NOVA SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

CÁLCULO I – 1º Semestre 2011/2012

EXAME 1ª ÉPOCA - Correcção

02 Janeiro 2012

Duração: 2 horas e 30 minutos

• Não é permitido o uso de calculadoras. • Não pode desagrafar as folhas do enunciado.

• Responda de forma justificada a todas as questões, apresentando sempre os cálculos efectuados.

• Simplifique sempre os resultados ao máximo. • Responda a cada grupo na respectiva secção.

• Não se esclarecem dúvidas.

NOME: _____________________________________________________

NÚMERO: ___________

NÚMERO: ___________

GRUPO 1 (3 valores)

Considere a função real de variável vectorial 3 3

1),(

yxyxf

+= .

a) (1 valor) Indique o seu domínio e represente-o graficamente. b) (1 valor) Encontre a expressão analítica da curva de nível de cota -1.

c) (1 valor) Prove pela definição que 2

1)0,(lim

2=

→xf

x. Explique em que medida é que a

relação de infinitésimos a que chegou comprova que o limite é realmente 2

1.

Resolução

a) { } { }323 32 :),(0:),( xyRyxyxRyxDf −≠∈=≠+∈=

b) 11111

1),( 333 3

3 3−−=⇔−=+⇔−=+⇔−=

+⇔−= xyyxyx

yxyxf

c) 2

11lim

0

1lim)0,(lim

23 322==

+=

→→→ xxxf

xxx

Para provar o limite pela definição, temos que demonstrar que:

εδεδε <−⇒<−>∃>∀2

112:0)(,0

xx

εεεεε 222

2

2

2

2

2

2

2

2

11<−⇒<

−<

−⇔<

−⇔<

−⇔<− x

x

x

x

x

x

x

x

x

Seja εεδ 2)( = . Notar que se está a escolher uma vizinhança de raio 1 para fazer a

majoração.

x

y

É possível garantir que o limite da função em 2=x é 2

1se existirem objectos na

vizinhança de 2 cujas imagens estejam tão próximas de 2

1

tanto quanto se pretenda.

Definida a distância ε a que se pretende estar do limite, bastará encontrar objectos a uma distância menor que ε2 de 2 para que as suas imagens estejam a menos de ε do

limite. E assim se prova que é possível estar tão perto de 2

1 tanto quanto se pretenda

em redor de 2=x . É precisamente a relação de infinitésimos εεδ 2)( = que prova a

existência de limite no ponto em estudo.

GRUPO 2 (2 valores)

1- Calcule, se existirem, os limites das seguintes sucessões:

a) (0,5 valores) ( ) nn

1

35lim +

b) (0,5 valores)

12

12

2lim

−

+

n

n

n

Resolução

a) ( ) n nnn 35lim35lim1

+=+

Segundo um dos resultados importantes sobre limites de sucessões:

aUaU

Un

n

n

n =⇒=+ limlim 1

Designando 35 += n

nU , temos:

b)

ee

ne

nn

nnnn

n

n

nnnn

11

12

11lim

12

11lim

12

11lim

12

11lim

12

11lim

12

11lim

12

2lim

12

1212

21222121212

=×=

+−×=

+−×

+−=

=

+−=

+−=

+−=

+

−

−

−

−+

−+−+−−−

535lim55

5.5lim

5

5lim

35

35limlim

111 =+⇒===

+

+=

++

+ n n

n

n

n

n

n

n

n

n

U

U

2- Estude a convergência das seguintes séries e calcule a respectiva soma nos casos em

que for possível o seu cálculo. Justifique.

a) (0,5 valores) ∑+∞

=−

+

11

13

nn

n

π

b) (0,5 valores) ∑+∞

= −13

3

2

7

n n

n

Resolução

a) πππ

333

111

1

∑∑+∞

=

+∞

=−

+

=

n

n

nn

n

Trata-se de uma série geométrica de razão π

3 . Como 1

3<

π podemos afirmar que

a série é convergente e que é possível calcular a sua soma. Seja ππ

33

n

na

= .

3

93

1

33

1

3

1

1

1 −=

−

=−

=

=∑

∞+

= π

π

π

ππ

π r

aS

n

n

b) ∑+∞

= −13

3

2

7

n n

n

Não se trata de uma série geométrica.

Seja 3

3

2

7

n

nbn

−= . Como 07

7lim

2

7limlim

3

3

3

3

≠−=−

=−

=n

n

n

nbn , pelo Critério

Geral de Convergência podemos garantir que a série é divergente. Não é possível calcular a soma da série.

GRUPO 3 (4 valores)

Seja A o subconjunto de R definido por { }11: 2 <−∈= xRxA .

a) (1 valor) Será A um conjunto fechado? E aberto? Justifique.

b) (1 valor) Indique o ínfimo, o máximo e o conjunto derivado do conjunto QA \ .

c) (1 valor) Seja [ ]1;0=B . Represente graficamente o conjunto BAC ×= e

escreva analiticamente a sua fronteira e exterior.

d) (1 valor) Será C um conjunto convexo? E conexo? Justifique.

Resolução

a) { }11: 2 <−∈= xRxA

002111111 22222 >∧<−⇔−>−∧<−⇔<− xxxxx

] [2;2022 −∈⇔<− xx

002 ≠⇔> xx

{ } ] [ { }0\2;211: 2 −=<−∈= xRxA

] [ { }0\2;2int −=A

{ }2;0;2−=Afront

[ ]2;2−=Aader

Como o conjunto A coincide com o seu interior é aberto. Como o conjunto A não coincide com a sua aderência não é um conjunto fechado.

b) ] [ { }[ ] ( )QRQA \0\2;2\ ∩−=

Como o número real 0 não é um número irracional, podemos escrever:

] [ ( )QRQA \2;2\ ∩−=

O ínfimo é o maior dos minorantes, dado por 2− .

O máximo é o supremo ( 2 ) caso pertença ao conjunto. Apesar de 2 ser um número irracional, não pertence ao conjunto QA \ , logo não existe máximo.

O conjunto derivado é formado por todos os pontos de acumulação, sendo dado

pelo conjunto de números reais [ ]2;2− . Todos os racionais e irracionais deste

intervalo são pontos de acumulação. Notar que um ponto de acumulação pode não pertencer ao conjunto.

c) ] [ { } [ ]1;00\2;2 ×−=×= BAC

{ } [ ] [ ] { }1;02;21;02;0;2 ×−∪×−=Cfront

[ ] [ ]( )1;02;2\2 ×−= RCext

y

x

2 2−

d) O conjunto C não é convexo pois não é possível ligar quaisquer dois elementos do conjunto através de um segmento de recta sem passar por pontos não pertencentes ao conjunto. Basta tentar ligar um elemento de C que pertença ao 1º quadrante do referencial com um que pertença ao 2º quadrante. Também não é um conjunto conexo pois não é possível ligar quaisquer dois elementos do conjunto passando apenas por elementos do conjunto, seja através de um segmento de recta, uma curva, etc.

GRUPO 4 (3,5 valores)

De uma função f diferenciável e estritamente monótona crescente em R sabe-se a seguinte informação:

x 0 1 2 3 )(xf -7 -4 1 6 )(' xf 1 3 4 2

a) (0,5 valores) Prove que a equação 3)( −=xf tem exactamente uma solução. b) (1 valor) Mostre, através do Teorema de Lagrange, que existe pelo menos um

ponto c no intervalo ]1,2[ tal que 5)(' =cf . c) (1 valor) Seja xxg ln)( = . Calcule ( ) )3('gof . d) (1 valor) Seja )(xw a função inversa de )(xf . Calcule )1('w .

Resolução a) Uma função ser diferenciável em R é condição suficiente para ser contínua em R,

logo f é contínua em R e, por conseguinte, contínua em qualquer subconjunto de R. Sendo f

contínua em [1;2] e verificando-se a condição )2(3)1( ff <−< , então

pelo Teorema de Bolzano podemos garantir a existência de pelo menos uma solução para a equação 3)( −=xf no intervalo [1;2]. Como a função é estritamente monótona crescente em R, é injectiva, logo garantimos a existência de exactamente uma solução da equação 3)( −=xf em R, que ocorrerá necessariamente no intervalo [1;2].

b) A partir da alínea anterior, sabe-se que a função f

é contínua em [1;2] e diferenciável em ]1,2[. Sabe-se ainda que o declive da recta secante ao gráfico de

f e que passa nos extremos deste intervalo é dado por: [ ] 512

)1()2(2;1 =

−

−=

fftmv .

Assim, pelo Teorema de Lagrange, garante-se a existência de pelo menos um ponto c em ]1,2[ tal que 5)(' =cf , ou seja, tal que a derivada nesse(s) ponto(s) é

igual ao declive da recta secante ao gráfico que passa pelos pontos ))1(,1( f e

))2(,2( f . O facto da função ser injectiva em R não obriga a que exista um só ponto c em ]1,2[ nestas condições. Poderão existir vários pontos em ]1,2[ cuja derivada é 5.

c) ( ) ( ) ( ) 26')3(')3(')3(' ×=×= gffggof

( )x

xxg1

'ln)(' ==

( ) ( )3

12

6

126')3(' =×=×= ggof

d) Sendo a função f injectiva em R será possível definir a sua função inversa,

denominada de função w . De seguida convém descobrir o ponto no qual vai recair toda a nossa atenção nesta alínea. Sabemos que a função w tem como objectos as imagens da função f , logo

1 é uma imagem de pelo menos um ponto da função f . Como é uma função injectiva

sabemos que 1 será imagem de apenas um ponto da função f . Trata-se do ponto )1;2( .

Assim, pela regra da derivada da função inversa:

4

1

)2('

1)1(' ==

fw

GRUPO 5 (4,5 valores)

Considere a função real de variável real xexf

2)( −= .

a) (0,5 valores) Considere a sucessão )(nfWn = . Prove pela definição que nW é um

infinitésimo. b) (1 valor) Usando o Teorema das Sucessões Enquadradas, calcule o limite da

sucessão )arccos()( nnfU n −= .

c) (1 valor) Escreva a fórmula de Mac-Laurin de 2ª ordem relativa à função f . d) (1 valor) No contexto da alínea anterior, encontre um majorante para o módulo do

resto de Lagrange quando se estima ( )5,0f .

e) (1 valor) Seja xxg ln)( = . Calcule ( )( )∫−

2

1

dxxfog e diga se o integral é convergente

ou divergente.

Resolução a) n

enf2)( −=

Mostrar pela definição, que a sucessão é um infinitésimo corresponde a provar que:

εεεε <−⇒>∀∃>∀ − 0)(:)(,0 2nennn

2

lnln20 22

−>⇔<−⇔<⇔<− −− ε

εεε nneenn

2

ln)(

−=

εεn

Para qualquer distância ε a que se queira estar do limite 0, existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão distam de 0 menos que ε . Está assim provado que a sucessão é um infinitésimo, é possível encontrar termos tão próximos de 0 quanto se possa imaginar.

b) n

n

ne

nnennfU

22 )arccos(

)arccos()arccos()(−

=−=−= −

Sabemos que π≤≤ )arccos(0 n , logo 0)arccos( ≤−≤− nπ , logo, pelo Teorema das Sucessões Enquadradas:

nnn ee

n

e 222

0)arccos(≤

−≤

− π

0)arccos(

lim00

lim)arccos(

limlim2222

≤−

≤⇔≤−

≤−

nnnn e

n

ee

n

e

π

Logo, 0)arccos(

lim2

=−

ne

n

c) xexf

2)( −= Fórmula de Mac-Laurin (2ª ordem):

6

8221)(

!3

)('''

!2

421)(

!2

)0)(0('')0)(0(')0()(

322

32

2

2

xexxxf

xcfxxxf

Rxf

xffxf

c−

−+−=⇔

⇔++−=⇔

⇔+−

+−+=

5,00 << c

d) ( )6

5,085,025,0215,0

322 ×

−×+×−=− ce

f

c

c

e

eR

2

332

2 3

5,04

6

5,08 ×=

×−=

−

com

Para majorar o módulo do resto de Lagrange vamos substituir c por 0, obtendo-se:

6

1

3

5,0

3

5,0402

3

==×

×e

e) ( )( ) ∫∫∫∫∫−−

−

−−

−

−

====−

2

12

2

1

22

1

ln2

1

ln22

1

12

dxx

dxxdxedxedxxfogxx

Notar que a função 2

1

xy = não está definida para x=0 logo trata-se de um integral

impróprio. Usemos a devida notação.

+∞=

−=

+−−=

=

−+

−=+=

→→

−

−→

+

−

−→

−

∫∫∫

2

32lim

1

2

11

1lim

11lim

11lim

1

00

2

10

2

02

0

120

2

12

εεε εε

ε

ε

εε

ε

ε xxdx

xdx

xdx

x

O integral é divergente.

GRUPO 6 (3 valores)

1- (1 valor) Seja f contínua em [ ]ba, e diferenciável em ] [ba, . Seja )(2)( xfxg x= com [ ]bax ,∈ . Mostre que se 0)()( =+ bfaf e 0)()( =× bfaf existe ] [bac ,∈

tal que

×=

2

1ln)()(' cfcf .

2- Considere a função real de variável real xxf arctan)( = .

a) (1 valor) Calcule

( )

20

2

0lim

x

dttf

x

x

∫→

.

b) (1 valor) Seja Rxdttfxg

x

x

∈∀= ∫+

,)()(1

2

2

. Calcule )0(''g .

5,00 << c

Resolução:

1- Se 0)()( =+ bfaf e 0)()( =× bfaf então 0)()( == bfaf .

Como )(2)( xfxg x= então se 0)()( == bfaf temos 0)()( == bgag .

Dada a função f ser contínua em [ ]ba, e diferenciável em ] [ba, , também a função g é

contínua em [ ]ba, e diferenciável em ] [ba, , visto resultar do produto de duas funções

diferenciáveis. Assim, pelo Teorema de Rolle, podemos concluir que a função g tem pelo menos um

ponto ] [bac ,∈ tal que 0)(' =cg . Assim:

( ))(')(2ln2)('2)(2ln2)(' xfxfxfxfxg xxx +=+=

( )

)(2

1ln)('

)(2ln)('0)(')(2ln0)(')(2ln20)('

cfcf

cfcfcfcfcfcfcgx

=⇔

⇔−=⇔=+⇔=+⇔=

2-

a)

( )( )

01

lim2

1

2

lim2

)arctan(lim

2

)(limlim

40

22

0

0

0

2

0

2

0

0

020

2

0=

+=

+===

→→

→→

→

∫x

xx

x

x

x

x

xf

x

dttf

xxRC

xxRC

x

x

b) ∫+

=

12

2

)()(x

x

dttfxg

( )( ) ( ) ( ) ( )224222 21221)(' xfxxxfxfxxfxg −×++=−×+=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )4

2442

23

424

224

33

224243

1

212arctan2

11

442

1

212arctan2

121

44244

'arctan122212'44)(''

x

xxx

x

xxx

x

xxx

xx

xxxxx

xxxfxxxfxxxg

+−+++

++

+=

=+

−++++++

+×+=

=−+++×+++=

( )2

1arctan2)0(''π

==g