Resumo 05: Geometria Plana 1

GEOMETRIA PLANA

I. Ângulo Chama-se ângulo à figura geométrica formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem.

Unidades de medidas {𝑮𝒓𝒂𝒖𝑹𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐

𝟏𝟖𝟎° ↔ 𝝅𝒓𝒂𝒅

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

a) QUANTO À SUA MEDIDA:

b) QUANTO À SOMA DE SUAS MEDIDAS:

Complementares: x + y = 90o.

Suplementares: x + y = 180o.

Replementares: x + y = 360o.

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

𝜶 = 𝜷

ÂNGULOS FORMADOS POR PARALELAS

CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

ˆˆ

ˆˆ Externos

ˆˆ

ˆˆ Internos

Alternos

180ˆˆ

180ˆˆ Externos

180ˆˆ

180ˆˆ Internos

Colaterais

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

entesCorrespond

0

0

0

0

=

=

=

=

=+

=+

=+

=+

=

=

=

=

ga

hb

fd

ec

gb

ha

fc

ed

hd

gc

fb

ea

II. Triângulos

1) VÉRTICES: A, B e C.

2) LADOS: 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ .

3) ÂNGULOS INTERNOS: 𝑨�̂�, 𝑩�̂�, 𝑪�̂�.

4) ÂNGULOS EXTERNOS: 𝑨�̂�, 𝑩�̂�, 𝑪�̂�.

RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS

OBSERVAÇÕES:

i) Em todo triângulo o maior lado se opõe ao

maior ângulo. ii) A quantidade de lados iguais é igual à

quantidade de ângulos iguais em um triângulo.

ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

a) MEDIANA:

G: baricentro

b) BISSETRIZ:

I: incentro

c) MEDIATRIZ:

C: Circuncentro

d) Altura:

O: Ortocentro

LEMBRE-SE QUE:

i) O baricentro (G) é o centro de massa do

triângulo e possui a seguinte propriedade:

𝑨𝑮 =𝟐

𝟑∙ 𝑨𝑷

ii) O circuncentro (C) é o ponto que equidista

dos vértices de um triângulo. iii) O incentro (I) é o ponto que equidista dos

lados de um triângulo. iv) No triângulo equilátero o Baricentro, o

Incentro, o Circuncentro e o Ortocentro têm a mesma localização.

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Resumo 05: Geometria Plana 2

CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

a) EM FUNÇÃO DA ALTURA:

𝑨 =𝒃 ∙ 𝒉

𝟐

b) EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO

FORMADO ENTRE ELES:

𝑨 =𝒃 ∙ 𝒄 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜶

𝟐

c) EM FUNÇÃO DOS TRÊS LADOS:

𝑨 = √𝒑 ∙ (𝒑 − 𝒂) ∙ (𝒑 − 𝒃) ∙ (𝒑 − 𝒄), 𝒄𝒐𝒎:

𝒑 =𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝟐

d) EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

INSCRITA E DO SEMI-PERÍMETRO:

𝑨 = 𝒑. 𝒓 e) EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNSCRITA E DOS LADOS:

𝑨 =𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄

𝟒𝑹

TEOREMA DE TALES

Um feixe de retas paralelas determina,

sobre transversais, segmentos proporcionais.

𝒙

𝒚=

𝒛

𝒘=

𝒙 + 𝒚

𝒛 + 𝒘

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA

𝒙

𝒄=

𝒚

𝒃

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

𝒂

𝒅=

𝒃

𝒆=

𝒄

𝒇=

𝑯

𝒉

𝑨

𝑨′= (

𝑯

𝒉)

𝟐

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Seja o triângulo ABC, retângulo em A, na figura abaixo:

a) b2 = a.n.

b) c2 = a.m.

c) a2 = b2 + c2.

d) a.h = b.c.

e) h2 = m.n.

RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS

QUAISQUER

a) Lei dos senos:

𝒂

𝒔𝒆𝒏𝜶=

𝒃

𝒔𝒆𝒏𝜷=

𝒄

𝒔𝒆𝒏𝜽

b) Lei dos cossenos:

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶

III. Polígonos

a) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS:

𝑺𝑰 = (𝒏 − 𝟐) ∙ 𝟏𝟖𝟎° b) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS:

𝑺𝑬 = 𝟑𝟔𝟎° c) NÚMERO DE DIAGONAIS:

𝒅 =𝒏∙(𝒏−𝟑)

𝟐

LEMBRE-SE QUE:

Para polígonos regulares {�̂�𝐼 =

𝑆𝐼

𝑛

�̂�𝐸 =𝑆𝐸

𝑛

POLÍGONOS REGULARES

a) TRIÂNGULO EQUILÁTERO:

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Resumo 05: Geometria Plana 3

b) QUADRADO:

c) HEXÁGONO REGULAR:

Onde:

R: raio da circunferência circunscrita.

r: raio da circunferência inscrita.

L: lado.

h: altura.

r: apótema.

RESUMINDO:

IV. Quadriláteros a) TRAPÉZIO:

1) 𝑨 =(𝑩+𝒃).𝒉

𝟐

b) PARALELOGRAMO:

1) 𝑨 = 𝒃. 𝒉

c) RETÂNGULO:

1) 𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒃

2) 𝒅𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

3) 𝟐𝒑 = 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃

d) LOSANGO:

1) 𝑨 =𝑫∙𝒅

𝟐

2) 𝓵𝟐 = (𝑫

𝟐)

𝟐

+ (𝒅

𝟐)

𝟐

3) 𝟐𝒑 = 𝟒𝓵

e) QUADRADO:

1) 𝑨 = 𝑳𝟐

2) 𝒅 = 𝑳√𝟐

3) 𝟐𝒑 = 𝟒𝑳

V. Circunferência e Círculo a) COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA:

b) COMPRIMENTO DO ARCO:

c) ÁREA DO CÍRCULO:

d) ÁREA DO SETOR CIRCULAR:

e) ÁREA DA COROA CIRCULAR:

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

a) ÂNGULO CENTRAL:

b) ÂNGULO INSCRITO:

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Resumo 05: Geometria Plana 4

c) ÂNGULO INTERIOR:

d) ÂNGULO EXTERIOR:

RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO

a) POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR:

b) POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR:

c) TEOREMA DA TANGENTE:

d) TEOREMA DA PITOT:

Anotações

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