Cálculo NuméricoAula 2Nivan Ferreira

Baseados no slide do professor Guilherme Amorim

Bases Numéricas

Qual a representação de (101,01)2 na base 10?

Qual a representação de (18,5)10 na base 2?

Qual a representação de (0,375)10 na base 2?

Qual a representação de (0,8)10 na base 2?

Qual a representação de (1101, 1100)2 na base 10?

Noções de Aritmética de Máquina

Representação dos Números

• Quantas formas diferentes temos de representar o número 0,3?

3

10

6

200,3 𝑥 100

3 𝑥 10−1 30 𝑥 10−2

Representação dos Números

• E qual a forma mais utilizada de presentar o número 0,3 no computador?

3 𝑥 10−1

Aritmética de Ponto Flutuante

• Definição: Dados 𝑏 > 1 (base), 𝑡 > 0 (precisão) e números inteiros 𝑒1e 𝑒2, um número real 𝑥 (𝑥 ∈ ℝ) é dito um número de máquina (de ponto

flutuante normalizado) se são válidos os seguintes itens:

onde:

Convenção utilizada no curso

Aritmética de Ponto Flutuante

Sistema de Ponto Flutuante

O conjunto de todos os números de máquina é chamado de sistema de ponto flutuante, geralmente representado por

F (b, t, e1 e e2).

Exemplo

• Seja uma máquina que trabalha com o sistema de ponto flutuante

F (10, 4, -9, 9).

• O número real 34,21 é um número desta máquina?• Sim. 3,421 x 101

• O número real 0,42162 é um número desta máquina?• Não. 4,216 x 10-1

Exemplos

• Represente os seguintes número em ponto flutuante F (10, 5, -9, 9) :• p

• 2/7

• 0,01523

• 2

6

Observações

• A representação de ponto flutuante na forma normalizada (𝑑0≠0) de um número real 𝑥 é única.

• 0 (zero) é um número de máquina especial representado por ± 0,000…0 × 𝑏𝑒1;

• Se 𝑥 é um número de máquina, então −𝑥 também o é;

• Os dígitos 𝑑0, 𝑑1, 𝑑2, ..., 𝑑𝑡−1, de m são ditos os t primeiros dígitos significativos de 𝑥.

Observações

• Se 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟+1 = 𝑑𝑟+2 = 𝑑𝑡−1 = 0, 𝑟 ≥ 1, ainda assim estes dígitos são considerados significativos;

• O menor número de máquina positivo é:• 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 1,000…0 × 𝑏𝑒1

• O maior número de máquina positivo é:• 𝑥𝑚𝑎𝑥 = (𝑏 − 1), (𝑏 − 1)(𝑏 − 1) × 𝑏𝑒2

• Logo, a região dos números reais que pode ser representada em um computador é dada por:• ℜ = −𝑥𝑚𝑎𝑥; −𝑥𝑚𝑖𝑛 ∪ 0 ∪ 𝑥𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑚𝑎𝑥

Exemplo

b, t, e1, e2 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑚𝑎𝑥

10, 5, -5, 5 1,0000 × 10−5 9,9999 × 105

2, 4, -10, 10 1,000 × 2−10 1,111 × 210

Proposição

• F é um subconjunto finito dos números racionais.

• Demonstração:• Parte 1: 𝐹 ⊂ 𝑄 (Conjunto dos Números Racionais)

Proposição

• Demonstração (Parte 2): F é finito.• Podemos calcular a quantidade de números que podem ser representados,

ou seja, o número de elementos de F.

• Calculando a quantidade, garantimos que F é finito.

Proposição

• Demonstração (Parte 2): F é finito.

Exemplo

Definição

Dois números de máquina x1 e x2, x1<x2, são ditos consecutivos se e somente se entre x1 e x2 não existe outro elemento de máquina.

Proposição

• Fixado o expoente e, dois números consecutivos de uma máquina qualquer 𝒙𝟏 = 𝒎𝟏 × 𝒃𝒆 e 𝒙𝟐 = 𝒎𝟐 × 𝒃𝒆, 𝒙𝟏< 𝒙𝟐, se diferenciam por: 𝒃(𝒆−𝒕+𝟏)

• Demonstração

Exemplo

Observação

• “Notar que em a e b são representados valores totalmente diferentes. No primeiro caso, temos uma distância de 10-12 , no segundo chegamos a 106. Isto mostra que em uma máquina não existe uma distribuição uniforme de seus números, embora para um fixado expoente ela seja uniforme.”