1

Modulação em Amplitude 1. Definição:

A finalidade da modulação é deslocar um sinal que contém frequências baixas para uma faixa de frequências muita mais alta do que o sinal tinha anteriormente. Esse processo também pode ser entendido como uma maneira de se “casar” o sinal a ser transmitido com o meio de propagação das ondas eletromagnéticas. O meio de propagação pode ser o espaço livre (ionosfera – parte superior da camada atmosférica), uma linha de transmissão (um par trançado ou um cabo coaxial), uma fibra ótica, um guia de onda, etc. O processo inverso de trazer o sinal de uma faixa de frequências alta para uma faixa de frequências baixa é chamado de demodulação. De modo geral o processo de deslocamento de uma faixa de frequências para uma faixa de frequências mais alta ou para uma faixa mais baixa é chamado de conversão de frequências. Isso inclui a modulação em amplitude sem portadora, a sua demodulação, os processos de deslocamento para FI (frequência intermediária), etc. 2. Convenções:

2.1. v(t) - sinal que se quer transmitir, também chamado de sinal modulante ou de modulador (exemplo: sinal de voz, sinal de imagem) que tem frequências baixas em relação à frequência da portadora. Freq. máxima do sinal v(t) é igual a W Hertz.

2.2. x(t) - sinal modulado, de frequências altas, função de v(t).

2.3. A cos( 2 π fc t ) - sinal da portadora ou simplesmete portadora. O valor A é a amplitude da portadora, medida usualmente em Volts; fc é a frequência da portadora em Hertz; e t é medido em segundos.

2.4. BW é a bandapassante (BandWidth) – largura de banda de frequências de um dado sinal.

A bandapassante é medida somente de um lado (positivo) no eixo das frequências. Quando o sinal tem baixas frequências, incluindo frequências próximas de zero, a BW do sinal vai de zero até a sua maior frequência (W). Nesse caso BW = W. Quando o sinal tem uma faixa de frequências que se estende de f1 (menor) a f2 (maior), f2 > f1 >> 0, tem-se BW = f2 - f1. Então, no caso presente de modulação em amplitude, BW de v(t) é igual a W e a bandapassante (BW) de x(t) será igual a B (a ser definida posteriormente), pois irá de um valor f1 até um valor f2. Afim se ter modulação deve-se ter fc > 2W. Na verdade, nos casos práticos, deve-se ter fc >> 2W.

2

3. Modulações em Amplitude Na modulação em amplitude, o sinal modulado x(t) tem sua amplitude variando linearmente proporcional à amplitude do sinal modulante v(t). A modulação em amplitude pode ser feita de diversas maneiras, entre elas:

3.1 DSB (Double Side Band) ou DSB/SC (DSB com supressão de portadora – SC significa

“Suppressed Carrier” ) 3.2 AM ( Amplitude Modulation) ou DSB/LC ( DSB com portadora – LC significa “Large

Carrier”). O termo “Large” vem do fato que a potência na frequência da portadora é muito maior do que a do sinal v(t) modulado sem a portadora, como será visto adiante.

3.3 SSB ( Single Side Band) Usada em multiplex analógico e nas transmissões de Radio-

cidadão. pode ter ou não portadora. Logo tem-se também: SSB/SC e SSB/LC.

3.4 VSB (Vestigial Side Band) Usada para modulação de sinais de vídeo. Poderia ser vista como uma generalização de SSB.

A Seguir são descritas as técnicas dos diversos tipos de modulação em amplitude e suas respectivas demodulações:

4. Modulação e demodulação DSB:

Nesse tipo de modulação em amplitude o sinal modulado varia proporcional à amplitude do sinal de informação, ou seja, é uma modulação linear.

4.1 Processo de modulação e demodulação DSB Modulação e demodulação em amplitude (DSB) A modulação DSB, isto é, a multiplicação do sinal de baixas frequências v(t) por uma portadora (sinal de alta frequência), translada o espectro de frequências de v(t) para uma faixa bem mais alta situada entre f1 = (fc – W) e f2 = (fc + W), ou seja, a bandapassante será: BW = B = (fc + W) – (fc – W) = 2W Hertz

A expressão que representa essa modulação é dada pela Equação 1, onde A e fc são valores constantes. x(t) = A v(t) cos(2 π fc t) (1)

Nessa modulação, o sinal modulado pode ter sua amplitude alterada diretamante pelo ruido aditivo que é a mais comum das interferências em sistema de comunicação. Em termos de

3

gráfico no tempo e na frequência vemos na Figura 1 o sinal v(t) como uma cossenoide de baixa frequência; a portadora assim como o sinal modulado resultante xDSB(t) nas escalas de tempo. Na Figura 2(a) temos outro sinal v(t) representando uma sequência de pulsos onde o bit 0 é simbolizando com o valor de 0,1 Volt e o bit 1 com o valor 1 Volt. Vemos também na Figura 2, o sinal modulado. A portadora usada na modulação dos pulsos binários é a mesma representada na Figura 1 (b).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 - 2

- 1.5

- 1

- 0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 1 (a) - Sinal cossenoidal modulante v(t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -1

-0.8 -0.6

-0.4 -0.2

0

0.2

0.4

0.6 0.8

1

Figura 1 (b) Sinal Cossenoidal da portadora A cos(2 pi fc t)

4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 - 2

- 1.5

- 1

- 0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 1 (c) - Sinal v(t) modulado xDSB (t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 2 (a) Sequência binária v (t)

5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 2 (b) - Sequência binária modulada em amplitude A simbologia do processo de modulação é mostrada na Figura 3.

X v(t)

A cos(2 π fc t )

xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

Figura 3 – Transmissão: Processo de modulação DSB

6

Um sinal genérico v(t) e o modulado xDSB(t) estão representados na escala de frequências por V(f) e XDSB(f) como mostrado na Figura 4. Conforme visto nessa Figura 1a, o sinal v(t) tem frequência máxima igual a W, considerada frequência baixa; enquanto o sinal modulado xDSB(t) tem frequências altas, considerando-se que fc >> W. A faixa de frequências do sinal modulado vai de fc - W a fc + W, fazendo com que a banda passante seja igual a 2 W. Nesse caso, conforme convenção do item 2, B = 2 W.

Observação: Quando o processo de modução é uma transferência de uma faixa de frequências alta para outra faixa, mais baixa ou mais alta que a original, chamamos esse processo de translação ou conversão de frequências.

4.2 Demodulação DSB: Uma perfeita demodulação DSB, isto é, a perfeita restauração de v(t) só pode ser feita com o demodulador (receptor) sincronizado (synchronized) com o modulador (transmissor), isto é, deverá existir no demodulador, um sinal de portadora cuja frequência e fase sejam idênticos ao do sinal de portadora gerado no transmissor. Caso contrário haverá distorção do sinal demodulado. Dessa forma, o gerador de ondas no modulador ter que gerar um sinal de portadora idêntico ao gerado no transmissor. A demodulação é feita da mesma maneira que a modulação, por deslocamento do espectro, ou seja, por multiplicação do sinal modulado xDSB(t) na escala de tempo pelo sinal de portadora gerado no receptor, conforme mostrado na Figuras xxx e yyy.

f (Hz)

fc 0 fc

Y(f)A

V(f )2

f (Hz)

V(f) 1

-W 0 W

(a) (b)

Figura 4 – Espectro de frequência (a) do sinal modulante v(t) (b) do sinal modulado xDSB(t)

7

4.2.1 Demodulação DSB com sincronismo: x’(t) = A’ v(t) cos( 2 π fc t ) onde A’ é uma constante e representa o valor atenuado de A, devido ao processo de propagação do sinal desde o transmissor até o receptor, sem levar em conta o ruido aditivo, comum no processo de transmissão. y(t) = x’(t) C cos( 2 π fc t )

y(t) = A’ v(t) cos( 2 π fc t ) C cos( 2 π fc t ) y(t) = A’ C v(t) [ 1 + cos( 2 π 2 fc t ) ] / 2 onde A’ e C são constantes positivas quaisquer. Espectro de y(t):

X

C cos(2 π fc t )

x(t) = A v(t) cos(2 π fc t ) k v(t) Filtro Passa baixa BW= W

y(t) = C x(t) cos(2 π fc t )

Figura xxx - Processo de demodulação síncrona DSB

x’(t) k v(t) Filtro Passa

baixa BW= W

y(t)

Xv(t)

A cos(2 π fc t )

x(t) = A v(t) cos(2 π fc t )

X

C cos(2 π fc t )

propagação no espaço livre

Figura yyy - Caracterização da transmissão DSB no espaço livre desde o transmissor atéo receptor:

8

Após a filtragem passa baixa ideal, que deixa o espectro intacto entre –W e W e corta o restante, teremos:

A'.C

Sinal de mod ulado v(t)2

=

De acordo com a Figura zzz que mostra o processo de demodulação, teremos que k = A.C / 2. 4.2.2 Demodulação DSB sem sincronismo Caso o gerador de ondas da portadora do transmissor não tenha a mesma fase e frequência do gerador do receptor, teremos distorção, conforme será visto a seguir.

Suponha que não tivéssemos sincronismo no receptor, ou seja, a portadora tivesse a expressão C cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ] onde está se supondo que existe uma diferença entre as frequências de portadoras do transmissor e do receptor, caracterizada pelo desvio ∆f e também que as portadoras estão defasadas uma da outra de um valor θ. Com essa expressão estamos caracterizando o fato de não se conseguir na prática, dois osciladores com idênticas frequências de oscilação. Por exemplo, se desejassemos usar uma transmissão com frequência de 1 Mhertz, e caso tivéssemos um oscilador com frequência igual a 1,008 MHz e outro com uma frequência de 1,0005 MHz, isso produziria um ∆f de 7,5 kHz o que já causaria um grande problema de demodulação como veremos a seguir. A defasagem entre as portadoras, conforme será visto, só causa atenuação, o que pode ser restaurada por um amplificador.

Y(f)

f (Hertz)

-2fc-W -2fc -2fc+W -W 0 W 2fc-W 2fc 2fc+W

Espectro do sinal y(t)

9

Usando então um ∆f ≠ 0 e θ ≠ 0 teríamos no receptor: y(t) = C x(t) cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ] y(t) = A' v(t) cos( 2 π fc t ) C cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ]

{ }C A' Cy(t) = v(t)2

cos[ 2 f t + ] + cos[2 (2 f + f ) t + ]π ∆ θ π ∆ θ

Note que o espectro em torno do DC (frequência zero), que deveria ser o espectro de v(t) é a soma dos espectros mostrados na figura que aparecem sem ser somados, para melhor compreensão. A Figura zzz mostra o espectro de Y(f) onde em frequências baixas houve a soma dos espectros de V(f) deslocados de ∆f.

Espectro do sinal y(t) sem sincronismo no receptor

-2fc-∆f -W-∆f -W 0 W W+∆f 2fc+∆f -W+∆f W-∆f

Y(f)

f (Hertz)

-2fc-∆f -W-∆f -W 0 W W+∆f 2fc+∆f -W+∆f W-∆f

Y(f)

f (Hertz)

Figura zzz - Espectro de frequências do sinal y(t), antes do filtro passa baixa

10

Após a filtragem passa baixa ideal, que deixa o espectro intacto entre –W e W e corta o restante do conteudo de frequências, teríamos um espectro conforme mostrado na Figura vvv. Que é um espectro totalmente diferente do espectro do sinal v(t), ou seja, teríamos:

IA .CSinal de mod ulado v(t) cos [2. . f .t ]

2= π ∆ + θ

O que representa um v(t) com distorção produzida pela modulação de v(t) numa frequência ∆f. Filtro pasa baixas usado para a demodulação do sinal

f (Hertz)

W W

0 0.05 0.1 0.15

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (d

B)

Magnitude Response Estimate

11

Sinal modulador (informação) de 10 Hz 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-800

-600

-400

-200

0

Frequency (Hz)

Pha

se (d

egre

es)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-80

-60

-40

-20

0

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (d

B)

n=10 Lowpass Elliptic Filter

12

Sinal de 10 Hz modulado por uma portadora em 100 Hz Multiplicação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

13

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz Multiplicação por uma cossenoide de fequência igual a 101 Hz Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 101 Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

14

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz e fase π/4 Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz e fase π/2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

15

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 10 Hz e fase π/4 O processo de demodulação síncrona DSB é realizado conforme mostra a Figura 5.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

16

A expressão de y(t) é dada por:

2Cy(t) A . C . v(t) . cos (2 f t )= π = C1 cos (2 2f t )A . C . v(t) .

2+ π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

CA . C A . Cy(t) . v(t) . v(t) . cos (2 f t )

2 2= + π (3)

Após a filtragem passa baixa ideal, tem-se como resultado:

A . Cz(t) . v(t)2

=

Na figura 6 tem-se o espectro de y(t) e a resposta em frequências H(f) do filtro ideal. Na Figura 7 tem-se o resultado do processo de demodulação.

Figura 5 – Recepção: Processo de demodulação síncrona DSB

XA Cz(t) v(t)

2=

C cos(2 π fc t )

xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

Filtro Passa Baixa H(f)BW = W

y(t)

-W 0 W

f (Hz)

H(f) 1

f (Hz)

- 2 fc -W 0 W 2 fc

Y(f) A C

V(f )2

(a) (b)

Figura 6 – (a) Espectro de potência do sinal y(t) (b) Resposta em frquência do filtro ideal

17

4 – Demodulação DSB sem sincronismo Na Figura 8 representa-se o processo de demodulação DSB onde o transmissor e o receptor não estão em sincronismo, isto é, a frequência da portadora (oscilador) do receptor é um pouco diferente da frequência (oscilador) do transmissor. Nessa Figura vê-se também o desvio de frequência ∆f da frequência do transmissor fc e uma fase θ ambos considerados como valores constantes. O sinal obtido após a multiplicação pelo sinal do oscilador na recepção que está des-sincronizado do oscilador do transmissor é dado por

C Cy(t) A . C . v(t) . cos(2 f t ) . cos[2 (f f ) t ]= π π + ∆ =

{ }CA . Cy(t) . v(t) cos (2 f t ) cos [2 (2f f ) t ]

2= π ∆ + θ + π + ∆ + θ (4)

cuja representação na frequência está mostrada na Figura 9.

f (Hz)

A CV(f )

2

-W 0 W Figura 7 - Resultado da demodulação síncrona

Figura 8 – Recepção: Processo de demodulação DSB sem sincronismo

X

C cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ]

xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

Filtro Passa Baixa H(f)BW = W

y(t)v*(t)

18

A saida após o filtro passa baixa ideal será:

* A . Cv (t) . v(t) . cos (2 f t )2

= π ∆ + θ (5)

estando o sinal demodulado sem sincronismo ( v*(t) ) representado em frequências na Figura 10, considerando-se θ = 0. Observa-se através da equação 5 ou pela representação mostrada na Figura 10 que o sinal demodulado é diferente do sinal v(t), ou seja, na demodulação o sinal v(t) aparece multiplicado por uma cossenoide de frequência ∆f, embora supondo de valor baixo, causa distorção do sinal recuperado. Caso ∆f seja zero, ou seja, a frequência do transmissor e do receptor fossem idênticas, terámos ainda uma fase θ, que se considerada constante, causaria apenas atenuação do sinal recuperado que não representaria, nesse caso, distorção. Com ∆f diferente de zero teremos distorção.

Figura 9 - Representação do sinal y(t) na frequência na demodulação sem sincronismo

f (Hz)

Y(f)

-2fc-∆f -W-∆f 0 W W+∆f 2fc+∆f -W+∆f W-∆f

f (Hz) -W 0 W Figura 10 - Resultado da demodulação sem sincronismo

V*(f)

19

4.3 Geração de DSB: 4.3.1 Por chaveamento: Seja a forma de onda de v(t) dada abaixo Se passarmos v(t) por um circuito que deixa v(t) intacta durante τ segundos e corta v(t), isto é, torna a saida zero durante um intervalo de tempo T-τ, e faz isso sucessivamente, intervalo após outro, teremos a forma de onda mostrada abaixo: O espectro de frequências desse sinal chaveado ficará como mostrado abaixo, onde aparecerão componentes em torno de múltiplos de 1/T sem distorção, apenas com atenuação. A frequência escolhida para transmissão terá que ser um desses múltiplos de 1/T, ou seja, fc = n/T. E para sew obter o sinal modulado basta passar o sinal chaveado por filtro passa banda com frequência central em fc e banda passante igual a 2 W.

v(t)

t

v(t)

t0 τ T

20

Circuito típico de chaveamento: 4.3.2 Dispositivo não-linear: Caso o sinal modulante v(t) somado a portadora passe por um dispositivo não linear da forma:

f (Hertz)

-4/T -3/T -2/T -1/T -W 0 W 1/T 2/T 3/T 4/T

Espectro do sinal chaveado

Dispositivo não linear

x(t) y(t) = a x(t) + b x2 (t) +v(t)

A cos ( 2 π fc t)

v(t)

A cos(2 π fc t)

+-

+ +

- -

v(t) chaveado

Supondo: |v(t)| <1 e A >> 10, a saida ficará chaveada com frequência igual a fc

21

Teremos: y(t) = a [v(t) + A cos(2 π fc t) ] + b [v(t) + A cos(2 π fc t) ]2 y(t) = a [v(t) + A cos(2 π fc t) ] + + b [ v2(t) + A2 cos2(2 π fc t) + 2 v(t) A cos(2 π fc t) ] Fazendo-se uma filtragem passa banda com frequência central em fc e banda passante igual a 2 W, teremos: xDSB(t) = 2 b A v(t) cos(2 π fc t), que é o sinal modulado em DSB. 4.3.3 Por amplificadores diferenciais: Circuitos que utilizam amplificadores diferenciais podem ser usados para se obter uma modulação DSB ou AM ( a ser vista adiante). Vide integrados MC 1496 e MC 1596 – moduladores balanceados – usados nas esperiências de Eletrônica IV. 4.4 Potência de tansmissão A potência de transmissão Px do sinal DSB será:

2

x v

AP P

2=

onde Pv é a potência ( ou energia ) de v(t).

Costuma-se convencionar para DSB que ⏐x(t)⏐≤ 1 ∀ t Dessa forma, a potência de transmissão depende fortemente do valor de A, ou seja, quanto maior esse valor maior será a potência transmitida. 5. Modulação e demodulação AM (DSB/LC)

Idênticamente a modulação DSB, esse tipo de modulação é linear com o sinal modulante mas a maior parte da potência de transmissão está no sinal da portadora

22

5.1 Processo de modulação AM Na modulação DSB, o sinal modulado x(t) tinha a seguinte expressão: xDSB(t) = C v(t) cos( 2 π fc t ) onde C é uma constante positiva qualquer. No caso de AM, além da modulação DSB, acrescenta-se um sinal de portadora, de alta potência, como se fosse um sinal piloto para que o receptor utilize-ocomo referência na demodulação. Então o sinal x(t) modulado em AM terá a seguinte expressão: xAM(t) = C v(t) cos( 2 π fc t ) + A cos( 2 π fc t ) [ sinal da portadora de alta potência] Essa expressão pode ser colocada da seguinte forma: xAM(t) = [ C v(t) + A ] cos( 2 π fc t ) Para que tenhamos um sinal modulado em AM, a desigualdade abaixo tem que ser sempre obedecida: C v(t) + A ≥ 0 ∀t Isso quer dizer que a envoltória da modulação tem que ser sempre positiva, para que se possa demodular o sinal AM sem a necessidade de sincronismo, como veremos a seguir. 5.2 Gráficos no tempo e nas frequências do sinal modulado:

v(t) (Volts)

t (seg)

V(f)

f (Hertz)-W 0 W

23

Nas figuras acima temos o sinal de informação v(t) e seu espectro de frequências; temos o sinal v(t) com o DC modificado pelo valor da amplitude da portadora ( A ) de tal forma que a envoltória, que é o sinal v(t), fique sempre positiva. Na figura também mostra-se o espectro de frequências dessa envoltória (sinal v(t) + o novo DC igual a A Volts). Na figura seguinte (ainda acima) temos o sinal modulado AM representado na escala de tempo e seu espectro de frequências, onde o sinal DC da envoltória foi deslocado para a frequência da portadora. Comparando o sinal AM na escala de tempo, com o sinal DSB também na escala de tempo, vemos que a parte positiva do eixo de tensão do sinal AM (envoltória) é igual ao sinal de informação (sinal modulante) v(t). Já no caso de DSB, a envoltória não corresponde ao sinal v(t). 5.3 Diagrama de blocos da modulação AM:

A/2 δ(f- fc)

f (Hertz) -fc 0 fc-W fc fc+W

xAM(t) envoltória

-A

A cos( 2 π fc t )

BW=2W

C V(f- fc) 2

t (seg)

A C V(f)

f (Hertz)-W 0 W

DC: A δ(f)

A + C v(t)

t (seg)

envoltória

X C v(t)

cos(2 π fc t )

+

oscilador

XA

x(t) = [ C v(t) + A ] cos( 2 π fc t ) C v(t) cos( 2 π fc t )

A cos(2 π fc t )

24

Na modulação AM assim como na DSB, a bandapassante necessária para se transmitir o sinal modulado x(t) é o dobro da bandapassante do sinal modulante v(t), isto é, BW = 2W. 5.4 Índice de modulação AM Na modulação AM a forma de onda do sinal modulado tem o aspecto mostrado abaixo, onde MAX e MIN correspondem respectivamente ao máximo e mínimo da envoltória (sinal C v(t) somado com o DC de valor A): Por definição, o índice de modulação m é dado por:

MINMAXMINMAXm

+−

= onde m ≤ 1

Esse índice é um valor positivo, menor ou igual a 1 e é normalmete colocado em termos de proporção. Quanto menor esse valor, maior será o valor de A em relação à excursão do sinal v(t), ou seja, maior será a potência de transmissão do sistema AM. Quando o sinal v(t) = a cos( 2 π fm t), com C = 1, teremos como sinal modulado a expressão: x(t) = [ a cos( 2 π fm t) + A ] cos( 2 π fc t) É claro que a < A e fm << fc . Nesse específico caso, MAX = A + a e MIN = A – a, logo m = a/A 5.5 Figura de Lissajous do sinal modulado

-A

A

Volts

t (seg)

MAX da envoltória

MIN da envoltória

senoide com frequência e fase da portadora

25

Se colocarmos o sinal modulado xAM(t) na entrada horizontal de um osciloscópio e o sinal de informação v(t) na vertical desse osciloscópio, teremos a seguinte figura de Lissajous:

-A

A

Volts

t (seg)

MAX

MIN

v(t) em Volts

t (seg)

Varredura Vertical

Varredura Horizontal

26

Modulação em frequência e em fase – FM e PM Nesse tipo de modulação o sinal a ser modulado altera a frequência (FM) ou a fase (PM) do sinal da portadora. A vantagem de se enviar sinal modulado em FM ou PM é que o ruido interferente influe muito menos na frequência ou na fase do que na amplitude da portadora, como é o caso de modulação em amplitude (AM, DSB, SSB ou VSB). Por outro lado, o processo de realização da modulação em fase ou frequência é muito mais complexo e menos linear do que o da modulação em amplitude. A expressão do sinal modulado em fase é dada pela Equação 6

PM C fx (t) A cos [2 f t k v(t) ]= π + (6) onde kp é uma constante chamada de índice de modulação PM.

Nessa modulação, a portadora tem amplitude constante igual a A e a fase da portadora é modificada diretamente pelo sinal modulante v(t). No entanto a frequência da portadora também é modificada pela variação de v(t), ou seja, a frequência é indiretamente modificada.

Quando a frequência da portadora é modificada diretamente pelo sinal modulante tem-se a modulação FM. Na modulação FM tem-se também modificação da fase da portadora mas essa é feita de maneira indireta. A expressão da modificação da frequência da portadora (modulação FM) é dada pela expressão 7

MOD C ff f 2 k v(t)= + π (7)

onde fMOD é a frequência da portadora modificada. As expressões matemáticas das modulações PM e FM são colocadas a seguir. Para PM tem-se a expressão 6 que é repetida abaixo.

PM C px (t) A cos [2 f t k v(t) ]= π + (6) A fase total instantânea da portadora PM é dada por: PM

i C p(t) 2 f t k v(t)θ = π + (8) A frequência instantânea, ou seja, função do tempo na modulação PM é dada pela expressão 9 abaixo.

[ ]i

PM PMi C p

1 d 1 df (t) (t) 2 f t k v(t)2 dt 2 dt

⎧ ⎫⎡ ⎤= θ = π +⎨ ⎬⎣ ⎦π π ⎩ ⎭ = [ ]C p

d2 f k v(t)dt

π + (9)

Na modulação FM, a frequência instantânea é diretamente proporcional ao sinal v(t), obtém-se então a seguinte expresão:

27

i

FMC ff (t) f k v(t)= + (10)

onde kf é uma constante chamada de índice de modulação FM. Nesse caso a expressão da fase instantânea será dada por:

FM FMi i C f(t) 2 f (t) dt 2 f t 2 k v(t) dtθ = π = π + π∫ ∫ (11)

resultando então na expressão do sinal modulado como:

FM C fx (t) A cos [2 f t 2 k v(t) dt ]= π + π ∫ (12)

Na Figura 10 mostram-se os sinais: (a) modulado em PM, (b) o mesmo sinal quando somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação.

0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5

-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1S in a l m o d u la d o e m fa s e

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2S inal m odulado em fas e m ais ru ido branc o

(b)

28

0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Sinal originalSinal recuperado pós demodulação em fase

(c) Figura 10 – Sinal (a) modulado em PM, (b) sinal modulado somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação.

Na Figura 11 mostram-se os sinais: (a) modulado em FM, (b) o mesmo sinal quando

somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1S inal m odulado em frequênc ia

(a)

29

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Sinal modulado em frequência mais ruido branco

(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-3

-2

-1

0

1

2

3Sinal originalSinal recuperado pós demodulação em frequência

(c) Figura 11 – Sinal a) modulado em FM, (b) sinal modulado somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação.