Cálculo II – Lista 2 de Exercícios
Cálculo II –
Lista 1 e 3 não tenho digitadas.
Lista 1 é referente à integração por mudança de variáveis e por
partes.
Lista 3 é referente a integrais impróprias.
Lista 2 de Exercícios
I – Área entre curvas
1) Encontre a área da região limitada superiormente por y = ex e
abaixo por y = x e limitada nos lados por x= 0 e x = 1. Esboce o
gráfico.
Resposta: e – 3/2 u.a.
2) Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e
calcule sua área, y = 4 – x² e y = -4.
Resposta: (64 . 21/2)/3 u.a.
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = senx e y
= cosx, sendo x = 0 e x = π/2. Esboce o gráfico.
Resposta: 2 . 21/2 - 2 u.a.
4) Resolva os exercícios do capítulo 6.1, números de 1 a 4 do
livro de James Stewart Volume 1, 6ª edição página 395.
5) Resolva os exercícios do capítulo 6.1, números 5, 6, 7, 13,
19, 21 da página 395, 26 da página 396 do livro de James Stewart
Volume 1, 6ª edição.
Lista 4 de Cálculo 2
Séries
Testes de convergência
8) Use o teste da integral para determinar se a série é
convergente ou divergente.
a)
b)
Respostas: a) Converge pois pelo teste da integral, a integral
imprópria converge para ¼.
b) Converge pois pelo teste da integral, a integral imprópria
converge para 1/36.
9) Pelo 1º Critério de comparação, determine se as séries
convergem ou divergem.
a)
b)
c)
d)
Respostas: a) diverge (p-série)b) converge (p-série)c) converge
(p-série)d) converge (p-série)
10) Use o teste de Comparação no limite para determinar se as
séries convergem ou divergem:
a)
b) c)
Respostas: a) diverge (p-série)b) converge (p-série)c) diverge
(p-série)(como resulta indeterminação aplica L´Hospital em uma
função correspondente a lim an/bn.
11) Teste as séries alternadas quanto à convergência ou
divergência:
a)
b)
Respostas: a) diverge b) converge
12) Determine se as séries são absolutamente convergente ou
condicionalmente convergente:
a)
b)
Respostas: a) condicionalmente convergente b) absolutamente
convergente
13) Determine a convergência ou divergência pelo Teste da
Razão:
a)
b)
c)
Respostas: a) convergente b) pelo livro James, converge, mas eu
encontrei diverge. c) convergente
14) Pelo Teste da Raiz, determine se as séries convergem ou
divergem:
a)
b)
Respostas: a) convergente b) convergente
Lista 5
I – Série de Potências
1) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência
das séries:
a)
Resposta: R = 1; [-1,1[
b) Resposta: R = 1; [-1,1]
c) Resposta: R = ½ ; ] -½, ½]
d)
Resposta: R = ∞; (-∞,∞)
e) Resposta: R = 4; ]-4, 4]
f) Resposta: R = 1/3; [-13/3, -11/3[
II – Séries de Taylor e Maclaurin
1) Encontre a série de Maclaurin de f(x) e encontre o raio de
convergência:
a) f(x) = (1-x)-2 Resposta: f(x) = ; R = 1
b) f(x) = ln (1+x)Resposta: f(x) = ; R = 1
2) Encontre a série de Taylor de f(x) centrado no valor dado de
a e o raio de convergência.
a) f(x) = ex ; a = 3 Resposta: f(x) = ; R = ∞
b) f(x) = cos x ; a = π Resposta: f(x) = ; R = ∞
3) Determine o polinômio de Taylor de grau 3 centrada no valor
dado de a:
a) f(x) = ; a = -3Resposta: P3(x) =
b) f(x) = sen x ; a = Resposta: P3(x) = (como a 3ª derivada é
zero, temos um polinômio de grau 2.
c) f(x) = x-2 ; a = 1 Resposta: P3(x) = 1 –
2(x-1)+3(x-1)²-4(x-1)³
4) Se f(n)(0) = (n+1)! para n = 0,1, 2, ..., encontre a série de
Maclaurin de f e seu raio de convergência.
Resposta: ; R = 1
Lista 6 de Cálculo 2
II – Funções de Várias Variáveis
5) Seja f(x,y) = ln(x+y-1).
a) Calcule f(1,1).
b) Calcule f(e,1).
c) Determine e esboce o domínio de f.
d) Determine a imagem de f.
Respostas: a) 0
b) 1c) y>1 – x, esboço da reta tracejado
d) R
6) Seja f(x,y) = x²e³xy.
a) Calcule f(2,0).b) Determine o domínio de f.
c) Determine a imagem de f.
Respostas: a) 4
b) R²
c) [0, ∞)
d) R
7) Determine e esboce o domínio da função f(x,y) = . Qual é a
imagem de f.
Respostas: Domínio x ≥ y²-1, o esboço terá traço contínuo.
Imagem [0, ∞)
8) Seja f(x,y,z) = .
a) Calcule f(2, -1, 6).
b) Determine o domínio de f. c) Determine a imagem de f.
Respostas: a) e
b) z ≥ x²+y²
c) [1, ∞)
9) Determine e faça o esboço do domínio da função:
a) f(x,y) =
b) f(x,y) = ln(9-x²-9y²)
c) f(x,y) =
d) f(x,y) =
e) f(x,y) =
f) f(x,y) = arcsen(x²+y²-2)
g) f(x,y,z) =
Respostas: a) y≥-x reta contínuab) Elipse tracejadac) –yo
d) x²+y²≤25; y≥0, meia circ. contínuae) y≥x²; x≠+-1, parábola
contínua e reta tracejada
f) 1≤x²+y²≤3
g) x²+y²+z² ≤ 1 interior de uma esfera
10) Determine e esboce as curvas de nível para os níveis z=0,
z=1, z=2, z=3, z=4 para a superfície f(x,y) = (y-2x)².
11) Determine o domínio, imagem e faça o esboço das curvas de
nível da função f(x,y) = x³-y para k=-2, k=-1, k=0, k=1, k=2.
Lista 7 de Cálculo 2
I – Limites e Continuidade
1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não
existe:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Respostas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2) Seja f(x,y) = , se (x,y) ≠ (0,0)
0 , se (x,y) = (0,0)
Verifique se f(x,y) é contínua em (0,0).
Resposta: descontínua
3) Mostre que g(x,y) = , se (x,y) ≠ (0,0)é contínua em (0,0).
Use xy = t.
1 , se (x,y) = (0,0)
Resposta: Aplicando L´Hospital encontra limite e verificando as
3 condições, mostra-se que a função é contínua.
II – Derivadas Parciais
4) Determine as derivadas parciais de 1ª ordem da função:
a) f(x,t) = ln(t)
b) z = (2x+3y)10
c) z = tan(xy)
d) f(x,y) =
e) w = sen(cos(
f) f(r,s) = r ln(r²+s²)
g) u = tew/t
h) f(x,y,z) = x sen(y-z)
i) w = ln(x+2y+3z)
Respostas: a) fx = e fy = b) fx = 20(2x+3y)9 e fy = 30(2x+3y)9
c) fx = y sec²(xy) e fy = x sec²(xy)
d) fx = e fy =
e) w( = cos(cos( e w( = -sen(sen( f) fr = ln(r²+s²)+ e fs =
g) ft = ew/t (1-w/t) e fw = ew/t h) fx = sen(y-z), fy = x
cos(y-z) e fz =-xcos(y-z) i) fx = , fy = e fz =
5) Determine as derivadas parciais indicadas:
a) f(x,y)= ln(x+) ; fx(3,4)b) f(x,y,z)= ; fy(2,1,-1)
Respostas: a) fx =
b) fy =
6) Use a definição de derivadas parciais como limite para
encontrar fx(x,y) e fy(x,y).
Seja f(x,y) = xy² - x³y.
Respostas: a) fx = y² - 3x²y
b) fy = 2xy – x³
III – Derivadas de 2ª e 3ª ordem
7) Determine todas as derivadas parciais de 2ª ordem:
a) f(x,y) = x³y5+2x4y
b) f(x,y) = x4y²-2xy5
Respostas: a) fxy e fyx = 15x²y4 + 8x³b) fxy e fyx = 8x³y –
10y4
8) Seja f(x,y) = ln mostre que fxy = fyx.
9) Determine as derivadas parciais indicadas:
a) 3xy4 + x³y² ; fxxy, fyyy
b) f(x,y,z) = cos(4x+3y+2z); fxyz, fyzz
Respostas: a) fxxy = 12xy e fyyy = 72xyb) fxyz = 24
sen(4x+3y+2z) e fyzz = 12 sen(4x+3y+2z)
V – Regra da Cadeia
15) Use a regra da cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
a) z = x² + y² +xy ; x = sen(t) e y = et
b) z = arctg(x/y); x = et ; y = 1 – e-t
c) w = xey/z; x = t² ; y = 1 – t ; z = 1 + 2t
Resposta: a) dz/dt = (2sen(t) + et).cos(t) + (2et +
sen(t)).et
b)dz/dt =
c) dw/dt =
16) Utilize a regra da cadeia para determinar (z/(s e (z/(t.
a) z = x²y³ ; x = s cos(t) , y = s sen(t)b) z = arcsen(x-y) ; x
= s² + t² ; y = 1 -2st
Resposta: a) (z/(s = 5 s4cos²t.sen³t e (z/(t =
-2s5cos(t)sen4t+3s5cos3tsen²t
b)) (z/(s = e (z/(t =
17) Supondo que a função u = f(x,y), onde x = x(r,s,t); y =
y(r,s,t) seja diferenciável, utilize um diagrama em árvore para
escrever a regra da cadeia.
