,0

6

5

4

R3VS2

R1

VS1

R4 R5

R2

R6

+–

+–

VN1

VN2 VN3

MRRMRR5

444

333

222

111

RR

RR

RR

RR

IVR

IVR

IVR

IVR

IVR

AV

AV

AV

AV

AV

6411485

04,020,04

55,066,13

09,116,22

51,050,01

OK4 965

54

OK 3,023

OK 98,12

OK 98,01

R1 = 1

R2 = 2

R3 = 3

R4 = 4

R = 5

Exemplo 2 – Verificação ramo a ramo

666

555

RR

RR

IVR

IVR

AV

AV

60,170,96

64,114,85

OK 6,06 6

OK 4,965

R5 = 5

R6 = 6

1064/8/2015

• Os erros se devem à pequenez dos valores utilizados nadivisão perante a precisão adotada e ao acúmulo de errodevido aos cálculos baseados em valores aproximados.

• No caso de R4, como os valores são muito baixos, o erropercentual se torna muito alto mesmo tenho erroabsoluto semelhante aos demais cálculos.

MRRMRR5

IM1 = 1,6043A VN1 = 10,374VIM2 = 1,0873A VN2 = 9,8570VIM3 = 1,6399A VN3 = 8,1996V

Exemplo 2 – Valores obtidos com Spice

OK 02,440356,0143,04

143,08570,910

0356,06043163991

444

44224

44134

AVIVR

VVVVVVVV

AIA,A,IIII

RR

RRNR

RRMMR

1074/8/2015

MRRMRR5

M1 M2 M3

VS1

VS2

R1

M1

M2

M2

M3

M3

M1

VS1

VS2

R1

Exemplo 2 usando outras malhas

R3VS2

R1

VS1

R2

+ +

IM1

IM2

I

1084/8/2015

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R1

R2

R3

R4

R5

R6

VS2

R4 R5R6

– –IM3

IM3

4/8/2015

19

MRRMRR5

RRRRR

RRRRR

RRRRR

V

VV

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

S

SS

M

M

M

S

S

S

M

M

M

/0

/

65226

23211

61641

1

21

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

Exemplo 2 usando outras malhas

R3VS2

R1

VS1

R2

+–

+–

IM1

IM2

IM3

mA

I

I

I

V

I

I

I

V

I

I

I

RRRRRVI

M

M

M

M

M

M

M

M

M

SM

1640

552

7,35

1326

261

6111

/

20

0

10

65226

23211

61641

/

20

0

1020

3

2

1

3

2

1

3

2

1

6522613

1094/8/2015

R4 R5R6

IM3

MRRMRR5

AI 520


mA

I

I

I

M

M

M

1640

552

7,35

3

2

1

4/8/2015

R3VS2

R1

VS1

R4 R5

R2

R6

+–

+–

IM1

IM2

IM3

IM3

110

316

35

14

23

322

211

MMR

MR

MR

MR

MMR

MMR

III

II

II

II

III

III

mAmAI

mAI

mAI

mAI

mAmAI

mAmAI

R

R

R

R

R

R

16407,35

1640

7,35

552

1640552

5527,35

6

5

4

3

2

1

AI

AI

AI

AI

AI

AI

R

R

R

R

R

R

60,1

64,1

04,0

55,0

09,1

52,0

6

5

4

3

2

1

MRRMRR5Exemplo 2 usando outras malhas

• Usando a segunda opção de definição de malhas, seobteve os mesmos valores de corrente de ramo.

• Qualquer opção válida pode ser usada.

1114/8/2015

• Qualquer caminho fechado pode ser usado como malha.• Todos os ramos devem ser percorridos por pelo menos

uma corrente de malha.

MRRMRR5Exemplo 2 – Potências

WP

WP

WP

WP

WP

WP

VP

VP

AVP

AVP

AVP

AVP

IVP

IVP

IVP

IVP

IVP

IVP

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

5,15

0,13

005,0

91,0

35,2

26,0

60,170,9

60,114,8

0356,0143,0

55,066,1

09,116,2

51,050,0

consumidas Potências

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

666

555

444

333

222

111

1124/8/2015

WP

WP

WP

WWP

AVP

AVP

PPP

IVP

IVP

FORN

R

R

FORN

R

R

SSFORN

SSS

SSS

4,32

356,0

32

40252

0356,010

60,120

fornecidas Potências

2

1

2

1

21

222

111

FORNCONS PP

WP

WWWWWWP

WPVPIVP

CONS

CONS

RRRRR

0,32

5,150,13005,091,035,226,0

5,1560,170,9 66666

MRRMRR5Exemplo 3

+

R1 R3

R5VN1

VN1 VN2

VS1 = 20VVS2 = 30VR1 = 10R2 = 15R3 = 20R4 = 25R5 = 30R = 35

1134/8/2015

+–

+–

R2

R4

R6

VS1

VS2

IM1 IM2 IM3

VN3

R6 = 35

MRRMRR5Exemplo 3

RRR

RRRRRR

RRR

V

V

V

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

S

S

S

M

M

M

S

S

S

M

M

M

0

0

/

/

655

554322

221

2

2

1

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

1144/8/2015 mA

I

I

I

V

I

I

I

V

I

I

I

RRRVI

M

M

M

M

M

M

M

M

M

SM

433

9,61

763

65300

309015

01525

/

20

0

10

3530300

303025201515

0151510

/

30

30

20

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

65523

4/8/2015

20

MRRMRR5

235

24

23

212

11

MMR

MR

MR

MMR

MR

II

III

II

II

III

II

AI

mAmAI

mAI

mAI

mAmAI

mAI

R

R

R

R

R

433

9,61433

9,61

9,61

9,61763

763

5

4

3

2

1

mAI

mAI

mAI

mAI

mAI

R

R

R

R

R

495

9,61

9,61

825

763

5

4

3

2

1


mA

I

I

I

M

M

M

433

9,61

763

3

2

1

115

36 MR II mAIR 4336 mAIR 4336

+

–

+

–

–

+

+ –

– ++ –

+–

VS1

VS2

R1

R2

R3

R5

R4

R6

+–

4/8/2015

MRRMRR5

52

55

42

44

32

33

22

22

1211

RIP

RIP

RIP

RIP

RIP

RR

RR

RR

RR

RR

Exemplo 3 – Potências

30495

259,61

209,61

15825

10763

25

24

23

22

21

mAP

mAP

mAP

mAP

mAP

R

R

R

R

R

WP

mWP

mWP

WP

WP

R

R

R

R

R

35,7

7,95

5,76

2,10

82,5

5

4

3

2

1

522

111

RSS

RSS

IVP

IVP

mAVP

mAVP

S

S

49530

76320

2

1

WPS 3,151

116

62

66 RIP RR

4/8/2015

35433 26 mAPR

WPR 56,66 WPS 8,142

WP

WWmWmWWWP

PPPPPPP

CONS

CONS

RRRRRRCONS

1,30

56,635,77,955,762,1082,5654321

WP

WWP

PPP

CONS

CONS

SSFORN

1,30

8,143,1521

WP

WWP

PPP

TOT

TOT

FORNCONSTOT

0

1,301,30

MRRMRR5Exemplo 3 – Tensões

555

444

333

222

111

RIV

RIV

RIV

RIV

RIV

RR

RR

RR

RR

RR

30495

259,61

209,61

15825

10763

5

4

3

2

1

mAV

mAV

mAV

mAV

mAV

R

R

R

R

R

VV

VV

VV

VV

VV

R

R

R

R

R

8,14

55,1

24,1

4,12

63,7

5

4

3

2

1

1174/8/2015

666 RIV RR 354336 mAVR VVR 2,156

62

522

322

231

43

RN

RSN

RNN

RNN

RN

VV

VVV

VVV

VVV

VV

VV

VVV

VVV

VVV

VV

N

N

N

N

N

2,15

8,1430

24,14,1255,1

4,1255,1

55,1

2

2

2

1

3

VV

VV

VV

N

N

N

2,15

0,14

55,1

2

1

3

MRRMRR5Exemplo 3 – Dual

VS1+–

IS1 IS1

Passo 1

1184/8/2015

Passo 2

VS1

R1

+–

IS1 G1


VS1

R1

+–

IS1 G1R2

G2

Passo 3

1194/8/2015

Passo 4

VS1

R1

+– IS1

G1R2

G2R3

G3


Passo 5

VS1

R1

+– IS1

G1R2

G2R3

G3

R4

G4

1204/8/2015

Passo 6

VS1

R1

+–

R2

R3

R4

R6

IS1

G1

G2

G3G4

G6

4/8/2015

21


Passo 7

VS1

R1

+–

R2

R3

R6 R5

1214/8/2015

R4

IS1G1

G2

G3G4

G5

G6


Passo 8

VS1

R1

+–

R2

R3

R6 R5

V

1224/8/2015

R4

+–

IS1G1

G2

G3G4

IS2

G5

G6

VS2


Passo 9

VS1

R1

+–

R2

R3

R6R5

V

1234/8/2015

IS2

G6

IS1G1

G3G4

G5

G2

R4

+–

VS2

MRRMRR5

+

R1 R3

R5

Exemplo 3 – Dual

1244/8/2015

+–

+–

R2

R4

R6

VS1

VS2

MRRMRR5

G1

G2

G3 G5

GN

Exemplo 3 – Dual

1254/8/2015

G2

G4

G6

IS1

IS2

N1’ N2’ N3’


G1

G4G3

N3’

N1’

G2

G5

N2’

4/8/2015 126

IS1 G6

G4G31

IS2

4/8/2015

22

MRRMRR5

+–

+

R1

R2

R3

R5

R

R6

VS1

VS2

M1 M2 M3

VN1

Exemplo 3 – Dual

4/8/2015

–R4S2

N3

127

G1

IS1 G6

G4G3

N3’

N1’

G2

G5

IS2

N2’


• M1 passa por R1, R2 e VS1.• N1’ está ligado a G1, G2 e IS1.

• M2 passa por R2, R3, R4, R5 e VS2.• N2’ está ligado a G2, G3, G4, G5 e IS2.

• M3 passa por R5 R6 e VS2

4/8/2015 128

M3 passa por R5, R6 e VS2.• N3’ está ligado a G5, G6 e IS2.

• M1 M2 passa por R2.• N1’ N2’ passa por G2.

• M1 M3 não existe.• N1’ N3’ não existe.

• M2 M3 passa por R5 e VS2.• N2’ N3’ passa por G5 e IS2.

MRRMRR5

VI

I

RRR

RRRRRR

RRR

V

V

V

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

M

M

S

S

S

M

M

M

S

S

S

M

M

M

309015

01525

/0

10

0

0

/

/

2

1

655

554322

221

2

2

1

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

GGG

GGG

I

I

V

V

S

S

N

N

/ 32221

31211

2

1

2

1

Exemplo 3 – Dual

1294/8/2015

mA

I

I

I

I

M

M

M

M

433

9,61

763

6530020

3

2

1

3

mV

V

V

V

SA

V

V

V

GGG

GGGGGG

GGG

I

I

I

V

V

V

GGGIV

N

N

N

N

N

N

S

S

S

N

N

N

S

S

N

N

433

9,61

763

65300

309015

01525

/

20

0

10

0

0

/

3

2

1

3

2

1

655

554322

221

2

2

1

3

2

1

33231

32221

3

2

3

2

MRRMRR5Exemplo 4

VS1 = 8VVS2 = 6V

R1 = 22kR2 = 33k+

– +

R

VS1

VS2

1304/8/2015

2

R3 = 20R4 = 25R5 = 30R6 = 35

–R2

R1

MRRMRR5

+–

– +

R2

VS1

VS2IM1

IM2

R1

+

–

–

+

Exemplo 4

mWmWWPPP

WkVRVP

AkVRVI

VVVVVVV

mWkVRVP

AkVRVI

VVV

RRCONS

RR

RR

SSR

RR

RR

SR

27,109,1182

182222

9,90222

2286

09,1336

182336

6

21

21

211

111

121

22

222

222

22

AII 990

1314/8/2015 A

I

I

VI

I

VI

I

RR

RRR

V

V

I

I

M

M

M

M

M

M

S

S

M

M

9,90

9,90

3333

3355/

6

8

3333

333322/

6

8

/

2

1

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1

AI

AI

AAI

AI

III

II

R

R

R

R

MMR

MR

182

9,90

9,909,90

9,90

2

1

2

1

212

11 mWWWPPP

WAVIVP

WAVIVP

AAAIII

AII

SSFORN

SSS

SSS

RRS

RS

27,1545727

5459,906

7279,908

9,909,90182

9,90

21

222

111

122

11

WP

mWmWP

PPP

TOT

TOT

FORNCONSTOT

0

27,127,1

MRRMRR5Exemplo 5

R1 = 100R2 = 125R = 150

R1

R2

R4 R5

1324/8/2015

R3 = 150R4 = 200R5 = 225

A BR3

Determine a resistência entre os pontos A e B.

4/8/2015

23

MRRMRR5Exemplo 5

R1 R

R2

IM2

1334/8/2015

+–

VS

1

R4

R5

R3

IM1

IM3

MRRMRR5Exemplo 5

RRRRR

RRRRR

RRRRV

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

S

M

M

M

S

S

S

M

M

M

/

0

0

/

54334

33211

4141

3

2

1

33231

32221

31211

3

2

1

3

2

1

+–

VS

Req

1344/8/2015 mA

I

I

I

V

I

I

I

V

I

I

I

RRRRRI

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

88,2

80,2

19,6

575150200

150375100

200100300

/

0

0

1

225200150150200

150150125100100

200100200100

/

0

0

1

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

543343

5,16119,6

1

1 mA

V

I

VR

M

SEQ

MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO6

MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO

1354/8/2015

MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO6As correntes de malha

I I

IM0

1364/8/2015

IM1 IM2

+–

+–

+–


R1 R2

I

R2 R3

I

R3 R1

I

As três malhas separadas

Malha 1 Malha 2 Malha 0

VS1 VS2

IM1

VS2 VS3

IM2

VS3 VS1

IM3

1374/8/2015

+–

+–

+–

+–

+–

+–


R1

V

R2

V

IM1

–

+

–

+

Malha 1

+ +

1384/8/2015

12121

2121

1

:

0

0:

MRRSS

RRSS

IIIIILCK

VVVVV

VVLTK

VS1 VS2

– –

4/8/2015

24


R2

V

R3

V

IM2

–

+

–

+

Malha 2

+ +

1394/8/2015

23232

3232

1

:

0

0:

MRRSS

RRSS

IIIIILCK

VVVVV

VVLTK

VS2 VS3

– –


IM0

R3

V

R1

V

–

+

–

+

Malha 0

+ +

1404/8/2015

01313

1313

0

:

0

0:

MRRSS

RRSS

IIIIILCK

VVVVV

VVLTK

VS3 VS1

– –


VVVVV

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

RRSS

0 :0 Malha

0 :2 Malha

0:1 Malha

1313

3232

2121

VVVVV 0


1414/8/2015

VVVVV

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

RRSS

0

0

0

1313

3232

2121

VIRIRVV

VIRIRVV

VIRIRVV

RRSS

RRSS

RRSS

0

0

0

113313

332232

221121


V1

203

122

011

MMR

MMR

MMR

III

III

III

Tensões e Correntes de Ramo Correntes de Malha

Ramos e malhas

IM1 IM2IR1 IR2 IR3

0V

–

+

–

+

–

+VR1 VR2 VR3

+–

+–

+–

+–

+–

+–

1424/8/2015


VVVVV

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

RRSS

0 :0 Malha

0 :2 Malha

0:1 Malha

1313

3232

2121

VVVVV 0


1434/8/2015

VVVVV

VVVVV

VVVVV

RRSS

RRSS

RRSS

0

0

0

1313

3232

2121

VIRIRVV

VIRIRVV

VIRIRVV

RRSS

RRSS

RRSS

0

0

0

113313

332232

221121


VIIRIIRVV

VIIRIIRVV

VIIRIIRVV

MMMMSS

MMMMSS

MMMMSS

0

0

0

01120313

20312232

12201121


VIRIRIRIRVV

VIRIRIRIRVV

VIRIRIRIRVV

MMMMSS

MMMMSS

MMMMSS

0

0

0

0111230313

2303122232

1222011121

1444/8/2015

VIRRIRIRVV

VIRIRRIRVV

VIRIRIRRVV

MMMSS

MMMSS

MMMSS

0

0

0

013231113

032321232

012212121

4/8/2015

25


013231113

032321232

012212121

MMMSS

MMMSS

MMMSS

IRRIRIRVV

IRIRRIRVV

IRIRIRRVV

IRRRRVV


0

2

1

1331

3322

1221

13

32

21

M

M

M

SS

SS

SS

I

I

I

RRRR

RRRR

RRRR

VV

VV

VV

1454/8/2015

0

2

1

00201

02221

01211

0

2

1

M

M

M

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V


0

2

1

00201

02221

01211

0

2

1

M

M

M

I

I

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V


IMi: Corrente de malha da malha i .

V(i): Somatório de todas as fontes de tensão da malha i .

R(i): Somatório de todas as resistências da malha i .

R(ij):Somatório de todas as resistências da intersecçãoentre a malha i e a malha j.

1464/8/2015


013231113

032321232

012212121

:Malha0

:Malha2

:Malha1

MMMSS

MMMSS

MMMSS

IRRIRIRVV

IRIRRIRVV

IRIRIRRVV

Malha zero

Malha0

:Malha2 Malha1

031231113

031231131

0323011131

032322120122121131

032321201221213221

MMMSS

MMMSS

MMMMSS

MMMMMMMMSS

MMMMMMSSSS

IRRIRIRVV

IRRIRIRVV

IRIRIRIRVV

IRIRIRIRIRIRIRIRVV

IRIRRIRIRIRIRRVVVV

1474/8/2015


• A equação da malha 0 é derivadadas equações das demais malhas.

Malha zero

• A equação da malha 0 éredundante e pode ser omitida.

1484/8/2015


032321232

012212121

MMMSS

MMMSS

IRIRRIRVV

IRIRIRRVV

Malha zero

• 2 equações e 3 incógnitas (IM1, IM2 e IM0).

• O sistema é indeterminado.

• É necessário transformar uma variável em constante.

• É o caso de estipular um valor de contorno.

• Sugestão: IM0 = 0A.

1494/8/2015


• Sugestão: IM0 = 0A.

• Um valor diferente de 0A para IM0 implica em somaresse mesmo valor às demais correntes de malha

Malha zero

esse mesmo valor às demais correntes de malha.

• Esse acréscimo não afeta as correntes de ramo,que são quem determinam as potências.

1504/8/2015

4/8/2015

26


R2R1I

213

022

011

MMR

MMR

MMR

III

III

III

Obtenção das correntes de ramo

1514/8/2015

2

+ –

1

+ –

R3

–+VS1

+–

VS2–+IM1

IM2

I0


AI 00

213

22

11

MMR

MR

MR

III

II

II

Obtenção das correntes de ramo

1524/8/2015

R2

+ –

R1

+ –

R3

–+VS1

+–

VS2–+IM1

IM2


R2

+ VR2 –

R1

+ VR1 –

R3

–V

R3

++–

–+IM1

IM2

I0

Exemplo

311

2121

2133

0222

0111

213

022

011

333

222

111

:1Malha

:0 Malha

:LTK

:1LΩ

RRS

RRSS

MMR

MMR

MMR

MMR

MMR

MMR

RR

RR

RR

VVV

VVVV

IIRV

IIRV

IIRV

III

III

III

IRV

IRV

IRV

VS1 VS2

1534/8/2015

–

2

1

0

3232

3311

2121

2

1

21

23213022

23131011

221102121

2130222

2130111

02201121

322

311

:2 Malha

M

M

M

S

S

SS

MMMS

MMMS

MMMSS

MMMMS

MMMMS

MMMMSS

RRS

RRS

I

I

I

RRRR

RRRR

RRRR

V

V

VV

IRRIRIRV

IRIRRIRV

IRIRIRRVV

IIRIIRV

IIRIIRV

IIRIIRVV

VVV


Mn

I

I

RRR

RRR

V

V 001000

Circuito genérico com malha 0

1544/8/2015

Mn

M

nnn

n

n I

I

RRR

RRR

V

V

1

10

11101

MCM COM MALHA ZEROMCM COM MALHA ZERO6Exemplo 1

IM1 IM2

VS1

R1 R2

R

VN1

+–

VS2–+

I

RRR

RRR

RRR

V

V

V

I

I

I

M

M

M

46461042

/

22120

21110

20100

2

1

0

2

1

0

1554/8/2015

R1 = 6R2 = 4R3 = 3V1 = 42VV2 = 10V

R3

A

I

I

I

V

I

I

I

V

I

I

I

M

M

M

M

M

M

M

M

M

4

6

0

734

396

4610

/

10

42

52

3434

3366

4646

/

10

42

1042

2

1

0

2

1

0

2

1

0

IM0


• A divisão das duas matrizes não pode serefetuada em uma calculadora pois gera um

Exemplo 1

734

396

4610

/

10

42

52

2

1

0

V

I

I

I

M

M

M

efetuada em uma calculadora, pois gera umresultado interno infinito, durante o cálculo.

• Para contornar este problema, substitui-seuma célula numérica por um valor próximo(por exemplo, 10 por 10,01).

• Como resultado, obtém-se um valor muitopequeno para IM0, levando-se a crer que ovalor correto seja zero.

• Comparar com o exemplo 1 do MRR. 1564/8/2015

4/8/2015

27

MTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZERO7

MTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZEROMTN COM NÓ ZERO

1574/8/2015


IS1

Circuito genérico com dois nós

Nó 1 Nó 2

G1IS1 G3IS1

G2

1584/8/2015

Nó 0


VN1 VN2

Os três nós separados

VN0 1594/8/2015


VN1

VG1

IG2

– ++ VG2

Nó 1

1604/8/2015

12121

2121

1

:

0

0:

NGGSS

GGSS

VVVVVLTK

AIIII

AILCK

IG1–


VN2

VG3

IG2

– +VG2 –

Nó 2

1614/8/2015

23232

3232

2

:

0

0:

NGGSS

GGSS

VVVVVLTK

AIIII

AILCK

IG3 +


VN0

IG3

VG3 –

+IG1

VG1+

–

Nó 0

1624/8/2015

01313

1313

0

:

0

0:

NGGSS

GGSS

VVVVVLTK

AIIII

AILCK

N0

4/8/2015

28


AIIII

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

GGSS

0 :0 Nó

0 :2 Nó

0:1 Nó

1313

3232

2121

AIIII 0


1634/8/2015

AIIII

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

GGSS

0

0

0

1313

3232

2121

AVGVGII

AVGVGII

AVGVGII

GGSS

GGSS

GGSS

0

0

0

113313

332232

221121


203

122

011

NNG

NNG

NNG

VVV

VVV

VVV

V V

Tensões e Correntes de Ramo Tensões Nodais

Ramos e nós

1644/8/2015

IG3

–

+

VG3

IG1

VG1

IG2

– ++

–

VG2

VN1 VN2

V0


AIIII

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

GGSS

0 :0 Nó

0 :2 Nó

0:1 Nó

1313

3232

2121

AIIII 0


1654/8/2015

AIIII

AIIII

AIIII

GGSS

GGSS

GGSS

0

0

0

1313

3232

2121

AVGVGII

AVGVGII

AVGVGII

GGSS

GGSS

GGSS

0

0

0

113313

332232

221121


AVVGVVGII

AVVGVVGII

AVVGVVGII

NNNNSS

NNNNSS

NNNNSS

0

0

0

01120313

20312232

12201121


AVGVGVGVGII

AVGVGVGVGII

AVGVGVGVGII

NNNNSS

NNNNSS

NNNNSS

0

0

0

0111230313

2303122232

1222011121

1664/8/2015

AVGGVGVGII

AVGVGGVGII

AVGVGVGGII

NNNSS

NNNSS

NNNSS

0

0

0

013231113

032321232

012212121


013231113

032321232

012212121

NNNSS

NNNSS

NNNSS

VGGVGVGII

VGVGGVGII

VGVGVGGII

VGGGGII


0

2

1

1331

3322

1221

13

32

21

N

N

N

SS

SS

SS

V

V

V

GGGG

GGGG

GGGG

II

II

II

1674/8/2015

0

2

1

00201

02221

01211

0

2

1

N

N

N

V

V

V

GGG

GGG

GGG

I

I

I


0

2

1

00201

02221

01211

0

2

1

N

N

N

V

V

V

GGG

GGG

GGG

I

I

I


VNi: Tensão nodal do nó i.

I(i): Somatório de todas as fontes de corrente do nó i.

G(i): Somatório de todas as condutâncias do nó i.

G(ij): Somatório de todas as condutâncias da uniãoentre o nó i e o nó j.

1684/8/2015

4/8/2015

29


013231113

032321232

012212121

:Nó0

:Nó2

:Nó1

NNNSS

NNNSS

NNNSS

VGGVGVGII

VGVGGVGII

VGVGVGGII


Nó0

:Nó2 Nó1

031231113

031231131

0323011131

032322120122121131

032321201221213221

NNNSS

NNNSS

NNNNSS

NNNNNNNNSS

NNNNNNSSSS

VGGVGVGII

VGGVGVGII

VGVGVGVGII

VGVGVGVGVGVGVGVGII

VGVGGVGVGVGVGGIIII

1694/8/2015


• A equação do nó 0 é derivada das equações dos demais nós.


• A equação do nó 0 éredundante e pode ser omitida.

1704/8/2015


032321232

012212121

NNNSS

NNNSS

VGVGGVGII

VGVGVGGII


• 2 equações e 3 incógnitas (VN1, VN2 e VN0).

• O sistema é indeterminado.

• É necessário transformar uma variável em constante.

• É o caso de estipular um valor de contorno.

• Sugestão: VN0 = 0V.

1714/8/2015


• Sugestão: VN0 = 0V.

• Um valor diferente de 0V para VN0 implica em somaresse mesmo valor às demais tensões nodais

Malha zero

esse mesmo valor às demais tensões nodais.

• Esse acréscimo não afeta as tensões de ramo, quesão quem determinam as potências.

1724/8/2015


G

213

022

011

NNG

NNG

NNG

VVV

VVV

VVV

Obtenção das tensões de ramo

1734/8/2015

G1+ –VN1

–+

G1IS1

–+

G2IS2

VN2

VN0


G

VV 00

213

22

11

NNG

NG

NG

VVV

VV

VV

Obtenção das tensões de ramo

1744/8/2015

G1+ –VN1

–+

G1IS1

–+

G2IS2

VN2

4/8/2015

30


2121

2133

0222

0111

213

022

011

333

222

111

:1Nó

:0 Nó

:LCK

:1LΩ

GGSS

NNG

NNG

NNG

NNG

NNG

NNG

GG

GG

GG

III

IIII

VVGI

VVGI

VVGI

VVV

VVV

VVV

VGI

VGI

VGI

G1

+ VG1 –

VN1

–V

G1

+G

1IS1

–V

G2

+G

2IS2

VN2

Circuito genérico de dois nós com nó 0

1754/8/2015

2

1

0

3232

3311

2121

2

1

21

23213022

23131011

221102121

2130222

2130111

02201121

322

311

:2 Nó

:1 Nó:LCK

N

N

N

S

S

SS

NNNS

NNNS

NNNSS

NNNNS

NNNNS

NNNNSS

GGS

GGS

V

V

V

GGGG

GGGG

GGGG

I

I

II

VGGVGVGI

VGVGGVGI

VGVGVGGII

VVGVVGI

VVGVVGI

VVGVVGII

III

III– –

VN0


Nn

V

V

GGG

GGG

I

I 001000

Circuito genérico com nó 0

1764/8/2015

Nn

N

nnn

n

n V

V

GGG

GGG

I

I

1

10

11101

8 QUADRIPOLOSQUADRIPOLOS

QUADRIPOLOSQUADRIPOLOSQUADRIPOLOSQUADRIPOLOS

1774/8/2015


• É chamado de quadripolo um ramo, circuito ou“caixa preta” sobre o qual se determina:

• Tensão de ramo na entrada.

• Corrente de ramo na entrada.

• Tensão de ramo na saída.

Definição

• Corrente de ramo na saída.

• Dependendo do caso, essas correntes de ramopodem ser as próprias correntes de malha.

• Dependendo do caso, entrada e saída podemter um nó em comum.

1784/8/2015


Entrada SaídaI1 I2

+

–V1

+

–V2

Quadripolo

V1: Tensão aplicada na malha 1 (Entrada).

V2: Tensão medida na malha 2 (Saída).

I1: Corrente aplicada na malha 1 (Entrada).

I2: Corrente medida na malha 2 (Saída).

1794/8/2015


Entrada

+

Saída

+

Quadripolo

+–

I1–V1

+–

I2–V2

1804/8/2015

4/8/2015

31


+–

+–

I1 I2

+

–V1

+

–V2

R1 R2

V V

Quadripolo para MCM

V12 V21

V12: Tensão na malha 1 devido a I2.

V21: Tensão na malha 2 devido a I1.

V12: Tensão na entrada devido à corrente na saída.

V21: Tensão na saída devido à corrente na entrada.

1814/8/2015


+–

+–

I1 I2

+

–V1

+

–V2

R1 R2

V V

Quadripolo para MCM

12121

21212

IRV

IRV

R12: Resistência de saída refletida na entrada.

R21: Resistência de entrada refletida na saída.

1824/8/2015

V12 V21


+–

+–

I1 I2

+

–V1

+

–V2

R1 R2

V12 V21

IRIRV VVV

Quadripolo para MCM

221212

212111

IRIRV

IRIRV

2212

1211

R

R

VVV

VVV

2

1

221

121

2

1

I

I

RR

RR

V

V

OUT

IN

OUTF

RIN

OUT

IN

I

I

RR

RR

V

V

1834/8/2015


222

2121

IRV

IRVEntrada em aberto: I1=0

Quadripolo para MCM

222

1212

111

IRV

IRVSaída em aberto: I2=0

1844/8/2015


OUT

IN

OUTF

RIN

OUT

IN

I

I

RR

RR

V

V

RIN: Resistência de entrada com saída em aberto

Quadripolo para MCM

RIN: Resistência de entrada com saída em aberto.

ROUT: Resistência de saída com entrada em aberto.

RR: Transresistência reversa com entrada em aberto.

RF: Transresistência direta com saída em aberto.

1854/8/2015


OUTOUTINFOUT

OUTRINININ

IRIRV

IRIRV

OUT AI 0

IN AI 0

Quadripolo para MCM

OUT

OUTOUT

IN

OUTF

OUT

INR

IN

ININ

I

VR

I

VR

I

VR

I

VR

INFOUT

INININ

IRV

IRV

OUTOUTOUT

OUTRIN

IRV

IRV

1864/8/2015

4/8/2015

32


• Sistema de quatro parâmetros.

• Parâmetros R.

• Parâmetros CC de Circuito Aberto.

Quadripolo para MCM

• Parâmetros de Resistência para Circuito Aberto.

• DC Open-Circuit Parameters.

• Open-Circuit Resistance Parameters.

1874/8/2015


Entrada Saída

I

+V

G1

I

+V

G2

Quadripolo para MTN

1884/8/2015

I1–V1

I12

I2–V2

I21


I1

+

–V1

G1

I12

I2

+

–V2

G2

I21

Quadripolo para MTN

I12: Corrente no nó 1 devido a V2.

I21: Corrente no nó 2 devido a V1.

I12: Corrente na entrada devido à tensão na saída.

I21: Corrente na saída devido à tensão na entrada.

1894/8/2015


I1 I2

+

–V2

+

–V1

G1 G2

Quadripolo para MTN

12121

21212

VGI

VGI

G12: Condutância de saída refletida na entrada.

G21: Condutância de entrada refletida na saída.

1904/8/2015


212111 VGVGI 1211 G III

I1

+

–V1

G1

I12

I2

+

–V2

G2

I21

Quadripolo para MTN

221212

212111

VGVGI

VGVGI

2212

1211

G

G

III

III

2

1

221

121

2

1

V

V

GG

GG

I

I

OUT

IN

OUTF

RIN

OUT

IN

V

V

GG

GG

I

I

1914/8/2015


222

2121

VGI

VGIEntrada em curto: V1=0

Quadripolo para MTN

1212

111

VGI

VGISaída em curto: V2=0

1924/8/2015

4/8/2015

33


GIN: Condutância de entrada com saída em curto

OUT

IN

OUTF

RIN

OUT

IN

V

V

GG

GG

I

I

Quadripolo para MTN

GIN: Condutância de entrada com saída em curto.

GOUT: Condutância de saída com entrada em curto.

GR: Transcondutância reversa com entrada em curto.

GF: Transcondutância direta com saída em curto.

1934/8/2015


OUTOUTINFOUT

OUTRINININ

VGVGI

VGVGI

OUT VV 0

IN VV 0

Quadripolo para MTN

OUT

OUTOUT

IN

OUTF

OUT

INR

IN

ININ

V

IG

V

IG

V

IG

V

IG

INFOUT

INININ

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1944/8/2015


• Sistema de quatro parâmetros.

• Parâmetros G.

• Parâmetros CC de Curto-Circuito.

Quadripolo para MTN

• Parâmetros de Condutância para Curto-Circuito.

• DC Short-Circuit Parameters.

• Short-Circuit Conductance Parameters.

1954/8/2015

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Circuitos em Corrente Contínua - parte 2 - UFSJ em... · 4/8/2015 1 circuitos em corrente 4/8/2015 1 contÍnua – parte 2 1.1. topologia topologia 2.2. leis de leis de kirchhoffkirchhoff