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Como estimar a probabilidade de um acontecimento por simulaccedilatildeo

Introduccedilatildeo

O termo Probabilidade eacute utilizado todos os dias de forma mais ou menos intuitiva pois nos mais variados aspectos da nossa vida estaacute presente a incertezaDizemos 1113088 que eacute pouco provaacutevel que chova se natildeo avistarmos nuvens1113088 que a probabilidade do proacuteximo bebeacute de uma determinada famiacutelia ser do sexo masculino eacute aproximadamente 501113088 que a probabilidade de lanccedilar uma moeda de 1 euro ao ar e sair a face Euro eacute 501113088 que a probabilidade de ganhar no Euromilhotildees eacute quase nula

Todos estes exemplos tecircm uma caracteriacutestica comum

1113088 natildeo se consegue prever com exactidatildeo e de antematildeo qual o resultado da situaccedilatildeo de incerteza

Ao emitirmos um juiacutezo de valor (como fizemos em alguns dos exemplos considerados) estamos a exprimir o nosso grau de convicccedilatildeo na realizaccedilatildeo de algum acontecimento recorrendo embora intuitivamente agrave frequecircncia relativa com que o acontecimento se pode repetir A probabilidade estaacute presente sempre que estivermos perante um fenoacutemeno aleatoacuterio

Fenoacutemenos aleatoacuteriosmdashSatildeo fenoacutemenos para os quais os resultados das realizaccedilotildees individuais satildeo incertos mas em que se admite ser possiacutevel encontrar um padratildeo geneacuterico de comportamento ou uma regularidade a longo termo isto eacute para um grande nuacutemero de realizaccedilotildees do fenoacutemeno

Experiecircncia aleatoacuteriamdashAgrave realizaccedilatildeo do fenoacutemeno aleatoacuterio chamamos experiecircncia aleatoacuteria Vamos admitir que estas experiecircncias se podem repetir as vezes que quisermos e sempre nas mesmas condiccedilotildees

COMO ESTIMAR A PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO POR SIMULACcedilAtildeO

Maria Eugeacutenia Graccedila Martinsmemartinsfculpt

Pretendemos com este pequeno texto dar a conhecer de uma forma simples e introdutoacuteria um processo que pode ser utilizado para estimar a probabilidade de alguns acontecimentos mdash a simulaccedilatildeo Esta teacutecnica como se veraacute baseia-se na interpretaccedilatildeo frequencista de probabilidade O meio utilizado para proceder agraves simulaccedilotildees foi a folha de Excel do computador A maior parte dos exemplos apresentados foram retirados de outros textos da minha autoria ou co-autoria que seratildeo indicados no final como bibliografia Como texto introdutoacuterio muito ficou por dizer e algumas vezes tive duacutevidas de quais os exemplos que me-lhor poderiam ilustrar esta teacutecnica De qualquer modo fica sempre a minha disponibilidade para quaisquer duacute-vidas que possam ter sido suscitadas (ou natildeo) por estas folhas

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Assim no caso do lanccedilamento da moeda a experiecircncia aleatoacuteria consiste em lanccedilar a moeda ao ar e verificar qual a face que fica virada para cima A experiecircncia eacute aleatoacuteria porque natildeo sabemos em cada lanccedilamento se eacute a face Euro ou a face Nacional que vai ficar virada para cima embora a experiecircncia se repita nas mesmas condiccedilotildees Em contrapartida a experiecircncia que consiste em lanccedilar a moeda ao ar e ver se cai jaacute natildeo eacute aleatoacuteria Neste caso natildeo estamos perante um fenoacutemeno aleatoacuteriohellip

Para fixar ideiasmdashA probabilidade eacute uma propriedade associada a um fenoacutemeno aleatoacuterio que se possa repetir um grande nuacutemero de vezes nas mesmas condiccedilotildees tendo por base o facto de que a aleatoriedade presente produz um pa-dratildeo de comportamento ao fim de muitas repeticcedilotildees isto eacute agrave medida que o nuacutemero de realizaccedilotildees da experiecircncia aleatoacute-ria associada a um fenoacutemeno aleatoacuterio aumenta o comportamento do fenoacutemeno torna-se laquoprevisiacutevelraquo Afinal o acaso pode ser governadohellip

Modelo de probabilidademdashA caracterizaccedilatildeo de um fenoacutemeno aleatoacuterio pressupotildee a definiccedilatildeo de um modelo de probabilidade associado que consiste1113088 Na identificaccedilatildeo de todos os resultados possiacuteveis quando se realiza o fenoacutemeno aleatoacuterio mdash espaccedilo de resultados1113088 Na atribuiccedilatildeo de um nuacutemero a cada resultado a que chama-mos probabilidade Esta atribuiccedilatildeo tem de satisfazer al-guns criteacuterios (uma probabilidade deve ser um nuacutemero natildeo negativo e a soma das probabilidades atribuiacutedas a todos os resultados ndash acontecimentos elementares que compotildeem o espaccedilo de resultados deve ser 1 )

AcontecimentomdashEacute um conjunto formado por um ou mais resultados do espaccedilo de resultados Um acontecimento elementar eacute aquele que eacute constituiacutedo por um uacutenico resultado

Probabilidade de um acontecimentomdashA probabilidade de um acontecimento A representa-se por P(A) e eacute igual agrave soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compotildeem A Por exemplo se considerarmos o fe-noacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de um dado equilibrado e definirmos o modelo de probabilidade que associa a cada face a probabilidade 1 6 entatildeo a probabilidade da saiacuteda de uma face com um nuacutemero par de pintas eacute 36 jaacute que o acon-tecimento de interesse eacute constituiacutedo por 3 acontecimentos elementares cada um com probabilidade 1 6

No entanto mesmo tendo-se definido o modelo associado a um fenoacutemeno aleatoacuterio nem sempre eacute faacutecil obter a proba-bilidade de um acontecimento A que lhe esteja associado Por exemplo se lanccedilarmos 1 0 vezes uma moeda de um euro equilibrada o caacutelculo teoacuterico da probabilidade do acontecimento laquoobter 4 ou mais faces Euro ou Nacional seguidasraquo natildeo eacute acessiacutevel a este niacutevel Como obter entatildeo a probabilidade do acontecimentoA uacutenica soluccedilatildeo seraacute repetir muitas vezes a experiecircncia de lanccedilar a moeda 1 0 vezes e estimar a probabilidade do aconte-cimento pela proporccedilatildeo de vezes em que a face Euro ou a face Nacional aparece 4 ou mais vezes seguidas em sequecircn-cias de 1 0 lanccedilamentos O processo que acabaacutemos de descrever tem por base a essecircncia do que eacute um fenoacutemeno aleatoacuterio (pode-se repetirhellip) tornando possiacutevel a definiccedilatildeo de

Probabilidademdash(experimental ou frequencista) do acontecimento A como sendo o valor agrave volta do qual tende a es-tabilizar a frequecircncia relativa da realizaccedilatildeo de A num grande nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia aleatoacuteria(realizaccedilotildees do fenoacutemeno aleatoacuteriohellip)

O que eacute a simulaccedilatildeo

No exemplo anterior seraacute entatildeo necessaacuterio estar com este trabalho de lanccedilar a moeda muitas e muitas vezesNatildeo O comportamento aleatoacuterio do lanccedilamento da moeda pode ser imitado utilizando a tecnologia e neste caso di-zemos que estamos a simular a realizaccedilatildeo do fenoacutemeno

Simulaccedilatildeo

Simulaccedilatildeomdashprocesso artificial utilizado para imitar o comportamento de um fenoacutemeno aleatoacuterio utilizando de um modo geral nuacutemeros aleatoacuterios

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Diacutegitos aleatoacuteriosmdashUma tabela de diacutegitos aleatoacuterios eacute uma listagem dos diacutegitos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 tal quebull qualquer um dos diacutegitos considerados tem igual possibilidade de figurar em qualquer posiccedilatildeo da listabull a posiccedilatildeo em que figura cada diacutegito eacute independente das posiccedilotildees dos outros diacutegitos

Exemplo de uma parte de uma tabela de diacutegitos aleatoacuterios

101 1 9223 95034 05756 2871 3 96409 1 2531 42544 82853

102 73676 471 50 99400 01 927 27754 42648 82425 36290103 5467 71 709 77558 00095 32863 29485 82226 90056104 5271 1 38889 93074 60227 4001 1 85848 48767 52573105 95592 94007 69971 91 481 60779 53791 1 7297 59335106 6841 7 3501 3 1 5529 72765 85089 57067 5021 1 47487107 82739 57890 20807 4751 1 81 676 55300 94383 1 4893108 60940 72024 1 7868 24943 61 790 90656 87964 1 8883

A partir da tabela de diacutegitos aleatoacuterios podem-se obter nuacutemeros aleatoacuterios de 2 diacutegitos mdash qualquer par dos 1 00 pares possiacuteveis 00 01 hellip 98 99 tem igual probabilidade de ser seleccionado de 3 diacutegitos mdash qualquer triplo dos 1 000 triplos possiacuteveis 000 001 hellip 998 999 tem igual probabilidade de ser seleccionado etc tomando os diacutegitos da tabela 2 a 2 3 a 3 etc a partir de uma linha qualquer e percorrendo-a da esquerda para a direita Hoje em dia existe a possibilidade de utilizar o computador ou uma simples maacutequina de calcular para gerar os nuacute-meros aleatoacuterios No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo pseudo-aleatoacuterios jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios

A funccedilatildeo RAND() e a funccedilatildeo RANDBETWEEN(AB) do Excel

Hoje em dia jaacute natildeo haacute necessidade de se utilizarem as tabelas de diacutegitos aleatoacuterios e sempre que necessaacuterio utilizamos o computador ou a maacutequina de calcular para os gerar No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo nuacutemeros pseudo aleatoacuterios (NPA) jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios (passam numa bateria de testes destinados a confirmar a sua aleatoriedade) Mais geralmente quando falamos em nuacutemeros aleatoacuterios sem qualquer outra referecircncia natildeo nos estamos a referir explicitamente a nuacutemeros inteiros mas sim a nuacutemeros reais do intervalo [0 1 ] Os algoritmos de geraccedilatildeo de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios estatildeo concebidos de modo a que ao considerar uma qualquer sequecircncia de nuacutemeros gerados se obte-nha aproximadamente a mesma proporccedilatildeo de observaccedilotildees em sub intervalos de igual amplitude do intervalo [01 ] As-sim por exemplo se se fizer correr o algoritmo 1 00 vezes eacute de esperar que caiam 25 dos nuacutemeros gerados em cada quar-to do intervalo [01 ]

A funccedilatildeo RANDNo Excel os nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (no intervalo [01 ]) satildeo gerados utilizando a funccedilatildeo RAND()Exemplo de 1 00 nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios obtidos atraveacutes da funccedilatildeo RAND() do Excel

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Para contar quantos nuacutemeros pertencem a cada intervalo usamos a funccedilatildeo COUNTIF do Excel

Como se verifica da tabela anterior 25 nuacutemeros pertencem ao intervalo [0025[ 24 ao intervalo [025050[ 26 ao in-tervalo [050075[ e 24 ao intervalo [0751 [ Se gerarmos outros 1 00 nuacutemeros obteremos outros valores natildeo necessa-riamente tatildeo proacuteximos (ou iguais) de 25 como os anterioresNotamdashPara obter nuacutemeros reais entre a e b basta utilizar a expressatildeo RAND()(b-a)+a

A funccedilatildeo RANDBETWEENPara obter nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios inteiros entre M e N utiliza-se a funccedilatildeo RANDBETWEEN(MN) com M e N inteiros e M menor que N Por exemplo para simularmos o lanccedilamento de um dado (equilibrado) inserimos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em 500 ceacutelulas (de A1 ateacute J50) da folha de Excel

Utilizando mais uma vez a funccedilatildeo COUNTIF obtivemos a distribuiccedilatildeo de frequecircncia dos nuacutemeros gerados Agraves frequecircncias absolutas e relativas do 1 2 e 6 respectivamente nas colunas M e N juntaacutemos na coluna O as pro-babilidades de no lanccedilamento de um dado equilibrado se obter uma face com aquele nuacutemero de pintas

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O graacutefico anterior permite comparar as probabilidades estimadas para a saiacuteda de cada face do dado com as probabili-dades teoacutericas respectivas Se em vez de 500 fizeacutessemos mais repeticcedilotildees seria de esperar que as probabilidades estima-das se aproximassem melhor das teoacutericas No graacutefico seguinte as frequecircncias relativas para a saiacuteda de cada face foram obtidas a partir de 1 000 repeticcedilotildees

NotamdashNa simulaccedilatildeo do lanccedilamento do dado (com 500 repeticcedilotildees) ao utilizar o Excel para construir o diagrama de barras para os valores obtidos que se apresentam na tabela abaixo

surgiu-me a seguinte representaccedilatildeo graacutefica a qual me deixou razoavelmente laquoalarmadaraquo jaacute que me laquopareceuraquo obter uma distribuiccedilatildeo de frequecircncias muito longe da uniforme como estava agrave espera (Em vez de olhar para os valores da tabe-la olhei logo para o graacutefico mdash um graacutefico vale mais que mil palavras como se costuma dizer mas nem sempre eacute assimhellip)

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Assim no caso do lanccedilamento da moeda a experiecircncia aleatoacuteria consiste em lanccedilar a moeda ao ar e verificar qual a face que fica virada para cima A experiecircncia eacute aleatoacuteria porque natildeo sabemos em cada lanccedilamento se eacute a face Euro ou a face Nacional que vai ficar virada para cima embora a experiecircncia se repita nas mesmas condiccedilotildees Em contrapartida a experiecircncia que consiste em lanccedilar a moeda ao ar e ver se cai jaacute natildeo eacute aleatoacuteria Neste caso natildeo estamos perante um fenoacutemeno aleatoacuteriohellip

Para fixar ideiasmdashA probabilidade eacute uma propriedade associada a um fenoacutemeno aleatoacuterio que se possa repetir um grande nuacutemero de vezes nas mesmas condiccedilotildees tendo por base o facto de que a aleatoriedade presente produz um pa-dratildeo de comportamento ao fim de muitas repeticcedilotildees isto eacute agrave medida que o nuacutemero de realizaccedilotildees da experiecircncia aleatoacute-ria associada a um fenoacutemeno aleatoacuterio aumenta o comportamento do fenoacutemeno torna-se laquoprevisiacutevelraquo Afinal o acaso pode ser governadohellip

Modelo de probabilidademdashA caracterizaccedilatildeo de um fenoacutemeno aleatoacuterio pressupotildee a definiccedilatildeo de um modelo de probabilidade associado que consiste1113088 Na identificaccedilatildeo de todos os resultados possiacuteveis quando se realiza o fenoacutemeno aleatoacuterio mdash espaccedilo de resultados1113088 Na atribuiccedilatildeo de um nuacutemero a cada resultado a que chama-mos probabilidade Esta atribuiccedilatildeo tem de satisfazer al-guns criteacuterios (uma probabilidade deve ser um nuacutemero natildeo negativo e a soma das probabilidades atribuiacutedas a todos os resultados ndash acontecimentos elementares que compotildeem o espaccedilo de resultados deve ser 1 )

AcontecimentomdashEacute um conjunto formado por um ou mais resultados do espaccedilo de resultados Um acontecimento elementar eacute aquele que eacute constituiacutedo por um uacutenico resultado

Probabilidade de um acontecimentomdashA probabilidade de um acontecimento A representa-se por P(A) e eacute igual agrave soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que compotildeem A Por exemplo se considerarmos o fe-noacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de um dado equilibrado e definirmos o modelo de probabilidade que associa a cada face a probabilidade 1 6 entatildeo a probabilidade da saiacuteda de uma face com um nuacutemero par de pintas eacute 36 jaacute que o acon-tecimento de interesse eacute constituiacutedo por 3 acontecimentos elementares cada um com probabilidade 1 6

No entanto mesmo tendo-se definido o modelo associado a um fenoacutemeno aleatoacuterio nem sempre eacute faacutecil obter a proba-bilidade de um acontecimento A que lhe esteja associado Por exemplo se lanccedilarmos 1 0 vezes uma moeda de um euro equilibrada o caacutelculo teoacuterico da probabilidade do acontecimento laquoobter 4 ou mais faces Euro ou Nacional seguidasraquo natildeo eacute acessiacutevel a este niacutevel Como obter entatildeo a probabilidade do acontecimentoA uacutenica soluccedilatildeo seraacute repetir muitas vezes a experiecircncia de lanccedilar a moeda 1 0 vezes e estimar a probabilidade do aconte-cimento pela proporccedilatildeo de vezes em que a face Euro ou a face Nacional aparece 4 ou mais vezes seguidas em sequecircn-cias de 1 0 lanccedilamentos O processo que acabaacutemos de descrever tem por base a essecircncia do que eacute um fenoacutemeno aleatoacuterio (pode-se repetirhellip) tornando possiacutevel a definiccedilatildeo de

Probabilidademdash(experimental ou frequencista) do acontecimento A como sendo o valor agrave volta do qual tende a es-tabilizar a frequecircncia relativa da realizaccedilatildeo de A num grande nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia aleatoacuteria(realizaccedilotildees do fenoacutemeno aleatoacuteriohellip)

O que eacute a simulaccedilatildeo

No exemplo anterior seraacute entatildeo necessaacuterio estar com este trabalho de lanccedilar a moeda muitas e muitas vezesNatildeo O comportamento aleatoacuterio do lanccedilamento da moeda pode ser imitado utilizando a tecnologia e neste caso di-zemos que estamos a simular a realizaccedilatildeo do fenoacutemeno

Simulaccedilatildeo

Simulaccedilatildeomdashprocesso artificial utilizado para imitar o comportamento de um fenoacutemeno aleatoacuterio utilizando de um modo geral nuacutemeros aleatoacuterios

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Diacutegitos aleatoacuteriosmdashUma tabela de diacutegitos aleatoacuterios eacute uma listagem dos diacutegitos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 tal quebull qualquer um dos diacutegitos considerados tem igual possibilidade de figurar em qualquer posiccedilatildeo da listabull a posiccedilatildeo em que figura cada diacutegito eacute independente das posiccedilotildees dos outros diacutegitos

Exemplo de uma parte de uma tabela de diacutegitos aleatoacuterios

101 1 9223 95034 05756 2871 3 96409 1 2531 42544 82853

102 73676 471 50 99400 01 927 27754 42648 82425 36290103 5467 71 709 77558 00095 32863 29485 82226 90056104 5271 1 38889 93074 60227 4001 1 85848 48767 52573105 95592 94007 69971 91 481 60779 53791 1 7297 59335106 6841 7 3501 3 1 5529 72765 85089 57067 5021 1 47487107 82739 57890 20807 4751 1 81 676 55300 94383 1 4893108 60940 72024 1 7868 24943 61 790 90656 87964 1 8883

A partir da tabela de diacutegitos aleatoacuterios podem-se obter nuacutemeros aleatoacuterios de 2 diacutegitos mdash qualquer par dos 1 00 pares possiacuteveis 00 01 hellip 98 99 tem igual probabilidade de ser seleccionado de 3 diacutegitos mdash qualquer triplo dos 1 000 triplos possiacuteveis 000 001 hellip 998 999 tem igual probabilidade de ser seleccionado etc tomando os diacutegitos da tabela 2 a 2 3 a 3 etc a partir de uma linha qualquer e percorrendo-a da esquerda para a direita Hoje em dia existe a possibilidade de utilizar o computador ou uma simples maacutequina de calcular para gerar os nuacute-meros aleatoacuterios No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo pseudo-aleatoacuterios jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios

A funccedilatildeo RAND() e a funccedilatildeo RANDBETWEEN(AB) do Excel

Hoje em dia jaacute natildeo haacute necessidade de se utilizarem as tabelas de diacutegitos aleatoacuterios e sempre que necessaacuterio utilizamos o computador ou a maacutequina de calcular para os gerar No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo nuacutemeros pseudo aleatoacuterios (NPA) jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios (passam numa bateria de testes destinados a confirmar a sua aleatoriedade) Mais geralmente quando falamos em nuacutemeros aleatoacuterios sem qualquer outra referecircncia natildeo nos estamos a referir explicitamente a nuacutemeros inteiros mas sim a nuacutemeros reais do intervalo [0 1 ] Os algoritmos de geraccedilatildeo de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios estatildeo concebidos de modo a que ao considerar uma qualquer sequecircncia de nuacutemeros gerados se obte-nha aproximadamente a mesma proporccedilatildeo de observaccedilotildees em sub intervalos de igual amplitude do intervalo [01 ] As-sim por exemplo se se fizer correr o algoritmo 1 00 vezes eacute de esperar que caiam 25 dos nuacutemeros gerados em cada quar-to do intervalo [01 ]

A funccedilatildeo RANDNo Excel os nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (no intervalo [01 ]) satildeo gerados utilizando a funccedilatildeo RAND()Exemplo de 1 00 nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios obtidos atraveacutes da funccedilatildeo RAND() do Excel

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Para contar quantos nuacutemeros pertencem a cada intervalo usamos a funccedilatildeo COUNTIF do Excel

Como se verifica da tabela anterior 25 nuacutemeros pertencem ao intervalo [0025[ 24 ao intervalo [025050[ 26 ao in-tervalo [050075[ e 24 ao intervalo [0751 [ Se gerarmos outros 1 00 nuacutemeros obteremos outros valores natildeo necessa-riamente tatildeo proacuteximos (ou iguais) de 25 como os anterioresNotamdashPara obter nuacutemeros reais entre a e b basta utilizar a expressatildeo RAND()(b-a)+a

A funccedilatildeo RANDBETWEENPara obter nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios inteiros entre M e N utiliza-se a funccedilatildeo RANDBETWEEN(MN) com M e N inteiros e M menor que N Por exemplo para simularmos o lanccedilamento de um dado (equilibrado) inserimos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em 500 ceacutelulas (de A1 ateacute J50) da folha de Excel

Utilizando mais uma vez a funccedilatildeo COUNTIF obtivemos a distribuiccedilatildeo de frequecircncia dos nuacutemeros gerados Agraves frequecircncias absolutas e relativas do 1 2 e 6 respectivamente nas colunas M e N juntaacutemos na coluna O as pro-babilidades de no lanccedilamento de um dado equilibrado se obter uma face com aquele nuacutemero de pintas

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O graacutefico anterior permite comparar as probabilidades estimadas para a saiacuteda de cada face do dado com as probabili-dades teoacutericas respectivas Se em vez de 500 fizeacutessemos mais repeticcedilotildees seria de esperar que as probabilidades estima-das se aproximassem melhor das teoacutericas No graacutefico seguinte as frequecircncias relativas para a saiacuteda de cada face foram obtidas a partir de 1 000 repeticcedilotildees

NotamdashNa simulaccedilatildeo do lanccedilamento do dado (com 500 repeticcedilotildees) ao utilizar o Excel para construir o diagrama de barras para os valores obtidos que se apresentam na tabela abaixo

surgiu-me a seguinte representaccedilatildeo graacutefica a qual me deixou razoavelmente laquoalarmadaraquo jaacute que me laquopareceuraquo obter uma distribuiccedilatildeo de frequecircncias muito longe da uniforme como estava agrave espera (Em vez de olhar para os valores da tabe-la olhei logo para o graacutefico mdash um graacutefico vale mais que mil palavras como se costuma dizer mas nem sempre eacute assimhellip)

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Diacutegitos aleatoacuteriosmdashUma tabela de diacutegitos aleatoacuterios eacute uma listagem dos diacutegitos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 tal quebull qualquer um dos diacutegitos considerados tem igual possibilidade de figurar em qualquer posiccedilatildeo da listabull a posiccedilatildeo em que figura cada diacutegito eacute independente das posiccedilotildees dos outros diacutegitos

Exemplo de uma parte de uma tabela de diacutegitos aleatoacuterios

101 1 9223 95034 05756 2871 3 96409 1 2531 42544 82853

102 73676 471 50 99400 01 927 27754 42648 82425 36290103 5467 71 709 77558 00095 32863 29485 82226 90056104 5271 1 38889 93074 60227 4001 1 85848 48767 52573105 95592 94007 69971 91 481 60779 53791 1 7297 59335106 6841 7 3501 3 1 5529 72765 85089 57067 5021 1 47487107 82739 57890 20807 4751 1 81 676 55300 94383 1 4893108 60940 72024 1 7868 24943 61 790 90656 87964 1 8883

A partir da tabela de diacutegitos aleatoacuterios podem-se obter nuacutemeros aleatoacuterios de 2 diacutegitos mdash qualquer par dos 1 00 pares possiacuteveis 00 01 hellip 98 99 tem igual probabilidade de ser seleccionado de 3 diacutegitos mdash qualquer triplo dos 1 000 triplos possiacuteveis 000 001 hellip 998 999 tem igual probabilidade de ser seleccionado etc tomando os diacutegitos da tabela 2 a 2 3 a 3 etc a partir de uma linha qualquer e percorrendo-a da esquerda para a direita Hoje em dia existe a possibilidade de utilizar o computador ou uma simples maacutequina de calcular para gerar os nuacute-meros aleatoacuterios No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo pseudo-aleatoacuterios jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios

A funccedilatildeo RAND() e a funccedilatildeo RANDBETWEEN(AB) do Excel

Hoje em dia jaacute natildeo haacute necessidade de se utilizarem as tabelas de diacutegitos aleatoacuterios e sempre que necessaacuterio utilizamos o computador ou a maacutequina de calcular para os gerar No entanto conveacutem ter presente que os nuacutemeros que se obtecircm satildeo nuacutemeros pseudo aleatoacuterios (NPA) jaacute que eacute um mecanismo determinista que lhes daacute origem embora se comportem como nuacutemeros aleatoacuterios (passam numa bateria de testes destinados a confirmar a sua aleatoriedade) Mais geralmente quando falamos em nuacutemeros aleatoacuterios sem qualquer outra referecircncia natildeo nos estamos a referir explicitamente a nuacutemeros inteiros mas sim a nuacutemeros reais do intervalo [0 1 ] Os algoritmos de geraccedilatildeo de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios estatildeo concebidos de modo a que ao considerar uma qualquer sequecircncia de nuacutemeros gerados se obte-nha aproximadamente a mesma proporccedilatildeo de observaccedilotildees em sub intervalos de igual amplitude do intervalo [01 ] As-sim por exemplo se se fizer correr o algoritmo 1 00 vezes eacute de esperar que caiam 25 dos nuacutemeros gerados em cada quar-to do intervalo [01 ]

A funccedilatildeo RANDNo Excel os nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (no intervalo [01 ]) satildeo gerados utilizando a funccedilatildeo RAND()Exemplo de 1 00 nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios obtidos atraveacutes da funccedilatildeo RAND() do Excel

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Para contar quantos nuacutemeros pertencem a cada intervalo usamos a funccedilatildeo COUNTIF do Excel

Como se verifica da tabela anterior 25 nuacutemeros pertencem ao intervalo [0025[ 24 ao intervalo [025050[ 26 ao in-tervalo [050075[ e 24 ao intervalo [0751 [ Se gerarmos outros 1 00 nuacutemeros obteremos outros valores natildeo necessa-riamente tatildeo proacuteximos (ou iguais) de 25 como os anterioresNotamdashPara obter nuacutemeros reais entre a e b basta utilizar a expressatildeo RAND()(b-a)+a

A funccedilatildeo RANDBETWEENPara obter nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios inteiros entre M e N utiliza-se a funccedilatildeo RANDBETWEEN(MN) com M e N inteiros e M menor que N Por exemplo para simularmos o lanccedilamento de um dado (equilibrado) inserimos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em 500 ceacutelulas (de A1 ateacute J50) da folha de Excel

Utilizando mais uma vez a funccedilatildeo COUNTIF obtivemos a distribuiccedilatildeo de frequecircncia dos nuacutemeros gerados Agraves frequecircncias absolutas e relativas do 1 2 e 6 respectivamente nas colunas M e N juntaacutemos na coluna O as pro-babilidades de no lanccedilamento de um dado equilibrado se obter uma face com aquele nuacutemero de pintas

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O graacutefico anterior permite comparar as probabilidades estimadas para a saiacuteda de cada face do dado com as probabili-dades teoacutericas respectivas Se em vez de 500 fizeacutessemos mais repeticcedilotildees seria de esperar que as probabilidades estima-das se aproximassem melhor das teoacutericas No graacutefico seguinte as frequecircncias relativas para a saiacuteda de cada face foram obtidas a partir de 1 000 repeticcedilotildees

NotamdashNa simulaccedilatildeo do lanccedilamento do dado (com 500 repeticcedilotildees) ao utilizar o Excel para construir o diagrama de barras para os valores obtidos que se apresentam na tabela abaixo

surgiu-me a seguinte representaccedilatildeo graacutefica a qual me deixou razoavelmente laquoalarmadaraquo jaacute que me laquopareceuraquo obter uma distribuiccedilatildeo de frequecircncias muito longe da uniforme como estava agrave espera (Em vez de olhar para os valores da tabe-la olhei logo para o graacutefico mdash um graacutefico vale mais que mil palavras como se costuma dizer mas nem sempre eacute assimhellip)

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Para contar quantos nuacutemeros pertencem a cada intervalo usamos a funccedilatildeo COUNTIF do Excel

Como se verifica da tabela anterior 25 nuacutemeros pertencem ao intervalo [0025[ 24 ao intervalo [025050[ 26 ao in-tervalo [050075[ e 24 ao intervalo [0751 [ Se gerarmos outros 1 00 nuacutemeros obteremos outros valores natildeo necessa-riamente tatildeo proacuteximos (ou iguais) de 25 como os anterioresNotamdashPara obter nuacutemeros reais entre a e b basta utilizar a expressatildeo RAND()(b-a)+a

A funccedilatildeo RANDBETWEENPara obter nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios inteiros entre M e N utiliza-se a funccedilatildeo RANDBETWEEN(MN) com M e N inteiros e M menor que N Por exemplo para simularmos o lanccedilamento de um dado (equilibrado) inserimos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em 500 ceacutelulas (de A1 ateacute J50) da folha de Excel

Utilizando mais uma vez a funccedilatildeo COUNTIF obtivemos a distribuiccedilatildeo de frequecircncia dos nuacutemeros gerados Agraves frequecircncias absolutas e relativas do 1 2 e 6 respectivamente nas colunas M e N juntaacutemos na coluna O as pro-babilidades de no lanccedilamento de um dado equilibrado se obter uma face com aquele nuacutemero de pintas

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O graacutefico anterior permite comparar as probabilidades estimadas para a saiacuteda de cada face do dado com as probabili-dades teoacutericas respectivas Se em vez de 500 fizeacutessemos mais repeticcedilotildees seria de esperar que as probabilidades estima-das se aproximassem melhor das teoacutericas No graacutefico seguinte as frequecircncias relativas para a saiacuteda de cada face foram obtidas a partir de 1 000 repeticcedilotildees

NotamdashNa simulaccedilatildeo do lanccedilamento do dado (com 500 repeticcedilotildees) ao utilizar o Excel para construir o diagrama de barras para os valores obtidos que se apresentam na tabela abaixo

surgiu-me a seguinte representaccedilatildeo graacutefica a qual me deixou razoavelmente laquoalarmadaraquo jaacute que me laquopareceuraquo obter uma distribuiccedilatildeo de frequecircncias muito longe da uniforme como estava agrave espera (Em vez de olhar para os valores da tabe-la olhei logo para o graacutefico mdash um graacutefico vale mais que mil palavras como se costuma dizer mas nem sempre eacute assimhellip)

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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O graacutefico anterior permite comparar as probabilidades estimadas para a saiacuteda de cada face do dado com as probabili-dades teoacutericas respectivas Se em vez de 500 fizeacutessemos mais repeticcedilotildees seria de esperar que as probabilidades estima-das se aproximassem melhor das teoacutericas No graacutefico seguinte as frequecircncias relativas para a saiacuteda de cada face foram obtidas a partir de 1 000 repeticcedilotildees

NotamdashNa simulaccedilatildeo do lanccedilamento do dado (com 500 repeticcedilotildees) ao utilizar o Excel para construir o diagrama de barras para os valores obtidos que se apresentam na tabela abaixo

surgiu-me a seguinte representaccedilatildeo graacutefica a qual me deixou razoavelmente laquoalarmadaraquo jaacute que me laquopareceuraquo obter uma distribuiccedilatildeo de frequecircncias muito longe da uniforme como estava agrave espera (Em vez de olhar para os valores da tabe-la olhei logo para o graacutefico mdash um graacutefico vale mais que mil palavras como se costuma dizer mas nem sempre eacute assimhellip)

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Na realidade a representaccedilatildeo anterior natildeo estaacute correcta mdash basta ver que a escala no eixo dos yrsquos escolhida automatica-mente pelo Excel natildeo se inicia no ponto 0 O graacutefico correcto eacute o seguinte

Normalmente os graacuteficos apresentados pelo Excel tecircm os eixos a cruzarem-se no ponto 0 mas quando isso natildeo aconte-ce se se pretende manter o graacutefico assim deve chamar-se a atenccedilatildeo para esse pormenor

Exemplos de como utilizar a simulaccedilatildeo para estimar a probabilidade de acontecimentos

Exemplo 1mdashEstimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda de um euro a face Euro ou aface Nacional aparecer 4 ou mais vezes seguidas

Primeiro passomdashDefinir o modelo de probabilidade para o lanccedilamento de uma moeda1 ) Admitimos que a moeda eacute equilibrada

2) Os lanccedilamentos satildeo independentes uns dos outros

Segundo passomdashUtilizar os diacutegitos da tabela para simular um lanccedilamento1 ) Cada diacutegito simula um lanccedilamento da moeda2)Se um diacutegito for 0 1 2 3 ou 4 simula a saiacuteda da face Euro se for 5 6 7 8 ou 9 simula a saiacuteda da face Nacional Pode-riacuteamos ter utilizado como metodologia a seguinte se o diacutegito for par (considerando o 0 como par) simula-se a saiacuteda da face Euro se for iacutempar simula a saiacuteda da face Nacional

Terceiro passomdashSimular muitas repeticcedilotildees ndash percorrer a tabela comeccedilando na 1 a linha da esquerda para a direita

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Na tabela anterior assinalaacutemos a vermelho sempre que se veri- fica um sucesso ou seja sempre que se realiza o aconte-cimento em causa mdash pelo menos 4 faces euro ou nacionais seguidas Em 36 repeticcedilotildees verificaram-se 1 8 sucessos pelo que uma estimativa para a probabilidade pretendida eacute 1 836 =05 ou 50 Aproveitando as simulaccedilotildees anteriores fomos obter uma estimativa para a probabilidade de obter 3 faces euros ou na-cionais (pelo menos) seguidas em 1 0 lanccedilamentos Agora os sucessos aleacutem dos assinalados a vermelho satildeo tambeacutem os assinalados a azul Temos 30 sucessos nas 36 repe-ticcedilotildees pelo que uma estimativa para a probabilidade de obter pelo menos 3 faces euro ou nacionais seguidas eacute 3036asymp083(De acordo com o modelo a probabilidade teoacuterica deste acontecimento eacute 0826) Como eacute que se pode saber se as estimativas obtidas satildeo estimativas razoaacuteveis para as probabilidades pretendidas Que garantia eacute que temos que a estimativa de 50 obtida para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos obter 4 faces euro ou nacionais seguidas seja uma estimativa razoaacutevel O problema prende-se com o facto de saber se 36 repeticcedilotildees satildeo suficientes jaacute que se fala em muitas repeticcedilotildees para obter a probabilidade experimental de um acontecimento De acordo com o que se disse anteriormente a probabilidade experimental ou frequencista eacute o valor agrave volta do qual tende a estabilizar a frequecircncia relativa com que o acontecimento se verifica agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees au-menta Vejamos na simulaccedilatildeo anterior a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees da experiecircncia (cha-mamos a atenccedilatildeo para que neste caso a realizaccedilatildeo de uma experiecircncia consiste em simular 1 0 lanccedilamentos da moeda)

Decididamente natildeo se nota que a frequecircncia relativa tenha estabilizado agrave volta de 50 pelo que as 36 repeticcedilotildees natildeo satildeo suficientes Sendo assim eacute necessaacuterio repetir mais vezes a experiecircncia que leva ou natildeo agrave realizaccedilatildeo do acontecimen-to que se estaacute a estudar Realizaacutemos uma nova simulaccedilatildeo com 500 repeticcedilotildees mdash desta vez utilizaacutemos o Excel (veremos agrave frente o processo utilizado) tendo-se obtido o seguinte graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa com o nuacutemero de repeticcedilotildees

Apresentamos ainda para melhor visibilidade as uacuteltimas linhas da tabela onde se registou a evoluccedilatildeo da frequecircncia re-lativa do acontecimento em causa (a partir da qual se construiu o graacutefico anterior)

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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PROFMAT2011 ACTAS

continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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PROFMAT2011 ACTAS

Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Do graacutefico e da tabela verifica-se que a frequecircncia relativa estabilizou agrave volta de 45 pelo que consideramos este valor como a estimativa para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos se verificar pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas Aproveitaacutemos ainda a simulaccedilatildeo feita para estimar a probabilidade de em 1 0 lanccedilamen-tos obter 3 ou mais faces euro ou faces nacionais seguidas O graacutefico que mostra a evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa agrave medida que o nuacutemero de repeticcedilotildees aumenta apresenta-se a seguir

De acordo com os resultados obtidos consideramos que 83 eacute uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade de em 1 0 lanccedilamentos de uma moeda equilibrada a face euro ou a face nacional surgir 3 ou mais vezes seguidas

A funccedilatildeo RAND() para simular o lanccedilamento de uma moeda (equilibrada)Para estimar a probabilidade de no lanccedilamento de uma moeda de um euro equilibrada aparecerem pelo menos 4 faces euro ou 4 faces nacionais seguidas utilizaacutemos no passo 2 a tabela de diacutegitos aleatoacuterios para fazer as 36 repeticcedilotildees No entanto para simular o lanccedilamento da moeda eacute mais praacutetico utilizar a funccedilatildeo RAND() do Excel da seguinte forma

Passo 2rsquomdashConsiderar a funccedilatildeo RAND() do Excel

1 Cada nuacutemero gerado simula um lanccedilamento da moeda

2 Um nuacutemero lt05 representa a face Euro e um nuacutemeroge05 representa a face Nacional

Esta atribuiccedilatildeo de probabilidades estaacute de acordo como modelo proposto jaacute que os intervalos [0 05[ e [05 1 ] tecircm igual amplitude pelo que a probabilidade de obter nuacutemeros em cada um desses intervalos eacute 05 Este foi o processo utilizado para estimar a probabilidade do mesmo acontecimento mas com 500 repeticcedilotildees

Exemplo 2mdashEstimar a probabilidade de numa famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes

Como no exemplo anterior o primeiro passo eacute a definiccedilatildeo de um modelo para o nascimento de um filho do sexo masculino Vamos admitir que a probabilidade de um filho ser rapaz eacute 50 e que os nascimentos satildeo independentes uns dos outros Simula-se o nascimento de uma crianccedila atraveacutes da funccedilatildeo RAND() da seguinte forma sempre que o nuacutemero gerado for le05 considera-se que nasceu um rapaz caso contraacuterio admite- se que nasceu rapariga De seguida geram-se muitas repeticcedilotildees de 4 nuacutemeros para simular os 4 nascimentos

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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continuaccedilatildeo da tabela anterior

Repetimos a simulaccedilatildeo anterior 1 000 vezes tendo obtido a seguinte tabela de frequecircncias de que apresentamos parte assim como o graacutefico respectivo

De acordo com a tabela anterior uma estimativa razoaacutevel para a probabilidade pretendida eacute 06 ou 60 De acordo como census 2001 (ainda natildeo temos os resultados do uacuteltimo censo) a percentagem de nascimentos do sexo masculino eacute ligeiramente superior agrave do sexo feminino e anda agrave volta de 51 Admitindo entatildeo que a probabilidade de nascer rapaz eacute 051 para estimar a probabilidade de nascerem 4 rapazes numa famiacutelia de 4 filhos basta na simula-ccedilatildeo anterior considerar rapaz sempre que o resultado da funccedilatildeo RAND() for um nuacutemero le051 Fazendo esta alteraccedilatildeo uma estimativa para a probabilidade de na famiacutelia de 4 filhos todos serem rapazes anda agrave volta de 68

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do acontecimento laquoNascimento de 4 rapazesraquo

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Exemplo 3mdashNa sala de aula o professor propocircs o seguinte jogo lanccedilam 2 dados e verificam a soma das pintas Se a soma for 2 3 4 ou 5 o Joatildeo ganha um ponto Se for 6 7 ou 8 ganha a Rita um ponto Se for 9 1 0 1 1 ou 1 2 ganha o Mi-guel um ponto Ao fim de 1 00 jogadas ganha quem tiver mais pontos A Rita contestou o jogo dizendo que tinha me-nos ldquochancerdquo de o ganhar Teria a Rita razatildeo

A Rita contestou o jogo porque soacute tinha 3 possibilidades de ganhar enquanto que os colegas tinham 4 possibilidades Mas seraacute que todas estas (1 1 ) possibilidades satildeo igualmente possiacuteveis Vamos entatildeo estimar a probabilidade de a soma das pintas dos dois dados ser 2 3 1 1 ou 1 2 Utilizamos a funccedilatildeo RANDBETWEEN(1 6) em duas colunas do Excel para simularmos o lanccedilamento dos 2 dados (admitimos que os dados satildeo equilibrados) Numa 3a coluna consideraacutemos a soma das colunas anteriores e finalmente com a ajuda da funccedilatildeo COUNTIF construiacutemos a tabela das frequecircncias relativas (foram realizadas 1 000 simulaccedilotildees do lanccedilamento dos 2 dados)

A partir da tabela anterior podemos concluir que as estimativas para as probabilidades do Joatildeo da Rita e do Miguel ganha-rem um ponto satildeo respectivamente 29 (003+006+008+01 2) 44 (01 3+01 8+01 4) e 27 (01 1 +008+005+003) Daqui concluiacutemos que ao contraacuterio do que a Rita pensava ela eacute largamente beneficiada com estas regras do jogo Neste caso em que os acontecimentos de que pretendemos estimar a probabilidade estatildeo associados ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento de dois dados eacute simples uma vez definido o modelo de probabilidade calcular essas probabi-lidades Vejamos que assim eacute Para definir o modelo de probabilidade associado ao fenoacutemeno aleatoacuterio do lanccedilamento dos dois dados comecemos por descrever o espaccedilo de resultados ndash para isso consideremos um dado vermelho e outro verde

O espaccedilo de resultados eacute constituiacutedo por todos os pares (ij) com ij=1 6 em nuacutemero de 36 No par ordenado (ij) o primeiro elemento do par refere-se ao dado vermelho e o segundo elemento ao dado verde Assim por exemplo o par (1 3) eacute diferente do par (31 ) Como todos estes resultados satildeo igualmente possiacuteveis atribuiacutemos a cada um a probabilida-de 1 36 (Situaccedilatildeo de simetria e Regra de Laplace) ficando o modelo de probabilidade perfeitamente definido

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

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Uma vez definido este modelo e tendo em conta o que dissemos na paacutegina 4 sobre a forma de calcular a probabilidade de um acontecimento (soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que o compotildeem) vem

P(soma 2)=P(1 1 )=1 36asymp0028

P(soma 3)=P (1 2) (21 )=1 36+1 36=236asymp0056

P(soma 4)=P(1 3)(22)(31 )=1 36+1 36+1 36=336asymp0083

P(soma 5)=P(1 4)(23)(32)(41 )=1 36+1 36+1 36+1 36=436asymp01 1 1

P(soma 6)= =536asymp01 39

P(soma 7)= =636asymp01 67

P(soma 8)= =536asymp01 39

P(soma 9)= =436asymp01 1 1

P(soma 1 0)==336asymp0083

P(soma 1 1 )==236asymp0056

P(soma 1 2)==1 36asymp0028

Entatildeo

P( Joatildeo ganhar um ponto)=P(soma 2 ou soma 3 ou soma 4 ou soma 5) asymp0028+0056+0083+01 1 1 =0278

P(Rita ganhar um ponto)=P(soma 6 ou soma 7 ou soma 8) asymp01 39+01 67+01 39=0444

P(Miguel ganhar um ponto)=P(soma 9 ou soma 1 0 ou soma 1 1 ou soma 1 2) asymp01 1 1 +0083+0056+0028=0278

No caacutelculo das probabilidades anteriores fizemos uso das regras da probabilidade nomeadamente no caacutelculo da proba-bilidade da uniatildeo de acontecimentos disjuntos Repare-se que as estimativas obtidas anteriormente por simulaccedilatildeo satildeo

laquoboasraquo aproximaccedilotildees das probabilidades obtidas agora laquoteoricamenteraquo

Exemplo 4mdashCinco amigas encontraram-se e uma delas disse para as outras Aposto um almoccedilo em como 2 de noacutes tecircm o mesmo signo Algueacutem aceita esta aposta Qual seraacute a probabilidade de efectivamente pelo menos 2 delas terem o mesmo signo

Para estimar a probabilidade de pelo menos 2 das 5 amigas terem o mesmo sigo vamos utilizar o Excel para simular cada um dos 1 2 signos das amigas utilizando agora a funccedilatildeo Randbetween(1 1 2) que inserimos em 5 colunas cada co-luna representando uma amiga De seguida basta verificar quais as linhas que tecircm pelo menos 2 valores iguais (duas amigas com o mesmo signo) e assinalar esse facto como um sucesso que representamos por um 1 para no fim ser mais faacutecil contabilizar o total de sucessos

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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PROFMAT2011 ACTAS

Bibliografia

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia Introduccedilatildeo agrave Probabilidade e agrave Estatiacutestica Departamento de Estatiacutestica e Investigaccedilatildeo Operacional da FCUL Sociedade Portuguesa de Estatiacutestica 2005

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Continuaccedilatildeo da tabela

Continuaccedilatildeo da tabela

Evoluccedilatildeo da frequecircncia relativa do nuacutemero de sucessos com o nuacutemero de repeticcedilotildees

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PROFMAT2011 ACTAS

Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Loura Luiacutesa Modelos de Probabilidade Material de apoio agrave disciplina de MACShttpareadgidcmin-eduptmat-no-secdocprobabilidades_pagdoc ouhttpareadgidcmin-eduptmat-no-secrecursos_na_internethtm

Graccedila Martins Maria Eugeacutenia e Ponte Joatildeo Pedro Organizaccedilatildeo e Tratamento de Dados 201 0 mdash Novo Programa de Matemaacutetica do Ensino Baacutesico httpareadgidcmin-eduptmateriais_NPMEBorganizacao01brochurashtmwwwaleaptem particular httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_41html

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Da tabela e graacutefico anteriores concluiacutemos que uma estimativa para a probabilidade de pelo menos duas das cinco ami-gas terem o mesmo signo eacute de 62 (Assumindo que qualquer das amigas pode ter qualquer dos 1 2 signos e que haacute independecircncia mdash hipoacutetese que foi aliaacutes considerada para proceder agrave simulaccedilatildeo anterior o valor da probabilidade do acontecimento em causa eacute 061 8 [=1 minus(1 21 2)times(1 1 1 2)times(1 01 2)times (91 2)times(81 2)])

Exemplo 5mdashNum concurso eacute dada a escolher ao concorrente uma de 3 portas Atraacutes de uma delas estaacute um carro e atraacutes de cada uma das outras duas estaacute uma cabra O concorrente escolhe uma das portas (sem a abrir) e o apresentador que sabe exactamente qual eacute a porta que esconde o carro abre de entre as duas portas que restam uma onde estaacute uma cabra Nesse momento pergunta ao concorrente se deseja ou natildeo trocar a porta que escolheu pela outra porta que ain-da estaacute fechada Se fosse o concorrente o que eacute que faria Trocava de porta ou mantinha a porta escolhida Qual seraacute a estrateacutegia mais vantajosa para ganhar o carro

Vejamos como simular este problema Natildeo haacute duacutevida que ao escolher uma porta ao acaso a probabilidade de ela escon-der o carro eacute igual a 1 3 Para simular o decorrer de alguns destes concursos vamos utilizar a funccedilatildeo RAND e conside-rar que o concorrente escolheu a boa porta sempre que o valor do nuacutemero pseudo-aleatoacuterio obtido estiver entre 0 e 1 3 Nestes casos quando ele trocar de porta ficaraacute com a laquocabraraquo mas em compensaccedilatildeo ficaraacute com o carro em todos os outros casos Eis o resultado da simulaccedilatildeo ao fim de 500 e 1 000 repeticcedilotildees

Continuaccedilatildeo da tabela

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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Continuaccedilatildeo da tabela

Ao fim de 500 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para a probabilidade de ganhar trocando de porta aproximada-mente 65 No entanto se continuarmos o processo de simulaccedilatildeo ao fim de 1 000 repeticcedilotildees obteacutem-se como estimativa para essa probabilidade aproximadamente 68 Este valor eacute muito proacuteximo do valor exacto para a probabilidade de ganhar trocando de porta que eacute igual a 23 Uma simulaccedilatildeo desta situaccedilatildeo encontra-se em httpwwwaleapthtmlprobabilhtmlcap_04htmlcap4_1_72html

Como estimar aacutereas utilizando a simulaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo para estimar probabilidades permite-nos estimar aacutereas de algumas figuras uma vez que em determinadas circunstacircncias a probabilidade pode ser interpretada como uma aacuterea Por exemplo consideremos um quadrado de lado unitaacuterio e uma figura inscrita nesse quadrado

Como estimar a aacuterea dessa figura Um processo eacute simular pares de nuacutemeros pseudo-aleatoacuterios (entre 0 e 1 ) e calcular a frequecircncia relativa dos que caiem dentro da figura Esse valor daacute-nos uma estimativa da aacuterea da figura incluiacuteda no quadrado Vamos utilizar o processo descrito anteriormente para estimar a aacuterea do ciacuterculo de raio 05 unidades e comparar com a aacuterea calculada a partir da foacutermula 12058712058712058712058711137901113790Geramos 1 00 nuacutemeros e estimaacutemos a aacuterea da figura pela frequecircncia relativa do nuacutemero de pontos no interior do ciacuterculo

Neste caso foi mais faacutecil contar o nuacutemero de pontos fora do ciacuterculo (=22) pelo que uma estimativa para a aacuterea do ciacutercu-lo com raio 05 unidades eacute 078 unidades2 A aacuterea do ciacuterculo anterior eacute 31 41 6x052=07854 pelo que o valor obtido como estimativa eacute bastante razoaacutevel

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