¡CJP)FOSJRVFEF$BS WBMIP - pemd.univasf.edu.br · que darão fundamento e/ou interpretação aos capítulos posteri ... damos destaque à noção geométrica da Derivada de uma função

Fábio Henrique de Carvalho

Cálculo Diferencial e IntegralVolume I


1ª Edição

JUAZEIRO - BAUNIVASF

2018

Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco (UNIVASF)

www.pemd.univasf.edu.br

Esta obra é distribuída por meio da Licença Creative Commons 4.0 Atribuição/Uso Não-Comercial/Vedadaa Criação de Obras Derivadas (CC BY-NC-ND) em que é permitido o download e o compartilhamento daobra, desde que sejam atribuídos os devidos créditos, mas sem alterá-la de nenhuma forma ou utilizá-lapara fins comerciais. Mais detalhes em: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode

PEMD - Programa de Elaboração de Materiais Didáticos.

Revisão: Alison Marcelo Van Der Laan Melo, Carlos Antônio Freitas da Silva, Lino Marcos da Silva,Sergio Floquet Sales.Editoração Eletrônica: Pedro Henrique Araújo Sobral, Thiago Bonfim, Danillo Emanuel, Eldon Costa,Sudário Alves Batista, Túlio Nunes Bnonviccini de Souza e Daniel Simião Nunes Oliveira.Capa: Alison Marcelo Van Der Laan Melo, Sudário Alves Batista.Ilustrações: Sudário Alves Batista.Este livro foi produzido com LaTeX2e, versão 2016/02/01.

Primeira impressão, maio de 2018.

Carvalho, Fábio Henrique de.C331c Cálculo diferencial e integral: volume 1 / Fábio Henrique

de Carvalho; [ilustração Sudário Alves Batista e AlisonMarcelo Van Der Laan Melo]. - - Juazeiro: UNIVASF, 2018.

222 p : il. 29cm.

ISBN: 978-85-5322-006-9e-ISBN: 978-85-5322-007-61. Cálculo. I. Título. II. Batista, Sudário Alves.

III. Melo, Alison Marcelo Van Der Laan.

CDD 515Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Integrado de Biblioteca SIBI/UNIVASF

Bibliotecário: Renato Marques Alves, CRB 5 - 1458

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode

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Apresentação

A concepção inicial destas notas de aula e dos espaços – tanto o espaço físico quanto o

espaço virtual, interligados a ela e entre si – demandou um trabalho coletivo árduo. De fato,

muitas pessoas estiveram direta ou indiretamente ligadas ao Programa de Elaboração de Material

Didático (PEMD), pessoas às quais temos a obrigação de agradecer, o que faremos na sequência

deste texto de apresentação.

O PEMD foi criado na Universidade Federal do Vale do São Francisco (UNIVASF) em

2012, à partir de uma preocupação com relação a adequação a “Lei das Cotas Sociais”, Lei nº

12.711/2012, regulamentada pelo Decreto 7.824/2012 e condicionada pela Portaria Normativa nº

18/2012, do Ministério da Educação. A preocupação central foi, e continua sendo, com o dia

seguinte ao do acesso do estudante em situação de vulnerabilidade social à sonhada vaga na

universidade.

Entre o início da redação destas notas de aula e essa primeira pausa para apresentar uma

versão final – embora o termo final ainda não esteja inteiramente de acordo com o nosso

sentimento – muitas modificações foram necessárias; perdas ocorreram durante o percurso, ganhos

também. Muito provavelmente estas notas (inacabadas) passem por muitas transformações

posteriores, é fundamental que assim ocorra. No entanto, de acordo com a avaliação de estimados

amigos que colaboraram de modo profundo, é chegado o momento de lançar oficialmente a

primeira versão, portanto, alea jacta est.

Este material foi redigido, ao longo de mais de 6 anos – inspirado em muitas obras listadas

nas páginas finais – com o intuito de servir de referência ao primeiro curso de Cálculo Diferencial

e Integral oferecido às turmas de graduação da UNIVASF; seu conteúdo, portanto, está em

conformidade com a carga horária disponível para tais cursos, de apenas 60 horas semestrais. A

escolha dos temas abordados, além da óbvia preferência pessoal, também está relacionada a essa

limitação da carga horária. Embora, na concepção inicial, estivéssemos interessados em esgotar

todos os temas relacionados às funções de uma única variável, assuntos tais como técnicas de

integração (incluídas de modo introdutório nas páginas finais) e áreas de superfícies e volumes de

sólidos de revolução, por exemplo, estão contemplados na grade curricular de um segundo curso.

O primeiro capítulo, que insistimos em chamar de capítulo 0, trata de alguns dos conceitos

que darão fundamento e/ou interpretação aos capítulos posteriores. Nele são abordados, de modo

introdutório, o conjunto dos números reais e o conceito de função real. Tentando fugir da tradição

de uma “revisão de Matemática básica” – já que o próprio cálculo é uma matemática básica –

incluímos algumas abordagens suplementares, especialmente nos exercícios sugeridos. No capítulo

1 tratamos essencialmente da noção de Limite e de suas propriedades, interessados em

fundamentar e motivar os conceitos e temas dos capítulos posteriores; de fato, o fundamental

neste capítulo, assim como nos demais, é a resolução de exercícios e problemas - tanto os

propostos neste material, quanto (principalmente) os de textos já consagrados do Cálculo. No

capítulo 2 o foco é o estudo da Derivada de uma função a uma variável real e das suas

consequências; damos destaque à noção geométrica da Derivada de uma função em um ponto,

para introduzir o conceito e tornar intuitiva a definição formal de derivada a partir do limite – em

alguns casos de limites já sugeridos para o cálculo em exercícios do capítulo anterior. O último

capítulo é dedicado à Integral Indefinida (a partir da noção de Antiderivada de uma função) e ao

cálculo da Integral Definida de uma função em um intervalo da reta. Assumimos que para colocar

um ponto final nesse primeiro volume seria suficiente apresentar o Teorema Fundamental do

Cálculo e algumas de suas aplicações mais básicas, mas decidimos apresentar algumas técnicas

preliminares de integração, a fim de apresentar problemas menos elementares. Nossa intenção de

seguir à risca o necessário para um primeiro curso de cálculo delimitado a uma carga horária de

60 horas influenciou no rumo deste texto. Evidentemente, a experiência pessoal e o gosto por

determinadas abordagens nos levaram a escolha dos temas, tanto os contidos, quanto os que

ficaram para uma segunda versão.

Algumas pessoas merecem mais que agradecimentos, sem elas seria impossível seguir essa

jornada, cada uma delas irá reconhecer, através desta simplória menção, o papel desempenhado

para a consolidação do Programa de Elaboração de Material Didático (PEMD), creio que todas as

demais serão unânimes em afirmar que sem a persistência e colaboração da assistente social Isabel

Angelim, não haveria como dar início a esse trabalho. Em igual medida, agradecemos a Suzana

Andrade Leal, que trabalhou incansavelmente para nos poupar da maior parte do trabalho quanto

à infraestrutura do PEMD. Estendemos esse agradecimento a toda equipe (atual ou não) da

PROAE, dentre eles Clébio Ferreira, Gabriela Maria Cardoso da Cunha, Lucília Mendes Rocha,

Paloma Suelen Fernandes de Franca, Marcelo Augusto Mousinho Gomes, Carlos Antonio Tavares

Cordeiro e também a Jacinto Albuquerque, que teve contribuição fundamental para que as

instalações do PEMD começassem a funcionar. Ressaltamos ainda o incentivo e apoio

fundamental de Helinando Pequeno de Oliveira, Leonardo Sampaio, João Pedro da Silva Neto e

Telio Nobre Leite tanto durante a fase de proposição do (ainda, naquela ocasião) projeto de

elaboração de material didático, quanto no decorrer da execução do PEMD e da redação destas

notas. Agradecemos também aos arquitetos Fábio Atta, pelo projeto do mini auditório e a Sérgio

Motta, pelo processo de criação da logomarca do PEMD; ambos deram contribuições inestimáveis

para a execução do PEMD.

Agradecimentos especiais devem ainda ser feitos aos amigos, e para nossa sorte, colegas de

trabalho: os matemáticos Sergio Floquet Sales, Alison Marcelo Van Der Laan Melo, Damião Silva,

Lino Marcos da Silva e Carlos Antônio Freitas da Silva (aparentemente franceses e holandeses

comandando uma dinastia dos Silva, mas as aparências enganam) sem os quais, provavelmente,

não teríamos finalizado essa primeira versão. Alison e Sérgio, em especial, foram fundamentais por

aceitarem a complicada tarefa de coordenar o PEMD e por darem o ultimato em relação à data

limite para um ponto final nessa primeira versão. Por último, mas não menos importante,

agradecemos ao futuro engenheiro civil e bolsista do PEMD Sudário Alves Batista, que além de

digitar a maior parte do material e dar forma à parte gráfica, colaborou com Alison no projeto da

capa. Utilizando o nome de Sudário, agradeço a todos os estudantes que de alguma forma

contribuíram para a boa convivência nas salas de estudo do PEMD e no espaço do café – foram

muitos e uma porção considerável deles usuários deste material. A Alison e Sudário, agradecemos

ainda o fato de terem ouvido a solicitação e incluído a referência de Anita Ekberg tomando banho

na “Fontana di Trevi”. Como já foi melhor dito, “um livro de poesia na gaveta não adianta nada,

lugar de poesia é na calçada”, e nenhuma calçada é melhor que a calçada de uma praça pública

arejada e habitável. Que as praças, assim como a matemática, sejam o espaço para a liberdade, o

debate, o conflito e a criação – e (por que não?) lugar também das árvores, que aparentemente se

tornaram, ao lado das pessoas, as inimigas declaradas dos alcaides.


Juazeiro, 28 de maio de 2018

“Tão correto e tão bonito

O infinito é realmente um dos deuses mais lindos

Sei que às vezes uso palavras repetidas

Mas quais são as palavras que nunca são ditas?”

(Dado Villa-Lobos/Renato Russo/Renato Rocha)

A Ernesto Henrique Souza de Carvalho – nunca ausente.

A Maria Anunciada de Carvalho (†25/03/1942 – ∞20/07/2013) – sempre presente.

Sumário

0 Números e Funções 10.1 Noções da Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3 Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 130.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190.5 Função Constante, Função Afim e Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.7 Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340.9 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1 O Limite de uma Função 411.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3 Definição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.7 Propriedades Operatórias dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.9 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.11 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.13 O Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.15 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.17 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2 Derivada 922.1 A derivada de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3 A Função Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.5 Consequências da Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.7 A Regra de L’Hôpital e o Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.9 O Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.11 Máximos e Mínimos de uma função, Modelagem, Otimização e Taxas Relacionadas . . . . 1382.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3 Integração 1483.1 Introdução: Antiderivada de uma função e a Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 1483.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3 Partição de Intervalos e Área sob uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.5 A Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.7 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.9 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.11 Substituições Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.13 Decomposição em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.14 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Índice Remissivo 208

Referências Bibliográficas 210

0Números e Funções

0.1 Noções da Teoria de ConjuntosUma coleção de elementos é chamada conjunto e, geralmente é, representada por uma letra maiúscula doalfabeto, A,B,C, . . ., a não ser que a natureza da coleção (ou o capricho do autor) exija outra notação.Assim temos, por exemplo, o:

(1) Conjunto de todos os triângulos no plano,

(2) Conjunto de todas as letras do alfabeto,

(3) Conjunto de todas as consoantes,

(4) Conjunto de todas as vogais.

Cada objeto da coleção é chamado elemento do conjunto. Assim, se denotamos por T ,L,C e V osconjuntos descritos em (1), (2), (3) e (4), respectivamente, podemos afirmar que:

(1) C é elemento de T;

(2) z, f, h, o, n, são elementos de L;

(3) m, r, s, f, são elementos de C; e

(4) i, a, o, u, e são (todos) os elementos de V.

Dado um objeto qualquer e uma coleção arbitrária, somente uma das duas afirmações pode ser consi-derada verdadeira:

ou o objeto está na coleção ou não está na coleção. Caso o objeto ? esteja na coleção M, diremos que ?pertence a M, e denotaremos ? ∈M, caso contrário, diremos que ? não pertence a M, e denotamos ? /∈M.

É aceitável fazer a representação do conjunto (se possível) com seus elementos de uma das três formas

1) Através de um diagrama;

2) Enumerando os elementos de maneira aleatória, entre chaves;

3) Escolhendo um representante arbitrário e atribuindo a ele uma propriedade geral que seja verdadeirapara todos e apenas para os elementos do conjunto.

1

2 0. Números e Funções

Assim,

a i

eo

u

, {a,o, e,u, i} e V = {?; ? é vogal}

Figura 0.1.1

são três representações possíveis para o conjunto das vogais do nosso alfabeto. No último caso,{?; ? é vogal} (lê-se: “? tal que ? é vogal”) é uma sentença que é verdadeira apenas para a, e, i,o e u.Por outro lado, como a tarefa de enumerar todos os triângulos do plano é impossível de ser concluída, anotação T = {x; x é um triângulo} é providencial.

Podemos destacar ainda outros aspectos de certos conjuntos, alguns dos quais serão utilizados nodecorrer deste texto, como a seguir.

Exemplo 0.1.1Considere E o conjunto de todas as editoras e M o conjunto de todas as editoras que publicam

livros sobre matemática. É evidente que é possível listar todos os elementos de M, mas a lista correriao risco (por desconhecimento) de ser incompleta. Note que todo elemento de M é também elementode E.

Quando todo elemento de um conjunto X é também elemento de um segundo conjunto Y, dizemosque X é subconjunto de Y, ou ainda, que X está contido em Y. Neste caso, denotamos X ⊂ Y. É comumtambém afirmar que Y contém X e denotar Y ⊃ X. Observe que a notação é a mesma lida no outro sentido.Dois conjuntos são iguais quando o primeiro está contido e, ao mesmo tempo, contém o segundo; isto é,X = Y se, e somente se, X ⊂ Y e X ⊃ Y.

Exemplo 0.1.2Do Exemplo 0.1.1 é imediato que M ⊂ E. Se voltamos aos conjuntosL = {∗; ∗ é letra do nosso alfabeto}V = {?; ? é vogal do nosso alfabeto} eC = {ϕ; ϕ é consoante do nosso alfabeto}, temos C ⊂ L e V ⊂ L.

Se X é um conjunto com um número finito de elementos, ou seja, um conjunto finito, a cardinalidadede X, que denotaremos por #X, é o número de elementos de X.

Um conjunto que não possui elemento algum é chamado conjunto vazio e denotado por ∅. Por nãoexistir elemento em ∅ que não esteja em um conjunto arbitrário X temos que ∅ ⊂ X, para todo conjuntoX ou, simbolicamente, ∅ ⊂ X, para todo X. Por definição, #∅ = 0.

0.1. Noções da Teoria de Conjuntos 3

Exemplo 0.1.3O conjunto dos números naturais, simbolizado por N, agrupa todos os números que podem repre-

sentar a cardinalidade de conjuntos não vazios.Assim,

N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }.

São subconjuntos de N:

• O conjunto dos números naturais pares{2, 4, 6, 8, · · · }.

• O conjunto dos números naturais ímpares{1, 3, 5, 7, 9, · · · }.

• O conjunto dos números naturais p, diferentes de 1, tais que p só tem dois divisores naturais (1e p), chamado conjunto dos números primos{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, · · · }.

Podemos também chamar um número natural de inteiro positivo, em consonância com o exemploseguinte.

Exemplo 0.1.4O conjunto dos números inteiros, simbolizado por Z, é formado pelos naturais, por seus opostos

aditivos e pelo 0. Isto é,

Z = {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }

Dados dois conjuntos X e Y podemos ainda definir sua união, interseção e diferença como segue:

(i) a união entre X e Y é o conjunto

X ∪ Y = {a;a ∈ X ou a ∈ Y}.

Ou seja X ∪ Y, é o conjunto de todos os elementos que pertençam a algum ou ambos os conjuntos.

(ii) a interseção entre X e Y é o conjunto

X ∩ Y = {a;a ∈ X e a ∈ Y}.

Assim, X ∩ Y é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos os conjuntos X e Y,simultaneamente.

(iii) a diferença entre X e Y é o conjunto

X \ Y = {a;a ∈ X e a /∈ Y}.

Por outro lado, Y \ X = {a;a ∈ Y e a /∈ X}.


X\Y Y\X

X ∩ Y

X Y

Figura 0.1.2

Quando Y ⊂ X, X \ Y é o complementar de Y em X.

É fácil observar que:

1) X ∪ Y = (X \ Y) ∪ (X ∩ Y) ∪ (Y \ X);

2) (X \ Y) ∩ (X ∩ Y) = ∅, (X \ Y) ∩ (Y \ X) = ∅ e (X ∩ Y) ∩ (Y \ X) = ∅;

3) X \ Y = X \ (X ∩ Y) e Y \ X = Y \ (X ∩ Y)A justificativa fica como exercício (ver Exercício 0.2.7)

Exemplo 0.1.5Numa pesquisa encomendada a respeito da qualidade de dois canais de TV, 1 e 2, 60% dos en-

trevistados afirmaram que o canal 1 é ruim e 65% que o canal 2 é ruim. Se 25% dos entrevistadosafirmaram que nenhum dos canais é ruim, e sabendo que para 50% dos entrevistados ambos os canaissão ruins, que fração dos entrevistados considerou o canal 1 bom?

Resolução:Começando das interseções nos diagramas abaixo:O canal é:

BOM

15% 25% 10%

1 2

50%

RUIM

10% 50% 15%

1 2

25%

Figura 0.1.3

Portanto 20% dos entrevistados consideraram bom o canal 1.

Dois conjuntos A e B tais que A ∩ B = ∅ são ditos disjuntos.Sejam A e B conjuntos não vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares

ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B, e será denotado por A× B.

A× B = {(a,b);a ∈ A e b ∈ B}

Observe que:

1) Em geral, A× B 6= B×A;

2) Se A e B são finitos, #(A× B) = (#A) · (#B) (Justifique)

Exemplo 0.1.6


Considere A = {e,a,o} e B = {i,u,m}, entãoA× B = {(e, i), (e,u), (e,m), (a, i), (a,u), (a,m), (o, i), (o,u), (o,m)}.

Caso tenhamos três conjuntos não-vazios A, B, e C, o produto cartesiano entre os três é,

A× B× C = {(a,b, c);a ∈ A,b ∈ B e c ∈ C}.

Mais geralmente, se A1,A2, · · · ,Ak são conjuntos vazios,

A1 ×A2 × · · · ×Ak = {(a1,a2, · · · ,ak);aj ∈ Aj com 1 6 j 6 k}.

Uma relação entre dois conjuntos A e B (nessa ordem) é qualquer subconjunto de A × B. ParaA = {e,a,o} e B = {i,u,m} do Exemplo 0.1.6

R1 = {(e, i)},R2 = {(e, i), (a,u), (a,m)},R3 = {(e,u), (a,u), (o,u)}, eR4 = {(e, i), (e,m), (a, i), (o,m)}

são exemplos de relações entre A e B.Um caso especial de relação entre A e B é o da função de A em B. Uma relação de A em B na qual

todo elemento a ∈ A está relacionado a um, e somente um, elemento de b ∈ B é chamada função de Aem B.Exemplo 0.1.7

Para os conjuntos A = {e,a,o} e B = {i,u,m}, do Exemplo 0.1.6, são funções de A em B

R3 = {(e,u), (a,u), (o,u)}R5 = {(e,m), (a, i), (o,m)}

R6 = {(e, i), (a, i), (o,u)}R7 = {(e,m), (a,m), (o,m)}

Por outro lado, não são funções de A em B as relações R1,R2 e R4, definidas no Exemplo 0.1.6. Defato, em R1 não há elemento algum de B relacionado a a ou o; em R2, a está relacionado tanto a uquanto a m em B; já em R4, a dupla associação ocorre em com o elemento e ∈ A .

Em geral, quando a relação f é uma função de A em B denotamos

f : A −→ B

a 7−→ b = f(a)

Lê-se: f é uma função de A em B que a cada a ∈ A relaciona b = f(a).

O conjunto A é chamado domínio e B é o contradomínio de f. A igualdade b = f(a) representa que oelemento b ∈ B é imagem de a por f, que é como leremos o símbolo f(a). Se D é um subconjunto de A,f(D) é a imagem de D por f; já f(A) é chamado apenas de conjunto imagem da função f. Representaremospor Domf e Imf, respectivamente, o domínio e a imagem da função f.

Observe que, se D ⊂ A, f(D) = { y ∈ B; y = f(x), com x ∈ D } ⊂ B.


Exemplo 0.1.8Considere A = B = N. Se a cada número natural n, associamos o seu dobro 2n, temos uma função

f : N −→ Nn 7−→ f(n) = 2n

De fato, para cada natural n, 2n é um número natural unicamente definido por n; isto é,2n1 = 2n2 se, e somente se, n1 = n2. De modo equivalente, n 6= m se, e somente se, f(n) 6= f(m).

Serão utilizados, com frequência, os símbolos⇒ e⇔, quando convenientes, para denotar implicações eequivalências. Assim, quando a validade de uma sentença P acarreta a validade de uma segunda sentençaQ dizemos que P implica Q ou que a condição Q é necessária para P e denotamos P ⇒ Q. É comumainda escrever “se P então Q” e que a condição P é suficiente para Q. Quando P implica Q e Q implicaP, isto é, P ⇒ Q e Q⇒ P, dizemos que a condição P é necessária e suficiente para a validade da condiçãoQ e escrevemos P ⇔ Q. Também é comum escrever “P se, e somente se, Q”.

Também são comuns os termos aplicação de A em B ou correspondência de A em B para denominaruma função f : A −→ B.

Se f : A1 −→ B1 e g : A2 −→ B2 são duas funções, escrevemos f = g quando A1 = A2, B1 = B2 ef(x) = g(x), para todo x ∈ A1.

Uma função f : A −→ B é:

1) injetiva quando para todos x1, x2 ∈ A, se x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2). Equivalentemente, f é injetivaquando f(x1) = f(x2) implica x1 = x2.

2) sobrejetiva quando para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Em outras palavras, todo y ∈ Btambém pertence a Imf. Como Imf ⊂ B por definição, f é sobrejetiva se, e somente se, Imf = B.

A função do Exemplo 0.1.8 é injetiva. Porém não é sobrejetiva já que 3 /∈ Imf.Exemplo 0.1.9

Assumiremos aqui o conhecimento prévio a respeito das operações de adição e subtração. Sejaf : N→ N ∪ {0} definida por f(n) = n− 1.

Se n1 6= n2 temos n1 − 1 6= n2 − 1 ⇒ f(n1) 6= f(n2) e f é injetiva. Por outro lado, dado qualquerm ∈ N ∪ {0} temos m + 1 ∈ N e f(m + 1) = (m + 1) − 1 = m, o que implica que m está no conjuntoimagem de f e, portanto, f é sobrejetiva.

Quando uma função f : A −→ B é injetiva e sobrejetiva, dizemos que f é uma bijeção de A em B.Bijeções são ferramentas úteis na comparação entre conjuntos.

A função de A em A que a cada elemento x ∈ A associa o elemento k ∈ A fixado previamente échamada função constante . A função que a cada x ∈ A associa o próprio x é chamada função identidade.

id : A −→ A

x 7−→ id(x) = x

Exemplo 0.1.10Se A é um conjunto não vazio, qualquer função

θ : A×A −→ A

(a1,a2) 7−→ θ(a1,a2)


é chamada operação em A. A operação é comutativa quando θ(a1,a2) = θ(a2,a1).Em Z temos as operações usuais de adição e multiplicação

+ : Z× Z −→ Z(a1,a2) 7−→ a1 + a2

e· : Z× Z −→ Z(a1,a2) 7−→ a1 · a2

,

sendo ambas comutativas.

Sejam A e B conjuntos e sejam f,g : A→ B funções. Se existe uma operação θ : B×B −→ B podemosdefinir

θ(f,g) : A −→ B

a 7−→ θ(f,g)(a) = θ(f(a),g(a))

Em particular, se B possui uma operação de adição e uma operação de multiplicação (que representa-remos usualmente por + e ·, respectivamente) definimos:

f+ g : A −→ B

a 7−→ (f+ g)(a) = f(a) + g(a)e

f · g : A −→ B

a 7−→ (f · g)(a) = f(a) · g(a).

Dadas duas funções g : A −→ B e f : B −→ C, podemos definir a composta de f com g de A em C,

f ◦ g : A −→ C

a 7−→ (f ◦ g)(a) = f(g(a))e

A B Cg f

a g(a) f(g(a))

f ◦ g

Figura 0.1.4

Mais geralmente, se g : A → B e f : W → C, podemos definir f ◦ g : A → C desde queImg ⊂W = Domf.

Exemplo 0.1.11Denotamos em Z os subconjuntos: Z+, dos inteiros não negativos; Z−, dos inteiros não positivos;

e, Z∗−, dos inteiros negativos.As funções

f : Z −→ Nx 7−→ f(x) = x2 + 1

eg : N −→ Z−

x 7−→ g(x) = 1 − x

estão bem definidas.Podemos ainda definir

1) f+ g : Z −→ Z∗−x 7−→ (f+ g)(x) = x2 − x+ 1 ;

2) f · g : Z −→ Z∗−x 7−→ (f · g)(x) = 1 − x+ x2 − x3 ;


3) f ◦ g : N −→ Nx 7−→ (f ◦ g)(x) = x2 − 2x+ 2 .

A composta f ◦ g está bem definida pois

Img = Z− ⊂ Z = Domf.

Podemos ainda definir a composta

4) g ◦ f : Z −→ Z−

x 7−→ (g ◦ f)(x) = −x2 ,

já que Imf = N = Domg (verifique!).

0.2 Exercícios

0.2.1 Faça as três representações possíveis para cada um dos conjuntos:

(a) dos naturais pares maiores que 5 e menores que 20;

(b) dos números primos com menos que três algarismos;

(c) dos múltiplos naturais de 4 e 6 menores que 20;

(d) dos múltiplos naturais de 4 ou de 6 menores que 20.

0.2.2 Considere A,B,C e D, respectivamente, os conjuntos definidos nos itens (a), (b), (c) e (d) do Exer-cício 0.2.1. Determine:

(i) A ∪ B

(ii) A \ B

(iii) B \A

(iv) (A ∪ B) ∩ C

(v) D ∪ (A ∩ C)

(vi) (A \D) ∩ (B \ C)

(vii) A ∩ B ∩ C ∩D

(viii) D \A

0.2.3 O conjunto dos números naturais, apresentado no Exemplo 0.1.3, teve sua formalização, do pontode vista matemático, a partir do trabalho do matemático Giuseppe Peano, no final do século XIX. Peanopropôs:"Existe um conjunto N e uma função s : N −→ N satisfazendo:

A1) s é injetiva;

A2) existe um elemento em N, denotado por 1, que não está na imagem de s (portanto, N é não vazio es não é sobrejetiva);

A3) se um subconjunto X de N satisfizer 1, s(n) ∈ X,∀n ∈ X, então X = N.

A função s é chamada sucessão . Se n ∈ N, s(n) é chamado sucessor de n.Apresente uma justificativa para as seguintes afirmações:

(i) Se n1,n2 ∈ N e n1 6= n2 então s(n1) 6= s(n2) (ou seja, s é injetiva).

(ii) ∀n ∈ N, 1 6= s(n).

(iii) s(1) 6= s(s(1)) e, para todo n ∈ N, s(n) 6= s(s(n)).

(iv) Se A = {n ∈ N; s(n) 6= n} então A = N.

(v) Ims = N \ {1}.

0.2. Exercícios 9

0.2.4 Um conjunto X é infinito quando existe uma função injetiva f : N −→ X. Mostre que:

(a) o conjunto dos números naturais pares {2, 4, 6, · · · } é infinito;

(b) o conjunto dos números naturais ímpares {1, 3, 5, · · · } é infinito.

0.2.5 Sejam A,B e C conjuntos. Mostre que:

(i) A ∪∅ = A e A ∩∅ = ∅;

(ii) A ∪ B = B ∪A e A ∩ B = B ∩A;

(iii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

(iv) A ∪A = A e A ∩A = A;

(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(vii) Se A ⊂ B então A ∪ B = B;

(viii) Se A ∪ B = B então A ⊂ B.

0.2.6 Sejam A e B conjuntos arbitrários. Mostre que:

(i) A ⊂ ∅ = A e A ⊂ A = ∅;

(ii) A ∩ B = ∅ então A ⊂ B = A e B ⊂ A = B

0.2.7 Sejam X e Y conjuntos arbitrários. Mostre que:

(a) X ∪ Y = (X \ Y) ∪ (X ∩ Y) ∪ (Y \ X)

(b) (X \ Y) ∩ (X ∩ Y) = ∅

(c) (X \ Y) ∩ (Y \ X) = ∅

(d) (X ∩ Y) ∩ (Y \ X) = ∅

(e) X \ Y = X \ (X ∩ Y)

(f) Y \ X = Y \ (X ∩ Y)

0.2.8 Sejam A,B,C e D conjuntos. Mostre que:

(i) se B ⊂ C então A \ C ⊂ A \ B;

(ii) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

(iii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);

(iv) A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C);

(v) A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C);

(vi) (A× B) ∩ (C×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)= (A×D) ∩ (C× B);

(vii) (A× B) \ (C×D) = [(A \ C)× B] ∪ [A× (B \D)]


0.2.9 Considere em N× N = {(a,b);a,b ∈ N} a relação definida do seguinte modo: dois pares (a1,b1) e(a2,b2) estão relacionados quando a1 + b2 = b1 + a2. Simbolicamente,

(a1,b1) ∼ (a2,b2) quando a1 + b2 = a2 + b1.

Mostre a validade das seguintes propriedades:

(i) (a1,b1) ∼ (a1,b1);

(ii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) então (a2,b2) ∼ (a1,b1);

(iii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (a2,b2) ∼ (a3,b3) então (a1,b1) ∼ (a3,b3).

(As propriedades acima acarretam que ∼ é uma relação de equivalência).0.2.10 De acordo com a definição da relação ∼ no Exercício 0.2.9, dê exemplos de pares (a,b) tais que:

(a) (a,b) ∼ (7, 9);

(b) (a,b) ∼ (6, 1);

(c) (a,b) ∼ (5, 2);

(d) (a,b) ∼ (8, 2);

(e) (a,b) ∼ (1, 6);

(f) (a,b) ∼ (1, 1);

0.2.11 Ainda de acordo com a definição da relação ∼ no Exercício 0.2.9, defina

(a,b) = {(x,y) ∈ N× N; (a,b) ∼ (x,y)}

a classe de equivalência do par ordenado (a,b).

(i) Ache (4, 1), (2, 2) e (3, 5) .

(ii) Verifique que, se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (c1,d1) ∼ (c2,d2) então (a1 + c1,b1 + d1) ∼ (a2 + c2,b2 + d2) eobserve que a adição (a1,b1) + (c1,d1) = (a1 + c1,b1 + d1) está bem definida.

(iii) as propriedades indicadas em (ii) continuam verdadeiras se substituimos a adição pela multiplicação?

Obs.: Os Exercícios 0.2.9, 0.2.10 e 0.2.11 são um esboço de uma construção do conjunto dos númeorsinteiros Z a partir de N. Veja que

(a1,b1) ∼ (a2,b2) ⇐⇒ a1 − b1 = a2 − b2.

Observe ainda que o elemento neutro da adição em Z, 0, se identifica com a classe (a,a), para todoa ∈ N. Além disso, se a,b ∈ N, (a,b) + (b,a) se identifica também com 0 ∈ Z. Observe ainda que, seb 6= a, uma e apenas uma das classes (a,b) ou (b,a) se identifica com um número inteiro e natural, o qualdenominamos positivo. A outra classe, necessariamente, se identifica com um número inteiro negativo.

Um número inteiro α é portanto uma "classe de subtrações entre dois naturais", α = (a,b). Quandoa < b, α é negativo (α ∈ Z∗−); quando a = b, α = 0; e quando a > b, α > 0 (α ∈ N = Z∗+).0.2.12 De acordo com o Exercício 0.2.11, defina

f : N −→ Zm 7−→ f(m) = (m+ 1, 1).

(a) Mostre que f está bem definida e é injetora;

0.2. Exercícios 11

(b) Verifique que, para todos m,n ∈ N

(i) f(m+ n) = f(m) + f(n),

(ii) f(mn) = f(m) · f(n),(iii) Se m 6 n então f(m) 6 f(n).

0.2.13 (OBM - 1988) Determine todas as funções f : N←→ Z+ tais que:

• f(x,y) = f(x) + f(y)

• f(30) = 0

• f(x) = 0, sempre que o algarismo das unidades de x é 7.

0.2.14 Defina g : N −→ Z pondo, para cada n ∈ N

g(n) =

{n+1

2 , se n é ímpar−n2 , se n é par.

(a) Mostre que g está bem definida e é injetiva;

(b) Conclua que Z possui uma quantidade infinita de elementos.

0.2.15 Seja n ∈ Z+ e defina o fatorial de n como

n! =

{1, sen = 0 ou n = 1n.[(n− 1)!] se n > 1.

,

(i) Verifique que n! = 1 · 2 · 3 · · ·n

(ii) Calcule 5!, 6!, 7! e 8!

0.2.16 Sejam a ∈ Z e n ∈ N. Defina

an =

{a, se n = 1a · an−1,n > 1

Verifique que se a,b ∈ Z∗ e m,n ∈ N então:

(i) am · an = am+n

(ii) (am)n = am·n

(iii) an · bn = (a · b)n

Sugestão: Para mostrar que uma sentença P(n) é verdadeira para todo natural n > n0, (1) verifiqueque P(n0) é válida; (2) suponha que P(n−1) é válida para algum n > n0 +1 e, (3) prove que de (2) seguea validade de P(n).

Nos exercícios a seguir consideraremos bem definida a ordem usual em Z, herdada do conjunto dosnúmeros naturais. Isto é, · · · ,−4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < · · ·0.2.17 Seja a ∈ Z, definimos o módulo (ou valor absoluto) de a como o máximo do conjunto {a,−a},simbolicamente |a| = max{a,−a}.

(i) Verifique que |0| = 0, |1| = 1 e |− 1| = 1;

(ii) Mostre que, se a ∈ Z, |a| ∈ Z+.

0.2.18 Sejam D,d ∈ Z e d 6= 0. O Algoritmo da Divisão Euclidiana garante a existência de inteirosq e r, unicamente determinados, tais que D = q · d+ r e 0 6 r < |d|. Obtenha q e r nos seguintes casos:


(a) D = 10 e d = 3

(b) D = 10 e d = −3

(c) D = −12 e d = 3

(d) D = −15 e d = −2

0.2.19 Considerando a notação do Exercício 0.2.18, mostre a veracidade ou apresente um contra exemplopara as afirmações:

(i) se D > 0 e d > 0 então q > 0;

(ii) se D1 = q1 · d+ r1 e D2 = q2 · d+ r2 então D1 +D2 = (q1 + q2) · d+ r1 + r2;

(iii) Todo número inteiro r é da forma 2k ou 2k+ 1, com k ∈ Z.

0.2.20 Quando r = 0 no Algoritmo da Divisão Euclidiana; isto é, quando dados D,d ∈ Z com d 6= 0,existe q ∈ Z tal que D = a · d, dizemos que D é divisível por d (ou ainda que) D é múltiplo de d, que dé divisor de D ou que d divide D.

Mostre que

(a) 9 é divisível por 3 e por −3;

(b) Se D é divisível por d então D é divisível por −d.

(c) Se d divide D1 e d divide d2 então:

(i) d divide k1D1 + k2D2, ∀ k1,k2 ∈ Z;(ii) d divide D1D2

0.2.21 Todo inteiro n ou é da forma 2k ou da forma 2k + 1, com k ∈ Z. Quando n = 2k, dizemos quen é par ; quando n = 2k+ 1, dizemos que n é ímpar.

Mostre que:

(a) a soma de dois números pares é par;

(b) a soma de dois números ímpares é ímpar;

(c) a soma de um número par com um número ímpar é ímpar;

(d) o produto de dois pares é par;

(e) o produto de dois ímpares é ímpar;

(f) o produto de um número par com um número ímpar é par;

(g) dados dois números inteiros consecutivos, um deles é par e o outro é ímpar.

0.3. Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesiano 13

0.3 Números racionais, irracionais, a reta real e o plano cartesianoNas Seções 0.1 e 0.2 introduzimos nos exemplos e exercícios as notações para o conjunto dos númerosnaturais N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, para o conjunto dos números inteiros Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, etambém para conjuntos, tais como Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}, Z∗+ = Z+ \ {0} = N,Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0} eZ∗− = Z− \ {0}.

Para esta seção tomamos como ponto de partida o conjunto das frações possíveis entre dois inteirosa e b. Tal conjunto será chamado conjunto dos números racionais e será representado por Q. Por fraçõespossíveis entenda-se que o denominador é, necessariamente, diferente de 0. Assim, podemos escrever

Q ={ab

;a ∈ Z e b ∈ Z∗}

.

A exemplo do conjunto dos inteiros, representamos por Q+, o conjunto dos números racionais nãonegativos; por Q−, o conjunto dos números racionais não positivos e, assim, Q∗+ = Q+\{0} e Q∗− = Q−\{0}são os conjuntos dos números racionais positivos e dos números racionais negativos, respectivamente.

Evidentemente, N ⊂ Z ⊂ Q, já que a = a1 ∈ Q para todo a ∈ Z. Além disso, o conjunto Q é

enumerável, isto é, é possível listar os elementos de Q, a exemplo do que é feito com os números naturaisN = {1, 2, 3, · · · }, naturais pares {2, 4, 6, · · · }, inteiros Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }, a despeito de Q ser umconjunto infinito (já que contém Z que é um conjunto infinito). Uma forma de enumerar os elementos deQ+ (com repetição) é dada pela disposição abaixo, onde em cada linha m aparecem os números racionaisde denominador m.

LINHA 1 01

11 −→ 2

131 −→ 4

151 −→ 6

1 · · ·

↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙

LINHA 2 02

12

22

32

42

52

62 · · ·

↙ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗

LINHA 3 03

13

23

33

43

53

63 · · ·

↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙

LINHA 4 04

14

24

34

44

54

64 · · ·

↙ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗

LINHA 5 05

15

25

35

45

55

65 · · ·

↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗ ↙

LINHA 6 06

16

26

36

46

56

66 · · ·

···

···

···

···

···

···

···

Caso consideremos em uma reta, um ponto de origem, ao qual será atribuído o inteiro 0 e o sentidopositivo (por conveniência à maioria dos seres humanos, que é destra) da esquerda para a direita, escolhidauma unidade de medida (digamos ) representamos os inteiros positivos 1, 2, 3, · · · à direita do 0,respeitando a unidade escolhida. Consequentemente, os inteiros negativos −1,−2,−3, · · · serão dispostosà esquerda do 0, o que podemos chamar de sentido negativo. Os números racionais podem ser representados


na reta utilizando frações da unidade padrão (subunidades). Assim 12 , está no ponto médio entre 0 e 1;

−53 pode ser localizado dividindo em três partes a unidade padrão e considerando a esquerda da origem

o ponto obtido ao considerar exatamente cinco medidas desta nova subunidade, ou, equivalentemente,dividindo o segmento entre 0 e − 5 em três partes iguais e considerando o ponto que está localizado naextremidade da primeira destas partes a partir do 0.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−5/3 1/2

···

Evidentemente, é impossível preencher a reta apenas com números racionais. De fato, construindo umquadrado sobre o segmento de extremidades 0 e 1, a medida de sua diagonal d, pelo Teorema de Pitágoras,deve satisfazer d2 = 12 + 12 = 2 e portanto, d não é um número racional (ver Exercício 0.4.3).

1

1

x

y

Figura 0.3.1

1

1

√2 x

y

d

Figura 0.3.2

Em algumas abordagens define-se que um número é racional quando sua escrita na forma decimal(por exemplo: 1

2 = 0, 5000 · · · ; 13 = 0, 3333 · · · ; 1 = 0, 999 · · · ) é periódica e, portanto um número que não

tem representação decimal periódica não pode ser racional, sendo chamado, nesse caso, de irracional. Oconjunto dos números reais, R, é a união entre o conjunto dos números racionais, Q, e o dos irracionais,R \Q.

Quando estudamos o conjunto dos números reais sob um ponto de vista que requer maior rigor mate-mático, adotamos uma das alternativas (ou ambas): ou construímos o conjunto dos números reais a partirde classes de equivalências de “sequências de Cauchy”, conforme proposta do matemático Georg Cantor;ou através dos Cortes de Dedekind, a exemplo do que fez o matemático Julius Wilhelm Richard Dedekind.A primeira abordagem é comum na bibliografia dos cursos de análise na reta, tais como o “Princípios deAnálise Matemática” de Walter Rudin; o leitor curioso pode encontrar uma boa abordagem dos Cortes deDedekind em “A Construção dos Números”, de Jamil Ferreira, e em “Construção dos Reais: um enfoqueusando cortes de Dedekind”, de Adilandri Mércio Lobeiro.

Usaremos como fato que o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo. Um corpo nosentido de ser munido das duas operações, adição (+) e multiplicação (·), as quais satisfazem as pro-priedades de associatividade, comutatividade, existência dos elementos neutros da adição e também damultiplicação, existência de um elemento oposto da adição para cada número real fixado, distributividadeda multiplicação em relação à adição e, para cada número real γ 6= 0, a existência de um inverso mul-tiplicativo w com a propriedade γ · w = 1 (por conveniência, w é denotado por γ−1). Dizemos que R éordenado pois dados γ1,γ2 ∈ R, ou γ1 < γ2 ou γ1 = γ2 ou γ1 > γ2. Finalmente, R é completo pois todoconjunto A não vazio de R que possui uma cota superior (isto é, o conjunto A é limitado superiormente)possui um elemento dentro do próprio A que é menor ou igual que todas as cotas superiores a A. Assim,para clarear as ideias A = {x ∈ R; x2 < 3} é limitado superiormente por 5, por exemplo, mas a menor


das cotas superiores é o número irracional√

3. A menor das cotas superiores de um conjunto é chamadasupremo; por outro lado, a maior das cotas inferiores é chamada ínfimo.

Adotaremos para a reta real a notação usual:

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1/2

3/2

√2√

5

R

Se a,b ∈ R e a > b então a estará localizado à direita de b na reta real. Nesse caso, a distância entrea e b é representada por a− b. Mais geralmente, dado um número real γ, |γ| = max{γ,−γ} é a distânciade γ à origem na reta real, dados γ, s ∈ R, |γ− s| é a distância entre γ e s na reta real.

O conjunto R2, por sua vez, será representado por um par de retas perpendiculares entre si de tal modoque o ponto de encontro O coincide com a origem de ambas, denotaremos O = (0, 0) a origem do planodefinido pelos dois eixos, que chamaremos plano cartesiano. Uma das retas será disposta na horizontalcomo a reta real e terá a mesma orientação daquela; a outra reta, consequentemente, será disposta navertical, e pode ser vista como a primeira reta rotacionada 90◦ no sentido anti-horário, com ponto fixo naorigem.

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

O

(x,y)

x

y

Figura 0.3.3

A reta horizontal é chamada eixo das abcissas. Cada ponto do eixo das abcissas corresponde a umponto (x, 0) do plano cartesiano em que x é o número real correspondente na reta real horizontal.

A reta vertical é chamada eixo das ordenadas. Cada ponto do eixo das ordenadas corresponde a umponto (0,y) do plano cartesiano em que y é o número real correspondente na reta real vertical.

Cada ponto (x,y) ∈ R2 será representado no plano cartesiano no lugar geométrico correspondenteao quarto vértice do retângulo cujos outros três vértices são (0, 0), (x, 0) e (0,y). Quando x > 0 e y > 0,(x,y), está no 1◦ quadrante do plano cartesiano; quando x < 0 e y > 0, (x,y) está no 2◦ quadrantedo plano cartesiano; quando x < 0 e y < 0, (x,y) está no 3◦ quadrante do plano cartesiano; e, quandox > 0 e y < 0, (x,y) está no 4◦ quadrante do plano cartesiano.

É comum representar o eixo das abcissas por eixo x e o eixo das ordenadas por eixo y.


x

y

(3,0) (5,0)(0,0)(−2,0)(−4,0)

(3,2)

1.◦ QUADRANTE

(−4,1)

2.◦ QUADRANTE

(−2,−2)

3.◦ QUADRANTE

(0,−1)

(0,−2)

(0,1)

(0,2)

(5,−1)

4.◦ QUADRANTE

Figura 0.3.4

Analogamente, fixando o ponto O = (0, 0) aplicamos uma rotação de 90◦ ao eixo x perpendicularmenteao plano gerado pelos dois eixos, x e y, de modo que posicionando o polegar na direção e sentido do eixo xe o indicador na direção e sentido do eixo y, o eixo obtido seja orientado positivamente a partir da palmada mão e para a região acima desta. O eixo assim obtido é chamado eixo das cotas, ou eixo z.

x

y

z

O

Figura 0.3.5

Assim, definindo a origem O = (0, 0, 0) como o ponto de interseção entre os três eixos, x,y e z, cadaponto sobre o eixo x terá coordenadas (x, 0, 0), sobre o eixo y, (0,y, 0) e sobre o eixo z, (0, 0, z).

Considere a,b ∈ R com a < b. É possível definir, dentre outros, os seguintes subconjuntos, não vaziose não unitáros de R, que chamaremos intervalos:


(i) {x ∈ R; x > a e x < b} = {x ∈ R; a < x < b};

(ii) {x ∈ R; x > a e x < b} = {x ∈ R; a 6 x < b };

(iii) {x ∈ R; x > a e x 6 b } = {x ∈ R; a < x 6 b };

(iv) {x ∈ R; x > a e x 6 b} = {x ∈ R; a 6 x 6 b };

(v) {x ∈ R; x > a};

(vi) {x ∈ R; x > a};

(vii) {x ∈ R; x < b};

(viii) {x ∈ R; x 6 b};

Em (i) temos um intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por ]a,b[ ou (a;b);

Em (ii) temos um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita denotado por [a,b[ ou [a,b);

Em (iii) temos um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremidades a e b, denotadopor ]a,b[ ou (a;b];

Em (iv) temos um intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a,b];

Em (v) temos um intervalo aberto de extremidade esquerda em a e ilimitado à direita, denotadopor ]a,+∞[ ou (a;+∞)

Em (vi) temos um intervalo fechado à esquerda em a e ilimitado à direita, denotado por [a,+∞[ou [a;+∞);

Em (vii) temos um intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita em b, denotado por ] −∞,b[ou (−∞;b);

Em (viii), finalmente, temos um intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita em b, denotadopor ] −∞;b] ou (−∞;b].

O intervalo [a,a] é dito intervalo degenerado. O intervalo ]−∞,+∞[ ou (−∞;+∞) é igual a R.Podemos representar cada um dos intervalos geometricamente pondo, por exemplo,

a b: ]a,b[i)

a b: ]a,b]ii)

a b: [a,b]iv)

a: ]a,+∞[v)

b: ]−∞,b]v)

Como são conjuntos, podemos estender todas as operações sobre conjuntos a intervalos da reta. Parareforçar a ideia, tomamos alguns exemplos:


Exemplo 0.3.1Considere os intervalos I1 = ] − 2, 5], I2 = [−1, 3[, I3 = [1, 4] e I4 = [3,+∞[. temos:

(a) I1⋃I2 = ] − 2, 5] = I1

(b) I1⋃I3 = ] − 2, 5] = I1

(c) I1⋃I4 = ] − 2,+∞[

(d) I3⋃I4 = [1,+∞[

(e) I2⋃I3 = [−1, 4]

(f) I1⋂I2 = [−1, 3[

(g) I2⋂I3 = [1, 3[

(h) I3⋂I4 = [3, 4]

(i) I1\I2 = ] − 2,−1]⋃

[3, 5]

(j) I2\I1 = ∅

(k) I2\I3 = [−1, 1[

(l) I3\I2 = [3, 4]

(m) I3\I4 = [1, 3[

(n) I4\I3 = ]4,+∞[

Fica como exercício a verificação da validade das propriedades indicadas.

Além disso, podemos dar um tratamento geométrico às desigualdades na reta.Exemplo 0.3.2

Seja b ∈ R, a desigualdade x − b > 0, equivalente ax > b, está bem representada pelo intervalo]b,+∞[ que é sua representação geométrica.

b

Por outro lado, x− b 6 0 determina o intervalo ] −∞,b]

b

Mais geralmente, se consideramos a ∈ R,a 6= 0, a desigualdade ax + b > 0 pode ser analisada deacordo com os dois casos abaixo:

Para a > 0ax+ b > 0(Somando (−b) aos dois membros)

⇔ ax+ b+ (−b) > 0 + (−b)⇔ ax+ 0 > −b(Multiplicando os dois membros por 1

a)

⇔ 1a(ax) > 0 + 1

a(−b)

⇔ x > −ba

Para a < 0ax+ b > 0⇔ ax+ b+ (−b) > 0 + (−b)⇔ ax+ 0 > −b1a ⇔

1a(ax) 6

1a(−b)

⇔ x 6 −ba

Assim, para a > 0, ax+ b > 0 representa o intervalo

−b

a

e, para a < 0,

−b

a

Para ax+ b > 0,ax+ b 6 0 e ax+ b < 0 a análise é similar.

0.4. Exercícios 19

No Exemplo 0.3.3 usamos o fato de que a multiplicação de uma inequação por um número real negativoinverte não só os sinais dos membros quanto também o sinal da desigualdade. Observe que, se k 6 l então−l 6 −k.Exemplo 0.3.3

Sejam r1, r2 ∈ R e considere a desigualdade x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 > 0É de imediata verificação que

x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 = (x− r1)(x− r2).

Assim, x2 −(r1 + r2)x+ r1r2 > 0 é satisfeita apenas quando os fatores x− r1 e x− r2 tem o mesmosinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou algum deles é nulo.

Sem perda de generalidade, suponha r2 > r1.Representando com o sinal + onde a expressão x− ri é positiva, com sinal − onde ela é negativa,

temos, do Exemplo 0.3.2

r1

− − − − − − + + + + + +x− r1

r2

− − − − − − − − − + + + +x− r2

r1 r2

+ + + + − − + + + +(x− r1)(x− r2)

Isto é, (x− r1)(x− r2) > 0 quando (x− r1 6 0 e x− r2 6 0) ou quando (x− r1 > 0 e x− r2 > 0),o que significa que x2 − (r1 + r2)x+ r1r2 > 0 se, e somente se, x 6 r1 ou x > r2.

0.4 Exercícios

0.4.1 Sejama

b,c

d∈ Q e defina

(i)a

b+c

d=ad+ bc

bd, e (ii)

a

b· cd=ac

bd

(a) Calcule 23 + 7

4 , 15 ·

32 , 5

6 + 34 e 5

6 ·34 .

(b) Mostre que, se ab = a ′

b ′ ecd = c ′

d ′ , então

a

b+c

d=a ′

b ′+c ′

d ′ea

b· cd=ac

bd

.

0.4.2 Usando as definições de adição e multiplicação em Q dadas no Exercício 0.4.2, verifique que, paratodos α,β,γ ∈ Q tem-se:

(i) (α+ β) + γ = α+ (β+ γ);

(ii) α+ β = β+ α;

(iii) α+ 01 = 0

1 + α = α;

(iv) ∀ϕ ∈ Q, existe ϕ ′ ∈ Q tal que ϕ+ϕ ′ = 01 ;


(v) (α · β) · γ = α · (β · γ);

(vi) α · β = β · α;

(vii) α · 11 = 1

1 · α = α;

(viii) Se ψ ∈ Q e ψ 6= 01 , existe ψ ′′ ∈ Q tal que ψ ·ψ ′′ = ψ ′′ ·ψ = 1

1 ;

(ix) α · (β+ γ) = αβ+ αγ.

0.4.3

(i) Verifique que no quadrado de um número inteiro cada fator primo comparece uma quantidade parde vezes.

(ii) Verifique que se m e n são números inteiros que não possuem fatores em comum então m2 6= 2n2.

(iii) Mostre que se d é a diagonal do quadrado de lado 1 então é impossível obter m,n ∈ Z, com n 6= 0e d = m

n .0.4.4 Considere em Z × Z∗ = {(a,b);a,b ∈ Z e b 6= 0} a relação definida do seguinte modo: dois pares(a1,b1) e (a2,b2) estão relacionados quando a1b2 = a2b1. Simbolicamente,

(a1,b1) ∼ (a2,b2) quando a1b2 = a2b1.

Mostre a validade das seguintes propriedades:

(i) (a1,b1) ∼ (a1,b1) (reflexividade)

(ii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) então (a2,b2) ∼ (a1,b1) (simetria)

(iii) Se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (a2,b2) ∼ (a3,b3) então (a1,b1) ∼ (a3,b3) (transitividade)

Isto é, que ∼ é uma relação de equivalência.0.4.5 Dê exemplos de pares (a,b), de acordo com o Exercício 0.4.5, tais que:

(a) (a,b) ∼ (8, 2)

(c) (a,b) ∼ (5,−3)

(e) (a,b) ∼ (2, 2)

(b) (a,b) ∼ (−3, 5)

(d) (a,b) ∼ (−2, 8)

(f) (a,b) ∼ (−3,−6)

0.4.6 De acordo com a relação ∼ definida no Exercício 0.4.4, defina

(a,b) = {(x,y) ∈ Z× Z∗; (a,b) ∼ (x,y)}

a classe de equivalência do par ordenado (a,b).

(i) Ache (1,−3), (2, 2) e (−3, 6).

(ii) Verifique que, se (a1,b1) ∼ (a2,b2) e (c1,d1) ∼ (c2,d2)então (a1d1 + c1b1,b1d1) ∼ (a2d2 + c2b2,b2d2) e(a1c1,b1d1) ∼ (a2c2,b2d2).

(iii) (−a,b) ∼ (a,−b).

0.4.7 A razão áurea ou número de ouro é definida do seguinte modo:Seja AB um segmento arbitrário, o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão quando

AB

AC=AC

CB

0.4. Exercícios 21

A C B

A razão ABAC = AC

CB é denotada pela letra grega φ (phi) e chamada de razão áurea. Mostre que φsatisfaz a equação

φ2 + φ− 1 = 0

e, portanto, φ = 1, 618 . . ..0.4.8 (OBM-1987) Um juiz fornece um conjunto de dois números naturais positivos, C1 = {x1,y1}, a doisjogadores e indica quem faz o primeiro lance. Um lance consiste em substituir Cn = {xn,yn}, n > 1, porCn+1 = {xn+1,yn+1} tal que:

• xn+1 = min Cn

• yn+1 = max Cn - k.xn+1 > 0, para algum k ∈ N

Ganha o jogador que obtiver pela primeira vez yn+1 = 0. Determine os valores de x1/y1 para os quais existeuma estratégia para o primeiro jogador (que lhe garanta a vitória). Descreva, em tais casos, a estratégia.0.4.9 Descreva, como intervalo da reta real, a solução de cada uma das inequações abaixo, com x ∈ R.

(a) x−1x+2 > 0

(c) x2 − 5x+ 6 < 0

(e) x+1x−2 > 1

(g) x3 + 10 < 4x2 + 3x− 8

(b) (x− 5)(x+ 3) 6 0

(d) x3 − 7x2 + 10 > 0

(f) x−5x+5 > 3

(h) x4 + 6x2 < 4x3 + 4x+ 15

0.4.10 Considere a,b ∈ R. Mostre que, se a < b, x2 − (a+ b)x+ ab < 0 sempre que a < x < b.0.4.11 Para quais valores reais de x tem-se

x

(x− 1)(x− 2)(x− 3)> 0 ?

0.4.12 Um número natural n deve ser escolhido de modo que o produto entre n e o enésimo númeronatural ímpar seja maior ou igual que 1 e não exceda 10. Quais são as possibilidades de escolha para n ?0.4.13 Para todo número real k > 0 temos que

(i) |x| 6 k↔ −k 6 x 6 k; e

(ii) |x| > k↔ x 6 −k ou x > k.

Justifique as afirmações nos itens (i) e (ii) acima. Determine, para cada caso abaixo, o intervalo dareta (ou união de intervalos), que melhor representa a solução de cada desigualdade:

(a) |x− 5| > 3

(c) |1 − 2x| > 1

(e) 1 < |1 − 2x| 6 2

(g) |x− 2| 6 |1 − x|

(b) |3x− 1| 6 3

(d) |1 − 2x| 6 2

(f) |x2 − x+ 1| 6 1

(h)∣∣x−2

1−x

∣∣ > 1

0.4.14 Encontre a solução para cada um dos sistemas abaixo:

(a){x− 3 6 02x+ 6 > 0

(c){x2 − 7x+ 10 > 03x− 6 > 0

(b){

6 − 3x > 07 − 14x < 0

(d){

5 − x < 0x2 − 7x+ 10 6 0


0.4.15 Mostre que, se k 6 0, então −k > 0. Conclua que se k 6 l então −k > −l.0.4.16 Para quais valores de x ∈ R valem as desigualdades:

a) x− 3 − (2x+ 1) < 3x− 5

b) 2|x− 3|− 5|x+ 1| > x+ 1

c) |x− 3||x+ 1 6 x+ 1

d) |1 − x+ |x+ 1|| 6 2x+ 1

e)1

x+ 1<

12x− 1

f) (x− 3)(2x− 5) 6 (x+ 1)(2x− 1)

0.4.17 (OBM - 1999)√

0, 444... =

a) 0, 222... b) 0, 333... c) 0, 444... d) 0, 555...

0.4.18 (OBM - 1999) Os valores reais de x que satisfazem a inequação√x+

√1x 6 2 são:

a) −1 6 x 6 1 b) x = 1 c) x 6 1 d) x > 1 e) x 6 2

0.5. Função Constante, Função Afim e Função Quadrática 23

0.5 Função Constante, Função Afim e Função QuadráticaDados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f : A −→ B é uma relação entre A e B tal que a cadaa ∈ A existe um único b ∈ B com b = f(a). Quando A e B são subconjuntos dos números reais, dizemosque f é uma função real .

Sejam A, B ⊂ R e considere f : A→ B uma função. A função f é:

(1) não crescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2);

(2) decrescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2);

(3) não decrescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2);

(4) crescente quando ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Exemplo 0.5.1Considere A = R+ e B = R+, a relação y2 = x, para todo x ∈ A é uma função de A em B. De

fato, dado x ∈ R+ existe um único y ∈ R+ de modo que o par (x,y) satisfaz a condição da relação(observe que y =

√x ∈ R+).

É comum escrever y = f(x) para representar as funções reais. O gráfico de uma função real é osubconjunto do plano cartesiano R2.

graf(f) = {(x,y) ∈ R2;y = f(x)}

Valem algumas observações:

1) Caso A e B sejam intervalos não degenerados, de extremidades a1 e a2, para A, e b1 e b2, para B, ograf(f) estará inteiramente contido no retângulo de vértices

(a1,b1), (a2,b1), (a2,b2) e (a1,b2)

2) Como para cada a ∈ A existe um único b ∈ B tal que b = f(a), no plano cartesiano a reta perpendicularao eixo x passando por a (entre a1 e a2) intercepta a representação do graf(f) em R2 uma (e somenteuma) vez!

3) Cada ponto (a,b) ∈ graf(f) é representado em R2 da maneira usual, isto é, toma-se a perpendicularao eixo x por a(x = a) e a perpendicular ao eixo y por b(y = b), o ponto (a,b) é o único na interseçãoentre essas duas retas (analogamente, o ponto (a,b) é o ponto que é vértice do retângulo cujos outrosvértices são (a, 0), (0, 0) e (0,b)).

4) Como em A×B existe uma infinidade de pontos, reconheceremos (inicialmente) os gráficos das funçõeselementares a partir de suas propriedades mais evidentes. Posteriormente, no Capítulo 2, daremos umtratamento um pouco mais rigoroso às afirmações feitas nos exemplos e seções a seguir.

A função f(x) = k,∀x ∈ R, é dita função constante . O gráfico de toda função real constante é umareta horizontal acima ou abaixo do eixo x, caso k seja, respectivamente, maior ou menor que 0. No casok = 0 o gráfico de f coincide com o eixo x e f é dita função identicamente nula (f ≡ 0).


Exemplo 0.5.2Seja k um número real fixado e seja f : R→ R a função real que a cada x ∈ R associa f(x) = k. O

gráfico de f é o conjunto graf(f) = {(x,k); x ∈ R}. Geometricamente, o gráfico de f é a reta horizontaly = k.

y = k (k > 0)

x

y

Figura 0.5.1

Exemplo 0.5.3A função id : R −→ R definida por id(x) = x é dita função identidade . O gráfico da função

identidade é o conjunto graf(id) = {(x, x); x ∈ R}. Geometricamente, graf(id) é o conjunto de pontosna bissetriz do 1◦ (e também 3◦) quadrante.

y = xy = x+ 1

y = x− 1

y = x+ 2

y = x− 2

x

y

Figura 0.5.2

Analogamente, a função h(x) = −x tem por gráfico a bissetriz do 2◦ (e também do 4◦) quadrante.A função id(x) é sempre crescente. Para todo b ∈ R o gráfico da função f(x) = x+ b é também uma

reta crescente, para obtê-lo basta transladar o gráfico da função identidade b unidades verticalmente paracima, caso b > 0, ou para baixo, caso b < 0.

Fixados a,b ∈ R, com a 6= 0, a função f : R→ R definida por f(x) = ax+b é chamada função afim , ouainda função polinomial de 1◦ grau. A propriedade fundamental a respeito do gráfico de qualquer funçãoafim é que este é uma reta e, portanto, para descrever um esboço do gráfico, é suficiente determinar doisde seus pontos; em geral recorremos aos pontos mais simples: (0,b) e (−ba , 0) bastam, desde que b 6= 0.


Exemplo 0.5.4O gráfico da função real de 1◦ grau m(x) = x

2 + 1 passa pelos pontos (0, 1) e (−2, 0).

y = x2 + 1

(0, 1)

(−2, 0) x

y

Figura 0.5.3

Observe que x2 + 1 = 0⇔ x2 = −1⇔ x = −2.

Dizemos que x = −2 é a raiz (ou zero) da função m(x) = x2 + 1. Mais geralmente,

f(x) = ax+ b = 0 ⇔ ax+ b− b = 0 − b (Somando −b)

⇔ ax = −b (Multiplicando por1a)

⇔ x = −b

a.

Isto é, a raiz de toda função afim f(x) = ax+ b é x = −ba .Outra forma de enxergar o gráfico de f(x) = ax+b é verificar que f(x) = ax+b é o resultado de duas

composições em relação a id(x) = x.Seja id : R −→ R a função identidade, id(x) = x, a função afim f(x) = ax + b pode ser escrita como

f(x) = tv ◦ h ◦ id(x) onde

h : R −→ Ry 7−→ h(y) = ay

é chamada homotetia e

tv : R −→ Rz 7−→ Tv(z) = z+ b

é chamada translação vertical.

A verificação da igualdade f(x) = tv ◦ h ◦ id(x) é trivial. O essencial no momento, é observar o quehomotetias e translações acarretam no gráfico.

Dado um número real a 6= 0, a função afim h(x) = ax tem como gráfico uma reta que passa pelaorigem e pelos pontos (1,a) e ( 1

a , 1).Um caso particular da homotetia, a função g(x) = −x tem gráfico simétrico ao da função id(x) = x

em relação ao eixo x.Assim:


1)

se a > 1, o gráfico de h(x) = ax é umareta acima do gráfico de id(x) = x no1.◦ quadrante e abaixo no 3◦ quadrante.(Verifique);

x

y

1

1

a

−1

−1

−a

id(x)=x

h(x)=ax

Figura 0.5.4

2)

se 0 < a < 1, o gráfico de h(x) = ax éuma reta abaixo do gráfico de id(x) = xno 1.◦ quadrante e acima no 3.◦ qua-drante. (Verifique);

x

y

1

a1

id(x)=x

h(x)=ax

Figura 0.5.5

3)

se a < 0, o gráfico de h(x) = ax estáinteiramente contido na união entre o2.◦ e o 4.◦ quadrantes (e pode ser ob-tido, de modo análogo aos casos 1 e 2,trocando id(x) = x por g(x) = −x). Noesboço ao lado, representamos o gráficode h(x) = ax com a < −1.

x

y

1

1−1

−1

−a

id(x)=x

g(x)=−x

Figura 0.5.6

Consideremos a função quadrática f : R −→ Rx 7−→ f(x) = x2 . É imediato verificar que, ∀x ∈ R, f(x) > 0

(e, só vale a igualdade quando x = 0). Além disso, observa-se quem ∀x ∈ R, f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).Isto é, f é uma função par e, portanto, o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano tem simetria em relaçãoao eixo y. Desse fato, basta analisarmos o que ocorre com f(x) para x > 0.

Sejam x1 e x2 números positivos tais que x1 < x2. Como x2 > 0, temos x1x2 < (x2)2 e, como x1 > 0,

temos (x1)2 < x1x2. Portanto, se x1 > 0 e x2 > 0 são tais que x1 < x2 temos f(x1) < f(x2). Além disso

f(0) = 0 e f(x) = x2 > 0 ∀ x > 0. Conclui-se então que f é uma função crescente em [0,+∞[.


Raciocinando de modo análogo ou usando a igualdade f(−x) = f(x) verifica-se que f é uma funçãodecrescente em ] −∞, 0]

Um esboço do gráfico de f pode ser obtido a partir das propriedades acima e está detalhado na figuraabaixo:

y = x2

(1, 1)(−1, 1)

x

y

Figura 0.5.7

O gráfico de y = x2 é uma parábolade concavidade voltada para cima,que passa pelos pontos (0, 0), (x, x2)e (−x, x2) para todo x ∈ R. O ponto(0, 0) é o vértice da parábola.

O gráfico de y = x2 é uma parábola de concavidade voltada para cima, que passa pelos pontos(0, 0), (x, x2) e (−x, x2) para todo x ∈ R. O ponto (0, 0) é o vértice da parábola.

Seja k ∈ R, o gráfico da função real g(x) = x2 + k pode ser obtido transladando k unidades para cima(se k > 0) ou para baixo (se k < 0) o gráfico de f(x) = x2.

y = x2

y = x2 + 2

y = x2 − 2

y = x2 + 1

y = x2 − 1

−1

−2

0

1

2

x

y

Figura 0.5.8

Suponha a > 0, o gráfico de y = ax2 passa pelos pontos (0, 0), (1,a) e (−1,a). Assim,

1) se a > 1, ax2 > x2, ∀ x 6= 0, e o gráfico de y = ax2, passa pelos pontos (0, 0), (x,ax2), (−x,ax2),está sempre acima do gráfico de y = x2 quando x 6= 0.


2) se 0 < a < 1, ax2 < x2, ∀x 6= 0, e o gráfico de y = ax2 está sempre abaixo do gráfico de y = x2,quando x 6= 0, e acima do eixo x.

−1 1

y = x2

y = ax2(a > 1)

y = ax2(0 < a < 1)

1

x

y

Figura 0.5.9

Agora, se a < 0, temos que o gráfico de y(x) = ax2 é uma parábola com concavidade voltada parabaixo.

1) quando a = −1, y = −x2 tem gráfico obtido a partir da reflexão em torno do eixo x do gráfico dey = −x2.

2) quando −1 < a < 0, −x2 < ax2, ∀ x 6= 0, e, portanto, o gráfico de y = ax2 fica compreendido entreo eixo x e o gráfico de y = −x2.

3) quando a < −1,ax2 < −x2, ∀ x 6= 0, e o gráfico de y = ax2 está sempre abaixo do gráfico dey = −x2, exceto na origem, que é um ponto pertencente a ambos.

x

y

y=x2

y=−x2

y=ax2(a<−1)

y=ax2(−1<a<0)

Figura 0.5.10

Para todo m ∈ R, m > 0, o gráfico da função h(x) = (x±m)2 pode ser obtido a partir da translaçãohorizontal do gráfico de y(x) = x2. O gráfico de h(x) = (x±m)2 também é uma parábola, cuja concavidadeé voltada para cima, o vértice da parábola é no ponto (0,∓m).

0.6. Exercícios 29

x

y

y=x2

(0,0)

y=(x−m)2

(0,m)

y=(x+m)2

(0,−m)

Figura 0.5.11

Em síntese, podemos analisar o formato do gráfico de uma função quadrática

y = a(x−m)2 + k

através das translações vertical e horizontal homotetia (f(x) 7−→ af(x)).O fato fundamental, que utilizaremos como ferramenta no esboço das funções quadráticas é dado pelo

resultado a seguir.

Proposição 0.5.1. Sejam a,b, c ∈ R, com a 6= 0.Então é possível encontrar m,k ∈ R tais que ax2 + bx+ c = a(x−m)2 + k.

Demonstração : Poderíamos simplesmente desenvolver o 2.◦ membro da igualdade e comparar os coeficientes.No entanto, como a ideia será utilizada mais de uma vez neste texto, completaremos o quadrado na expressãodo 1.◦ membro!

Temos:

ax2 + bx+ c = ax2 + 2√a · b√

a+b2

a−b2

a+ c

=

(√ax+

b√a

)2

+ c−b2

a

= a

(x+

b

a

)2

+ c−b2

a.

Portanto, basta tomar m = −bae k = c− b2

a

0.6 Exercícios

0.6.1 Para cada uma das funções abaixo determine:

i) a raiz;

ii) uma representação do gráfico em R2.

a) f(x) = 4 − 2x

c) y(x) = x− 2

b) g(x) = 6x+ 3

d) h(x) − x− 5


0.6.2 Use translações e homotetias a partir do gráfico da função identidade e faça um esboço do gráficode:

a) f(x) = 3x+ 2

c) h(x) = 4x+ 1

b) g(x) = −5x+ 5

d) h(x) − 2 − 4x

0.6.3 Faça um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções definidas em intervalos

a) f(x) =

−5, se x 6 −22x− 1, se − 2 < x < 34, se x > 3

b) g(x) =

2, se x 6 −38x+ 2, se − 3 < x > 110, se x > 1

c) h(x) ={

6 − 3x, se x 6 23x− 6, se x > 2

0.6.4 Calcule α de modo que uma das raízes da equação (2α− 1)x2 + (α− 3)x+ 36 = 0 seja -3.0.6.5 Determine β de modo que as raízes da equação x2 +(9−β2)x−25 = 0 sejam simétricas em relaçãoa origem.0.6.6 Sejam a, b, c números reais com a 6= 0 e considere a equação ax2 + bx+ c = 0.

i) Multiplique primeiramente a equação por 4a e depois adicione aos dois membros o termo b2 e mostreque é possível escrevê-la na forma F2 + 4ac = b2 e determine a expressão F.

ii) Conclua que a equação só pode possuir raízes reais quando b2 − 4ac > 0.

iii) Demonstre que, se b2 − 4ac > 0, as raízes reais da equação são determinadas por

x =−b

2a±√b2 − 4ac

2a.

0.6.7 Ache as raízes e descreva um esboço do gráfico de cada uma das funções quadráticas abaixo

a) f(x) = x2 − 5x+ 6

b) g(x) = x2 − x− 12

c) f(x) = 2(x− 1)(x− 3)

d) f(x) = 2 − 2x2

e) h(x) = x2 + x− 12

f) f(x) = −3x2 + 15x− 12

0.6.8 Determine os valores de x ∈ R para os quais a função é negativa e para o quais é positiva.

a) f(x) = x2 − 5x+ 6

b) g(x) = x(2x− 3)

c) f(x) = −3x2 + 15x− 12

d) h(x) = (x− 1)(x+ 2) − (x− 1)2 + x2 + 2

0.6.9 Considere a,b, c reais, com a > 0, e sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx+ c = 0. Mostre

que x1 + x2 =−b

ae x1x2 =

c

a.

0.6.10 Use o Exercício 0.6.9 a fim de encontrar as raízes de:

a) x2 − 4x+ 3 = 0

b) −2x2 + 14x+ 16 = 0

c) 9 − x2 = 0

d) x2 − 5x = 0

0.6. Exercícios 31

0.6.11 (OBM - 1999) Um estacionamento para carros cobra R$ 1, 00 pela primeira hora e R$ 0, 75centavos a cada hora ou fração de hora seguinte. André estacionou seu carro às 11h20min e saiu às15h40min. Quantos reais ele deve pagar pelo estacionamento?0.6.12 (OBM - 1999) A função f associa a cada real x o menor elemento do conjunto {x+ 1, 15−x

2 }. Ovalor máximo de f(x) é:

a) 4 b) 5 c) 112 d) 16

3 e) 194

0.6.13 Resolva as equações:

i)√x+ 1 = x ii)

√x+ 2 = x iii)

√x+ 3 = x

0.6.14 Seja a > 0

(i) Para quais valores de x a equação√x+ a = x está bem definida em R

(ii) Mostre que equação só pode possuir uma única raiz real

0.6.15 Mostre que, para todo x ∈ R, a distância do ponto (x, x2) ao ponto F = (0, 14) é igual à distância

de (x, x2) à reta y = −14 (o ponto F = (0, 1

4) é chamado foco da parábola e a reta y = −14 é chamda reta

diretriz).0.6.16 Escreva cada uma das funções quadráticas abaixo na forma f(x) = a(x− h)2 + v.

a) f(x) = x2 − 6x+ 15

b) f(x) = −3x2 + 7x− 21

c) f(x) = x− 4x2

0.6.17 Sejam a,b, c ∈ R com a 6= 0. Suponha que x1, x2 são duas raízes da equação ax2 + bx+ c = 0.

i) Mostre que é possível escrever

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)

ii) Conclua que ba = −(x1 + x2) e ca = x1x2


0.7 Exponencial e LogaritmoSeja a um número real arbitrário. Dado um número real m a expressão am representa a potência de basea e expoente m.

Caso m seja inteiro positivo, am é igual ao produto de m fatores iguais a a; caso a 6= 0 e m sejainteiro negativo então am = 1

a−m ; Caso a > 0 e m = pq , com p,q ∈ Z e q > 2, então

am = apq =

q√ap.

Assim:Exemplo 0.7.1

(i) (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125

(ii) 2−4 = 12·2·2·2·2 = 1

16

(iii) 81/3 = 3√

8 = 2

(iv) 4−0.5 = 4−12 = 2

√14 = 1

2

De modo oportuno, quando a > 0 e a 6= 1, se α é o (único) número real tal que aα = b então dizemosque α é o logaritmo de b na base a e escrevemos α = loga b.

Portanto:Exemplo 0.7.2

(i) log5 125 = 3, pois 53 = 125

(ii) log2116 = −4, pois 2−4 = 1

16

(iii) log8 2 = 13 , pois 81/3 = 3

√8 = 2

(iv) log41/2 = −1/2, pois 4−1/2 = 1

41/2 = 1√4= 1

2

A utilidade das potências e logaritmos está diretamente relacionada à facilidade em trabalhar comas operações envolvidas. A introdução da simbologia aqui descrita tornou mais simples a obtenção demedições astronômicas, por exemplo. Isto é mais ou menos evidente ao se comparar, por exemplo, oscálculos envolvidos na multiplicação de 16 por 64.

Ao utilizarmos o algoritmo usual da multiplicação, as operações de multiplicação (algarismo por al-garismo) e adição envolvidas chegam a quantidade de sete. Por outro lado, observando que 16 = 24 e64 = 26, temos 24 × 26 = 210 = 1024. Evidentemente, é preciso convencer-se destas propriedades (verExercício 0.8.3). Mas por enquanto, vamos destacar alguns destes atalhos.

Seja a um número real positivo, a 6= 1. Temos as seguintes propriedades para potências e, consequen-temente, para os logaritmos.

(i) am1 · am2 = am1+m2

(ii) am1 ÷ am2 = am1−m2

(iii) a0 = 1

(iv) (am1)m2 = am1·m2

(v) aloga b = b

(vi) bm = am loga b

(vii) loga bc = loga b+ loga c

(viii) logabc = loga b− loga c se c 6= 0

(ix) loga 1 = 0

(x) loga bm = m loga b

(xi) loga ab = b

(xii) logb c =loga cloga b

se b > 0 e b 6= 1

0.7. Exponencial e Logaritmo 33

Seja a ∈ R,a > 0 e a 6= 1. A função f : R −→ R definida por f(x) = ax é chamada função exponencial. A função exponencial é sempre crescente quando a > 1 e sempre decrescente quando 0 < a < 1. Poroutro lado, para todo x ∈ R,ax > 0. Assim, f : R −→ R não é sobrejetora

(0, 1)

f(x) = ax

x

y

(a > 1)

(0, 1)

f(x) = ax

x

y

(0 < a < 1)

Figura 0.7.1

Já a função g : R∗+ −→ R definida por g(x) = loga x está bem definida com domínio no conjuntoimagem da função exponencial f. Como g = f−1, g é sempre crescente quando a > 1 e decrescente quando0 < a < 1. Além disso, para cada y ∈ R existe x ∈ R∗+ tal que y = loga x; de fato, x = ay.

x

y

g(x)=loga x(a>1)

x

y

g(x)=loga x(0<a<1)

Figura 0.7.2

Os gráficos de f(x) = ax e g(x) = loga x são simétricos em relação ao gráfico de id(x) = x. Porconveniência, adotamos o símbolo e para o número irracional e = 2, 718281 . . . (chamado número deNapier ou, mais comumente, número de Euler). A aproximação 2, 718 para e, por exemplo, pode serobtida fazendo n = 4822 na expressão (

1 +1n

)n.

A função exp : R −→ R∗+ definida por exp(x) = ex é chamada função exponencial natural. A funçãoln : R∗+ −→ R definida por ln (x) = loge x é chamada função logaritmo natural (ou logaritmo neperiano)

f(x) = ex

f(x) = loge x

x

y

Figura 0.7.3

O uso do logaritmo natural é frequente em apli-cações nas mais diversas áreas e a notação ln x =ln (x) é muito comum. Note que ln e = 1.


Evidentemente o logaritmo natural e a função exponencial merecem um tratamento mais adequado,o que será feito em momento oportuno. Por enquanto estamos apenas relembrando as propriedades maistriviais.

0.8 Exercícios

0.8.1 Faça os cálculos indicados:

a) 32 × 27 − 5× 33

b) 44 × 2

c) 3√

8× 16

d) (−5)2 + (−5)3

e) ( 32)

−2 × 9−3

f) 8154 + 81

32

g) 5× log3 81 − 2× log3 27

h) log2 0, 5 + log2 4

0.8.2 Um número está escrito em notação científica quando está na forma m× 10g, onde m (chamadomantissa) é tal que 1 6 m 6 9 e g (chamado de ordem de grandeza) é um número inteiro. Os número8472; 0,00354 e 10.000, por exemplo, são escritos em notação científica, respectivamente, como 8, 472×103,3, 54× 10−3 e 1× 104. Escreva em notação científica:

a) 12845

b) 1, 25× 0, 03

c) 0, 0056× 0, 02

d)34, 0213, 5

0.8.3 Seja a > 0 e suponha m ∈ N. Observe que am+1 = am × a e suponha que, para algum n ∈ N,n > 1, am+n = am × an. Mostre que am+n+1 = am × an+1. Conclua, pelo Princípio de InduçãoMatemática que, para todos m,n ∈ N, am+n = am × an.0.8.4 Mostre que se a > 0 e m,n ∈ N, então (am)n = am.n

0.8.5 Sejam a,b, c ∈ R∗+. Considere

m = loga b, n = loga c e p = logc b

i) Mostre que m = n× p

ii) Conclua que logc b =loga bloga c

0.8.6 Sejam a, c ∈ R∗+ com a 6= 1. Mostre que é sempre possível encontrar n ∈ R tal que an > c.0.8.7 Suponha que uma pessoa deseja investir um capital inicial C0 em uma aplicação que, a cada mês,gera um rendimento líquido fixo proporcional a r% do capital acumulado no mês anterior. Ignore depósitosadicionais na aplicação.

(i) Em termos de C0 e r qual será o capital acumulado após n meses de investimento?

(ii) Suponha C0 = 9.000 e r = 5. Qual o montante acumulado após 4 anos de aplicação (use umacalculadora)?

(iii) Ainda supondo C0 = 9.000 e r = 5 qual o tempo mínimo que a pessoa deve manter o capital investidoa fim de que o montante final seja maior ou igual a 30.000?

0.8.8 Suponha a ∈ R∗+ e a 6= 1. Mostre que:

(i) O gráfico de g(x) = 1a

x é simétrico ao gráfico de g(x) = ax em relação ao eixo y.

0.8. Exercícios 35

(ii) O gráfico de f2(x) = log1/a x é simétrico ao gráfico de f1(x) = loga x em relação ao eixo x (x > 0).

0.8.9 Verifique que se 1 6 a < b então, para todo x > 0,

ax − 1x

<bx − 1x

.


0.9 Funções TrigonométricasDado um triângulo retângulo cujas medidas da hipotenusa e dos dois catetos são a,b e c, respectivamente,chamando a medida do ângulo reto de A e representando por B a medida do ângulo oposto ao catetob e por C a medida do ângulo oposto ao cateto c, definimos no triângulo retângulo ABC, as relaçõestrigonométricas:

β

π2 −β

AC

B

b

c

a

Figura 0.9.1

seno de B =cateto oposto a B

hipotenusa=b

a; (0.9.1)

cosseno de B =cateto adjacente a B

hipotenusa=c

a; (0.9.2)

tangente de B =cateto oposto a B

cateto adjacente a B=b

c. (0.9.3)

Do mesmo modo, podemos definir:

seno de C =c

a; cosseno de C =

b

a; tangente de C =

c

b.

Aqui, e em todo o restante deste texto, representaremos medidas de ângulos pelas letras gregasminúsculas do alfabeto (α,β, τ, θ e φ, por exemplo) e suas medidas estarão sempre em radianos. Seβ = B, 0 < β < π

2 , como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a π rad, podemos afirmarque C = π

2 − β, já que A = π2 rad é a medida do ângulo reto.

Representaremos por senβ e tgβ, respectivamente, as expressões definidas nas Equações 0.9.1, 0.9.2e 0.9.3, isto é, senβ = b

a , cosβ = ca e tgβ = b

c observe que:

sen(π

2− β

)=c

a= cosβ e cos

(π2− β

)=b

a= cosβ.

Observe ainda que tgβ = senβcosβ e tg

(π2 − β

)=

sen(π2 −β)cos(π2 −β)

.

É possível ainda definir as funções trigonométricas no ciclo trigonométrico como segue. Usaremos acorrespondência biunívoca entre pontos do círculo e pontos da reta, para tanto.

x

y

β

β P = (1, 0)

B

B

A

C

O

Figura 0.9.2

Considere, no plano cartesiano, o círculo cen-trado na origem e de raio 1. Mediremos o ângulopositivo β, 0 6 β 6 2π em radianos tomando,no sentido anti- horário, a partir de P = (1, 0), oarco PB correspondente no círculo.

0.9. Funções Trigonométricas 37

Caso o ponto B esteja na interseção do círculo com a parte positiva do eixo y, isto é, B = (0, 1), temosβ = PB = π

2 rad; caso B esteja na parte negativa do eixo x, isto é, B = (−1, 0), temos β = PB = π rad;caso B = (0,−1), β = PB = 3π

2 rad. Quando 0 < β < π2 , diremos que o arco PB (a exemplo do ponto B)

está no 1◦ quadrante; quando π2 < β < π, o arco β está no 2◦ quadrante; quando π < β < 3π2 , o arco β

está no 3◦ quadrante; finalmente, quando 3π2 < β < 2π, o arco β está no 4◦ quadrante.

Quando os pontos P e B coincidem podemos escrever β = 0 rad (ou, quando conveniente, β = 2π rad).Analogamente, mediremos o ângulo negativo β = −β em radianos tomando, no sentido horário, a

partir de P = (1, 0), o arco PB correspondente. Observe que PB também corresponde ao arco positivo2π+ β = 2π− β.

Mais geralmente, se forem desenvolvidas k voltas inteiras, no sentido anti-horário (respectivamente,horário) antes de descrever o arco positivo (respectivamente, negativo) PB, podemos escrever

PB = 2kπ+ β, com 0 6 β 6 2π e k ∈ Z.

O (único) número real β assim, obtido é chamado primeira determinação positiva do arco PB.Suponha 0 < θ < π/2.Considere agora, A o pé da perpendicular baixada desde o ponto B até o eixo x; C o pé da perpendicular

baixada de B até o eixo y e T na interseção entre a semireta−→OB e a reta t, perpendicular ao eixo x passando

por P = (1, 0). Temos:

x

y

θ

P = (1, 0)

1

A

C

O

T = (1, tgθ)

B

Figura 0.9.3

sen θ =AB

OB=AB

1= AB = OC;

cos θ =OA

OB=OA

1= OA;

tg θ =AB

OA=PT

OP=PT

1= PT

(β 6= π

2+ kπ,k ∈ Z

)=

sen θcos θ

.

Podemos escrever B = (cos θ, sen θ) e T = (1, tgθ).Assim, para todo 0 6 θ 6 π

2 , podemos definir as funções:

seno :[0,π

2

]−→ [0, 1]

θ 7−→ sen θe

cosseno :[0,π

2

]−→ [0, 1]

θ 7−→ cos θ

E ainda, para 0 6 θ < π2 , podemos definir

tangente :[0,π

2

[−→ [0,+∞[

θ 7−→ tg θ =sen θcos θ

Das definições anteriores, observa-se facilmente que:


x

y

θ1θ2

cosθ2

cosθ1

senθ1senθ2tgθ1 tgθ2

Figura 0.9.4

1) • sen 0 = 0, sen π2 = 1.

• sen(θ+ 2kπ) = sen θ,∀ k ∈ Z.• quando 0 < θ1 < θ2 <

π2 , sen θ1 < sen θ2 e, por-

tanto, a função seno é crescente no 1◦ quadrante.

2) • cos 0 = 1, cos π2 = 0.

• cos(θ+ 2kπ) = cos θ, ∀ k ∈ Z.• quando 0 < θ1 < θ2 <

π2 , cos θ2 < cos θ1 e,

portanto, a função cosseno é decrescente no 1◦

quadrante.

3) • tg 0 = 0.

• tg(θ+ 2kπ) = tg θ, ∀ k ∈ Z.• 0 < θ1 < θ2 <

π2 ⇒ tg θ1 < θ2. Logo, a função

tangente é crescente no 1◦ quadrante.

Suponha agora π2 < θ < π.

x

y

αθ

α

A A ′

C

O

t

B ′

B=(co

sθ, se

nθ)

T = (1, tgθ)

Figura 0.9.5

Considere ainda, como anteriormente, A o pé daperpendicular baixada de B até o eixo x; C o péda perpendicular baixada de B até o eixo y eT na interseção entre a semireta

−→BO e a reta t,

perpendicular ao eixo x passando por P = (1, 0).

Sejam B ′ o ponto na interseção da semireta−→BC e o ciclo trigonométrico e A ′ o pé da perpendicular

baixada de B ′ até o eixo x.Como OB = OB ′ = 1, as medidas dos ângulos OBA e OB ′A são iguais (verifique) e AB = OC = A ′B ′,

os triângulos OAB e OA ′B ′ são congruentes e, portanto as medidas dos segmentos OA e OA ′ são iguais.Assim, se α = A ′OB ′ temos cosα = OA ′ = OA. Definimos cos θ = − cosα e sen θ = senα. Como

tg θ =sen θcos θ

=− senαcosα

, temos tg θ = − tgα.

Em outras palavras, para π2 < θ < π temos θ = π− α, para algum α tal que 0 < α < π2 e, daí:

• cos θ = cos(π− α) = − cosα;

• sen θ = sen(π− α) = senα;

• tg θ = tg(π− α) = − tgα;

Em coordenadas, B = (cos θ, sen θ) e T = (1, tg θ).

0.10. Exercícios 39

0.10 Exercícios

0.10.1 Mostre que se 0 < θ < π2 então:

(i) sen(π2 − θ

)= cos θ;

(ii) cos(π2 − θ

)= sen θ.

0.10.2 Mostre a validade das igualdades

cos 2x = 1 − 2 sen2 x = 2 cos2 x− 1.

Em seguida calcule sen π8 , cos π8 , sen π12 e cos π12 .

0.10.3 Seja ABC um triângulo tal que AB = AC = 1 e BAC = π5 .

P HA B

C

1

π/5

(i) Verifique que ACB = ABC = 2π5 .

(ii) Considere P sobre o segmento AB tal que ACP = BCP = π5 e mostre que AP =

√5−12 .

(iii) Seja H o pé da perpendicular baixada do ponto A até o segmento BC. Verifique que HBAB

=√

5−14 e,

portanto, sen π10 =

√5−14 .

(iv) Calcule cos π10

0.10.4 Calcule sen π5 , cos π5 , sen π20 e cos π20 .

0.10.5 Se sen θ = 310 e 0 < θ < π

2 , calcule cos θ e tg θ.0.10.6 Considere no ciclo trigonométrico os pontos A = (1, 0), P = (cosα, senα), Q = (cosβ, senβ) eR = (cos (β− α), sen (β− α)) como na figura:

x

y

A

P

RQ

(i) Explique por quê as distâncias de P a Q e de A a R são iguais.


(ii) A partir da igualdade PQ2= AR

2 mostre que cos (β− α) = cosβ cosα+ senβ senα.

(iii) Justifique a igualdade cos (β+ α) = cosβ cosα− senβ senα.

(iv) Use a igualdade sen θ = cos (π2 − θ) e mostre as identidades sen (β+ α) = senβ cosα+ senα cosβe sen (β− α) = senβ cosα− senβ cosα.

0.10.7 Mostre a validade das seguintes igualdades

(a) cos π4 =√

22 , sen π4 =

√2

2 e tg π4 = 1

(b) cos π3 = 12 , sen π3 =

√3

2 e tg π3 =√

3

(c) cos π6 =√

32 , sen π6 = 1

2 e tg π6 =√

33

0.10.8 Mostre que:

(i) cos (2α) = cos2 α− sen2 α = 2cos2 α− 1 = 1 − 2sen2 α

(ii) sen 2α = 2 senα cosα

0.10.9 Calcule cos π12 , sen π12 e tg π

12 .0.10.10 Verifique a validade das igualdades:

(i) cos2 α = 12 + 1

2 cos 2α

(ii) sen2 α = 12 − 1

2 cos 2α

(iii) senp cosq = 12 [sen(p+ q) + sen(p− q)]

(iv) cosp cosq = 12 [cos(p+ q) + cos(p− q)]

(v) senp senq = 12 [cos(p− q) − cos(p+ q)]

0.10.11 Calcule:

(i) cos π8

(ii) sec π8

(iii) cossec π4

(iv) cotg π3

(v) sen π16

(vi) tg π8

0.10.12 Mostre que, ∀ α 6= π2 + kπ, k ∈ Z:

(i) cos2 α =1

1 + tg2 α(ii) sen2 α =

tg2 α

1 + tg2 α

0.10.13 Se 0 < α < π2 e tgα = 2 então quais os valores de senα e cosα?

0.10.14 Mostre que tg(α

2

)=

senα1 + cosα

, ∀ α 6= π+ kπ, k ∈ Z.

0.10.15 Calcule sen π12 , cos π12 , tg π

12 , cos 12π5 , sen 10π

3 e tg 5π4 .

1O Limite de uma Função

1.1 Introdução

Considere a função racional f(x) =x2 − 5x+ 4x− 1

. Sabemos que f está definida para todo x ∈ R, x 6= 1.Porém, é possível estabelecer o que ocorre com as imagens de valores de x tão próximos de 1 quantodesejarmos. Para tanto, há duas escolhas:

(i) a primeira, é considerar valores de x cada vez mais próximos de 1 e determinar as imagens de taisvalores, a fim de ter uma estimativa, talvez rude, do que poderia ocorrer em x = 1.

x

y

0−2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1 f

Figura 1.1.1

x f(x)

0, 9 −3, 10, 99 −3, 010, 999 −3, 001

0, 9999 −3, 0001...

...↓ ↓1 ?

x f(x)

1, 1 −2, 91, 01 −2, 991, 001 −2, 999

1, 0001 −2, 9999...

...↓ ↓1 ?

Tanto para x < 1, quanto para x > 1, observa-se que as imagens f(x) ficam cada vez mais pró-ximas. Através de uma lista mais abrangente de valores “próximos” de 1, nosso palpite de que asimagens se aproximam de algum número real pode ser emitido com maior convicção; porém, issonão caracterizaria uma comprovação matemática.

(ii) a segunda, mais precisa e eficaz neste caso, é observar que para todo x 6= 1 tem-se

x2 − 5x+ 4x− 1

=(x− 1) (x− 4)

x− 1= x− 4;

e, portanto, para quaisquer valores de x próximos de 1, f(x) se aproxima de −3.

Obviamente, neste exemplo, não convém falar em imagem de 1 por f, já que f nem mesmo está definidapara x = 1. No entanto, o número −3 nos diz muito a respeito do comportamento da função f em torno

41

42 1. O Limite de uma Função

da abcissa 1, para a qual f não está definida. Diremos que −3 é o limite de f quando x tende a 1 eabordaremos tal noção num sentido mais formal na seção posterior.Exemplo 1.1.1

Considere a função

f(x) =x3 + 2x2 − 2x− 1

2x2 + x− 3,

definida para todo x ∈ R tal que x 6= 1 e x 6= −32 . É fácil observar que

x3 + 2x2 − 2x− 1 = (x− 1)(x2 + 3x+ 1

)e

2x2 + x− 3 = (x− 1) (2x+ 3) .

Portanto, para valores de x próximos de 1 e diferentes de 1 (e diferentes de −32) podemos escrever

f(x) =x2 + 3x+ 1

2x+ 3.

Logo, enquanto x está “cada vez mais próximo” de 1, f(x) se “aproxima” de 55 = 1.

x

y

1

1

− 32

Figura 1.1.2

Observe que no Exemplo 1.1.1 utilizamos fortemente a fatoração dos polinômios no numerador eno denominador da função racional f. Sempre que possível lançaremos mão de tal artifício, inclusivepara expressões não polinomiais, como é o caso do numerador da função não racional g, do Exemplo1.1.2, partindo de algum algebrismo preliminar. Observe ainda que para valores de x próximos de −3

2 odenominador 2x2 + x − 3 se aproxima de 0 assim como o denominador 2x + 3. Abordaremos isso maisadiante.

1.1. Introdução 43

Exemplo 1.1.2Considere a função

g(x) =

√x− 2x− 4

,

definida para todo x ∈ R, x 6= 4. Para valores de x próximos de 4 (mas diferentes de 4) podemosescrever

√x− 2x− 4

=

√x− 2x− 4

·√x+ 2√x+ 2

=x− 4

(x− 4)(√x+ 2

)=

1√x+ 2

e, portanto, quando x se aproxima de 4 o limite é 14 .

x

y

(4, 14 )

Figura 1.1.3

É de se esperar que ocorram casos em que o limite da função não exista em uma abcissa fixada, ou mesmoem uma infinidade de abcissas. Para o primeiro caso, apresentamos a função salto unitário , no Exemplo1.1.3, que não possui limite quando x tende a 0. Já a função maior inteiro , do Exemplo 1.1.4, não possuilimite quando x se aproxima de qualquer inteiro.

Exemplo 1.1.3 (A função salto unitário)

Considere a função f(x) =

{0, se x 6 01, se x > 0

.

Obviamente, se x se aproxima de 0 por valores menores que 0, estão próximos de 0 (e este é iguala f(0)). Por outro lado, se x se se aproxima de 0 por valores maiores que 0, estão próximos de 1 (e,portanto, diferente de f(0) = 0).

x

y

1

Figura 1.1.4


Exemplo 1.1.4 (A função maior inteiro)Aqui, e em todo o restante do texto, TxU representará o maior inteiro menor do que ou igual a x.

Assim, se z é um inteiro, TzU = z; se r ∈ R é não inteiro, TrU é um número inteiro imediatamentemenor que r.

O gráfico da função f(x) = TxU, também chamada função escada , é uma sequência infinita dedegraus de comprimento e altura unitários, representados abaixo.

x

y

0−2 −1 1 2 3

−2

1

2

−1

Figura 1.1.5

Evidentemente, se r /∈ Z, o valor de f quando x se aproxima de r é TrU. No entanto, se z ∈ Z,f(x) tende a z − 1 quando x se aproxima de z e x < z e, por outro lado, f(z) tende a z quando x seaproxima de z e x > z. Portanto, o limite de f quando x se aproxima de z não pode existir.

1.2 Exercícios

1.2.1 Com o auxílio de uma tabela de valores, faça uma estimativa dos valores de f(x) quando x tende a c.

(a) f(x) =x− 2

x2 + x− 6c = 2 x 1, 9 1, 99 1, 999 2 2, 001 2, 01 2, 1

f(x) ?

(b) f(x) =x− 3x2 − 9

c = 3 x 2, 9 2, 99 2, 999 3 3, 001 3, 01 3, 1f(x) ?

(c) f(x) =

√x+ 9 −

√9

xc = 0 x −0, 1 −0, 01 −0, 001 0 0, 001 0, 01 0, 1

f(x) ?

(d) f(x) =

√6 − x− 3x+ 3

c = −3 x −3, 1 −3, 01 −3, 001 −3 −2, 999 −2, 99 −2, 9f(x) ?

(e) f(x) =

1(2x+1) −

17

x− 3c = 3 x 2, 9 2, 99 2, 999 3 3, 001 3, 01 3, 1

f(x) ?

(f) f(x) =

x(x2+1) −

25

x− 4c = 2 x 2, 9 2, 99 2, 999 2 3, 001 3, 01 3, 1

f(x) ?

1.2.2 Utilize mecanismos de manipulação algébrica (redução ao mesmo denominador, fatoração, "racio-nalização", por exemplo) a fim de calcular o valor exato de cada um dos valores do exercício anterior.

1.2. Exercícios 45

1.2.3 Esboce o gráfico de f e identifique possíveis valores de c para os quais o limite de f quando x tendea c não existe.

(i) f(x) =

x2 + 1, x 6 13x+ 1, 1 < x < 36, x > 3

(ii) g(x) =

sen x, x < 01 − cos x, 0 6 x 6 π

cos x, x > π

(iii) h(x) =

{x2 − 1, x < −1 ou x > 11 − x2, −1 6 x 6 1

(iv) y(x)

{0, x < 01, x > 0

(v) y =√

1 − x2, x ∈ [−1, 1]

1.2.4 Para todo x 6= 0, a funçãof (x) = (1 + x)

1x

está bem definida.

(i) Use alguma ferramenta gráfica e faça um esboço do gráfico de f.

(ii) Complete as tabelas com o auxílio de uma calculadora.

x 1 1/2 1/4 1/10 1/100 1/106

f(x)

x −1/2 −1/8 −1/100 −1/104 −1/106

f(x)

(iii) Baseando-se nos itens anteriores, é possível estimar um valor para (1 + x)1x quando x tende a zero?

1.2.5 Esboce o gráfico de uma função f (há infinitas possibilidades) satisfazendo:

(a) f (0) = 0f se aproxima de 5 quando x tende a 0

(b) f (0) = 3Não existe limite quando x tende igual 0

(c) f (0) não existef (x) se aproxima de 1 quando x tende a 0 x tende a 0 igual a 1

(d) f (0) não existeNão existe limite quando x tende igual a 0

1.2.6 Esboce o gráfico da função e indique alguns valores de c para os quais é possível estimar o valorquando x tende a c.

(a) f (x) = x2 − 2x |x|

(b) y = 2 |x| (x+ 1)

(c) y = 3x

(d) y = x sen x

(e) y =1x

sen x

(f) y =√x

(g) y =x2 − 3x+ 2x− 1

(h) y = 1 −12Tt− 1U

(i) y =

(12

)x

(j) y =x2 − 36x− 6

(k) f (x) =1

|x− 5|

(l) f (x) = |x+ 1|− |x− 1|

(m) f (x) = |x|− 2 |x− 2|+ 3∣∣x2 − 4

∣∣(n) f (x) =

x2, se x 6 −10, se − 1 < x < 1−x2, se x > 1

(o) g (x) =

x2 − 4, se x 6 −20, se − 2 < x < 2x− 2, se x > 2


1.2.7 Avalie se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa, justificando em cada caso.

(i) o limite de f (x) = |x| quando x tende a 0 existe.

(ii) o limite de f (x) = |x|x quando x tende a 0 existe.

(iii) Se f não é definida em c, o limite de f (x) quando x tende a c não existe.

(iv) Se o limite de f (x) quando x tende a c não existe, então f não está definida em x = c.

1.2.8 Utilize o gráfico de f e determine os valores de c para os quais o limite de f (x) quando x tende ac existe.

x

y

2

−2

−4

−5

−7

−3

−1

1 2

x

y

1

−2

2

1.2.9 (i) Com auxílio de uma tabela de valores estime o que ocorre com a razãox√

x+ 4 − 2para

valores de x próximos de 0.

(ii) Utilize algum artifício algébrico a fim de justificar sua afirmação feita em (i)

1.2.10 Repita o exercício anterior para as seguintes razões quando x tende a 0.

(a)x

1 −√x+ 1 (b)

√2 −√x+ 2

x

1.2.11 O que ocorre com a razão2x− 4√x+ 2 − 4

quando x tende a 2?

1.2.12 Qual o comportamento da razãosen xx

quando x tende a 0? (Utilize uma calculadora gráfica paraverificar o valor exato do limite após fazer a sua estimativa).

1.2.13 Repita o exercício anterior para a razãox− sen x

x.

1.2.14 O que ocorre com1xquando x se aproxima de 0 e x > 0? E quando x < 0?

1.2.15 Qual o comportamento da razão1x2 quando x tende a 0?

1.2.16 (O axioma de Eudoxo) O matemático grego Eudoxo de Cnido, que viveu provavelmente entre osanos 390 e 338 a.C., propôs o seguinte axioma:

“Se duas grandezas tem uma razão, pode-se encontrar um múltiplo qualquer de uma delas que sejamaior que a outra.”

A afirmação de que as grandezas tem uma razão equivale a dizer que nenhuma delas é nula.A proposição a seguir, chamada de princípio de exaustão, decorre do axioma de Eudoxo:

1.2. Exercícios 47

“Se de uma grandeza qualquer se subtrai uma parte não menor que sua metade e do resto se subtrainovamente uma parte não menor que sua metade, e assim sucessivamente, se chegará por fim a umagrandeza menor que qualquer outra pré determinada da mesma espécie.”

Escreva o princípio da exaustão em linguagem matemática e dê uma justificativa para sua validade.


1.3 Definição de LimiteA noção de proximidade, esboçada na Seção 1.1, é uma noção carente de rigor matemático; afinal, seestabelecemos que 1, 1 é um número próximo de 1, essa afirmação depende da nossa tolerância em relaçãoà ordem de grandeza do erro cometido na aproximação. Portanto, embora em nossos cálculos, nos exemplose exercícios anteriores, tenhamos deixado de lado essa dificuldade, estabelecer a noção de limite a partirda ideia vaga de proximidade acarreta imprecisão, o que é contornado pela definição abaixo.

Definição 1.3.1 Seja f uma função definida na vizinhança aberta de um certo número real c (fnão necessariamente está definida em c). Para que f tenha limite L quando x tende a c é necessário esuficiente que, para todo número real ε > 0 (ε é tomado arbitrariamente pequeno), exista δ > 0, talque as imagens dos elementos do conjunto ]c− δ, c[ ∪ ]c, c+ δ[ pela função f pertençam ao intervalo]L− ε,L+ ε[.

Em outras palavras, f tem limite L para x se aproximando de c quando valores arbitrariamentepróximos de c, por uma diferença menor que δ, tem imagens próximas de L, por uma diferença menorque ε, onde ε é fixado previamente de modo arbitrário.

Graficamente:

x

y

f

c c+ δc− δ

L

L+ ε

L− ε

Figura 1.3.1

Observe que escrever x ∈]c − δ, c + δ[ equivale aescrever

c− δ < x < c+ δ, ou−δ < x− c < δ, ou ainda

|x− c| < δ

Em notação matemática, o limite de f é L, quando x tende a c, se ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal quex ∈ ]c− δ, c+ δ[, x 6= c, implica f(x) ∈ ]L− ε,L+ ε[.

Quando tal número real L existe, escrevemos limx→c

f(x) = L, ou ainda f(x) x→c−−−→L.Vamos a alguns exemplos preliminares, que nos servirão de base para apresentar as implicações da

Definição 1.3.1.

Exemplo 1.3.1 (Limite da Função Constante)

Considere k ∈ R uma constante. O gráfico da funçãof(x) = k é uma reta horizontal (representamos o grá-fico considerando k > 0 para efeito de ilustração).

x

y

f(x)=k(c,k)(0,k)

c

Figura 1.3.2

1.3. Definição de Limite 49

Temos que o limite de f quando x tende a c é, obviamente, k. De fato, tomando arbitrariamenteε > 0, é fácil ver que para qualquer δ > 0 escolhido (em particular, para δ = 1) as imagens doselementos do intervalo ]c− δ, c+ δ[ pertencem ao intervalo ]k− ε,k+ ε[ (na verdade, são todas iguaisa k).

Do Exemplo 1.3.1, limx→c

k = k. O Exemplo 1.3.2, a seguir, comprova por outro lado que limx→c

x = c.Observe ainda que , se a,b ∈ R com a > 0, para que |(ax + b) − L| < ε, para qualquer ε > 0

fixado, basta que L−ba − c − εa < x − c <

L−ba − c + ε

a , e portanto é possível demonstrar facilmente quelimx→c

(ax+b) = ac+b (complete os detalhes), com δ < εa . Para a < 0, os cálculos são análogos (com uma

inversão apropriada da desigualdade) e a conclusão é a mesma.

Exemplo 1.3.2 (Limite da Função Identidade)Considere a função f(x) = x, ∀ x∈R. Tomando c ∈ R temos que o limite de f quando x tende a c

é igual a c.

x

y

f(x)=x

(c,c)

c

c

Figura 1.3.3

De fato, dado ε > 0, para que f(x) ∈ ]c− ε, c+ ε[, isto é, c − ε < f(x) < c + ε basta quec− ε < x < c+ ε. E, portanto, se escolhermos δ = ε segue que

x ∈ ]c− δ, c+ δ[⇒ f(x) ∈ ]c− ε, c+ ε[ .

Quando a função não depende linearmente da variável independente x, a estimativa necessita de maiscuidado, como no Exemplo 1.3.3, em que lidamos com a função quadrática.Exemplo 1.3.3

limx→3

x2 = 9.

De fato, considere ε > 0. Queremos mostrar que existe δ > 0 tal que

−δ < x− 3 < δ⇒ −ε < x2 − 9 < ε.

Observe quex2 − 9 = (x− 3) (x+ 3)

e que−δ < x− 3 < δ⇒ 6 − δ < x+ 3 < 6 + δ.

Assim, se considerarmos δ 6 1 temos 5 < x+ 3 < 7 e podemos escrever |x+ 3| < 7. Agora,∣∣x2 − 9∣∣ < ε⇔ |(x− 3) (x+ 3)| < ε⇔ |x− 3| |x+ 3| < ε.

Logo, dado ε se escolhermos δ < min {1, ε/7} segue

−δ < x− 3 < δ⇒ |x+ 3| < 7


e ∣∣x2 − 9∣∣ 6 7 |x− 3| < 7 · δ < ε.

x

limx→3

x2 = 9

y

f(x) = x2

(3,9)

Figura 1.3.4

Evidentemente, mesmo para funções polinomiais, que são razoavelmente simples, o cálculo do limiteatravés da Definição 1.3.1 pode se tornar muito trabalhoso, contornaremos tais dificuldade nas seçõesposteriores.

Exemplo 1.3.4

Considere a função f(x) =x− 3

2em torno de c = 1. O limite de f quando x tende a 1 é −1.

Dado ε > 0,

−1 − ε <x− 3

2< −1 + ε⇔

−2 − 2ε < x− 3 < −2 + 2ε⇔ −1 − 2ε < x < 1 + 2ε.

Assim, tomando por exemplo δ = 2ε segue para x ∈ (1 − δ, 1 + δ), f(x) ∈ (−1 − ε,−1 + ε).

x

limx→1

x− 32

= −1

y

f(x)=x−3

2

(1,−1)

Figura 1.3.5

1.4. Exercícios 51

1.4 Exercícios

1.4.1 Considere os números c, L e ε indicados. Encontre δ > 0 tal que |x− c| < δ⇒ |f (x) − L| < ε.

(a) f(x) = x+ 3, c = 1, L = +4, ε = 17 ;

(b) f(x) = 2x+ 3, c = 1, L = +5, ε = 17 ;

(c) f(x) = x− 3, c = 1, L = −2, ε = 17 ;

(d) f(x) = 3x− 4, c = 2, L = −2, ε = 110 ;

(e) f(x) = x2, c = 1, L = 1, ε = 110 ;

(f) f(x) = x2, c = −2, L = 4, ε = 1103 ;

(g) f(x) = 2x2 + 5x+ 3, c = −2, L = 1, ε = 1100 ;

1.4.2 Utilizando a Definição 1.3.1, mostre que:

(a) limx→2

3 = 3

(b) limx→2

(3x− 1) = 5

(c) limx→4

(1 − 2x) = −7

(d) limx→0

(2x+ 6) = 6

(e) limx→1

x2 = 1

(f) limx→1

(2 − 3x) = −1

(g) limx→2

x2 − 4x− 2

= 4

(h) limx→2

(x2 − 4

)= 0

(i) limx→3

(x2 − 4

)= 5

(j) limx→3

(x2 − 2x+ 1

)= 4

(k) limx→1

(x2 − 2x+ 1

)= 0

(l) limx→+3

(2 − x− x2) = −10

1.4.3 Use a Definição 1.3.1 para mostrar que:

(a) limx→c

x = c

(b) limx→c

x2 = c2

(c) limx→1

|x+ 1| = 2

(d) limx→2

|1 − x| = 1

(e) limx→2

x3 = 8

(f) limx→−1

(8 + x− 5x2 − x3) = 3

(g) limx→c

(ax+ b) = ac+ b

(h) limx→−2

(x2 − x− 4

)= 2

(i) limx→2

(x2 + x− 2

)= 4

(j) limx→c

√x =√c, c > 0

1.4.4

(i) Verifique que, se12< x <

32então

1|x|< 2.

(ii) Use o item (i) para mostrar que, dado qualquer ε > 0 é possível encontrar δ <12tal que 0 < |x−1| < δ

implica∣∣∣∣1x − 1

∣∣∣∣ < ε.(iii) Conclua que lim

x→1

1x= 1.

1.4.5

(i) Verifique que, se 1 < x < 3 então |x+ 3| < 6.


(ii) Mostre que, para todo ε > 0 é possível encontrar δ < 1 tal que 0 < |x− 2| < 1 implica∣∣(x2 + x− 1)− 5∣∣ < ε.

(iii) Conclua que limx→2

(x2 + x− 1

)= 5.

1.4.6 Mostre que:

(a) limx→3

18x2 = 2

(b) limx→0

3x+ 1

= 3

(c) limx→1

3xx+ 1

=32

(d) limx→0

3xx+ 1

= 0

1.4.7 Mostre que, se limx→c

f (x) = L1 e limx→c

g (x) = L2 então L1 = L2. Isto é, se existe o limite, quandox −→ c, este é único!

1.4.8 Mostre que, limx→c

f (x) = L⇔ limx→c

[f (x) − L] = 0

1.4.9 Tendo como base o gráfico da função apresentada, determine limx→c

f(x). Apresente uma justificativacaso o limite não exista.

(a)

2

3

x

y

f(x) = x+ 1; c = 2

(b)

2

3

x

y

f(x) = x2 − 1; c = 2

1.4. Exercícios 53

(c)

0.5

2.5

x

y

f(x) = 3 − 2x2; x = ± 12 ; c = 1

2

(d)

1

3

x

y

f(x) =

{2x+ 1, x 6= 1

1, x = 1 ; c = 1;

(e)1

−1

0.5

x

y

f(x) =

{x3 − 3x2 + 2x− 1, x 6= 1

12 , x = 1

; c = 1;


(f)

−2 −1 1 2

−1

1

x

y

f(x) =|x|

x; x 6= 0; c = 0

(g)

1

1

x

y

f(x) = |x− 1|; c = 1

(h)

1

−1

1

x

y

f(x) =|x− 1|x− 1

; x 6= 1; c = 1

1.5. Limites Laterais 55

1.5 Limites LateraisQuando houver necessidade, podemos avaliar o limite de f quando x tende a c apenas para valores de xmaiores ou menores que c. Neste caso, estaremos avaliando o limite lateral pela direita , ou o limite lateralpela esquerda , de f quando x tende a c.

Definição 1.5.1 Seja f uma função. O limite de f quando x tende a c pela direita é L no caso emque, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ ]c, c+ δ[ implica f(x) ∈ ]L− ε,L+ ε[. Quando tal

número L existe, escrevemos limx→c+

f(x) = L ou f(x)x→c+

−−−→L.Analogamente, o limite de f quando x tende a c pela esquerda é M no caso em que, para todo

ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ ]c− δ, c[ implica f(x) ∈ ]M− ε,M+ ε[. Quando tal númeroM existe,

escrevemos limx→c−

f(x) =M ou f(x)x→c−

−−−→M.

Obviamente, x→ c+ significa que x→ c e x > c; e x→ c− significa que x→ c e x < c.

Exemplo 1.5.1

Para a função f(x) =

{0, se x 6 01, se x > 0

temos

limx→0−

f(x) = 0 e limx→0+

f(x) = 1.

(Obviamente, não existe limx→0

f(x)).

Exemplo 1.5.2

limx→−3−

x+ 3x2 − 9

= limx→−3−

1x− 3

= −16

.

x

y

(−3,− 16 )

3

Figura 1.5.1

Exemplo 1.5.3A função f(x) =

√x− 2 está definida apenas para x > 2. Portanto, só faz sentido (em R) avaliar

limites (bem como imagens) para f neste intervalo.Em c = 2 temos

limx→2+

√x− 2 = 0 (Verifique!)

mas não faz sentido avaliar o limite pela esquerda.


x

y

2

Figura 1.5.2

Exemplo 1.5.4

Considere f(x) =

{x+ 1, se x > 0−1, se x < 0

.

Temoslimx→0−

f(x) = −1 e limx→0+

f(x) = 1.

x

y

Figura 1.5.3

Um fato importante e útil:

Teorema 1.5.1 Seja f uma função e seja c ∈ R. Então,

limx→c

f(x) = L⇔ limx→c−

f(x) = limx→c+

f(x) = L.

(A demonstração fica como exercício).

1.6 Exercícios

1.6.1 Ache:

(a) limx→0

x2 − 4x3 − 4x

(b) limx→−2

x3 − 4xx2 − 4

(c) limx→−1

x3 − x

x2 − 1

(d) limx→1

x3 − x

x2 − 1

(e) limy→1+

(y− 1) (y− 5)y+ 2

(f) limt→3

t2 − 9t− 3

(g) limx→1−

1 − x

x− 1

(h) limh→0

3h2 − h+ 37h+ 6

(i) limy→1−

√y+ 3 − 21 − y

(j) limx→2+

x− 2x2 − 6x+ 8

(k) limx→4+

x− 4√x− 2

(l) limx→4−

x2 − x− 12x− 4

1.6. Exercícios 57

(m) limy→3−

√y+ 6 − 3y− 4

(n) limx→5−

3√x+ 3

(o) limx→4+

x2 − 5x+ 4x2 − 7x+ 12

(p) limx→1−

√x+ 1 −

√2

x− 1

(q) lim∆x→0+

(x+ ∆x)2 − x2

∆x

(r) lim∆x→0−

(x+ ∆x)3 − x3

∆x

(s) limx→0+

√x+ 4 − 2x

(t) limx→0+

1x+2 − 1

2

x

1.6.2 Verifique que não existe o limite de f quando x tende a c nos casos:

(a) f(x) =

{x2 + 1, x 6 2x+ 4, x > 2

c = 2

(b) f(x) =

x2, x 6 −10, −1 < x < 1−x2, x > 1

c = −1 e c = 1

(c) f(x) =

{0, x 6 01, x > 0

c = 0

1.6.3 A função f(x) =

{x+ k, x 6 2x2 + 1, x > 2

possui limite quando x −→ 2 para algum valor de k?

1.6.4 Seja f :R−→R definida por

f(x) =

a+ bx, x 6 2bx2 + 5, −1 6 x 6 1(a− b)x2 − bx+ 2, x > 1

.

Determine a e b de modo que existam limx→−1

f(x) e limx→1

f(x).

1.6.5 Determine, caso exista:

(i) limx→c−

f(x) (ii) limx→c+

f(x) (iii) limx→c

f(x)

A função f é contínua em c?

(a)

3

−2

3x

y

C = 3


(b)

21x

y

C = 1C = 2

(c)

−2

1

−1x

y

C = −1

(d)x

y

−1 +1

C = −1C = +1

1.6. Exercícios 59

(e)x

y

+1−1

C = −1C = +1

f(x) =|x− 2|2 − x

; c = 2

f(x) =

√x− 5

25 − x; c = 25

f(x) =x√

x2 − 25; c = 25

f(x)|x|

x; c = 0

f(x) = 1 − ||x||; c = 3

f(x) =1

x2 − 9; c = −3

f(x) =x2 − 9x+ 3

; c = −3

1.6.6 Determine, caso exista, o limite. Caso ele não exista, apresente uma justificativa. Em cada caso,discuta a continuidade da função na abcissa indicada.

(a) limx→1−

1 − x

x2 − 1

(b) limh→0

|x− h|− |x|

h

(c) limh→0

1(x+h)2 −

1x2

h

(d) limx→−4−

x− ||x||

(e) limx→−1−

1|x+ 1|

(f) limx→0

√x+ 3 +

√x+ 5 −

√3 −√

5x

(g) limh→0

√9 − 6h− h2 − h+ 3

h

(h) limx→2

5(4 − x2) − 7(8 − x3)

(4 − x2)(8 − x3)

(i) limy→−3+

3 − y

3 + y

(j) limh→0+

1x+h − 1

x

h

(k) limh→0−

√x− h−

√x

h

(l) limx→−1

x+ 1|x+ 1|

(m) limx→−1+

x2 − x− 2x+ 1

(n) limx→ 1

5

3x2 + 2x− 112x2 − x− 1

(o) limx→0

2 − 3√

4 − x

9 − 3√

2x+ 3

(p) limx→1

1 −√

2 − x

2 − 3√

9 − x

1.7 Propriedades Operatórias dos LimitesNas seções anteriores observamos que é imediata a obtenção de limites tais como lim

x→ck = k e lim

x→cx = c.

À partir disso é possível, por exemplo, afirmar que

L = limx→c

(x3 − 2x2 + 5x+ 1

)= c3 − 2c2 + 5c+ 1

(em particular, para c = 1, temos L = 5), através das seguintes propriedades

Teorema 1.7.1 Sejam c, k, L e M números reais e sejam f e g funções reais. Suponha limx→c

f (x) = L elimx→c

g (x) =M, temos

(i) limx→c

kf (x) = kL.

(ii) limx→c

[f (x)± g (x)] = L±M.

(iii) limx→c

f (x)g (x) = LM.

(iv) limx→c

f (x)

g (x)=L

M(desde que M 6= 0).

Demonstração :

(i) Será deixada como exercício.

(ii) Seja ε > 0. Como limx→c

f (x) = L e limx→c

g (x) =M existem δ1, δ2 > 0 tais que

c− δ1 < x < c+ δ1 ⇒ L−ε

2< f (x) < L+

ε

2(1.7.0)

ec− δ2 < x < c+ δ2 ⇒M−

ε

2< g (x) < M+

ε

2. (1.7.0)

Considere δ = min {δ1, δ2}, assim valem simultaneamente as duas desigualdades para f (x) e g (x).Logo, somando membro a membro, temos

(L+M) − ε < f (x) + g (x) < (L+M) + ε.

Agora, observando que−M−

ε

2< −g (x) < −M+

ε

2tem-se, somando à desigualdade em (ii),

(L−M) − ε < f (x) − g (x) < (L−M) + ε.

Portanto,limx→c

[f (x)± g (x)] = L±M.

(iii) Provemos inicialmente que, se limx→c

h (x) = 0 então limx→c

[f (x) · h (x)] = 0 (por hipótese, limx→c

f (x) = L).

De fato, seja 0 < ε < 1. Existe δ1 > 0 tal que 0 < |x− c| < δ1 implica |f (x) − L| < 1. Mas,|f (x)|− |L| < |f (x) − L| < ε < 1. Logo,

|f (x)| < 1 + |L| . (1.7.0)

Por outro lado, existe δ2 > 0 tal que |x− c| < δ2 implica

h (x) <ε

1 + |L|. (1.7.0)

Portanto, tomando δ = min {δ1, δ2} valem ambas as desigualdades (iii) e (iii) e 0 < |x− c| < δ implica

|f (x)h (x)| = |f (x)| |h (x)| < (1 + |L|) · ε

1 + |L|= ε.

1.7. Propriedades Operatórias dos Limites 61

Agora, se limx→c

f (x) = L e limx→c

g (x) = M, podemos verificar imediatamente pela propriedade (ii) quea função

f (x) · g (x) = [f (x) − L] ·M+ f (x) [g (x) −M] + LM

tende a LM quando x tende c.

(iv) Primeiramente mostraremos que, se limx→c

g (x) =M e M 6= 0 então limx→c

1g (x)

=1M

.

Seja 0 < ε <|M|

2. Existe δ > 0 tal que 0 < |x− c| < δ implica

|g (x) −M| < ε · |M| ·(2M− |M|)

2e

|g (x)| >2M− |M|

2(Justifique!)

Logo, ∣∣∣∣ 1g (x)

−1M

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣M− g (x)

Mg (x)

∣∣∣∣ = |g (x) −M|

|M| |g (x)|<ε · |M|

2M−|M|

2

|M|2M−|M|

2

= ε.

Da igualdadef (x)

g (x)= [f (x) − L] · 1

M+ f (x)

[1

g (x)−

1M

]+L

M

conclui-se, de modo análogo ao caso anterior, a validade de (iv).

Exemplo 1.7.1Sabemos das seções anteriores que lim

x→cx = c. Portanto

(i) limx→c

ax = a limx→c

x = a · c, ∀a ∈ R;

(ii) limx→c

x2 = limx→c

[x · x] =(

limx→c

x)·(

limx→c

x)= c · c = c2;

(iii) limx→1

(3x2 − 4x

)= 3 lim

x→1x2 − 4 lim

x→1x = 3 · (1) − 4 · (1) = −1.

Evidentemente, utilizando a associatividade na adição e na multiplicação em R, podemos estender ositens (ii) e (iii) do Teorema 1.7.1 a mais que duas parcelas e fatores. De fato, por exemplo, se f1, f2, . . . , fnsão funções reais tais que

limx→c

f1 (x) = L1, limx→c

f2 (x) = L2, . . . , limx→c

fn (x) = Ln,

então

limx→c

[f1 (x) f2 (x) f3 (x) · · · fn (x)] = limx→c

f1 (x) limx→c

[f2 (x) f3 (x) · · · fn (x)]

= L1 · limx→c

f2 (x) limx→c

[f3 (x) · · · fn (x)]

= · · · = L1L2L3 · · ·Ln,

onde em cada uma das igualdades foi aplicado o Teorema 1.7.1.

Exemplo 1.7.2Da observação acima segue que lim

x→cxn = cn, ∀n ∈ N.

Assim

limx→2

(x4 − 2

)= 1, lim

x→0

(4x3 − 7x

)= 0 e lim

x→1

x3 − 1x2 + 1

= 0.


1.8 Exercícios

1.8.1 Sejam f, g, h funções tais que

limx→3

f (x) = 5, limx→3

g (x) = 4 e limx→3

h (x) = 3.

Determine:

(a) limx→3

[3f (x) − 4g (x) + 5]

(b) limx→3

[(3f (x) − 5) (h (x) + 2)]

(c) limx→3

f (x) + g (x)

h (x)

(d) limx→3

[f (x)]2 − [g (x)]2

[h (x)]2

(e) limx→3

−f (x) [g (x) − h (x) + 2]6 − x

(f) limx→3

2f (x) − 3g (x)f (x) − 4h (x)

1.8.2 Mostre que se a e b são constantes arbitrárias, então

limx→c

(ax+ b) = ac+ b.

Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular:

(a) limx→1

(2x− 3)

(b) limx→1/4

1 − 4x

(c) limx→−2

(−5x− 4)

(d) limx→0

(−3x+ 1)

(e) limx→1/2

(7x− 4

3

)(f) lim

x→−1/2(x− 2)

1.8.3 Mostre que se m, n e p são constantes arbitrárias então

limx→c

(mx2 + nx+ p

)= mc2 + nc+ p.

Interprete o resultado graficamente e use-o para calcular:

(a) limx→1

(x2 − 2x+ 5

)(b) lim

x→−1

(−3x2 + 2x− 4

)(c) lim

x→−2

(2x2 − 3x+ 1

)(d) lim

x→2

(4x2 − 8x

)(e) lim

x→1/2

(x2 + x+ 1

)(f) lim

x→−1/2

(x2 + x+ 1

)1.8.4 Utilize que lim

x→cn√x = n

√c, para todo c > 0 e ∀n ∈ N, n > 2 a fim de calcular:

(a) limx→4

(3√x− 2

)(b) lim

x→2

x√x

(c) limx→9

(√x+ 1

) (√x− 1

)

(d) limx→4

(√x+ 2

) (√x− 2

)x− 4

(e) limx→2

x− 4√x− 2

(f) limx→1

1 − x2

1 −√x

(g) limx→1

1 − x4

1 −√x

(h) limx→25

√x− 5x− 5

(i) limx→8

3√x− 2x− 8

1.9. Limites Infinitos 63

1.9 Limites InfinitosMuito embora tenhamos definido o limite de uma função como um número real nas seções anteriores,em muitos casos (na maior parte das vezes em ponto "fora"do domínio), o comportamento da função éilimitadamente crescente ou ilimitadamente decrescente. Se faz necessário então estender o conceito delimite de uma função. O faremos introduzindo os símbolos +∞ (ou∞) (lê-se “mais infinito”), e −∞ (lê-se“menos infinito”) e a noção de limite infinito .

Definição 1.9.1 Seja f uma função definida em ]a, c[ ∪ ]c,b[.

(i) Dizemos que o limite de f é +∞ quando x tende a c no caso em que, para todo número realM > 0 existir δ > 0 tal que 0 < |x− c| < δ implique f (x) > M.

Notação:limx→c

f (x) = +∞.

(ii) Dizemos que o limite de f é −∞ quando x tende a c no caso em que, para todo o número realM > 0 existir δ > 0 tal que 0 < |x− c| < δ implique f (x) < −M.

Notação:limx→c

f (x) = −∞.

Em outras palavras, limx→c

f (x) = +∞ quando f (x) torna-se tão “suficientemente grande” quanto de-sejarmos (excedendo qualquer cota positiva M, fixada arbitrariamente) à medida que x se “aproximasuficientemente” de c. Por outro lado, lim

x→cf (x) = −∞ quando f (x) torna-se tão “suficientemente pe-

queno” (“grande” em valor absoluto) quanto desejarmos, à medida que x se “aproxima suficientemente”de c.Exemplo 1.9.1

A função f (x) =1x2 não está definida em x = 0. Observe que dado qualquer M > 0 é possível

escolher δ > 0 tal que 0 < |x| < δ⇒ f (x) > M. De fato, fixado M > 0, para que1x2 > M basta que

x2 <1M⇐⇒ −

1√M< x <

1√M

.

Portanto podemos tomar δ =1√M

e garantimos que |x| < δ ⇒ f (x) > M. Da arbitrariedade de

M segue limx→0

f (x) = +∞.

Analogamente ao caso acima, mostra-se sem muita dificuldade que limx→0

−1x2 = −∞.

De fato, se k é uma constante real não nula e limx→c

f (x) = ±∞, então

limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x) .

Do mesmo modo que fizemos anteriormente, podemos definir os limites laterais infinitos, como se-gue:

Definição 1.9.2 Seja f uma função definida em ]a, c[ ∪ ]c,b[.

(i) O limite de f é +∞ quando x tende a c pela esquerda no caso em que, para todo M > 0 existirδ > 0 tal que c− δ < x < c implica f (x) > M.

(ii) O limite de f é +∞ quando x tende a c pela direita no caso em que, para todo M > 0 existir


δ > 0 tal que c < x < c+ δ implica f (x) > M.

No primeiro caso, denotamos limx→c−

f (x) = +∞ e, no segundo, limx→c+

f (x) = +∞.

Trocando f (x) > M por f (x) < −M nas definições acima é possível definir também

limx→c−

f (x) = −∞ e limx→c+

f (x) = −∞.

Exemplo 1.9.2

A função f (x) =1

x− 2não está definida em x = 2. Observe que, dado M > 0, tomando δ =

1M

,

• se 2 − δ < x < 2 (−δ < x− 2 < 0) então f (x) < −M; e

• se 2 < x < 2 + δ (0 < x− 2 < δ) então f (x) > M.

Portanto, limx→2−

f (x) = −∞ e limx→2+

f (x) = +∞.

x

y

2

Figura 1.9.1

A fim de estabelecer um paralelo com as propriedades operatórias dos limites finitos, propomos oseguinte teorema.

Teorema 1.9.1 Considere c, L∈ R, L 6= 0, e sejam f e g funções tais que limx→c

f (x) =+∞ e limx→c

g (x) =L.Então:

(i) limx→c

[f (x)± g (x)] = +∞;

(ii) limx→c

[g (x) − f (x)] = −∞;

(iii) limx→c

[f (x)g (x)] = +∞ quando L > 0 e limx→c

[f (x)g (x)] = −∞ quando L < 0;

(iv) limx→c

f (x)

g (x)= +∞ quando L > 0 e lim

x→c

f (x)

g (x)= −∞ quando L < 0;

(v) limx→c

g (x)

f (x)= 0.

As propriedades acima podem ser estabelecidas de modo semelhante para limites laterais e tambémpara o caso lim

x→cf (x) = −∞ (fazendo-se as mudanças convenientes de sinais).

Demonstração :


(i) Suponhamos L > 0 e seja M > 0.Existem δ1 > 0 tal que 0 < |x− c| < δ1 implica f (x) > M + 1 e δ2 > 0 tal que 0 < |x− c| < δ2implica |g (x) − L| < 1. Tomando δ = min {δ1, δ2} valem ambas as desigualdades f (x) > M + 1 e−1 + L < g (x) < 1 + L, sempre que 0 < |x− c| < δ. Portanto, somando membro a membro ambas asdesigualdades, f (x) > M+ 1 e g (x) > −1 + L, segue

f (x) + g (x) > (M+ 1) + (−1 + L) =M+ L > M.

Portantolimx→c

[f (x) + g (x)] = +∞.

Para o caso L < 0, basta verificar que (nos moldes acima) existe δ1 > 0 tal que 0 < |x− c| < δ1 implicaf (x) > M− L+ 1 > −M e repetir os passos dados acima.A demonstração de que lim

x→∞ [f (x) − g (x)] = +∞ se faz de modo análogo.

(ii) Ver Exercício 1.10.5.

(iii) Suponhamos L > 0 e L 6= 1 e seja M > 0.

Existem δ1, δ2 > 0 tais que 0 < |x− c| < δ1 implica f (x) >M

L− 1e 0 < |x− c| < δ2 implica

−1 + L < g (x) < 1 + L.Logo,

f (x)g (x) >M

L− 1· (−1 + L) =M.

(Caso L < 0, ver Exercício 1.10.6).

(iv) Ver Exercício 1.10.7.

(v) Ver Exercício 1.10.8.

Com base nos resultados acima, o cálculo de alguns limites torna-se imediato.Exemplo 1.9.3

limx→0

(cos x+

1x2

)= +∞

já que

limx→0

cos x = 1 e limx→0

1x2 = +∞. (Propriedade (i))

x

y

cosx+ 1x2

1x2

cosx

Figura 1.9.2

Exemplo 1.9.4Sabendo que lim

x→π2−

tg x = +∞ é imediato que

• limx→π

2−

5 tg x = +∞ (Propriedade (iii))


• limx→π

2−

tg xx

= +∞ (Propriedade (iv))

• limx→π

2−

tg x1 − x

= −∞ (Propriedade (iv))

• limx→π

2−

x

tg x= 0. (Propriedade (v))

Nos moldes do teorema anterior podemos considerar ainda o seguinte resultado:

Teorema 1.9.2 Seja L 6= 0 e suponha limx→c

f (x) = 0 e limx→c

g (x) = L.

(i) Se L > 0 e f(x) tende a zero pela direita, então

limx→c

g (x)

f (x)= +∞

(ii) Se L > 0 e f (x) tende a zero pela esquerda, então

limx→c

g (x)

f (x)= −∞

(iii) Se L < 0 e f (x) tende a zero pela direita, então

limx→c

g (x)

f (x)= −∞

(iv) Se L < 0 e f (x) tende a zero pela esquerda, então

limx→c

g (x)

f (x)= +∞

Os resultados permanecem os mesmos no caso de limites laterais. A demonstração é deixada comoexercício.Exemplo 1.9.5

Quando x→ 2−, x−2→ 0 por valores negativos (pela esquerda) e quando x→ 2+ temos x−2→ 0por valores positivos (pela direita). Logo

x

limx→2−

x

x− 2= −∞

y

Figura 1.9.3

x

limx→2+

1 − x2

x− 2= −∞

y

Figura 1.9.4


x

limx→2+

7xx− 2

= +∞

y

Figura 1.9.5

x

limx→2−

3 − 2xx− 2

= +∞

y

Figura 1.9.6

O significado gráfico dos limites infinitos é a existência de assíntotas verticais . A reta x = c é umaassíntota vertical ao gráfico de y = f (x) quando lim

x→c−f (x) = ±∞ ou quando lim

x→c+f (x) = ±∞. Abaixo

temos dois exemplos ilustrativos.Exemplo 1.9.6

A função y =1xpossui assíntota vertical x = 0 já que lim

x→0−

1x= −∞ e lim

x→0+

1x= +∞ (Verifique!).

x

y

Figura 1.9.7

Exemplo 1.9.7

O gráfico da função f (x) =x2 + 2x+ 1x2 − 1

possui uma assíntota vertical em x = 1.De fato, como

x2 + 2x+ 1x2 − 1

=(x+ 1)2

(x+ 1) (x− 1)=x+ 1x− 1

temoslimx→1−

f (x) = limx→1−

x+ 1x− 1

= −∞e

limx→1+

f (x) = limx→1+

x+ 1x− 1

= +∞.


x

y

−1 1−1

Figura 1.9.8

1.10 Exercícios

1.10.1 Determine os seguintes limites

(a) limx→1−

x− 4x+ 1

(b) limx→1+

x− 4x+ 1

(c) limx→2

5

(x− 2)2

(d) limx→1+

2x− 4x2 − 1

(e) limx→1−

2x− 4x2 − 1

(f) limx→ 1

2+

secπx

(g) limx→2−

(x2 −

1x− 2

)(h) lim

x→ 12+x tgπx

(i) limx→1+

x2 − x− 62 + x− x2

1.10.2 Avalie se cada uma das funções abaixo possui alguma assíntota vertical e determine-a em casoafirmativo.

(a) f (x) =1

(x− 3)2 (b) g (x) =x2 − x− 62 + x− x2

(c) y = tg x (d) f (x) =x2 − 4x

x2 − 2x− 8

1.10.3 A teoria da relatividade afirma que a massa m de uma partícula depende de sua velocidade v eobedece a relação

m =m0√1 −

v2

c2

onde m0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. O que ocorre com a massa quandosupomos v se aproximando de c?1.10.4 Um motorista, numa viagem de ida e volta entre duas cidades, distando de dkm uma da outra, fezuma média de x km/h na ida e ykm/h na volta. Por outro lado, juntando os dois percursos, a velocidademédia (ida e volta) foi de 80km.

(a) Obtenha uma expressão que forneça y em função de x.

(b) Para cada um dos valores x = 10, x = 20, x = 30, x = 50 e x = 60, encontre os valores de ycorrespondentes.

(c) O que ocorre com y quando x se aproxima de 40?


1.10.5 Demonstre a propriedade (ii) do Teorema 1.9.1.1.10.6 Mostre que, se L < 0, lim

x→cf (x) = +∞ e lim

x→cg (x) = L então lim

x→cf (x)g (x) = −∞.

1.10.7 Seja L 6= 0 e suponha limx→c

f (x) = +∞ e limx→c

g (x) = L.Mostre que:

limx→c

f (x)

g (x)=

{+∞, se L > 0−∞, se L < 0

.

1.10.8 Apresente uma demonstração para o Teorema 1.9.2.


1.11 Limites no InfinitoNa seção anterior nos ocupamos dos limites infinitos, isto é, dos casos em que as imagens da funçãocrescem ou decrescem ilimitadamente à medida que a variável independente se aproxima de um númeroreal c (pela direita ou pela esquerda ou por ambos os lados). Agora nos preocuparemos com o crescimento(ou decrescimento) ilimitado da variável independente, e com a consequência disto nas imagens da função.

Iniciamos com a seguinte definição:

Definição 1.11.1 Seja f definida em ] −∞,a[ ∪ ]b,+∞[.

(i) O limite de f quando x tende a mais infinito é L no caso em que, para todo ε > 0, existir x0 > 0tal que x > x0 implica |f (x) − L| < ε;

(ii) O limite de f quando x tende a menos infinito é L no caso em que, para todo ε > 0, existirx0 > 0 tal que x < −x0 implica

∣∣f (x) − L∣∣ < ε;(iii) O limite de f quando x tende a mais infinito é +∞ no caso em que, para todo M > 0 existir

x0 > 0 tal que x > x0 implica f (x) > M (o limite será −∞ quando ∀M > 0,∃x0 > 0 tal quex > x0 implica f (x) < −M);

(iv) O limite de f quando x tende a menos infinito é +∞ no caso em que, para todo M > 0 existirx0 > 0 tal que x < −x0 implica f (x) > M (o limite será −∞ quando ∀M > 0,∃x0 > 0 tal quex < −x0 implica f (x) < −M);

No caso (i) escrevemos limx→+∞f (x) = L; no caso (ii), lim

x→−∞f (x) = L; em (iii) denotamos limx→+∞f (x) = +∞

(reciprocamente, limx→+∞f (x) = −∞; por último, no caso (iv), denotamos lim

x→−∞f (x) = +∞ (reciproca-

mente, limx→−∞f (x) = −∞.

Exemplo 1.11.1Consideremos a função f (x) = 1

x , que está definida para todo x 6= 0. Intuitivamente observa-seque quando x cresce ilimitadamente a razão 1

x tende a zero; o mesmo ocorrendo quando x decresceilimitadamente.

De fato, dado qualquer ε > 0, tomando x0 = 1ε sempre que x > x0 = 1

ε temos∣∣ 1x

∣∣ = ∣∣ 1x − 0

∣∣ < ε.Logo,

limx→+∞ 1

x= 0.

Por um argumento análogo, mostra-se que também vale limx→−∞ 1

x= 0.

Exemplo 1.11.2

É fácil observar que, para todo n > 1,1xn

<1xsempre que x > 1. Assim, segue para todo n > 1

(i) limx→+∞ 1

xn= 0 e (ii) lim

x→−∞ 1xn

= 0

(Ver Exercício 1.12.4)

Exemplo 1.11.3A função identidade f (x) = x tem limite +∞ quando x tende a +∞ e limite −∞ quando x tende

a −∞.De fato, dado qualquer M > 0, escolhendo x0 = M temos para x > x0, f (x) = x > M e para

x < −x0, f (x) = x < −M.

1.11. Limites no Infinito 71

Portanto,limx→+∞ x = +∞ e lim

x→−∞ x = −∞.

Exemplo 1.11.4Podemos generalizar o exemplo anterior do mesmo modo que fizemos nos Exemplos 1.11.1 e 1.11.2.

Para todo n ∈ Z, n > 1 temos xn > x sempre que x > 1. Daí (ver Exercício 1.12.4), temos

(i) limx→+∞ xn = +∞ sempre que n > 1.

Por outro lado, se x < −1 temos x2 > −x, x3 < −x2, e assim por diante. Portanto: xn > −x sempreque n for par; e xn < x sempre que n for ímpar.

É praticamente imediato (ver Exercício 1.12.4) que:

(ii) limx→−∞ xn = +∞ sempre que n for par;

(iii) limx→−∞ xn = −∞ sempre que n for ímpar.

Para limites no infinito valem as seguintes propriedades:

Teorema 1.11.1 Sejam k,L,M∈R e sejam f e g funções reais tais que limx→±∞f (x) = L e lim

x→±∞g (x) =M.

Então:

(i) limx→±∞kf (x) = kL;

(ii) limx→±∞ [f (x)± g (x)] = L±M;

(iii) limx→±∞ f (x)g (x) = LM;

(iv) limx→±∞ f (x)g (x)

=L

M, sempre que M 6= 0.

Observe que as propriedades acima são idênticas àquelas do Teorema 1.7.1 e as demonstrações sãoanálogas às esboçadas na seção 1.7.

O significado gráfico da existência de limites finitos no infinito é a ocorrência de assíntotas horizontais.A reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f (x) quando lim

x→+∞ f (x) = L ou limx→−∞ f (x) = L.

Exemplo 1.11.5

A curva f (x) =x2 + 1x2 − 1

possui assíntotas verticais x = −1, x = 1 (verifique!) e assíntota horizontaly = 1.


x

y

Figura 1.11.1

Exemplo 1.11.6

A reta y = 0 é uma assíntota horizontal da curva y =1x. De fato, já temos que lim

x→±∞ 1x= 0.

Valem ainda, trocando c por +∞ ou −∞, as propriedades de (i) a (v) do Teorema 1.9.1, da seção 1.9.

Exemplo 1.11.7

limx→+∞ 3x+ 1

5x− 2=

35. De fato, é fácil ver que

3x+ 15x− 2

=3 + 1

x

5 − 2x

.

Comolimx→+∞

(3 +

1x

)= 3 e lim

x→+∞(

5 −2x

)= 5

temos,

limx→+∞ 3x+ 1

5x− 2=

35

.

Observe que também vale a igualdade

limx→−∞ 3x+ 1

5x− 2=

35

.

Exemplo 1.11.8

limx→±∞ 2x− 3

x2 + 1= limx→±∞

2x − 3

x2

1 + 1x2

=

limx→±∞

(2x−

3x2

)limx→±∞

(1 +

1x2

) =01= 0.

Observe que a passagem na segunda igualdade só pode ser efetuada pois o limite do denominador nãoé 0.


Exemplo 1.11.9

limx→+∞ x+ 1√

x2 + 1= limx→+∞

x+1x√x2+1x

= limx→+∞ 1 + 1

x√x2+1x2

= limx→+∞ 1 + 1

x√1 + 1

x2

= 1,

no entanto,

limx→−∞ x+ 1√

x2 + 1= limx→−∞

x+1−x√x2+1−x

= limx→−∞ −1 − 1

x√x2+1x2

= limx→−∞ −1 − 1

x√1 + 1

x2

= −1.

Observe que, no segundo caso estamos usando o fato√x2 = |x| e, se x < 0 (já que x→ −∞) então

|x| = −x.

Exemplo 1.11.10

limx→+∞ 3x3

x2 + 1= limx→+∞

3x3

x3

x2+1x3

= limx→+∞ 3

1x + 1

x2

.

Observe que agora o numerador tende a uma constante positiva e o denominador tende a zero porvalores positivos. Do Teorema 1.9.2 segue

limx→+∞ 3x3

x2 + 1= +∞.

Por outro lado,

limx→−∞ 3x3

x2 + 1= −∞. (Justifique)

1.12 Exercícios

1.12.1 Calcule (se possível) os seguintes limites no infinito. Caso não exista o limite, dê um argumentoque justifique a não existência.

(a) limx→∞

(x3 − 3x2 + 2

)(b) lim

x→−∞(x3 − 3x2 + 2

)(c) lim

x→∞ x2 + 1x2 − 1

(d) limx→−∞ x

2 + 1x2 − 1

(e) limx→∞ 2x+ 6√

x2 + 2x+ 4

(f) limx→−∞ 2x+ 6√

x2 + 2x+ 4

(g) limx→∞ 2x2 + 5

3x− 3


(h) limx→−∞ 2x2 + 5

3x− 3

(i) limx→∞ 3x− 3

2x2 + 5

(j) limx→−∞ 3x− 3

2x2 + 5

(k) limx→∞

√x2 + 4x

(l) limx→−∞

√x2 + 4x

1.12.2 Use um artifício algébrico conveniente a fim de encontrar:

(a) limx→+∞

(√4x2 + 1 − 2x

)(b) lim

x→−∞(√

4x2 + 1 − 2x) (c) lim

x→+∞(√

4x2 + 1 − x)

(d) limx→−∞

(√4x2 + 1 − x

) (e) limx→+∞

(3√x3 + 1 − x

)(f) lim

x→+∞(

3√x3 + x−

3√x3 + 1

)1.12.3 Encontre as assíntotas verticais, as assíntotas horizontais e faça um esboço da curva y = f (x).

(a) f (x) =x+ 1x− 2

(b) f (x) =1 − 3xx+ 4

(c) f (x) = 1 +1x

(d) f (x) =1√x2 − 1

1.12.4 Mostre a validade das afirmações (i) e (ii) do Exemplo 1.11.2 e das afirmações (i),(ii) e (iii) doExemplo 1.11.4.

1.13. O Teorema do Confronto 75

1.13 O Teorema do ConfrontoDedicamos esta seção exclusivamente ao Teorema do Confronto e suas consequências. Também conhecidocomo Teorema Sanduíche, tal resultado é uma ferramenta poderosa do Cálculo, tanto na obtenção dealguns limites não imediatos, quanto na demonstração de outros resultados.

Teorema 1.13.1 Considere f, g e h funções definidas em (a, c) ∪ (c,b) tais que g (x) 6 f (x) 6 h (x),para todo x ∈]a, c[ ∪ ]c,b[. Se

limx→c

g (x) = limx→c

h (x) = L

entãolimx→c

f (x) = L.

Demonstração : Como limx→c

g (x) = limx→c

h (x) = L, dado qualquer ε > 0, arbitrariamente pequeno, existemδ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:

(i) x ∈ (c− δ1, c+ δ1) =⇒ g (x) ∈ (L− ε,L+ ε);

(ii) x ∈ (c− δ2, c+ δ2) =⇒ h (x) ∈ (L− ε,L+ ε).

Tomando δ o menor dos números δ1 e δ2 (δ = min {δ1, δ2}) valem ambas as implicações (i) e (ii). Alémdisso, da desigualdade g (x) 6 f (x) 6 h (x) segue que ∀x ∈ (c− δ, c+ δ) tem-se

L− ε < g (x) 6 f (x) 6 h (x) < L+ ε

e, portanto, limx→c

f (x) = L.

Graficamente:

x

y y = f(x)

y = h(x)

y = g(x)

c

L

Figura 1.13.1

A ilustração do Teorema do Confronto deixa claro porque ele também recebe o nome de Teorema doSanduíche ou ainda Teorema da Imprensamento.

Vamos a alguns exemplos:Exemplo 1.13.1

Embora pouco tenhamos mencionado as funções seno e cosseno nas seções anteriores, agora somoscapazes de afirmar que lim

θ→0sen θ = 0 e lim

θ→0cos θ = 1.

De fato, consideremos no círculo trigonométrico o arco θ =_AP no primeiro quadrante, onde

A = (1, 0), e seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P até o eixo x. (Ver ilustração abaixo).


x

y

A = (1, 0)

P = (cosθ, senθ)

Q

Figura 1.13.2

Evidentemente, o comprimento do segmento AP é menor (ou igual, no caso extremo) que a medida

do arco_AP. Além disso, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APQ segue

(1 − cos θ)2 + sen2 θ = AP26 θ2.

Portanto, sen2 θ 6 θ2 e (1 − cos θ)2 6 θ2. Logo,

−θ 6 sen θ 6 θ e − θ 6 1 − cos θ 6 θ

para 0 < θ < π2 . Como lim

θ→0+θ = lim

θ→0+−θ = 0, pelo Teorema do Confronto

limθ→0+

sen θ = 0 e limθ→0+

(1 − cos θ) = 0.

É possível demonstrar de modo análogo que

limθ→0−

sen θ = 0 e limθ→0−

(1 − cos θ) = 0.

Portanto, limθ→0

sen θ = 0 e limθ→0

cos θ = 1.

x

y

1

−1

y=senθ

Figura 1.13.3

x

y

1

−1

y=cosθ

Figura 1.13.4

De acordo com o que já conhecíamos, através dos esboços dos gráficos das funções seno e cosseno, eranatural ter a expectativa dos limites encontrados no Exemplo 1.13.1. Mais ainda, é natural ter a esperançaque lim

θ→csen θ = sen c e lim

θ→ccos θ = cos c. Retomaremos esta discussão em momentos posteriores.

Faremos agora uma análise tão importante quanto a anterior, a saber, o que ocorre com a razão senθθ

para θ suficientemente pequeno.

1.13. O Teorema do Confronto 77

Teorema 1.13.2limθ→0

sen θθ

= 1.

Demonstração : Do mesmo modo que no Exemplo 1.13.1 consideremos no círculo trigonométrico o arcoθ =

_

AP no primeiro quadrante, onde A = (1, 0), e seja Q o pé da perpendicular baixada do ponto P até oeixo x. Prolongando o segmento OP até encontrar a reta t, perpendicular ao eixo x no ponto A = (1, 0),obtemos, na interseção, o ponto T . (Ver ilustração).

x

y

t

O A

TP

Q

Figura 1.13.5

Assim, PQ 6_

AP 6 AT . Além disso, do Teorema de Tales,

AT

OA=PQ

OQ=⇒ AT =

sen θcos θ

e, em coordenadas cartesianas, temos

T =

(1,

sen θcos θ

).

Logo, sen θ 6 θ 6sen θcos θ

. Como estamos considerando 0 < θ < π2 temos sen θ > 0 e segue

1 6θ

sen θ6

1cos θ

ou ainda cos θ 6sen θθ

6 1.

O caso −π2 < θ < 0 é inteiramente análogo.Como lim

θ→0cos θ = lim

θ→01 = 1, aplicando o Teorema do Confronto, concluímos que

limθ→0

sen θθ

= 1.


1.14 Exercícios

1.14.1 Use as desigualdades −1 6 sen x 6 1 e −1 6 cos x 6 1 a fim de calcular os seguintes limites:

(a) limθ→0

θ sen θ

(b) limx→0

xn sen x (n ∈ Z)

(c) limθ→0

θ cos θ

(d) limx→0

xn cos x

(e) limx→±∞ sen x

x2

(f) limx→±∞ cos x

x

(g) limx→0

x2 sen1x2

(h) limx→0

1 − cos xx

(i) limθ→0+

θ2 sen θθ2 + 1

(j) limx→0

[x4(

1 − sen1x

)]

(k) limθ→π

θ sec θ

(l) limx→0

sen x√x

1.14.2 Seja f uma função definida por f (x) =

{1, se x /∈ Q0, se x ∈ Q

.

(i) Dê uma justificativa para a seguinte afirmação: “f não possui limite em c, ∀c ∈ R”

(ii) Mostre que limx→0

xnf (x) = 0, ∀n ∈ N.

1.14.3 Calcule os seguintes limites, (caso exista ou justifique a não existência):

(a) limθ→0

sen (5θ)2θ

(b) limθ→0

1 − cos θθ2

(c) limθ→0

sen (2θ)sen (3θ)

(d) limθ→0

tg θθ

(e) limx→0

sen(x2)

x

(f) limx→0

sen2 x

x

(g) limθ→+π

sen θθ− π

(h) limx→0

π− π cos2 x

4x2

(i) limx→0

1 − cos xx sen x

(j) limx→0

1√x+ 1 +

√x

(k) limx→∞ πx− π cos x

x

(l) limx→∞

[√x+ 1 −

√x]

1.14.4 Uma função f é limitada em (a,b) quando existemm,M ∈ R tais quem 6 f (x) 6M, ∀x ∈ (a,b).Suponha f limitada. Mostre que lim

x→0xkf (x) = 0 para todo k ∈ N.

1.14.5 Suponha f uma função limitada definida em (a, c)∪(c,b) e seja g uma função tal que limx→c

g (x) = 0.Mostre que

limx→c

[f (x)g (x)] = 0.

1.14.6 Calcule cada um dos seguintes limites:

(a) limx→c

[(x2 − c2) cos

1x− c

](b) lim

x→c

sen (x− c)

(x2 − c2)

(c) limx→0

(1

sen x−

1tg x

)

(d) limx→0

senaxbx

(e) limx→0

senaxsenbx

1.15. Continuidade 79

1.15 ContinuidadeA noção de continuidade de uma função, definida ainda nos dias de hoje de modo análogo à formaapresentada por volta do século XIX, é um dos temas fundamentais do Cálculo. Em termos gerais, umafunção f : I−→R é contínua no ponto a ∈ I quando valores de x suficientemente próximos de a nos dãoimagens f (x) suficientemente próximas de f (a). Formalmente, f é contínua em a quando para todo ε > 0existe δ > 0 tal que |x− a| < δ⇒ |f(x) − f(a)| < ε. Observamos que, em contraste com a noção de limitena qual não havia necessidade da existência da imagem, neste contexto necessariamente a ∈ Df.

Definição 1.15.1 Seja f : I−→R uma função e seja a ∈ I. Diremos que f é contínua em a quando

limx→a

f (x) = f (a) .

(o que equivale a limx→a

[f (x) − f (a)] = 0.)Em caso contrário, diremos que f é descontínua em a.

Exemplo 1.15.1A função identidade, f (x) = x, é contínua em toda abcissa a ∈ R. De fato,

limx→a

f (x) = a = f (a) .

Mais geralmente, das propriedade vistas anteriormente, g (x) = xn, com n ∈ N, é contínua emtoda abcissa a ∈ R, já que

limx→a

g (x) = an = g (a) .

Do Exemplo 1.15.1 decorre imediatamente que toda função polinomial, definida em toda reta, é con-tínua em todo a ∈ R.

De fato, seja p (x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x+ b0. Então,

limx→a

p (x) = bnan + bn−1a

n−1 + · · ·+ b1a+ b0 = p (a) .

Exemplo 1.15.2

Considere a função f (x) =

x3, se x < −1x, se − 1 6 x 6 26 − x2, se x > 2

definida para todo x ∈ R.

x

y

2

−1

2

Figura 1.15.1

Já temos que f é contínua para todo a ∈ (−∞,−1) ∪ (−1, 2) ∪ (2,+∞).


Observe que se a < −1,f (a) = a3 = lim

x→af (x) ;

se −1 < a < 2,f (a) = a = lim

x→af (x)

e se a > 2,f (a) = 6 − a2 = lim

x→af (x) .

Falta verificar o que ocorre para a = −1 e para a = 2. Mas,

limx→−1−

f (x) = limx→−1−

x3 = −1 = limx→−1+

x = limx→−1+

f (x)

elimx→2−

f (x) = limx→2−

x = 2 = limx→2+

(6 − x2) = lim

x→2+f (x) .

Portanto, f é também contínua em a = −1 e em a = 2.

Exemplo 1.15.3

A função f (x) =

{1 − x2, se x 6 0x+ 1, se x > 0

é contínua para todo a ∈ R. De fato, f é contínua para todo

a 6= 0. No caso a = 0 temos

1 = limx→0−

f (x) = limx→0−

(1 − x2) = f (1)

e1 = lim

x→0+f (x) = lim

x→0+(x+ 1) = f (1) .

Portanto, o limite existe em a = 0 e é igual à imagem da função em a = 0. Logo, f é contínuatambém em a = 0.

Omitiremos os detalhes neste momento e justificaremos a afirmação no capítulo posterior, mas asfunções trigonométricas, a função exponencial e a função logarítmica são contínuas em toda abcissa apertencente a seu domínio. Assim, as funções

(a) y = sen x, x ∈ R, é contínua ∀a ∈ R e, portanto,

limx→a

sen x = sena

(b) y = cos x, x ∈ R, é contínua ∀a ∈ R e, portanto,

limx→a

cos x = cosa

(c) y = tg x, x ∈ R, x 6= π2 + kπ, com k ∈ Z, é contínua para todo a 6= π

2 + kπ, com k ∈ Z e, logo

limx→a

tg x = tga

desde que a 6= π2 + kπ, com k ∈ Z.

(Para as funções y = cotg x, com x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z; y = sec x, com x ∈ R, x 6= π2 + kπ, k ∈ Z; e

y = cossec x, x ∈ R, x = kπ, k ∈ Z, a propriedade é idêntica.)

(d) y = ex, x ∈ R é tal quelimx→a

ex = ea


(e) y = ln x, definida para todo x > 0, é contínua para todo a > 0 e, portanto,

limx→a

ln x = lna,

sempre que a > 0.

Vejamos agora exemplos de funções descontínuas em alguma abcissa a de seu domínio.Exemplo 1.15.4

Considere a função g (x) =

x2, se x < 1−1, se x = 1−1 + 2x, se x > 1

.

x

y

1

−1

x2 2x−1

Figura 1.15.2

Pelo que foi discutido anteriormente, g é contínua para todo a 6= 1. No entanto, em a = 1 temos

limx→1

g (x) = 1 (verifique) e g (1) = −1.

Assim, g é descontínua em a = 1.

Observe que no exemplo anterior a função tem limite em a = 1, mas este é diferente de g (1). Tambémpode ocorrer da função não possuir limite em a, evidentemente, neste caso, ela não pode ser contínua ema. Ilustraremos isso no próximo exemplo.Exemplo 1.15.5

A função h (x) =

x

x− 1, se x 6= −1

0, se x = −1não é contínua em a = −1 já que h (−1) = 0 enquanto o

limite de h em −1 nem existe.

Considere uma função f descontínua em a. Podem ocorrer duas situações:

(i) é possível definir uma função f, com imagens coincidindo com as imagens de f para todos os valoresdiferentes de a, e com f (a) definido de modo que f seja contínua em a. Neste caso, dizemos que fpossui descontinuidade removível em a. Observe que para f possuir descontinuidade removível ema basta que exista o número real lim

x→af (x).

(ii) não é possível definir uma função f tal como em (i). Neste caso diremos que a descontinuidade em a

é irremovível. Descontinuidades irremovíveis ocorrem quando o limite da função não existe no pontoa.

No Exemplo 1.15.4, temos uma função com descontinuidade removível em a = 1; basta observar que

g (x) =

x2, se x < 1−1, se x = 1−1 + 2x, se x > 1


é contínua em a = 1. No Exemplo 1.15.5 há uma descontinuidade irremovível em a = −1.Descontinuidades irremovíveis ocorrem, evidentemente, em abcissas do domínio da função nas quais o

limite não existe. Quando a descontinuidade irremovível em a ocorre porque os limites laterais em a sãonúmeros reais distintos, dizemos que a descontinuidade é do tipo salto.

Exemplo 1.15.6As funções

(i) y =

{0, se x < 01, se x > 0

x

y

Figura 1.15.3

(ii) y =

{x2 − 1, se x 6 12x− 1, se x > 1

x

y

Figura 1.15.4

(iii) y =

1x

, x 6= 0

0, x = 0

x

y

Figura 1.15.5

(iv) y =

1x2 , x 6= 0

0, x = 0

x

y

Figura 1.15.6

estão definidas para todo x ∈ R.Em (i), há uma descontinuidade irremovível do tipo salto em a = 0; em (ii), há uma descontinuidade

irremovível também do tipo salto em a = 1. Já em (iii) e (iv), ocorrem descontinuidades irremovíveis(que não são do tipo salto), em a = 0.


Quando uma função não possui pontos de descontinuidade em seu domínio, dizemos simplesmente queela é contínua. Isto é, uma função f é contínua quando

limx→a

f (x) = f (a) ,

para todo a ∈ Df.Pelo que foi discutido anteriormente, as funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logaritmo

são exemplos de funções contínuas. Observe que a função f (x) = 1x tem domínio Df = {x ∈ R; x 6= 0} e,

portanto, é contínua (não possui pontos de descontinuidade em seu domínio); no entanto, a função

g (x) =

1x

, se x 6= 0

1, se x = 0,

tem domínio Dg = R e não é contínua, já que não o é em a = 0.

Voltemos novamente a atenção aos pontos de continuidade.

Exemplo 1.15.7

Sejam a,b ∈ R e considere f (x) =

{2x2 − 4x+ 1, se x 6 2ax2 + b, se x > 2

.

Determine para quais condições dos valores a e b, f é contínua.

Evidentemente, f é contínua para todo a ∈ (−∞, 2) ∪ (2,+∞).Para a = 2 temos

f (x) = 2 · (2)2 − 4 · (2) + 1 = 1.

Portanto, limx→2

f (x) é, obrigatoriamente, igual a 1.

Já temos limx→2−

f (x) = 1, resta fazer limx→2+

f (x) = 1. Mas

limx→2+

f (x) = limx→2+

(ax2 + b

)= 1⇐⇒ a+ b = 1.

Portanto, basta fazer b = 1 − 4a.

No Exemplo 1.15.7, observe que para cada uma das situações de a e b abaixo o gráfico da função f éuma curva definida por duas outras curvas, uma à esquerda da reta x = 2 e outra à direita da reta x = 2,que se conectam no ponto (2, 1) (de fato, o gráfico de f nessas condições é uma curva conexa).

• a = 0,b = 1

x

y

y=2x2+4x+1

y=1(2,1)

Figura 1.15.7


• a = −1,b = 5x

y

y=2x2+4x+1

y=−x2+5

(2,1)

Figura 1.15.8

• a = 1,b = −3

x

y

y=2x2+4x+1y=x2−3

(2,1)

Figura 1.15.9

Para finalizar esta seção, destacamos o seguinte resultado para o qual omitiremos demonstrações.Trata-se de uma ferramente de extrema utilidade no cálculo de limites.

Teorema 1.15.1 Sejam f,g : I−→R funções contínuas em a ∈ I. Então, são também contínuas em a asfunções:

(i) cf, f+ g, f− g, f · g : I−→R (c=cte);

(ii)1f

,g

f, desde que f (a) 6= 0.

Além disso, se f : I −→ J ⊂ R e h : J −→ R, considerando f contínua em a ∈ I e h contínua emb = f (a) ∈ J então a composta

h ◦ f : I −→ Rx 7−→ h(f(x))

é contínua em a.

Uma consequência da propriedade acima é que, se uma função f : I −→ J ⊂ R admite uma inversaf−1 : J−→I então a continuidade de uma delas implica na continuidade da outra.

Considere as funções y = sen θ e y = tg θ. No intervalo aberto(−π2 , π2

)ambas são injetoras. Além

disso, −1 < sen θ < 1, ∀θ ∈(−π2 , π2

),

limθ→−π

2+

tg θ = −∞ e limθ→π

2−

tg θ = +∞.

θ

y

1

−1

π2

y=senθ

−π2

Figura 1.15.10

θ

y

π2−π

2

y=tgθ

Figura 1.15.11


Assim, seno e tangente são funções invertíveis:

• A inversa da função y = sen θ, que chamaremos de arco-seno é uma função f que, para cadanúmero real −1 6 y 6 1 define o arco θ = f (y) se, e somente se, y = sen θ e, portanto, −π2 6 θ 6 π

2(observe que no intervalo fechado

[−π2 , π2

]a função seno permanece injetora e é sobrejetiva quando

estabelecemos sua restrição ao contradomínio [−1, 1]). Se y = sen θ usaremos a notação θ = arcsenypara denotar a função arco-seno que, pelas considerações acima é uma função contínua e bijetora queleva o intervalo [−1, 1] no intervalo

[−π2 , π2

]. Evidentemente, tem-se por exemplo, arcsen−1 = −π2 ,

arcsen 0 = −, arcsen√

32 = π

3 e arcsen 1 = π2 .

• A inversa da função y = tg θ, que chamaremos arco-tangente , é uma função g que, para cadanúmero real y ∈ R define o arco θ = g (y) se, e somente se, y = tg θ. Se y = tg θ usaremos a notaçãoθ = arctgy para denotar a função arco-tangente. A exemplo do caso anterior a função arco-tangenteé uma função contínua e bijetora, porém, leva a reta no intervalo aberto

(−π2 , π2

).

Em síntese,

arcsen : [−1, 1] −→[−π

2,π

2

]y 7−→ θ = arcseny⇔ sen θ = y

arctg : R −→(−π

2,π

2

)y 7−→ θ = arctgy⇔ tg θ = y

Da continuidade de tais funções temos, por exemplo:

limx→0

arcsen x = 0, limx→

√2

2

arcsen x =π

4

limx→1

arctg x =π

4, lim

x→√

33

arctg x =π

6.

Além disso, como limx→−π

2+

tg x = −∞ e limx→π

2−

tg x =∞ temos

limx→−∞ arctg x = −

π

2e lim

x→+∞ arctg x =π

2.

1.16 Exercícios

1.16.1 Verifique para cada função abaixo, a continuidade ou não na(s) abcissas indicada(s):

(a) f (x) =

{x2 − 4, x 6 02x− 4, x > 0

a = 0

(b) g (x) =

x

x2 − 2x, x 6= 0 e x 6= 2

−12 , x = 0

0, x = 2a1 = 0 e a2 = 2

(c)y =

x

(x− 2)2

a1 = 0 e a2 = 2

(d) f (x) =(x− 2)2

xa1 = 0 e a2 = 2

1.16.2 A função f (x) =1

(x− 2)2 é contínua? E a função g (x) =x

(x− 2)2 ?

1.16.3 Utilize os resultados dados pelo Teorema 1.15.1 a fim de calcular os seguintes limites:


(a) limx→0

sen(x2 +

12

)π

(b) limx→π

2

sen x1 + cos x

(c) limx→0

[ex + cos x]

(d) limx→e

x

ln x

(e) limx→−1−

e(x2−1)

(f) limx→0

1cos x

1.16.4 Em cada um dos casos abaixo, determine constantes reais indicadas para que a função sejacontínua.

(a) f (x) =

{x+ 1, , x < −2a, x > 2

(a ∈ R)

(b) g (x) =

{ax+ 1, x 6 1b, x > 1

(a,b ∈ R)

(c) h (x) =

{ax2 + b, x 6 12ax− b, x > 1

(a,b ∈ R)

(d) y (x) =

a (x− 1) , x < 23, 2 6 x 6 4x2 − b, x > 4

(a,b ∈ R)

(e) f (x) =

2x+ 1, x < a

x− 1, a 6 x 6 +b

x2

2, x > b

(a,b ∈ R)

1.16.5 Utilizando que as funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logaritmo são contínuas,juntamente com o Teorema 1.15.1, analise a existência dos seguintes limites. Caso exista o limite, determine-o.

(a) limx→0−

sen (ex + x− 1)

(b) limx→π

2

ecosx

(c) limx→0

[sen

1x

](d) lim

x→1+xx

(e) limx→+1

(x2 + 1

)sen(π2 x)

(f) limx→−1

(x2 + 1

)sen(π2 x)

(g) limx→π

2

ln (sen x)

(h) limx→π−

elnx

(i) limx→0+

(x− 1)2x

(x2 + 1)x

(j) limx→e

tg(π

4ln x)

1.16.6 Calcule os limites:

(a) limx→0

sen (x+ h) − sen xh

(b) limx→0

cos (x+ h) − cos xh

1.16.7 Seja f uma função real.

(i) Se limx→c

f (x) existe é sempre verdade que limx→c

|f (x)| existe?

(ii) Se limx→c

|f (x)| existe podemos afirmar que sempre existe limx→c

f (x)?

1.16.8 Calcule, caso existam.

(a) limx→27

3√x

(b) limx→∞ 2

√x

(c) limx→∞ 1√

x

(d) limx→1+

arcsen√x− 1

(e) limx→

√2

2

−x arctg x

(f) limx→−1

arctg(x2)

(g) limx→ 1

2

arctg√x

(h) limx→0+

e− arctgx

(i) limx→π

2−[π− arctg x]

(j) limx→0+

[ln (arctg x)]

(k) limx→0+

arctg√x

(l) limx→1

arcsen(√x− 1

)1.16.9 Encontre 3 exemplos de funções f tais que

limx→1−

f (x) < 0 e limx→1+

f (x) = 0.


1.16.10 Considere f (x) =

x+ 1, x < −41, x = −4x2

4− 7, x > −4

.

(i) Faça um esboço do gráfico de f.

(ii) Calcule limx→−4−

f (x) e limx→−4+

f (x). Existe limx→−4

f (x)?

(iii) f é contínua em c 6= −4? E em c = −4?

(iv) É possível definir L ∈ R e uma função f com f (x) =

{f (x) , x 6= −4L, x = −4

, tal que f seja contínua?

1.16.11 Considere g (x) =

3x− 4, x < 01, x = 0x+ 1, x > 0

.

(i) Faça um esboço do gráfico de g.

(ii) Calcule limx→0−

g (x) e limx→0+

g (x). Existe limx→0

g (x)?

(iii) f é contínua em c 6= 0? E em x = 0?

(iv) É possível definir L ∈ R e uma função g com g (x) =

{g (x) , x 6= 0L, x = 0

, tal que g seja contínua?

1.16.12 Suponha f : [a,b]−→R contínua e sejam c ∈ [a,b] tal que f(x) 6 f(c), ∀ x ∈ [a,b] e d ∈ [a,b]tal que f(x) > f(d), ∀ x ∈ [a,b]. Mostre que, para todo k, f(d) < k < f(c)

(i) existe c 6= c em [a,b] tal que f(x) > k, para todo x entre c e c;

(ii) existe d 6= d em [a,b] tal que f(x) 6 k, para todo x entre d e d.


1.17 Exercícios Complementares

1.17.1 Em cada um dos gráficos abaixo identifique e calcule, caso existam:

(a) f (c) (b) limx→c−

f (x) (c) limx→c+

f (x) (d) limx→c

f (x)

θ

y

π2−π

2

y=tgθ

x

c = −1 e c = 1

y

1

−1

−1

x

c = 0

yy=x

y=−x

x

c = 0 e c = 2

y

2

1

−1

2−1

1.17.2 Em cada um dos itens (a), (b), (c) e (d) do exercício anterior destaque o(s) intervalos em que afunção é contínua.1.17.3 Determine, caso exista, lim

x→0−f (x), lim

x→0+f (x), lim

x→∞ f (x) e limx→−∞ f (x) em cada caso abaixo. Caso

o limite não exista, apresente uma justificativa.

(a) f (x) =

1

x− 2, se x < 2

x− 1, se x>2

(b) f (x) =

x2 − 2, se x < −1 ou x > 10, se x = −11, se − 1 < x < 1

(c) f (x) = x sen x

(d) f (x) =

−1 − x, x < 01, 0 6 x < 22, x = 2x2 − 4x+ 3, x > 2

(e) f (x) = x sen( 1x

), x 6= 0

(f) f (x) =x− 1√x2 + 1

1.17. Exercícios Complementares 89

(g) f (x) = ln(x2 + 1

)(h) f (x) = e

1x2 , x 6= 0

(i) f (x) = e1x , x 6= 0

(j) f (x) = ln( 1x

), x > 0

(k) f (x) =sen2 x+ cos x− 1

x, x 6= 0

(l) f (x) = tg(x− π

2

), x 6= kπ com k ∈ Z

(m) f (x) = arctg(x2 + 1

)

(n) f (x) =3x2 − 4x+ 2√

4x4 + 1

(o) f (x) =3x + 25x + 1

(p) f (x) =5x+1

3x + 2

(q) f (x) =sen2 x

x, x 6= 0

(r) f (x) =sen2 x

x2 , x 6= 0

1.17.4 (As funções hiperbólicas) Para todo x ∈ R podemos definir as funções seno hiperbólico e cossenohiperbólico, respectivamente, como segue

(1) senh x =ex − e−x

2, ∀x ∈ R (Seno Hiperbólico)

(2) coshx =ex + e−x

2, ∀x ∈ R (Cosseno Hiperbólico)

Além disso, é possível definir ainda as funções tangente hiperbólica, secante hiperbólica, cotangente hi-perbólica e cossecante hiperbólica.

(3) tgh x =senh xcosh x

=ex − e−x

ex + e−x, ∀x ∈ R (Tangente Hiperbólica)

(4) cotgh x =cosh xsenh x

=ex + e−x

ex − e−x, ∀x 6= 0 (Cotangente Hiperbólica)

(5) sech x =1

cosh x=

2ex + e−x

, ∀x ∈ R (Secante Hiperbólica)

(6) cossech =1

senh x=

2ex − e−x

, ∀x 6= 0 (Cossecante Hiperbólica)

Explique por que cada uma das funções acima é contínua. Além disso, calcule o limite de cada uma delas,(caso exista) quando

(a) x→ 0 (b) x→∞ (c) x→ −∞ (d) x→ 1 (e) x→ −1

1.17.5 Existe o limite limx→c

|x|

xpara todo c ∈ R? Por quê?

1.17.6 Seja n ∈ N, n > 2. Verifique a validade da seguinte propriedade: “Se limx→c

f (x) = L ∈ R e n√L

existe, entãolimx→c

n√f (x) = n

√limx→c

f (x) =n√L.”

O que ocorre quando limx→c

f (x) = ±∞.

1.17.7 Dizemos que uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b] quando f é contínua em (a,b) eainda lim

x→a+f (x) = f (a) (f é contínua à direita em a) e lim

x→b−f (x) = f (b) (f é contínua à esquerda em b).

Verifique que

(i) f (x) =√x é contínua em [0, 1];

(ii) g (x) = 5√x3 é contínua em [−1, 1].


1.17.8 Considere a função f (x) = sen( 1x

)definida para todo x ∈ R. Seja k ∈ N arbitrário, calcule

f

(1kπ

)e f(

1π2 + kπ

). A partir daí, explique o que ocorre com lim

x→0f (x).

1.17.9

Teorema 1.17.1 (O Teorema de Bolzano ) Seja f uma função contínua em [a,b]. Se f (a) 6 m 6f (b) então existe pelo menos um c ∈ [a,b] tal que f (c) = m.”

Esta propriedade, chamada também de Teorema do Valor Intermediário é uma das mais importantesno Cálculo Diferencial e Integral e na Análise Matemática. Embora não apresentemos uma demonstraçãodo Teorema, sua ilustração é bem intuitiva.

x

y

f(a)

f(b)

m

y=f(x)

[a

]b

y=m

Observe que, como f (a) 6 m 6 f (b) e f é contínua então o gráfico de f intercepta pelo menos umavez a reta horizontal y = m.

Utilize o Teorema do Valor Intermediário e justifique as seguintes afirmações:

(i) Se f é contínua em [a,b] e f (a) · f (b) < 0, então f possui pelo menos uma raiz em (a,b).

(ii) Se f é contínua em [a,b] e f (x) 6= 0, ∀x ∈ [a,b], então ou f é sempre positiva em [a,b] ou f é semprenegativa em [a,b] (f não apresenta mudança de sinal).

(iii) Se f é contínua em R, limx→−∞ f (x) = −∞ (respectivamente, +∞) e lim

x→+∞ f (x) = +∞ (respectiva-

mente, −∞) então f possui pelo menos uma raiz real.

(iv) Se p é uma função polinomial e o grau de p é ímpar, então p possui pelo menos uma raiz real.

(v) A função f (x) = x3ex − 1 possui pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1]. Justifique.

1.17.10 A função g (x) =1x3 é tal que g (−1) = −1 e g (1) = 1. No entanto g não possui nenhuma raiz

real. Por que isso não entra em contradição com o Teorema do Valor Intermediário?

1.17.11 Considere a função h (x) =

{1, se 0 6 x < 1x+ 4, se 1 6 x 6 2

. Observe que h está definida para todo

x ∈ [0, 2], mas não existe c ∈ [0, 2] tal que f (x) = 4. Por quê o Teorema do Valor Intermediário não seaplica?1.17.12 Calcule, ou mostre porque não existe, cada um dos limites abaixo:

(a) limx→1

[(x− 1)2 sen

(1

x2 − 1

)](b) lim

x→0sen

1x2

(c) limx→2

x3 − 4x2 + 2x+ 4−2x3 + 4x2 − x+ 2

(d) limx→2

x3 − 3x2 + x+ 22x3 − 4x2 − x+ 2

(e) limx→∞ x3 − 4x2 + 2x+ 4

−2x3 + 4x2 − x+ 2

(f) limx→∞ 2x− 1

x2 + 1

(g) limx→3

tg3 (x− 3)

(x+ 3)2

1.17. Exercícios Complementares 91

(h) limx→∞ sen2 x

x2

(i) limx→2

2 −√

2x1 −

√x2

(j) limx→9

[√x+ 3

√3 −√x

x− 3

]

1.17.13 Faça um esboço do gráfico y = f (x). Avalie se a função f é continua.

(a) f (x) = x (2 |x|− 1)

(b) f (x) = |x| (2x− 1)

(c) f (x) = 2x2 − x |x|

(d) f (x) = 2 |x|− x2

1.17.14 Determine números reais a e b para que seja contínua a função

g (x) =

ax2 − b, x 6 −11 − x, −1 < x < 2bx+ a, x > 2

.

1.17.15 Calcule o limitelimh→0

f (x+ h) − f (x)

h

(a) f (x) = x2 − 2x+ 5

(b) f (x) = x3 + 3

(c) f (x) = sen x

(d) f (x) = cos x

1.17.16 Calcule limx→∞

(√x2 + x− x

).

1.17.17 Use a desigualdade ln x < x, válida para todo x > 0, e mostre que

limx→∞ ln x

x= 0.

2Derivada

2.1 A derivada de uma função num pontoSeja f : [a,b]→ R uma função. Dados a1,b1 ∈ [a,b], a1 < b1, o número

f(b1) − f(a1)

b1 − a1

é chamado de taxa média de variação da função no intervalo [a1,b1]. Em alguns casos, a taxa média devariação recebe outros nomes. Por exemplo, caso a função f represente a posição de um móvel no espaço,em cada instante x, a taxa média de variação é a velocidade média do móvel entre os instantes a1 e b1.

Graficamente:

x

yf

f(a1)

f(b1)

a1 b1

f(b1)−f(a1)

b1−a1

l

[a

]b

Figura 2.1.1

Observe que, os pontos (a1, f(a1)), (b1, f(a1)) e (b1, f(b1)) definem, para b1 > a1, um triânguloretângulo cujas medidas dos dois catetos são exatamente f(b1) − f(a1) e b1 − a1. A reta l, que passa por(a1, f(a1)) e (b1, f(b1)), chamada reta secante ao gráfico de f por esses dois pontos, tem inclinação iguala

f(b1) − f(a1)

b1 − a1;

isto é, a taxa média de variação de f em [a1,b1] é a inclinação da reta secante a f em (a1, f(a1)) e(b1, f(b1)).

92

2.1. A derivada de uma função num ponto 93

Evidentemente, se considerarmos abcissas, b2, b3, b4, . . . arbitrariamente próximas de a1 (porémmaiores que a1) de modo que a1 < . . . < bn < . . . < b4 < b3 < b2 < b1 teremos uma sequência deretas secantes l, l1, l2, l3, . . . tendendo à reta tangente t ao gráfico de f no ponto (a1, f(a1)) que, porsimplicidade, supomos existente.

x

y f

f(a1)

f(b1)

a1 b1b2b3bn...

l3

l2

l1

[a

]b

Figura 2.1.2

Intuitivamente, na situação limite, isto é, quando bn → a1, a taxa média de variação tende à inclinaçãoda reta tangente t no ponto (a1, f(a1)).

Mais precisamente, se t existe (nas condições que abordaremos adiante) e se mt é sua inclinação,então,

mt = limbn→a1

f(bn) − f(a1)

bn − a1,

desde que o limite exista.Analogamente, podíamos ter começado com b1 < a1 e b1 < b2 < . . . < bn < . . . < a1 nos traria a

mesma expressão estabelecida acima.Observe que, fixado a1 = c e considerando bh = c+ h, podemos escrever

limbn→a1

f(bn) − f(a1)

bn − a1= limh→0

f(c+ h) − f(c)

h.

Portanto, se o limite existir, a declividade da reta tangente no ponto (c, f(c)) é

mt = limh→0

f(c+ h) − f(c)

h.

Exemplo 2.1.1

Considere a função real f(x) = 2x2 − 3x + 4. Temosf(1) = 3 e f(3) = 13 e, portanto, a taxa média devariação de f no intervalo [1, 3] é

f(3) − f(1)3 − 1

=102

= 5.

Observe ainda que a equação da reta secante a f pas-sando por (1, 3) e (3, 13) é y = 5x− 2.

1 3

3

13

x

y

Figura 2.1.3

94 2. Derivada

Exemplo 2.1.2Considerando a mesma função do exemplo anterior temos no ponto (1, 3)

mt = limh→0

f(1 + h) − f(1)h

= limh→0

[2 (1 + h)2 − 3 (1 + h) + 4] − [2 · (1)2 − 3 · (1) + 4]h

= limh→0

2 + 4h+ 2h2 − 3 − 3h+ 4 − 2 + 3 − 4h

= limh→0

h+ 2h2

h= limh→0

(1 + 2h) = 1.

Portanto, a inclinação da reta tangente a f em (1, 3) é 1 e sua equação é y = x+ 2.

x

y

f(x)=2x2−3x+4

y=x+2

1

3

Figura 2.1.4

Em conformidade com a noção intuitiva, introduzida nas seções anteriores, apresentamos a seguinte defi-nição.

Definição 2.1.1 Seja f :]a,b[→ R uma função e seja c ∈ ]a,b[. Dizemos que f é diferenciável em c

quando existe o número real

limh→0

f(c+ h) − f(c)

h.

Em caso afirmativo, tal limite é chamado a derivada de f em c e denotado por f ′(c).

A partir de agora, calcularemos o limite definido em 2.1.1 para algumas funções. Tais cálculos serãoutilizados posteriormente para determinar a derivada (no ponto) de iterações e composições destas (etambém) de outras funções. Comecemos então com as funções elementares: a função constante, a funçãoidentidade e a função quadrática, no caso particular f(x) = x2.

Exemplo 2.1.3 (Derivada da função identidade)Considere agora g(x) = x,∀ x ∈ R. Dados c,h ∈ R temos f(c) = c e f(c+ h) = c+ h. Logo,

limh→0

f(c+ h) − f(c)

h= limh→0

�c+ h− �c

h= limh→0

1 = 1.

Portanto, f ′(c) = 1, ∀ c ∈ R.

2.1. A derivada de uma função num ponto 95

Exemplo 2.1.4 (Derivada da função constante)Considere k ∈ R fixado e seja h(x) = k, ∀ x ∈ R. Qualquer que seja c ∈ R temos

c c+h

(0,k) (c,k)(c+h,k)

x

y

Figura 2.1.5

limh→0

f(c+ h) − f(c)

h= limh→0

k− k

h= 0.

Portanto, f ′(c) = 0,∀ c ∈ R.

Exemplo 2.1.5Se f(x) = x2, para cada c ∈ R,

limh→0

f(c+ h) − f(c)

h= limh→0

(c+ h)2 − c2

h= limh→0

��c2 + 2ch+ h2 −��c2

h

= limh→0

h (2c+ h)h

= limh→0

(2c+ h) = 2c.

Portanto, f ′(c) = 2c. Isso significa que a inclina-ção da reta tangente à parábola y = x2 no ponto(c, c2) é 2c.

x

y

f ′(c)=2c

c

c2

Figura 2.1.6

Exemplo 2.1.6Seja agora f a função que cada x ∈ R associa o seu cubo. Isto é, f (x) = x3.Observe que para todos c,h ∈ R vale a igualdade

(c+ h)3 = c3 + 3c2h+ 3ch2 + h3

e, portanto,

limh→0

f (c+ h) − f (c)

h= limh→0

3c2h+ 3ch2 + h3

h

= limh→0

[3c2 + 3ch+ h2] = 3c2.

Assim, podemos afirmar que f ′ (c) = 3c2.

x

y

c

c3

x3

Figura 2.1.7

96 2. Derivada

Em cada um dos exemplos anteriores, observe que a escolha da abcissa c foi arbitrária. Assim, doExemplo ??, decorre que a derivada da função f (x) = x3 em c = 2 é f ′ (2) = 12, em c = −1 é f ′ (−1) = 3,em c = 0 é f ′ (0) = 0 e em c =

√2

2 é f ′(√

22

)= 3

2 . Retomaremos a discussão a respeito das consequênciasde termos encontrado a derivada de f numa abcissa c arbitrária (e não em um número real fixado) emoutros momentos no decorrer deste texto. Uma função f é diferenciável quando existe a derivada em cadaponto c de seu domínio.

2.2 Exercícios

2.2.1 Encontre a taxa média de variação da função f no instante dado. Em cada caso, determine aequação da reta secante ao gráfico de f no intervalo.

(a) f(x) = 2x− 3 [2, 4]

(b) f(x) = x2 + 1 [1, 2]

(c) f(x) = x2 + 2x [2, 5]

(d) f(x) = 2x2 − 4x+ 3 [1, 3]

(e) f(x) = 1 − 4x2 [1/2, 1]

(f) f(x) = sen x [π6 , π2 ]

(g) f(x) = 2x [0, 2]

(h) f(x) = ln x [1, e]

2.2.2 Seja f uma função real e seja a,b ∈ Df com a 6= b. Mostre que a equação da reta secante aográfico de f nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) é:

y =f(b) − f(a)

b− ax+

bf(a) − af(b)

b− a.

2.2.3 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. Faça um esboço representandoo gráfico de f e sua reta tangente no plano cartesiano.

(a) f(x) = 4x+ 3 (− 12 , 1)

(b) f(x) = 2x2 + 1 (1, 3)

(c) f(x) = x2 − 2x+ 1 (1, 0)

(d) f(x) = x2 − 2x+ 1 (2, 1)

(e) f(x) =x2

2−

32

(1,−1)

(f) f(x) = x3 (1, 1)

(g) f(x) = x3 (0, 0)

(h) f(x) = 1 − 2x2 (√

22 , 0)

2.2.4 Se uma partícula tem movimento ao longo de uma reta s, à partir da posição inicial s0, observadano instante t0, e atinge a posição s1, no instante t1, a sua velocidade média é vm = s1−s0

t1−t0e a sua velocidade

instantânea em t0 é v = limt1→t0

s1 − s0

t1 − t0. Considere os números vm e v e os compare, respectivamente, com

as inclinações das retas secantes em (t0, s0) e (t1, s1) e tangente em (t0, s0) ao gráfico da função posiçãos = s (t).

Encontre (i) vm, (ii) v (em t0) e esboce o gráfico da função s = s (t), da reta secante e da reta tangenteno casos:

(a) s (t) =

{t2 + 1 1 6 t < 33t+ 1 t > 3t0=1, t1=2

(b) s (t) =

{2t2 − 2t− 3 2 6 t < 44t+ 9 t > 4t0=2, t1=3

2.2. Exercícios 97

2.2.5 Uma partícula em movimento tem como gráfico da função posição relativamente ao tempo a curva:

t

s

s=s(t)

t1 t2 t3 t4ct0=0

(a) Explique o que ocorre com a velocidade da partícula nos instantes t1, t2, t3 e t4. Qual é a maior e quala menor entre elas?

(b) O que ocorre com a velocidade da partícula na origem?

(c) O que ocorre com a velocidade para t < c? E para t > c?

2.2.6 Uma partícula se move em função do tempo de acordo com a função s (t) = t2 + 5t+ 3, t > 0.

(a) Com que velocidade a partícula sai do repouso?

(b) Qual é a velocidade média da partícula entre os instantes t = 3 e t = 7.

(c) Qual é a velocidade instantânea em t = 3?

(d) Qual é a velocidade instantânea em t = 5?

(e) Faça um esboço do gráfico de s = s (t).

(f) Como seria o gráfico da função de v = v (t).

2.2.7 Se uma partícula se move de acordo com a função s = s (t) então, no instante t, a velocidade

instantânea é (caso tal limite exista) v (t) = limh→0

s (t+ h) − s (t)

h= limt1→t

s (t1) − s (t)

t1 − t.

(i) Encontre a função velocidade nos casos:

(a) s (t) = t2 + 1

(b) s (t) = 3t+ 1

(c) s (t) = 2t2 − 2t− 3

(d) s (t) = 4t+ 9

(e) s (t) = 5

(f) s (t) = t2 + 5t+ 3

(ii) Sabendo que a aceleração no instante t é a (t) = limh→0

v (t+ h) − v (t)

hencontre a (t) em cada caso

do item (i).

2.2.8 Considere a função g (x) = ln x, definida para todo x > 0. Use a definição de derivada e mostreque g é diferenciável em 1 se, e somente se, existe o limite

limh→0

ln (1 + h)1h

2.2.9 Utilize a Definição 2.1.1 a fim de encontrar a derivada de cada uma das funções em uma abcissac do domínio:

(a) f(x) = x− 3

(b) f(x) = 3x+ 2

(c) f(x) = x2 + 1

(d) f(x) = x2 − 2x

(e) f(x) = 2x2 − 3

(f) f(x) = 2x2 − x+ 2

98 2. Derivada

(g) f (x) = 3

(h) g (x) = −5

(i) f (x) = −5x

(j) h (t) = 5 − 32t

(k) f (x) = 7 + 23x

(l) y = 3x2 + x− 1

(m) y = 2x3 − x2

(n) f (x) =1

x− 1

(o) f (x) =1x2

(p) f (x) =√x+ 2

(q) y =1

2√x

(r) y (t) =1t

2.2.10 Considere a função f(x) = sen x, com x em radianos. Utilize a relação

sen (c+ h) = sen c cosh+ senh cos c

a fim de mostrar que f ′(c) = cos c para cada c ∈ R.

2.2.11 Seja f(x) =

{x2 + 1, se x 6 1x+ 1, se x > 1

e considere c = 1.

Observe que para h < 0, 1 + h < 1 e para h > 0, 1 + h > 1 e, através da notação de limites laterais(vista na seção 1.3) verifique que a derivada de f em c = 1 não pode existir.2.2.12 Repita o procedimento descrito no exercício anterior a fim de mostrar que a função f(x) = |x| nãopode ser diferenciável em c = 0.2.2.13 (Este exercício exige o uso de uma calculadora científica) Considere a função f (x) = ex.

(a) Use a definição de derivada e mostre que f é diferenciável em c, se, e somente se, existe o limite

limh→0

eceh − 1h

.

(b) Conclua que, o limite em (a) existe quando existe

limh→0

eh − 1h

.

(c) Considere a função R (h) =eh − 1h

, definida para todo h 6= 0. Use uma calculadora a fim de determinarR (h) para h dado, completando a tabela abaixo:

h R (h) = eh−1h

−0, 5 R (−0, 5) =

−0, 1 R (−0, 1) =

−0, 001 R (−0, 001) =

+0, 00001 R (0, 00001) =

0, 01 R (0, 01) =

0, 1 R (0, 1) =

(d) Intuitivamente, o que ocorre com R (h) quando h se aproxima de zero?

2.2.14 Considere g (x) = cos x. Mostre que, para todo c ∈ R, g ′ (c) = − sen c.2.2.15 Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto P especificado.Esboce a curva e a reta tangente em P. (Lembre-se: a equação da reta que tem declividade m e passa porP = (x0,y0) é y = m (x− x0) + y0).

2.2. Exercícios 99

(a) f (x) = 3 − 2x P = (−1, 5)

(b) f (x) = 2x2 − 4 P = (1,−2)

(c) f (t) = 3t− t2 P = (−2,−2)

(d) f (x) = 4 − x2 P = (2, 0)

(e) f (x) =32x+ 1 P = (−2,−2)

(f) f (t) = t2 + 3 P = (−2, 7)

2.2.16 Encontre uma reta tangente ao gráfico de f que seja paralela à reta r dada:

(a) f (x) = x2 r : 2x− y+ 1 = 0

(b) f (x) = x3 + 4 r : 3x− 2y+ 4 = 0

(c) f (x) =1

2√x

r : x+ 3y− 3 = 0

(d) f (x) =1√x+ 2

r : x+ 2y− 2 = 0

2.2.17 Determine uma função f que tenha as características dadas. A seguir, apresente um esboço dográfico de f.

(a) f (0) = 3, f ′ (x) = −2, ∀x ∈ R (b) f (1) = 2, f ′ (1) = 3, f ′′ (x) = 1, ∀x ∈ R

2.2.18 Considere a função g (x) = ln x, definida para todo x > 0.

(a) Use a continuidade da função logarítimica, conclua que g é difenciável em 1 quando existe

limh→0

(1 + h)1h .

(b) Considere S (h) = (1 + h)1h , definida para todo h ∈ (−1, 1). Use uma calculadora científica e complete

as lacunas da tabela abaixo.

h S(h) = (1 + h)1h lnS(h)

−0, 5 S(−0, 5) =−0, 1 S(−0, 1) =

−0, 00001 S(−0, 00001) =0, 00001 S(0, 00001) =

0, 01 S(0, 01) =0, 5 S(0, 5) =

(c) Intuitivamente, o que ocorre com ln S(h) quando h se aproxima de 0? E com S(h)?

2.2.19 A função é diferenciável em x = 0?

(a) f(x) = |x|

(b) f(x) = x|x|

(c) f(x) = x2|x|

(d) f(x) = x3|x|

100 2. Derivada

2.3 A Função DerivadaNesta seção juntaremos os resultados que caracterizam a noção de derivada. O primeiro deles, que seráutilizado com frequência em demonstrações posteriores, é que a diferenciabilidade implica na continuidadeda função.

Teorema 2.3.1 Considere c ∈ R e f uma função definida em um intervalo aberto que contém c. Se f éderivável em c, então f é contínua em c.

Demonstração : Como f é diferenciável em c, existe o limite

limh→0

f (c+ h) − f (c)

h= f ′ (c) .

Queremos mostrar que f é contínua em c, ou seja, que limx→c

f (x) = f (c). Escrevendo x = c+h, basta mostrarque lim

h→0f (c+ h) = f (c). Agora

limh→0

f (c+ h) = limh→0

[f (c+ h) − f (c) + f (c)]

= limh→0

[hf (c+ h) − f (c)

h+ f (c)

]=

(limh→0

h

)·(

limh→0

f (c+ h) − f (c)

h

)+ f (c)

= 0 · f ′ (c) + f (c) = f (c) .

A noção de que a diferenciabilidade de uma função f em uma abcissa c implica na continuidade de f emc é das mais importantes no cálculo diferencial e integral e será, com frequência, utilizada na demonstraçãode resultados posteriores. Por outro lado, revendo afirmações e exemplos feitos anteriormente, temos agoraum argumento poderoso. De fato, da arbitrariedade de c nos Exemplos 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6 e nosExercícios 2.2.10 e 2.2.14, por exemplo, temos a justificativa do fato de f(x) = k, f(x) = x, f(x) = x2,f(x) = x3, f(x) = sen x e f(x) = cos x serem funções contínuas, já que são diferenciáveis em c, para todoc ∈ R.

Vale ressaltar que não vale a recíproca para o Teorema 2.3.1. A função valor absoluto de x, f(x) = |x|,definida para todo x ∈ R, é obviamente contínua e, em particular, contínua em c = 0. No entanto, não

existe o limite limh→0

f(0 + h) − f(0)h

(verifique!) e, portanto, f(x) = |x| não é diferenciável em c = 0.

A operação de encontrar a derivada de uma função numa abcissa c fixada conta ainda com as seguintespropriedades operatórias.

Teorema 2.3.2 Sejam c, k ∈ R e sejam f e g funções diferenciáveis em x = c. Então:

(i) [kf] ′ (c) = k [f ′ (c)] oud

dx(kf) (c) = k

d

dxf (c)

(ii) [f± g] ′ (c) = f ′ (c)± g ′ (c) oud

dx(f± g) (c) = d

dxf (c)± d

dxg (c)

(iii) [fg] ′ (c) = f ′ (c)g (c) + f (c)g ′ (c) oud

dx(fg) (c) =

(d

dxf (c)

)g (c) + f (c)

d

dxg (c)

(iv)[f

g

] ′(c) =

f ′ (c)g (c) − f (c)g ′ (c)

[g (c)]2ou

d

dx

(f

g

)(c) =

(d

dxf (c)

)g (c) − f (c)

d

dxg (c)

[g (c)]2

desde que g (c) 6= 0

2.3. A Função Derivada 101

Demonstração : Temos

f ′ (c) = limh→0

f (c+ h) − f (c)

he g ′ (c) = lim

h→0

g (c+ h) − g (c)

h.

Logo,

(i) limh→0

[kf] (c+ h) − [kf] (c)

h= limh→0

kf (c+ h) − f (c)

h= k lim

h→0

f (c+ h) − f (c)

h= kf ′ (c) .

(ii) limh→0

[f± g] (c+ h) − [f± g] (c)h

= limh→0

[f (c+ h)± g (c+ h)] − [f (c)± g (c)]h

= limh→0

[f (c+ h) − f (c)

h± g

(c+ h) − g (c)

h

]= f ′ (c)± g ′ (c) .

(iii) limh→0

[fg] (c+ h) − [fg] (c)

h= limh→0

f (c+ h)g (c+ h) − f (c)g (c)

h

= limh→0

f (c+ h)g (c+ h) − f (c)g (c+ h) + f (c)g (c+ h) − f (c)g (c)

h

= limh→0

[f (c+ h) − f (c)

hg (c+ h) + f (c)

g (c+ h) − g (c)

h

]= f ′ (c)g (c) + f (c)g ′ (c) .

(Observe que, na última igualdade acima, utilizamos o fato de g ser contínua em c).

(iv) limh→0

[f

g

](c+ h) −

[f

g

](c)

h= limh→0

f (c+ h)

g (c+ h)−f (c)

g (c)

h

= limh→0

f (c+ h)g (c) − g (c+ h) f (c)

hg (c+ h)g (c)

= limh→0

f (c+ h)g (c) − f (c)g (c) + f (c)g (c) − f (c)g (c+ h)

hg (c+ h)g (c)

= limh→0

[f (c+ h) − f (c)

h· g (c)

g (c+ h)g (c)−

f (c)

g (c+ h)g (c)· g

(c+ h) − g (c)

h

]= f ′ (c)

g (c)

[g (c)]2−

f (c)

[g (c)]2g ′ (c)

=f ′ (c)g (c) − f (c)g ′ (c)

[g (c)]2.

Do Exemplo 2.1.5 temos que, se f(x) = x2 então, para todo c ∈ R, f ′(c) = 2c. Assim, se

f2(c) = 2.[f′1(c)

]= 4c

.Ainda, se g(x) = 5x2 + 3 então, dos itens (i) e (ii) do Teorema 2.3.2:

g ′(c) = 5f′1(c) +

d(3)dx

= 5[2c] = 10c.

Do Exercício 2.2.10, se h(x) = sen x então, para todo c ∈ R, h ′(c) = cos c. Logo, por exemplo seϕ(x) = x2 sen x e ψ(x) =

sen x5x2 + 3

então:

ϕ ′(c) = 2c sen c+ c2 cos c e ψ ′(c) =(5c2 + 3) cos c− 10c sen c

(5c2 + 3)2

Para que a função y = f (x) seja diferenciável em uma abcissa c do seu domínio é necessário e suficienteque exista o limite

limh→0

f (c+ h) − f (c)

h. (2.3.0)

102 2. Derivada

Quando tal limite existe o chamamos de f ′ (c) ou ainda dedf

dx

∣∣∣∣x=c

. Nas mesmas condições diremos

que a função f é diferenciável quando o limite dado em 2.3 existe para todo c pertencente ao domínio

de f. Em outras palavras, f é diferenciável quando limh→0

f (x+ h) − f (x)

hexiste para todo x ∈ Df. Caso o

limite exista, escrevemosd

dxf(x) ou f ′ (x) para representá-lo e indicar a função derivada primeira de f.

Exemplo 2.3.1As funções h (x) = k, g (x) = x, f (x) = x3 são diferenciáveis. De fato, da arbitrariedade da abcissa

c nos Exemplos 2.1.4, 2.1.3 e 2.1.6 temos que f, g e h são diferenciáveis ∀ c ∈ R e, portanto, podemosescrever, de acordo com os resultados obtidos,

d

dxk = 0,

d

dxx = 1 e

d

dxx3 = 3x2.

Evidentemente, podemos ainda afirmar, pelo Exemplo 2.1.5 qued

dx

(x2)= 2x. Mais geralmente, temos

o seguinte resultado:

Proposição 2.3.1. Para todo n ∈ N,d

dx(xn) = nxn−1.

Demonstração : Seja h ∈ R. O binômio de Newton nos garante a igualdade

(x+ h)n =

(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + · · ·+

(n

n− 1

)xhn−1 +

(n

n

)hn,

onde(n

p

)=

n!p! (n− p)!

(e, portanto,(n

0

)=

(n

n

)= 1 e

(n

1

)=

(n

n− 1

)= n).

Assim,

(x+ h)n − xn = h

[nxn−1 +

(n

2

)xn−2h+ · · ·+ xhn−1 + hn−1

].

Logo,

limh→0

(x+ h)n − xn

h= limh→0

1hh

[nxn−1 +

(n

2

)xn−2h+

(n

3

)xn−3h2 + · · ·+ hn−1

]= limh→0

[nxn−1 +

(n

2

)xn−2h+ · · ·+ hn−1

]= nxn−1

Exemplo 2.3.2A Proposição 2.3.1, juntamento com o Teorema 2.3, nos garante:

(a)d

dx

(7x2 − 3x+ 4

)= 7

d

dx

(x2)− 3

d

dx(x) +

d

dx(4) = 14x− 3

(b)d

dx

(12x− 5

)=

12

(c)d

dx

[√2x3 +

√3x2]= 3√

2x2 + 2√

3x

(d)d

dx

[−5x4 + 3x2 − 1

]= −20x3 + 6x

(e)d

dx(3x− 5)4 = 4 (3x− 5)3 · 3 = 12 (3x− 5)3


(f)d

dx

(12x3 + 1

)6

= 6 · 32x2(

12x3 + 1

)5

Em geral, toda função polinomial p :R−→R, p (x) = anxn+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0 é diferenciável.

O próximo resultado, chamado a Regra da Cadeia, diz respeito à operação entre funções omitida noTeorema 2.3.2, a saber, a composição entre funções. Devida ao matemático alemão Gottfried Leibniz, aRegra da Cadeia torna possível obter, de modo relativamente simples, a derivada de uma composição apartir de um produto.

Teorema 2.3.3 Sejam f : I−→R e g : J−→R funções, onde I, J são intervalos abertos da reta real comf(I) ⊂ J Suponha f diferenciável em c ∈ I e g diferenciável em d = f (c) ∈ f (I). Então, a composta

g ◦ f : I −→ Rx 7−→ (g ◦ f)(x) = g(f(x))

é diferenciável em c. Além disso,

(g ◦ f) ′ (c) = g ′ (f (c)) · f ′ (c) . (2.3.0)

Demonstração : Para ilustrar uma demonstração suporemos f(I) um conjunto aberto. Como f é diferenciávelem c e g é diferenciável em d, existem os limites

limx→c

f (x) − f (c)

x− c= f ′ (c) e lim

y→d

g (y) − g (d)

y− d= g ′ (d) .

Defina a função G : J−→R pondo

G (y) =

g (y) − g (d)

y− d, se y 6= d

g ′ (d) , se y = d.

Temoslimy→d

G (y) = limy→d

g (y) − g (d)

y− d= g ′ (d) = G (d)

e, portanto, G é contínua em d. Como f é contínua em c e d = f (c), temos ainda

limx→c

G (f (x)) = G (f (c)) .

Da definição de G temosg (y) − g (d) = G (y) (y− d) . (2.3.0)

(observe que, para y = d ambos os membros se anulam)Fazendo y = f (x) , d = f (c), dividindo ambos os membros de 2.3 por x − c e passando o limite x→ c

temos

limx→c

g (f (x)) − g (f (c))

x− c= limx→c

[G (f (x))

f (x) − f (c)

x− c

]= limx→c

G (f (x)) · limx→c

f (x) − f (c)

x− c

= G (f (c)) · f ′ (c)= G (d) · f ′ (c)= g ′ (d) · f ′ (c)

Então,

limx→c

(g ◦ f) (x) − (g ◦ f) (c)x− c

= g ′ (f (c)) · f ′ (c) ,

o que mostra que g ◦ f é diferenciável em c.

104 2. Derivada

Assim se f é diferenciável em c, da Regra da Cadeia decorre imediatamente que

d

dx[f (x)]2

∣∣∣∣x=c

= 2f (c) · f ′ (c) .

Já no caso em que f é diferenciável em c2,

d

dx

[f(x2)]∣∣∣∣

x=c

= f ′(c2) · 2c.

É conveniente verificar que a quantidade de funções (diferentes da identidade) envolvidas na composi-ção, funções estas que chamaremos elos da cadeia, é igual ao número de fatores utilizados na obtenção daexpressão da derivada procurada. Isso é interessante no momento de estender a regra para cadeias commais elos. Por exemplo, nas condições adequadas,

(h ◦ g ◦ f) ′ (c) = h ′ (g (f (c))) · g ′ (f (c)) · f ′ (c)

(por “condições adequadas” leia-se f é diferenciável em c, g diferenciável em f (c) e h diferenciável emg (f (c)) com Dh ⊂ Im (g) e Dg ⊂ Im (f).

Nos exemplos que seguem, utilizaremos de modo natural a extensão da Regra da Cadeia a mais quedois fatores sempre que necessário.Exemplo 2.3.3

Determine todos os pontos no gráfico de f (x) =(x3 − 1

)4 nos quais a derivada se anula.Evidentemente, f é uma função polinomial de grau 12. Mas o trabalho braçal de obter o polinômio

de modo explícito, além de maçante, acarreta, com a expansão da expressão, a perda da forma fatorada,que auxilia o cálculo das raízes da derivada (que também é polinomial).

Da Regra da Cadeia temos, para todo c ∈ R,

f ′ (c) = 4(c3 − 1

)3 · 3c2 = 12c2 (c3 − 1)3

.

Assim f ′ (c) = 0 ⇐⇒ c2 = 0 ou c3 − 1 = 0 ⇐⇒ c = 0 ou c = 1. Como f (0) = 1 e f (1) = 0, osúnicos pontos do gráfico de f nos quais a derivada se anula são (0, 1) e (1, 0).

Proposição 2.3.2.d

dx[sen x] = cos x

Demonstração : Devemos calcular o limite

limh→0


.

Observe que este limite já foi proposto em exercícios anteriores. Da igualdade

sen (x+ h) = sen x cosh+ senh cos x

podemos escreversen (x+ h) − sen x = sen x [cosh− 1] + senh cos x.

Portanto,

limh→0


= limh→0

[sen x

cosh− 1h

+senhh

cos x]

Comolimh→0

cosh− 1h

= 0 e limh→0

senhh

= 1

temoslimh→0


= cos x.


O resultado acima nos leva a crer que a derivada do cosseno segue um padrão semelhante. De fato,podemos calcular

limh→0

cos (x+ h) − cos xh

e verificar qued

dxcos x = − sen x (Ver Exercício 2.4.6). Mas é simples verificar que, ∀x ∈ R,{

sen x = cos(π2 − x

)cos x = sen

(π2 − x

)e, pela Regra da Cadeia,

d

dxsen

(π2− x)= cos

(π2− x)· ddx

(π2− x)

.

Logo,d

dxcos x = − cos

(π2− x)= − sen x,

o que nos garante a proposição seguinte.

Proposição 2.3.3.d

dxcos x = − sen x

Usando as proposições anteriores e os resultados obtidos nos Teoremas 2.3.2 e 2.3.3, temos:Exemplo 2.3.4

Se f (x) = tg x então, para cada c 6= π2 + kπ, com k ∈ Z,

d

dxtgx = sec2x

Temos tg x =sen xcos x

. Logo, para qualquer c 6= π2 + kπ,

d

dx(tg c)

∣∣∣∣x=c

=

d

dx(sen c)

∣∣∣∣x=c

· cos c− sen c · ddx

(cos c)∣∣∣∣x=c

cos2 c

=(cos c) cos c− sen c · (− cos c)

cos2 c

=1

cos2 c= sec2 c.

Exemplo 2.3.5A função f (x) = 3x3 + 2x2 sen(x) é derivável para todo c ∈ R. De fato, temos, ∀ c ∈ R,

f ′ (c) = 3d

dx

(x3)∣∣∣∣

x=c

+ 2d

dx

(x2 sen x

)∣∣∣∣x=c

= 3(3c2)+ 2

(2c sen c− c2 cos c

)= 9c2 + 4c sen c− 2c2 cos c.

Exemplo 2.3.6Observe que, dadas as funções f (x) = x2 e g (x) = sen(x), definidas para todo x ∈ R temos

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = sen2(x) e (g ◦ f) (x) = g (f (x)) = sen(x2)

106 2. Derivada

Assim, qualquer que seja c ∈ R,

d

dx

(sen2 x

)∣∣∣∣x=c

= 2 sen c︸︷︷︸f ′(senc)

· cos c︸︷︷︸g ′(c)

ed

dx

(sen x2)∣∣∣∣

x=c

= cos c2︸︷︷︸g ′(c2)

· 2c︸︷︷︸f ′(c)

.

Exemplo 2.3.7Dada a função ϕ (x) = tg

√x2 + 1, determine ϕ ′ (2).

Observe que ϕ pode ser obtida à partir da composição de 3 funções. A função polinomial f, quea cada x associa f (x) = x2 + 1; a função raiz quadrada que leva y > 0 em g (y) =

√y e a função

tangente, h (z) = tg z Já temos que f é diferenciável em c, ∀c ∈ R, g é diferenciável em y0, ∀y0 > 0 eh é diferenciável em θ, ∀θ 6= π

2 + kπ, com k ∈ ZAlém disso, como c2 + 1 > 0, supondo

√c2 + 1 6= π

2 + kπ (k ∈ Z),

ϕ ′ (c) = (h ◦ g ◦ f) ′ (c) = h ′ (g (f (c))) · g ′ (f (c)) · f ′ (c)

= sec2√c2 + 1 · 1

�2√c2 + 1

�2c

=c√c2 + 1

sec2√c2 + 1

Em particular , se c = 2 temos ϕ ′ (2) = 2√

55 sec2

√5 ≈ 2, 35.

Do mesmo jeito que definimosd

dxf(x) = f ′(x) como função derivada primeira de f, derivando mais

vezes em relação a x obtemos a função derivada segunda:

d

dx

[d

dxf(x)

]=d2

dx2 f(x) = f′′(x);

a função derivada terceira:

d

dx

[d2

dx2 f(x)

]=d3

dx3 f(x) = f′′′(x) = f(3)(x).

Mais geralmente, sedn

dxnf(x) = f(n)(x)

é a derivada enésima de f em x então, derivando mais uma vez em relação a x, obtemos:

d

dx

[dn

dxnf(x)

]=d(n+1)

dx(n+1) f(x) = f(n+1)(x)

a derivada (n+ 1)-ésima de f em x. Usaremos naturalmente ambas as notações

dn

dxnf(x) (lê-se: "d ene, dx ene f(x)")

devida a Leibniz, e

f(n)(x) (lê-se: "f ene linhas")

referência à notação de fluxão de Newton, para a derivada enésima de f em relação a x. Observe que

f ′(x) = f(1)(x), f ′′(x) = f(2)(x), f ′′′(x) = f(3)(x)

e, como a partir de três traços agrupados a visualização fica comprometida denotaremos apenas por

f(4), f(5), . . .

a quarta, quinta e demais derivadas de f em relação a x na segunda notação. É possível escrever aindaf(0)(x) = f(x).


Exemplo 2.3.8

Seja y =x5

4−

23x4 + 5x3 − 3x2 + x−

27.

Temos:

y ′ =54x4 −

83x3 + 15x2 − 6x+ 1

y ′′ = 5x3 − 8x2 + 30x− 6

y ′′′ = 15x2 − 16x+ 30

y(4) = 30x− 16

y(5) = 30

y(6) = 0

y(7) = y(8) = . . . = 0

Se y é uma função polinomial de grau n > 1 então y(n+1) (e todas as demais derivadas à partir desta)será a função identicamente nula.

Exemplo 2.3.9Se (0) f(x) = sen x temos, das Proposições 2.3.2 e 2.3.3,

(1)d

dxf(x) = cos x

(2)d2

dx2 f(x) =d

dxcos x = − sen x

(3)d3

dx3 f(x) =d

dx[− sen x] = − cos x

(0)d4

dx4 f(x) =d

dx=d

dxsen x = cos x

(1)d5

dx5 f(x) =d

dxsen x = cos x

e assim por diante. Não há dificuldade em observar que as derivadas em (0), (1), (2), (3) se repetirãoem um ciclo de período 4.

Assim dado n ∈ N, para obterdn

dxnsen x

(ou

dn

dxncos x

)basta escrever n = 4q + r, r = 0, 1, 2,

ou 3, e verificar quedn

dxnsen x =

dr

dxrsen x

(e,dn

dxncos x =

dr

dxrcos x

).

Exemplo 2.3.10Para a função f(x) = x sen x, x ∈ R,

f ′ (x) = sen x+ x cos x,f ′′ (x) = 2 cos x− x sen x,f ′′′ (x) = −3 sen x− x cos x,

f(4) (x) = −4 cos x+ x sen x.

108 2. Derivada

Exemplo 2.3.11

Temosd

dx(tg x) = sec2x, já que tg x =

sen xcos x

. Logo, obtemosd2

dx2 (tg x) = 2sec2x · tg x, aplicandoa Regra da Cadeia. (Ver Exercício 2.4.2)

Em sequência, temos ainda,

d3

dx3 (tg x) = 4sec2x · tg2x+ 2sec2x

= 2sec2x(sec2x+ 2tg2x

)= 2sec2x

(3sec2x− 2

)= 6sec4x− 4sec2x.

No capítulo 3 mostraremos algumas aplicações da função derivada (principalmente da primeira e dasegunda derivadas) de uma função.

Exemplo 2.3.12

(a)d

dx

[x2 − 5 sen x+

12

cos x− 1]= 2x− 5 cos x−

12

sen x

(b)d

dx[sen (2x)] = 2 cos (2x)

(c)d

dx

[cos x2

]=[− sen x2

] ddx

(x2)= −2x sen x2

(d)d

dx

[sen2 x

]= 2 sen x cos x

(e)d

dx

[x2 sen x2

]= 2x sen x2 + x2 d

dx

[sen x2

]

(f)d

dxtg x =

d

dx

(sen xcos x

)=

[d

dxsen x

]cos x− sen x

[d

dxcos x

]cos2 x

=cos2 x+ sen2 x

cos2 x=

1cos2 x

= sec2 x

(g)d

dxtg(1 + x2

)= 2x sec2 x

(h)d

dx

[15(x− cos x)2 + tg x

]=

25(x− cos x) (1 + sen x) + sec2 x

2.4 Exercícios

2.4.1 Utilize as propriedades do Teorema 2.3.2 a fim de calculardy

dx.

(a) y = 4 − 7x2

(b) y = 3

(c) y = 5 − 3√x

(d) y =13(x2 − 4x+ 1

)(e) y =

x3 − 13

(f) y = x4 (2x− 1)


(g) y =x2 − 12x+ 2

(h) y =sen xx2 + 1

(i) y = x sen x

(j) y = x2 sen x

(k) y = x tg x

(l) y =x+ 1x+ 2

(m) y = 5x− 7x2 sen x

(n) y =(x+ x2

)sen x

(o) y =x

x2 + 1

(p) y =x2 − 1x2 + 1

(q) y = 3x3 cos x+ 1

(r) y = 7x2√x− 2

(s) y = 4 3√x (x+ 1)

(t) y =x+ 1x2 − 1

(u) y = sen x sec x

2.4.2 Utilize a Regra da Cadeia (Teorema 2.3.3) e calculedy

dx.

(a) y = (2x− 1)2

(b) y = sen x2

(c) y = sen2 x

(d) y =(x2 − x+ 5

)4

(e) y = tg(x2 + 1

)

(f) y = tg2 (4x)

(g) y = sec (2x+ 1)

(h) y = e3x

(i) y = sen(ex

2)

(j) y = esenx2

(k) y = ln (x+ 1)

(l) y = ln (sen x)

(m) y = ex2

(n) y = 2x2

(o) y = 16(x3 − 3

)4

2.4.3 Seja g (x) = sen x, −π2 < x <π2 . Esboce o gráfico de y = g (x) e verifique que g :

]−π2 , π2

[−→ ]−1, 1[

é bijetora (de fato, se considerarmos os intervalos fechados, g ainda será bijetora). Portanto, g admiteuma função inversa g−1 : ]−1, 1[−→

]−π2 , π2

[que chamamos arco seno. Denotando por θ = arcsen x temos

θ = arcsen x⇐⇒ sen θ = x.Mostre que

d

dxarcsen x =

1√1 − x2

, x ∈ ]−1, 1[ .

2.4.4 A função h (x) = ex é sempre crescente e assume imagens no intervalo (0,+∞) (esboce o gráfico).Logo, h :R−→ (0,+∞) é bijetora e admite inversa h−1 : (0,+∞)−→R, chamada logaritmo natural (ouneperiano). Denotando por y = ln x o logaritmo de x, temos y = ln x⇐⇒ ey = x.

Use a igualdaded

dx(ex) = ex e verifique que:

d

dxln x =

1x

.

2.4.5 Calcule:

(a)d

dxarctg x2

(b)d

dxearcsenx

(c)d

dxln ex

(d)d

dxxarctgx

(e)d

dxxx

(f)d

dttln t

(g)d

dtln tt

(h)d

dθarctg θθ

(i)d

dyyy

2

(j)d

dxxx

x

(k)d

dtarcsen

(t3 − 1

)(l)

d

dteln t

(m)d

dxln (tg x)

(n)d

dytg (lny)

(o)d

dxcotg

(ex

3+ 1)

2.4.6 Seja f (x) = tg x, −π2 < x < π2 . Esboce o gráfico de y = f (x) e verifique que f :

]−π2 , π2

[−→ R

é bijetora. Portante f admite uma função inversa f−1 :R −→]−π2 , π2

[que chamaremos arco tangente.

Observe que, denotando θ = arctgy o arco tangente de y, temos

θ = arctgy⇐⇒ tg θ = y.

110 2. Derivada

Utilize a Regra da Cadeia e mostre que

d

dxarctg x =

1x2 + 1

.

2.4.7 Para −1 < x < 1 é possível definir a função

y = arcsec x

pondo arcsec x⇐⇒ secy = x, com −π

2< x <

π

2. Determine

d

dxarcsec x.

2.4.8 O custo da fabricação de x unidades de milhar de um certo eletrodoméstico é dado pela função

c (x) = 300

(1

(2x+ 1)2 +x

x+ 100

), x > 0.

Aqui o custo também é medido em unidades de milhar. Quais as taxas de variação do custo em relação ax (tais taxas são chamadas custos marginais) quando:

(a) x = 5 (b) x = 10 (c) x = 15 (d) x = 20

2.4.9 Dois objetos de massas m1 e m2, a uma distância máxima x um do outro, exercem mutuamente

uma força F dada por F (x) = Gm1m2

x2 , onde G é a constante gravitacional. CalculedF

dx.

2.4.10 A função f (x) =x√

4x+ 1possui retas tangentes horizontais.

2.4.11 Sobre a curvax2

9+y2

4= 1 movimenta-se uma partícula no plano.

(a) Encontredy

dx.

(b) Qual a equação da reta tangente no ponto(

3√

22 ,√

2)?

(c) Represente graficamente a trajetória da partícula e as retas tangentes indicadas em (b).

2.4.12 Encontredy

dx.

(a) x2 + y2 = 1

(b)√x+√y = 1

(c) x2 − y2 = 1

(d) 3xy2 + 2x2y = 3

(e) x2 + 2xy+ y2 = 2

(f) xy = x3 + y2

(g) 3√x = x2y+ 5x

(h)√xy = x+ y

(i) ex2+y2= x

(j) sen (xy) + cos (xy) = x

(k) y = arctg (xy)

(l) 2 sen x cosy = 1

(m) sen2 x+ cos2 y = 1

(n) xy = sen(

1x

)(o) cotgy = x+ y

2.4.13 Na Proposição 2.3 provamos que se n é um inteiro positivo entãod

dxxn = nxn−1. Mostre que a

propriedade vale para todos os inteiros.2.4.14 Verifique que se q > 2,[

(x+ h)1q

] [(x+ h)

(q−1)q + (x+ h)

(q−2)q x

1q + ... + x

(q−1)q

]= h

.Conclua que


d

dxx

1q =

1qx

1q−1, para todo q > 2.

2.4.15 Utilize a Regra da Cadeia e mostre que se n ∈ Q entãod

dx(xn) = nxn−1.

Sugestão: Se n ∈ Q\Z então existem p,q ∈ Z, primos entre si, com q > 2 tais que n = pq

. Logo xn = (x1q )

p

)

2.4.16 Utilize diferenciação implícita e mostre qued

dx(xn) = nxn−1, para todo n ∈ R.

(Sugestão: Se y = xn então lny = n lnx)

2.4.17 Utilize a Regra da Cadeia e as demais propriedades da derivada, encontredy

dxse:

(a) 2xy2 − x2y+ 3x− y = 0

(b) x2 + y2 = 4

(c) x23 + y

23 = 4

(d) y2(4 − x2) = (x2 + 4y− 4)2

(e) (x2 + y2 − 4x)2 = 16(x2 + y2)

(f) (x2 + y2)2 − 8(x2 − y2) + 15 = 0

(g) y2 =x3

4 − x

(h) (x− 1)2(x2 + y2) = 4x2

(i) y4 = x4 + 2y2 + x2 = 0

(j) x3 + y3 = 6xy

(k) x2 − 4y2 = 4

(l) y2(x2 + y2) = 4x2

(m) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2)

(n) (x2 + y2 − 4x)2 = x2 + y2

(o) y3 = 2x2

(p) y3 = 5(2 − x)4x2

(q) (2 + x)y2 = (2 − x)x2

(r) x2y+ 2y = 4x

(s) (2 + x)y2 = (6 − x)x2

(t) 6y2 = (x− 2)2x

(u) (4 + x2)y = 8

2.4.18 A exemplo de procedimento utilizado para calculard

dx(sen x), use a definição de derivada e

mostre qued

dx(cos x) = − sen x. A seguir, utilize

d

dxsen x = cos x e

d

dxcos x = − sen x e mostre que:

(i)d

dxtg x = sec2x;

(ii)d

dxsec x = sec x · tg x;

(iii)d

dxcotg x = −cossec2x; e

(iv)d

dxcossec x = − cossec x · cotg x.

2.4.19 Determine, caso existam, as expressões para a função derivada primeira e para a função derivadasegunda. Destaque o dominio de ambas, bem como o da função que as originou.

(a) f(x) =x4

3− 3x3 + 2x2 − 3x+ 1

(b) g(x) = 2√x− 3x

(c) h(x) =sen xx

+ 3x2

(d) ϕ(θ) = θ sec θ− θ

(e) f(x) =x

sen x+ 1

(f) y = sen x cos x

(g) y = 3 sen x2 + cos 2x

(h) y = sen3x+ tg22x

(i) y = x− sen2√x

112 2. Derivada

(j) y = xcos3x4

(k) y = x2 sec x

(l) g(x) =

{x2 − 3x, x > 14 − 2x, x < 1

(m) y =5

3√x−

2√x

(n) f(x) = |x|

(o) g(x) = 3|x2 − 4x|− x

(p) y = 3(x2 − x)4+ x

(q) h(x) = (x+ 1)2sen2x

(r) h(r) = r34 − 2r

23 + r−

14

(s) p(s) =1

s2 − 2s

(t) y(x) = Kx2 + Cx+D

2.5. Consequências da Diferenciabilidade 113

2.5 Consequências da DiferenciabilidadeNesta seção abordaremos alguns resultados a respeito do comportamento do gráfico de uma função dife-renciável em um certo intervalo aberto (a,b). Para iniciar, relembramos o conceito de ponto de máximo(ou de mínimo) da função f.

Definição 2.5.1 Seja f uma função definida no intervalo ]a,b[ (respectivamente, [a,b]).

(i) Dizemos que f possui valor máximo M quando existe xM ∈ ]a,b[ (respectivamente, xM ∈ [a,b])tal que f (xM) =M e f (x) 6M, ∀x ∈ ]a,b[ (respectivamente, ∀x ∈ [a,b]). Neste caso, dizemosainda que (xM, f (xM)) é um ponto de máximo de f.

(ii) Dizemos que f possui valor mínimo m quando existe xm ∈ ]a,b[ (respectivamente, xm ∈ [a,b])tal que f (xm) = m e f (x) >M, ∀x ∈ ]a,b[ (respectivamente, ∀x ∈ [a,b]). Neste caso, dizemosainda que (xm, f (xm)) é um ponto de mínimo de f.

x

y

f(xM)=M

f(xm)=m

y=f(x)

a xM xm b

Figura 2.5.1

É comum ainda, denominar o valor máximo e o valor mínimo definidos acima, respectivamente, valormáximo global e valor mínimo global de f no intervalo para destacar o contraste com a definição a seguir.

Definição 2.5.2 Seja f uma função definida em ]a,b[ e seja c ∈ ]a,b[.

(i) O ponto (c, f (c)) é ponto de máximo local de f quando existe δ > 0 com ]c− δ, c+ δ[ ⊂ ]a,b[tal que f (x) 6 f (c), ∀x ∈ ]c− δ, c+ δ[. Neste caso, f (c) é um valor máximo local de f.

(ii) O ponto (c, f (c)) é ponto de mínimo local de f quando existe δ > 0 com ]c− δ, c+ δ[ ⊂ ]a,b[tal que f ]x[ > f (c), ∀x ∈ ]c− δ, c+ δ[. Neste caso, f (c) é um valor mínimo local de f.

Quando (c, f (c)) é um ponto de máximo ou de mínimo local da função f, costumamos também dizerque (c, f (c)) é um ponto de extremo local de f e f (c) é um extremo local.

Neste momento, somos capazes de listar alguns resultados, dentre os quais o Teorema do Valor Médio,que será utilizado tanto neste capítulo quanto em capítulos posteriores. Para tanto, iniciamos com umresultado, devido ao matemático Karl Weierstrass, que embora seja bem intuitivo tem demonstração quefoge ao conteúdo deste texto e, por isso, será omitida.

Teorema 2.5.1 (O Teorema de Weierstrass) Se f é uma função contínua em [a,b], então, f (x)admite um valor máximo e um valor mínimo.

Em outras palavras, se f é contínua e está definida em um intervalo fechado [a,b], existem m,M ∈ Rtais que

m 6 f (x) 6M, ∀x ∈ [a,b] .

114 2. Derivada

Uma demonstração concisa do Teorema de Weierstrass pode ser saboreada na página 100 da obra"Calculus, once again", do saudoso David Anthony Santos.

x

y

M

f(b)

f(a)

m

a b

Figura 2.5.2

Exemplo 2.5.1A função polinomial f (x) = x2 − 4x é contínua em [−1, 6].

x

y

(−1,5)

(6,12)

(2,−4)

(4,0)

Figura 2.5.3

(Observe que f ′ (x) = 2x− 4 = 0⇐⇒ x = 2)Pelo que conhecemos do gráfico de uma função quadrática, o ponto de mínimo é(

−b

2a,−∆

4a

)= (2,−4) .

Como a função decresce quando −1 6 x < 2 e cresce quando 2 < x 6 6, os possíveis máximosde f só poderiam ser f (−1) ou f (6), e é fácil verificar que f (6) = 12 > f (−1) = 5. Logo, m = −4 eM = 12.

Caso o intervalo no exemplo anterior não fosse fechado, não teríamos a garantia de um máximo. Nointervalo [−1, 6[, por exemplo, f (x) = x2 − 4x não possui máximo!

2.5. Consequências da Diferenciabilidade 115

Exemplo 2.5.2

A função f (x) = −x2 + 8x − 7 decresce em todointervalo fechado [4, 5]. Logo, o valor máximo de fé M = f (4) = 9 e o valor mínimo é m = f (5) = 8.

4 5

(4, 9)(5, 8)

y

x

Figura 2.5.4Exemplo 2.5.3

A função g (x) = |x− 2|+ 3 é contínua (porém nãodiferenciável) em todos os pontos do intervalo [1, 4].Observe que o valor máximo de g é M = g (4) = 5e o valor mínimo é m = g (2) = 3.

x

y

(1,4)

(4,5)

(2,3)

Figura 2.5.5

Exemplo 2.5.4

A função h (x) =

1

(x− 1)2 x 6= 1

1 x = 1está definida em [0, 2] mas não possui valor máximo neste

intervalo (Verifique!).

O Teorema de Weierstrass é um típico teorema de existência. Obviamente, não há no resultado ne-nhuma pista de como encontrar máximo (ou mínimo) de f. Tal pista é deixada às claras através doresultado seguinte.

Teorema 2.5.2 (O Teorema de Rolle) Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[.Se f (a) = f (b) então existe c ∈ ]a,b[ tal que f ′ (c) = 0.

x

y

f(b)=f(a)

a bc

Figura 2.5.6

116 2. Derivada

Em outras palavras, se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e é diferenciável no aberto ]a,b[ entãoexiste (pelo menos um) c ∈ ]a,b[ tal que a reta tangente ao gráfico de f pelo ponto (c; f (c)) é horizontal.Intuitivamente, somos levados a afirmar que tais pontos são prováveis pontos de extremo local de f. Ea justificativa para tal afirmação é simples. De fato, nas proximidades de um tal ponto (c, f (c)) comf ′ (c) = 0 a função f ou muda seu comportamento de crescente para decrescente, ou muda de decrescentepara crescente. Caso não ocorra simultaneamente uma alteração da concaviadde do gráfico de y = f(x),temos para o primeiro caso um máximo local e para o segundo caso um mínimo local em (c, f (c)). Maisgeralmente, quando f está definida em um conjunto A ⊂ R, em que A é uma reunião de intervalos daforma A = [a1,b1] ∪ [a2,b2] ∪ · · · ∪ [ak,bk], então:

Observação 2.5.1. Os possíveis extremos locais de f estão:

• ou nas extremidades dos intervalos;

• ou em pontos (c, f (c)) tais que f ′ (c) não existe;

• ou em pontos (c, f (c)) tais que f ′ (c) = 0.

Demonstração do Teorema de Rolle : Consideremos dois casos:

(1) f é constante em [a,b]Neste caso f ′ (x) = 0 para todo x ∈ ]a,b[ e, portanto, o resultado é válido.

(2) f não é constante em [a,b]

Pelo Teorema de Weierstrass, f possui máximo M e mínimo m. Suponha c, c∗ tais que f (c) = M ef (c∗) = m. Como f não é constante, podemos supor f (c) 6= f (a) ou f (c∗) 6= f (a) e, daí, c ∈ ]a,b[ ouc∗ ∈ ]a,b[.

Supondo c ∈ ]a,b[, o ponto (c, f (c)) é um extremo local de f e f ′ (c) existe. Da observação anterior,necessariamente, f ′ (c) = 0. Caso seja c∗ ∈ ]a,b[ (isto é, c∗ 6= a e c∗ 6= b) mostra-se que f ′ (c∗) = 0 demodo inteiramente análogo.

Portanto, existe pelo menos um c ∈ ]a,b[ tal que f ′ (c) = 0.

2.6 Exercícios

2.6.1 Para cada função abaixo, existe c ∈ I tal que f ′(c) = 0? É possível determinar c?

(a) f(x) = 4 − x2, x ∈ I = [1, 3]

(b) f(x) = 4 − x2, x ∈ I = [−2, 1]

(c) f(x) = x3 − x, x ∈ I = [−3, 5]

(d) f(x) = x3 − 2x+ 1, x ∈ I = [−1, 1]

2.6.2 Determine os valores máximo M e mínimo m das funções do exercício 2.9.1.2.6.3 Faça um esboço dos gráficos das funções descritas no exercício 2.9.1 destacando os pontos demínimo e de máximo.2.6.4 Considere f(θ) = cos(2θ) + 2 sen θ, com θ ∈ [0,π]. Encontre os pontos de máximo e de mínimo def.2.6.5 (O Teorema do Valor Médio) Suponha a < b e seja f : [a,b]−→R uma função contínua. Mostreque se f é diferenciável em ]a,b[ então existe c ∈ ]a,b[ tal que

f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a

2.6.6 Suponha a < b e seja f : [a,b]−→R contínua e diferenciável em ]a,b[.Use o exercício 2.6.5 e mostre que se f ′(x) = 0 para todo x ∈]a,b[ então f é constante em [a,b].


2.6.7 Mostre que o polinômio p(x) = 6x5 + 15x4 − 6x2 + 1 possui uma raiz no intervalo [0, 1].2.6.8 (O Teorema do Valor Médio Generalizado) Sejam f, g funções contínuas em [a,b] e diferen-ciáveis em ]a,b[. Mostre que existe c ∈]a,b[ tal que

[f(b) − f(a)]g ′(c) − [g(b) − g(a)] f ′(c) = 0

2.6.9 Mostre para todo x > 0,√x < 1 +

x

2.

2.6.10 * Seja f : [a,b]→ R uma função contínua. Mostre que Imf é um intervalo fechado.2.6.11 Considere f : [a,b] → R contínua e suponha f(a) · f(b) < 0. Mostre que existe c ∈ ]a,b[ tal quef(c) = 0.2.6.12 Mostre que todo polinômio de grau ímpar a coeficientes reais possui pelo menos uma raiz real.2.6.13 Seja f : [0, 1] → [0, 1]. Mostre que se f é contínua então existe pelo menos um x ∈ [0, 1] tal quef(x) = x.

118 2. Derivada

2.7 A Regra de L’Hôpital e o Teorema do Valor Médio

Quando calculamos, no capítulo 1, limites da forma limx→c

f(x)

g(x), sempre levamos em consideração, no caso

em que limx→c

g(x) = 0, a possibilidade de escrever f(x) = h(x)·g(x), de modo que limx→c

h(x) exista epossamos contornar a impossibilidade da divisão por zero. Isso ocorre, por exemplo em

limx→c

x2 − c2

x− c= limx→c

(x+ c) = 2c.

Em alguns outros casos recorremos a artifícios tais como o Teorema do Confronto, caso de limx→0

sen xx

= 1

(Teorema 1.13.1).

A partir de agora temos uma outra ferramenta para o cálculo de limx→c

f(x)

g(x), desde que atendidas

algumas condições.

Teorema 2.7.1 (A Regra de L’Hôpital: Caso 1) Seja c ∈ R e considere f e g funções definidas emalguma vizinhança ]c− δ, c[ ∪ ]c, c+ δ[ = Vδ em torno de c com o raio δ > 0.

Se g ′(x) 6= 0, para todo x ∈ V e limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0 então limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f ′(x)

g ′(x), desde que o

último limite exista.

Demonstração : Suponha inicialmente f e g definidas também em c, com f(c) = g(c) = 0. Logo,

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f(x) − f(c)

g(x) − g(c)= limx→c

f(x) − f(c)

x− cg(x) − g(c)

x− c

.

Se supomos limx→c

g(x) − g(c)

x− c= g ′(c) 6= 0, o resultado segue.

Caso tenhamos f ′(c) = g ′(c) = 0 podemos aplicar a mesma ideia obtendo

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f ′′(x)

g ′′(x)

desde que este limite exista, e assim sucessivamente.

Se g não está definida em c podemos definir as extensões contínuas

g(x) =

{g(x); x 6= c;0; x = c.

e f(x) =

{f(x); x 6= c;0; x = c.

.

E o resultado continua válido, já que

limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f(x)

g(x).

O mesmo artifício pode ser empregado no caso f(c) 6= 0 e g(c) 6= 0.

Exemplo 2.7.1

Vimos no Teorema 1.13.1 que limx→0

sen xx

= 1.

Agora, como limx→0

sen x = 0 = limx→0

x podemos aplicar a Regra de L’Hôpital obtendo

limx→0

sen xx

= limx→0

d

dx(sen x)

d

dx(x)

= limx→0

cos x1

= 1.

2.7. A Regra de L’Hôpital e o Teorema do Valor Médio 119

A grosso modo, contornamos a dificuldade com a forma indeterminadasen xx

, para o caso x = 0,

através da substituição das respectivas derivadas do numerador e denominador. É evidente que a trocapoderia resultar em outra forma indeterminada. Neste caso, aplicamos o resultado tantas vezes quanto ashipóteses forem satisfeitas.Exemplo 2.7.2

Das propriedades vistas no Capítulo 2 sabemos que limx→0

sen xn

xn=

(limx→0

sen xx

)n= 1.

Por outro lado, da Regra de L’Hôpital,

limx→0

sen2 x

x2 = limx→0

2sen xcos x2x

=

(limx→0

sen xx

)·(

limx→0

cos x)

= 1,

e

limx→0

sen3 x

x3 = limx→0

3sen2 xcos x3x2 =

(limx→0

sen2 x

x2

)·(

limx→0

cos x)

= 1.

Os exemplos anteriores já tinham sido elucidados no Capítulo 1. Vamos agora a um limite que apenasafirmamos o resultado à partir das estimativas feitas em exercícios.Exemplo 2.7.3

limx→0

(1 + x)1x = e

Sabemos que ab = elnab = eb lna. Portanto, limx→0

(1 + x)1x = lim

x→0e

1x ln(1+x). Como a função

exponencial é contínua, basta calcular o limite do expoente.Mas,

limx→0

ln (1 + x)

x= limx→0

11 + x

1= 1.

Portanto,

limx→0

(1 + x)1x = e

limx→0

ln (1 + x)

x

= e

Outro modo de escrever este mesmo limite é através da mudança de variáveis y =1x. Quando

x→ 0+ temos y→ +∞ e

limy→∞

(1 +

1y

)y= limx→0+

(1 + x)1x = e.

Analogamente,

limy→−∞

(1 +

1y

)y= limx→0−

(1 + x)1x = e.

Uma observação pertinente a respeito do Exemplo 2.7.3 é que utilizamosd

dxln x =

1x. De fato, o

cálculo ded

dxln x nos leva ao lim

h→0

(1 +

h

x

)1/hque está relacionado diretamente a lim

h→0(1 + h)

1/h. Para

este momento, utilizamos como verdadeira a expressão da derivada de ln x em relação a x, postergando adiscussão a respeito das causas e de algumas outras consequências menos elementares.

Do Exemplo 2.7.3 podemos ainda justificar uma outra afirmação feita anteriormente.

120 2. Derivada

Exemplo 2.7.4

limh→0

eh − 1h

= limh→0

eh

1= 1

Evidentemente, aplicamos a Regra de L’Hôpital na segunda igualdade. Mais geralmente, temos:Exemplo 2.7.5

limx→0

eax − 1x

= limx→0

aeax

1= a.

Podemos ainda aplicar o Teorema 2.7.1 no caso em que x→∞ ou x→ −∞. E também, obviamente,para o cálculo de limites laterais. Além disso, temos a seguinte variação da Regra de L’Hôpital.

Teorema 2.7.2 (A Regra de L’Hôpital: Caso 2) Seja c ∈ R e considere f e g funções definidas emalguma vizinhança ]c− δ, c[ ∪ [c, c+ δ[ = Vδ.

Se g ′(x) 6= 0, para todo x ∈ Vδ, limx→c

f(x) = ±∞ e limx→c

g(x) = ±∞, então limx→c

f(x)

g(x)= limx→c

f ′(x)

g ′(x), desde

que o último limite exista.

Exemplo 2.7.6

limx→∞ lnxx = lim

x→∞1x1

= 0

Exemplo 2.7.7

limx→∞ x

n

ex= limx→∞ nx

n−1

ex= limx→∞ n(n− 1)xn−2

ex

= . . . = limx→∞ n!

ex= 0,∀n ∈ R.

Analogamente,Exemplo 2.7.8

limx→−∞ xne+x = lim

x→−∞ xn

e−x= limx→−∞ (−1)nn!

e−x= 0, ∀n ∈ R.

Também podemos aplicar (após escrever na forma conveniente) em adição ou subtração de parcelasque vão para infinito.Exemplo 2.7.9

limx→0+

(1

ln(x+ 1)−

1x

)= limx→0+

x− ln(x+ 1)xln(x+ 1)

Aplicando o Teorema 2.7.1:

= limx→0+

1 −1

x+ 1ln(x+ 1) +

x

x+ 1

= limx→0+

x+ 1 − 1x+ 1

(x+ 1)ln(x+ 1) + xx+ 1

= limx→0+

x

(x+ 1)ln(x+ 1) + x

= limx→0+

11 + ln(1 + x) + 1

=12

.


Observe no exemplo anterior que quando x → 0+, limx→0+

1ln(x+ 1)

= +∞ e limx→0+

1x

= +∞. É de

verificação imediata que limx→0−

(1

ln(x+ 1)−

1x

)também é igual a

12.

Na seção seguinte o leitor destas notas será convidado a exercitar as técnicas aqui apresentadas, bemcomo entender e analisar as propriedades aqui expostas.

Para finalizar esta seção apresentamos mais uma vez o Teorema do Valor Médio para uma funçãof : [a,b] → R, diferenciável em ]a,b[ e contínua em [a,b] e uma de suas generalizações. A primeiraformulação deste Teorema deve-se ao matemático francês Joseph-Louis Lagrange.

Teorema 2.7.3 (Teorema do Valor Médio de Lagrange) Seja f : [a,b]→ R uma função contínua.Se f é diferenciável em ]a,b[ então existe pelo menos um c ∈ ]a,b[ tal que

f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a.

Observe que o número c não está necessariamente determinado pela equação 2.7.3; inclusive podemoster vários c ∈ ]a,b[ (ou até infinitos) satisfazendo a propriedade acima. O Teorema 2.7.3 é um típico

teorema de existência e não contempla a unicidade. Mudando o foco, o númerof(b) − f(a)

b− aé facilmente

identificável no gráfico de y = f(x), x ∈ [a,b].

x

f(x)

Secante

Tangente

P

Q

f(a)

a bε

ε

f(x0 + ε) − f(x0)

f(x0 + ε)

Figura 2.7.1

De fato, se considerarmos a reta s por P = (a, f(a)) e Q = (b, f(b)) m =f(b) − f(a)

b− aé a inclinação

da reta (chamada secante a y = f(x) por P e Q).

O que o Teorema do Valor Médio afirma é que, sendo f diferenciável em ]a,b[ existe pelo menos umc ∈ (a,b) tal que a inclinação da reta tangente por (c, f(c)) é igual à inclinação da reta s, isto é, f ′(c) = m.

tal número m =f(b) − f(a)

b− aé chamado valor médio de f em [a,b].

122 2. Derivada

Observe ainda que em nossa ilustração o número c está na "parte positiva"do intervalo [a,b] (0 < c <b). Intuitivamente, do gráfico de y = f(x) é coerente afirmar que é possível encontrar outro número naparte negativa de [a,b] com a mesma propriedade.Exemplo 2.7.10

Considere g(x) =x3

3− 2x2 + 8 e obtenha c ∈ ]−1, 5[ tal que g ′(c) = −1.

Observer que g é contínua em [−1, 5] e ]−1, 5[. Além disso,g(5) − g(−1)

5 − (−1)=

−13−

173

6= −1. Por-

tanto, o Teorema 2.7.3 garante a existência de c nestas condições.

De modo imediato temos

g ′(c) = c2 − 4c = −1⇔ c = 2±√

3

Ambos os valores de c estão em ]−1, 5[

x

y

(2+√

3, 83+√

3)

(2−√

3, 83+3√

3)

(−1, 173 )

(5,− 13 )

( 12 , 1

4 )

Figura 2.7.2

Observe que determinar c pode se tornar mais complicado, mesmo que a função seja simples, depen-dendo das peculiaridades da função.Exemplo 2.7.11

Se f : [−1, 2] → R é dada por f(x) = x2 é fácil verificar que o valor médio de f em [−1, 2] éf(2) − f(1)2 − (−1)

=4 − 12 + 1

= 1 e f ′(c) = 1⇔ 2c = 1⇔ c =12


x

y

(−1,1)

(2,4)

( 12 , 1

4 )

Figura 2.7.3

Exemplo 2.7.12Para a função h(x) = xex, as condições do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas; isto é, existe

c ∈ ]−3, 2[ tal que

f ′(c) =2e2 + 3e−3

5.

Porém, como f ′(c) = (1 + c)ec, para determinar algum valor de c como acima, devemos resolvera equação

(1 + c)ec =2e2 + 3e−3

5

o que, convenhamos não é trivial.Graficamente, temos uma idéia geométrica da posição de c. Posteriormente, voltaremos a tratar

desta equação.

Demonstração do Teorema do Valor médio de Lagrange : Considere f : [a,b] ⇒ R contínua. Se f édiferenciável em ]a,b[ então a função g : [a,b]⇒ R definida por

g(x) = f(x) −1

b− a{[f(b) − f(a)]x+ bf(a) − af(b)}

é também diferenciável em ]a,b[ (já que f é combinação linear de duas funções contínuas).Além disso, é de fácil verificação que

g(a) = 0 e g(b) = 0 (verifique!)

Logo, pelo Teorema de Rolle (Teorema 2.5.2) existe c ∈ ]a,b[ tal que

g ′(c) = 0.

Mas g ′(c) = f ′(c) −f(b) − f(a)

b− a= 0 implíca f ′(c) =

f(b) − f(a)

b− a.

Uma das generalizações do Teorema 2.7.3 é apresentada abaixo, e com ele finalizamos esta seção. OTeorema 2.7.4, devido a Cauchy é também chamado Teorema do Valor Médio Estendido. Na próxima. Oleitor é convidado a justificá-lo nos exercícios seguintes” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ’.

Teorema 2.7.4 (Teorema do Valor Médio de Cauchy) Sejam f e g contínuas em [a,b] e diferen-ciáveis em ]a,b[. Se g(x) 6= 0 para todo x ∈]a,b[ então existe c ∈]a,b[ tal que

f ′(c)

g ′(c)=f(b) − f(a)

b− a.

124 2. Derivada

2.8 Exercícios

2.8.1 Verifique a possibilidade ou não de utilizar a regra de L’Hôpital a fim de calcular os limites abaixo.Caso seja aplicável, calcule o limite; em caso contrário justifique a impossibilidade de aplicar a Regra.

(a) limx→1

1 − x2

1 − x

(b) limx→0

e5x − 1x

(c) limx→0

arcsen xx

(d) limx→0

ex

x

(e) limx→1−1

√1 − x2

1 − x

(f) limx→∞ x

3 − 3x2 + 52x− 3

(g) limx→0

cos x− 1x

(h) limx→0

cos x− sen xx

(i) limx→∞ lnx

5

x2

(j) limx→∞ e

x5

x3

(k) limx→0

sen (3x)sen (5x)

(l) limx→1

7x3 − 3x2 − 2x− 2x3 − 3x+ 2

(m) limx→∞ sen x

x

(n) limx→0

sen (ax)

sen (bx), b 6= 0

(o) limx→5

√x−√

5x− 5

(p) limx→0

ex − 1 + xm

xn(separe em casos em relação a m e n)

(q) limx→0+

x2 arctg 2x

(r) limx→∞ x4

e3x

(s) limx→∞(1 + ax)

12x

(t) limx→0

(1 + ax)bx

(u) limx→∞

(√x2 − 4x− 3 − x

)2.8.2 Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0+

xx

(b) limx→0

(1 + 2x+ x2) 3e−x

x

(c) limx→0

(1 + sen 5x)2x

(d) limx→0

[ln(1 + sen 5x)ln(1 + sen 2x)

](e) lim

x→( 12)

−

2x− 1ln2x

(f) limx→2+

(x− 2)x−2

(g) limx→0+

(1x−

2x2

)

(h) limx→1+

[1

x+ 1−

√x− 1x2 − 1

]

(i) limx→π

2

sec x1 + tg x

(j) limtheta→0

aθ − 1θ

(a > 0 e a 6= 1)

(k) limx→0

xax

ax − 1(a > 0 e a 6= 1)

(l) limθ→π

4

sen 2θ− 1cos 4θ

(m) limx→0

sen x3

x

(n) limt→1

et−1 + t3 − 2t2

t2 + t− 2

(o) limx→1

arctg x− π4

1 − ex

(p) limx→0

(ex + 3x)1

2x


2.8.3 Ache os seguintes limites:

(a) limx→∞ 3x3 − 2x2 + 1

x3 + 2x+ 3

(b) limx→∞ x5e−x

(c) limx→∞ e

x + x

ex − x

(d) limx→∞ (2x)

1x

(e) limx→∞ (2x)

1lnx

(f) limx→−∞ x sen

1x

(g) limx→∞ lnx

2

3√x

(h) limx→∞

√x

ex

2.8.4 Uma aplicação inicial P0, sujeita a uma taxa de rentabilidade anual r, composta n vezes a cadaano, após t anos garante a possibilidade de um resgate (em valor bruto) igual a

P = P0

(1 +

r

n

)nt.

Mostre que se n→∞ então P → P0ert.

2.8.5 ∗Calcule limx→∞

[1x

ax − 1a− 1

] 1x

2.8.6 Calcule c para que f(x) =

2x− 3ex + 3

x2 , x 6= 0

c; x = 0seja contínua.

(A função f(x) é chamada extensão contínua de f(x) =2x− 3ex + 3

x2 , x 6= 0.)

2.8.7 Para cada uma das funções abaixo, avalie a possibilidade de construção de uma extensão contínuadefinida em R. Caso seja possível, determine-a:

(a) f(x) =x3 − 3x2 + x+ 1

x− 1, x 6= 1

(b) g(x) =x3 − 3x2 + x+ 1x2 − 2x+ 1

, x 6= 1

(c) h(x) =x− sen xx2 , x 6= 0

(d) y =sen 2xx

, x 6= 0

2.8.8 Calcule limx→0

sen xtgx

2.8.9 Encontre c ∈ [−1, 2] tal que a reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 em (c, c2) seja paralela à retapor (−1, 1) e (2, 4).

2.8.10 Considere f(x) = 2 −1x. Encontre todos os valores de c ∈ ]2, 4[ tais que

f ′(c) =f(4) − f(2)

2.

2.8.11 Usando um artifício semelhante ao empregado na demostração do Teorema 2.7.3, dê uma de-monstração do Teorema 2.7.4.

126 2. Derivada

2.9 O Gráfico de uma FunçãoConsidere uma função f : I → R, diferenciável no intervalo aberto I. Como já abordamos anteriormente,f é crescente em um subintervalo Ij ⊂ I quando para todos a1, a2 ∈ Ij, a1 < a2 ⇒ f(a1) < f(a2).Reciprocamente, f é decrescente em um subintervalo Ik ⊂ I quando para todos b1, b2 ∈ Ik,b1 < b2 ⇒ f(b1) > f(b2).

x

y

f crescente

f constante

f crescente

f decrescente

a1

f(a1)

a2

f(a2)f ′(a2) > 0

f ′(b2) < 0

f ′ < 0f ′ > 0

f ′ = 0

b2

f(b2)

b1

f(b1)

Figura 2.9.1

O Teorema do Valor Médio nos garante uma análise eficaz dos intervalos de crescimento e decrescimentode f, nos seguintes termos:

Teorema 2.9.1 Seja f : I→ R, diferenciável no intervalo aberto I.

(i) Se f ′(x) > 0, ∀ x ∈ Ij ⊂ I então f é crescente em Ij.

(ii) Se f ′(x) < 0, ∀ x ∈ Ik ⊂ I então f é decrescente em Ik

Demonstração : Suponha f ′(x) > 0 para todo x ∈ Ij ⊂ I e sejam x1, x2 ∈ Ij com x1 < x2. Do Teorema do

Valor Médio existe c ∈ ]x1, x2[ tal que f ′(c) =f(x2) − f(x1)

x2 − x1e, portanto, f(x2) − f(x1) = (x2 − x1) · f ′(c) > 0

o que implica f(x1) < f(x2) e, logo, f é crescente em Ij.Observe que se fosse f ′(x) < 0, para x1 < x2 teríamos seguido o mesmo roteiro acima obtendof(x2) − f(x1) < (x2 − x1) · f ′(c) < 0, o que implicaria f decrescente.

2.9. O Gráfico de uma Função 127

Exemplo 2.9.1

A função f : R→ R definida por f(x) = 3x2−12x+203

é crescente no intervalo ]2,+∞[ e decrescenteno intervalo ]−∞, 2[.

A derivada primeira de f é f ′(x) = 6x− 12 e, logo, f ′(x) > 0⇔ x > 2 e f ′(x) < 0⇔ x < 2.

x

y

(23 , 0)

(103 , 0)

(2,−16

3

)−16

3

2

Figura 2.9.2

É de fácil constatação que o ponto(2,−16

3

)é o ponto do gráfico em que f atinge seu menor valor.

Observe que f ′(2) = 0 e que f nem cresce e nem decresce em x = 2.

Exemplo 2.9.2

A função f(x) =1xestá definida em R\{0} e é sempre decrescente.

Temos, para todo x ∈ R\{0}, f ′(x) = −1x2 e, logo, f ′(x) < 0 em todo o seu domínio.

x

y

y = 1x

y = 1x

(1, 1)

Figura 2.9.3

128 2. Derivada

Exemplo 2.9.3A função f(x) = sen x é crescente nos intervalos em que f ′(x) = cos x > 0; isto é, para todo

x ∈]−π2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, onde k ∈ Z. Por outro lado, f decresce em

]π2 + 2kπ, 3π

2 + 2kπ[com k ∈ Z.

x

y

1

π2

π 3π2

−π2

−1

Figura 2.9.4

Novamente temos uma função que atinge valores mínimos, e agora também valores máximos nospontos em que f ′(x) = 0.

Exemplo 2.9.4A função f(x) = |x− 1|+ |x+ 2| está definida para todo x ∈ R. Uma expressão equivalente para f é

f(x) =

−1 − 2x; se x < −2

3; se − 2 < x < 12x+ 1; se x > 1

x

y

1−1−2

Figura 2.9.5

É imediato verificar que f decresce em ]−∞,−2[, é constante em [−2, 1] e cresce em ]1,+∞[.Observe ainda que f não é diferenciável em x = −2 e em x = 1.


Definição 2.9.1 Seja f : I→ R uma função. Diremos que o ponto (c, f(c)) é um ponto crítico de fquando qualquer uma das duas situações abaixo ocorrer:

(i) f ′(c) = 0; ou

(ii) f não é diferenciável em c.

Exemplo 2.9.5Seja f a função definida em R pela expressão f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 5.Determine os pontos críticos de f e os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.Como

f ′(x) = 6x2 − 18x+ 12

= 6(x2 − 3x+ 2)= 6(x− 1)(x− 2)

Portanto f ′(x) = 0⇔ x = 1 ou x = 2. Os pontos (1, 0) e (2,−1) são os pontos críticos de f.Analisando os sinais de f ′(x) temos:

1

− − − − − − − − + + + + + + + +6(x− 1)

2

− − − − − − − − − − + + + + +(x− 2)

21

+ + + + + + + + − − + + + + +6(x− 1)(x− 2)

f ′(x) > 0⇔ x < 1 ou x > 2;

f ′(x) < 0⇔ 1 < x < 2.

Portanto, f é crescente em ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ e f é decrescente em ]1, 2[.Para completar nosso esboço do gráfico de f, necessitamos analisar adicionalmente os intervalos de

crescimento e decrescimento da função f ′.

f ′ crescente

Figura 2.9.6

f ′ decrescente

Figura 2.9.7

130 2. Derivada

Definição 2.9.2 Seja f : I→ R uma função diferenciável definida no intervalo aberto I.

(i) Dizemos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em Ij ⊂ I quando f ′ é crescenteem Ij;

(ii) Dizemos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em Ik ⊂ I quando f ′ édecrescente em Ik.

Como consequência da Definição 2.9.2, se f : I→ R é uma função pelo menos duas vezes diferenciávelem I, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em I quando f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I; emcontraposição, o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I quando f ′′(x) < 0. Adicionalmente,destacaremos os pontos sobre o intervalo I em que a derivada segunda se anula.

Definição 2.9.3 Seja f : I→ R uma função duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. O ponto(c, f(c)) é um ponto de inflexão de f quando f ′′(c) = 0.

Em resumo, para fazer um esboço do gráfico de f, analisamos os sinais da derivada primeira para obteros intervalos de crescimento ou decrescimento e os sinais da derivada segunda para obter os intervalos emque a concavidade do gráfico é voltada para cima ou para baixo. Evidentemente, quão maior a riqueza dedetalhes e a precisão da escala, melhor será a apresentação do esboço. Por exemplo, as interseções comos eixos coordenados e o esboço das assíntotas horizontais, verticais e oblíquas, caso existam, tornarão oesboço muito mais atraente visualmente.

Retornando ao Exemplo 2.9.5, de g(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 5 e g ′(x) = 6x2 − 18x + 12 temosg ′′(x) = 12x − 18. Portanto, o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima em

] 32 ,+∞[ e voltada

para baixo em]−∞, 3

2

[. O gráfico de g não possui assíntotas.


gcresce

1

gdecresce

3/2

gdecresce

2

gcresce

Con

ca

vidade para

baixo Con

cavid

ade para

baixo

Concav idade par

a

cima C

oncav idade para

cima

x

y

(1, 0)

( 52 , 0)

232

12

−1

(0,−5)

y = g(x)

Figura 2.9.8

Suponha f : I→ R duas vezes diferenciável.Agora observemos o que ocorre na vizinhança de um ponto c, no interior do intervalo I, tal que

f ′(c) = 0.

(i) Se existir δ > 0 tal que f ′(x) = 0, ∀ x ∈ ]c− δ, c+ δ[ = Iδ então f é constante em alguma vizinhançade c (tal vizinhança contém o intervalo aberto Iδ).

132 2. Derivada

x

y

c

f ′ = 0

Figura 2.9.9

(ii) Se existir δ > 0 tal que f ′(x) > 0, ∀ x ∈ ]c− δ, c[ e f ′(x) < 0, ∀ x ∈ ]c, c+ δ[ então (c, f(c)) é umponto de máximo local de f.

x

y

c

f(c)

c− δ c+ δ

f ′ < 0f ′ > 0

Figura 2.9.10

Observe que, neste caso, f ′ é decrescente em ]c− δ, c+ δ[ e, portanto, f ′′(x) < 0, ∀ x ∈ ]c− δ, c+ δ[.

(iii) Se existir δ > 0 tal que f ′(x) < 0, ∀ x ∈ ]c− δ, c[ e f ′(x) > 0, ∀ x ∈ ]c, c+ δ[ então (c, f(c)) é umponto de mínimo local de f.

x

y

c

f(c)

c− δ c+ δ

f ′ < 0f ′ > 0

Figura 2.9.11

Neste caso temos f ′ crescente em ]c− δ, c+ δ[. Logo, f ′′(x) > 0, ∀ x ∈ ]c− δ, c+ δ[.


Um resultado que resume as condições acima:

Teorema 2.9.2 Seja f : I → R função duas vezes diferenciável no intervalo I e seja c ∈ I tal quef ′(c) = 0.

(i) Se f ′′(c) < 0 então (c, f(c)) é ponto de máximo local;

(ii) Se f ′′(c) > 0 então (c, f(c)) é ponto de mínimo local;

(iii) Se f ′′(c) = 0 nada podemos afirmar de antemão.

Demonstração : Suponha f ′(c) = 0.

Se f ′′(c) > 0 então podemos assumir que existe δ > 0 tal que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ ]c− δ, c+ δ[.Logo, f ′ é crescente em ]c− δ, c+ δ[ e, como f ′(c) = 0 temos f ′(x) < 0 se x ∈ ]c− δ, c[ e f ′(x) > 0 sex ∈ ]c, c+ δ[.

x

y

cc− δ c+ δ] [

f ′(c) = 0

f ′′(c) > 0

Figura 2.9.12

Portanto, (c, f(c)) é o ponto de mínimo no intervalo ]c− δ, c+ δ[ o que significa que (c, f(c)) é um pontode mínimo local de f no intervalo I.

Se f ′′(c) < 0 a demonstração é análoga e (c, f(c)) é um ponto de máximo local de f.

Para finalizar esta seção abordamos o Método implementado por Isaac Newton para estimar as raízesde uma função diferenciável f.

Seja f uma função de uma variável real. Calcular os zeros de f consiste em determinar um valor α ∈ Rtal que f(α) = 0. De outro modo, calcular os zeros de uma função f é equivalente a calcular as raízes daequação

f(x) = 0.

Este problema é recorrente na matemática e em diversas áreas das ciências e da engenharia. Porém,salvo poucas excessões, é um problema difícil de resolver analiticamente. Na prática, as raízes da equaçãof(x) = 0 são calculadas através de métodos numéricos negativos. Dentre esses métodos, o método deNewton se destaca devido a sua convergência rápida.

Dada uma função diferencial f com derivadas f ′ e f ′′ contínuas em um intervalo I contendo uma raizα da equação f(x) = 0 e uma aproximação inicial x0 ∈ I, a repetição da sequência de operações

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)k = 0, 1, 2, . . .

134 2. Derivada

convergirá para um valor α tal que f(α) ' 0.Observamos que a solução α obtida é sempre uma aproximação da solução verdadeira. No entanto, a

solução pode ser obtida com qualquer precisão desejada, considerando as limitações da máquina utilizadapara os cálculos.

O processo pode ser repetido até atingir a precisão desejada, por exemplo,

| f(xk) |< 10−8 ou | xk − xk−1 |< 10−8

ou quando um número máximo k de iterações, previamente estabelecido, for atingido.

Exemplo 2.9.6A raiz quadrada de um número real N positivo qualquer pode ser calculada através o método de

Newton, do seguinte modo:Note que

x =√N⇐⇒ x2 = N⇐⇒ x2 −N = 0.

Assim fazendo

f(x) = x2 −N

o problema de calcular a raiz quadrada de N é equivalente a calcular a raiz da equação f(x) = 0.Usando o método de Newton, obtemos:

xk+1 = xk −f(xk)

f ′(xk)= xk −

x2k −N

2xk

=2xk2 − xk

2 +N

2xk

=xk

2 +N

2xk

xk+1 =12

(xk +

N

xk

)Note que desta forma apenas operações básicas, como adição, multiplicação e divisão, são neces-

sárias para o cálculo de√N.

No caso de N = 9, cuja raiz quadrada exata é 3, temos as seguiontes iterações, considerando aaproximação inicial x0 = 1;

x1 =12

(x0 +

9x0

)=

12

(1 +

91

)= 5

x2 =12

(x1 +

9x1

)=

12

(5 +

95

)= 1, 4

x3 =12

(x2 +

9x2

)=

12

(1, 4 +

91, 4

)= 3, 9143

x4 =12

(x3 +

9x3

)=

12

(3, 9143 +

93, 9143

)= 3, 1068


x5 =12

(x4 +

9x4

)=

12

(3, 1068 +

93, 1068

)= 3, 0018

x6 =12

(x5 +

9x5

)=

12

(3, 0018 +

93, 0018

)= 3, 0000

Em apenas 6 iterações calculamos√

9 com precisão de 4 casas decimais. O número de iterações poderiater sido menor caso considerássemos x0 = 2 (mais próximo da solução exata x = 3).

x1 x0

f(x1)

f(x0)

f(x)

T1

T2

x

y

Figura 2.9.13: Interpretação Geométrica do Método de Newton

A partir da aproximação inicial x0, as próximas aproximações são calculadas como sendo a intersecçãoda reta tangente ao gráfico de f no ponto (xk+1, f(xk+1)) com o eixo x.

x1 é tal que T1(x) = f(x0) + f′(x0)(x− x0)

x2 é tal que T2(x) = f(x1) + f′(x1)(x− x1)

E assim por diante.

2.10 Exercícios

2.10.1 Encontre (e indique) os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos onde o gráfico temconcavidade para cima e para baixo. Determine ainda (caso existam) as assíntotas horizontais e verticaise, em seguida, faça um esboço do gráfico da função:

(a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x

(b) f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 6

(c) g(x) =4

x2 + 4

(d) h(x) =2x

x2 + 4

(e) y =x

x+ 2

(f) y =x2 − 4x2 − 9

(g) h(x) =3x+ 3x− 3

(h) f(x) = (x+ 6)(x− 3)2

(i) y = x√

9 − x2

(j) y = |x2 − 7x+ 12|

(k) y = sen x−1

18sen 3x, 0 6 x 6 2π

(l) f(x) = x tg x, −π

2< x <

π

2

(m) f(x) = x+ sen x, 0 6 x 6 2π

136 2. Derivada

(n) g(x) = ln 4x

(o) h(x) = xe2x

(p) y = xex2

(q) f(x) =cos

1 + sen x, x ∈

[−

3π2,π

2

]

(r) y = 2x5/3 − 5x4/3

(s) u(x) =20xx2 + 1

(t) v(x) =x2

x2 + 1

2.10.2 Determine os sinais de f ′ e f ′′ para cada intervalo Ij do eixo das abcissas.

x

y

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

2.10.3 Seja f : R → R uma função duas vezes diferenciável satisfazendo f(0) = 1, f ′(x) > 0 para todox 6= 0, f ′′(x) < 0 para x < 0 e f ′′(x) > 0 para x > 0.

Analise como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.

(i) f não pode estar definida em x = 0;

(ii) Se f(0) existe, então f ′(0) = 0;

(iii) Se f(0) existe, então f ′′(0) = 0;

(iv) Se f(0) não existe, limx→0

f(x) = +∞;

(v) Se f(0) não existe, x = 0 é uma assíntota vertical.

2.10.4 Considere a função f : R→ R definida no Exercício 2.10.3 e seja g : R→ R tal que g(x) = f(x2).Esboce um possível gráfico para y = g(x).

2.10.5 Quando f(x) =P(x)

Q(x)onde P e Q são funções polinomiais em que o grau de P excede o grau de

Q em uma unidade (gr(P) = gr(Q) + 1), o comportamento de f(x) quando x → ±∞ pode ser analisadoefetuando-se a divisão de P(x) por Q(x). Como P(x) = (ax+b) ·Q(x). Como P(x) = (ax+b)Q(x)+R(x)

podemos escrever f(x) = ax+ b+R(x)

Q(x)onde R ≡ 0 ou gr(R) < gr(Q).

Portanto, como limx→±∞ R(x)Q(x)

= 0, temos que os comportamentos de y = f(x) e o de y = ax + b são

os mesmos quando x → ∓∞. Nesse caso, dizemos que y = ax + b é uma assíntota oblíqua ao gráfico dey = f(x).


x

y

Em cada caso abaixo, encontre a assíntota oblíqua (caso exista) e faça um esboço do gráfico de y = f(x).

(a) f(x) =x3 − 3x2 + 5x− 2

x2 − x+ 1

(b) f(x) =4x2 − 92x+ 3

(c) f(x) =x3 − 1x2 + 1

(d) f(x) =x4 − x2

x3 + 2x− 1

(e) f(x) = x+ x−2

(f) f(x) =(1 − x2)

(3 + x)

2.10.6 Seja f : R→ R uma função duuas vezes diferenciável com derivada segunda positiva. Mostre quef(x) > 0.

2.10.7 Considere f(x) = x3+x2−6x−6. Utilize a expressão xn+1 = xn−f(xn)

f ′(xn)e obtenha x1, x2, x3, x4, x5

e x6 nos seguintes casos:

(i) x0 = 2 (ii) x0 =12

(iii) x0 = −3

2.10.8 O que ocorre com a função f do exercício anterior caso, na expresão do Método de Newton,

façamos x0 = 0? Por quê? E no caso x0 = −23?

2.10.9 Considere a função f : R→ R definida pro f(x) = ex−2 − x.

(a) Utilize o Método de Newton para obter uma aproximação para uma raiz da equação f(x) = 0fazendo:

(i) x0 = 0 (ii) x0 = 3

(b) Faça um esboço do gráfico de y = f(x).

2.10.10 Utilize a função f(x) = x3 − 3x2 + 2 para obter aproximação racionais dos números 1 +√

3 e1 −√

3 com 4 iterações na expressão do Método de Newton.

2.10.11 Considere f(x) =1x− c.

(i) Verifique que x−f(x)

f ′(x)= 2x− cx2

(ii) Para c = 3, 275, use x0 = 0, 5 e calcule x1, x2, x3 e x4.

138 2. Derivada

2.11 Máximos e Mínimos de uma função, Modelagem, Otimização eTaxas Relacionadas

Em conformidade com as Definições 2.5.1, 2.5.2 e estabelecidos os resultados do capítulo anterior podemosadmitir que possíveis máximos ou mínimos locais de uma função f ocorrem em pontos da forma (c, f (c))tais que ou

1. c é extremidade de algum intervalo fechado onde f está definida; ou

2. f ′ (c) = 0; ou

3. f não é diferenciável em x = c.

Vamos a alguns exemplos.

Exemplo 2.11.1A função f : [−1, 3] −→ R definida por f (x) = 3x2 − 2x + 3 possui um máximo global no ponto

(3, 24) (observe que c = 3 é extremidade de Df). f possui ainda um mínimo em(1

3 , 83

)(verifique que

f ′(1

3

)= 0).

x

y

(−1,8)

(3,24)

( 13 , 8

3 )

É fácil verificar que f : ]−1, 3[−→R definida por f (x) = 3x2 − 2x + 3 possui mínimo global em(1

3 , 83

)mas não possui máximo.

Exemplo 2.11.2A função g : ]−2, 5[−→R definida por g (x) =

∣∣x2 − x− 2∣∣ possui máximo global em (5, 15) e um

mínimo global em (−1, 0) e (2, 0). No entanto, a função g não possui derivada nem em c = −1 e nemem c = 2 (verifique!).

x

y

(−2,4)

(−1,0) (2,0)

(5,18)

Assim como no Exemplo 2.11.2, caso definíssemos g : (−2, 5)−→R pondo g (x) =∣∣x2 − x− 2

∣∣, g nãoapresentaria máximo.

2.11. Máximos e Mínimos de uma função, Modelagem, Otimização e Taxas Relacionadas 139

O exemplo a seguir, comum nos textos de matemática para o ensino médio, é aqui apresentado comouma introdução simplória à modelagem matemática.Exemplo 2.11.3

Um pequeno produtor rural pretende utilizar uma parede de 30m como um dos lados de umcercado retangular. Se tal produtor dispõe de 20m, quais as dimensões do cercado cuja área é máxima?

x x

20−2x

Suponha que no lado paralelo à parede sejamutilizados x metros de cerca. Logo, o restante dacerca será utilizado nos outros dois lados. Como res-tam (20 − x) metros de cerca, cada um dos outros

dois lados terá20 − x

2metros. A área do terreno

(em função de x) será então:

A(x) = x

(20 − x

2

)= 10x−

x2

2

Temosd

dxA = 10−x que se anula se, e somente se, x∗ = 10. Portanto, (10,A (10)) = (10, 50) é um

ponto crítico da função área. Comod2

dx2A (x) = −1, para todo x ∈ ]0; 20[, de acordo com os resultados

do capítulo anterior, x∗ = 10m e20 − x∗

2=

102

= 5m são as dimensões do cercado de área máxima

(igual a 50m2)

x(m)

y(m2)

1

50

020

Figura 2.11.1

Evidentemente, no exemplo acima, se considerarmos x ∈ [0, 20] (ao invés de x ∈ ]0, 20[ ), a funçãopassa a admitir também mínimo, que na prática não nos interessa nesse caso, já que estaríamos formandoum cercado de área nula.Exemplo 2.11.4

Considere as funções f1, f2, f3 e f4 :R−→R definidas por:

(a) f1 (x) = −2x3 + 3x2 + 36x− 4, x ∈ R;

(b) f2 (x) = xex, x ∈ R;

(c) f3 (x) = sen(x− π

4

)− x cos

(x− π

4

), x ∈

[−π4 , π4

];

140 2. Derivada

(d) f4 (x) =ln xx

, x ∈ (0, 2).

Para cada uma delas procuremos os ponto de máximo e mínimo.

(a) f1 (x) = −2x3 + 3x2 + 36x− 4Temos f ′1 (x) = −6x2 + 6x+ 36 = 0⇐⇒ (x = −2) ou x = 3 e f ′′1 (x) = −12x+ 6. Logo,

(i) f ′1 (−2) = 0 e f ′′1 (−2) = +30 > 0⇒ (−2,−48) é ponto de mínimo local;

(ii) f ′1 (3) = 0 e f ′′1 (3) = −30 < 0⇒ (3, 77) é ponto de máximo local.

Observe que f1 não possui nem máximo e nem mínimo global, de fato

limx→−∞ f1 (x) = +∞ e lim

x→∞ f1 (x) = −∞.

x

y

−2

3

−48

77

No entanto, f ′1 (x) = −6x2 + 6x + 36 = 0 ⇐⇒ x = −2 ou x = 3 e como f ′′1 (x) = −12x + 6,f ′′1 (−2) = 30 > 0 e f ′′1 (3) = −30 < 0. Logo, em (−2,−48) há um mínimo local e em (3, 77).

(b) f2 (x) = xex

Temos f ′2 (x) = (x+ 1) ex = 0 ⇐⇒ x = −1 e f ′′2 (x) = (x+ 2) ex. Logo,(−1,− 1

e

)é ponto de

mínimo (global) de f.

x

y

−1

−1/e


(c) f3 (x) = sen(x− π

4

)− x cos

(x− π

4

)f ′3 (x) = x sen

(x− π

4

)= 0⇐⇒ x = 0 ou x = π

4 .Agora, f ′′3 (x) = sen

(x− π

4

)+ x cos

(x− π

4

), o que nos fornece f ′′3 (0) = sen

(−π4)= −

√2

2 < 0 e

f ′′3(π4

)= π

4 > 0 e, portanto(

0,−√

22

)é ponto de máximo e

(π4 ,−π4

)é ponto de máximo.

x

y

(π

4,−1)

(d) f4 (x) =ln xx

Como f ′4 (x) =1−lnxx2 e f ′′4 (x) = 2 lnx−4

x3 temos f ′4 (e) = 0 e f ′′4 (e) = − 2e3 < 0 e, portanto

(e, 1e

)é

ponto de máximo (global) de f em (0, 2).

x

y

Exemplo 2.11.5Uma caixa retangular, sem tampa, será confeccionada a partir de uma folha de papelão, de 10cm

x 16cm, recortando-se dos vértices 4 quadrados com lados iguais e dobrando-se as abas para cima.Determine as dimensões da caixa de maior volume e indique o volume máximo.

Se recortamos quadrados de xcm de lado em cada um dos cantos, ao dobrarmos as abas para cimateremos uma caixa de medidas xcm (altura), 10 − 2x (comprimento) e 16 − 2x (largura) como nodesenho abaixo.

142 2. Derivada

x x

x x

x

x

x

x

10−2x

10

16−2x16

Passo 1

x

10−2x

16−2x

Passo 2

Portanto, o volume da caixa (em função de x) é

V(x) = x (10 − 2x) (16 − 2x).

Logo,d

dxV (x) = (10 − 4x) (16 − 2x) +

(10x− 2x2

)ou seja,

d

dxV (x) = 12x2 − 104x+ 160.

Temos

d

dxV (x) = 0⇐⇒ 4

(3x2 − 26x+ 40

)= 0

⇐⇒ x =26±

√676 − 4806

=26± 14

6

⇐⇒ x =203

ou x = 2.

Como 0 < x < 5 temos que (2, 144) é o único ponto crítico de V. Além disso,d2

dx2V (2) = −56;portanto, (2, 144) é ponto de máximo local de V. Assim, as dimensões da caixa de volume máximosão 2cm, 6cm e 12cm e seu volume é

V (2) = 144cm3

Observe que o gráfico da função V no plano cartesiano também nos indica que o ponto é de fato oúnico ponto de máximo.

x(cm3)

V(x)(cm)

2

144

13/3

0 5

Figura 2.11.2


Revisitemos o problema da caixa agora tentando diminuir o custo de produção.Exemplo 2.11.6

Um reservatório retangular, sem tampa, será confeccionada, com o comprimento da base igual alargura, de modo a ter capaciade igual a 375m3. Se o material utilizado para a base custa R$ 2,00 ometro quadrado e o material utilizado para as paredes laterais custa R$ 3,00 o metro quadrado, quaisas dimensões do reservatório de custo mínimo de fabricação? Qual seria este custo?

h

2x

x

Supondo que a caixa tem largura igual a x cm e altura h cm temos

2x2h = 375 e, portanto, h =3752x2 . O custo de fabricação da caixa é:

3, 00 [(2x) 2h+ xh (2)] + 2, 00[2x2].

Portanto, em função de x o custo é: C (x) = 18x3752x2 + 4x2 =

3375x

+ 4x2.

Logo, C ′ (x) = −3375x2 + 8x e C ′ (x) = 0⇐⇒ 8x3 = 3375⇐⇒ x =

7, 5

Observe que C ′′ (x) =6750x3 + 8 e isso implica que C ′′ (7, 5) > 0.

As dimensões do reservatório de custo mínimo são 7, 5m, 15m e 0, 3m = 30cm de altura. O custode fabricação é C (7, 5) = R$675, 00.

Exemplo 2.11.7

Considere a elipse de equaçãox2

16+y2

9= 1.

De todos os retângulos com vértices sobre a elipse e lados paralelos aos eixos coordenados, obtenhaos vértices e as medidas daquele que tem a maior área.

Sabemos que a elipse corta o eixo x nos pontos (−4, 0) e (4, 0) e o eixo y nos pontos (−3, 0) e (3, 0).

Se supomos que o vértices localizando no primeiro quadrante tem coordenadas(v,

34

√16 − v2

), por

simetria os demais vértices (no sentindo anti-horário) são(v,

34

√16 − v2

),(−v,−

34

√16 − v2

)e(

v,−34

√16 − v2

). Assim, em função de v (observe que 0 6 v 6 4), nosso retângulo tem base medindo

2v, altura igual a32

√16 − v2 e área A (v) = 3v

√16 − v2.

Logo,

d

dvA (v) = 3

√16 − v2 −

3v2√

16 − v2

d

dvA (v) = 0⇐⇒ 2v2 = 16⇐⇒ v = 2

√2.

Como

d2

dv2A (v) = −9v√

16 − v2−

3v3√(16 − v2)

3

temosd2

dv2A (v)

∣∣∣∣v=2√

2< 0, donde conclui-se que em v = 2

√2 a função

A : [0, 4] −→ R

v 7−→ A (v)

144 2. Derivada

atinge seu máximo (como A(0) = A(4) = 0, este é o único máximo no intervalo fechado [0, 4]).Logo, os vértices do retângulo de área máxima são:(

2√

2,32

√2),(−2√

2,32

√2),(−2√

2,−32

√2)

e(

2√

2,−32

√2).

Evidentemente, o comprimento da base é 4√

2, a altura 3√

2 e a área 12x2 = 24.

É possível generalizar este resultado. De fato, se considerarmos a elipse

x2

a2 +y2

b2 = 1,

o retângulo de área máxima de vértices sobre ela e lados paralelos aos eixos tem área igual a 2ab (emedidas dos lados 2

√a e 2

√b).

Exemplo 2.11.8Dos pontos sobre a parábola y = x2, qual está mais próximo de Q = (0, 2)?

x

y

(0,2)Q

x

P=(x,x2)d(P,Q

)

Um ponto P =(x, x2

)sobre a parábola dista do

ponto Q

d (P,Q) =

√(x− 0)2 + (x2 − 2).

Como a função raiz quadrada é sempre crescente,determinar o mínimo de d (P,Q) equivale a deter-minar o mínimo de D = d2 (p,Q). Temos

D (x) = x2 + x4 − 4x2 + 4 e, logo,

D (x) = x4 − 3x2 + 4 e

D ′ (x) = 4x3 − 6x = 4x(x2 −

32

).

Assim D ′ (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = ±√

62

. Como D ′′ (x) = 12x2 − 6 temos D ′′ (0) = −6 < 0

e D ′′(±√

62

)= 30 > 0. Portanto, em (0, 0) temos um máximo local de D, e em

(−

√6

2,

32

)e(√

62

,32

)temos a distância mínima. Isto é, P1 =

(−

√6

2,

32

)e P2 =

(√6

2,

32

)são os pontos da

parábola mais próximos de Q = (0, 2).

x

y

(0,4)


Através da Regra da Cadeia é possível calcular a derivada de uma variável em relação à outra casoestas estejam relacionadas (mesmo que implicitamente) através de uma equação. Do mesmo modo, pode-mos obter a derivada de ambas as variáveis em relação a qualquer outra terceira variável, desde que existacoerência na inserção desta.

No que se segue consideraremos esta terceira variável independente como sendo o tempo t. Eviden-temente, relações (igualdades) entre duas (ou mais) grandezas x e y, por exemplo, implicam na relação

entre as taxas de variação (derivadas) destas em relação ao tempo t,dx

dtedy

dt, respectivamente.

Exemplo 2.11.9Areia é despejada sobre uma superfície plana a uma taxa constante de 0, 64π metros cúbicos por

minuto, de modo que o monte formado tem a aparência de um cone com diâmetro igua a quatro vezesa altura. Quando a altura do monte é de 0, 8 metros, a que taxa a altura está variando?

dV

dt= 0, 64m3/min

Temos V =13πr2h. Como 2r = 4h, V =

4π3h3 e, portanto,

dV

dt= 4πh2dh

dt.

Substituindo h = 0, 8 edV

dt= 0, 64π segue

dh

dt= 0, 25 m/min.

Evidentemente, no exemplo acima, a velocidade com que a altura do cone aumenta depende da própria

altura. Como consideramosdV

dtconstante,

dh

dt=

0, 16h2 e, logo, tal velocidade diminui à medida que h

cresce.Exemplo 2.11.10

Uma lâmpada fixada no topo de um poste de 6m de altura ilumina uma calçada na qual está umhomem de 1, 8m.

(i) Se o homem caminha em direção ao poste a uma velocidade de 2 m/s, com que velocidadediminui o tamanho de sua sombra?

(ii) Se o homem se afastar do poste em linha reta a 5 m/s, com que velocidade aumenta o tamanhode sua sombra.

Sejam x a distância que o homem está do poste e s o comprimento de sua sombra. Do Teorema deTales,

x+ 56

=s

1, 8=

10s18

Logo, s =37x e, portanto,

ds

dt=

37dx

dt.

Assim

(i) Sedx

dt= −2 m/s temos

ds

dt= −

67m/s;

(ii) Sedx

dt= 5 m/s, então

ds

dt=

157

m/s.

146 2. Derivada

Diferentemente do Exemplo 2.11.9,ds

dt, no exemplo acima, não depende de s. Colocamos o sinal

negativo emdx

dtno caso (i) para representar que x decresce quando o homem se aproxima do poste (e,

consequentemente, o tamanho de sua sombra também, decresce). Por outro lado, no caso (ii), quando ohomem afasta-se do poste, sua sombra cresce de tamanho (pelo menos enquanto a lâmpada do poste oilumina).

Exemplo 2.11.11Uma escada medindo 5 metros está recostada em uma parede. Quando um sujeito descuidado sobe

os degraus da escada, esta começa a deslizar pela parede com sua base deslizando no solo de umavelocidade de 0, 3 m/s.

Quando o topo da escada está a 3 metros do solo, com que velocidade ele está se aproximando dosolo?

2.12 Exercícios

2.12.1 Determine, caso existam, os valores máximos e mínimos das funções abaixo no intervalo indicado.

(a) f (x) = 3x2 − 4x+ 1, ]−2, 0[

(b) f (x) = 3x2 − 4x+ 1, [0, 2]

(c) g (x) = cosh x, ]−∞,+∞[

(d) g (x) = x sen x,[−π

2,π

2

](e) h (x) =

11 + x2 , ]−∞,+∞[

(f) y =x

x2 + 1, ]−∞,+∞[

(g) y = x√

1 + x2, [−3, 2]

(h) y =(x2 − 1

)(x− 2)2, ]−∞,+∞[

(i) f (x) =(x2 − 3

)ex, ]−∞,+∞[

(j) y = ex2, ]−1, 1[

2.12.2 Generalize o resultado do Exemplo 2.11.6; isto é, obtenha os vértices, as medidas e a área do

retângulo de área máxima inscrito na elipsex2

a2 +y2

b2 = 1.

2.12.3 Dos pares de números reais positivos que tem o produto igual a 200, qual par tem a maior somapossível?

2.12.4 Dos pares de números reais cuja soma é 20, qual par tem maior produto possível?

2.12.5 O custo C, em reais, para produzir 100n unidades de certo artigo feminino é determinado por

C (n) = 5000 + 2250n− 5n2.

Determine a quantidade n para que o custo seja mínimo.

2.12.6 Duas hastes verticais, medindo 4m e 12m de altura, estão fincados no solo distando 8m um dooutro. Um único cabo de aço ligará o topo das duas hastes ao solo (como no desenho abaixo). A quedistâncias das duas hastes o cabo deverá ser fixado ao solo?


4m

12m

8m

3Integração

3.1 Introdução: Antiderivada de uma função e a Integral IndefinidaVimos, nas seções anteriores, como é possível, dada uma função f : I −→ R, avaliar em quais pontos x ∈ I,f é diferenciável. No conjunto J de todos estes pontos, podemos definir a função derivada de f

df

dx: J −→ R

x 7−→ df

dx(x).

De maneira bem informal, o que queremos obter a partir de agora é exatamente o contrário, isto é, dadauma função

g : I −→ Rx 7−→ g(x)

em que condições é possível obter um conjunto J ⊂ I e uma função

G : J −→ Rx 7−→ G(x)

tal qued

dxG (x) = g (x) .

A função G assim obtida será uma antiderivada (ou primitiva) da função g.

Teorema 3.1.1 Seja f : I−→ R uma função e suponha F : I−→ R uma primitiva qualquer de f. Entãoqualquer função G que seja primitiva de f é da forma

G (x) = F (x) + C, ∀x ∈ I, onde C é uma constante arbitrária.

Demonstração : Obviamente, se G (x) = F (x) + C temos

d

dxG (x) =

d

dx[F (x) + C] =

d

dxF (x) +

dC

dx= f (x)

e G é primitiva de f.Nos resta mostrar que se G é uma primitiva qualquer de f então G é da forma acima. Para tanto,

suponha G, F : I−→R tais quedF

dx=dG

dx= f.

148

3.1. Introdução: Antiderivada de uma função e a Integral Indefinida 149

Considere uma função H : I−→R tal que H (x) = G (x)−F (x). Se H não fosse constante em I existiriamx1, x2 ∈ I com x1 < x2, tais que H (x1) 6= H (x2) . Como F e G são diferenciáveis, H também é diferenciávele, do Teorema do Valor Médio, existe c ∈ I, x1 < c < x2 tal que

d

dxH (c) =

H (x2) −H (x1)

x2 − x16= 0.

No entanto,d

dxG (c) =

d

dxF (c) = f (c)

e, portanto,d

dxH (c) =

d

dxG (c) −

d

dxF (c) = 0. (Contradição!)

Portanto, H só pode ser constante e, logo, G (x) = F (x) + C.

Assim, para uma função g e uma antiderivada arbitrária G adotaremos a notação∫g (x)dx = G (x) + C

(lê-se: a integral indefinida de g (x) em relação a x é G (x)+C), para representar o conjunto das primitivasde g. O símbolo

∫é a notação para a operação de integração, dx é a diferencial de x, que não deixa dúvidas

(e isso será fundamental mais tarde) a respeito da variável de integração.

Exemplo 3.1.1

Um foguete de brinquedo é lançado vertical-mente para cima, a partir de uma plataforma mó-vel a 1m do solo, com uma velocidade inicial40m/s.

(a) Determine a altura do foguete em função dotempo t, decorrido após o lançamento.

(b) Após quanto tempo o foguete retorna a estara 1m do solo.

(c) En que instante t o foguete toca o chão?

1m

40m/s

g = −10m/s2

Figura 3.1.1

(a) Considere

h : [0,+∞) −→ Rt 7−→ h(t)

a função que fornece a altura do foguete no instante t. Temos h (0) = 1 e, como a velocidade é aderivada de h, h ′ (0) = 40. Considerando a aceleração da gravidade igual a −10m/s2 e sabendoque a aceleração é a derivada da velocidade, seguem

1.d2

dt2h (t) =d

dtv (t) = −10m/s2 ⇒ v (t) = −10t+ C1 e, portanto,

40 = v (0) = −10 · (0) + C1 ⇒ C1 = 40.

2.dh

dt= −10t+ 40⇒ h (t) = −5t2 + 40t+ C2 e, portanto,

1 = h (0) = −5 · (0)2 + 40 · (0) + C2 ⇒ C2 = 1.

150 3. Integração

Concluímos que h (t) = −5t2 + 40t+ 1 é a função que representa a altura do foguete em relaçãoao tempo t, decorrido após o lançamento.

(b)

h (t) = 1⇐⇒ −5t2 + 40 = 0⇐⇒ −5t (t− 8) = 0⇐⇒ t = 0 ou t = 8

Obviamente, t = 0 representa o instante do lançamento. Logo, o foguete volta a estar a 1m dosolo decorridos 8 segundos do lançamento.

(c)

h (t) = 0⇐⇒ −5t2 + 40t+ 1 = 0

⇐⇒ t =40±

√(40)2 − 4 · (−5) · 1

2 · (−5)=

−40±√

1620−10

=−40± 18

√5

−10

⇐⇒ t1 =40 − 18

√5

10< 0 e t2 =

40 + 18√

510

> 0

Como t1 = 40−18√

510 ≈ −0, 025 < 0 está fora do domínio de h, o foguete toca o solo decorridos

40+18√

510 ≈ 8, 025 segundos do lançamento.

Evidentemente, poderíamos fazer questionamentos outros a respeito do exemplo acima. Qual a alturamáxima atingida pelo foguete? Em que instante a velocidade atinge exatos 30m/s? Etc. Alguns destesquestionamentos ficam para os exercícios.

Mais geralmente, se um objeto é lançado verticalmente para cima, à partir de uma altura h0 (emmetros), com uma velocidade inicial v0 (em metros por segundo), considerando a aceleração da gravidadea (em metros por segundo ao quadrado), é imediato verificar que

h (t) = h0 + v0t−a

2t2.

O exemplo anterior e sua generalização ilustra um caso simples da resolução de uma equação diferencialsujeita a valores de contorno.

As equações y ′ = ϕ (x) e y ′′ = ψ (x) são equações diferenciais (a variáveis separáveis) de 1ª e2ª ordem, respectivamente. Neste contexto, y é uma função de variável x, que desejamos conhecer, daqual é conhecida a derivada 1ª ou 2ª (ou, mais geralmente, a enésima derivada, ou ainda uma relaçãoentre y e suas derivadas).

Usando a notação de Leibniz, temos

dy

dx= ϕ (x)⇒ y =

∫ϕ (x)dx

ed

dx

(dy

dx

)=d2y

dx2 = ψ (x)⇒ dy

dx=

∫ψ (x)dx

e, portanto, a solução geral, no 1º caso, é o conjunto de todas as primitivas de ϕ e, no 2º caso, a solução éo conjunto de todas as primitivas das primitivas de ψ (o processo de encontrar primitivas está diretamenteligado à ordem da equação). Evidentemente, dadas as condições inicias (condições de contorno), é possívelestabelecer a solução particular do problema.

Voltando às noções preliminares, e omitindo os domínios por simplicidade, uma função f dada podepossuir uma infinidade de antiderivadas, todas elas, de acordo com o Teorema 3.1.1, diferindo por umaconstante. Por outro lado, o conjunto de todas as antiderivadas é o que chamamos de integral indefinida,e se F é uma antiderivada arbitrária de f temos


∫f (x)dx = F (x) + C.

Em todo o restante deste texto, a diferencial (neste caso dx) denotará a variável em que é efetuada aoperação de integração e, consequentemente, a variável independente na antiderivada. É comum afirmarque tal variável é "muda", pois a troca da variável deixa inalterada a operação de integração; isto é,∫

f (t)dt = F (t) + C,∫f (u)du = F (u) + C,

∫f (ξ)dξ = F (ξ) + C, . . .

De acordo com as propriedades da derivada, vistas anteriormente, para toda constante K e para todasfunções diferenciáveis F e G temos:

(i)d

dx[kF(x)] = k

d

dxF(x);

(ii)d

dx[F(x)±G(x)] = d

dxF(x)± d

dxG(x).

Portanto, podemos destacar as seguintes propriedades das Integrais Indefinidas.

Proposição 3.1.1. Sejam f e g funções definidas em I ⊂ R e suponha F e G antiderivadas de f e g,respectivamente, em I. Então,

(i)∫kf (x)dx = kF (x) + C, para toda constante k;

(ii)∫[f (x)± g (x)]dx = [F (x)±G (x)] + C

(onde C é uma constante arbitrária).

Exemplo 3.1.2 ∫(4x− 3)dx = 2x2 − 3x+ C

Exemplo 3.1.3 ∫ (3 cos x− 2 sec2 x

)dx = 3 sen x− 2 tg x+ C,

(já qued

dxsen x = cos x e

d

dxtg x = sec2 x).

Exemplo 3.1.4

∫ (1

2x3 −2x

)dx = −

14x2 − 2ln|x|+ C

= −14x−2 − lnx2 + C

No Exemplo 3.1.2 poderíamos ter escrito∫(4x− 3)dx = 4

∫xdx− 3

∫xdx = 4

(x2

2+ C1

)− 3(x+ C2) = 2x2 − 3x+ (4C1 − 3C2)

152 3. Integração

e no Exemplo 3.1.3, de modo análogo,∫ (1

2x3 −2x

)=

12

∫dx

x3 − 2∫dx

x= −

14x2 − 2lnx+

(−

14C3 − 2C4

)porém, é fácil observar que podemos denotar 4C1 − C2 e −

14C3 − 2C4 por uma única constante arbi-

trária C, o que torna o processo mais simples. Assim, por exemplo, se

p (x) = anxn + . . . + an−1x

n−1 + . . . + a2x2 + a1x+ a0

é um polinômio de grau n (an, . . . ,a0 são constantes fixadas), então, ao invés de escrevermos uma com-binação de n constantes arbitrárias ao final do processo de integração, escrevemos simplesmente,∫

p (x)dx =

∫(anx

n + . . . + a1x+ a0)dx

=an

n+ 1xn+1 +

an−1

nxn + . . . +

a1

2x2 + a0x+ C

Observe que estendemos, de modo intuitivo, o item (ii) da Proposição 3.1.1 para mais de duas parcelas,usando a propriedade associativa da adição.Exemplo 3.1.5

∫ √x− 2x

3√x2

dx =

∫ √x

3√x2dx− 2

∫x

3√x2dx

=

∫x−

16dx− 2

∫x

13dx

=65x

56 − 2 · 3

4x

43 + C

=65

6√x5 −

32x 3√x+ C

A operação de encontrar a integral indefinida de uma função f dada, simbolizada por∫f (x)dx,

fornece uma infinidade de primitivas distintas de f, todas diferindo entre si por constantes. Isto significaque estamos representando uma família, F(x) + C, de primitivas, cujos gráficos no plano cartesiano sãotranslações verticais do gráfico de y = F(x) (ou de qualquer outra função da família).

Exemplo 3.1.6A função f(x) = 3x2 − 12 tem como uma de suas primitivas F(x) = x3 − 12x e, como∫ (

3x2 − 12)dx = x3 − 12x+ C. Podemos representar

∫f (x)dx através da família de curvas abaixo.


x

y

C = 3

C = 2

C = 1

C = 0

C = −1

C = −2

C = −3

Figura 3.1.2

Do mesmo modo, na familia∫f (x)dx, podemos estar interessados em uma primitiva F em particular,

que passe pelo ponto (x0,y0), por exemplo. Neste caso, estamos lidando com um Problema de Valor Inicial(ou Problema de Valor de Contorno, ou ainda, Problema de Cauchy), PVI, associado à equação diferencialde 1ª ordem y ′ = f(x). É costume denotar Problemas de Valor Inicial deste tipo pela notação

(1)

{y ′ = f(x)

y(x0) = y0.(Em casos mais gerais, o PVI é representado por

{y ′ + b(x)y = f(x)

y(x0) = y0

).

De modo análogo, a equação de 2ª ordem y ′′ = g(x) está associada a um PVI desde que, na abcissa

x0 sejam conhecidas as imagens da função g e de sua derivada primeira. Isto é,

y ′′ = g(x)

y(x0) = y0

y ′(x0) = y′0

.

Exemplo 3.1.7Sabe-se que uma certa função y = f(x) tem por derivada em cada abcissa x > 0, y ′(x) = 2x− 3x2.

Se f(2) = 5, determine o gráfico de f no plano cartesiano.

Estamos interessados na solução do PVI

{y ′ = 2x− 3x2

y(2) = 5. Mas

dy

dx= 2x− 3x2 =⇒ dy =

(2x− 3x2

)dx

=⇒∫dy =

∫ (2x− 3x2)dx

=⇒ y(x) = x2 − x3 + C.

154 3. Integração

Como y(2) = 5 segue(2)2 − (2)3 + C = 5 =⇒ C = 9.

Portanto, F(x) = x2 − x3 + 9.

x

y

(2,5)

Figura 3.1.3

3.2 Exercícios

3.2.1 Verifique a validade das seguintes afirmações: “Sejam f,g : I −→ R funções e seja k ∈ R umaconstante. Então:

(i)∫[f (x) + g (x)]dx =

∫f (x)dx+

∫g (x)dx;

(ii)∫kf (x)dx = k

∫f (x)dx.”

(Em outras palavras, na linguagem da álgebra linear, estamos afirmando que∫é um operador linear no

espaço de funções que possuem antiderivada).3.2.2 Use o Exercício 3.2.1 e a tabela de integrais indefinidas e determine:

(a)∫

2x4dx

(b)∫(3ex − sen x)dx

(c)∫ (

2x− 3x5)dx(d)∫

sen x cossec xdx

(e)∫ (

1 − x4 + 3 cos x)dx

(f)∫

7 sec2 xdx

3.2.3 Mostre que G (x) = x ln x− x é uma primitiva de g (x) = ln x.

3.2.4 Seja k 6= 0. Derive a função G (x) =sen (kx)

ke mostre que∫

cos (kx)dx =sen (kx)

k+ C.

3.2.5 Calcule a integral indefinida e verifique, através da diferenciação, o resultado encontrado.


(a)∫(2x− 3)dx

(b)∫(6 − 5x)dx

(c)∫ (x− 3x2)

(d)∫ (

4x3 − 3x2 + 2x− 1)dx

(e)∫ (√

x− 3 3√x)dx

(f)∫x2 − 2 3

√x

x√x

dx

(g)∫ (u− 3u2)udu

(h)∫ (

1x5 −

3x2

)dx

(i)∫(x− 1) (x+ 1)dx

(j)∫(t− 1)2 tdt

(k)∫(w+ 1)3 dw

(l)∫

2dx

(m)∫π√θdθ

(n)∫θ√θdθ

(o)∫θ− 1√θdθ

3.2.6 Calcule a integral indefinida e verifique, através da diferenciação, o resultado encontrado.

(a)∫(sen x+ 2 cos x)dx

(b)∫ (θ2 − 3 sen θ

)dθ

(c)∫ (

sen x− 2 sec2 x)dx

(d)∫

sen xcos2 x

dx

(e)∫

sec xtg x+ sec x

(sec x+ tg x)dx

(f)∫

1 − sen2 x

cos x

(g)∫

cos x1 − cos2 x

(h)∫ (

1 + tg2 θ)dθ

3.2.7 Encontre a solução para cada um dos PVI’s abaixo:

(a)

{y ′(x) = 5x− 1y(0) = 1

(b)

{f ′(x) = 1 − x2

f(0) = −1

(c)

g ′′(x) = 3g(0) = 2g ′(0) = 1

(d)

f ′′(x) = x2 − 1f(0) = 1f ′(0) = 2

(e)

h ′′(x) = cos xh(0) = 1h ′(0) = 0

(f)

f ′′(x) = 4x− 5x4

f(0) = 0f ′(0) = 0

3.2.8 Justifique cada igualdade da tabela de integrais abaixo (considere a > 0, c, k constantes arbitrá-rias):

TABELA DE INTEGRAIS

1.∫undu =

un+1

n+ 1+ C, n 6= −1

3.∫

cos(ku)du =sen(ku)k

+ C5.∫eudu = eu + C

156 3. Integração

7.∫

cotg(ku)du =ln| sen(ku)|

k+ C

9.∫

sen2udu =u

2−

sen(2u)4

+ C

11.∫

du

a2 + u2 =1a

arctg(u

a) + C

13.∫

du

u√u2 − a2

= arcsec(ua

)+ C

15.∫

tg(ku)du = −ln| cos(ku)|

k+ C

17.∫ln(u)du = u · ln(u) − u+ C

19.∫

coshudu = senhu+ C

2.∫u−1du = ln|u|+ C

4.∫

sen(ku)du = −cos(ku)k

+ C

6.∫audu =

1ln(a)

au + C, a 6= 1

8.∫

sec(ku)du =1kln| sec(ku) + tg(ku)|+ C

10.∫

cos2udu =u

2+

sen(2u)4

+ C

12.∫

du√a2 + u2

= arcsen(u

a) + C

14.∫

du

u2 − a2 =1

2aln

∣∣∣∣u− a

u+ a

∣∣∣∣+ C16.∫

cossec(ku)du =−1kln| cossec(ku) + cotg(ku)|+ C

18.∫

senhudu = coshu+ C

20.∫

tghudu = ln

(eu − e−u

2

)+ C

3.2.9 Calcule a integral indefinida e confira o resultado por diferenciação:

(a)∫(2x− 3)dx

(b)∫(1 − 2x)dx

(c)∫(r− 4r3)dr

(d)∫(3x2 + 6x3 − 3)dx

(e)∫(y3 + 2y)dy

(f)∫πdθ

(g)∫

2πrdr

(h)∫(√x3 + 2

√x+ 2)dx

(i)∫ (x√x+

x

2√x

)dx

(j)∫(

3√x5)dx

(k)∫ √

w+ 1w2 + 2w+ 1

dw

(l)∫

2w2 −w+ 13√w2

dw

(m)∫(2v− 1)2(v+ 1)dv

(n)∫(t+ 1)3dt

(o)∫(1 + r)2r4dr

(p)∫dθ

(q)∫vdv

(r)∫πr2dr

(s)∫(sen θ− cos θ)dθ

(t)∫(t2 − cossec tcotg t)dt

(u)∫(θ2 − 2cos2θ)dθ

(v)∫sec y(3sec y+ 2tg y)dy

(w)∫(1 − sen2y)dy

(x)∫sen xcos2x

dx

3.2.10 Encontre uma função f tal que:

(i) f ′(x) = x+ 1, f(0) = 0;

(ii) f ′(t) = t2 + 2, f(0) = −1;

(iii) f ′(t) = t− t2 + t3, f(1) = 1;


(iv) f ′(x) = x2 + x, f(0) = −3;

(v) f ′′(x) = 1, f ′(1) = 1, f(1) = 1;

(vi) f ′′(x) = x, f ′(0) = 1, f(0) = −1;

(vii) f ′′(x) = 15√x− 6x, f ′(0) = 3, f(0) = −1;

(viii) f ′′(x) = 2 sen x− 3 cos x, f ′(0) = 1, f(0) = 6.

3.2.11 Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir de uma altura inicial de 3 metros, comvelocidade inicial de 10m/s. Qual a altura máxima atingida pela bola?3.2.12 Um balão, subindo verticalmente para cima com uma velocidade de 7m/s atinge uma altura de32m, em relação ao solo, no momento em que um objeto maciço se desprende e começa a cair na vertical(despreze a resistência do ar). Quantos segundos, após se desprender, o objeto atinge o solo? Qual avelocidade do impacto?3.2.13 Determine uma função F que seja primitiva, simultaneamente, de f1(x) = tg2 x e de f2(x) = sec2 x.Por quê isso ocorre?

3.2.14 Mostre que sen2 x = −12

cos 2x+ c para alguma constante c ∈ R e determine c.

3.2.15 Sejam c, k ∈ R tais qued

dx[cx sen x+ k cos x] = x cos x. Determine c, k e

∫x cos xdx.

158 3. Integração

3.3 Partição de Intervalos e Área sob uma curvaSeja [a,b] um intervalo da reta e considere f : [a,b]−→R uma função que assume apenas valores positivos,para clarear as ideias. O gráfico de f, portanto, está inteiramente contido no 1◦ e 2◦ quadrantes do planocartesiano.

a b

y = f(x)

x

y

Figura 3.3.1

Estamos interessados no cálculo da área S da região compreendida entre a curva y = f (x), o eixo x eas retas verticais x = a e x = b, destacada na Figura 3.3.1.

Caso f seja contínua em [a,b], f possui um ponto de mínimo (xm, f (xm)) e um ponto de máximo(xM, f (xM)) com xm, xM ∈ [a,b] e, neste caso, denotando m = f (xm) e M = f (xM), temos

m (b− a) 6 S 6M (b− a).

Portanto, o número m(b − a) pode ser visto como uma "aproximação por falta"(grosseira) de S e onúmeroM(b− a) uma "aproximação por excesso"de S (também grosseira). Nosso interesse nessa seção é"refinar"tais aproximações. Para tanto, vamos tomar partições do intervalo [a,b] como definimos a seguir.

Definição 3.3.1 Uma partição P do intervalo [a,b] é um conjunto de pontos

P = {x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn}

tais que a = x0 < x1 < x2 < . . . < xj−1 < xj < . . . < xn = b.Observe que P redefine em [a,b] n subintervalos [x0, x1], [x1, x2], . . .,

[xj−1, xj

], . . ., [xn−1, xn],

contidos em [a,b];[xj−1, xj

]é dito j-ésimo subintervalo de [a,b] (observe que xj−xj−1 é o comprimento

deste intervalo).A norma da Partição P é igual à maior medida dentre todos os comprimentos de subintervalos de

P.

Voltando ao interesse inicial, a área esboçada na Figura 3.3.1, nosso procedimento será o seguinte, paraobter uma aproximação de S, tomamos uma partição P de [a,b] e, em cada subintervalo escolhemos umnúmero cj ∈

[xj−1, xj

], de maneira que a área sob a restrição de f a este subintervalo é aproximadamente

f(cj) (xj − xj−1

).

Observamos que, caso f(cj)seja o valor mínimo de f em

[xj−1, xj

], a aproximação da área sob o

gráfico da restrição de f ao j-ésimo subintervalo será uma aproximação por falta e, por outro lado, sef(cj)for o valor máximo, uma aproximação por excesso.

De qualquer modo, escolhidos aleatoriamente c1, c2, c3, . . . , cn pertencentes, respectivamente, a[x0, x1] , [x1, x2] , . . . , [xn−1, xn], o número

3.3. Partição de Intervalos e Área sob uma curva 159

n∑j=1

f(cj) (xj − xj−1

)= f (c1) (x0 − x1) + f (c2) (x1 − x2) + . . . + f (cn) (xn − xn−1)

é uma aproximação do número S.

a b

y = f(x)

x

y

Figura 3.3.2

x0 = a cj b = xn

y = f(x)

xj−1 xj x

y

Figura 3.3.3

Exemplo 3.3.1Considere a função f(x) = x2 + 2, definida no intervalo [−2, 3].Escolhida a partição P1 = {−2,−1, 0, 1, 2, 3} (de norma 1) e escolhidos

−32∈ [−2,−1] ,−

12∈ [−1, 0] ,

12∈ [0, 1] ,

32∈ [1, 2] e

52∈ [2, 3]

temos uma aproximação da área S esboçada ao lado,

S ≈ f(−

32

)· 1 + f

(−

12

)· 1 + f

(12

)· 1 + f

(32

)· 1 + f

(52

)· 1

=

(94+ 2)+

(14+ 2)+

(14+ 2)+

(94+ 2)+

(254

+ 2)

=454

+ 10 =854

= 21, 25.

Evidentemente, se escolhemos a partição P,

P2 = {−2;−32

;−1;−12

; 0;12

; 1;32

; 2;52

; 3}

e os números−74

,−54

,−34

,−,14

,34

,54

,74

,94e

114

em cada um dos subintervalos[−2,−

32

],[−

32

,−1]

, . . . ,[

2,52

]e[

52

, 3], respectivamente, obtemos

160 3. Integração

S ≈ f(−

74

)· 1

2+ f

(−

54

)· 1

2+ f

(−

34

)· 1

2+ . . . + f

(94

)· 1

2+ f

(114

)· 1

2

=

(4916

+ 2)· 1

2+

(2516

+ 2)· 1

2+

(916

+ 2)· 1

2+

(116

+ 2)· 1

2+

(116

+ 2)· 1

2+

(9

16+ 2)· 1

2

+

(2516

+ 2)· 1

2+

(4916

+ 2)· 1

2+

(8116

+ 2)· 1

2+

(12116

+ 2)· 1

2

=2× 29 + 2× 25 + 2× 9 + 2× 1 + 81 + 121

32+ 10

=370 + 320

32=

69032

= 21, 5625.

12

1 32

2 52

3−2−32−1 −1

2x

y

Figura 3.3.4

Como veremos adiante, o valor exato da área da região esboçada na Figura 3.3.4 é653. Para obtê-la

inicialmente observamos as propriedades da notação Σ (sigma) para representação de somatórios.

Definição 3.3.2 Seja

a :N−→Rn 7−→ a (n) = an

uma função que a cada número n = {1, 2, 3, . . .} associa o número real an ∈ R (tal função é chamadasucessão ou sequência de números reais), fixados k ∈ R definimos:

Sk = a1 + a2 + . . . + ak−1 + ak =

k∑n=1

an

A notaçãok∑n=1

an representa o somatório de an quando n varia de 1 a k.

É possível avaliar a existência de limites no infinito tanto para ak quanto para Sk. Caso exista

3.3. Partição de Intervalos e Área sob uma curva 161

limk→∞Sk = lim

n→∞∞∑n=1

an

dizemos que∞∑n=1

an converge, e, em caso contrário, diverge. Quando tal limite existe é costume

escrever

S∞ = S =

∞∑n=1

an.

Valem algumas observações a respeito da notação de somatório. Para descrevê-las, suponhamos an ebn duas sequências arbitrárias, c,c1, e c2 constantes reais e k ∈ N. Então

Observação 3.3.1.k∑n=1

c = kc.

Observação 3.3.2.k∑n=1

[c1an + c2bn] = c1

k∑n=1

an + c2

k∑n=1

bn.

Observação 3.3.3.k∑n=i

an = ai + ai+1 + · · ·+ an =

k∑n=1

an −

i−1∑n=1

an.

e, em particular,k∑n=k

an = ak.

Proposição 3.3.1. Valem as seguintes igualdades:

(i)k∑n=1

n =k(k+ 1)

2(soma dos k primeiros números naturais);

(ii)k∑n=1

(2n− 1) = k2 (soma dos k primeiros naturais ímpares)

(iii)k∑n=1

(2n) = k (k+ 1) (soma dos k primeiros naturais pares)

(iv)k∑n=1

n2 =k(k+ 1)(2k+ 1)

6(soma dos k primeiros quadrados perfeitos)

(v)k∑n=1

n3 =k2(k+ 1)2

4(soma dos k primeiros cubos perfeitos)

(vi)k∑n=1

xn =xk+1 − 1x− 1

, para todo número real x 6= 1.

A demonstração destas e das demais propriedades dos somatórios ficam a cargo do leitor.Voltemos ao problema de determinar a área da região esboçada na Figura 3.3.1. Se escolhermos uma

partição P de [a,b] tomando n ∈ N e

x0, x1 = a+b− a

n, x2 = a+ 2

b− a

n, . . ., xj = a+ j

b− a

n, . . ., xn = b

162 3. Integração

temos, para cada retângulo da Figura 3.3.2 a área f(cj) (xj − xj−1

)= f

(cj) b− a

n.

Se escolhemos cj = xj, por exemplo a soma das áreas de todos os retângulos da Figura 3.3.2 se tornan∑j=1

[f

(a+ j

b− a

n

)· b− an

]e podemos calcular o valor exato da área passando o limite nesta última

expressão quando n tende a infinito, isto é

S = limn→∞

n∑j=1

[f

(a+ j

b− a

n

)· b+ an

](3.3.0)

Usemos o procedimento anterior para justificar a afirmação feita ao final do Exemplo 3.3.1, isto é, que

a área esboçada na Figura 3.3.4 é653.

Exemplo 3.3.2O valor exato da área compreendida entre o gráfico de f(x) = x2 + 2 e o eixo x, desde x = −2 até

x = 3, é653.

De fato, escolhendo a partição

P = {−2,−2 +5n

, · · · ,−2 +5jn

, · · · , 3}

(observe que o comprimento do intervalo [−2, 3] é 3−(−2) = 5) e cj = −2+5jn

temos, da equação3.3

S = limn→∞

n∑j=1

[f

(−2 +

5jn

)· 5n

]

= limn→∞

n∑j=1

{[(−2 +

5jn

)2

+ 2

]· 5n

}

= limn→∞

n∑j=1

{[4 −

20jn

+25j2

n2 + 2]· 5n

}

= 5 limn→∞

1n

n∑j=1

6

−20n2

n∑j=1

j

+25n3

n∑j=1

j2

= 5 lim

n→∞[

6 −20n2 ·

n(n+ 1)2

+25n3 ·

n(n+ 1)(2n+ 1)6

]= 5 lim

n→∞[

6 − 10 −10n

+253

+252n

+25

6n2

]= 5

(−4 +

253

)= 5 ·

(133

)=

653

.


3.4 Exercícios

3.4.1 Considere a função f definida a seguir:

(i) Observe que f(x) > 0 para x ∈ [−2, 3];

(ii) Com auxílio das partições P1 e P2 do Exemplo 3.3, ache duas aproximações para a área compreendidaentre y = f(x), x = −2, x = 3 e y = 0.

(iii) Use o artifício empregado no Exemplo 3.3.2 e encontre o valor exato da área

(a) f(x) = x+ 3

(b) f(x) = 9 − x2

(c) f(x) = x2 − 2x+ 1

(d) f(x) =x2

4+ x+ 2

3.4.2 Utilize a notação de somatório para representar as somas finitas abaixo. Apresente o valor da somaem cada caso:

(i)1

3(2)+

13(4)

+1

3(8)+

13(16)

+1

3(32)+

12(64)

(ii)

[3 −

(54

)2]+

[3 −

(54

)3]+

[3 −

(54

)4]+

[3 −

(54

)5]+

[3 −

(54

)6]

(iii)1

1 · 2+

12 · 3

+1

3 · 4+

14 · 5

+1

5 · 6+

16 · 7

+1

7 · 8+

18 · 9

+1

9 · 10

3.4.3 Determine:

(a)17∑n=1

5n

(b)40∑n=1

(3n− 4)

(c)20∑n=1

(n− 3)2

(d)10∑n=1

(n2 − 2

)

(e)10∑n=1

(n+ 1)3

(f)10∑n=1

n (n+ 1)2

3.4.4 Calcule limk→∞

k∑n=1

an se:

(a) an =4nk2

(b) an =n2

k3

(c) an =(nk− 1)2· 2k

(d) an =

(2 +

3nk

)3

·(

4k

)

(e) an =(

3 +n

k

)2· 1k

(f) an =1k+n

k2

3.4.5 Cada uma das funções abaixo é positiva no intervalo I = [a,b]. Encontre, usando o artifícioempregado no Exemplo 3.3.2, a área da região compreendida entre y = f(x), x = a, x = b e y = 0. Façaum esboço da região em cada caso.

164 3. Integração

(a) f(x) = x2 − 2x+ 3; I = [−3, 2]

(b) f(x) = 2 − 3x; I = [−4,−1]

(c) f(x) = x3 + 1; I = [−1, 2]

(d) f(x) = x+ 4; I = [1, 3]

(e) f(x) = x2 + 1; I = [−1, 1]

(f) f(x) = x2 + x; I = [−1, 1]

(g) f(x) = x2 + x; I = [−1, 0]

3.4.6 Cada função abaixo é positiva em J = [c,d]. Encontre, usando o artifício empregado no Exemplo3.3.2, a área da região compreendida entre x = g(y), y = c, y = d e x = 0. Faça um esboço da região emcada caso.

(a) x = y2 + 1, J = [1, 4]

(b) g(y) = 2y+ 4, J = [−1, 5]

(c) g(y) =y2

2+ 3, J = [−2, 3]

(d) x = 3y− y2, J = [0, 3]

(e) h(y) = y2 − 4, J = [2, 4]

(f) f(y) = y3 + y2, J = [−1, 0]

3.4.7 Considere um círculo de raio r e para cada n ∈ N, considere P4n o polígono regular de 4n ladosinscrito em C.

(i) Faça um esboço de C e P4, obtenha a área delimitada por P4.

(ii) Faça um esboço de C e P8, obtenha a área delimitada por P8.

(iii) O que ocorre com a área interna delimitada por P4(n+1) em relação à área delimitada por P4n?

(iv) Existe o limite limn→∞P4n?

3.5. A Integral Definida 165

3.5 A Integral DefinidaNo Exemplo 3.3.2 utilizamos o limite

limk→∞

n∑n=1

f (cn) (xn − xn−1)

para obter o valor exato da área compreendida entre o gráfico de f(x) = x2 + 2, x = −2, x = 3 e y = 0.Naquele caso, o gráfico de y = f(x) estava localizado inteiramente acima do eixo x no intervalo [−2, 3].Tendo em mente o limite acima, ampliaremos o leque de funções em que o aplicaremos.

Definição 3.5.1 Seja f : [a,b] → R uma função. Dizemos que f é integrável em [a,b] quandoexiste o limite

S = lim‖P‖→0

k∑n=1

f (cn) (xn − xn−1)

em que P = {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b} é uma partição arbitrária do intervalo [a,b] ecn ∈ [xn−1, xn] é uma abcissa escolhida aleatoriamente no enésimo subintervalo da partição. Casoexista o limite S, denotamos

S =

∫ba

f(x)dx

chamada a integral definida de f no intervalo

a,b

.

Exemplo 3.5.1

A função f(x) = x2 + 2 é integrável em [−2, 3] e∫ 3

−2(x2 + 2)dx =

653.

Exemplo 3.5.2Considere a função constante g(x) = −3 e o intervalo [−4, 2]. Podemos tomar uma partição na

forma

P =

{−4,−4 +

6k

,−4 +12k

, . . . ,−4 + (n− 1)6k

,−4 + n6k

, . . . ,−4 + k6k= 2}.

Daí, como f(cn) = −3, ∀ cn ∈ [xn−1, xn], lim‖P‖→0

k∑n=1

(−3)(xn − xn−1) = −3 limk→∞

k∑n=1

(6k

)=

−3 · 6 = −18. De fato, podemos generalizar o exemplo anterior. Se f(x) = m, para todo x ∈ [a,b]então f é integrável em [a,b] e ∫b

a

mdx = m(b− a)

(Ver Exercício 3.6.2)

Quando m é uma constante positiva, m(b − a) é a área A do retângulo de base b − a e altura m;quando m é negativo m(b− a) é −A.

166 3. Integração

a b

y = m m > 0

x

y

Figura 3.5.1

a b

y = m m > 0

x

y

Figura 3.5.2

Exemplo 3.5.3Considere agora f(x) = 2x− 1 para −2 6 x 6 1. Tomando uma partição P de [−2, 1] na forma

P =

{−2,−2 +

3k

,−2 +6k

, . . . ,−2 + (n− 1)3k

,−2 + n3k

, . . . , 1}.

e, cada subintervalo[−2 + (n− 1)

3k

,−2 + n3k

]cn = −2 +

(n−

12

)3k(de fato, cn) é o ponto médio

do subintervalo [xn−1, xn]) temos

lim‖P‖→0

k∑n=1

(xn − xn−1) = limk→∞

∞∑n=1

[2cn − 1] · 3k

= limk→∞

∞∑n=1

{2[−2 +

(n−

12

)3k

]− 1}

3k

= limk→∞

∞∑n=1

{−5 + n · 6

k−

62k

}3k

= limk→∞

{k∑n=1

(−15k

)+

k∑n=1

(18k2n

)+

k∑n=1

(−18k2

)}

= limk→∞

{−15k· k+ 18

k2 ·k()k+ 1

2−

18k2 · k

}= limk→∞

{−15 +

[9 +

9k

]−

18k

}= −15 + 9 = −6

Portanto, f(x) = 2x− 1 é integrável em [−2, 1] e∫ 1

−2(2x− 1)dx = −6.

Na Definição 3.5.1 poderia ocorrer ambiguidade se o limite dependesse da escolha da partição P. Noentanto, é possível provar que, se os limites existem então

lim‖P‖→0

k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) = lim‖P‖→0

∞∑n=1

f(cn)(xn − xn−1)

para partições distintas do intervalo [a,b], na forma


P = {a = x0 < x1 < . . . < xk = b}

eP = {a = x0 < x1 < . . . < xk = b}

Assim, se S =

∫ba

f(x)dx existe então S não depende da escolha da partição P.

Destacamos agora algumas propriedades da integral definida. Tais propriedades tem uma consequênciaimportante, interligam os dois conceitos: o de integral indefinida, visto no início do capítulo, e o de integraldefinida.

Proposição 3.5.1. Seja I um intervalo da reta e sejam f,g : I−→R funções integráveis. Se a,b,d ∈ I ese C é uma constante real arbitrária então:

(1)∫aa

f(x)dx = 0;

(2)∫ab

f(x)dx = −

∫ba

f(x)dx;

(3)∫ba

f(x)dx =

∫da

f(x)dx+

∫bd

f(x)dx.

(4) Cf é integrável em I e ∫ba

(Cf)(x)dx = C

∫ba

f(x)dx

(5) (f+ g) é integrável em I e ∫ba

(f+ g)(x)dx =

∫ba

f(x)dx+

∫ba

g(x)dx.

Demonstração :

(1) Observe que para o intervalo degenerado [a,a] não há partição possível que não forneça∆xn = xn − xn−1 = 0 para todo n (de fato, a única partição possível é P = {a}). Logo,

lim‖P‖→0

∞∑n=1

f(a)(xn − xn−1) = 0.

(2) Para integrar de a até b, temos que tomar uma partição

P = {x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn < . . . < xk = b}

que, evidentemente, fornece de modo trivial uma partição degenerada

P = {xk = b > xk−1 > . . . > xn > xn−1 > . . . > x1 > x0 = a}.

Daí, ∫ab

f(x)dx = lim‖P‖→0

k∑n=1

f(cn)(xn−1 − xn)

= − lim‖P‖→0

∞∑n=1


= −

∫ba

f(x)dx.

(3) Suponha inicialmente a < d < b.Podemos tomar uma partição arbitrária de [a,b] com

168 3. Integração

P = {a = x0 < x1 < . . . < xl = d < . . . < xk = b}

que, portanto, pode ser subdividida em duas outras partições

P1 = {a = x0 < x1 < . . . < xl−1 < xl = d} de [a,d]

e

P2 = {d =< xl < xl+1 < . . . < xk−1 < xk = b} de [d,b].

Observe que ‖P‖ −→ 0⇐⇒ ‖P1‖ −→ 0 e ‖P2‖ −→ 0. Portanto,∫ba


k∑n=1


= lim‖P‖→0

[l∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) +

k∑n=l


]

= lim‖P1‖→0

l∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) + lim‖P2‖→0

k∑n=l


=

∫da

f(x)dx+

∫bd

f(x)dx

onde, na última igualdade, assumimos sem muito rigor que a não convergência do limite em qualquer

das duas parcelas acarretaria a divergência de lim‖P‖→0

k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1), pela escolha das partições

P1 e P2 a partir da partição arbitrária P, o que seria uma contradição.

(4) Por definição (Cf)(x) = Cf(x). Assim, se P é uma partição arbitrária de [a,b], então

lim‖P‖→0

k∑n=1

(Cf)(cn)(xn − xn−1) = lim‖P‖→0

k∑n=1

Cf(cn)(xn − xn−1)

= lim‖P‖→0

C

k∑n=1


= C lim‖P‖→0

k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1).

Como o último limite converge por hipótese, o primeiro também converge e, portanto,∫ba

(Cf)(x)dx = C

∫ba

f(x)dx.

(5) É deixada como exercício.

Exemplo 3.5.4Usando os resultados obtidos no Exercício 3.6.3 temos:

(i)∫ 4

−1(3x− 2)dx =

∫ 2

−1(3x− 2)dx+

∫ 4

2(3x− 2)dx =

32+ 14 =

3 + 282

=312

(ii)∫ 3

−3(5x+ 1)dx =

∫ 1

−3(5x+ 1)dx+

∫ 3

1(5x+ 1)dx = (−20 + 4) + (20 + 2) = 6

(iii)∫ 3

−3(27 − 3x2)dx =

∫ 3

−33(9 − x2)dx = 3

∫ 3

−3(9 − x2)dx = 3 · (36) = 108

(iv)∫−1

1(1 + x− x2)dx = −

∫ 1

−1(1 + x− x2)dx = −

43


Proposição 3.5.2. Sejam f,g : [a,b]−→R integráveis. Se f(x) < g(x), ∀ x ∈ [a,b] então∫ba

f(x)dx 6∫ba

g(x)dx.

Demonstração : Fixada uma partição arbitrária P = {a = x0 < x1 < . . . < xk = b} temos∫ba


k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) 6 lim‖P‖→0

k∑n=1

g(cn)(xn − xn−1)

=

∫ba

g(x)dx.

Corolário 3.5.1. Sejam f : [a,b]−→R integrável e suponha m e M, respectivamente, os valores mínimoe máximo de f em [a,b]. Então

m(b− a) 6∫ba

f(x)dx 6M(b− a).

Demonstração : De fato, da Proposição 3.5.1 temos

m 6 f(x) 6M, ∀ x ∈ [a,b] =⇒∫ba

mdx 6∫ba

f(x)dx 6∫ba

Mdx =⇒ m(b− a) 6∫ba

f(x)dx 6M(b− a)

Observe ainda que se f é contínua em [a,b] então, do Teorema de Weierstrass, f sempre possui mínimoe máximo em [a,b]. Assim, se tomamos uma partição arbitrária P = {a = x0 < x1 < . . . < xk = b} se m eM são os valores mínimos e máximos, respectivamente, de f em [a,b], então

k∑n=1

m(xn − xn−1) 6k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) 6k∑n=1

M(xn − xn−1),

limk→∞

k∑n=1

m(xn − xn−1) = m(b− a) e

limk→∞

k∑n=1

M(xn − xn−1) =M(b− a).

Portanto, L = limk→∞

k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1) existe e m(b− a) 6 L 6M(b− a).

Em outras palavras, se f é contínua em [a,b], então f é integrável em [a,b].

Corolário 3.5.2. Se f é contínua em [a,b], então∣∣∣∣∣∫ba

f(x)dx

∣∣∣∣∣ 6∫ba

|f(c)|dx.

Demonstração : Observe que |y| =max{−y,y}. Logo, max{−

∫ba

f(x)dx,∫ba

f(x)dx

}=

∣∣∣∣∫ba

f(x)dx

∣∣∣∣ 6 ∫ba

|f(x)|dx,

já que f(x) 6 |f(x)| e −f(x) 6 |f(x)|.

Proposição 3.5.3. Seja f : [a,b]−→R contínua. Suponha que f(x) > 0 para todo x ∈ [a,b] e que f(x) > 0,para algum x ∈]a,b[. Então, ∫b

a

f(x)dx > 0.

170 3. Integração

Demonstração : Como f é contínua em [a,b], existe c ∈ [a,b] tal que f(c) > f(x), para todo x ∈ [a,b].Podemos supor c 6= b ou c 6= a. Suponha 0 < k < f(c) e c 6= b, apelando novamente para continuidade def em [c,b], podemos afirmar que existe d ∈]c,b[ tal que f(x) > k para todo x ∈ [c,d].

(Ver Exercício 1.16.12).

Logo, ∫ba

f(x)dx =

∫ca

f(x)dx︸︷︷︸>0

+

∫dc

f(x)dx+

∫bd

f(x)dx︸︷︷︸>0

>∫dc

f(x)dx

>∫dc

kdx = k(d− c) > 0

Exemplo 3.5.5

Temos ln x 6 x para todo x > 0, logo∫ 10

1lnxdx 6

∫ 10

1xdx =

992.

(Na verdade, vale também a desigualdade estrita)

Exemplo 3.5.6

∫ 1

−1e−x

2dx > 0.

De fato, f(x) = e−x2> 0, ∀ x ∈ [−1, 1], e f é contínua em [−1, 1].

Agora estamos com todas as ferramentas necessária para apresentar o Teorema do Valor Médio paraIntegrais, com o qual encerramos esta seção.

Teorema 3.5.3 (O Teorema do Valor Médio para Integrais) Seja f : [a,b]−→R contínua. Então,existe c ∈]a,b[ tal que

f(c) =1

b− a

∫ba

f(x)dx.

Demonstração : Invocando novamente o Teorema de Weierstrass, como f é contínua em [a,b] então f possuimínimo m e máximo M em [a,b] e, já que f é integrável em [a,b],

m(b− a) 6∫ba

f(x)dx 6M(b− a)

⇐⇒ m 61

b− a

∫ba

f(x)dx 6M.

Portanto, o número real1

b− a

∫ba

f(x)dx está entre m = f(α) e M = f(β) onde α, β ∈ [a,b]. Do

Teorema do Valor Intermediário, existe c ∈ ]α, β[ tal que

f(c) =1

b− a

∫ba

f(x)dx, já que f é contínua.

Observe que c ∈ ]a,b[.


Exemplo 3.5.7

Temos∫ 3

−3(9 − x2)dx = 36. Considere f(x) = 9 − x2. Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais,

existe c ∈ [−3, 3] tal que f(c) =1

3 − (−3)

∫ 3

−3(9 − x2)dx = 6

9 − c2 = 6 ⇐⇒ c±√

3

Em outras palavras, o retângulo de vértices (−3, 0), (3, 0),(3, f(±√

3))

e(−3, f

(±√

3))

tem áreaequivalente a área da região compreendida entre o gráfico de f(x) = 9 − x2 e o eixo x.

(3, f(±√

3))(−3, f(±√

3))

(−3, 0) (3, 0) x

y

Figura 3.5.3

3.6 Exercícios

3.6.1 Considere m ∈ R fixado e defina f(x) = m, para todo x ∈ R.

(i) Defina uma partição P para o intervalo [a,b] ⊂ R de modo que cada subintervalo tenha comprimentoconstante k.

(ii) Qual o enésimo subintervalo [xn−1, xn] de P? O que ocorre com f(cn) se cn ∈ [xn−1, xn]?

(iii) Ache o limite lim‖P‖→0

k∑n=1

f(cn)(xn − xn−1).

(iv) Interprete o resultado obtido em (iii) a partir do gráfico de y = f(x).

3.6.2 Determine:

(a)∫ 2

13dx (b)

∫ 4

−51dx (c)

∫−1

−3(−3)dx

3.6.3 Repita os passos de (i) a (iv), sugeridos no Exercício 3.6.2, a fim de determinar se a função real éintegrável no intervalo dado, caso seja, dê o valor da integral usando a notação de integral definida.

(a) f(x) = 3x− 2, [−1, 2]

172 3. Integração

(b) g(x) = 5x+ 1, [−3, 1]

(c) h(x) = 2x2 − x+ 5, [2, 3]

(d) y(x) = 9 − x2, [−3, 3]

(e) f(x) = 1 + x− x2, [−1, 1]

(f) f(x) = 3x− 2, [2, 4]

(g) g(x) = 5x+ 1, [1, 3]

(h) h(x) = 2x2 − x+ 5, [0, 2]

(i) f(x) = 27 − 3x2, [−3, 3]

3.6.4 Seja n ∈ N, n > 2 e suponha f : [1,n]−→R contínua e crescente. Mostre que

f(1) + f(2) + . . . + f(n− 1) 6∫n

1f(x)dx 6 f(2) + . . . + f(n)

3.6.5 Seja n ∈ N e suponha f : [1,n]−→R contínua e descrescente. Mostre que

f(1) + f(2) + . . . + f(n− 1) >∫n

1f(x)dx > f(2) + . . . + f(n).

3.6.6 Considere as funções reais f(x) = x2+1, g(x) = 2x−3 e h(x) = 1−x

2. Valendo-se das propriedades

da Proposição 3.5.1 e dos resultados obtidos anteriormente, calcule

(a)∫ 1

−1f(x)dx

(b)∫ 1

−1g(x)dx

(c)∫ 1

−1h(x)dx

(d)∫ 1

−1[2f(x) − 3g(x)]dx

(e)∫ 1

−1[h(x) − g(x)]dx

(f)∫ 1

−1[g(x) + h(x)]dx

(g)∫ 3

1f(x)dx

(h)∫ 3

1g(x)dx

(i)∫ 3

1h(x)dx

(j)∫ 3

−1[3f(x) − 2g(x)]dx

(k)∫ 3

−1h(x)

(l)∫ 5

−1f(x)dx

(m)∫ 5

−1[f(x) + 3g(x)]dx

(n)∫ 5

1g(x)dx

(o)∫ 5

1f(x)dx

3.6.7 Seja f : I−→R uma função integrável em I e assuma, conforme demonstrado na seção que, para

todos a,b,d ∈ I com a < d < b tenhamos∫ba

f(x)dx =

∫da

f(x)dx+

∫bd

f(x)dx. Considere que d1,d2 ∈ I ed1 < a < b < d2. Mostre que:

(i)∫ba

f(x)dx =

∫d1

a

f(x)dx+

∫bd1

f(x)dx

(ii)∫ba

f(x)dx =

∫d2

a

f(x)dx+

∫bd2

f(x)dx

3.6.8 As igualdades no Exercício 3.6.7 continuam válidas caso d1 6 a 6 b 6 d2?

3.6.9 Para cada um dos casos abaixo, calcule∫ba

f(x)dx, a 6 x 6 b, utilizando o gráfico esboçado como

referência.


(a) f(x) = 5, −2 6 x 6 3

−2 3 x

y

(d) f(x) = 2 − x, 0 6 x 6 2

2

2

x

y

(b) f(x) =√

1 − x2, 0 6 x 6 1

1

1

x

y

(e) f(x) = |2 − x|, −1 6 x 6 4

−1 2 4 x

y

(c) f(x) =√

9 − x2, −3 6 x 6 3

y

x−3 3

(f) f(x) =√

6x− x2 − 5, 1 6 x 6 5

y

x1 3 5

3.6.10 Mostre que:

(a)∫ba

dx = b− a

(b)∫ba

2xdx = b2 − a2

174 3. Integração

(c)∫ba

3x2dx = b3 − a3

3.6.11 Use o exercício anterior e calcule.

(a)∫ 3

12xdx

(b)∫ 3

13x2dx

(c)∫ 2

−1dx

(d)∫ 3

1

(3x2 + 2x

)dx

(e)∫ 1

3x2dx

(f)∫ 2

−1

(x2 + x+ 1

)dx

3.6.12 Calcule∫ 5

1bbxccdx. (Vide Exemplo 1.1.4)

3.6.13 Calcule.

(a)∫ 4

−2(5 − 2|x|)dx

(b)∫ 4

0

√4x− x2dx

(c)∫ 4

−2|2 − x2|dx

(d)∫ 1

−1|x− x2|

3.7. O Teorema Fundamental do Cálculo 175

3.7 O Teorema Fundamental do CálculoA integral definida de uma função no intervalo [a,b], quando existe, envolve alguns cálculos que podemse tornar tão complicados quanto a função exigir. No entanto, podemos calcular integrais definidas desdeque a função a integrar seja contínua a partir do seguinte resultado.

Teorema 3.7.1 (O Teorema Fundamental do Cálculo) Seja f : [a,b]−→R uma função contínua.Então:

(i)d

dx

∫xa

f(t)dt = f(x)

(ii)∫ba

f(x)dx = F(b) − F(a), para toda primitiva F de f em [a,b].

Demonstração :

(i) A igualdaded

dx

∫xa

f(t)dt = f(x), ∀ x ∈ [a,b], equivale a afirmar que a função G(x) =∫xa

f(t)dt é uma

primitiva de f em [a,b].

Mas, por definição,

d

dxG(x) = lim

h→0

G(x+ h) −G(x)

h

= limh→0

1h

[∫x+ha

f(t)dt−

∫xa

f(t)dt

]= limh→0

1h

[∫ax

f(t)dt+

∫x+ha

f(t)dt

]= limh→0

1h

∫x+hx

f(t)dt

Agora f é contínua em [x, x+h] e, pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe ch ∈ ]x, x+ h[(que depende de h) tal que

f(ch) =1h

∫x+hx

f(t)dt.

Quando h→ 0 temos ch → x e, da continuidade de f,

d

dxG(x) = lim

h→0

1h

∫x+hx

f(t)dt = limh→0

f(ch) = f(x).

(ii) Para toda primitiva F de f em [a,b] podemos escrever

F(x) =

∫xa

f(t)dt+ C,

em que C é uma cosntante arbitrária.

Temos

F(b) − F(a) =

(∫ba

f(x)dx+ C

)−

(∫aa

f(x)dx+ C

)=

∫ba

f(x)dx.

176 3. Integração

O primeiro item do Teorema 3.7.1 nos diz como determinar uma primitiva para uma função contínuaf, enquanto o segundo item associa uma primitiva arbitrária à integral definida de f em [a,b] que dependeapenas dos valores de uma primitiva de f nas extremidades do intervalo. De fato, o Teorema 3.7.1 continuaválido no caso mais geral, quando a função f é apenas integrável em [a,b], mas apresenta pontos dedescontinuidade.Exemplo 3.7.1

Uma primitiva para a função f(x) = x2 + 2 é F(x) =x3

3+ 2x.

Portanto, ∫ 3

−2

(x2 + 2

)dx = F(3) − F(−2)

=

(273

+ 6)−

(−

83− 4)

=353

+ 10 =653

.

É comum valer-se da notação F(x)∣∣∣bapara representar a diferença F(b) − F(a).

Exemplo 3.7.2

A função g(x) = cos x é sempre positiva no intervalo aberto]−π

2,π

2

[e nula nas extremidades.

Uma primitiva é G(x) = sen x. Temos

x

y

π2−π2

Figura 3.7.1

∫ π2

−π2

cos xdx = sen x∣∣∣π2−π

2

= sen(π

2

)− sen

(−π

2

)= 1 − (−1) = 2.

Observe que 2 é o valor da área compreendida entre o eixo x e gráfico de y = cos x quando −π

26 x 6

π

2


Exemplo 3.7.3Pela primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo

d

dx

∫xa

t3

4 + t2dt =x3

4 + x2 , para todo a ∈ R

Daí, segue que G(x) =∫x

0

t3

4 + t2dt é uma primitiva para g(x) =x3

4 + x2 .

Exemplo 3.7.4∫ 1

−1

11 + x2dx = arctg x

∣∣∣−1

1= arctg(1) − arctg(−1) =

π

4−(−π

4

)=π

2

−1 1 x

y

Figura 3.7.2

Agora, seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e sejam h1 e h2 funções diferenciáveis comconjunto imagem contido em [a,b] (de modo que as composições F◦h1(x) = F (h1(x)) e F◦h2(x) = F (h2(x))

estão bem definidas onde F é definida por F(x) =∫xa

f(t)dt ) é fácil verificar que

∫h2(x)

h1(x)f(t)dt = F (h2(x)) − F (h1(x)) (Verifique!)

Portanto, pela Regra da Cadeia,

d

dx

∫h2(x)

h1(x)f(t)dt = f (h2(x)) ·

d

dxh2(x) − f (h1(x)) ·

d

dxh1(x)

Exemplo 3.7.5

d

dx

∫x2

cosx

√2 + 3t3etdt =

√2 + 3x6 · ex2 · (2x) −

√2 + 3cos3x · ecosx · (− sen x)

= 2x√

2 + 3x6 · ex2+√

2 + 3cos3x · ecosx sen x

178 3. Integração

Para finalizar a seção é conveniente observar que nem toda função integrável em [a,b] é contínua em[a,b].

Exemplo 3.7.6

Considere a função f(x) =

|x|

x+ 1; x 6= 0

0; x = 0

.

Evidentemente, f é descontínua em qualquer intervalo da reta que contenha a origem, no entanto,por exemplo ∫ 5

−3f(x)dx =

∫ 0

−3f(x)dx+

∫ 5

0f(x)dx = 0 + 10 = 10.

x

y

3 5

2

Figura 3.7.3

Embora a ideia de calcular através de F(x) =

∫xa

f(t)dt a integral definida∫ba

f(x)dx seja operaci-

onalmente simples, nosso problema reside exatamente em encontrar uma tal primitiva F. Do Teorema3.1.1 e da primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, F(x) difere por uma constante, que pode

ser nula, de∫xa

f(t)dt. O caso trivial ocorre quando o integrando f(x) é a soma de funções das quais

conhecemos antiderivadas; nesse caso, evidentemente, F(x) é a soma das antiderivadas das parcelas. Istoé, se f(x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x) é Fj é uma antiderivada de fj em [a,b], ∀ j = 1, 2, . . . ,n, entãoF(x) = F1(x) + F2(x) + . . . + Fn(x) é uma primitiva de f em [a,b].

De fato, já nos deparamos com a situação acima em inúmeros exemplos e exercícios. Vamos a maisum:Exemplo 3.7.7

Suponha que x0 unidades de um certo produto são vendidas a um preço y0 e que, além disso,D = D(x) é a demanda dos consumidores por tal produto, isto é, a quantificação do desejo que osconsumidores nutrem pelo produto. Suponha ainda que O = O(x) é a oferta, ou seja, a quantidade doproduto disponível para a compra.

O Excedente do Consumidor, EC, representa a diferença entre a disposição que os consumidorestem para pagar pelo produto e o valor efetivamente pago. Já o Excedente do Produtor, EP, é adiferença entre o valor recebido e os custos de produção.

Assim,


EC =

∫x0

0D(x)dx− x0y0, e

EP = x0y0 −

∫x0

0O(x)dx.

EP

EC

y = O(x)

y = D(x)

P = (x0,y0)

x

y

Figura 3.7.4

Graficamente, esboçando no plano cartesiano as curvas de demanda, y = D(x), e da oferta,y = O(x) o ponto P0 = (x0,y0) é o ponto de equilíbrio de mercado. A área da região entre x = 0,y = y0 e y = D(x) é o excedente do consumidor, já a área entre x = 0, y = 0(x) e y = y0 é excedentedo produtor.

Se a demanda e a oferta pelo produto, que tem cada unidade a x reais, são respectivamente

D(x) = 200 − 3x eO(x) = 2x2 − 99x

então, o equilíbrio ocorre em P0 = (50, 50). Portanto,

EC =

∫ 50

0(200 − 3x)dx− 50 · 50 = 200x

∣∣∣50

0−

32x2∣∣∣50

0− 2.500

= 10.000 − 3.750 − 2.500 = 3.750

e

ED = 50 · 50 −

∫ 50

0(2x2 − 99x)dx = 2.500 −

23x3∣∣∣50

0+

992x2∣∣∣50

0

= 2.500 −250.000

3+ 123.750 ≈ 42.916.

Exemplo 3.7.8 (TRABALHO E VARIAÇÃO DE ENERGIA CINÉTICA)Considere uma partícula de massa m que se move no eixo x sob a ação de uma resultante de forças

F(x). O Trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula da posição x0 = a para posiçãox1 = b é:

W =

∫ba

F(x)dx.

Da 2ª Lei de Newton, F(x) = ma(x) = mdv

dte, logo,

W = m

∫ba

dc

dtdx = m

∫ba

dx

dtdv = m

∫ba

vdv

180 3. Integração

=⇒W =m

2{[v(b)]2 − [v(a)]2},

ou ainda, W =m

2(v1

2 − v02), onde v0 = v(x0) = v(a) e v1 = v(x1) = v(b).

Por outro lado, a Energia Cinética associada ao movimento de uma partícula de massa m, que semove a uma velocidade v << c (onde c é a velocidade da luz, que no vácuo corresponde a 299.792.458m/s) é:

k =m

2v2.

Pelo que acabamos de mostrar

W = ∆K em [a,b].Teorema Trabalho Energia Cinética

No Exemplo 3.7.8 colocamos a condição v << c para utilizarmos a condição da massa ser constante(e, por conta disso, poder "pular"para fora do sinal de integração). De fato, tal condição é desnecessáriapara a conclusão da relação de equivalência entre trabalho e variação da energia cinética).

Podemos ainda nos valer das propriedades da derivada, como no exemplo a seguir.Exemplo 3.7.9

∫ π4

0e2θ · 1 + 2 senθ cos θ

1 − sen2 θdθ = e

π2

De fato,

∫ π4

0e2θ · 1 + 2 senθ cos θ

1 − sen2 θdθ =

∫ π4

0e2θ · 1 + 2 sen θ cos θ

cos2 θdθ

=

∫ π4

0e2θ ·

[sec2 θ+ 2 tg θ

]dθ

=

∫ π4

0

d

dθ

[e2θ tg θ

]dθ

= e2θ · tg θ∣∣∣π40

= eπ2 · tg

(π4

)− e0 tg 0

= eπ2 .

A simplicidade da igualdade∫ba

f(x)dx = F(b) − F(a), quando F ′(x) = f(x), dado pelo Teorema

Fundamental do Cálculo na maioria das vezes é mascarada pelo processo de encontrar alguma primitivaF de f em [a,b] para aplicá-la. Abordaremos a partir de agora algumas técnicas para encontrar uma

primitiva e, como consequência ou não, determinar∫ba

f(x)dx.

Iniciamos com o artifício mais simples, em certa medida uma consequência da Regra da Cadeia.

Teorema 3.7.2 Substituições Simples em IntegraisSuponha g : [a,b]→ R uma função diferenciável e seja f : I→ R uma função contínua com

g([a,b]) ⊂ I. Se F é uma primitiva de f em I então:

(i)∫f(g(x))g ′(x)dx = F(g(x)) + c;


(ii)∫ba

f(g(x))g ′(x)dx =

∫g(b)g(a)

f(u)du = F(g(b)) − F(g(a)).

Demonstração :

(i) Da Regra da CadeiaddxF(g(x)) = F ′(g(x))g ′(x) = f(g(x))g ′(x) e, portanto, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x))g ′(x).

(ii) De (i) e do Teorema Fundamental do Cálculo,

∫g(b)g(a)

f(u)du = F(g(b)) − F(g(a)) =

∫ba

f(g(x))g ′(x)dx

Para efeito de aplicação, a mudança de variável u = g(x) nos fornece du = g ′(x)dx e, daí,∫f(g(x)︸︷︷︸

u)g ′(x)dx︸︷︷︸

du

=

∫f(u)du.

Ainda mais, quando x = a temos u = g(a) e quando x = b temos u = g(b), portanto,

∫ba

f(g(x))g ′(x)dx =

∫g(b)g(a)

f(u)du.

Exemplo 3.7.10∫(x+ 5︸︷︷︸u

)3/2 dx︸︷︷︸du

= 25(x+ 5)5/2 + c

Observe que u = x+ 5 fornece du = dx.

Exemplo 3.7.11∫2xex

2dx = ex

2+ c

Aqui, a substituição u = x2 implica du = 2xdx e,∫ex

2︸︷︷︸eu

2xdx︸︷︷︸du

=

∫eudu = eu + c = ex

2+ c.

Por outro lado, caso escolhêssemos a mudança de variáveis w = ex2 teríamos dw = 2xex

2dx e,∫

2xex2dx =

∫dw = w+ c = ex

2+ c.

Exemplo 3.7.12

Para integrar cos[π(x+1)

2

]com −1 6 x 6 0 podemos fazer u =

π(x+1)2 e du = π

2 . Quandox = −1,u = 0 e quando x = 0,u = π

2 . Logo,∫ 0

−1cos[π(x+ 1)

2

]dx =

∫π/2

0cosu · 2

πdu =

2π

∫π/2

0cosudu

=2π

[sen

π

2− sen 0

]=

2π

.

182 3. Integração

Observe que na primeira igualdade utilizamos a equivalência du = π2 dx⇔ dx = 2

πdu. A grosso modo,podemos nos valer também da propriedade (4) da Proposição 4.7.1 e escrever∫ 0

−1cos[π(x+ 1)

2

]dx =

∫ 0

−1cos[π(x+ 1)

2

]· 2π· π

2︸︷︷︸=1

dx

=2π

∫ 0

−1cos[π(x+ 1)

2

]π

2dx

=2π

∫π/2

0cosudu =

2π

.

Em outras palavras, multiplicamos o integrando por 2π ·

π2 = 1, na primeira igualdade, para obter

du = π2 dx. De fato, os dois artifícios são equivalentes.

Exemplo 3.7.13∫x2 sen5(x3) cos(x3)dx

Fazendo w = sen(x3) temos dw = cos(x3) · 3x2dx e∫x2 sen5(x3) cos(x3)dx =

13

∫sen5(x3) cos(x3)3x2dx

=13

∫w5dw =

w6

18+ c =

sen6(x3)

18+ c.

3.8 Exercícios

3.8.1 Sejam a 6= 0 e b 6= 0. Calcule

(a)∫eaxdx

(b)∫

cos(bx)dx

(c)∫

sen(ax)dx

(d)∫

sec2(bx)dx

(e)∫

cossec2(ax)dx

(f)∫

sec(bx) tg(bx)dx

(g)∫

cossec(ax)cotg(ax)dx

(h)∫

dx

ax+ bdx

(i)∫

tg(ax+ b)dx

(j)∫

cotg(ax+ b)dx

(k)∫

dx

a2x2 + b2dx

(l)∫

dx√b2 + a2x2

dx

(m)∫

dx

x√a2x2 − b2

dx

(n)∫

xdx

ax2 + bdx

3.8.2 Em cada uma das integrais a seguir considere os seguintes passos:

(i) Faça uma substituição u = g(x) conveniente e obtenha du = g ′(x)dx.

(i) du aparece na integral original? É possível obter du a partir da integral original?

(i) Se uma das respostas em (ii) for afirmativa, faça a substituição e determine a integral.

(a)∫ 2

−2(2x+ 5)

12dx (b)

∫ 4

0

x√x2 + 9

dx


(c)∫e2x+3dx

(d)∫ 1

0

x

x2 + 9dx

(e)∫

dx

5x+ 2

(f)∫π/2

0

sen t2 + cos t

(g)∫π/4

π/2

cossec2θ

cotg θdθ

(h)∫ 2√

2

0

x√1 + x2

(i)∫ √

sec θcos2 θ

sen θdθ

(j)∫

tg3(2x+ 5) sec2(2x+ 5)dx

(k)∫

sec2(

1θ

)tg(

1θ

)· 1θ2dθ

(l)∫

x+ 1√x2 + 2x

dx

(m)∫

sec2 x

1 + tg xdx

(n)∫−

22x√

2x+ 5dx

(o)∫ 4

0(2x+ 1)5/2dx

(p)∫ 2

0x2(x3 + 1)−3/2dx

(q)∫ 1

0(1 − x2)1/2xdx

(r)∫(1 − x2)1/3xdx

(s)∫ 12

5(x+ 3)

√x+ 4dx

(t)∫ 2

0

t√1 + 2t5

dt

3.8.3 Determine:

(a)∫ 3

−2

(2x2 − 3x+ 5

)dx

(b)∫ 1

0

[2

1 + x2 − x

]dx

(c)∫ ln2

0(1 − ex)dx

(d)∫ π

4

−π3

(2 + sec2x

)dx

(e)∫ 1

0

(x− x2)dx

(f)∫ 2

−2(x− |x|)dx

3.8.4 Calcule os excedentes do consumidor e do produtor se há equilíbrio e as funções de demanda eoferta, respectivamente, são:

(a) D(x) = 1.000 − 20x e O(x) = x2 + 10x

(b) D(x) = 2.100 − 30x e O(x) = x2 + 10x

(c) D(x) = 3.960 − 12x e O(x) = x2 + 5x

(d) D(x) = 1.491 − 19x e O(x) = x2 − 69x

3.8.5 Segundo a Lei de Hooke, a força necessária para comprimir ou estender uma mola à uma distânciax é F = kx, onde k é uma constante que depende da mola. Determine o trabalho realizado se:

(a) k = 0, 05 e a mola é comprimida 2cm à partir do repouso.

(b) k = 0, 05 e a mola é estendida 5cm.

(c) O trabalho para estender certa mola 10cm, sabendo que a mola tem 15cm e é necessária uma forçade 8N para esticá-la 4cm a partir do repouso.

184 3. Integração

3.8.6 Mostre que ∫ π3

0e3θ 1 + 3 sen θ cos θ

1 − sen2θdθ = e

π2


0

(x2 cos x+2x sen x

)dx =

π2

4.

3.8.8 Calcule

(a)∫ π

6


1 − sen2θdθ

(b)∫ π

4


1 − cos2θdθ

(c)∫ π

3

0e3θ sen θ+ 3 cos θ

1 − sen2θdθ

(d)∫ π

4

0

(1 − 2sen2x− 4x sen x cos x

)dx

(e)∫ 1

2

02e2x (x2 + 1 =

)dx

(f)∫ 2

1

ex

x(xlnx− 1)dx


π3

e2x

2

(tg2x

2+ 9x tg

x

2+ 2 tg

x

2

)dx =

π

2eπ −

π

9

√3e

2π3

3.9. Integração por Partes 185

3.9 Integração por PartesSejam u = u(x) e v = v(x) funções diferenciáveis na variável x, por exemplo. Temos

d

dx(uv) =

(du

dx

)v+ u

(dv

dx

)Em termos de diferenciais,

d(uv) = vdu+ udv.

Logo, udv = d(uv) − vdu e, portanto,∫udv =

∫d(uv) −

∫vdu . Então,

∫udv = uv−

∫vdu

Exemplo 3.9.1

A integral∫xexdx não pode ser resolvida com uma substituição simples. No entanto, fazendo

u = u(x) = x e dv = exdx, temos:

du = dx e v =∫exdx = ex (desconsiderando a constante de integração).

Logo,

∫x︸︷︷︸u

exdx︸︷︷︸dv

= x︸︷︷︸u

ex︸︷︷︸v

−

∫ex︸︷︷︸v

dx︸︷︷︸du

= xex − ex + C.

Em outras palavras, se é possível escolher uma função u e uma diferencial dv de modo que v seja

obtida a partir da integração v =∫dv (desconsiderando a constante de integração) e, ainda, seja possível

calcular∫vdu, inclusive recorrendo mais uma vez à integração por partes ou a qualquer outra técnica de

integração, então obtemos∫udv recorrendo à igualdade

∫udv = uv−

∫vdu.

Geralmente, quando a um dos fatores é possível aplicar a derivada até obter uma constante, tal fatoré a primeira escolha para u. Nesse caso, dentre as funções elementares, caso possível, escolher u como umpolinômio simplifica o procedimento em muitos casos.Exemplo 3.9.2

Considerando u1 = x2 − 3x+ 5 e dv = e3xdx na integral∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx temos:

du1 = (2x− 3)dx e v =13e3x.

Daí, ∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx =

(x2 − 3x+ 5

) 13−

∫13e3x (2x− 3)dx

=13

{e3x (x2 − 3x+ 5

)−

∫(2x− 3) e3xdx

}.

186 3. Integração

Fazendo agora u2 = 2x− 3, o que implica du2 = 2dx∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx =

13

{e3x (x2 − 3x+ 5

)−

13

[e3x (2x− 3) −

∫13e3x2dx

]}.

Logo, ∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx =

13e3x (x2 − 3x+ 5

)−

19e3x (2x− 3) +

29

∫e3xdx

= e3x(

13x2 −

119x+

5627

)+ C.

Observe que utilizamos duas vezes o processo de integração por partes e, na última igualdade, recorre-

mos a uma integração por substituição simples(∫e3xdx =

13e3x + C

), a mesma utilizada nas passagens

anteriores.Exemplo 3.9.3∫

θ3 cos(2θ)dθ =

(12θ2 −

34θ

)sen(2θ) +

(34θ2 −

38

)cos(2θ) + C.

De fato, tomando u1 = θ3 e dv1 = cos(2θ)dθ, temos du1 = 3θ2dθ e v1 =12

sen(2θ). Daí,

(i) ∫θ3 cos(2θ)dθ =

θ3

2sen(2θ) −

∫12

sen(2θ) · 3θ2dθ =θ3

2sen(2θ) −

32

∫θ2 sen(2θ)dθ

Agora, fazendo u2 = θ2 e dv2 = sen(2θ)dθ, segue du2 = 2θdθ, v2 = −12

cos(2θ) e

∫θ3 cos(2θ)dθ =

θ3

2sen(2θ) −

32

[−θ2

2cos(2θ) −

∫ (−

12

cos(2θ))

2θdθ].

Assim,

(ii)∫θ3 cos(2θ)dθ =

12θ3 sen(2θ) +

34θ2 cos(2θ) −

34

∫θ cos(2θ).

Finalmente, fazendo u3 = θ e dv3 = cos(2θ)dθ tem-se du3 = dθ e v3 =12

sen(2θ). Portanto,

∫θ3 cos(2θ)dθ =

12θ3 sen(2θ) +

34θ2 cos(2θ) −

32

[12θ sen(2θ) −

∫12

sen(2θ)dθ]

=12θ3 sen(2θ) +

34θ2 cos(2θ) −

34θ sen(2θ) +

34

∫sen(2θ)

=

(12θ3 −

34θ

)sen(2θ) +

(34θ2 −

38

)cos(2θ) + C.

Na última igualdade usamos novamente∫

sen(2θ)dθ = −12

cos(2θ)+C e agrupamos os termos usando

a distributividade.Observe que, mesmo tendo uma função polinomial como um dos fatores do integrando, o processo

requer cuidado com as multiplicações envolvidades e, consequentemente, com as possíveis trocas de sinal.


Posteriormente, revisitaremos os exemplos acima sob outro ponto de vista.Exemplo 3.9.4

Já vimos que∫lntdt = tlnt− t+ C, através da derivação do 2º membro. Usando integração por

partes, fazendo u = lnt e dv = dt, du =1tdt e v = t, temos:

∫lntdt = (lnt) t−

∫t ·(

1tdt

)= tlnt−

∫dt

= tlnt− t+ C.

Exemplo 3.9.5

Ache∫ 1

0arctgydy.

1

π

4

x

y

Figura 3.9.1

Já sabemos que f(y) = arctgy é positiva para todo y > 0,

f(0) = 0 e f(1) =π

4. A integral

∫ 1

0arctgydy representa a área

entre y = 0, x = 1 e f(y) = arctgy.

Fazendo u = arctgy e dv = dy tem-se du =1

1 + y2dy e

v = y. Logo,

∫ 1

0arctgydy = (arctgy)y

∣∣∣10−

∫ 1

0y

11 + y2

= [(arctg 1) · 1 − (arctg 0) · 0] − 12ln(1 + y2) ∣∣∣1

0

= arctg 1 −12[ln 2 − ln 1]

=π

4−

12ln2 =

π− ln 44

.

Nem sempre é possível encontrar de modo direto a integral por partes, isto ocorre no próximo exemplo.

Exemplo 3.9.6∫e3t cos (2t)dt = e3t · 2 sen (2t) + 3 cos (2t)

13+ C. Escolhendo u = e3t e dθ = cos (2t)dt, temos

du = 3e3tdt e v =12

sen(2t). Daí,

188 3. Integração

∫e3t cos(2t)dt = e3t 1

2sen(2t) −

∫12

sen(2t) · 3e3tdt

=12e3t sen(2t) +

32

∫e3t sen(2t)dt.

Escolhendo agora u = e3t e dθ = sen(2t)dt, na última integral, segue du = 3e3tdt e v = −12

cos(2t)dt.Logo,

∫e3t cos(2t)dt =

12e3t sen(2t) −

32

{e3t[−

12

cos(2t)dt]−

∫ [−

12

cos(2t)] (

3e3tdt)}

=12e3t sen(2t) +

34e3t cos(2t) −

94

∫e3t cos(2t)dt.

Portanto,

∫e3t cos(2t)dt =

e3t

4[2 sen(2t) + 3 cos(2t)] −

94

∫e3t cos(2t)dt =⇒(

1 +94

) ∫e3t cos(2t)dt =

e3t

4[2 sen(2t) + 3 cos(2t)] + C =⇒∫

e3t cos(2t)dt =e3t

13[2 sen(2t) + 3 cos(2t)] + C.

No Exemplo 3.9.5, chegaríamos à mesma conclusão escolhendo u = cos(2t) e dv = e3tdt (verifique!).Exemplo 3.9.7

Ache∫ π

2

0xe4x sen(3x)dx.

Utilizando integração por partes com u = x e dv = e4x sen(3x)dx temos du = dx e

v =

∫e4x sen(3x)dx = e4x 4 sen(3x) − 3 cos(3x)

25(o leitor é convidado a verificar esta última igualdade

no exercício 3.9.4). Portanto,∫ π2

0xe4x sen(3x)dx = xe4x 4 sen(3x) − 3 cos(3x)

25

∣∣∣π20−

∫ π2

0e4x 4 sen(3x) − 3 cos(3x)

25dx

=π

2e2π ·

4 sen(

3π2

)− 3 cos

(3π2

)25

−425

∫ π2

0e4x sen(3x)dx+

325

∫ π2

0e4x cos(3x)dx

=π

2e2π ·

(−

425

)−

425e4x · 4 sen(3x) − 3 cos(3x)

25

∣∣∣π20+

325e4x · 4 cos(3x) + 3 sen(3x)

25

∣∣∣π20

= −2π25e2π −

425

[e2π ·

(−

425

)− e0 ·

(−

325

)]+

325

[e2π

(−

325

)− e0

(425

)]= −

2π25e2π +

7625

e2π −24625

.

Observe que na 3ª igualdade utilizamos mais uma vez que∫e4x sen(3x)dx = e· 4 sen(3x) − cos(3x)

25+C

e ainda que∫e4x cos(4x)dx = e4x · 4 cos(3x) + 3 sen(3x)

25+ C.

Mais geralmente, se a e b são constantes não nulas arbitrárias verifica-se que


∫eax sen(bx)dx = eax

a sen(bx) − b cos(bx)a2 + b2 + C, e

∫eax cos(bx)dx = eax

a cos(bx) + b sen(bx)a2 + b2 + C.

Suponha, com um certo abuso de notação, que u seja um polinômio e, portanto, existe k ∈ N tal que

uk+1 ≡ 0 e que V0 = v, V1 =

∫v, . . ., Vk =

∫Vk−1, ∀ k = 1, 2, 3, . . .

Logo, aplicando integração por partes em cada igualdade,

∫uv ′ = uv−

∫vu ′

= uv−

[V1u

′ −

∫V1u

′′]

= uv− V1u′ +

[V2u

′′ −

∫V2u

′′′]

= uv− V1u′ + V2u

′′ − V3u′′′ + . . . + (−1)kVku(k) + C.

Colocando os termos u(j) e Vj nas linhas da tabela abaixo, temos a representação abaixo.

u

**

(+) v ′

u ′′

))

(−) V0 =

∫v ′ = v

u ′′′

))

(+) V1 =

∫V0

V2 =

∫V1

......

u(k)

**

(−1)k−1

Vk−1

......

Cada termo uj da 1ª coluna é multiplicado por Vj, disposto na linha abaixo, na segunda coluna, epelo fator (−1)j, o que está representado pela alternância entre sinais positivos e negativos no diagrama.

Para clarear as ideias, refazendo os Exemplos 3.9.1, 3.9.2 e 3.9.3.

(i) Para a integral∫xexdx

190 3. Integração

u v ′

x

''

(+) ex

1

((

(−) ex

0 ex

∫xexdx = xex − ex + C

(ii) Para a integral∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx

u v ′

x2 − 3x+ 5

))

(+) e3x

2x− 3

((

(−)13e3x

2

((

(+)19e3x

01

27e3x

Assim,

∫ (x2 − 3x+ 5

)e3xdx =

(x2 − 3x+ 5

) 13e3x − (2x− 3)

19e3x + 2 · 1

27e3x + C

=

(13x2 −

119x+

5627

)e3x + C.

(iii) Para a integral∫θ3 cos(2θ)dθ


u v ′

θ3

((

(+) cos 2θ

3θ2

''

(−)12

sen 2θ

6θ

''

(+) −14

cos 2θ

6

''

(−) −18

sen 2θ

01

16cos 2θ

Portanto,∫θ3 cos(2θ)dθ = θ3 · 1

2sen(2θ) − 3θ2 ·

(−

14

)cos(2θ) + 6θ

(−

18

)sen(2θ) − 6 · 1

16cos(2θ) + C

=2θ3 − 3θ

4sen(2θ) +

6θ2 − 38

cos(2θ) + C.

O artifício acima é chamado Integração Tabular.Para finalizar esta seção, entendemos o artifício da integração tabular também aos casos em que não

é conveniente (ou possível) escolher um polinômio para representar a função u em∫udv. Isto ocorre,

por exemplo, em∫lnxdx e

∫arctg xdx; nestes dois casos o procedimento é finalizado quando em alguma

linha surge uma integral que pode ser calculada de maneira imediata, o que representaremos por uma setahorizontal (ao invés da transversal) em tal linha, mantendo a alternância dos sinais positivos e negativos.

Assim, ∫lnxdx = xlnx− x+ C

ln x(+)

%%

1

1x

(−) // x

∫lnxdx = (lnx) · x−

∫1x· xdx

= xlnx−

∫dx

= xlnx− x+ C

∫arctg xdx = x arctg x−

12ln(1 + x2)+ C

arctg x(+)

%%

1

11 + x2

(−) // x

∫arctg xdx = (arctg x) · x−

∫1

1 + x2 · xdx

= x arctg x−12

∫1

1 + x2 · 2xdxdx

= x arctg x−12ln(1 + x2)+ C

192 3. Integração

Exemplo 3.9.8

Calcule a área da região R compreendida entre w = −14, y =

arcsen√

2w+ 1√2w+ 1

, w = −18e o eixo y.

Fazendo inicialmente x =√

2w+ 1 temos dx =1√

2w+ 1dw, x =

√3

2quando w = −

18e x =

√2

2

quando w = −14. Portanto, a área da região R equivale à área da região delimitada por x =

√3

2,

x =

√2

2, u = arcsen x e u = 0 e, como u = arcsen x é uma função positiva quando

√2

26 x 6

√3

2a

área procurada tem valor igual a∫ √3

2

√2

2

arcsen xdx.

Em outras palavras,

AR =

∫− 18

− 14

arcsen√

2w+ 1√2w+ 1

dw =

∫ √32

√2

2

arcsen xdx.

arcsen x(+)

&&

1

1√1 − x2

(−) // x

∫ √32

√2

2

arcsen xdx = x arcsen x∣∣∣√3

2√

22

−

∫ √32

√2

2

x√1 − x2dx

=

√3

2arcsen

√3

2−

√2

2arcsen

√2

2+

+12

∫ √32

√2

2

(1 − x2)− 1

2 (−2) xdx

=

√3

2· π

3−

√2

2· π

4+√

1 − x2∣∣∣√3

2√

22

=π

24

(8√

3 − 3√

2)+

(12−

√2

2

).

Quando a escolha de u e dv acarreta a repetição do integrando, também representamos tal repetiçãoatravés da seta horizontal, mantendo a alternância de sinais positivos e negativos.Exemplo 3.9.9∫

e12 ·x cos (4x)dx =

e12x

(+)

((

cos 4x

12e

12x

(−)

''

14

sen(4x)

14e

12x

(+) // −116

cos(4x)

∫e

12x cos(4x)dx =

14e

12x sen(4x) +

132e

12x cos(4x) −

164

∫e

12x cos(4x)dx(

1 +164

) ∫e

12x cos(4x)dx = e

12x

8 sen(4x) + cos(4x)32

+ C∫e

12x cos(4x)dx = e

12x

16 sen(4x) + 2 cos(4x)65

+ C.


3.10 Exercícios

3.10.1 Calcule cada uma das integrais abaixo:

a)∫ 1

0xex dx.

b)∫xe−x/3 dx.

c)∫ π

4

0xcos(x)dx.

d)∫ 1

0e2xsen(5x)dx.

e)∫ 2

1x2ln(x)dx.

f)∫y2sen2ydy.

g)∫θ2sen(2θ)dθ.

h)∫t2(t− 4)3/2 dt.

i)∫x4e−3x dx.

j)∫ln(3x)dx.

k)∫ 1

0x2ex dx.

l)∫ π

4

0xsen(2x)dx.

m)∫ 1

0arctg(t)dt.

n)∫e−tcos(t)dt.

o)∫xarcsec(x)dx.

p)∫ 1

0ln(1 + t2)dt.

q)∫t2e3t dt.

r)∫xsec2(x)dx.

s)∫ π

4

0xsec2(x)dx.

t)∫tarctg(t2)dt.

3.10.2 Use primeiramente uma substituição simples e calcule a integral. Se possível, aplique uma inte-gração por partes e compare as duas técnicas

a)∫ 5

0x

2√x+ 4 dx.

b)∫sen(

2√tdt.

c)∫ 1

0e

2√t dt.

d)∫t

2√t+ 3 dt.

e)∫

x3

2√

1 + xdx.

f)∫ 5

1x2 2√

2x− 1 dx.

g)∫t3sen(x2)dx.

h)∫sen(ln(t))dt.

i)∫ln(1 + t2)dt.

j)∫t3cos(t2)dt.

3.10.3 Assuma que a e b são números reais diferentes de zero e que n é um inteiro positivo. Mostre que:

a)∫ 1

0xex dx =

1a2 + b2 e

ax[asen(bx) − bcos(bx)

]+ C

b)∫eaxcos(bx)dx =

1a2 + b2 e

ax[acos(bx) + bsen(bx)

]+ C

194 3. Integração

c)∫xnsen(x)dx = −xncos(x) + n

∫xn−1cos(x)dx

d)∫xncos(x)dx = xnsen(x) − n

∫xn−1sen(x)dx

e)∫xnln(x)dx =

1n+ 1

xn+1[(x) − 1n+ 1

]+ C

f)∫xneax dx =

1a

[xneax − n

∫xn−1eax dx

]+ C

3.10.4 Calcule

a)∫x4ln(x)dx.

b)∫e2xsen(3x)dx.

c)∫t3cos(3t)dt.

d)∫y3e4y dy.

3.10.5 Use integração por parte e calcule.

(a)∫(x+ 3)e2xdx

(b)∫ π

2

0

(x2 − 1

)cos xdx

(c)∫x2lnxdx

(d)∫ (x3 − 3x

)e−5xdx

(e)∫e2x sen(3x)dx

(f)∫ 1

0x3 arctg xdx

(g)∫e−x cos(2x)dx

(h)∫

5x4 sen(3x)dx

(i)∫ π2

4

0sen√xdx

(j)∫

5x4 cos(x3)

(k)∫u√

1 − udu

(l)∫ 2

0e√

2ydy

(m)∫eπ2

1sen(lny)dy

(n)∫ 1

0ln(x2 + 1

)dx

3.10.6 Integre, em cada caso abaixo, de dois modos distintos, usando uma integração por partes, e umasubstituição simples.

(a)∫x√

2x− 1dx

(b)∫(x− 3)

√4x+ 5dx

(c)∫

x3√

4 + x2dx

(d)∫x√

2 − xdx

3.10.7 Assuma que a e b são números reais não nulos e que n é uma número natural arbitrário. Useintegração por partes para observar que:

(i)∫xn sen xdx = −xn cos x+ n

∫xn−1 cos xdx

(ii)∫xn cos xdx = xn sen x− n

∫xn−1 sen xdx


(iii)∫xneaxdx =

xneax

a−n

a

∫xn−1eaxdx

(iv)∫eax sen(bx)dx =

eax

a2 + b2 [a sen(bx) − b cos(bx)] + C

(v)∫eax cos(bx)dx =

eax

a2 + b2 [a cos(bx) + b sen(bx)] + C

3.10.8 Calcule.

(a)∫x5lnxdx

(b)∫x3 cos xdx

(c)∫e5x cos(3x)dx

(d)∫x4e3xdx

3.10.9 Mostre que, se n ∈ Z, então:

(i)∫π−πx sen(nx)dx =

{2πn , se n é ímpar−2πn , se n é par

(ii)∫π−πx2 cos(nx)dx = (−1)n

4πn2

196 3. Integração

3.11 Substituições TrigonométricasA Igualdade Fundamental da Trigonometria

sen2 θ+ cos2 θ = 1,

válida para todo θ ∈ R juntamente com existência da inversa para a função y = sen θ, dada por

θ = arcsenu,

válida para θ ∈[−π

2,π

2

], acarretam propriedades interessantes para o cálculo de algumas integrais.

Por exemplo, se a e b são números reais não negativos, qualquer expressão da forma

b2 − a2u2,

presente no integrando, pode ser escrita na forma

b2 cos2 θ

para algum θ ∈]−π

2,π

2

[.

De fato,

b2 − a2u2 = b2[

1 −a2

b2u2]

= b2[

1 −(aub

)2]

,

portanto, se tomamos θ ∈[−π

2,π

2

]tal que

au

b= sen θ; isto é, θ = arcsen

(aub

); temos imediatamente,

b2 − a2u2 = b2 [1 − sen2 θ]= b2 cos2 θ.

De modo semelhante, se observarmos que

tg2 θ+ 1 = sec2 θ⇔ tg2 θ = sec2 θ− 1

é válida para todo θ ∈]−π

2,π

2

[e que, para v = tg θ e w = sec θ, as funções inversas

θ = arctg θ e θ = arcsecw

estão bem definidas no intervalo]−π

2,π

2

[, expressões na forma

a2v2 + b2 e a2w2 − b2,

respectivamente, podem ser escritas, caso a e b sejam números reais positivos, na forma

b2sec2θ e b2 tg2 θ,

respectivamente. Basta escolher θ ∈]−π

2,π

2

[tal que v =

b

atg θ, no 1◦ caso, e w =

b

asecθ, no 2◦

caso.Podemos, portanto, nos valer das seguintes substituições trigonométricas:

3.11. Substituições Trigonométricas 197

EXPRESSÃO SUBSTITUIÇÃO DIFERENCIAL INTERVALO EXPRESSÃO RESULTANTE

b2 − a2u2 u =b

asen θ du =

b

acos θdθ θ ∈

[−π

2,π

2

]b2 cos2 θ

b2 + a2v2 v =b

atg θ dθ =

b

asec2 θdθ θ ∈

]−π

2,π

2

[b2 sec2 θ

a2w2 − b2 w =b

asec θ dw =

b

asec θ tg θdθ θ ∈

]−π

2,π

2

[b2 tg2 θ

Voltemos a atenção para alguns exemplos:Exemplo 3.11.1

No cálculo da integral indefinida∫

1√4 − x2

dx, podemos fazer x = 2 senθ, onde θ ∈]−π

2,π

2

[está

definido de modo único por θ = arcsen(x

2

). (Neste caso, excluímos θ = −

π

2e θ =

π

2por conta do

denominador do integrando).Como dx = 2 cos θdθ, podemos escrever

∫1√

4 − x2dx =

∫1√

4 − 4 sen2 θ2 cos θdθ

=

∫1√

4(1 − sen2 θ)2 cos θdθ

=

∫1

2√

cos2 θ2 cos θdθ.

Neste momento vale uma observação, como θ ∈[−π

2,π

2

]temos cos θ > 0 e, daí,

√cos2 θ = cos θ

(lembre-se, em geral,√k2 = |k|). Portanto,

∫1√

4 − x2dx =

∫1

2 cos θ2 cos θ

=

∫dθ = θ+ C.

Como θ = arcsen(x

2

)segue: ∫

1√4 − x2

dx = arcsen(x

2

)+ C.

Claramente, caso a integral no Exemplo 3.11.1 fosse definida, a mudança nos limites de integraçãotambém seria requerida. Assim,∫√3

−1

1√4 − x2

dx =

∫ π3

−π6

dθ = θ

∣∣∣∣π3−π

6

=(π

3

)−(−π

6

)=π

2.

É lógico que arcsen(x

2

) ∣∣∣∣√

3

−1fornece o mesmo resultado.

198 3. Integração

Exemplo 3.11.2Encontre uma função tal que:

(i) ϕ ′(x) =x2

(9 − 4x2)32para todo −3

2 < x <32 ;

(ii) ϕ

(−3√

24

)= 0.

(i) Como ϕ ′(x) =x2

(9 − 4x2)32temos que ϕ(x) é uma antiderivada de

x2

(9 − 4x2)32.

Como o conjunto de todas as antiderivadas dex2

(9 − 4x2)32é∫

x2

(9 − 4x2)32dx.

Fazendo x =32

sen θ, dx =32

cos θdθ:

∫x2

(9 − 4x2)32dx =

278

∫sen2 θ

[9(1 − sen2 θ)]32· cos θdθ

=278

∫sen2 θ cos θ

27 cos3 θdθ

=18

∫sen2 θ

cos2 θdθ.

Logo,

∫x2

(9 − 4x2)32dx =

18

∫(sec2 θ− 1)dθ

=18(tg θ− θ) + C.

Como sen θ =2x3, cos θ =

√1 − sen2 θ =

√1 −

4x2

9, ou, cos θ =

√9 − 4x2

3onde

θ = arcsen(

2x3

)∈]−π

2,π

2

[. Daí, tg θ =

sen θcos θ

=2x√

9 − 4x2.

Segue que

ϕ(x) =18

[2x√

9 − 4x2− arcsen

(2x3

)]+ C.

De (ii) como, ϕ

(−3√

24

)= 0, temos

3.11. Substituições Trigonométricas 199

18

2 · −3

√2

4√√√√9 − 4 ·

(−3√

24

)2− arcsen

(23· −3√

24

)+ C = 0

⇒ 18

−3√

22√

916

(16 − 8)− arcsen

(−√

22

)+ C = 0

⇒ 18

−3√

22

34· 2√

2−(−π

4

)+ C = 0

⇒ C =4 − π

32.

Assim,

ϕ =x

4√

9 − 4x2−

18

arcsen(

2x3

)+

4 − π

32.

Exemplo 3.11.3Calcule

∫xdx√

9x2 + 4.

Observe que 9x2 + 4 = 4

[(32x

)2

+ 1

]. Assim, fazendo 3

2x = tg θ, com −π2 < θ < π2 , segue

x = 23 tg θ e dx = 2

3 sec2 θdθ o que implica

∫xdx√

9x2 + 4=

∫ 23 tg θ√

9(2

3 tg θ)2

+ 4· 2

3sec2 θdθ

=49

∫tg θ sec2 θ√4(tg2 θ+ 1)

dθ

=49

∫tg θ sec2 θ

2√

sec2 θdθ

=29

∫tg θ sec θdθ

=29

sec θ+ C

200 3. Integração

Agora, como(

32x

)2

+ 1 = tg2 θ+ 1 = sec2 θ temos

∫xdx√

9x2 + 1=

29

√94x2 + 1 + C

=19

√9x2 + 4 + C.

O leitor é convidado a comparar o resultado obtido no Exemplo 3.11.3 utilizando uma substituiçãosimples ao invés de uma substituição trigonométrica.Exemplo 3.11.4

Calcule ∫ √x2 − 16x

dx.

Fazendo x = 4 sec θ temos dx = 4 sec θ tg θdθ e, logo,∫ √x2 − 16x

dx =

∫ √16 sec2 θ− 16

4 sec θ4 sec θ tg θdθ

= 4∫√

sec2 θ− 1 tg θdθ

= 4∫

tg2 θdθ

= 4 tg θ− θ+ C

=√x2 − 16 − arctg

(√x2 − 16

4

)+ C.

3.12 Exercícios

3.12.1 Use uma substituição trigonométrica a fim de calcular cada integral abaixo. Caso a integral sejadefinida, substitua também os limites de integração.

(a)∫x√

9 − x2dx

(c)∫

x3

(4 + x2)32dx

(e)∫ 2

5

0

x2

16(4 + 25x2)

32dx

(g)∫ 2√

3

0

x2√

16 − x2dx

(i)∫ [

4(x− 5) − 9x2] 32 dx

(k)∫ 6

4

x2√x2 − 9

dx

(b)∫

x√x2 − 1

dx

(d)∫ 1

−1

x

(4 − x2)dx

(f)∫√

4x2 − 1dx

(h)∫√

2x− x2dx

(j)∫

x3√x2 − 4

dx

(l)∫ 6

3

√x2 − 9x2 dx


3.12.2 Prove as seguintes igualdades (suponha a > 0, de modo que o radizal seja um n◦ real).

(i)∫√

a2 − x2dx =a2

2arcsen

(xa

)+x

2

√a2 − x2 + C

(ii)∫√

x2 − a2dx =x

2

√x2 − a2 −

a2

2ln∣∣∣x+√x2 − a2

∣∣∣+ C(iii)

∫√x2 + a2dx =

x

2

√x2 + a2 +

a2

2ln∣∣∣x+√x2 + a2

∣∣∣+ C3.12.3 Faça uma substituição trigonométrica adequada e encontre as seguintes integrais indefinidas:

(a)∫

3x2√

25 − x2dx

(d)∫√

21 + 4x− x2dx

(g)∫

dx

(9x2 − 16)32

(b)∫

x2√x2 − 25

dx

(e)∫

dx

x3√

4 − x2

(h)∫

dx

(x2 + 1)52

(c)∫ √

25 + x2

xdx

(f)∫

dx√25x2 − 4

(i)∫

dx

(9 − x2)32

3.12.4 Ache:

(a)∫ 2

√3

(x2 − 3)12

xdx

(d)∫ 3

0

y3

(y2 + 9)12dy

(b)∫ √3

2

0

t2dt

(1 − t2)52

(e)∫ 3

5

0

√9 − 25x2dx

(c)∫ √3

2

0

dt

(1 − t2)52

(f)∫ 6

4

x2√x2 − 9

dx

3.12.5 Use artifícios algébricos para mostrar que se a 6= 0, então é sempre possível escrever a2 + bx+ cna forma

14a[u2 + k

]onde u depende de x e k é uma constante. Use esse artifício a fim de calcular através de uma substituiçãotrigonométrica cada integral abaixo.

(a)∫

dx√x2 + 2x+ 5

(c)∫

dx√4x+ x2

(b)∫

dx

2 + x− x2

(d)∫√

x2 − 6x+ 25

3.12.6 Para cada n ∈ N, considere Jn =

∫dx

(x2 + 1)n.

(i) Mostre que Jn+1 =

(1 −

12n

)Jn +

(1

2n

)x

(x2 + 1)n+1

(ii) Calcule J2 e J3

3.12.7 Ache a área da região delimitada pela elipsex2

a2 +y2

b2 = 1.

3.12.8 Determine1R

∫2mL

(u2 + L2)32du

202 3. Integração

3.13 Decomposição em Frações ParciaisSejam p e q dois polinômios na indeterminada x, isto é,

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

eq(x) = bmx

m + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0,

onde aj, bj ∈ R são chamados coeficientes.Dizemos que o grau do polinômio p é n quando an 6= 0. No conjunto I dos pontos de R em que q não

se anula podemos definir a função

f :I −→ R

x −→ f(x) =p(x)

q(x)

que chamamos função racional. Quando o grau de p(x) é maior que o grau de q(x), é possível obterpolinômios D(x) e r(x) tais que

p(x) = D(x) · q(x) + r(x)

com grau de r(x) < grau de q(x) ou r(x) ≡ 0.Quando grau de p(x) < grau de q(x) e os polinômios p e q não tem fatores comuns (p e q são primos

entre si) dizemos que a fraçãop(x)

q(x)é própria. Nos ocuparemos nesta seção com as integrais da forma∫

p(x)

q(x)dx;

para tanto vamos estabelecer os casos em que é possível a decomposição dep(x)

q(x)em frações parciais; isto

é,

p(x)

q(x)=p1(x)

q1(x)+p2(x)

q2(x)+ · · ·+

pj(x)

qj(x),

onde, em cada parcela do segundo membro da igualdade é possível obter a integral através de algumatécnica abordada anteriormente.Exemplo 3.13.1

Encontre ∫x− 1

x2 − 5x+ 6dx

Primeiramente, observe que x2 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3).Além disso, para quaisquer números reais A e B, temos

A

(x− 2)+

B

(x− 3)=A(x− 3) + B(x− 2)

(x− 2)(x− 3)=

(A+ B)x+ (−3A− 2B)x2 − 5x+ 6

.

Logo,

x− 1x2 − 5x+ 6

=A

x− 2+

B

x− 3=⇒{

A+ B = 1−3A− 2B = −1 ⇔

{A = −1B = 2 ;

isto é,

x− 1x2 − 5x+ 6

= −1

x− 2+

2x− 3

.

3.13. Decomposição em Frações Parciais 203

Portanto,

∫x− 1

x2 − 5x+ 6=

∫ [−

1x− 2

+2

x− 3

]dx

= −

∫1

x− 2dx+ 2

∫1

x− 3dx

= − ln |x− 2|+ 2 ln |x− 3|+ C

= lnk|x− 3|2

|x− 2|, onde k > 0

e, evidentemente, x 6= 2 e x 6= 3.

Como mostra o Exemplo 3.11.1, nosso problema praticamente se reduz a encontrar a decomposição emfrações parciais. Evidentemente, nosso primeiro passo é verificar se a fração é própria, em caso contrário,deve ser efetuada a divisão.Exemplo 3.13.2

∫4x2 − 4x+ 3

2x+ 3dx =

∫(2x− 5)(2x+ 3) − 12

2x+ 3dx

=

∫ [(2x− 5) −

122x+ 3

]dx

= x2 − 5x− 6 ln |2x+ 3|+ C.

Devemos nos ocupar fundamentalmente com as frações próprias, as quais classificaremos em algunscasos, que dependem exclusivamente da fatoração do denominador q(x) = bmx

m + bm−1xm−1 + · · · +

b1x+b0. Do Teorema Fundamental da Álgebra sabemos que se bm 6= 0 e m > 1, q(x) possui exatamentem raízes complexas e que as raízes da forma α+ βi, com β 6= 0, sempre acarretam a existência de raízesda forma α − βi (raízes complexas não reais, sempre vem aos pares). O polinômio q(x) pode, portanto,ser escrito na forma

q(x) = bm(x− z1)(x− z2) . . . (x− zm)

onde cada zi é uma raiz de q.

CASO 1: Todas as raízes zi são números reais distintos.Nesse caso, podemos decompor a fração própria na forma

p(x)

q(x)=

[A1

x− z1+

A2

x− z2+ · · ·+ Am

x− zm

]onde cada Ai ∈ R, tal como no Exemplo 3.13.1.

Costumamos dizer, em relação ao CASO 1, que todas as raízes de q(x) são simples.

CASO 2: Uma das raízes (digamos z1) é real e tem multiplicidade k, e as demais são simples (etambém reais).

Nesse caso, podemos escrever

p(x)

q(x)=

B1

x− z1+

B2

x− z2+ · · ·+ Bk

(x− z1)k+

Ak+1

x− zk+1+ · · ·+ Am

x− zm.

CASO 3: Uma das raízes é da forma α + βi (com β 6= 0), o que acarreta numa segunda raiz z2 daforma α− βi e as demais são números reais distintos.

204 3. Integração

Nesse caso (verifique) podemos fatorar q(x) na forma

q(x) = bm(x2 − 2αx+ α2 + β2)(x− z3) . . . (x− zm)

e podemos escrever

p(x)

q(x)=

Cx+D

x2 − 2αx+ α2 + β2 +A3

x− z3+ · · ·+ Am

x− zm

CASO 4: Se as raízes não reais descritas no CASO 3 tem multiplicidade k, utilizamos o mesmoartifício do CASO 2, isto é, escrevemos

p(x)

q(x)=

C1x+D1

x2 − 2αx+ α2 + β2 + · · ·+ Ckx+Dk[x2 − αx+ α2 + β2]k

+Ak+1

x− zk+1+ · · ·+ Am

x− zm

Logicamente, os procedimentos descritos em cada caso, isoladamente, podem ser utilizados de modosimultâneo. Assim, por exemplo na decomposição em frações parciais (apenas para ilustrar os casos) de

x+ 1(x− 1)(x+ 3)(x− 5)2(x2 + 1)(x2 + 4)3

temos a seguinte expressão

A1

x− 1+

A2

x+ 3+

A3

x− 5+

A4

(x− 5)2 +A5x+A6

x2 + 1+A7x+A8

x2 + 4+A9x+ a10

(x2 + 4)2 +A11x+A12

x2 + 4

3,

ou seja, devemos encontrar os 12 coeficientes A1, A2, . . ., A12.Para ilustrar o caso, listamos mais alguns exemplos:

Exemplo 3.13.3

Calcule∫ √3

3

0

2x− 1x3 − x2 + x− 1

dx.

Observe inicialmente que x3 − x2 + x− 1 = x2(x− 1)+ x− 1 = (x2 + 1)(x− 1). Como o fator x2 + 1é irredutível de 2◦ grau, podemos escrever

2x− 1x3 − x2 + x− 1

=Ax+ B

x2 + 1+

C

x− 1=

(A+ C)x2 + (B−A)x+ C− B

(x2 + 1)(x− 1),

o que ocorre se, e somente se, A+ C = 0B−A = 2C− B = 1

⇐⇒

A = −3

2B = 1

2C = 3

2

.

Assim,

∫ √33

0

2x− 1x3 − x2 + x− 1

dx =

∫ √33

0

[12· −3x+ 1x2 + 1

+32· 1x− 1

]dx

= −32

∫ √33

0

x

x2 + 1dx+

12

∫ √33

0

1x2 + 1

dx+32

∫ √33

0

1x− 1

dx

= −34

ln(x2 + 1)∣∣∣∣√

33

0+

12

arctg x∣∣∣∣√

33

0+

32

ln |x− 1|∣∣∣∣√

33

0

=π

12+ ln

(3 −√

3

314 · 4 3

4

).


O Exemplo 3.13.3 ilustra de modo satisfatório que, a exemplo da integração por partes, não há modifi-cação alguma nos limites de integração no processo de decomposição em frações parciais, já que a variávelde integração é mantida.Exemplo 3.13.4

Calcule∫

x3 + 5x2 + 7x+ 3(x− 1)2(x+ 1)(x+ 2)

dx.

Neste caso, q(x) = (x− 1)2(x+ 1)(x+ 2) só tem fatores de 1◦ grau, um deles de multiplicidade 2.Um cálculo trivial mostra que p(x) = x3 + 5x2 + 7x+ 3 = (x+ 3)(x+ 1)2.

Portanto,

p(x)

q(x)=

x3 + 5x2 + 7x+ 3(x− 1)2(x+ 1)(x+ 2)

=(x+ 3)(x+ 1)(x− 1)2(x+ 2)

=x2 + 4x+ 3

(x− 1)2(x+ 2)

Agora podemos escrever

x2 + 4x+ 3(x− 1)2(x+ 2)

=A

x− 1+

B

(x− 1)2 +C

x+ 2=

(A+ C)x2 + (A+ B− 2C) − 2A+ 2B+ C

(x− 1)2(x+ 2).

Logo, A +C = 1A +B −2C = 4

−2A +2B +C = 3⇐⇒

A = −1

9B = 8

3C = 10

9

.

Assim,

∫x3 + 5x2 + 7x+ 3

(x− 1)2(x+ 1)(x+ 2)dx = −

19

ln |x− 1|−83· 1x− 1

+109

ln |x+ 2|+ K

= ln|k(x+ 2)|

109

|x− 1|19

−8

3x− 3.

3.14 Exercícios

3.14.1 Calcule

(a)∫

2x− 1x2 + 3x− 10

dx

(c)∫

dx

x2 + 5x+ 4

(e)∫x3 + x2 + x+ 2x4 + 3x2 + 2

dx

(g)∫

dx

a2 − x2 (a ∈ R,a 6= x)

(i)∫

et

e2t + 5et + 6dt

(k)∫

3x− 1x(x2 + 1)2dx

(m)∫x arcsen xdx

(b)∫

3x3 + 2x

dx

(d)∫

x3 + x2 + x+ 1(x+ 1)(x+ 2)(x2 + 2)

dx

(f)∫

3x3 − 4x2 − 3x+ 2x4 − x2 dx

(h)∫

2x− 1x2 − 4x

dx

(j)∫

5 cos θsen2 θ− sen θ− 6

dθ

206 3. Integração

(l)∫

xdx√x− 3√x

(n)∫

dx

x3 − 4x

3.14.2 Suponha q(x) = (x− a1)(x− a2), com a1 6= a2. Mostre que é possível escrever

p(x)

q(x)=p(a1)

q ′(a1)· 1x− a1

+p(a2

q ′(a2)· 1x− a2

onde q ′ é a derivada de q em relação a x, para qualquer polinômio p tal que grau de p < 2, que não seanule em a1 nem em a2.3.14.3 Generalize o resultado do Exercício 3.14.2 para o caso em que q(x) = (x−a1)(x−a2) . . . (x−an)e as raízes a1, a2, . . ., an são todas distintas.

3.14.4 Utilize a identidade sec x =cos x

1 − sen2 xe mostre que

∫sec xdx = ln | sec x+ tg x|+ C.

3.14.5 Prove a igualdade∫

dx

(x− a)(x− b)=

1a− b

ln∣∣∣∣x− ax− b

∣∣∣∣+ C (a 6= b)

3.14.6 Encontre o desenvolvimento em frações parciais para o integrando e determine a integral nosseguintes casos:

(a)∫

3x2

25 − x2dx

(d)∫

x2 + x− 2(2x2 − x)(x2 + 1)

dx

(g)∫

x2

x4 − 2x2 − 8dx

(j)∫

2x− 3(x− 1)2dx

(m)∫ 5

1

x− 1x2(x+ 1)

dx

(b)∫

2x− 34x2 − 8x− 32

dx

(e)∫

x+ 54x2 − 8x− 32

dx

(h)∫

x

16x4 − 1dx

(k)∫

4x3

x2 − 2x+ 1dx

(n)∫ 2

1

x+ 1x(x2 + 1)

dx

(c)∫

2x2 − 3x+ 1x3 + 4x2 + 4x

dx

(f)∫

8x3 + 13x(x2 + 2)2 dx

(i)∫

x2 + 5x3 − x2 + x+ 3

dx

(l)∫ 1

0

32x2 + 5x+ 2

dx

(o)∫ 1

0

x2 − x

x2 + x+ 1dx

Índice Remissivo

Assíntotashorizontais, 71verticais, 67

Conjunto, 1complementar, 4diferença, 3dos números inteiros, 3dos números naturais, 3dos números primos, 3interseção, 3produto cartesiano, 4relação, 5subconjunto, 2união, 3

Derivada, 92de f em c, 94

Equação diferencial, 150Extremos

globais, 113locais, 113

Função, 5, 23afim, 24constante, 23contínua, 100diferenciável, 96identidade, 6integrável, 165arco-seno, 85arco-tangente, 85bijeção, 6composta, 7constante, 6, 48, 95contínua, 79contradomínio, 5crescente, 23

decrescente, 23domínio, 5escada, veja maior inteiroexponencial, 33gráfico, 23identidade, 24, 49, 94imagem, 5injetiva, 6logaritmo natural, 33maior inteiro, 43, 44não crescente, 23não decrescente, 23quadrática, 26, 94real, 23salto unitário, 43sobrejetiva, 6sucessão, 8

Integraldefinida, 165indefinida, 149

Limite, 41, 42, 48definição de, 48lateral, 55lateral pela direita, 55lateral pela esquerda, 55limite infinito, 63Limites no Infinito, 70propriedades, 60

Logaritmo, 32

Números, 1

Partição de intervalo, 158Problema de Cauchy, 153

Regra da Cadeia, 103Regra de L’Hôpital, 118, 120

208

Retasecante, 92tangente, 93

Soma de Riemann, 162

Taxa média de variação, 92, 93, 96Teorema

de Rolle, 115de Weierstrass, 113do Valor Médio, 121, 123do valor médio para integrais, 170Fundamental do Cálculo, 175do Confronto, 75

Teorema do Valor Intermediário, 90

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[35] THOMAS, G. et al. Cálculo. 11 ed., vol. 1. Pearson, 2009.

O livro Cálculo I, fruto das notas de aulas do curso de mesmo nome ministrado pelo Prof. Fábio Carvalho em turmas de engenharia da UNIVASF, é um valioso material didático que se coloca à disposição de professores e estudantes da disciplina. Zeloso com o ofício de ensinar, o Prof. Fábio Carvalho consegue transportar para esta obra o mesmo rigor e formalismo matemático utilizados em suas aulas, sem negligenciar, contudo, as abordagens intuitivas e a exploração de exemplos práticos no desenvolvimento e construção dos conceitos chaves do cálculo. Essa abordagem, certamente, torna a obra ainda mais relevante, uma vez que rigor e formalismo são fundamentais ao estudo profícuo e consistente do Cálculo, enquanto que a intuição e exemplos concretos facilitam a compreensão dos conceitos por parte dos alunos. É importante observar, porém, que sendo a obra baseada na prática em sala de aula do autor, a organização e distribuição dos conteúdos ao longo da mesma reflete, inevitavelmente, as conveniências e gosto particular do mesmo. No entanto, salvo um ou outro tópico específico, a disposição dos conteúdos ao longo da obra contempla a sequência com que os conteúdos de Cálculo I são apresentados na maioria dos cursos lecionados em várias instituições do país: números e funções reais, limites e continuidade, derivadas e integrais. Além disso, ao final das seções principais, estão propostos um número razoável de exercícios que possibilitam aos estudantes um aprofundamento dos conceitos estudados ou uma ampliação da compreensão do campo conceitual dos mesmos. Ademais, a obra apresenta um cuidadoso projeto gráfico, realizado inclusive, em colaboração com outros docentes e discentes dos cursos de engenharia da UNIVASF através do Programa de Elaboração de Material Didático (PEMD), que facilita o acompanhamento dos tópicos que estão sendo estudados. Dessa forma, resta somente recomendar o uso dessa relevante obra como livro texto ou como livro de consulta para os estudos do Cálculo Diferencial e Integral I.

Prof. Dr Lino Marcos da Silva

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

PROGRAMA DE ELABORAÇÃO DE MATERIAL D IDÁTICO

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¡CJP)FOSJRVFEF$BS WBMIP - pemd.univasf.edu.br · que darão fundamento e/ou interpretação aos capítulos posteri ... damos destaque à noção geométrica da Derivada de uma função