Circunferência Circunferência

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Circunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquerCircunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquer

SlidesSlides

Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos Resolução de triângulos quaisquer: lei dos senos e lei dos cossenos

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Esquadros de madeira

Áreas: medidas de superfície Áreas: medidas de superfície

Trigonometria Trigonometria

Resolução de triângulos quaisquer: resolução de triângulos retângulos Resolução de triângulos quaisquer: resolução de triângulos retângulos

CircunferênciaCircunferência

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Posições relativas entre retas e circunferênciasPosições relativas entre retas e circunferências

RETAS TANGENTES:-Tem um único ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é igual ao raio

dc,t = raio

RETAS SECANTES:-Tem dois pontos em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é menor que o raio

dc,t < raio

RETAS EXTERNAS:- Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência.- A distância entre o centro e a reta é maior que o raio

dc,t > raio

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CircunferênciaCircunferênciaPosições relativas entre duas circunferênciasPosições relativas entre duas circunferências

Pontos comuns Posição relativa Distância entre os centros em função dos raios

Figura

2 Secantes r1 – r2 < d < r1 + r2

1Tangentes

internas d = r1 – r2

1Tangentes externas d = r1 + r2

0Internas

concêntricas d = 0

0Internas não concêntricas d < r1 – r2

0 Externas d > r1 + r2

4

CircunferênciaCircunferência

Ângulos em uma circunferênciaÂngulos em uma circunferência

Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.

Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.

Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.

Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

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CircunferênciaCircunferência

Relações métricas na circunferênciaRelações métricas na circunferência

Cruzamento de duas cordas:

Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:

PA PB PC PD

Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:

2PA PB PT

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CircunferênciaCircunferência

Polígonos regulares inscritos na circunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência

Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.

3

ra

24

r 2a

26

r 3a

23 r 3l 4 r 2l 6 rl

7

Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície

Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramoÁrea do quadrado, do retângulo e do paralelogramo

Quadrado

Retângulo

Paralelogramo

A = b h A = b h2A = l

8

Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície

Área do triânguloÁrea do triângulo

Área do triângulo

Área do triângulo

sendo conhecido os

três lados

Área do triângulo equilátero

Área do triângulo

com o auxílio da

trigonometria

b h 1A b h

2 2

A p p a p b p c

a b cp

2

1

A a b senα2

2 3A

4

l

9

Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície

Área do trapézio e do losangoÁrea do trapézio e do losango

Trapézio Losango

B b hA =

2

D dA =

2

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Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície

Área de polígonos regularesÁrea de polígonos regulares

(l) lado do polígono(a) apótema(n) número de lados do polígono(p) semiperímetro

A p a.

n

p2l

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Áreas: medidas de superfícieÁreas: medidas de superfície

Área do círculo e do setor circularÁrea do círculo e do setor circular

Círculo Setor circular

2A π r

graussetor2

A= =

π r 360º 2 π rl

12

Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer

Resolução de triângulos retângulosResolução de triângulos retângulos

2 2 2a b c

cateto oposto bsenα

hipotenusa a

cateto adjacente ccosα

hipotenusa a

cateto oposto btgα

cateto adjacente c

a = hipotenusab = cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo

30º 45º 60º

sen

cos

tg

12

12

22

22

32

32

33 31

13

Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer

Seno e cosseno de ângulos obtusosSeno e cosseno de ângulos obtusos

É necessário saber que:sen 90º = 1 e cos 90º = 0

Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos:

sen x = sen (180º - x)Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos:

cos x = - cos (180º - x)

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Resolução de triângulos quaisquerResolução de triângulos quaisquer

Lei dos senos e cossenosLei dos senos e cossenos

Lei dos senos:

Lei dos cossenos:

ˆ ˆ ˆ

a b c2 R

sen A sen B sen C

ˆ

ˆ

ˆ

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cosA

b a c 2 a c cosB

c a b 2 a b cosC