Classificação de Sistemas LTI - pads.ufrj.brmariane/Cap8_slides.pdf · Classificação de Sistemas LTI Os filtros FIR são, em geral, implementados por estruturas não-recursivas,

Classificação de Sistemas LTI

Segundo o comprimento da resposta ao impulso ℎ 𝑛 :

FIR (Finite Impulse Response):

ℎ 𝑛 = 0, 𝑛 < 𝑛1, 𝑛 > 𝑛2

IIR (Infinite Impulse Response): ℎ(𝑛) possui comprimento infinito

Segundo o procedimento do cálculo da saída:

Não-recursivo: utiliza apenas amostras do sinal de entrada

para gerar cada amostra da saída

Recursivo: o cálculo da resposta envolve amostras passadas

da própria resposta além de amostras do sinal de entrada

Classificação de Sistemas LTI

Os filtros FIR são, em geral, implementados por estruturas não-

recursivas, através do somatório (com número finito de termos):

𝑦 𝑛 = ℎ 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑛2

𝑘=𝑛1

Os filtros IIR são sempre implementados por estruturas recursivas.

Exemplo de implementação recursiva de um filtro FIR:

Seja ℎ 𝑛 =1

𝑀𝛿 𝑛 + 𝛿 𝑛 − 1 +⋯+ 𝛿 𝑛 −𝑀 + 1 .

Podemos calcular a saída y(𝑛) para uma entrada 𝑥(𝑛) de

forma não-recursiva:

𝑦 𝑛 =1

𝑀 𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑀−1

𝑘=0

ou, de forma recursiva:

𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 +1

𝑀x n − x(n − M)

Filtros FIR com Fase Linear

Fase linear:

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑛0𝜔 → 𝜏 𝜔 = −𝑑∠𝐻 𝑒𝑗𝜔

𝑑𝜔= 𝑛0

Podemos facilmente obter filtros FIR com fase linear, impondo simetria na

sua resposta ao impulso.

Esses filtros são classificados em 4 tipos, de acordo com o comprimento

da sua resposta ao impulso (par /ímpar) e ao tipo de simetria (par/ímpar):

Tipo I: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento ímpar

ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 𝑝𝑎𝑟

Por exemplo, para 𝑁 = 4:


A função de transferência deste filtro é:

𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛4

𝑛=0

= h 0 1 + 𝑧−4 + h 1 𝑧−1 + 𝑧−3 + h(2)𝑧−2

A resposta em frequência, fazendo 𝑧 = 𝑒𝑗𝜔 na expressão acima, é:

𝐻(𝑒𝑗𝜔) = h 0 1 + 𝑒−𝑗4𝜔 + h 1 𝑒−𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗3𝜔 + h(2)𝑒−𝑗2𝜔

= 𝑒−𝑗2𝜔 h 0 𝑒𝑗2𝜔 + 𝑒−𝑗2𝜔 + h 1 𝑒𝑗𝜔 + 𝑒−𝑗𝜔 + h(2)

= 𝑒−𝑗2𝜔 2h 0 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 + 2h 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + h(2)

A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝑁2𝜔 𝑎(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔

𝑁/2

𝑛=0

onde

𝑎 0 = ℎ 𝑁/2 e 𝑎 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2


Tipo II: ℎ(𝑛) simétrica com comprimento par

ℎ 𝑛 = h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar

Para 𝑁 = 5:

A expressão geral, para um filtro de ordem 𝑁, é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝑁2𝜔 𝑏(𝑛)𝑐𝑜𝑠 𝜔(𝑛 −

1

2)

(𝑁+1)/2

𝑛=0

onde

𝑏 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2


Tipo III: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento ímpar

ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 par

Em particular, para 𝑛 = 𝑁/2, ℎ 𝑁/2 = −h N/2 = 0

Para 𝑁 = 4:

A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(𝑁2𝜔−

𝜋2) 𝑐 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛

𝑁/2

𝑛=1

onde

c 𝑛 = 2ℎ 𝑁/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁/2


Tipo VI: ℎ(𝑛) anti-simétrica com comprimento par

ℎ 𝑛 = −h 𝑁 − n , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, 𝑁 ímpar

Para 𝑁 = 5:

A expressão geral, para um filtro de comprimento N, é:

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗(𝑁2𝜔−

𝜋2) 𝑑 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔(𝑛 −

1

2)

(𝑁+1)/2

𝑛=1

onde

d 𝑛 = 2ℎ (𝑁 + 1)/2 − 𝑛 , 1 ≤ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)/2

Atraso de Grupo dos Filtros FIR com Fase Linear

As respostas de fase dos filtros dos Tipos I e II podem ser escritas como:

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑁

2𝜔 + 𝜑

e as dos filtros dos Tipos III e IV:

∠𝐻 𝑒𝑗𝜔 = −𝑁

2𝜔 +

𝜋

2+ 𝜑

onde 𝜑 = 0 ou 𝜑 = 𝜋, dependendo de 𝜔

Portanto, para os 4 tipos de filtros FIR de fase linear, o atraso de grupo é:

𝜏 𝜔 =𝑁

2

Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear

Para os filtros dos Tipos I e II:

𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = 𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1𝑁

𝑛=0

𝑁

𝑛=0

Para os filtros dos Tipos III e IV:

𝐻 𝑧 = ℎ(𝑛)𝑧−𝑛 = −ℎ 𝑁 − 𝑛 𝑧−𝑛 = −𝑧−𝑁𝐻 𝑧−1𝑁

𝑛=0

𝑁

𝑛=0

Localização dos Zeros dos Filtros FIR com Fase Linear

Podemos então enumerar as seguintes propriedades dos zeros de um

filtro FIR de fase linear:

i. Se 𝑧0 é um zero de 𝐻(𝑧), 𝑧0−1 também é. Além disso, se ℎ 𝑛 é

real, zeros complexos ocorrerão em pares complexos conjugados e,

portanto, 𝑧0∗ e 𝑧0

∗ −1 também serão zeros de 𝐻 𝑧 . ii. Filtros do Tipo II possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =

−1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam

funções passa-altas.

iii. Filtros do Tipo III e IV possuem um zero em 𝑧 = 1, pois 𝐻 1 =−1 −𝑁𝐻 1 = −𝐻 1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam

funções passa-baixas.

iv. Filtros do Tipo III possuem um zero em 𝑧 = −1, pois 𝐻 −1 =− −1 −𝑁𝐻 −1 = −𝐻 −1 = 0. Portanto, estes filtros não realizam

funções passa-altas.

Filtros IIR Passa-Tudo

Não é possível projetar filtros IIR causais e estáveis com fase exatamente

linear.

Em geral, um filtro 𝐺 𝑧 é projetado para satisfazer uma determinada

resposta em frequência de módulo e a fase não-linear é corrigida por um

filtro equalizador de fase 𝐴(𝑧), colocado em cascata (𝐺 𝑧 A(z)) .

Este filtro deve ter resposta em frequência de módulo constante

( 𝐺 𝑒𝑗𝜔 = 𝐾 ) e, por isso, é chamado de filtro passa-tudo.

A função de transferência de um filtro passa-tudo causal de ordem 𝑀 com

coeficientes reais é da forma:

𝐴 𝑧 =𝑎𝑀+𝑎𝑀−1𝑧

−1+⋯+𝑎1𝑧−(𝑀−1)+𝑧−𝑀

1+𝑎1𝑧−1+⋯+𝑎𝑀−1𝑧−(𝑀−1)+𝑎𝑀𝑧−𝑀

Filtros IIR Passa-Tudo

Podemos reescrever 𝐴(𝑧) como:

𝐴 𝑧 =𝑧−𝑀𝐷(𝑧−1)

𝐷(𝑧) = 𝑘

𝑧 − 1/𝜆𝑖𝑧 − 𝜆𝑖

𝑀

𝑖=1

Portanto, se 𝐴 𝑧 tiver um polo em 𝜆𝑖 , terá necessariamente um zero em

𝜆𝑖−1.

Exemplo: 𝐴 𝑧 =0,81+0,9𝑧−1+𝑧−𝑀

1+0,9𝑧−1+0,81𝑧−2

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-300

-200

-100

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1


Magnitude (

dB

)

Filtros IIR de Fase Mínima

Um sistema 𝐻(𝑧) é chamado de fase mínima se todos os zeros de sua

função de transferência estiverem dentro do círculo unitário.

Se todos os zeros de 𝐻(𝑧) estiverem fora do círculo unitário, o sistema é

chamado de fase máxima.

Se 𝐻(𝑧) tiver zeros fora e dentro do círculo unitário, o sistema é chamado

de fase mista.

Os sistemas de fase mínima são os que respondem mais rapidamente à

uma dada entrada.


Exemplos:

𝐻 𝑧 =2(1 + 0,3𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)

(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)

𝐻 𝑧 =2(1 + 0,3𝑧−1)(0,4 − 1𝑧−1)

(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25


Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12


Magnitude (

dB

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200


Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12


Magnitude (

dB

)

0 2 4 6 8 10 12-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

n (samples)

Am

plit

ude

Impulse Response

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

n (samples)

Am

plit

ude

Impulse Response


𝐻 𝑧 =2(0,3 + 𝑧−1)(1 − 0,4𝑧−1)

(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)

𝐻 𝑧 =2(0,3 + 𝑧−1)(0,4 − 𝑧−1)

(1 − 0,2𝑧−1)(1 + 0,5𝑧−1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0


Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12


Magnitude (

dB

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-100

0

100

200


Phase (

degre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12


Magnitude (

dB

)

0 2 4 6 8 10 12-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

n (samples)

Am

plit

ude

Impulse Response

0 2 4 6 8 10 12-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

n (samples)

Am

plit

ude

Impulse Response

Sistemas Inversos

Dois sistemas LTI, com respostas ao impulso ℎ1(𝑛) e ℎ2(𝑛), são inversos

um do outro se

ℎ1 𝑛 ∗ ℎ2 𝑛 = 𝛿 𝑛

ou, no domínio Z,

𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1

Para um sistema causal com função de transferência racional

𝐻1 𝑧 =𝑃(𝑧)

𝐷(𝑧)

o sistema inverso tem função de transferência

𝐻2 𝑧 =𝐷(𝑧)

𝑃(𝑧)

Sistemas Inversos

Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase mínima, o sistema inverso causal será

estável, pois os polos de 𝐻2 𝑧 estarão dentro do círculo unitário.

Se 𝐻1 𝑧 for um sistema de fase não mínima, o sistema inverso será

instável se causalidade for imposta.

Equalização de canais de fase não-mínima:

Para 𝐻1 𝑧 de fase não mínima, podemos escrever

𝐻1 𝑧 =𝑃𝑖(𝑧)𝑃𝑜(𝑧)

𝐷(𝑧)

Multiplicando 𝐻1 𝑧 por

𝐴 𝑧 =𝑧𝑀𝑃0(𝑧

−1)

𝑃0(𝑧)

Sistemas Inversos

Obtém-se o sistema de fase mínima 𝐻1 𝑧

𝐻1 𝑧 =𝑧−𝑀𝑃𝑖(𝑧)𝑃0(𝑧

−1)

𝐷(𝑧)

para o qual o sistema inverso causal

𝐻2 𝑧 =1

𝐻1 𝑧

é estável.

É fácil verificar que

𝐻1 𝑧 𝐻2 𝑧 = 1/𝐴 𝑧

Portanto, utilizando-se 𝐻2 𝑧 como equalizador para um canal 𝐻1 𝑧 ,

cancela-se a distorção de amplitude. A distorção de fase pode

ser reduzida com um equalizador de fase (filtro passa-tudo).

Documents

Classificação de Sistemas LTI - pads.ufrj.brmariane/Cap8_slides.pdf · Classificação de Sistemas LTI Os filtros FIR são, em geral, implementados por estruturas não-recursivas,