Colect^anea de Exerc cios - web.fe.up.ptpoliv/algebra/exerc.pdf · (a) S e o conjunto das fun˘ c~oes reais de vari avel real que admitem pelo menos os zeros 1 e 2, (b) T e o conjunto

ALGEBRA

Colectanea de Exercıcios

P. Milheiro de Oliveira

1998/1999

Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Engenharia da Universidade do Porto

A presente colectanea de exercıcios foi elaborada para acompanhamento das aulas da disciplina deAlgebra da Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP. Ela surge como consequencia, em grandeparte, de uma recolha de manuscritos pertencentes a docentes das Faculdades de Ciencias e de En-genharia da Universidade do Porto, referentes a anos lectivos entre 1981 e 1992, de autoria difıcil deidentificar. Muitos deles parecem ter sido retirados das obras habitualmente usadas para referencianuma cadeira deste tipo, mas muitos ha que sao certamente originais. A autora contribuiu com al-guns. Na elaboracao da seccao 1 contribuiram os Assistentes da cadeira no ano lectivo de 1998/99,Dr. Rui Goncalves e Dra. Isabel M. Silva.

2

FEUP – Departamento de Engenharia Civil – Algebra 1

1 Calculo Vectorial no Espaco, Geometria Analıtica e Numeros

Complexos: Exercıcios de revisao

1. Considere os seguintes vectores de R3:

~u = (1, 2, 0) , ~v = (−1, 4, 1) , ~w = (−1,−1, 3) .

(a) Calcule ~z = ~u+ ~v. Represente estes 3 vectores.

(b) Calcule ~x = 34~v. Represente ambos os vectores.

(c) Calcule ~u|~v e ~v|~w.

(d) Verifique se ~u e paralelo a ~v.

(e) Verifique se ~v e ~w sao ortogonais.

(f) Determine a famılia de vectores paralelos a ~v.

(g) Calcule as normas de ~u e de ~v, respectivamente.

(h) Calcule a distancia do ponto A(−1, 1, 0) ao ponto B(−2, 5, 1).

(i) Represente o triangulo cujos vertices sao A, B e C(−3, 4, 4). Calcule o seu perımetro.Calcule a sua area.

(j) Escreva a equacao da recta r que tem a direccao de v e que passa pelo ponto A

i. vectorial

ii. parametrica

iii. cartesiana .

Represente-a.

(k) Escreva a equacao do plano π que contem os vectores ~u e ~v e o ponto B

i. vectorial

ii. parametrica

iii. cartesiana .

Represente-o.

(l) Sera que a recta r pertence ao plano π ?

(m) Escreva o vector ~w a custa da sua norma e dos angulos α e θ, representados na figura.

W

α

τ


A par deste exercıcio, resolva as mesmas questoes com os vectores ~u = (1, 2), ~v = (−1, 4) e~w = (−1,−1) e os pontos A(−1, 1), B(−2, 5) e C(−3, 4).

Pressupoe-se que R3 esta munido de um referencial ortonormal.

2. Dados os pontos A(−1, 3, 2) e B(1, a,−1), determine a de modo que a distancia entre os pontosseja igual a 7.

3. Represente na forma trigonometrica (ou polar) os seguintes complexos:

(a) 1 , i ;

(b) 1− i , 2i.

4. Represente, na forma algebrica, os complexos:

(a) 2 cisπ3;

(b)√

2 ei7π4 .

5. Calcule:

(a) (2 + 3i) + (5− 9i);

(b) (2 + 3i)× (5− 9i);

(c) 2+3i5−9i

;

(d) (√

3 + i)6;

(e) as raızes de 11/4. Faca a sua representacao geometrica.

6. Verifique se 12

+ i√

32

e uma raiz cubica da unidade.

7. Sendo z = 2cis(π3) e w = 3cis(π

2), determine na forma algebrica:

(a) z ∗ w;

(b) zw

;

(c) z3.

2 Espacos vectoriais

1. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espacos vectoriais reais:

(a) Seja I ⊆ [0, 1]. Considere o conjunto V de todas as funcoes reais definidas em [0, 1] taisque f(x1) = f(x2) ,∀x1, x2 ∈ I e a definicao natural de adicao e de multiplicacao por umescalar;

(b) Considere o conjunto V = R2. Defina a adicao usual e a seguinte operacao de multiplicacaopor um escalar:

α ∗ (u1, u2) = (0, αu2)

(c) Considere o conjunto V da alınea anterior com as novas operacoes:

(u1, u2) + (v1, v2) = (0, u2 + v2)

α ∗ (u1, u2) = (αu1, αu2)


2. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espacos vectoriais reais, com a adicao emultiplicacao por um escalar usuais:

(a) Considere o conjunto V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = 1};(b) Considere o conjunto V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1x2 = 0};(c) Considere o conjunto V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1x2 = 2};(d) Considere o conjunto V das funcoes reais de variavel real que sao pares.

3. Verifique quais dos seguintes conjuntos V definem espacos vectoriais sobre o corpo C:

(a) o conjunto V = Rn, com as operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por um escalar;

(b) o conjunto V = C2, com a operacao usual de adicao e a seguinte operacao de multiplicacaopor um escalar;

α ∗ (z1, z2) = (αz1, αz2) .

4. Considere o subconjunto S do espaco vectorial real V (com as operacoes usuais). Averigue seS e ou nao um subespaco de V , sendo:

(a) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = 0}(b) V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x}(c) V = R2 e S = {(x, 1− 2x) : x ∈ R}(d) V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 : x/2 ≤ |y| ≤ 3x/2}

5. Considere o conjunto das funcoes reais de variavel real, munido das operacoes usuais de adicaoe de multiplicacao por um escalar. Verifique se os seguintes conjuntos sao subespacos desteespaco:

(a) S e o conjunto das funcoes reais de variavel real que admitem pelo menos os zeros 1 e 2,

(b) T e o conjunto das funcoes reais de variavel real que admitem somente os zeros 1 e 2.

6. Mostre que se S e um subespaco vectorial de T e T e um subespaco vectorial de V entao S eum subespaco vectorial de V .

7. Determine o subespaco de R3 gerado pelos seguintes vectores:

(a) u = (1, 0, 0) e v = (0, 1, 0)

(b) u = (1, 2, 3)

(c) u = (1,−2,−1) , v = (2, 1, 1)

(d) v1 = (1, 1, 1) , v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 0, 0).

8. Escreva o polinomio p(t) = t2 + 4t − 3, como uma combinacao linear em R dos polinomiosp1(t) = t2 − 2t+ 5, p2(t) = 2t2 − 3t e p3(t) = t+ 3.

9. Mostre que os numeros complexos 2 + 3i e 1− 2i geram C como espaco vectorial sobre o corpoR, estando definidas as operacoes usuais entre complexos.

10. Verifique se o vector w = (1, 8,−17/4,−21/4) pertence ao subespaco de R4 gerado por u =(1, 5,−2, 0) e v = (0,−2, 3/2, 7/2), sobre R.


11. Considere o subconjunto F = {cosx, sin x} do espaco vectorial das funcoes reais de variavel real.Mostre que qualquer combinacao linear dos elementos de F e solucao da equacao y′′(x)+y(x) =0. Interprete o resultado.

12. Mostre que o espaco vectorial real R2 pode ser gerado pelos seguintes conjuntos:

(a) G1 = {(3, 1), (5, 2)},(b) G2 = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}.

13. Considere os vectores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4, 1) de R3 enquanto espaco vectorial sobre R(munido das operacoes usuais).

(a) Mostre que v = (4, 3,−6) nao e combinacao linear de v1 e v2.

(b) Determine uma condicao necessaria e suficiente para que o vector (x, y, z) seja combinacaolinear de v1 e v2.

14. Averigue se os seguintes vectores sao linearmente independentes:

(a) (1, 1, 2), (1, 2, 1) e (3, 1, 1), em R3;

(b) (−1,−2, 0, 3), (2,−1, 0, 0) e (1, 0, 0, 0), em R4;

(c) 1 + 2x− x2, 2− x+ 3x2 e 3− 4x+ 7x2, no conjunto dos polinomios P2(x);

(d) 1, x2 e (1 + x)2, no espaco das funcoes reais de variavel real sobre R.

15. Seja P3 = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 : a0, a1, a2, a3 ∈ R} o espaco vectorial real dos polinomiosde grau inferior ou igual a 3, sobre R. Verifique se os vectores u, v e w que se seguem saolinearmente independentes:

(a) u = x3 − 3x2 + 5x+ 1, v = x3 − x2 + 8x+ 2 e w = 2x3 − 4x2 + 9x+ 5;

(b) u = x3 + 4x2 − 2x+ 3, v = x3 + 6x2 − x+ 4 e w = 3x3 + 8x2 − 8x+ 7 .

16. Sejam b1 e b2 dois vectores do espaco vectorial real Rn. Mostre que b1 +b2, 3b1−2b2 e −b1 +4b2

sao linearmente dependentes.

17. Seja E um espaco vectorial e sejam u e v vectores de E linearmente independentes. Mostreque entao u+ v e u− v tambem sao linearmente independentes.

18. Considere o espaco vectorial das funcoes reais de variavel real. Determine se os vectores de cadaum dos seguintes subconjuntos sao ou nao linearmente independentes e calcule a dimensao dosubespaco por eles gerado:

(a) {1, eax, xeax}, (a 6= 0)

(b) {eax, xeax, x2eax}, (a 6= 0)

(c) {cosx, sin x},(d) {ex cosx, e−x sinx}.

19. Verifique se o conjunto de vectores {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)} formam uma base de R3, en-quanto espaco vectorial sobre R, munido das operacoes usuais.


20. Determine a dimensao do espaco gerado, em R4, pelo conjunto de vectores {(1,−1,−1, 2), (−1, 2, 3, 1),(2,−3,−3, 2), (1, 1, 1, 6)}.

21. Considere o espaco vectorial real R4 e o subespaco vectorial

S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y − z + t = 0} .

Determine:

(a) uma base B1 de R4 que contenha os vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) e (0, 2, 3, 0),

(b) uma base B2 de R4 que contenha os vectores (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 1, 1),

(c) uma base B3 de S que contenha o vector (1, 0, 1, 0),

(d) as coordenadas do vector (1,1,1,-1) nas bases B1, B2 e B3, respectivamente.

22. Mostre que E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = y − 2z ∧ z = 3t} e um subespaco de R4 e determine,caso exista, uma base de E formada por 2 vectores.

23. Verifique se os vectores (1,−1, i), (−1, i, 1) e (i, 1,−1) formam uma base de C3, enquantoespaco vectorial sobre C. Em caso afirmativo, exprima o vector (1 + i, 1− i, i) naquela base.

Repita o problema considerando o espaco vectorial C3 sobre o corpo R.

24. Determine uma condicao necessaria e suficiente para que os vectores u = (u1, u2) e v = (v1, v2)formem uma base de R2.

25. Determine uma base para o subespaco de R5 gerado pelo conjunto {(0, 1,−1, 2, 3), (−6,−1,−11, 4, 9),(1, 1, 1, 1, 1)}.

26. Sejam S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y ∧ z = 0} e T = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y ∧ z = 3x}subconjuntos de R3, munido da estrutura usual de espaco vectorial real.

(a) Mostre que S e T sao subespacos vectoriais.

(b) Defina S + T e verifique se esta soma e ou nao directa.

(c) Verifique se o vector u = (1, 0, 4) pertence ou nao a S + T . Em caso afirmativo exprima-ocomo soma de um vector de S com um vector de T .

27. Escreva R3 como soma directa de dois subespacos, de modo que um deles seja S = {(x, y, z) ∈R3 : x = 2y ∧ z = 0}.

28. Determine uma base para V + W , onde V e o subespaco gerado pelos vectores (1, 1, 0, 0) e(1, 0, 1, 0) e W e o subespaco gerado pelos vectores (0, 1, 0, 1) e (0, 0, 1, 1). Determine tambema dimensao de V ∩W e calcule uma base deste espaco.

3 Aplicacoes lineares

29. Verifique se as aplicacoes que se seguem sao ou nao lineares:

f : R2 −→ R3

(x1, x2) 7→ (x1 + x2, 2x1 + 3x2, x1)


g : R2 −→ R3

(x1, x2) 7→ (x1 + x2, 2x1 + 3x2, 0)

h : R2 −→ R3

(x1, x2) 7→ (x1 + x2, 2x1 + 3x2, 1) .

30. Para as aplicacoes lineares do exercıcio anterior, defina o seu Nucleo e Imagem.

31. Considere a seguinte aplicacao:

tw : V −→ Vv 7→ v + w .

Verifique que:

(a) se w = 0V a aplicacao tw e linear (diz-se o automorfismo identico),

(b) se w 6= 0V a aplicacao tw nao e linear.

32. Verifique se as aplicacoes que se seguem sao ou nao lineares:

f : R4 −→ R2 g : R −→ R(x, y, z, t) 7→ (x− y + z − t, 3x− 4y) x 7→ x2 ,

h : R2 −→ R l : R2 −→ R2

(x, y) 7→ sin(x+ y) (x, y) 7→ (x+ y, x− y + 2) .

33. Calcule o Nucleo e a Imagem da aplicacao linear f definida no exercıcio anterior. O que podedizer sobre a injectividade e sobrejectividade de f ?

34. Considere os espacos vectoriais reais V = R3 e W = R4 e a aplicacao f de V em W, definidapor:

f(x, y, z) = (4x+ y + 3z, 10x+ y + 7z,−x− y − z,−2x+ y − z) ,∀(x, y, z) ∈ V .

(a) Calcule a imagem, por f , do vector (1, 2,−3);

(b) Mostre que f e um homomorfismo;

(c) Determine uma base para o Nucleo de f e uma base para a Imagem de f . Verifique quedimV = dimN(f) + dimIm(f).

(d) Obtenha uma base para V, completando a base obtida para N(f); Forneca uma base paraW.

(e) Determine o conjunto A dos vectores x ∈ V tais que f(x) = (1, 2, 1, 1);

(f) Seja S um subespaco do espaco vectorial V. Mostre que o conjunto f(S) = {f(x) : x ∈ S}e um subespaco vectorial de W.

(g) Chama-se imagem recıproca, por f , do conjunto B (de vectores de W) ao conjuntof−1(B) = {x ∈ V : f(x) ∈ B}. Mostre que se B e um subespaco vectorial de Wentao f−1(B) e um subespaco vectorial de V.

(h) Seja g uma aplicacao linear de W em V definida por:

g(x, y, z, t) = (x+ 2y + 3t, x+ y + z + 2t, x+ y + z + 2t) ,∀(x, y, z, t) ∈W .


i. Calcule (g ◦ f)(2, 1, 1);

ii. Defina o endomorfismo f ◦ g.

35. Determine, se existir, uma aplicacao linear f : R2 −→ R2 tal que f(1, 1) = (1, 2) e f(1,−1) =(1, 0). Sera que ela e unica?

36. Responda a mesma questao para f : R3 −→ R4 tal que f(1, 0, 1) = (1, 0, 0, 1) e N(f) =¯{(1,−1, 0)}.

37. Considere o espaco vectorial real P3(t) = {a0 + a1t + a2t2 + a3t

3 : a0 a1, a2, a3 ∈ R} e o seusubespaco U gerado pelos polinomios p1(t) = −1 + t+ t3 e p2(t) = 1 + t3; considere a aplicacao

f : U −→ P3(t)p(t) 7→ tp′(t)− p(t) .

(a) Mostre que se trata de uma aplicacao linear.

(b) Calcule o seu nucleo e imagem e indique bases para estes dois subespacos.

38. Considere os espacos vectoriais reais R4 e R3 e a aplicacao linear f : R4 −→ R3 definida porf(1, 1, 0, 0) = (0, 1, 2), f(0, 1, 1, 0) = (0, 2, 4), f(0, 0, 1, 1) = (2, 1, 0) e f(0, 0, 0, 1) = (−1, 1, 3).

(a) Calcule a imagem, por f , do vector (1, 1, 1, 1);

(b) Determine uma base para o Nucleo de f e uma base para a Imagem de f .

(c) Determine os conjuntos A = {x ∈ R4 : f(x) = (1, 1, 1)} e B = {x ∈ R4 : f(x) =f(1, 2, 1, 0)}. Trata-se ou nao de subespacos?

(d) Determine uma base para R4, completando a base que obteve para o Nucleo e, em seguida,determine a imagem por f de cada um dos vectores desta base.

(e) De exemplo de uma aplicacao linear g : R4 −→ R3 cuja imagem e gerada pelo conjunto{(1, 0, 1), (1, 2,−1)}.

(f) Seja h o endomorfismo definido por

h(x, y, z) = (x+ 2y − z, y + z, x+ y − 2z) ,∀(x, y, z) ∈ R3 .

i. Verifique se a aplicacao linear h ◦ f : R4 −→ R3 e injectiva;

ii. Determine (h ◦ f)(1,−1, 3, 2).

(g) De exemplo de uma aplicacao linear de R4 em R3 cujo nucleo seja gerado por {(2, 1, 1, 0),(1, 0, 0, 0)}.

(h) Considere o endomorfismo l : R3 −→ R3 definido por l(1, 0, 0) = (1, 2, 3), l(0, 1, 0) =(3, 2, 1) e l(0, 0, 1) = (0, 4, 8). Verifique se R3 = N(l)

⊕Im(l).

39. Considere a aplicacao linear

f : R3 −→ R3

(x, y, z) 7→ (3x− z

2, x+ y − z, 3x− z

2) .

(a) Verifique que f e um projector;

(b) Determine a imagem, por f , do vector (1, 3,−1);


(c) Determine a imagem recıproca, por f , do vector (2, 5, 2);

(d) Determine uma base para Im(f) e uma base para N(f);

(e) Determine um projector g de R3 que tenha imagem identica a de f .

40. Seja V um espaco vectorial e p um projector. Mostre que V pode ser expresso como somadirecta do Nucleo de p com a Imagem de p.

41. Considere a aplicacao linear f : C3 −→ C3 (C3 esp. vec. sobre C) tal que f(1, 0, 0) = (1, i, 0),f(0, 1, 0) = (0, 1, i) e f(0, 0, 1) = (1, 0, i). Verifique que f e invertıvel e calcule a sua inversa.

42. Mostre que a aplicacao linear f : R3 −→ R3 nao e invertıvel, sendo:

(a) f(x, y, z) = (x− y, x+ z, x+ y + 2z);

(b) f(x, y, z) = (x− y + z, x+ y, 3x+ y + z).

43. Mostre que o espaco vectorial R2 e isomorfo ao subespaco N = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} de R3.

44. Calcule AB e BA, sendo:

(a) A =

(1 2 4 53 1 0 2

), B =

1489

;

(b) A =

1 2 42 0 75 6 9

, B =

10 2 07 1 34 5 6

;

(c) A =

1078

B =(

2 4 9 6 5 10)

;

(d) A =

(2 0 1/2 12 3 4 3

), B =

3 1/5 −7 01 0 1/2 00 1/2 1 15 −1 1 −1

.

45. Escreva a transposta de todas as matrizes que figuram no exercıcio anterior.

46. Calcule a matriz C = 12A−2B−A2 +3I, onde A e B sao as matrizes da alınea (b) do exercıcio

anterior.

47. Considere os espacos vectoriais reais R3 e R2 e as bases < (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) > e <(1, 2), (2, 1) > de R3 e de R4, respectivamente. Considere a aplicacao

f : R3 −→ R2

(x, y, z) 7→ (x+ y, 2z) .

(a) Verifique que se trata de uma aplicacao linear;

(b) Determine a sua matriz com respeito as bases consideradas;


(c) Utilize a matriz encontrada para calcular f((1, 0,−1)).

48. Encontre a matriz associada a cada uma das aplicacoes lineares seguintes, relativamente asbases canonicas.

(a) f : R4 −→ R2 sendo f(x1, x2, x3, x4) = (x1, x2);

(b) g : Rn −→ Rn sendo g(X) = 7X;

(c) h : R4 −→ R4 sendo h(x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, 0, 0).

49. Suponha que (1 −1 21 0 −1

)e a matriz representativa da aplicacao linear g, com respeito as bases< (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) >e < (1, 2), (−2, 1) > de R3 e R2, respectivamente. Determine a matriz representativa de g comrespeito as novas bases < (1,−1, 2), (1, 0, 0), (0, 1,−1) > e < (1, 1), (1, 0) >.

50. Em cada um dos casos seguintes determine a matriz associada a aplicacao identidade relativaas bases B1 e B2 de R3:

(a) B1 =< (1, 1, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 2) > e B2 =< (2, 1, 0), (0, 0, 1), (−1, 1, 1) >

(b) B1 =< (3, 2, 1), (0,−2, 5), (1, 1, 2) > e B2 =< (1, 1, 0), (−1, 2, 4), (2,−1, 1) >

(c) B1 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) > e B2 =< (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) >

(d) B1 =< (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) > e B2 =< (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) >

51. Dadas as bases B1 =< (1, 1), (1, 0) > de R2 e B2 =< (1, 2, 0), (1, 0,−1), (1,−1, 3) > de R3,determine a aplicacao linear f : R2 −→ R3 cuja matriz em relacao a estas bases e 2 0

1 −2−1 3

.

52. Considere a aplicacao linear f : R3 −→ R2 tal que f(1, 1, 1) = f(1, 0, 1) = (1, 1) e f(1, 1,−1) =(1, 2).

(a) Verifique que esta aplicacao linear esta bem definida;

(b) Determine a matriz de f relativamente as bases B1 =< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1,−1) > deR3 e canonica de R2;

(c) Obtenha uma nova matriz de f , agora para as bases B1 e B2 =< (1, 1), (1, 2) > de R2.

53. Considere a rotacao de um angulo α, aplicada a cada vector v do plano (no sentido anti-horario),como uma aplicacao (0 ≤ α < 2π).

(a) Verifique que se trata de uma plicacao linear r : R2 −→ R2;

(b) Analise a injectividade e sobrejectividade de r;

(c) Determine a sua matriz com respeito as bases canonicas;

(d) Escreva a expressao da transformacao;


(e) Qual o vector que resulta da aplicacao de uma rotacao de π/3 ao vector (3, 1).

54. Sejam f e g aplicacoes lineares de R2 em R3 tais que:

f(x, y) = (x+ 2y, 2x− y, x)

g(x, y) = (−x, y, x+ y) .

Determine

(a) f + g

(b) 3f − 2g

(c) a matriz com respeito as bases canonicas de 3f − 2g; verifique que M3f−2g = 3Mf − 2Mg.

55. Sejam f e g aplicacoes lineares de R2 em R2 tais que:

f(x, y) = (x+ y, x)

g(x, y) = (x, 2y) .

Determine

(a) f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g;

(b) 3f − 2g

(c) a matriz com respeito as bases canonicas de f ◦ g; verifique que Mf◦g = Mf .Mg.

56. Calcule, se existir, as matrizes inversas de:

A =

(1 23 −1

), B =

(1 23 6

), C =

1 1 −31 0 1−1 2 1

, D =

2 1 0 00 1 3 0

1/2 1 0 00 0 2 3

.

57. Determine o endomorfismo cuja matriz na base canonica e a matriz C−1 do exercıcio anterior.Quais as suas propriedades?

4 Determinantes

58. Calcule os determinantes das matrizes A, B, C e D do penultimo exercıcio.

59. Calcule os seguintes determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣ 1− i 21− i 2i

∣∣∣∣∣

(b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4 1 −1 32

2 3 5 72

0 −1 45

25

1 0 12

34

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(d)

∣∣∣∣∣∣∣2i 1 + i 04 −i 2

1− i 1 i

∣∣∣∣∣∣∣(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b b ba b c ca b c d

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 3 2 −1 00 2 0 9 01 1 10 −1 01 1 1 0 0

3√

3 1 15 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣60. Sabendo que a, b e c sao tais que

∣∣∣∣∣∣∣a b c2 1 01 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1, calcule o determinante das seguintes matrizes:

A =

a b c6 3 0−1/2 −1 −1/2

, B =

a− 1 b− 2 c− 13 3 11 2 1

, C =

−17 0 0 0

1 a b c14 2 1 0169 1 2 1

.

61. Quais das seguintes matrizes sao singulares:

A =

2 0 13 0 51 2 7

, B =

2 1 0 13 5 1 01 −3 −1 11 0 7 4

, C =

2 −1 3 40 2 −2 31 1 −3 −60 −1 7 19

?

62. Mostre que se A e uma matriz invertıvel entao, qualquer que seja a matriz B, det(ABA−1) =det(B) .

63. Usando determinantes, averigue quais dos seguintes conjuntos de vectores sao linearmenteindependentes:

(a) (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1);

(b) (2,−1, 2, 1), (3,−1, 1, 3), (1,−2, 2, 2), (0, 1, 2, 3);

(c) (2, 0, 5, 1), (3, 1, 7, 2), (0,−2, 1,−1).

5 Sistemas lineares

64. Resolva, em R, os seguintes sistemas:


(a)

x+ y + z = 11

2x− 6y − z = 03x+ 4y + 2z = 0

(b)

x+ y + z = 5

3x− 2y = 73y − 2z = 63z − 2x = m

(c)

x+ y + z + t = 1

3x+ y + 2z − 3t = 24x+ 2y + 3z − 2t = a

6x+ 4y + 5z = 2a+ b+ 1

(d)

2x1 + 4x2 = 0

16x1 − 8x2 = 012x1 − 8x2 = 0

(e)

u+ 2v + 3t− w − s = −13u+ 2v + t− w − 3s = −12u+ 3v + t+ w − 2s = −1

2u+ 2v + 2t− w + 2s = −15u+ 5v + 2t+ 3s = −2−u− 2v − 3t+ w = 1

(f)

x+ z + t = −1y + z + t = 1

x+ y + 3z = 0y + 2z + t = −1

(g)

x− y + z = −2x+ 3y + z = 104x+ y − z = 7

(h)

x+ y + 2z + 3t = −13x− y − z − 2t = 42x+ 3y − z − t = 6x+ 2y + 3z − t = 4

(i)

x+ y + 2z + 3t = −13x− y − z − 2t = 4

3/2x− 1/6y + 2/3z + 13/6t = 14

(j)

x+ y + 2z + 3t = −13x− y − z − 2t = 4

3/2x− 1/6y + 2/3z + 13/6t = 5/6

(k)

x+ y − z = −2

2x+ y − 3z = −74x− 5y − 13z = −35−3x+ 2y + 8z = 21


(l)

x+ y − z = −2

2x+ y − 3z = −74x− 5y − 13z = −35−3x+ 2y + 8z = 20

(m)

6x+ 4y + 3z + 3t = −1−2y + 4z − t = 0

2x− y + z + t = 1

65. Discuta, em funcao dos parametros a e b os seguintes sistemas:

(a)

ax+ y + z = 0

x− z = 0−x+ ay = 0y + 2z = b

(b)

x+ ay + a2z = 1x+ ay + abz = a

bx+ a2by + a2bz = a2b

(c)

bx+ by + bz = b2

b(b+ 2)y + b(b+ 2)z = b2

b(b+ 2)y + bz = 1

66. Estude o sistema 3x+ 2y − z = 0x+ y − 3z = 0

2x+ y − 4z = 07x+ 2y − 3z = 0

.

67. Determine k ∈ R de modo que o sistema que se segue admita, em R, pelo menos uma solucaonao nula:

2x+ ky + z = 0x− y − z = 0

x− 2y − 2z = 0.

68. Usando o que aprendeu sobre sistemas de equacoes lineares, determine as solucoes do sistema:3u2 + v2 + w2 = 8

−u2 + 2v2 − 3w2 = −6u2 + v2 − 5w2 = −12

.

6 Polinomios

69. Determine as raızes complexas dos seguintes polinomios:

(a) 3x3 + 5x2 + 5x+ 2

(b) x5 + 5x4 + 13x3 + 19x2 + 18x+ 8

(c) 4x4 + 20x3 + 33x2 + 20x+ 4

(d) x6 − 4


70. Factorize os polinomios:

(a) x4 + 4x3 + 4x2 − 1, em R[x]

(b) x6 + 27, em R[x] e em C[x]

(c) x6 + x3 + 1, em R[x] e em C[x]

(d) x4 + 4x3 + 4x21, em R[x] e em C[x]

71. Resolva as equacoes:

(a) z3 − 6z + 4 = 0

(b) z4 − 16z − 12 = 0

(c) z4 − 6z3 + 12z2 − 12z + 4 = 0

72. Decomponha em factores irredutıveis

(a) x4 − x3 + 2x2 − x+ 1, em R[x] e em C[x]

(b) x4 − 8x3 + 12x2 + 4x− 8, em R[x]

7 Valores proprios e vectores proprios

73. Determine os valores proprios e os vectores proprios das aplicacoes lineares:

(a)f : R3 −→ R3

(x, y, z) 7→ (x+ 2y − 2z, 2y + 4z, 3z)

(b)f : R3 −→ R3

(x, y, z) 7→ (3x− y + z,−x+ 5y, x− y + 3z)

(c)f : R2 −→ R2

(x, y) 7→ (4x− 52y, 4x− 2y) .

74. Considere a matriz

A =

1 2 00 1 11 1 −1

associada a um endomorfismo de R3. Determine os seus valores proprios e vectores proprios.Diagonalize a matriz.

75. Determine um endomorfismo f de R2 que tenha como valores proprios os reais 3 e 4 e comorespectivos vectores proprios os vectores (0,−1), (1,−1). Podera dizer que esta aplicacao eunica?

76. Determine os valores proprios e os vectores proprios do endomorfismo f de R2 cuja matriz nasbases canonicas e

A =

(1 −2−2 4

).

Verifique que a soma dos valores proprios e igual a soma dos elementos na diagonal de A e queo seu produto e igual ao determinante de A.


77. Determine os valores poprios e os vectores proprios para cada uma das matrizes seguintes,indicando a dimensao dos respectivos subespacos proprios.

(a)

1 0 00 1 00 0 0

(b)

1 1 00 1 00 0 0

(c)

1 0 01 1 00 0 0

(d)

1 0 00 −1 00 0 0

(e)

[cos θ − sin θsin θ cos θ

], θ ∈ R

(f)

1 0 0−7 1 04 −3 1

(g)

2 3 13 20 31 3 2

(h)

4 2 −1−6 −4 3−6 −6 5

(i)

2 3 1 0−6 −4 3 0−6 −6 5 00 0 0 14

(j)

2 3 1 0−6 −4 3 0−6 −6 5 −10 0 0 14

78. Diagonalize, nos casos em que for possıvel, as matrizes que se seguem, indicando as matrizes

de transformacao:

(a)

1 2 00 1 11 1 −1

(b)

−17 18 6−18 −19 −6−9 9 −2


(c)

−8 0 0 00 −17 18 60 −18 −19 −60 −9 9 −2

(d)

2 0 1 0−6 −4 0 00 0 5 −10 0 0 4

79. Considere a matriz

A =

(1 02 3

).

(a) Determine os seus valores proprios e os seus vectores proprios.

(b) Mostre que a matriz (1 00 3

).

e semelhante a A.

80. Considere o endomorfismo f de R3 cuja matriz nas bases canonicas e:

A =

2 −1 20 2 10 0 2

.

(a) Determine os seus valores proprios e os seus vectores proprios. Verifique se f pode ou naoser representado por uma matriz diagonal. Em caso afirmativo, quais sao as novas bases?

(b) Determine bases de R3 para as quais a matriz de f seja da forma

A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

.

Indique o valor do escalar λ.

81. Suponha que u e um vector proprio da matriz A associado ao valor proprio λ. Mostre que,entao, u tambem e vector proprio da matriz A2, estando associado ao valor proprio λ2.

82. Suponha que a matriz A2 tem como valor proprio o real positivo (no sentido lato) α. Mostreque, entao, ou −√α ou

√α e valor proprio de A.

8 Espacos euclidianos

83. Sendo ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1, 2), determine um vector ~w ∈ R3, nao nulo, tal que ~u|~w =~v|~w = 0.

84. Determine um vector unitario ortogonal, simultaneamente, a ~u = (2,−6, 3) e a ~v = (4, 3, 1).Sera que existe um unico vector nestas condicoes?


85. Dados os vectores ~u = (1, 2, 3, 4, 5) e ~v = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5) de R5, calcule os vectores ~w e~x tais que ~w e paralelo a ~u, ~x e ortogonal a ~u e ~v = ~w + ~x.

86. Considere o espaco euclidiano R3 munido do seguinte produto interno:

~x|~y = α1β1 + α1β2 + α2β1 + 3α2β2 − α2β3 − α3β2 + α3β3 ,

onde ~x = (α1, α2, α3) e ~y = (β1, β2, β3).

Determine:

(a) o produto interno dos vectores ~e1 = (1, 0, 0) e ~e2 = (0, 1, 0)

(b) a norma do vector ~a = (1, 2, 3)

(c) os vectores de norma√

2 colineares com o vector ~a

(d) o coseno do angulo entre ~a e ~e2

(e) o conjunto A dos vectores de R3 cujo produto interno com ~a da 1.

87. Seja < ~e1, ~e2, ~e3 > uma base do espaco vectorial euclidiano V = R3, tal que:

‖~e1‖ = 1 , ‖~e2‖ = 2 , ‖~e3‖ = 1 , 6 (~e1, ~e2) =2π

3, 6 (~e1, ~e3) = 6 (~e2, ~e3) =

π

2.

(a) Calcule ~e1|~e1, ~e1|~e2, ~e2|~e2, ~e3|~e2, ~e2|~e3, ~e1|~e3.

(b) Determine o conjunto S dos vectores de V que sao ortogonais ao vector ~v = 3~e1 − ~e3.Verifique que S e um subespaco vectorial V

(c) Determine uma base de S

(d) Escreva o vector ~a = ~e1 − 2~e2 + ~e3 como soma de um vector colinear com o vector ~v e deum vector ortogonal a ~v.

88. Seja V = R3 um espaco vectorial euclidiano e φ a aplicacao de V × V em R definida por:

φ(~x, ~y) = 3α1β1 + α1β2 + α2β1 + 2α2β2 + α3β3 ,

onde ~x = (α1, α2, α3) e ~y = (β1, β2, β3).

(a) Verifique que φ e um produto interno;

(b) Considere os vectores ~u = (1, 0, 1), ~v = (0, 1, 0) e ~w = (1, 1, 0). Determine os vectores denorma igual a 2 ortogonais a ~w e que pertencem ao subespaco gerado por ~u e ~v;

(c) Construa uma base ortogonal para V .

89. Mostre que, quaisquer que sejam os vectores ~u e ~v de Rn, se tem:

(a) ‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2 = 4~u|~v,

(b) ~u|~v = 0 sse ‖~u+ ~v‖ = ‖~u− ~v‖.

90. Calcule o produto externo dos vectores ~u = (1, 2,−1) e ~v = (5, 0, 3).

91. Mostre que, em R3, o produto vectorial verifica a identidade de Jacobi, ie.

(x× y)× z + (y × z)× x+ (z × x)× y = 0 , ∀x, y, z ∈ R3.

92. Considere o paralelogramo definido como tendo 2 dos 4 lados coincidentes com os vectores ~ue ~v. E posssıvel demonstrar que a area deste paralelogramo e dada pela norma do produtoexterno de ~u e ~v. Com base neste resultado, calcule a area do paralelogramo formado com osvectores (1, 2, 3) e (4, 3, 5).


9 Geometria Analıtica

93. Escreva uma equacao cartesiana do plano definido por:x = 1− 2α + 3βy = −1− 3α + βz = α− 2β

, α, β ∈ R .

Indique 3 pontos deste plano, nao colineares.

94. Considere a famılia de rectas do espaco tridimensional que contem o ponto (2,−4, 1). Destasrectas quais obedecem as condicoes que se seguem?

(a) Passam tambem pelo ponto (−1, 10, 6);

(b) Sao paralelas a uma recta que contem os pontos (1, 3, 4) e (−2, 2, 3).

95. Escreva a equacao cartesiana do plano que passa pelos pontos P1(1, 2, 3), P2(2, 3, 4) e P3(3, 5, 8).

96. Diga se a recta x = −4 + ty = 2− 3tz = 4 + 5t

pertence ao plano de equacaox+ 2y + z = 4 .

97. Determine as intersecoes dos subespacos afins definidos pelas seguintes equacoes:

(a)

{y = 2x− 3z = −3

e

x = 1− 3ty = 4− 6tz = 3t

(b) x = 3 + ty = tz = −1− 2t

ex+ 2

−2=y − 3

1=z

1

(c) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(3,−4, 5) e (x, y, z) = (3, 1, 2) + ε(1, 2, 2) + δ(0,−3, 1), onde λ, ε e δsao parametros reais.

(d) 2x− 3y + z = 6 e x+ 2y − 6z + 4 = 0

(e) 2x− 3y + z = 6 , x+ 2y − 6z + 4 = 0 e x− 7y + z = 0.

98. Determine a posicao da recta

r : x− 1 =y + 2

2=z − 3

4

relativamente ao planoπ : 6x+ 7y − 5z − 8 = 0 .


99. Escreva uma equacao cartesiana da recta que passa pelo ponto A(3, 1, 4) e e paralela aos planosdefinidos por 2x− 3y + z = 6 e x+ 2y − 6z + 4 = 0.

100. Escreva uma equacao cartesiana do plano que passa pelo ponto A(3, 1, 4) e que e paralelo aoplano de equacao 2x− 3y + z = 6.

101. Calcule o angulo entre as rectas

r1 :

x = 3 + ty = tz = −1− 2t

e r2 :x+ 2

−2=y − 3

1=z

1.

102. Mostre que as rectas

r1 :x+ 5

3=y − 7

4=z + 2

2e r2 :

x− 3

6=y + 5

−5= z − 2

sao perpendiculares.

103. Determine uma equacao do plano

(a) que contem o ponto (0, 4, 3) e e ortogonal ao vector (−2, 2, 3),

(b) que contem o ponto (2, 3,−4) e e paralelo ao plano de equacao 3x− ky − 3z = 5.

104. Dadas as rectas

r1 :x+ 2

−2=y − 3

1=z

1e r2 :

x = 3t+ 10y = 2t+ 4z = −1− 2t

,

(a) mostre que estas sao complanares e determine uma equacao cartesiana do plano por elasdefinido

(b) determine uma equacao cartesiana do plano que contem a recta r e e perpendicular aoplano da alınea anterior.

105. Determine uma equacao do plano que contem o ponto (2,−3, 8), e paralelo a recta de equacao

x =y

4=z

8e ortogonal ao plano de equacao x− 3y + 3z − 8 = 0.

106. Calcule a distancia:

(a) do ponto A(2, 0, 7) a recta r : y = x+ 2 e z = x/2− 3,

(b) entre as rectas r1 :

{y = −2x+ 3z = 2x

e r2 :

x = −1− 2ty = 1 + 4tz = −3− 4t

(c) entre as rectas s1 :

{y = 1

x+ 2 = z−4−2

e s2 :

x = 3y = 2t− 1z = −t+ 3

(d) do ponto B(−4, 2, 5) ao plano π : 2x+ y + 2z + 8 = 0.

107. Considere os planos de equacoes x− 2z + 1 = 0 e 3x− 6z − 8 = 0.


(a) Verifique que estes planos sao paralelos.

(b) Calcule a distancia entre eles.

108. Considere o ponto P (−1,−2, 4) e o plano de equacao x− 3y + 2z + 132 = 0.

(a) Determine a equacao da recta r que passa pelo ponto P e e perpendicular a este plano;

(b) Determine o plano π definido pela recta r e pelo ponto Q(1, 2, 3);

(c) Determine a distancia do ponto R(0, 0, 5) ao plano π.

109. Determine uma equacao da esfera de centro (1, 2, 3) e de raio 2.

110. Determine uma equacao da esfera que passa pelos pontos A(1, 2, 3), B(−1, 2, 0), C(0, 0,−4) eD(1, 1, 1).

111. Determine a esfera tangente ao plano OXY no ponto P (2, 4, 0) e que passa pelo ponto Q(0, 0, 4).

112. (*) Determine a equacao da superfıcie esfererica que contem os pontos A(1, 2, 3) e B(−1, 2, 0)e e tangente ao plano de equacao x− y + z = 1.

113. Chama-se paraboloıde elıptico ao conjunto de pontos que verificam a equacao

(x

a)2 + (

y

b)2 = 2cz ,

onde a, b e c sao parametros reais nao nulos.

Determine a equacao do paraboloıde elıptico que passa pelos pontos (1, 2, 3), (−1,−1, 2) e(3,−1, 2).

114. Determine uma equacao e identifique o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A =(2,−1, 3) e B = (−1, 5, 1).

115. Determine uma equacao que identifique o conjunto de pontos equidistantes dos pontos A =(2,−1, 3, 1) e B = (−1, 5, 1,−1).

116. Determine a equacao da superfıcie esferica cujos pontos A = (1, 4,−2) e B = (−7, 1, 2) saopontos extremos de um diametro.

117. Considere a superfıcie de equacao

x21 +

1

5x2

2 +4

5x2

3 −4

5x2x3 − 8x1 − 2x2 + 4x3 + 12 = 0

no referencial < (0, 0, 0) ; (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) >.

(a) Verifique que esta eq. pode ser escrita na forma XTAX + 2BX + d = 0.

(b) Determine um novo referencial de tal forma que a equacao anterior se torne mais simples.

118. Qual e a intersecao da superfıcie algebrica de equacao

x21 + x2

2 + x23 − 2x1x3 + x1 − 2 = 0

com o planox3 = 3 ?

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Colect^anea de Exerc cios - web.fe.up.ptpoliv/algebra/exerc.pdf · (a) S e o conjunto das fun˘ c~oes reais de vari avel real que admitem pelo menos os zeros 1 e 2, (b) T e o conjunto