Clélia Maria Ignatius Nogueira

UEM/PCMSBEM/PR

Ao meu pai, Felipe, eu Ao meu pai, Felipe, eu devo a minha vida, ao meu devo a minha vida, ao meu mestre Aristóteles, devo mestre Aristóteles, devo uma vida de qualidade.uma vida de qualidade.

Alexandre, o GrandeAlexandre, o Grande

2

Objetivos: oferecer suporte teórico e

metodologias diferenciadas e adequadas

para a superação das dificuldades

apresentadas pelos alunos de 5ª série, com

defasagens de aprendizagem dos conteúdos

dos Anos Iniciais e que, portanto, não

conseguem acompanhar a referida série.

Conteúdos: Significado e algoritmos das

operações aritméticas elementares.

3

Trabalhar com crianças com defasagens de aprendizagem de conteúdos não é uma tarefa fácil e exige do professor mais do que conhecer diferentes metodologias.

Cada criança é um universo e, muitas vezes, atividades que são pensadas para uma maioria podem não minimizar as dificuldades de um aluno específico.

4

É necessário que o professor enriqueça

seu repertório teórico para subsidiar,

de maneira consistente seu fazer

pedagógico e poder, primeiramente,

reconhecer as dificuldades da criança

e, na sequência, ser capaz de adaptar e

propor atividades direcionadas àquela

criança em particular.

5

Parte significativa dos cinco primeiros anos

do Ensino Fundamental é dedicada ao estudo

das operações aritméticas elementares.

Entretanto, não se pode assegurar que as

crianças finalizem esse ciclo de estudo

compreendendo os conceitos e os

procedimentos formais dessas operações.

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Muitas vezes se confunde a competência em operar os algoritmos das operações com a compreensão dos conceitos envolvidos nessas operações.

Utilizar corretamente os algoritmos é, frequentemente, o principal critério usado pelo professor para avaliar a compreensão que seus alunos têm sobre esses conceitos.

Esta forma de tratar o ensino de conceitos lógico-matemáticos apresenta uma serie de limitações.

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Primeiro, porque reduz a Matemática ao cálculo ou à execução de algoritmos ignorando que a Matemática fornece modelos para representação e compreensão do mundo em que vivemos.

Em segundo lugar, porque ignora que

operação e algoritmos são conceitos distintos: o algoritmo se refere a um conjunto de procedimentos que leva à execução de uma dada operação; enquanto a operação implica transformações realizadas sobre números, quantidades, grandezas e medidas.

8

No estudo das operações, além da preocupação com a elaboração dos diferentes sentidos de cada operação, é importante apresentar diferentes formas de realizá-las (além dos tradicionais algoritmos escritos), como o cálculo mental, aproximações e estimativas.

9

Nossa sugestão de trabalho pedagógico com as operações fundamentais é a ênfase no cálculo mental.

Com o cálculo mental os alunos demonstram mais segurança ao enfrentar situações-problema; são mais autônomos e possuem uma capacidade mais ampla de estabelecer estratégias para obter a solução de um problema.

Compreendem com mais facilidade algumas técnicas, por exemplo, a técnica do "vai um".

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Os algoritmos: Um algoritmo é um dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de determinada tarefa.

Convivemos com vários tipos de algoritmos –ligação telefônica - inscrição para um evento via internet - confeccionar um vestido – nadar – dirigir - declaração do Imposto de Renda.

Quando nos deparamos com um algoritmo em nosso cotidiano, é comum precisar de ajuda nas primeiras tentativas de utilizá-lo.

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Se não compreendermos o algoritmo, vamos acabar usando-o mecanicamente, sem nenhuma autonomia, apenas seguindo instruções.

De forma similar, quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em inúmeras situações do dia-a-dia, que exigem autonomia de decisões sobre "que cálculo fazer" e "como fazê-lo".

Dentre as estratégias de cálculo, os algoritmos das quatro operações ocupam lugar de destaque.

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A ação de juntar é a base para a construção do conceito de adição. Mas, a adição além de juntar tem ainda o significado de acrescentar. Exemplos:

Vitor e Raul são irmãos. Vitor tem 25 bolinhas de gude e Raul tem 32. Quantas bolinhas os dois têm juntos? (ideia de juntar – contagem do início)

Lucas tinha 17 figurinhas e ganhou mais 15 figuras do seu tio. Com quantas ficou? (ideia de acrescentar – contagem começando dos 17).

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A habilidade de utilizar o algoritmo

corretamente não se adquire de uma

só vez, pois requer tempo e prática.

Por isso, o algoritmo da adição só

deve ser apresentado às crianças

quando elas já dominarem, com certa

segurança, o conceito da operação,

os fatos básicos da operação e o

sistema de numeração decimal. 14

Importante: não estamos fazendo um bom uso do algoritmo quando solicitamos a uma criança, um "arme e efetue" em adições como "5+2=" ou "8+7=".

Os resultados destas adições são fatos básicos e o algoritmo da adição não ajuda a criança a efetuar a operação.

Nesses casos, é mais adequada a resolução por meio do cálculo mental (iniciando o processo de memorização dos fatos básicos com o auxílio de materiais de contagem).

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Na verdade, para que a criança utilize bem o algoritmo quando for operar com as representações dos números dispostas em colunas, ela precisará de boas estratégias mentais para determinar os resultados das adições de números de um algarismo.

Finalmente, consideramos que no processo de construção do algoritmo da adição, é recomendável que os primeiros exemplos já envolvam adições com "reservas", ou agrupamentos, ou seja, aquelas em que a soma das unidades isoladas é maior que nove, sendo necessário fazer um agrupamento para a casa das dezenas.

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Trabalhando com "reserva" desde o início, o aluno compreende porque é necessário começar a operar pelas unidades, isto é, da direita para a esquerda, o que contraria seus hábitos de leitura.

Por outro lado, ao trabalharmos os primeiros exemplos sem reservas, o resultado da operação será o mesmo se operarmos da esquerda para direita ou vice-versa.

Tal estratégia não permite ao aluno perceber que, na utilização do algoritmo, há uma nítida vantagem em se iniciar o processo pela ordem das unidades.

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A sequência de utilização de materiais deve obedecer ao processo de desenvolvimento lógico da criança, partindo do material concreto (tampas de garrafas, pedrinhas, feijões), passando pelo material dourado e chegando ao quadro valor de lugar e ao ábaco.

Realizar a adição 365 + 267 utilizando material dourado e o ábaco.

18

Atividades como essas, quando

realizadas repetidas vezes e com

diferentes graus de dificuldade,

favorecem a compreensão do

algoritmo da adição pela criança,

pois ao realizá-las, ela está

construindo, gradativamente, este

mecanismo.19

Importante: cada “conta” ou problema a

ser resolvido, deve ter seu resultado

estimado antes de sua solução. Isto habitua

as crianças a agirem criticamente em

relação aos seus cálculos e favorece as

operações com números decimais.

20

Quando não há necessidade de uma

resposta exata do resultado de uma adição,

fazemos uma estimativa.

O trabalho com estimativas deve ser feito

desde as atividades de contagem e pode

ser aplicado em situações cotidianas, como

estimar a quantidade de pessoas;

quantidade de refrigerante para uma festa,

etc.21

Para fazer uma estimativa existem algumas estratégias, que são as utilizadas no cálculo mental, como arredondar os números, para a dezena, centena ou milhar mais próximos, ou ainda, fazer a estimativa dos primeiros algarismos.

Exemplo: 587 + 219 =

Arredondar para a centena mais próxima: 587à 600 e 219 à 200. Então 600 + 200 = 800

Arredondando para a dezena mais próxima: 590 + 220 = 810

22

SubtraçãoSubtração

Na subtração, o ponto de partida é a ideia de tirar, algo que as crianças já conhecem.

Significados da subtração: tirar (quanto resta?), completar (quanto falta?) e comparar (qual é a diferença? Quanto tem a mais?).

O trabalho pedagógico com estas ideias deve se apoiar em atividades “concretas”, isto é, dramatizações ou esquemas representativos da situação.

23

A idéia de retirar é natural para a criança,

e esquematicamente ela pode representar

a quantidade total de objetos e riscar os

que estão sendo subtraídos e é fácil

compreender que em linguagem

matemática a sentença é x – y.

Atividade: Jogo Qual é a diferença?

24

Dois jogadores embaralham duas coleções de cartões numerados de 1 a 9 e os colocam virados para baixo em uma pilha sobre a mesa.

O jogador 1 vira 4 cartas e forma o menor número possível com elas. O jogador 2 vira 3 cartas e forma o maior número possível com elas.

O jogador 1 calcula a diferença entre o número de 4 algarismos e o número de 3 algarismos.

Os jogadores trocam de lugar e quem obtiver a menor diferença ganha 1 ponto. Havendo empate, os dois ganham 1 ponto.

Aquele que obtiver mais pontos após 8 partidas é o vencedor.

25

Na comparação, o problema consiste em

saber qual das coleções tem elementos a

mais e quantos a mais. Esquematicamente

a criança representa as duas coleções em

correspondência biunívoca e conta os

elementos que sobraram. Geralmente não

apresentam muitas dificuldades para

compreender a sentença matemática x – y

para esta situação.

26

Na ideia de completar, temos duas coleções

e o problema consiste em saber quanto se

deve acrescentar à que tem menos

quantidade para obter uma coleção

equivalente à primeira. É difícil para a criança

perceber que essa quantidade é obtida

através da subtração e isto porque, de fato, as

crianças estão encontrando uma parcela

desconhecida de uma adição, isto é: y + … =

x.

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A ampliação dos significados da subtração

pode ser feita estabelecendo ligações com

a realidade, porém, é preciso

compreender que esse aprendizado se

estende por anos e a criança irá

desvendando os seus vários significados, a

medida que aumenta sua experiência

matemática.

28

1. Gabriel tinha 50 figurinhas. Perdeu 20 delas. Com

quantas ficou?

2. Um álbum de figurinhas completo tem 50

figurinhas. Gabriel já conseguiu 20 delas.

Quantas ainda faltam?

3. Jorge tem 50 figurinhas e Gabriel tem 20.

Quantas figurinhas Jorge tem a mais que

Gabriel?

4. Jorge tem 50 anos e Gabriel 20. Quantos anos

Gabriel é mais novo do que Jorge? Ou quantos

anos Gabriel tem a menos que Jorge? 29

O trabalho com as diferentes idéias

associadas à subtração deve começar com

números pequenos que facilita a

manipulação de material concreto.

Jogo: Comparando as tarefas (Extraído de Atividades Matemáticas - CENP - SP)

Material necessário: cartões quadriculados folha de papel sulfite; lápis de cor; por um número múltiplo de 3 de grupos de alunos, ou, no mínimo 3 alunos individualmente.

30

Situação 1: Peça que pintem o verso do

cartão menor e coloquem sobre o

quadriculado maior, com o lado pintado

voltado para cima, de maneira que os

seus lados coincidam com traços do

quadriculado. Em seguida, solicite que

indiquem: o número de casas do

quadriculado maior e o número de casas

que foram cobertas pelo cartão pintado.

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Situação 2: Proponha as seguintes

tarefas (uma para cada grupo ou aluno,

por isso a necessidade de 3 alunos no

mínimo): Indicar o número de casas do

quadriculado maior que restaram

(sobraram) descobertas; Indicar o número

de casas que o quadriculado maior tem a

mais; Indicar o número de casas que

faltam para o cartão menor cobrir o

maior.32

1. Ao final das tarefas, divida a lousa em três

partes e escreva em cada uma delas: casas que

restaram; casas a mais; casas que faltam,

respectivamente.

2. Permita que diferentes alunos coloquem os

valores encontrados e expliquem como

obtiveram os resultados pedidos. Conduza a

discussão de maneira que ao final da atividade

os alunos percebam que as três situações

podem ser registradas matematicamente da

mesma forma, isto é: 75 – 20 = 5533

Para efetuar subtrações mentalmente fazemos estimativas e utilizamos arredondamentos.

Exemplo: 187 – 128 = ?

Arredondando para a centena mais próxima: 187 à 200 e 128 à 100. A diferença é aproximadamente 200 – 100 = 100.

Como no caso os algarismos das centenas são

iguais, uma estimativa melhor seria arredondando para as dezenas mais próximas: 187à 190 e 128 à 130

Logo: 190 – 130 = 60 e a diferença é aproximadamente 60.

34

O algoritmo da subtração: Tão importante quanto identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração é aprender a técnica de subtrair.

O trabalho deve ser iniciado pela subtração sem reservas, isto é, na qual não há necessidade de efetuar trocas.

Da mesma forma que na adição, o trabalho apoiado em materiais manipuláveis facilita a compreensão dos algoritmos e a sequência é a mesma: material dourado e ábaco.

35

O algoritmo da subtração tem por finalidade

sistematizar e facilitar o processo de cálculo.

Ele deve ser apresentado quando as crianças já

dominarem, com certa segurança, os conceitos

associados à subtração, o sistema de

numeração, os fatos básicos da subtração e o

algoritmo da adição.

A habilidade de utilizar o algoritmo

corretamente requer tempo e prática, sendo

necessárias diversas experiências

preparatórias, variando-se bastante os valores

numéricos.36

Início: usar, materiais de contagem e o QVL e

começar com situações-problema envolvendo a

ideia de retirar.

Com material concreto: a criança deve separar,

de seu material de contagem, apenas a

quantidade que representa o minuendo.

A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos

a quantidade que corresponde ao subtraendo.

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A ação de retirar, da coleção de objetos

que representa o minuendo, uma

quantidade correspondente ao valor do

subtraendo só faz sentido quando

trabalhamos com apenas uma mesma

coleção de objetos.

Retiramos algo daquilo que temos!

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Enuncie, oralmente, uma situação–problema envolvendo a ação de retirar. Como exemplo vamos retirar 13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um QVL, como na figura a seguir.

"Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos".

"Mude para a linha debaixo os palitos que representam a quantidade que você precisa tirar". "Quantos palitos permaneceram na primeira linha?"

- "Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!) ".

(O restante da atividade está descrito no texto entregue)

39

Trabalhando com material concreto você

pode propor diversas situações. Isto vai

ajudar seu aluno a perceber a sequência

de ações que compõe o algoritmo.

A representação, no caderno, dos passos

realizados com material concreto também

é importante para que o aluno, aos

poucos, compreenda a relação entre estes

passos e o registro formal do algoritmo.

40

É possível usar estas idéias em uma subtração na qual é preciso desfazer as dezenas re-arrumando o minuendo. Crie uma situação-problema para os alunos subtraírem 5 de 32. Iniciamos por arrumar o minuendo no QVL com o auxílio dos palitos amarrados.

Com o material dourado: 42 - 17= 25 representamos APENAS o 42. Como não é possível retirarmos 7 de 2 unidades, trocamos uma barra de dezena por dez unidades. Retirar as 7 unidades. Retirar a dezena. Fazer o registro.

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Com o ábaco: 354 – 131 Representamos o número 354 no ábaco e recordamos às crianças o valor do subtraendo: 131. O resultado seria o mesmo, se as crianças começassem retirando primeiro, as centenas, depois as dezenas e por último as unidades. A necessidade de se começar pelas unidades é restrita ao algoritmo escrito!

Ao realizar subtrações com o apoio de material manipulável como o QVL, o material dourado ou o ábaco, é importante que o professor repita frequentemente o número que vai ser retirado, o subtraendo, pois ele não é concretizado no ábaco. Para isso ele deve ser anotado no quadro e mostrado a cada novo passo, destacando suas ordens (unidades, dezenas, centenas).

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Os conceitos ligados à multiplicação são fundamentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o conceito da operação, a criança conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos (as tabuadas) e realizar de forma mecânica o algoritmo posteriormente.

A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança ficará clara diante de um problema quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação realizar.

43

Duas noções fundamentais: soma de

parcelas iguais e raciocínio

combinatório.

Dificuldades na compreensão da

multiplicação: propriedade fundamental

da adição é que o todo é soma das

suas partes - propriedade fundamental

da multiplicação é a existência de uma

relação fixa entre duas quantidades.

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Um ramalhete contém oito rosas, quantas rosas existem em 5 ramalhetes? As quantidades são o número de ramalhetes e o número de rosas, e a relação fixa é 8 rosas por ramalhete.

Nessa situação-problema, poderíamos juntar os 5 ramalhetes em um grande ramalhete e contar o número de rosas, esse é o raciocínio aditivo.

Como não queremos um grande ramalhete, mas apenas o número necessário de rosas para compor 5 ramalhetes, devemos considerar cada ramalhete individualmente e obter a correspondência 1 para 8. Esse é o raciocínio multiplicativo.

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No raciocínio multiplicativo a correspondência envolvida é um para muitos, e isso pode ser difícil para a criança, que constrói esse conceito aos poucos, necessitando, também, de atividades específicas para isso.

Exemplos do cotidiano: Cada pessoa tem dois ou mais irmãos; quatro avós; dez dedos nas mãos.

Fatos como estes levam a criança a perceber a existência de outros tipos de correspondência além da correspondência um a um usada na construção do número.

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Problema 1: Beatriz comprou 3 refrigerantes. Cada refrigerante custa R$1,50. Quanto Beatriz gastou?

Se um refrigerante custa R$1,50, então três refrigerantes custam 1,5+1,5+1,5 = 4,5.

A ideia associada à multiplicação, nesse caso, é a adição de parcelas iguais.

A ideia de adição de parcelas iguais significa efetuar contagens formando grupos com a mesma quantidade. Por exemplo, utilizando uma determinada quantidade de material de contagem (tampinhas, grãos, palitos, etc.) a criança poderá contar a quantidade de um em um, dois em dois, de três em três, etc.

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Também podemos utilizar o material dourado. Para 5 X 22, por exemplo, formar 5 grupos de 22 e proceder por contagem, por adição e registrar: 5 X 20 = 100 e 5 X 2 = 10, portanto 5 X 22 = 100 + 10 = 110.

Da mesma forma, a ideia da multiplicação como parcelas iguais pode ser efetivada no ábaco.

Uma observação importante: A interpretação da multiplicação como adição de parcelas iguais só é válida quando pelo menos um dos fatores é um número natural.

Preparação a multiplicação de quaisquer números positivos: GEOPLANO - permite a organização retangular para a multiplicação como adição de parcelas iguais – posteriormente interpretada como área de um retângulo, para multiplicações em que os fatores não são números naturais.

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Jogo Produtos Poderosos: Embaralhem duas coleções de cartões numerados de 1 a 9 e os coloquem viradas sobre a mesa. Cada jogador deve pegar 3 cartões e organizar um problema de multiplicação com um número de 2 algarismos e um número de 1 algarismo que tenha o maior resultado possível. Os dois alunos devem escrever o problema e as soluções para comparar os produtos que formaram. O jogador que obtiver o maior produto ganha 1 ponto. As cartas devem retornar à mesa, ser novamente embaralhadas e o jogo continua por 6 rodadas. Quem obtiver o maior número de pontos é o vencedor.

Variação: Cada jogador deve pegar 4 cartas e criar um problema de multiplicação com dois números de 2 algarismos. Quem obtiver o maior produto ganha 1 ponto.

(Jogo extraído da coleção Matemática Faz sentido) 49

As situações-problema com adição de

parcelas iguais podem constituir o marco

inicial para o estudo da multiplicação.

A outra idéia associada à multiplicação é o

raciocínio combinatório, no qual

verificamos quantas possibilidades

existem de formar pares com duas

coleções.

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Problema 2: Marília tem 3 saias e 3 blusas, nas cores azul, branco e vermelho. Com essas roupas, de quantos modos diferentes Marília pode se vestir?

Um restaurante self-service oferece 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, bife), 2 saladas (verde e maionese) e 3 sobremesas (sorvete, pudim, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

Quem encontra pela primeira vez este tipo de problema pode não perceber que se trata de uma situação que envolva multiplicação.

Este é um exemplo do raciocínio combinatório que leva à multiplicação - problema de contagem.

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Em situações como as anteriores, diga aos

alunos que eles podem organizar melhor seu

raciocínio com o auxílio de:

Correspondência entre os dois conjuntos;

Uma tabela ou

Uma “árvore de possibilidades”.

Depois de resolver o problema por contagem,

peça aos alunos que decidam qual a melhor

operação para resolver o problema.

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EstimativasPara se fazer estimativas em problemas de multiplicação, o procedimento é semelhante ao realizado na adição e na subtração: arredondar para a dezena ou centena mais próxima, por exemplo, para estimar:

1.7 X 23 =>23 está próximo de 20, assim, o produto é aproximadamente igual a 7 X 20 = 140.

2.37 X 43 => 40 X 40 = 1600. As estimativas são refinadas à medida em que a criança aperfeiçoa seus cálculos mentais.

Habituar as crianças a fazerem estimativas antes da realização de “contas” ou resolução de problemas, além de possibilitar a verificação de resultados e o exercício da cidadania, pois favorecem a compreensão de cálculos com números decimais.

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Ex: 12,73 X 1,9. Como 1,9 é bem próximo de 2 e 12,73 é

próximo de 13, esse produto é aproximadamente 26, mas é menor do que 26.

A seguir, o produto é feito como se fossem números naturais: 1273 X 19 = 24 385.

Como pela estimativa sabemos que o produto é próximo de 26 e menor do que 26, então colocamos a vírgula após o 4 e o resultado é: 24,385. Depois de se efetuar diversos cálculos dessa forma, evidenciar as regularidades e estabelecer a “regra” que “dá” o número de casas após a vírgula.

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Multiplicação com as mãos

Saber de cor a tabuada até a do 5. Para 9 X 8, por exemplo, usar as mãos: abaixar tantos dedos quantas unidades o 9 passa de 5. São abaixados 4 dedos.

Na outra mão, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 8 passa de 5: abaixamos 3 dedos.

Somamos o número de dedos abaixados e obtemos as dezenas do total:4 + 3 = 7 dezenas, isto é, 70 unidades.

A seguir multiplicamos os números de dedos levantados: 1 x 2 = 2 unidades.

Finalmente, somamos os valores 70 + 2 = 72. De fato: 9 x 8 = 72.

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Ao apresentar o algoritmo da multiplicação:

45 X 23 = 45 X23 135 90 + 1035 Algumas dúvidas podem surgir: Como foi

obtido o número 135? Por que ficou um espaço vazio sob o 5 do 135? O 90 escrito abaixo do 135 representa 90 unidades?

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Dividiremos a etapa de aprendizagem do algoritmo da multiplicação em três estágios. Lembramos que multiplicações entre números de apenas um algarismo são fatos básicos (tabuada) e o algoritmo não ajuda a encontrar seu resultado.

EX: 36x4 => Com o material dourado: 36 X 4 (ideia de adição de parcelas iguais) =>

Destacar que multiplicamos as 6 unidades por 4 e também multiplicamos as 3 dezenas por 4 e que, depois, juntando os resultados encontrados (120 e 24) chegamos ao resultado, 144.

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1° estágio – Por um dígito: Observe como podemos representar a multiplicação de 36 por 4. Faça a seguinte arrumação na conta:

Pergunte aos alunos: "Que resultado obtivemos depois que multiplicamos 4 por (30+6)?“ - "O que precisamos fazer com os resultados 24 e 120 para encontrar o resultado desta multiplicação?"

O aluno deve concluir que é preciso somar estes dois resultados parciais, recorrendo ao algoritmo da adição.

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A partir destas experiências, resta apenas associá-las ao registro formal do algoritmo da multiplicação, escrevendo os resultados parciais de forma conveniente para o uso do algoritmo da adição.

36 X 4 24 120 144

2° estágio – Incentive o cálculo mentalNesse estágio, a criança já deve ter fixado

todo o desenvolvimento do processo para que possa efetuar mentalmente algumas operações.

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Por exemplo: Para multiplicar 36 por 4, efetue a operação com a criança, mostrando que ao multiplicarmos o 6 por 4, escrevemos como resultado parcial apenas as quatro unidades, guardando mentalmente a dezena do produto 2.

Explique que esta dezena será adicionada às outras dezenas do produto, quando multiplicarmos as 3 dezenas por 4.

36 x 4144

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3° estágio – Multiplicação por números de dois dígitos

Nesta última etapa, veremos o algoritmo da multiplicação de dois números, cada um deles representado no SDN por dois algarismos. Neste momento, as crianças já devem ter uma base para aprender o algoritmo, o que inclui um mínimo de novas técnicas.

Por exemplo: Vamos calcular o produto de 43 por 27. Iniciamos por fazer o produto 7 x 43.

43

x27 301

Faça essa etapa com as crianças, mostrando que estamos multiplicando sete unidades por 43 e que o processo é igual ao da etapa anterior. 61

Efetue, agora, o produto das duas dezenas que será adicionado ao produto das unidades. Dê muita ênfase ao valor do 2 no número 27, ou seja, enfatize que ele representa 2 dezenas; logo, nessa segunda multiplicação, estaremos multiplicando o 3 por duas dezenas e obteremos 6 dezenas, que devem ser colocadas na ordem das dezenas. Em seguida, mostre que ao multiplicarmos as 2 dezenas por 4 dezenas acharemos 8 centenas, as quais devem ser colocadas na ordem das centenas. Finalmente, faça o registro e a soma dos resultados parciais. 62

Priorizar a memória ao invés do entendimento gera uma aprendizagem viciada e ineficaz.

É mais produtivo trabalhar a compreensão da tabuada com atividades que levem ao seu domínio (memorização), pois desta forma evitaremos que, posteriormente, a criança apresente baixo rendimento em matemática, em virtude da dificuldade de chegar rapidamente a resultados de operações elementares, simplesmente por não dominar a tabuada.

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Construção da tabuada: Os alunos constroem a tabuada, partindo de alguns fatos simples já trabalhados anteriormente, como a tabuada até do cinco, sendo realizada mediante o processo de adições de parcelas iguais. Primeiramente organizamos a tabela e registramos com os alunos os fatos já conhecidos (até 5 x 5) e, em seguida, as crianças vão completando os outros produtos. Algumas colunas são fáceis de serem completadas. Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3. Eles podem obter este resultado, por exemplo, através de adições sucessivas 64

Os conceitos relacionados com a divisão de números naturais desempenharão um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os conceitos de números fracionários e decimais.

Dividir em Matemática consiste em separar um grupo total em dois ou mais grupos iguais, de tal forma que o resto seja o menor possível, sem contagem.

Também é importante frisar que muitas divisões são impossíveis, como por exemplo, dividir (em partes iguais) 9 bolas de futebol entre 4 crianças. O máximo que conseguimos é dar 2 bolas para cada e sobrará uma bola. Às vezes é possível o fracionamento daquilo que se divide (todo contínuo); às vezes não (todo discreto).

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No dia a dia, fazemos divisões com um sentido diferente deste. É comum uma criança dividir com os amiguinhos brinquedos e doces, mas não necessariamente, em partes iguais. Dividir balas, brinquedos, lápis de cor, para elas é uma divisão natural. O sentido aqui é repartir ou distribuir, não necessariamente em partes iguais.

A palavra dividir pode ser empregada com muitos sentidos diferentes.

A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.

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a) Divisão repartição ou partitivaA ação de repartir se encontra em situações nas

quais é conhecido o número de grupos que deve ser formado com determinado total de objetos, e é preciso determinar a quantidade de objetos de cada grupo.

Problema 1: Suponha que uma criança tenha que distribuir 72 ovos em 12 cestos, de modo que todos os cestos tenham a mesma quantidade de ovos. Quantos ovos ela deverá colocar em cada cesto? Sobrarão ovos?

A criança distribui um ovo para cada cesto até terminarem os ovos. Feito isso, ela sabe que existem 6 ovos em cada cesto.

Nessa situação, a criança deve dividir 72 em 12 partes iguais, o que está próxima do sentido matemático de divisão, isto é, repartir, distribuir igualmente uma quantidade em um número conhecido de grupos. A solução do problema pode ser registrada assim: 72 : 12 = 6

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b) Divisão comparação ou medida ou por cotasAções que envolvem este tipo de divisão são

encontradas em situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com determinado total de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter.

Problema 2: Suponha que a mesma criança receba a tarefa de guardar 72 ovos em caixas iguais. Cada caixa pode conter 12 ovos. Quantas caixas serão necessárias? Sobrarão ovos?

A criança irá completar a primeira caixa, depois a segunda e a terceira e assim por diante, até terminarem os ovos. Após terminar a tarefa, verá que são 6 cestos. Como não sabe em quantas partes iguais deve dividir 72, a estratégia deve ser diferente.

As crianças sentem em visualizar a divisão neste caso, pois aqui a divisão aparece de outra forma, ou seja: quantos grupinhos de 12 cabem no todo de 72.

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(Adaptado de Atividades matemáticas – CENP/SP) Desenhe na lousa o seguinte esquema:

OO OOO O OO ooo O O OOOO OO

OO O ooo OO O OoO OOo

Um menino deveria repartir, igualmente, algumas bolinhas de gude entre algumas crianças. Para isso, ele representou o que fez, utilizando o esquema desenhado. Com esse desenho é possível saber:

1. Quantas bolinhas de gude o menino tinha para distribuir?(34)

2. Entre quantas crianças as bolinhas deveriam ser repartidas igualmente? (8)

3. Quantas bolinhas cada criança recebeu? (4)4. Quantas sobraram? (2)

Discuta com as crianças mostrando no esquema o que representa a resposta para cada questão formulada – destacando quais foram os números dados e quais os encontrados. 69

Um outro menino deveria colocar determinado número de bolinhas de gude em saquinhos, colocando em cada saquinho a mesma quantidade de bolinhas. Ele representou o que fez, utilizando o mesmo desenho. É possível saber:

1. Quantas bolinhas de gude tinha para colocar em saquinhos? (34)

2. Quantas bolinhas foram colocadas em cada saquinho? (4)

3. Quantos saquinhos foram formados? (8)4. Quantas bolinhas sobraram?(2)

Discuta com as crianças mostrando no esquema o que representa a resposta para cada questão formulada – destacando quais foram os números dados e quais os encontrados. Uma vez comparadas as duas situações, você pode introduzir os termos da divisão: dividendo, divisor, quociente e resto, identificando, em cada uma das situações, os números a que eles correspondem. 70

Apresente aos alunos uma lista de problemas para serem resolvidos, pedindo que, para cada um, a solução encontrada seja representada por um desenho que indique claramente a resposta obtida. Apresente cada grupo em aulas diferentes. (CENP/SP)

Grupo A1. Repartir, igualmente, 21 balas para 4 crianças.

Quantas balas receberá cada uma?2. Quantos grupos de 4 crianças posso formar com 21

crianças? Sobrarão crianças? Quantas?Grupo B1. Distribuir, igualmente, 35 cadernos entre 5 alunos.

Quantos cadernos receberá cada um? Sobrarão crianças?

2. Quantos pacotes, com 5 quilos de tomate posso formar com 35 quilos de tomate?

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Grupo C1.Dividir 16 lápis entre 7 estojos. Quantos

lápis serão colocados em cada estojo? Sobrarão lápis? Quantos?

2.Quantos pacotes com 7 borrachas cada um posso formar com 16 borrachas?Após a resolução de todos os problemas, dirija uma discussão para que os alunos percebam que, embora os dados sejam os mesmos, as representações gráficas das soluções encontradas são diferentes.

Mostre que em todos os problemas a operação utilizada foi a divisão.

72

O processo das subtrações sucessivas é

uma opção para se efetuar a divisão, e tem

como ponto de partida a relação que existe

entre a subtração e a divisão.

Para a compreensão do algoritmo devem ser

exploradas diversas atividades que envolvam

raciocínio e que possam ser desenvolvidas

com o auxílio de material manipulável, sempre

solicitando o registro. 73

Exemplo: Dê 19 palitos para uma criança e peça para que ela os divida igualmente entre 3 crianças. A criança vai tirando de 3 em 3, ou de 6 em 6 ou de 9 em 9 e podem surgir os seguintes registros:

19 – 3 = 16; 16 – 3 = 13; 13 – 3 = 10; 10 –

3 = 7; 7 – 3 = 4; 4 – 3 = 1

19 – 6 = 13; 13 – 6 = 7; 7 – 6 = 1

19 – 9 = 10; 10 – 9 = 1

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Sugerir o registro dos resultados utilizando o esquema:

E, as diferentes formas de subtração realizadas ficam:

75

Destacar que só terminamos o processo quando não foi mais possível fazer a divisão, isto é, o resto é menor do que o divisor.

Essas atividades devem ser repetidas com outros pares de números maiores, é conveniente também que algumas divisões resultem exatas e que no divisor contenha 2 algarismos.

Só depois que as crianças estiverem familiarizadas com a técnica do algoritmo, que se baseia em subtrações repetidas, e utilizarem os fatos básicos já conhecidos, é que estarão prontas a aprender situações mais complexas da divisão. Ex: 85 : 4

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Observação importante: Pelo processo

das subtrações sucessivas, também fica

fácil convencer seu aluno que o resto de

uma divisão nunca pode ser igual ou

maior que o divisor, pois, caso contrário,

ainda seria possível fazer mais uma

subtração. A criança pode e deve chegar,

ela mesma, a essa conclusão.

77

Incentive as crianças a acelerarem o processo de divisão por subtrações sucessivas falando sobre o tempo gasto na divisão quando os números são grandes e como seria importante ter uma forma rápida para proceder a divisão. Para dividir 369 por 3, decompomos o número para acelerar o processo de divisão:

369:3 = (300 + 60 + 9) : 3 = (300:3) + (60:3) + (9:3) = 100 + 20 + 3 = 123.

Um registro desse esquema é dado por:

A criança deve compreender que 123= 100+20+3 e que o 1 que ele coloca quando "divide 3 por 3" significa 1 centena, pois ele está verificando quantas centenas cada uma das três crianças pode receber.

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Podemos realizar os processos do algoritmo da divisão pelas subtrações sucessivas com o material dourado. Para isso, representamos sobre a mesa, o número 369. Dividir 3 placas (centenas) por três, o que dá uma placa (centena). Depois 6 barras (dezenas) divididas por 3, dá 2 barras(dezenas). Finalmente, 9 cubinhos (unidades) divididos por 3 resultam 3 cubinhos (unidades). Portanto, o resultado da divisão é 123.

É importante fazer o registro do processo.

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A divisão precisa ser, gradativamente refinada. Por exemplo: 262: 7. Temos 2 centenas mais seis dezenas e mais 2

unidades, ou 26 dezenas e duas unidades. Como não podemos dar uma centena para cada criança, podemos dar pelo menos uma dezena para cada criança, pois temos 26 dezenas. Será que podemos dar duas dezenas? E três dezenas? E 4? Não podemos dar 4, pois 4 dezenas para os 7 grupos daria 28 dezenas, ultrapassando as 26 dezenas. Assim, vemos que só podemos dar 3 dezenas para cada uma, mas não 4. Então teremos distribuído 210 unidades e sobraram 52, que divididos entre os 7 grupos dá 7 para cada um, com resto 3.

 80

Por exemplo: 927:27 Aqui temos 9 centenas mais duas dezenas

e mais 7 unidades, ou 92 dezenas e sete unidades. Não podemos dar uma centena para cada criança, mas podemos pelo menos uma dezena para cada criança, pois temos 92 dezenas.

Fazendo estimativas, vemos que podemos dar 3 dezenas para cada uma, mas não 4. Então teremos distribuído 810 unidades e sobraram 117, que divididos entre os 27 grupos dá 4 para cada um, com resto 9.

81

Algumas estratégias para estimativas de quocientes são:

1. arredondar para a dezena ou centena mais próxima;

2. procurar números que facilitem o cálculo 3. primeiro algarismo.

Exemplos:

1. 1 984 : 5 = ? Temos que 1 984 é próximo

de 2 000 que é igual a 20 centenas; 20 : 5 =

4 centenas. Então 1 984 : 5 é

aproximadamente 40082

2 236 : 7 = ? Usando a estimativa dos primeiros algarismos para descobrir quantos algarismos o quociente vai ter, vemos que 7 X 100 = 700 e 7 X 1000 = 7000 (muito alto), logo o quociente está na ordem das centenas.

Então, o melhor é se fazer uma estimativa do algarismo das centenas no quociente: há 22 centenas em 2 236.

O quociente de 22 : 7 está entre 3 e 4, porém mais próximo de 3, portanto 2 236 : 7 é aproximadamente 300.

83

Utilização de materiais manipuláveis Os materiais exigem cuidado na sua

utilização, pois os mesmos podem ser tão abstratos e desconectados da realidade para as crianças quanto os conceitos matemáticos.

Além disso, é importante que eles somente sejam retirados no momento em as crianças já sejam capazes da correta representação interna dos conceitos envolvidos, a partir dos materiais manipulados.

84

A passagem das ações concretas para a abstração dos conceitos deve ser cuidadosamente preparada e não pode, de maneira alguma, deixar de ser efetivada.

Um bom exemplo dessa “passagem”, é a utilização de “dedos” ou tampinhas para “risquinhos”, que já exigem alguma representação, para serem posteriormente eliminados na realização de “somas”.

Essa supressão dever ser gradativa e não pode ser feita de forma absoluta, isto é, pode-se solicitar que as crianças não utilizem os apoios para efetuar a operação num dia e permitir a utilização no dia seguinte.

85

É apenas quando se tem certeza que a criança é capaz de “pensar” as operações que os apoios devem ser definitivamente retirados.

É importante que o professor faça a correlação entre os dois domínios envolvidos, o do material (concreto) e o das representações (simbólico – abstrato), para ter certeza de que os alunos compreenderam bem as relações entre aspectos dos dois domínios.

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O material didático deve ser visto como um instrumento facilitador da aprendizagem e não como um instrumento mágico com o qual tudo poderá ser entendido e assimilado pelo aluno.

A diversificação de materiais é importante, porque nem todas as crianças aprendem da mesma forma.

Se na escola não há variedade de material, é possível criar diferentes situações com sucatas, com lápis e papel ou lousa e giz como recursos.

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Muitas vezes, nos livros didáticos aparecem representações “prontas” de atividades feitas com materiais manipuláveis.

No entanto, se essas atividades não tiverem sido feitas efetivamente com os materiais, elas poderão não ter significado para as crianças e isto porque, quando usamos representações, ficamos reféns das possíveis interpretações de cada sujeito sobre elas.

O aluno, como possui um repertório matemático e linguístico menor do que o do professor, nem sempre consegue atribuir a uma representação o mesmo significado que o docente.

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É importante ter consciência que nenhum material, nem mesmo os multimídia ou os softwares educativos, por mais completos que pareçam ser, substituem o professor. A criança não construirá o seu conhecimento matemático apenas “manipulando” os objetos, sem a orientação do professor formulando constantemente questões que permitam ao aluno observar os aspectos do material que são relevantes para a construção do conceito em questão.

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Finalmente: Toda teoria científica possui como pressuposto direcionar algo, construir ideias, colaborar com algo. É teoria porque é uma aproximação da verdade e nunca uma verdade, por isso é denominada teoria.

De maneira análoga, foi o que apresentamos aqui: ideias para favorecer a prática pedagógica.

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