Compensação de Dispersão em Sistemas de Fibra Ótica · iii Resumo Nesta dissertação, pretendemos compreender a dispersão temporal em sistemas de comunicação ótica e procuramos

Compensação de Dispersão

em Sistemas de Fibra Ótica

Luís Miguel Pinto Correia de Carvalho Marques

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes

Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Profª. Doutora Maria João Marques Martins

Outubro 2012

i

Agradecimentos

Gostaria, em primeiro lugar, de expressar o meu profundo agradecimento ao professor

António Topa não só pelos conhecimentos transmitidos mas também pelo apoio e

disponibilidade demonstrada para esclarecimento de dúvidas ao longo da elaboração desta

dissertação.

Gostaria de agradecer a toda a minha família e à minha namorada Nádia Candeias

pelo apoio prestado, mostrando-se sempre disponíveis para me auxiliar. Sem eles tudo isto

seria impossível, por isso dedico a todos eles este trabalho, em especial ao meu avô Joaquim

Correia, com quem tive o enorme prazer de partilhar 22 anos da minha vida.

Agradeço aos meus colegas de dissertação Daniel Anjos e Miguel Luís pela troca de

conhecimentos e ajuda disponibilizada ao longo deste trabalho.

Aos meus grandes amigos de infância e de curso pelos muitos e bons momentos

passados e incentivo dado ao longo deste percurso.

A todos, muito obrigado!

ii

iii

Resumo

Nesta dissertação, pretendemos compreender a dispersão temporal em sistemas de

comunicação ótica e procuramos resolvê-la.

Começamos por realizar uma breve introdução sobre a estrutura da fibra ótica, para de

seguida passarmos para a descrição da dispersão e dos seus constituintes para uma fibra

monomodal.

Procedemos à dedução da equação da propagação dos impulsos no regime linear e

verificamos a influência e as consequências dos efeitos dispersivos, como a dispersão de

velocidade de grupo (DVG) e a dispersão de ordem superior, para diversos impulsos.

Para combater os efeitos dispersivos que surgem na transmissão dos impulsos em

regime linear, estudamos dois esquemas de compensação: a compensação da dispersão

baseada em fibras de compensação de dispersão (DCFs) e em redes de Bragg (FBGs). Na

compensação de dispersão utilizando DCFs, simulamos, para diferentes tipos de impulsos, a

compensação da DVG e da dispersão de ordem superior separadamente. Para o estudo da

compensação baseada em FBGs, são descritos os fundamentos teóricos por detrás das redes

de Bragg, utilizando a teoria dos modos acoplados em fibra ótica. Demonstramos a grande

flexibilidade das redes de Bragg, o que as torna bastante úteis no desenvolvimento de novas

aplicações para as comunicações óticas, destacando as aplicações para filtragem e para

compensação de dispersão.

Por último, analisamos a influência dos efeitos não-lineares na propagação de impulsos

em sistemas de fibra ótica, que em circunstâncias especiais possibilita a propagação dos

solitões. Debruçamo-nos ainda sobre a gestão de dispersão mais utilizada em sistemas com

solitões, para minimizar o efeito do jitter.

Palavras-chave

Propagação de Impulsos em Fibras Óticas, Compensação de Dispersão, Fibra de

Compensação de Dispersão (DCFs), Redes de Bragg (FBGs), Auto-Modulação de Fase (AMF),

Solitões.

iv

v

Abstract

This thesis aims to understand the time dispersion in optical communication systems

and to find its solution.

We start by presenting a brief introduction regarding fiber characteristics; subsequently

we describe the dispersion and its constituents for a single-mode fiber.

We derive the pulse propagation equation, in the linear regime, and show the influence

and consequences of the dispersive effects, such as the group velocity dispersion and the

higher-order dispersion, in different pulses.

In order to avoid dispersive effects on the pulse transmission, in the linear regime, two

dispersion management schemes are presented: compensation scheme based in dispersion

compensating fibers (DCFs) and compensation dispersion based in fiber Bragg gratings

(FGBs). For the compensation by using DCFs, we simulate separately, for different types of

pulses, the GVD compensation and the higher-order dispersion. In the compensation based in

FBGs are described their theoretic concepts through the coupled-mode equations in optical

fiber. Throughout this dissertation is shown the flexibility of FBG, making it extremely useful in

the development of new applications for optical communications, underling applications for filter

and dispersion compensation.

Finally, the influence of the nonlinear effects in pulse propagation of optical fiber

systems is presented and analyzed. Under special circumstances it’s possible the propagation

of solitons. To conclude, we’ll discuss the most used and common dispersion management in

solitons systems, so that the jitter effect is minimised.

Keywords

Pulse Propagation in Optical Fibers, Dispersion-Compensation, Dispersion Compensating

Fibers (DCFs), Fiber Bragg Gratings (FBGs), Self-Phase Modulation (SMP), Solitons.

vi

vii

Índice

Agradecimentos ............................................................................................................................ i

Resumo ....................................................................................................................................... iii

Abstract ........................................................................................................................................ v

Listas de Figuras ......................................................................................................................... ix

Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xiii

Lista de Acrónimos ..................................................................................................................... xv

Lista de Símbolos ..................................................................................................................... xvii

Capítulo 1 - Introdução .................................................................................................................1

1.1. Enquadramento ............................................................................................................1

1.2. Objetivos .......................................................................................................................4

1.3. Estrutura da Dissertação ..............................................................................................4

1.4. Contribuições ................................................................................................................6

Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear ...........................................................7

2.1. Introdução .....................................................................................................................7

2.2. Estrutura da Fibra Ótica................................................................................................7

2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal .........................................................10

2.4. Equação de Propagação de Impulsos ........................................................................14

2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano ..............................................................21

2.6. Resultados Numéricos................................................................................................24

2.6.1. Impulso Exponencial ...........................................................................................24

2.6.2. Impulso Gaussiano .............................................................................................26

2.6.3. Impulso Super-Gaussiano ..................................................................................30

2.6.4. Impulso Secante Hiperbólica ..............................................................................34

2.7. Efeito da Dispersão de Ordem Superior .....................................................................35

2.7.1. Evolução do Impulso Gaussiano ........................................................................36

2.8. Conclusões .................................................................................................................40

Capítulo 3 – Compensação de Dispersão em Regime Linear ....................................................41

3.1. Introdução ..................................................................................................................41

3.2. Compensação de Dispersão Baseada em DCF .........................................................41

3.2.1. Compensação da DVG .......................................................................................42

3.2.1.1. Resultados Numéricos ................................................................................43

3.2.1.1.1. Impulso Exponencial ................................................................................43

viii

3.2.1.1.2. Impulso Gaussiano ..................................................................................44

3.2.1.1.3. Impulso Super-Gaussiano .......................................................................46

3.2.1.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...................................................................47

3.2.2. Compensação de Dispersão de Ordem Superior ...............................................48

3.2.2.1. Resultados numéricos ................................................................................49

3.2.2.1.1. Impulso Exponencial ................................................................................49

3.2.2.1.2. Impulso Gaussiano ..................................................................................50

3.2.2.1.3. Impulso Super-Gaussiano .......................................................................51

3.2.2.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...................................................................53

3.3. Compensação de Dispersão Baseada em Redes de Bragg .......................................54

3.3.1. Introdução ...........................................................................................................54

3.3.2. Princípio de Funcionamento das Redes de Bragg ..............................................54

3.3.3. Largura de Banda, Refletividade e Dispersão de uma FBG Uniforme ................56

3.3.4. Compensação de Dispersão Baseada em Redes Aperiódicas...........................61

3.4. Conclusões .................................................................................................................64

Capítulo 4 – Compensação de Dispersão em Regime Não-Linear ............................................67

4.1. Introdução ..................................................................................................................67

4.2. Efeito Não-Linear de Kerr numa Fibra Ótica ..............................................................67

4.3. Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear ..................................71

4.4. Sistemas com Solitões ...............................................................................................74

4.4.1. Efeito de Raman .................................................................................................77

4.4.2. Gestão de Dispersão ..........................................................................................79

4.5. Impulso Gaussiano .....................................................................................................81

4.6. Conclusões .................................................................................................................82

Capítulo 5 – Conclusões ............................................................................................................85

5.1. Perspetivas para Trabalhos Futuros ...........................................................................88

Anexo A - Fórmula Geral do Alargamento dos Impulsos em Fibras Óticas ...............................89

A.1. Dedução da Equação Geral de Propagação de Impulsos em Fibra Ótica no Regime

Linear .....................................................................................................................................89

A.2. Alargamento de um Impulso Gaussiano com Efeitos Dispersivos de Ordem Superior

...............................................................................................................................................93

ix

Listas de Figuras

Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]) ........................................................7

Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]) ...................................8

Figura 2.3 – Variação do índice de refração e o índice de grupo em função do

comprimento de onda [2] ........................................................................................................11

Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para

uma fibra ótica monomodal convencional, em função de ........................................................12

Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal

convencional (SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função

de ..........................................................................................................................................13

Figura 2.6 – Evolução da largura do impulso Gaussiano com para parâmetro chirp

, e ................................................................................................................22

Figura 2.7 – Influência do parâmetro chirp no produto para coeficiente de alargamento

, e , com e ............................................................24

Figura 2.8 – Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra (à esquerda); evolução do

impulso exponencial ao longo da fibra (à direita) .......................................................................25

Figura 2.9 – Evolução do espetro do impulso exponencial ao longo da fibra .............................25

Figura 2.10 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à

esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) .................26

Figura 2.11 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo

da fibra .......................................................................................................................................27


esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) ................28

Figura 2.13 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo

da fibra .......................................................................................................................................28


esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direira) ..............29

Figura 2.15 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao

longo da fibra..............................................................................................................................29

Figura 2.16 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp

(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra

para (à direita) ..................................................................................................................30

Figura 2.17 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao

longo da fibra..............................................................................................................................31

x


(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra

para (à direita) ..................................................................................................................32


longo da fibra..............................................................................................................................32


(à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo

da fibra para (à direita) ..................................................................................................33

Figura 2.21 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp

ao longo da fibra.........................................................................................................................33

Figura 2.22 – Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp

(à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra para ao longo

da fibra para (à direita) .....................................................................................................34

Figura 2.23 – Evolução do espetro do impulso secante hiperbólica para parâmetro chirp

ao longo da fibra.........................................................................................................................35

Figura 2.24 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: ,

e .................................................................................................................................37

Figura 2.25 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: ,

e

........................................................................................................................37

Figura 2.26 – Impulso Gaussiano com largura em para três diferentes casos:

impulso inicial, e ................................................................................................38

Figura 2.27 – Evolução Impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para

parâmetro chirp e ..................................................................................................38

Figura 2.28 – Deterioração do impulso Gaussiano com largura , considerando ,

para valores do parâmetro chirp , e ...............................................................39

Figura 2.29 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para

parâmetro chirp e ..................................................................................................39

Figura 3.1 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada a DCF e à

saída da DCF, para compensação da DVG ...............................................................................44

Figura 3.2 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do

impulso exponencial na DCF (à direira), para compensação da DVG .......................................44

Figura 3.3 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ...................................45

Figura 3.4 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);

evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG ...45

Figura 3.5 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e

à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ................................46

xi

Figura 3.6 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);

evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da

DVG ...........................................................................................................................................46

Figura 3.7 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF

e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG .............................47

Figura 3.8 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para parâmetro chirp

(à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita),

para compensação da DVG .......................................................................................................48

Figura 3.9 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF, para compensação da dispersão de ordem superior .........................................49


impulso exponencial na DCF (à direira) , para compensação da dispersão de ordem superior 50

Figura 3.11 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior

...................................................................................................................................................51

Figura 3.12 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda);

evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão

de ordem superior ......................................................................................................................51

Figura 3.13 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF

e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem

superior ......................................................................................................................................52



dispersão de ordem superior ......................................................................................................52

Figura 3.15 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da

DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem

superior ......................................................................................................................................53

Figura 3.16 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à

esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica o na DCF para (à direita), na

compensação da dispersão de ordem superior .........................................................................53

Figura 3.17 – Variação do parâmetro com .........................................................................57

Figura 3.18 – Espetros da refletividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita)

em função de para e ..............................................................................58

Figura 3.19 – Dependência da refletividade máxima com o comprimento da FBG

uniforme, em , para valores de coeficiente de acoplamento , e

................................................................................................................................58

Figura 3.20 – Espetros da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à

direita) em função de para e ..................................................................59

xii

Figura 3.21 – Variação da fase do coeficiente de reflexão em função de para e

.....................................................................................................................................60

Figura 3.22 – Atraso de grupo (à esquerda) e dispersão induzida (à direita) numa FBG

uniforme com e , para e ......................................60

Figura 3.23 – Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para ,

e , em função do comprimento da rede , em ......................61

Figura 3.24 – Compensação da dispersão utilizando uma CFBG: Perfil do período espacial ( )

ao longo do comprimento da CFBG (à esquerda); reflexão das baixas e altas frequências em

diferentes pontos da rede CFBG (à direita) (adaptado de [1])....................................................62

Figura 3.25 – Reflexão e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento com

parâmetro de aperiodicidade total de , para DVG normal (obtido através do programa

OptiGrating 4) .............................................................................................................................62

Figura 4.1 – Evolução do solitão fundamental............................................................................76

Figura 4.2 – Evolução do solitão de terceira ordem ...................................................................76

Figura 4.3 – Evolução do solitão fundamental com coeficiente do efeito de Raman ...78

Figura 4.4 – Evolução do solitão de segunda ordem com coeficiente do efeito de Raman

......................................................................................................................................78

Figura 4.5 – Evolução do solitão fundamental para um sistema com gestão de dispersão .......80

Figura 4.6 – Mapa de dispersão, para e [6] .........................................................80

Figura 4.7 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra em regime não-linear para

distâncias (à esquerda) e (à direita) ......................................................................81

Figura 4.8 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra em regime não-linear para

distâncias (à esquerda) e (à direita) ......................................................................81

xiii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Características do impulso exponencial e do troço de fibra ótica ........................25

Tabela 2.2 – Características do impulso Gaussiano e do troço de fibra ótica ..........................26

Tabela 2.3 – Características do impulso super-Gaussiano e do troço de fibra ótica ................30

Tabela 2.4 – Características do impulso secante hiperbólica e do troço de fibra óptica ..........34

Tabela 3.1 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para

compensação da DVG ..............................................................................................................43

Tabela 3.2 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para


Tabela 3.3 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para

compensação da DVG.. .............................................................................................................46

Tabela 3.4 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para


Tabela 3.5 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para

compensação da dispersão de ordem superior ........................................................................49

Tabela 3.6 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para


Tabela 3.7 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para

compensação da dispersão de ordem superior. ........................................................................55

Tabela 3.8 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para


xiv

xv

Lista de Acrónimos

AMF Auto-modulação de fase (Self-phase modulation)

CFBG Chirped fiber Bragg grating

DCF Fibras de compensação de dispersão (Dispersion compensating fiber)

DSF Fibras de dispersão modificada (Dispersion shifted fibers)

DVG Dispersão de velocidade de grupo (Group velocity dispersion)

EDFA Erbium doped fiber amplifier

FBG Fiber Bragg grating

NLS Nonlinear Schrödinger equation

RZ Return to zero

SMF Fibra monomodal (Single-mode fiber)

SSFM Split-step Fourier method

WDM Wavelength division multiplexing

xvi

xvii

Lista de Símbolos

Coeficiente de atenuação de potência

Constante de propagação longitudinal

Constante de propagação longitudinal perturbada

Constante de propagação longitudinal à frequência angular da portadora

Inverso da velocidade de grupo

Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo

Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo de uma FBG

Dispersão da velocidade de grupo de uma fibra SMF

Dispersão da velocidade de grupo de uma DCF

Coeficiente de dispersão de ordem superior

Dispersão de ordem superior de uma fibra SMF

Dispersão de ordem superior de uma DCF

Constante de propagação longitudinal para o comprimento de onda de Bragg

Derivada da constante de propagação longitudinal em ordem a

Coeficiente não-linear

Fator de dessintonia do comprimento de onda de Bragg

Constante dielétrica

Constante dielétrica perturbada

Coordenada espacial de propagação normalizada

Período de solitão em unidades normalizadas

Coeficiente de alargamento

( ) Efeito chirp num impulso em regime linear

Ângulo de aceitação

Ângulo incidente na fibra ótica

Ângulo difratado na fibra ótica

( ) Derivada de em ordem a

Termo referente à dispersão de ordem superior

Coeficiente de acoplamento

Comprimento de onda

Comprimento de onda central da banda

Comprimento de onda de Bragg

Comprimento de onda para o qual a dispersão se anula

Velocidade de grupo

Frequência normalizada

( ) Coeficiente de dispersão normalizado

Largura RMS de um impulso em regime linear ao longo da fibra

Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra

xviii

Coeficiente temporal normalizado

Largura mínima do impulso Gaussiano

Atraso de grupo

Largura temporal característica do impulso

Coeficiente normalizado referente ao efeito de Raman

Largura FWHM de um solitão

Ângulo crítico

Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG

Fase não-linear

Fase não-linear no final da ligação

Frequência angular

Frequência angular da portadora

Desvio de frequência

Coeficiente de atenuação normalizado

Coeficiente de confinamento de uma rede de Bragg

Contraste dielétrico

Perturbação de

Perturbação de

Perturbação de

Largura espetral do impulso

Intervalos de comprimentos de onda emitidos pela fonte ótica

Largura de banda de uma CFBG

Alargamento temporal do impulso

Laplaciano

Período da FBG

Período da rede numa das extremidades da CFBG

Desvio de frequência angular em relação à portadora

Desvio de frequência introduzido pelo efeito de Raman

Raio do núcleo da fibra ótica

Envolvente do campo elétrico

Área efetiva

Função de Airy

Amplitude do impulso

Amplitude da onda Backward de uma FBG

Transformada de Fourier de

Derivada em ordem a de

Índice de refração modal normalizado

Variação longitudinal do campo elétrico


xix

Velocidade da luz no vazio

Desvio dinâmico de frequência ou simplesmente chirp

Coeficiente de aperiodicidade de uma CFBG

Dispersão

Dispersão de um segmento de fibra SMF

Dispersão de um segmento de fibra DCF

Débito binário

Débito binário máximo que cumpre o critério de interferência inter-simbólica

Coeficiente de dispersão da CFBG

Dispersão material

Dispersão do guia de onda

Dispersão média

Vetor campo elétrico

Amplitude do campo elétrico


Frequência

Função modal do campo elétrico

Constante de propagação transversal no núcleo

( ) Função de Heaviside

( ) Função de transferência da fibra ótica

Unidade imaginária

Intensidade ótica

Função de Bessel de 1ª espécie

Constante de propagação em espaço livre

Função de Bessel modificada de 2ª espécie

Comprimento de fibra ótica

Comprimento dispersivo associado à dispersão de velocidade de grupo

Comprimento dispersivo associado à dispersão de ordem superior

Comprimento efetivo

Comprimento de uma FBG

Comprimento não-linear

Comprimento de um segmento de fibra SMF

Comprimento de um segmento de fibra DCF

Ordem da difração de Bragg

Dispersão material

Índice de refração

Ordem de um solitão

Índice de modulação de profundidade

Índice de refração do meio exterior à fibra ótica

xx

Índice de refração do núcleo da fibra ótica

Índice de refração da bainha da fibra ótica

Coeficiente do índice não-linear

Número de amplificadores na ligação

Índice de grupo da bainha da fibra ótica

Índice de refração modal

Índice de grupo

Abertura numérica

Potência transportada na fibra

Potência de pico do impulso incidente

Potência máxima do impulso à entrada da fibra

Potência do solitão

Normalização da envolvente segundo perspectiva não-linear

Constante de propagação longitudinal das ondas que se propagam no

sentido positivo e no sentido contrapropagante Separação entre impulsos vizinhos em unidades normalizadas

Coordenada transversal em coordenadas cilíndricas

Parte linear da equação da propagação de impulsos em regime não-linear

Refletividade máxima de uma FBG

Coeficiente de reflexão de uma FBG

( ) Espetro de um impulso em regime linear

Declive da dispersão

Declive de dispersão para ( )

Derivada de ( ) em ordem a

Tempo

Coeficiente de transmissão de uma FBG

Coeficiente temporal normalizado

Período temporal atribuído a um bit

Desvio de frequência devido ao efeito de Raman

⟨ ⟩ Momento de ordem

Constante de propagação transversal no núcleo

( ) Amplitude normalizada de

Envolvente normalizada de

Frequência normalizada

Constante de atenuação da bainha

Admitância

Período de solitão

Coordenadas cartezianas

1

Capítulo 1 - Introdução

1.1. Enquadramento

Desde os primórdios da existência do homem, sempre existiu a necessidade de

estabelecimento de comunicação a longas distâncias. O crescente número de serviços de

telecomunicações disponíveis e a sua massificação têm exercido, nas últimas décadas, uma

enorme pressão no sentido de aumentar a capacidade das redes de telecomunicações [9].

Com a invenção do telégrafo por Samuel Morse, em 1838, surgiu uma nova época das

comunicações, a era das comunicações elétricas. Anos mais tarde, grande parte do espetro

eletromagnético era utilizado para transmissão de informação. Deste modo, a tendência nos

sistemas de comunicação elétrica de utilizar frequências cada vez mais altas, as quais

oferecem aumentos de largura de banda ou de capacidade de informação, levou ao

aparecimento de novas aplicações como o rádio, a televisão, o radar, os feixes Hertzianos e

mais recentemente os telemóveis [8]. Nos meados do século XX, deu-se o aparecimento do

cabo axial, aumentando-se a capacidade dos sistemas na ordem dos . Contudo, estes

cabos apresentavam grandes limitações, principalmente as perdas, tornando-se mais graves

para frequências acima de 10 [5].

Começaram a surgir múltiplos serviços que utilizavam portadora de frequência até

dezenas de , o que provocou a exaustão do espetro eletromagnético. Tal situação levou à

procura de outras regiões do espetro eletromagnético com boas características de transmissão

[8]. Em 1951, Narinder Kapany, em parceria com Harold Hopkins, criou as primeiras fibras de

vidro para guiar luz e imagens. Este inovador sistema de transmissão de luz e de imagens

baseava-se nos estudos de John Tyndall, que utilizou um recipiente cheio de água com um

orifício para comprovar que a luz se propagava ao longo do recipiente e saía com a água pelo

orifício.

Em 16 de Maio de 1960, Theodore Maiman realizou a primeira demonstração do

funcionamento de um LASER (light amplification by the stimulated emission of radiation),

revolucionando a indústria das telecomunicações, impulsionando as comunicações óticas [3]. O

espetro ótico apresenta boas características de transmissão, todavia, durante os anos 60, as

primeiras fibras óticas exibiam perdas superiores a 1000 , tornando a sua utilização

impraticável em telecomunicações. Em Julho de 1966, Charles Kao e George Hockham

publicaram uma proposta de sistemas de comunicação ótica baseados em fibras óticas com

perdas inferiores a 20 [3]. Só mais tarde, em 1970, Robert Manuer, Donald Keck e Peter

Schultz, ao serviço da Corning Glass Works, produziram uma fibra ótica monomodal com uma

atenuação de 16 no comprimento de onda de 633 [5].

2

A primeira geração comercializada, baseada em fibras óticas, em 1980, utilizava fibras

multimodais operando na primeira janela, compreendida entre 0.8 e 0.9 , com um débito

binário de 45 e distância entre repetidores limitada a 10 [3]. A primeira geração é

caracterizada pela utilização de um fotodíodo de silício na receção do sinal ótico desde o

emissor até ao recetor [9].

Em 1987, apareceu a segunda geração comercial, operando na segunda janela,

compreendida entre 1.26 e 1.36 , onde as perdas da fibra eram na ordem de 1 .

Com o surgimento de lasers semicondutores e da fibra monomodal, que eliminou o efeito da

dispersão intermodal pois permitiu a propagação de um único modo, conseguiu-se aumentar o

débito binário para 1.7 e repetidores espaçados de cerca de 50 . O primeiro cabo

submarino com fibra ótica surgiu em 1988, e utilizava fibra monomodal, lasers semicondutores

multimodais a operar na terceira janela, compreendida entre 1.5 e 1.6 , e com

repetidores espaçados de 70 . Este sistema permitia um ritmo binário de 0.28 Gb/s, sendo

designado por TAT-8 (Transatlatic Telecommunication Cable). Um ano mais tarde, foi instalado

o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), sistema com características semelhantes ao TAT-8 [3].

Com o avanço da qualidade dos vidros e dos processos de fabrico das fibras óticas,

desde 1979, conseguiu-se atingir um mínimo absoluto de atenuação na terceira janela, cerca

de 0.2 em 1.55 . No entanto, continuavam a existir problemas relacionados com o

facto da dispersão típica nesta janela ser ainda considerável, cerca de 16 ( ) [7].

Surge, em 1990, a terceira geração comercial de sistemas de comunicação ótica (TAT-9, TPC-

4 e TAT-10/11) que recorre a fibras de dispersão modificada com lasers semicondutores

monomodais, operando na terceira janela, alcançando débitos binários até 10 . Contudo,

são utilizados regeneradores elétricos para aumentar a distância de transmissão dos sistemas

óticos, conseguindo-se espaçamentos típicos de 60-70 . Neste sistema com regeneradores

elétricos o sinal ótico é detetado e convertido num sinal elétrico, para de seguida fazer

regeneração da amplitude, regeneração da forma e regeneração temporal. Posteriormente, o

sinal é convertido para o domínio ótico. Esta é a maior limitação, tornando estes sistemas muito

complexos. O aparecimento dos amplificadores óticos, em que se destacam as fibras

amplificadores dopadas com érbio ou EDFAs (erbium-doped fiber amplifiers), permitiu

amplificar diretamente os sinais no domínio ótico sem necessidade de eletrónica adicional. Esta

inovação conferiu maior simplicidade e transparência aos sistemas de comunicação ótica,

provocando uma alteração radical. Os EDFAs, comercializados desde 1990, operam na terceira

janela, com uma largura de banda considerável e utilizam lasers semicondutores para o

bombeamento, permitindo aumentar o espaçamento entre amplificadores para 60-100 [3].

A quarta geração de sistemas de comunicação ótica, sendo a primeira geração

completamente fotónica, combina o uso de amplificadores óticos, para aumentar o

espaçamento entre amplificadores, e a utilização da técnica multiplexagem no comprimento de

onda ou WDM (wavelength-division multiplexing) para aumentar o débito binário. Em 1996,

3

entram em funcionamento os primeiros cabos submarinos desta geração, o TPC-5 e os TAT-

12/13, que operam em 1.55 , com espaçamento de apenas de 50 mas com débitos

binários de 5.3 . Mais tarde, em 2000, surge o TPC-6 oferecendo um ritmo binário de 100

[7].

Atualmente, os sistemas são ainda de quarta geração. Resolvidos os problemas das

perdas através da utilização das fibras amplificadoras, continuam a subsistir os problemas da

dispersão e dos efeitos não-lineares da fibra. Espera-se, com grande expectativa, a quinta

geração, existindo algumas abordagens possíveis que têm vindo a ser testadas com o objetivo

de resolver o problema da dispersão [3]:

O upgrading de sistemas previamente instalados, através de esquemas de

compensação de dispersão, como por exemplo a inclusão de troços de fibra com

dispersão negativa (DCF – Dispersion Compensating Fiber) ou de redes de Bragg

(FBG – Fiber Bragg Gratings);

Alteração do modo de projetar sistemas lineares convencionais com recurso a

gestão de dispersão;

Novos sistemas com solitões (ou sistemas RZ não-lineares), que tiram partido da

não linearidade da fibra ótica, revolucionando a forma de projetar sistemas de

comunicação ótica.

Para sistemas de comunicação ótica de longas distâncias e elevados ritmos de

transmissão os efeitos não-lineares podem assumir um papel importante na degradação do

desempenho dos sistemas. O sistema em solitões permite compensar simultaneamente os

efeitos não-lineares e a dispersão. Esta manifestação foi observada pela primeira vez em 1834

por John Scott Russel e verificou que uma onda de um canal continuou o seu movimento ao

longo do canal sem qualquer alteração de forma ou diminuição da velocidade [6-9]. Em 1895,

Kortweg e de Vries obtiveram uma equação que descrevia este fenómeno, sendo esta onda

solução de uma equação diferencial não-linear conhecida como . Só em 1973, é que o

solitão foi introduzido como onda eletromagnética capaz de se propagar numa fibra ótica de

acordo com a equação não-linear de Schrödinger, em que a envolvente do campo elétrico tem

a forma secante hiperbólica [6-9]. Atualmente, já foram obtidos resultados em sistemas com

solitões, com ritmos de transmissão elevados na ordem dos . Estes sistemas

conjuntamente com a técnica WDM apresentam grandes potencialidades, sendo os principais

candidatos a serem comercializados num futuro próximo. No entanto, a propagação dos

solitões não é imune às perdas nas fibras, existindo, atualmente, diversas investigações nesta

área da propagação com o intuito de minimizar o jitter nos sistemas [9].

Na sociedade contemporânea, o desejo constante de nos mantermos informados e em

comunicação uns com os outros exige sistemas de comunicação que assegurem estas

necessidades de forma eficiente e segura. Os sistemas de comunicação ótica aparecem então

como a grande vanguarda das telecomunicações, cobrindo essas necessidades da sociedade,

4

com elevados ritmos de transmissão. Existe, contudo, um atraso da fotónica na substituição

eficaz da eletrónica, constituindo um dos grandes obstáculos às redes de distribuição FTTH

(fiber to the home). Deste modo, a comutação fotónica deverá constituir a próxima revolução

tecnológica para ser possível conceber redes digitais completamente fotónicas [3].

1.2. Objetivos

Neste trabalho é abordada a influência dos efeitos dispersivos e não-lineares na

propagação de impulsos, em regime linear e não-linear, em sistemas de fibra ótica. São

estudados vários dispositivos e técnicas de compensação de dispersão utilizados nos sistemas

de comunicação ótica atuais, para resolver os problemas que surgem na propagação de

impulsos.

Com o intuito de analisar a dispersão temporal em sistemas de fibra ótica, começamos

por descrever a estrutura da fibra ótica, para de seguida caraterizar a dispersão total em termos

da dispersão de material e da dispersão de guia de onda, verificando a influência dos vários

parâmetros caraterísticos da fibra ótica na dispersão. Pretende-se determinar a equação para a

propagação de impulsos em fibras óticas em regime linear e de seguida, com base nessa

equação, efetuar várias simulações para diferentes impulsos de entrada para observar os

principais problemas inerentes à propagação de impulsos.

Em seguida, conhecidos os efeitos da dispersão, estudamos dois mecanismos para

compensar estes efeitos, em regime linear: compensação de dispersão baseada em DCFs e

em FBGs. Descrevemos e analisamos o funcionamento de cada esquema de compensação,

salientando as potencialidades da cada dispositivo.

No último capítulo, descrevemos a influência dos efeitos não-lineares na propagação

de impulsos e estudamos um caso particular que ocorre no regime não-linear de modo a

investigar a sua capacidade de resposta para o problema da dispersão.

1.3. Estrutura da Dissertação

Com vista a alcançar os objetivos que indicámos anteriormente, a presente dissertação

encontra-se estruturada da seguinte forma:

Capítulo 1 – Neste capítulo, procedemos à apresentação sucinta do desenvolvimento

das comunicações. São explicitados os principais objetivos da dissertação, a sua estrutura e as

principais contribuições.

Capítulo 2 – No segundo capítulo, começamos por descrever, brevemente, a estrutura

das fibras óticas e caracterizamos a propagação em fibras óticas, inicialmente numa perspetiva

5

da teoria ótica geométrica, sendo mais tarde numa perspetiva com base na teoria de

propagação de ondas eletromagnéticas. Introduzem-se os mecanismos de dispersão presentes

na fibra ótica, caracterizando a dispersão e os seus componentes numa fibra monomodal. É

obtida a equação que descreve o comportamento dos impulsos que se propagam ao longo de

uma fibra ótica monomodal, em regime linear. São analisados os efeitos produzidos pela DVG,

nomeadamente as consequências na largura temporal e na amplitude do impulso.

Contabilizamos esse alargamento para um impulso Gaussiano, bem como a influência no

produto . Através da equação de propagação de impulsos, em regime linear, realizam-se

diversas simulações para diferentes impulsos, efetuando a posteriori uma análise dessas

mesmas simulações. Por fim, examinamos a consequência dos efeitos da dispersão de ordem

superior na propagação de impulsos Gaussiano numa fibra ótica.

Capítulo 3 – Para minimizar os efeitos introduzidos pela dispersão, em regime linear,

apresentamos dois esquemas de gestão de dispersão: a técnica baseada em DCFs e a técnica

baseada em redes de Bragg, descrevendo as grandes potencialidades destes dois dispositivos

em sistemas de comunicação ótica. Na compensação de dispersão baseada em DCFs,

estudamos a evolução de vários impulsos após a utilização da DCF. Na compensação de

dispersão baseada em FBGs, descrevemos a teoria das redes, demonstrando as principais

características da FBG, nomeadamente a existência de uma banda proibida. Estudamos o

coeficiente de refletividade, transmissividade, dispersão e largura de banda das FBGs

uniformes. Por fim, analisamos a aplicação deste dispositivo para compensação da DVG,

definindo as principais características.

Capítulo 4 – Este capítulo baseia-se no estudo de impulsos do tipo solitão em fibras

óticas. Começamos por estudar os efeitos não-lineares, analisando as propriedades não-

lineares, nomeadamente os efeitos não-lineares de Kerr. Deduzimos a expressão da

propagação dos impulsos numa fibra ótica, em regime não-linerar, e efetuamos uma

caracterização com base nessa mesma expressão. Verifica-se que na presença de

circunstâncias especiais é exequível a propagação de solitões. Abordamos as principais

propriedades dos solitões óticos, destacando em especial a manutenção da sua forma na

ausência de perdas. Na presença de perdas, examinamos o efeito de dispersão de ordem

superior mais significativo, o efeito de Raman, apresentando posteriormente um esquema de

gestão de dispersão para minimizar o jitter causado por este efeito de ordem superior. Para

finalizar, analisamos a propagação do impulso Gaussiano no regime não-linear.

Capítulo 5 – Neste último capítulo, são expostas as considerações finais sobre o

trabalho desenvolvido nesta dissertação e é indicado um conjunto de ideias para explorar em

futuros trabalhos.

Anexo A – Neste anexo é apresentada a dedução da fórmula geral da propagação dos

impulsos em sistemas com fibras óticas, em regime linear. Sendo depois esta fórmula aplicada

a um impulso Gaussiano.

6

1.4. Contribuições

As principais contribuições do trabalho desenvolvido nesta dissertação, na área das

comunicações óticas, são as seguintes:

Análise da propagação de impulsos em regime linear: estudo do impacto da

dispersão de ordem superior na propagação de impulsos em sistemas de fibra

ótica;

Compensação de dispersão em regime linear: análise de técnicas de compensação

de dispersão em regime linear, recorrendo ao auxílio de DCFs e de FBGs;

Compensação de dispersão em regime não-linear: estudo sobre o esquema de

gestão de dispersão para sistema em solitões.

7

Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear

2.1. Introdução

Um dos principais fenómenos que limita os sistemas de comunicação ótica é a

dispersão temporal. O primeiro passo deste trabalho é compreender e quantificar este

fenómeno, que ocorre em sistemas de fibra ótica, para que seja depois possível reduzir o seu

efeito.

2.2. Estrutura da Fibra Ótica

Uma fibra ótica é um guia de ondas dielétrico de forma cilíndrica, constituído por dois

materiais dielétricos transparentes, feitos normalmente em vidro e/ou plástico, em que cada um

tem índice de refração diferente [8]. Como ilustra a figura 2.1, os dois materiais são

organizados de forma concêntrica, existindo uma região central denominada por núcleo, por

onde passa a luz, e em sua volta existe a bainha, sendo o índice de refração do núcleo

superior ao índice de refração da bainha , possibilitando a propagação da luz na fibra [8].

Para maior proteção da fibra esta é revestida por um material plástico, para proteger de

eventuais danos.

Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]).

As fibras óticas permitem a transmissão de sinais, com baixas perdas, que pode ser

explicada com base na teoria ótica geométrica, sendo esta descrição válida quando o raio do

núcleo é muito maior que o comprimento de onda de luz, situação frequente nas fibras

multimodo. Nesta teoria ótica geométrica, a luz pode ser considerada como raios que são

refletidos e refratados na fronteira de separação entre o núcleo e a bainha. Os raios que

incidem na fronteira de separação núcleo-bainha da fibra ótica sofrem o fenómeno de reflexão

interna total quando os ângulos que intersetam a interface núcleo-bainha, medidos

relativamente à perpendicular, são superiores ao ângulo crítico ( ) ficando os

raios confinados ao núcleo da fibra. As sucessivas reflexões são asseguradas devido à

diferença de índices de refração, com , fazendo com que os ângulos dos raios, que

8

incidem nessa interface, sejam superiores ao ângulo crítico, permitindo a propagação dos raios

na fibra. Os restantes raios, com ângulos inferiores ao ângulo crítico, refratam-se para a bainha

sendo absorvidos por esta e naturalmente perdidos. Por sua vez, a existência do ângulo crítico

conduz à existência de um ângulo máximo possível para o qual o raio incidente na entrada da

fibra ótica seja transmitido por esta. Este ângulo é habitualmente designado por ângulo de

aceitação, , e define um cone de aceitação de luz à entrada da fibra ótica [8], para o qual

somente os raios de luz que incidem na interface ar-núcleo com um ângulo pertencente a esse

cone de aceitação sofrerão reflexão interna total na interface núcleo-bainha, ver figura 2.2. Este

ângulo de aceitação pode relacionar-se com a abertura numérica ( ), que calcula a

capacidade da fibra ótica para captar luz, através da seguinte expressão [8]

( ) ( ) √

(2.1)

em que é o índice de refração do meio exterior à fibra, geralmente o ar. Usualmente, como a

diferença entre os índices de refração do núcleo, , e da bainha, , é muito pequena, a

abertura numérica pode ser aproximada, se , por

√ (2.2)

onde representa o contraste dielétrico, dado por

(2.3)

Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]).

Verificamos que quanto mais elevado for o valor de mais fácil será o acoplamento

entre a fonte ótica e a fibra. Contudo, nas fibras óticas com valor elevado de maior será o

valor da dispersão intermodal, dando origem à distorção do sinal transmitido e conduzindo a

uma redução da largura de banda na fibra ótica.

Porém, a teoria ótica geométrica não descreve com exatidão a propagação da potência

ótica ao longo da fibra, perdendo a sua validade quando o raio do núcleo da fibra ótica

apresenta dimensões comparáveis ao comprimento de onda do sinal, como acontece para as

fibras monomodais. É necessário recorrer à teoria de propagação de ondas eletromagnéticas

9

de modo a descrever rigorosamente a propagação da luz numa fibra ótica [7]. De acordo com

esta teoria, a propagação da luz ao longo de um guia é descrita em termos de um conjunto de

ondas eletromagnéticas guiadas, denominadas de modos [10]. Os tipos de modos que se

propagam numa fibra ótica são determinados a partir das equações de Maxwell, sendo a

dedução dos modos de propagação dependente das características da fibra ótica. Do

desenvolvimento descrito na referência [3] verificamos que cada modo de propagação é

caracterizado por uma configuração de campo elétrico e magnético que se repete ao longo do

guia, e que geralmente uma fibra ótica suporta modos híbridos ( ou ), mas num caso

particular, quando não há variação azimutal, os modos híbridos degeneram nos modos

transversais elétricos ( ) ou nos modos transversais magnéticos ( ). Existem infinitos

modos guiados, que são excitados a partir de diferentes frequências de corte, havendo apenas

um único modo que admite uma frequência normalizada de corte nula, designado por modo

fundamental . Para qualificar o comportamento das fibras óticas quanto ao número de

modos, é importante definir a frequência normalizada [10]:

√

(

) √ (2.4)

onde é o comprimento de onda de trabalho.

Uma fibra que suporta vários modos é designada por fibra multimodal, enquanto uma

fibra que suporta um único modo designa-se por fibra monomodal. Para fibras óticas de

pequeno contraste dielétrico, os modos que se propagam são aproximadamente linearmente

polarizados, dando origem aos modos [3]. A fibra multimodal tem menores perdas de

acoplamento que a fibra monomodal, uma vez que o seu núcleo é bem mais largo, contudo,

como suporta diversos modos e estes têm diferentes tempos de propagação tais diferenças

dão origem a dispersão intermodal. Este fenómeno contribui para uma distorção do sinal e uma

redução substancial da largura de banda na fibra, não sendo admissível nas telecomunicações

atuais. Por esta razão o regime multimodal é abandonado. A fibra monomodal, como suporta

um único modo, não apresenta dispersão intermodal, sendo desta forma muito aliciante a sua

utilização. Assim, para projetar uma fibra que funcione em regime monomodal, para o

comprimento de onda de trabalho, os modos de ordem superior devem estar abaixo do corte,

conduzindo a um valor para o raio do núcleo de tal forma a que frequência normalizada seja

, valor que corresponde à frequência normalizada que o modo seguinte ao modo

fundamental é excitado [10]. Resolvendo a equação (2.4) o valor máximo do raio do núcleo é

expresso do seguinte modo:

√ (2.5)

Porém, a fibra monomodal apresenta também limitações como a atenuação, a dispersão

intramodal e os efeitos não-lineares da fibra ótica. A atenuação leva à diminuição da potência

do sinal à medida que este se propaga ao longo da fibra, dependendo do comprimento de onda

10

do sinal injetado na fibra. Com o aparecimento dos amplificadores óticos, a atenuação deixou

de constituir o maior problema dos sistemas de comunicação em fibra ótica. As principais

limitações residem, assim, na dispersão intramodal e nos efeitos não-lineares da fibra ótica,

nos quais, ao longo deste trabalho, nos iremos focalizar.

2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal

Um dos principais fatores que caracteriza o desempenho da transmissão por fibra ótica

é a dispersão. A dispersão é responsável pelo alargamento dos sinais óticos que são

transmitidos através da fibra ótica, e se os sinais viajarem uma grande distância é possível que

exista interferência entre os diversos sinais, tornando a perceção dos sinais recebidos mais

difícil, o que conduz a perdas de informação. A este fenómeno é comum designar-se por

interferência inter-simbólica. Em regime monomodal elimina-se a principal causa de dispersão

em fibras óticas, a dispersão intermodal. Contudo, continua a subsistir uma fonte de dispersão

intitulada dispersão cromática, intramodal ou usualmente dispersão de velocidade de grupo

(DVG). Apesar de mais fraca que a dispersão intermodal, a DVG continua a causar grandes

problemas nos sistemas de comunicação ótica. Esta dispersão resulta do facto dos diferentes

componentes espetrais do sinal, que são transmitidos na fibra ótica, se propagarem com

velocidades de grupo diferentes devido à variação do índice de refração do núcleo e da bainha

com a frequência [10].

Considere-se uma fibra ótica monomodal de comprimento , com índice de refração

dado por

{

(2.6)

sendo o raio do núcleo.

Uma específica componente espetral de frequência angular demora a chegar à

extremidade da fibra ótica , onde é a velocidade de grupo. Cada componente é

submetida a um atraso temporal, denominado por atraso de grupo, que por unidade de

comprimento é dado por

( )

(2.7)

em que é a constante de propagação. Nas fibras óticas monomodais confirmou-se que, para

além da potência ótica do sinal ser transmitida pelo núcleo, existe uma fração da potência que

também é transmitida na bainha. Isto afeta o valor da constante da propagação, que pode

variar no intervalo , sendo a constante de propagação no vazio. É possível

definir o índice de refração modal , o qual se infere que é limitado pelos índices de refração do

11

núcleo e da bainha, isto é [5]. Deste modo, a constante de propagação pode ser

escrita por

(2.8)

Aplicando a equação (2.8) na equação (2.7) demonstramos que

(2.9)

onde é o índice de grupo dado por

(2.10)

com , índice de refração efetivo,

( ) (2.11)

em que representa o índice de refração normalizado.

Figura 2.3 – Variação do índice de refração e do índice de grupo em função do comprimento

de onda [2].

A DVG é usualmente quantificada pela taxa de variação do atraso de grupo com o

comprimento de onda por unidade de comprimento,

(

)

(

)

(2.12)

onde o parâmetro é responsável pelo alargamento dos impulsos, designado por coeficiente

da DVG, dado por . Podemos considerar que o parâmetro de dispersão resulta

da soma de dois tipos de dispersão: a dispersão material , e a dispersão de guia de onda

.

12

(2.13)

A dispersão de material resulta da variação do índice de refração com o comprimento

de onda, enquanto a dispersão de guia de onda resulta da energia se propagar pela bainha em

vez de se limitar ao núcleo, dependendo de parâmetros característicos da fibra como o

contraste dielétrico e a variação da frequência normalizada com o comprimento de onda. Estes

termos são dados por [3]

(2.14)

( )

[

( )

] (2.15)

onde representa o índice de grupo da bainha dado por .

Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para uma

fibra ótica monomodal convencional, em função de .

É importante notar que para uma fibra ótica monomodal convencional, o parâmetro de

dispersão total anula-se para um comprimento de onda próximo de 1.31 , o qual é chamado

de comprimento de onda de dispersão nula . Quando a dispersão total é negativa as

componentes de baixas frequências do impulso deslocam-se a uma maior velocidade,

enquanto no caso em que a dispersão total é positiva as componentes de baixas frequências

do impulso são mais lentas que as frequências altas. É possível, deste modo, através do

controlo das características da fibra ótica, minimizarmos os efeitos da dispersão, efetuando um

planeamento rigoroso com o intuito de a dispersão de guia e a dispersão de material se

anularem, obtendo-se dispersão total nula. É usual, alterando o perfil do índice de refração e

diminuindo as dimensões do núcleo, fabricar fibras com dispersão total nula para ,

denominadas fibras de dispersão modificada convencional (DSF) [10]. Estas fibras são

concebidas para operarem na terceira janela, sendo vantajosa a sua aplicação pois atuam na

banda onde a atenuação da fibra é mínima e permite tirar partido da utilização dos

1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600-30

-20

-10

0

10

20

30

[nm]

D [

ps/(

km

.nm

)

D

DM

DW

13

amplificadores óticos EDFA. Outro tipo de fibra utilizada em sistemas com compensação de

dispersão é a chamada fibra de compensação de dispersão (DCF), realizada para, como diz o

nome, compensar a dispersão acumulada na fibra ótica. Caracteriza-se por ter um coeficiente

de dispersão muito elevado e de sinal contrário ao de uma fibra ótica monomodal convencional.

Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal convencional

(SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função de .

É possível, por uma abordagem empírica, obter a dispersão total em função do

comprimento de onda, dado por [3]

( )

[ (

)

] (2.16)

em que designa o declive da dispersão na posição onde ocorre o nulo da DVG.

A dependência da frequência com a velocidade de grupo leva a alteração da largura

dos impulsos, esse alargamento temporal do pulso é o seguinte [1]

(

)

(2.17)

Esta equação, fazendo e ( ) , pode ser reescrita na forma

(2.18)

onde representa o parâmetro de dispersão, em unidades ( ).

Pretende-se que os sistemas de comunicação ótica sejam capazes de transportar

informação a longas distâncias e com ritmos muito elevados. Verificou-se que ambos são

limitados pela dispersão, não se conseguindo atingir larguras de banda e comprimentos de

ligação simultaneamente elevados. É possível estimar o efeito da dispersão no débito binário.

1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700-30

-20

-10

0

10

20

30

[nm]

D [

ps/(

km

.nm

)

SMF convencinal

DSF convencional

14

Sendo o débito binário dado por , a condição deve ser satisfeita. Aplicando

a equação (2.12) obtém-se [1]

| | (2.19)

Apesar do efeito da DVG ser predominante, quando a portadora se encontra na

vizinhança do comprimento de onda de dispersão nula, , onde se observa , ou

quando o sinal tem uma largura temporal muito pequena, é preciso considerar os termos

dispersivos de ordem superior. A dispersão de ordem superior é determinada pelo declive de

dispersão

(2.20)

Aplicando a equação (2.12) e (2.16) na expressão (2.20), vem [3]

(

)

[ (

)

] (2.21)

sendo designado por coeficiente da dispersão de ordem superior. Este parâmetro,

nas aplicações em sistemas WDM, é desejável que tenha um valor pequeno, de modo a reduzir

a variação da dispersão acumulada entre diferentes comprimentos de onda.

2.4. Equação de Propagação de Impulsos

Nesta secção pretendemos fazer o estudo analítico do alargamento dos impulsos que

se propagam numa fibra ótica monomodal, em regime linear. Desprezando o efeito de Kerr, ou

seja assumindo que não existe alteração no índice de refração, e considerando que ( ) é a

envolvente dum impulso que se propaga na fibra ótica, podemos representar a evolvente do

impulso à entrada da fibra ótica, isto é em , por ( ). Admitindo que este impulso

modula uma portadora de frequência angular , e que está associado a um campo elétrico

polarizado linearmente segundo , sendo a sua equação dada por

( ) ( ) (2.22)

Esta expressão pode ser reescrita por

( ) ( ) ( ) (2.23)

A equação geral do campo elétrico, para qualquer , é dada por

( ) ( ) ( ) (2.24)

15

onde designa a amplitude do campo elétrico, ( ) representa a variação transversal do

modo fundamental , e ( ) a variação longitudinal do campo elétrico ao longo da fibra

ótica. É possível fazer esta aproximação aos modos , visto que na análise realizada

consideramos que estamos na presença de um fibra monomodal com pequeno contraste

dielétrico, isto é [3]. Admitindo que representa a coordenada transversal, em

coordenadas cilíndricas, , tem-se

( ) {

(

)

( )

( ) (

)

(2.25)

onde o raio do núcleo da fibra ótica é retratado por , representa a constante de propagação

transversal no núcleo, a constante de atenuação na bainha, a função de Bessel de

primeira espécie de ordem zero e a função de Bessel modificada de primeira espécie de

ordem zero. Tem-se ( ) e ( ) ( ) sendo a amplitude do campo elétrico para

. Podemos normalizar e tal que

(2.26)

sendo a frequência normalizada, que é dada por

√

(2.27)

em que representa a constante de propagação no vácuo, o índice de refração do

núcleo e o índice de refração da bainha.

Definindo ( ) como

( ) ( ) (2.28)

em que corresponde à constate de propagação. Para obtém-se

( ) ( ) (2.29)

Estamos, assim, em condições de obter a expressão do campo elétrico para , em

função do campo eléctrico para . Para determinarmos o campo em qualquer ponto,

começamos por introduzir as transformadas de Fourier do campo em . Podemos, assim,

definir

( ) ∫ ( )

(2.30)

( ) ∫ ( )

(2.31)

16

sendo as suas transformadas inversas

( )

∫ ( )

(2.32)

( )

∫ ( )

(2.33)

Da expressão (2.22), podemos então deduzir a expressão do campo elétrico, no

domínio da frequência

( ) ( ) ( ) (2.34)

em que

( ) ( ) (2.35)

Admitindo que a fibra ótica é descrita, no domínio da frequência, por uma função de

transferência ( ) ( ) , temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.36)

sendo a sua transformada inversa dada por

( )

∫ ( )

( )

(2.37)

em que ( ) é a constante de propagação longitudinal do modo fundamental.

Verificamos que podemos determinar a expressão geral da propagação do impulso ao

longo da fibra ótica em função do impulso inicial através das características da fibra, tais como

a atenuação e a constante de fase. É necessário, então, calcular a transformada de Fourier do

impulso inicial, empregando a constante de fase para esse impulso e, de seguida, determinar a

transformada inversa da expressão obtida. Introduzindo o desvio de frequência em relação à

portadora , da expressão (2.37) obtém-se

( )

∫ ( ) ( )

(2.38)

De forma a simplificar o cálculo do integral da expressão, aplica-se o desenvolvimento

em série de Taylor para ( )

( ) ( ) (2.39)

onde

17

( ) ∑

(2.40)

( ) (2.41)

Os coeficientes são dados por

|

(2.42)

Pode-se assim reescrever (2.37) por

( ) ( ) (2.43)

sendo

( )

∫ ( ) ( )

(2.44)

De forma a deduzir a equação diferencial da envolvente, é necessário calcular

e

( )

∑

( )

(2.45)

Definindo ( ) como

( )

∫ (

) ( ) (2.46)

onde

( ) ( ) (2.47)

Desenvolvendo a equação (2.45) tem-se

( )

( )

( )

( ) (2.48)

Os coeficientes , e são descritos por

( ) (2.49)

( )

|

(2.50)

18

|

|

(2.51)

com

(

)

(2.52)

onde corresponde ao inverso da velocidade de grupo o termo designa-se por

coeficiente da dispersão da velocidade de grupo e a chama-se coeficiente da dispersão de

ordem superior.

A primeira, segunda e terceira derivadas de em ordem ao tempo são dadas,

respetivamente, por

( )

∫ ( ) ( ) ( )

(2.53)

( )

∫ ( ) ( ) ( )

(2.54)

( )

∫ ( ) ( ) ( )

(2.55)

De modo geral, pode-se escrever, para ,

( )

( ) ( ) (2.56)

ou seja

( ) ( )

(2.57)

De modo a simplificar a resolução da equação (2.48), desprezamos os termos

superiores aos de terceira ordem, pois os impulsos introduzidos são de banda estreita.

Observa-se, pela equação (2.29), que a função ( ) tem uma variação mais rápida no tempo

que ( ), tendo-se | | [3]. Se substituirmos estes resultados na expressão (2.40) e

(2.48), obtemos, respetivamente

( )

(2.58)

( )

( )

( )

( ) (2.59)

Substituindo ( ) pela expressão obtida em (2.57) e considerando o termo da

atenuação de potência , obtém-se

19

(2.60)

Para simplificar, consideramos 0. Deste modo, a expressão (2.60) pode ser

reescrita da seguinte maneira

(2.61)

Através dessa equação diferencial linear, é possível calcular ( ) a partir de ( ).

Para uma situação em que se despreza a atenuação, a solução linear da equação anterior é

dada pela seguinte expressão

( )

∫ ( ) [

]

(2.62)

Podemos reescrever a equação diferencial (2.61) em função de variáveis normalizadas

adimensionais, tanto para o espaço como para o tempo, definidas por

(2.63)

(2.64)

onde é uma variável normalizada do espaço, é uma variável normalizada do tempo, é

uma medida da largura do impulso e é o comprimento de dispersão que define-se por

| | (2.65)

sendo | |, como anteriormente referido, o termo de segunda ordem da dispersão, em valor

absoluto. Podemos, assim, expressar a equação de e através das variáveis

normalizadas definidas anteriormente, resultando nas seguintes equações

{

(2.66)

{

(2.67)

Substituindo estes resultados na equação (2.61) obtemos a seguinte expressão

20

( )

(2.68)

em que

( )

| | (2.69)

| | (2.70)

onde é denominado por coeficiente de dispersão de ordem superior, que depende da relação

entre e bem como de . Quanto a ( ) pode ter dois valores, sendo igual a 1 para

, zona normal, e igual a -1 para , zona anómala.

Introduzimos a variável , denominada por frequência normalizada, tal que

( ) (2.71)

obtemos

( ) ∫ ( )

(2.72)

com

( )

∫ ( )

(2.73)

Aplicando a transformada de Fourier à equação (2.72) tem-se

( )

( ) ( ) ( ) (2.74)

cuja solução pode ser escrita por

( ) ( ) [ ( ) ]

(2.75)

Obtida a expressão (2.75) é fácil de determinar o valor espetral do impulso, em

qualquer ponto , através do impulso inicial, efetuando os passos listados de seguida [3]:

1) Calcular a transformada de Fourier do impulso inicial, ( ) ( ) ,

2) Calcular ( ) através da expressão (2.75),

3) Calcular a transformada de Fourier inversa da expressão obtida no passo dois,

( ) [ ( )],

4) Calculado ( ), obtemos ( ) através da relação entre estas descritas na

equações (2.63) e (2.64).

21

2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano

Devido ao efeito da dispersão, os impulsos que foram injetados inicialmente na fibra

ótica vão sofrer um alargamento. Neste tópico, com base na dedução da equação geral para o

alargamento de impulsos em regime linear descrito no anexo A, vamos estudar a evolução da

largura do impulso Gaussiano.

Pela dedução realizada no anexo A, o coeficiente de alargamento do impulso

Gaussiano, desprezando a largura espetral da fonte ( ) é dado por

√(

)

(

)

( ) (

√ )

(2.76)

onde corresponde ao comprimento da ligação, é o parâmetro chirp do impulso e a

largura RMS inicial do impulso Gaussiano. Quando se despreza o efeito da dispersão de ordem

superior, , a equação (2.76) pode ser reescrita da seguinte forma

√(

)

(

)

(2.77)

Considerando as variáveis normalizadas adimensionais

(2.78)

(2.79)

sendo o coeficiente de alargamento e é a variável normalizada do espaço. Sabendo-se que

| | (2.80)

√ (2.81)

onde é uma medida da largura do impulso. Obtém-se para coeficiente a seguinte

expressão

√( ( ) ) (2.82)

Ilustramos, na figura 2.6, a evolução da largura dos impulsos Gaussianos na zona de

dispersão anómala, isto é , para três diferentes valores do parâmetro chirp: ,

e . Observamos que existe, para qualquer parâmetro chirp , alargamento do

impulso, devido ao efeito da DVG, sendo que para o alargamento é mais abrupto do

que nos outros casos, uma vez que se soma o efeito do parâmetro chirp ao efeito da DVG.

22

Para verificamos inicialmente uma contração do impulso, isto devido ao parâmetro chirp

ter um efeito contrário da DVG, até ao ponto

| |

(2.83)

atingindo uma largura mínima dada por

√ (2.84)

Figura 2.6 – Evolução da largura do impulso Gaussiano com para parâmetro chirp =-2, =0

e =2.

De seguida, o impulso alarga, como ocorre para os outros casos, pois o efeito da DVG

é predominante, sendo esse aumento afetado por uma variação igual ao caso em que .

Assim, para comprimentos muito elevados, o alargamento do impulso que inicialmente sofreu

compressão é superior ao alargamento que teria um impulso nas mesmas condições mas sem

chirp, como se pode verificar pela figura 2.6. Existem técnicas de compensação de dispersão

que se baseiam neste fenómeno de compressão, mas como anteriormente foi indicado, está

limitada a comprimentos de troços sem regeneração inferiores ao comprimento de dispersão

[5].

Quantificado o alargamento do impulso Gaussiano é importante determinar a influência

que este vai ter no débito binário de transmissão. Considerando o período atribuído a um bit

slot, assim o débito binário é dado por . De forma a evitar interferência inter-simbólica

é usada a seguinte regra prática

(2.85)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

= z / LD

C = - 2

C = 0

C = 2

23

Desprezando a dispersão de ordem superior , visto que na 3ª janela os efeitos da

DVG prevalecem, e considerando a largura espetral da fonte desprezável, , tem-se a

seguinte equação

(

)

(

)

(

)

(2.86)

Resolvendo em ordem a , vem

( ) (

)

(2.87)

Visto que ( ) ( )( )( ), fazendo ,

obtém-se

√ (

| |

) (2.88)

donde se infere que

√| |

√ ( ) √

(2.89)

em que ( ) | |.

O débito binário é definido por

(2.90)

com √ e √ , em que representa a separação entre impulsos vizinhos em

unidades normalizadas. Da equação (2.86) resulta

( ) ( ) ( )

(2.91)

( ) √ ( )

de onde se infere

| |

| |(

) (2.92)

Resolvendo em ordem a tem-se

( )√ ( )

( )

(2.93)

24

Apresentamos, na figura 2.7, o efeito do parâmetro chirp no produto , para vários

valores de , com e .

Figura 2.7 – Influência do parâmetro chirp no produto para coeficiente de alargamento

, e , com e .

Verificamos que o produto tem o seu máximo para valores do parâmetro chirp

próximo de zero. Pode-se, assim, realizar um sistema de compensação baseado num ótimo

que possibilita maximizar o produto do débito binário pelo comprimento da fibra para um dado

alargamento [5].

2.6. Resultados Numéricos

De seguida, através do método descrito no subcapítulo 2.4, simulamos a evolução de

diferentes tipos de impulsos numa fibra ótica, de modo a vermos os efeitos que a DVG provoca

na forma desses mesmos impulsos. É de notar que consideramos, para todos os diferentes

casos, que o parâmetro e .

2.6.1. Impulso Exponencial

O impulso inicial exponencial é definido da seguinte forma

( ) (

) [ (

)] (

) [ (

)] (2.94)

com ( ) a corresponder à função de Heaviside, sendo ( ) para , e ( ) para

.

-6 -4 -2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

C

Db2 L

[ (

Gb /

s )

2 k

m ]

= 1.35

= 2.5

= 4

25

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

Foram admitidos os seguintes parâmetro na simulação:

5000 500 10 100

Tabela 2.1 - Características do impulso exponencial e do troço de fibra ótica.

Na figura 2.8, ilustramos a forma e a amplitude do impulso inicial e final que se propaga

na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica. Constatámos que existe um

alargamento do impulso e que a amplitude do impulso de saída é menor que o impulso de

entrada, devido à conservação da energia. Este alargamento deve-se à DVG, existindo

diferentes componentes de frequência a deslocarem-se a diferentes velocidades de grupo,

afetando a forma do impulso e os parâmetros característicos do impulso como a amplitude e a

largura.

Figura 2.8 – Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra (à esquerda); evolução do impulso

exponencial ao longo da fibra (à direita).

Podemos ver, na figura 2.9, a evolução do espetro do impulso.

Figura 2.9 – Evolução do espetro do impulso exponencial ao longo da fibra.

26

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

Verificamos, pela figura 2.9, que o espetro do impulso mantém-se inalterado ao longo

da toda a fibra, isto porque desprezou-se a atenuação na fibra ótica e assim nenhum dos

componentes espetrais é atenuado. Conclui-se que a DVG altera a fase de cada componente

espetral do impulso, que depende quer da frequência quer da distância percorrida, e que estas

variações de fase não afetam o espetro do impulso, mas afetam a forma do impulso e os

parâmetros característicos do impulso.

2.6.2. Impulso Gaussiano

Considerando a expressão geral de um impulso inicial do tipo Gaussiano

( )

( )

(

)

(2.95)

Para se obter um impulso Gaussiano toma-se . Para o caso em que o parâmetro

chirp é nulo, , a expressão (2.95) fica

( )

(

)

(2.96)

Foram empregados os seguintes parâmetro na simulação:

2500 500 5 100

Tabela 2.2 - Característica do impulso Gaussiano e do troço de fibra ótica.

De seguida, representamos, na figura 2.10, a forma e a amplitude do impulso inicial e

final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .


esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).

27

Na figura 2.10, constatamos que o impulso é alargado e a sua amplitude diminui,

devido à conservação da energia, sendo a variação da largura do impulso de um fator de √ .

Observa-se que a amplitude máxima do impulso ocorre no início da fibra e que à medida que

se avança na fibra o impulso perde amplitude e alarga. Este fenómeno é devido à DVG que

afeta os parâmetros característicos do impulso como a amplitude e a largura. As diferentes

componentes de frequência vão deslocar-se a velocidades diferentes, provocando, assim,

interferência inter-simbólica.

Na figura 2.11, ilustramos a evolução do espetro do impulso, para .

Figura 2.11 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da

fibra.

Verificamos que o espetro do impulso mantém-se semelhante ao longo da fibra, pois

desprezou-se a atenuação na fibra ótica e desta forma nenhum dos componentes espetrais é

atenuado. A DVG altera a fase de cada componente espetral do impulso, que depende quer da

frequência quer da distância percorrida, e que estas variações de fase não afetam o espetro do

impulso mas a largura do impulso.

Analisamos, de seguida, o efeito introduzido pelo chirp. Para o caso em que o

parâmetro chirp é , da expressão (2.95) obtém-se

( )

( )

(

)

(2.97)

Admitindo os parâmetros da tabela 2.2, representamos, na figura 2.12, a forma e a

amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra

ótica, para . Na figura 2.12 evidencia-se um elevado alargamento e consequentemente

uma diminuição da amplitude do impulso de saída em relação ao impulso de entrada, devido à

conservação da energia. Contudo, inicialmente, verifica-se uma contração do impulso até

atingir um estreitamento máximo, correspondendo este estreitamento à amplitude máxima do

impulso. A partir dessa distância, os efeitos dispersivos são novamente predominantes,

28

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

provocando um alargamento do impulso e diminuição da amplitude, sendo este fator de

alargamento pior que no caso em que .



Podemos ver, na figura 2.13, a evolução do espetro do impulso, para .


fibra.

Verificamos, pela figura 2.13, que apesar da introdução do parâmetro chirp, o espetro

do impulso mantém-se idêntico ao longo da fibra, porque não se considerou a atenuação na

fibra ótica, não existindo alteração do espetro. Conclui-se que a DVG não tem qualquer

influência no espetro do impulso, tendo influência “apenas” nos parâmetros característicos do

impulso.

Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.95) tem-se

29

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

( )

( )

(

)

(2.98)

Considerando os parâmetros da tabela 2.2, representamos, na figura 2.14, a forma e a


ótica, para .



Na figura 2.14 observamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica,

causando uma diminuição da amplitude do impulso de saída comparativamente ao impulso de

entrada, devido à conservação da energia. A amplitude máxima ocorre no início da fibra e à

medida que se avança na fibra o impulso perde amplitude e alarga, sendo a variação de

alargamento mais repentina do que no caso do impulso sem chirp, uma vez que se somam os

efeitos do parâmetro chirp aos efeitos da DVG. Desta forma, é de evitar a sua aplicação.



fibra.

30

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

Verificamos, pela figura 2.15, que apesar da introdução do parâmetro chirp, o espetro

do impulso mantém-se inalterado ao longo da fibra, uma vez a atenuação na fibra ótica foi

desprezada, com os componentes espetrais a não sofrerem atenuação. Conclui-se que a DVG

altera a largura e a amplitude do impulso, não tendo qualquer influência no espetro do impulso.

2.6.3. Impulso Super-Gaussiano

Considerando a expressão (2.95) de um impulso inicial do tipo Gaussiano, para se

obter um impulso super-Gaussiano toma-se . Para o caso em que o parâmetro chirp é

nulo, , a expressão (2.95) fica

( )

(

)

(2.99)

Foram considerados os seguintes parâmetro na simulação:

2500 500 5 100

Tabela 2.3 - Característica do impulso super-Gaussiano e do troço de fibra ótica.

De seguida, representamos, na figura 2.16, a forma e a amplitude do impulso inicial e

final na fibra ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .

Figura 2.16 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à

esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para (à direita).

Na figura 2.16, constatamos que existe um alargamento do impulso e que a amplitude

do impulso de saída é menor que o impulso de entrada, devido à conservação da energia. A

amplitude máxima ocorre no início da fibra e à medida que se avança na fibra a amplitude do

impulso diminui e a sua largura aumenta. Estes fenómenos são causados pela DVG, onde os

componentes de frequência se deslocam a diferentes velocidades, provocando assim

31

interferência inter-simbólica. Comparando com o caso semelhante para o impulso Gaussiano,

ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre um maior alargamento e maior distorção.



longo da fibra.

Observamos, na figura 2.17, que o espetro do impulso mantém-se sem qualquer

alteração ao longo da fibra, devido a ter-se desprezado a atenuação na fibra ótica e assim

nenhum dos componentes espetrais é atenuado. Deste modo, a DVG apenas afeta a forma e

os parâmetros característicos do impulso, não influenciando o espetro do impulso.

Analisamos, de seguida, o efeito introduzido pelo chirp. Para o caso em que o

parâmetro chirp é , da expressão (2.95) obtém-se

( )

( )

(

)

(2.100)

Considerando os parâmetros da tabela 2.3, representamos, na figura 2.18, a forma e a


ótica, para . Na figura 2.18, constatamos que o impulso alarga e devido à conservação da

energia a amplitude do impulso diminui. Todavia, inicialmente, verificamos uma contração do

impulso até se alcançar o estreitamento máximo. Seguidamente, os efeitos da DVG voltam a

dominar provocando um alargamento do impulso, diminuição da amplitude e distorção do

impulso, onde o alargamento é pior que no caso em que . Equiparando com o caso

semelhante para o impulso Gaussiano, ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre

um maior alargamento e deformação, sendo o ritmo de alargamento superior, analogamente

com o que acontece para o caso Gaussiano.

32

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida



Na figura 2.19, ilustramos a evolução do espetro do impulso, para .


longo da fibra.

Verificamos, pela figura 2.19, que a DVG não afeta o espetro do impulso, não havendo

alterações do espetro ao longo de toda a fibra ótica.

Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.95) tem-se:

( )

( )

(

)

(2.101)

Admitindo os parâmetros da tabela 2.3, representamos, na figura 2.20, a forma e a


ótica, para .

33

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida



Na figura 2.20, averiguamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica, onde a

amplitude máxima se dá no início da fibra de transmissão e que à medida que se avança na

fibra o impulso diminui a sua amplitude e alarga, sendo o fator de alargamento mais abrupto do

que no caso do impulso sem chirp, uma vez que se somam os efeitos do parâmetro chirp aos

efeitos da DVG. Por conseguinte, é de evitar a sua aplicação. Equiparando com o caso

semelhante para o impulso Gaussiano, ou seja para , o impulso super-Gaussiano sofre

uma maior alteração na sua largura e na sua forma.



longo da fibra.

Verificamos, na figura 2.21, que a DVG não afeta o espetro do impulso, não se obtendo

alterações no espetro ao longo da fibra ótica de transmissão, alterando “apenas” a forma e os

parâmetros característicos do impulso.

34

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada

saida

2.6.4. Impulso Secante Hiperbólica

Admitindo a expressão geral de um impulso secante hiperbólica:

( ) (

)

(

) (2.102)

Para o caso em que o parâmetro chirp é , da expressão (2.102) obtém-se:

( ) (

) (2.103)

O estudo deste impulso é de particular interesse uma vez que os solitões, onda do tipo

solitária, apresentam um perfil do tipo secante hiperbólica. Foram empregados os seguintes

parâmetros na simulação:

2500 500 10 100

Tabela 2.4 - Características do impulso secante hiperbólica e do troço de fibra ótica.

Representamos, na figura 2.22, a forma e a amplitude do impulso inicial e final na fibra

ótica, e a evolução do impulso ao longo da fibra ótica, para .

Figura 2.22 – Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à

esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra para (à direita).

Na figura 2.22, averiguamos um alargamento do impulso ao longo da fibra ótica, em

que a amplitude máxima ocorre no início da fibra e que à medida que se avança na fibra a

amplitude do impulso diminui e a sua largura aumenta. O fenómeno é provocado pela DVG,

onde os componentes de frequência deslocam-se a diferentes velocidades provocando, assim,

interferência inter-simbólica. Verificamos que este tipo de impulsos tem um andamento de todo

semelhante aos demonstrados para os impulsos Gaussianos.

35


Figura 2.23 – Evolução do espetro do impulso secante hiperbólica para parâmetro chirp ao

longo da fibra.

Verifica-se que o espetro do impulso não é afetado, não sofrendo alterações ao longo

da fibra ótica. É de referir o facto de o chirp induzido não ser linear, contrariamente ao que se

verificava nos outros casos estudados.

2.7. Efeito da Dispersão de Ordem Superior

Realizado o estudo da equação de propagação em regime linear e do efeito dispersivo

da DVG, no subcapítulo anterior, é importante analisar a contribuição dos efeitos dispersivos de

ordem superior. Embora a contribuição do termo do efeito dispersivo da DVG seja dominante

na maioria dos casos práticos com interesse, por vezes é necessário incluir a dispersão de

ordem superior regida pelo termo [2]. Existem dois casos para os quais o coeficiente de

dispersão de ordem superior, , não pode ser desprezado: para sinais ultracurtos em que o

espetro é largo, e para operações próximas do comprimento de onda em que o coeficiente de

dispersão da velocidade de grupo se anula e consequentemente DVG é igual a zero.

Desprezando-se os efeitos não lineares e considerando a equação de propagação de

um impulso dada pela expressão (2.61), introduzimos a amplitude normalizada

( ) ( )

√

(2.104)

onde é a potência de pico do impulso e as perdas na fibra. Definindo , desta forma

( ) satisfaz a seguinte equação [2],

36

(2.105)

sendo a solução geral dada por [2]

( )

∫ ( ) [

]

(2.106)

Seguidamente, através do método descrito no subcapítulo 2.4, simulamos a evolução

de impulsos Gaussianos numa fibra ótica, de modo a analisarmos os efeitos causados pela

dispersão de ordem superior na forma do impulso Gaussiano.

2.7.1. Evolução do Impulso Gaussiano

No caso de um impulso Gaussiano com chirp, e empregando [2]

( ) (

)

[

( )] (2.107)

Substituindo a expressão (2.107) em (2.106) e introduzindo a nova variável de

integração , onde depende das características da fibra ótica e do impulso [2], que

pode ser definido da seguinte forma

(

) (2.108)

Obtemos assim a seguinte expressão [2]

( )

√ ∫

(

)

(2.109)

com . Utilizando uma nova transformação o resultado do integral

(2.109), em termos da função de Airy ( ) [2], é o seguinte [2]

( ) √

| |

( )

(

| |

) (2.110)

Para melhor compreendermos o efeito introduzido pelo termo é importante referir a

relação entre o comprimento de dispersão, associado à dispersão de ordem superior, e o

parâmetro . Essa relação é expressa na seguinte equação:

| | (2.111)

37

Passamos a apresentar a evolução do impulso Gaussiano, com parâmetro chirp nulo,

considerando e . As figuras 2.24 e 2.25 ilustram, respetivamente, a

evolução do impulso com e para diferentes comprimentos da fibra.

Figura 2.24 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e

.

Para só se verifica a influência do termo para uma distância de ligação

muito grande, cerca de , enquanto no caso , ver figura 2.25, os efeitos

manifestam-se para distâncias bastante menores. Concluímos que quanto menor for a largura

do impulso , ou seja para impulsos ultracurtos, mais se torna evidente o efeito de dispersão

de ordem superior, com esta a ter um papel significante para ou para | | [2].

Figura 2.25 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e

.

Considerando a distância da fibra ótica de transmissão , representamos, na

figura 2.26, a forma e a amplitude do impulso inicial e final na fibra ótica, para dois casos

distintos.

-5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso Inicial

z = 18LD´

z = 45LD´

-5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso Inicial

z = LD´

z = 5LD´

38

Figura 2.26 – Impulso Gaussiano com largura em para três casos diferentes:

impulso inicial, e .

A dispersão de ordem superior deforma o impulso, tornando-o assimétrico com

oscilações nos extremos do impulso. Quando é positivo, como podemos ver na figura 2.26,

essas oscilações aparecem na parte de trás do impulso. No caso de negativo verificamos o

contrário, isto é, essas oscilações ocorrem na parte da frente do impulso. Com as

oscilações são bastante menores, quase nulas, mas a parte de trás do impulso tem uma cauda

maior comparativamente aos casos anteriores. Para exemplificar melhor os efeitos da

dispersão de ordem superior na forma do impulso, apresentamos, na figura 2.27, a evolução

deste ao longo da fibra, com parâmetro de chirp nulo e .


parâmetro chirp e .

Na análise até agora apresentada apenas considerámos o termo nulo. Atribuindo um

valor para o parâmetro diferente de zero, observamos que, para números simétricos de , a

evolução do impulso é semelhante, uma vez que o termo que depende de é afetado por um

-5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Inte

nsid

ade

Impulso inicial

LD = L

D´

2 = 0

39

fator de [5]. Na figura 2.28, constatamos que, quanto maior o valor de , em módulo, mais

significativos serão os efeitos da dispersão de ordem superior. De notar, na figura 2.29 onde é

representada a evolução do impulso Gaussiano com , que existe um estreitamento inicial

do impulso mas depois observa-se um alargamento acentuado.

Figura 2.28 – Deterioração do impulso Gaussiano com largura , considerando para

valor do parâmetros chirp , e .


parâmetro chirp e .

-5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

C = 0

C = 1

C = 2

40

2.8. Conclusões

Caracterizámos os tipos de fibras óticas e os modos que estas suportam, tendo

concluído que a fibra que suporta um único modo, fibra monomodal, é a mais indicada para os

sistemas de fibras óticas atuais, pois apresenta uma menor dispersão.

Concluímos que, em regime linear, a propagação de impulso na fibra ótica é

influenciada por mecanismos dispersivos. Numa fibra monomodal, quando consideramos

impulsos com largura característica pequena e/ou para operações próximas do comprimento de

onda em que a DVG se anula, os efeitos de dispersão de ordem superior não devem ser

desprezados. Caso contrário, a DVG é predominante, podendo-se negligenciar o termo de

dispersão de ordem superior. Quando a DVG é dominante, a dispersão total na fibra resulta da

soma da dispersão de material com a dispersão de guia de onda. Através da alteração dos

parâmetros da fibra ótica, é concebível o fabrico de fibras óticas com dispersão total nula, tais

como a fibra de sílica convencional e a fibra de dispersão modificada convencional, que

operam nos comprimentos de onda e , respetivamente.

Verificámos que o termo da DVG provoca deformação dos impulsos, diminuição da

amplitude e aumenta a largura dos impulsos, efeitos que contribuem para o aparecimento de

interferência inter-simbólica entre os diversos sinais, limitando o débito binário na fibra ótica. É

de notar que os impulsos Gaussiano e secante hiperbólica mantêm a sua forma, existindo só

alterações na largura característica do impulso e amplitude. Constatámos que o efeito da DVG

aumenta à medida que se avança na fibra, o que permite concluir que para distâncias bastante

elevadas a receção do sinal será bastante complicada. Para além do alargamento temporal do

impulso esperado, com a introdução de chirp inicial este conduz a um maior alargamento do

impulso. Para verificámos um alargamento mais abrupto que no caso do impulso sem

chirp. No caso existe inicialmente uma contração do impulso, mas de seguida sofre um

alargamento de fator semelhante ao que ocorre para . A solução ótima seria manipular

o parâmetro chirp para obtermos um efeito de chirp linear, solução que é impossível de

alcançar. Sendo assim, para distâncias inferiores ao comprimento dispersivo a melhor opção é

utilizar o parâmetro chirp positivo, mas para distâncias superiores ao comprimento dispersivo o

ideal é utilizar o parâmetro chirp nulo. Examinámos, ainda, que a componente espetral dos

impulsos mantem-se inalterável, concluindo-se que o termo não influencia a componente

espetral do impulso.

No estudo dos efeitos de dispersão de ordem superior, concluímos que estes devem

ser considerados apenas para impulsos ultracurtos e/ou para quando a dispersão de

velocidade de grupo é nula, para que os efeitos de ordem superior se manifestem. Para um

impulso Gaussiano, constatámos que o termo altera a forma e as características do impulso,

nomeadamente, causa diminuição da amplitude e alargamento. Quando se considerou o termo

de chirp não nulo, verificámos que ocorreu uma compressão do impulso mas logo de seguida o

impulso voltou a alargar.

41

Capítulo 3 – Compensação de Dispersão em Regime

Linear

3.1. Introdução

Com o aparecimento dos amplificadores óticos, a principal limitação dos sistemas de

comunicação ótica já não reside mais na atenuação provocada pela propagação na fibra ótica

de transmissão mas sim na dispersão presente nas fibras óticas [3]. Estes efeitos de dispersão

acumulam-se ao longo da transmissão e agravam-se com a introdução dos amplificadores. Era

urgente descobrir a solução para este dilema. Foi então que surgiram diversas técnicas de

compensação de dispersão que tomaram partido da natureza linear da solução geral da

equação de propagação do impulso numa fibra ótica, descrita na equação (2.62). A ideia base

de todas as técnicas de compensação de dispersão é cancelar os fatores e , de modo a

recuperar o sinal transmitido inicialmente, podendo estas ser implementadas no transmissor, no

recetor ou no enlace. Neste capítulo, iremos focar a nossa atenção em particular para duas

técnicas de compensação em regime linear, a compensação da dispersão usando DCFs

(Dispersion Compensating Fibers) e a compensação utilizando FBGs (Fiber Bragg Gratings).

3.2. Compensação de Dispersão Baseada em DCF

A compensação de dispersão baseada em DCF é uma das técnicas mais utilizadas. A

utilização de DCF proporciona uma solução totalmente no domínio ótico que é capaz de

compensar completamente a dispersão da fibra ótica, no caso de os efeitos não-lineares serem

desprezáveis. Esta técnica toma partido da natureza linear da solução geral da equação de

propagação do impulso numa fibra ótica, descrita na equação (2.62) [1]. A alteração do perfil da

fibra ótica possibilita “engenharia de dispersão”, proporcionando a obtenção de fibras com

valores de dispersão negativos, como é o caso das fibras DCF. Esta técnica combina troços de

fibra ótica para reduzir o valor médio da dispersão a zero, colocando-se, após um troço de fibra

monomodal convencional (SMF), de comprimento , uma fibra do tipo DCF, de comprimento

, com os coeficientes de DVG e dispersão de ordem superior de sinal contrário ao da SMF.

Ao fim do percurso o impulso é dado por [2]

( )

∫ ( ) [

( )

( ) ]

(3.1)

onde é o comprimento total da ligação, e e são os coeficientes da DVG e de

dispersão de ordem superior, respetivamente, do troço da fibra correspondente ( ). A

escolha da fibra de compensação de dispersão é feita de modo a eliminar os termos e a

42

fim de, no final da DCF, conseguir recuperar a forma inicial do impulso. Essa condição é dada

pela seguinte equação

(3.2)

Pretende-se que o comprimento da DCF, , seja o menor possível de modo a

minimizar os custos de fabrico. No entanto, a utilização de DCFs apresenta desvantagens

devido aos elevados custos de fabrico, exibe perdas altas na bainha ( )

causado pelo valor reduzido da frequência normalizada , perdas de inserção elevadas

( ) e uma área efetiva baixa ( ), originando um aumento dos efeitos não-lineares.

Estes efeitos podem também limitar o tamanho das ligações, nomeadamente as de longa

distância onde os efeitos não-lineares acumulados já se tornam significativos [5],como será

estudado no capítulo 4. Os problemas levantados pela utilização de DCF podem ser resolvidos

recorrendo-se a uma fibra de dois modos com o valor de frequência normalizada perto da

frequência de corte do segundo modo ( ). Estas fibras têm aproximadamente as

mesmas perdas que as fibras de um único modo, mas podem ser projetadas para que o

parâmetro de dispersão seja bastante negativo para o modo de propagação de ordem

superior [1]. Este método requer um conversor de modos, aparelho que é capaz de converter a

energia do modo fundamental para o modo de ordem superior suportado pela DCF. Desta

forma, recorre-se às FBGs que proporcionam acoplamento entre os dois modos [5], que no

capítulo 3.3 irão ser analisadas. Em geral, é difícil satisfazer ambas as condições descritas em

(3.2). Desta forma, iremos realizar duas análises separadas. Primeiro, efetuamos a

compensação do coeficiente de DVG, negligenciado o coeficiente da dispersão de ordem

superior, ou seja admitindo . Na segunda análise estudamos o caso contrário, em que se

despreza o fator e compensamos o termo .

3.2.1. Compensação da DVG

Considerando o parâmetro da fibra monomodal convencional superior a ,

em módulo, é possível desprezar o termo . Neste caso especifico a equação (3.1) vem dada

por

( )

∫ ( ) [

( ) ]

(3.3)

vindo a condição de cancelamento do fator de distorção de fase escrita por

(3.4)

ou, em função dos parâmetros de dispersão ( ) ,

43

(3.5)

Verificamos que o comprimento da DCF deve ser tal de modo a satisfazer

(3.6)

Um procedimento vulgarmente utilizado em sistemas de telecomunicações reais

consiste em usar fibras óticas com dispersão modificada operando em regime normal ( )

e fibras monomodais convencionais operando em regime anómalo ( ), compensando a

dispersão acumulada introduzida pela SMF. Desejando-se ter o menor comprimento, tal só é

possível para valores de bastante negativos, diminuindo os custos provenientes da sua

produção e reduzindo ao máximo as perdas introduzidas pela utilização de DCFs.

3.2.1.1. Resultados Numéricos

Apresentamos, de seguida, as simulações da evolução de diferentes tipos de impulsos

numa fibra ótica e sua respetiva compensação utilizando uma DCF, recorrendo ao método

descrito no subcapítulo 2.4 e à expressão (3.1).

3.2.1.1.1. Impulso Exponencial

Em função da expressão do impulso exponencial descrita em (2.94), consideraram-se

os seguintes parâmetros na simulação:

Parâmetros

Valores 100 5000 -20 40 2500

Tabela 3.1- Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e .

As formas do impulso à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída

da DCF podem ser vistas na figura 3.1, e a evolução do impulso na figura 3.2. Verificamos, nas

figuras 3.1 e 3.2, que graças à utilização da DCF o impulso volta à sua forma inicial após os

efeitos da DVG terem sido compensados.

44

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

Figura 3.1 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da

DCF, para compensação da DVG.

Figura 3.2 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do impulso

exponencial na DCF (à direita), para compensação da DVG.

3.2.1.1.2. Impulso Gaussiano

Tendo em conta a expressão do impulso Gaussiano definido em (2.95), consideraram-

se os seguintes parâmetros na simulação:

Parâmetros

Valores 100 2500 -20 20 2500

Tabela 3.2- Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação

da DVG .

Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada

da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF podem ser vistas na figura 3.3, e

a evolução do impulso é representada na figura 3.4.

45

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

Figura 3.3 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da

DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.

Figura 3.4 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução

do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG.

Verificamos nestas figuras que a DCF assegura a compensação da DVG acumulada na

SMF, recuperando o impulso inicial.

46

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

3.2.1.1.3. Impulso Super-Gaussiano

Admitindo a expressão do impulso super-Gaussiano definido em (2.99), consideraram-


Parâmetros

Valores 100 2500 -20 20 2500

Tabela 3.3 - Características do impulso e dos troços de fibra e para o impulso super-

Gaussiano, para compensação da DVG.

Para o caso em que o parâmetro chirp é nulo, , as formas do impulso à entrada a

SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são ilustradas na figura 3.5, e a

evolução do impulso é exposta na figura 3.6.

Figura 3.5 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.


evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG.

47

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

Constatamos pelas figuras 3.5 e 3.6 que com a utilização da DCF esta elimina

totalmente os efeitos causados pela DVG, recuperando o impulso que inicialmente foi

introduzido na SMF.

3.2.1.1.4. Impulso Secante Hiperbólica

Empregando a expressão do impulso secante hiperbólica definido em (2.102),

consideraram-se os seguintes parâmetros na simulação:

Parâmetros

Valores 100 5000 -20 40 2500

Tabela 3.4 - Características do impulso secante hiperbólico e dos troços de fibra e , para

compensação da DVG.


da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são expostas na figura 3.7, e a

evolução do impulso é ilustrada a figura 3.8. Constatamos pelas figuras 3.7 e 3.8 que no fim da

fibra DCF o impulso apresenta o mesmo alargamento inicial.

Figura 3.7 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG.

48

Figura 3.8 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à esquerda);

evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita), para compensação da DVG.

3.2.2. Compensação de Dispersão de Ordem Superior

Para ritmos binários, por canal, superiores a 100 devem ser utilizados impulsos

ultracurtos ( ) [2]. Como concluímos no capítulo 2, os efeitos da dispersão de ordem

superior não devem ser desprezados para impulsos ultracurtos. Para tão curtos impulsos é

bastante complicado simultaneamente compensar os efeitos provocados pela DVG e os efeitos

da dispersão de ordem superior. Deste modo, consideramos o termo nesta análise.

Neste caso especifico a equação (3.1) é dada por

( )

∫ ( ) [

( ) ]

(3.7)

A condição de cancelamento do fator de distorção de fase pode ser reescrita por

(3.8)

O comprimento da DCF deve ser tal de modo a satisfazer

(3.9)

Colocando a DCF após a SMF, pretende-se que o comprimentos da DCF, , seja o

mais pequeno possível para minimizar os custos e as perdas introduzidas.

49

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

3.2.2.1. Resultados numéricos

Apresentamos, de seguida, as simulações da evolução de diferentes tipos de impulsos

numa fibra ótica e sua respetiva compensação utilizando uma DCF, recorrendo ao método

descrito no subcapítulo 2.4 e à expressão (3.5).

3.2.2.1.1. Impulso Exponencial

Admitindo a expressão do impulso exponencial definido em (2.94), consideraram-se os

seguintes parâmetros na simulação:

Parâmetros

Valores 1 300 - 0.1 0.3 100

Tabela 3.5 - Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para

compensação da dispersão de ordem superior.

As formas do impulso à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída

da DCF, podem ser vistas na figura 3.9, e a evolução impulso é ilustrada na figura 3.10.

Averiguamos que, com a utilização da DCF, esta elimina as longas oscilações na cauda do

impulso e reduz o alargamento, efeitos causados pelo termo , recuperando o impulso que

inicialmente foi introduzido na SMF.

Figura 3.9 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da

DCF, para compensação da dispersão de ordem superior.

50


impulso exponencial na DCF (à direita), para compensação da dispersão de ordem superior.

3.2.2.1.2. Impulso Gaussiano

Tendo em conta a expressão do impulso Gaussiano definido em (2.95), consideraram-


Parâmetros

Valores 1 300 - 0.1 0.3 100

Tabela 3.6 - Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação

da dispersão de ordem superior.


da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF podem ser vistas na figura 3.11,

e a evolução do impulso é exposta nas figuras 3.12. Concluímos pelas figuras 3.11 e 3.12 que

os efeitos causados pela dispersão de ordem superior são totalmente eliminados quando se

recorre à DCF. As longas oscilações na cauda do impulso são removidas, voltando à sua forma

inicial.

51

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

Figura 3.11 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da

DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.

Figura 3.12 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução

do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão de ordem

superior.

3.2.2.1.3. Impulso Super-Gaussiano

Admitindo a expressão do impulso super-Gaussiano definido em (2.99), consideraram-


Parâmetros

Valores 1 100 - 0.1 0.1 100

Tabela 3.7 - Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para


52

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF


da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF, são ilustradas na figura 3.13, e

a evolução do impulso é representada na figura 3.14.

Figura 3.13 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.



dispersão de ordem superior.

Constatamos, pelas figuras 3.13 e 3.14, que após utilização da DCF o impulso volta a

apresentar o mesmo alargamento inicial, anulando os efeitos provocados pela dispersão de

ordem superior.

53

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada SMF

saida SMF

-15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

entrada DCF

saida DCF

3.2.2.1.4. Impulso Secante Hiperbólica

Empregando a expressão do impulso secante hiperbólica definida em (2.102),

consideraram-se os seguintes parâmetros na simulação:

Parâmetros

Valores 1 300 - 0.1 0.3 100

Tabela 3.8 - Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para



da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF são exibidas na figura 3.15, e a

evolução do impulso é representada na figura 3.16.

Figura 3.15 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à

saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior.

Figura 3.16 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à esquerda);

evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita), para compensação da

dispersão de ordem superior.

54

Averiguamos que a utilização da DCF assegura o restabelecimento do impulso inicial,

suprimindo as longas oscilações na cauda do impulso provocadas pela termo .

3.3. Compensação de Dispersão Baseada em Redes de Bragg

3.3.1. Introdução

Desde o aparecimento das redes de Bragg (FBGs), têm-se descoberto muitas

aplicações para este componente devido às suas propriedades, grande versatilidade e

variedade de parâmetros controláveis, que podem formatar de diversas maneiras as suas

características espetrais [18]. As FBGs estão a revolucionar a maneira de processar a luz dentro

da fibra e acredita-se que terão um papel ainda maior no futuro, tanto na área de comunicações

óticas como na área de sensores. As FBGs têm várias aplicações no domínio das

telecomunicações, sendo utilizadas nos diversos pontos de um sistema de transmissão. No

emissor, são utilizadas como elementos refletores em lasers semicondutores e em lasers de

fibra ótica, e para a obtenção de emissão monomodo com elevada estabilidade. Na

transmissão, são utilizadas em amplificadores óticos, efetuando a recirculação da bombagem,

igualização espetral do ganho e estabilização dos díodos de bombagem, na compensação de

dispersão e filtragem. No recetor e em componentes óticos de redes com multiplexagem no

comprimento de onda, são utilizadas como filtros e desmultiplexadores [18]. Este estudo focar-

se-á na aplicação das FBGs, principalmente na vertente da compensação da dispersão.

3.3.2. Princípio de Funcionamento das Redes de Bragg

Uma FBG, na sua generalidade, é formada por um conjunto de elementos espaçados

de uma certa distância [14]. Estes segmentos de fibra ótica vão refletir determinados

comprimentos de onda de luz, que satisfazem a condição de ressonância, e transmitem todos

os outros comprimentos de onda. Isto é possível devido à introdução de perturbações em

intervalos periódicos ou aperiódicos do índice de refração do núcleo da fibra [11], formando um

espelho dielétrico para um comprimento de onda específico.

Para melhor compreender o efeito de perturbação na FBG, recorre-se à reflexão de

Fresnel, em que a luz que viaja entre os meios, com diferentes índices de refração, pode ser

refletida ou refratada numa interface. Por isso, uma FBG pode funcionar como um filtro ótico

refletor, refletindo comprimentos de onda específicos, permitindo que o resto do espetro de luz

incidente continue em transmissão [1]. Considerando o ângulo incidente e o ângulo

difratado pode descrever-se a onda incidente na seguinte equação

55

(3.10)

em que é designado por índice de refração modal médio do núcleo da fibra, é o

comprimento de onda incidente no meio e é a ordem da difração de Bragg. Supondo

, a condição de máximo para uma FBG é

(3.11)

Esta expressão é conhecida por condição de Bragg, onde é o comprimento de onda

de Bragg para o qual a refletividade é máxima, onde os feixes de luz incidentes e difratados

propagam-se no mesmo plano mas em sentidos opostos. Sendo assim, como anteriormente se

referiu, as redes de Bragg atuam como um filtro ótico refletor onde as frequências que

pertencem à região da banda proibida são refletidas para trás, sendo esta banda proibida

centrada no comprimento de onda de Bragg. Nestas condições, é sempre expectável a

ocorrência de um máximo de intensidade na direção contrapropagante. De referir que esta

ressonância se deve ao facto de todas as ondas dispersas na direção contrapropagante em

cada período espacial da rede se encontrarem em fase [5].

A descrição do funcionamento das redes de Bragg pode ser desenvolvida

considerando a propagação de modos numa fibra ótica através da teoria dos modos acoplados.

Estes modos propagam-se sem acoplamento na ausência de qualquer perturbação. Esta é

uma ferramenta muito útil para a compreensão teórica e estudo da interação entre os modos na

ocorrência de perturbações periódicas existentes num guia de onda. A ideia principal desta

teoria baseia-se na noção de que os modos de estruturas sem perturbação ou não acoplados

podem ser definidos e calculados antecipadamente. As soluções para estruturas mais

complexas com perturbações podem ser encontradas, posteriormente, como uma combinação

linear desses modos [16]. Aplicando a teoria dos modos acoplados, uma FBG pode ser vista

como existindo um efeito de acoplamento entre a onda que se propaga no sentido positivo e a

onda refletiva que se propaga no sentido negativo, na direção contrapropagante. Definindo o

campo elétrico

( )

( )[

] (3.12)

sendo ( ) a variação transversal do modo fundamental, a constante de propagação

longitudinal para o comprimento de onda de Bragg e e as amplitudes espetrais das

ondas que se propaga no sentido positivo e no sentido contrapropagante, respetivamente.

56

3.3.3. Largura de Banda, Refletividade e Dispersão de uma FBG

Uniforme

Começamos por estudar as redes uniformes pois estas são as redes mais simples de

todas. Uma rede de Bragg é designada uniforme quando as respetivas propriedades espaciais

se mantêm constantes ao longo do comprimento da fibra. Considerando-se que o índice de

refração ao longo do FBG varia uniforme e periodicamente segundo , ( ) (

), onde é a profundidade de modulação, as ondas que se propaga no sentido positivo e no

sentido contrapropagante podem ser descritas pelo seguinte par de equações diferenciais de

acoplamento em regime linear

(3.13)

(3.14)

em que , fator de dessintonia do comprimentos de onda de Bragg, e , coeficiente de

acoplamento, podem ser definidos por:

(

) (3.15)

(3.16)

onde designa o coeficiente de confinamento. A solução geral das equações (3.13) e (3.14) é

dada por

(3.17)

(3.18)

Aplicando as equações (3.17) e (3.18) em (3.13) e (3.14) obtém-se, respetivamente

( ) ( ) (3.19)

( ) ( ) (3.20)

onde as equações são satisfeitas para valores de , , e diferentes de zero e de tal

forma que é dado por

√ (3.21)

Para valores de pertencentes ao intervalo , vai conter uma

componente de parte imaginária, implicando que na FBG o campo incidente seja na sua

57

maioria refletido. Observando a figura 3.17, verifica-se a existência de uma banda proibida, que

é uma das principais característica das FBG, em que a maior parte das ondas incidentes nessa

região de frequências é refletida de volta.

Figura 3.17 – Variação do parâmetro com .

Para calcular o coeficiente de reflexão, resolvemos analiticamente as equações dos

modos de acoplamento, sendo possível devido à sua natureza linear. Atendendo às equações

(3.17), (3.18), (3.19) e (3.20) o coeficiente de reflexão da FBG é dado por

( )

( )

( )

( ) ( ) (3.22)

com a fase de dada por

[ ( )

( )] (3.23)

Pela figura 3.18, onde representamos a refletividade para e ,

constatamos que a refletividade, na zona da banda proibida, aproxima-se de 1 à medida que o

valor de cresce. Podemos considerar que para valores de a refletividade é

aproximadamente igual a 100% para . As FBGs uniformes têm um comportamento

semelhante a um filtro, todavia verificamos a presença de máximos secundários na

refletividade. Estas ressonâncias, que são altamente indesejadas pois contribuem para a

existência de diafonia entre canais muito próximos, devem-se à ocorrência de reflexões

múltiplas nas extremidades da rede resultantes da descontinuidade no índice de refração aí

observada, formando uma cavidade de Fabry-Pérot [13]. O recurso a técnicas de apodização,

variando o índice de refração a partir de um certo comprimento perto dos extremos, mantendo

a variação constante para a região afastada dos extremos, revela-se eficaz na supressão

destes lóbulos indesejáveis [5]. Em determinadas aplicações como a separação de canais

-6 -4 -2 0 2 4 6-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

/

kg

qg / k

g

58

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Lg

| r g

|2

kg L

g=2

kg L

g=4

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-250

-200

-150

-100

-50

0

Lg

| r g

|2 [

dB

]

kg L

g=2

kg L

g=4

adjacentes em sistemas WDM, ou a compensação da dispersão, a existência destes lóbulos

laterais pode ser muito penalizante [12].

Figura 3.18 – Espetros da refletividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita) em

função de para e .

A partir da equação (3.22), o máximo de refletividade que ocorre no centro da banda

proibida, , pode ser expresso em função do coeficiente de acoplamento e do comprimento

da rede da seguinte forma

| ( )|

( ) (3.24)

Na figura 3.19, apresentamos três representações para a refletividade máxima em

função do comprimento da rede e para diferentes valores do coeficiente de acoplamento .

Figura 3.19 – Dependência da refletividade máxima com o comprimento de uma FBG

uniforme, em , para valores do coeficiente de acoplamento , e

.

Observamos que em todas as representações existe um aumento da refletividade

máxima com o comprimento da rede, contudo a taxa de variação destas duas grandezas é

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rm

ax

Lg [ mm ]

kg = 10 cm-1

kg = 5 cm-1

kg = 1 cm-1

59

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Lg

| t g

|2

kg L

g=2

kg L

g=4

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Lg

| t g

|2 [

dB

]

kg L

g=2

kg L

g=4

proporcional a . É de salientar que inicialmente a refletividade tem um crescimento mais

rápido quanto maior for o valor de , tendendo assimptoticamente para o valor unitário com o

aumento do comprimento da rede.

Para o cálculo do coeficiente de transmissão seguem-se os mesmos passos

utilizados para o cálculo do coeficiente de reflexão. Obtém-se, assim

( )

( )

( ) ( ) (3.25)

Figura 3.20 – Espetros da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita)

em função de para e .

Como se previa, a transmissividade tem um comportamento complementar ao

observado para a refletividade.

Um aspeto muito importante relativamente ao estudo da FBG é a dispersão introduzida

pelo coeficiente de reflexão. Ilustramos, na figura 3.21, a variação da fase do coeficiente de

reflexão, expressa na equação (3.23). A partir da fase do sinal refletido é possível deduzir a

expressão para o atraso de grupo sofrido e consequentemente obter a dispersão da rede que

resulta da variação não-linear da fase. Expressando o atraso de grupo por

(3.26)

A dispersão induzida pela FBG, que é dada pela derivada do atraso de grupo em

ordem ao comprimento, pode ser expressa da seguinte forma

(3.27)

onde designa o coeficiente da dispersão de velocidade de grupo da FBG.

60

1549.5 1549.6 1549.7 1549.8 1549.9 1550 1550.1 1550.2 1550.3 1550.4 1550.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

[ nm ]

g [

ps

2 ]

kg L

g=2

kg L

g=4

1549.5 1549.6 1549.7 1549.8 1549.9 1550 1550.1 1550.2 1550.3 1550.4 1550.5-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

[ nm ]

Dg [

ps

2 /

nm

]

kg L

g=2

kg L

g=4

Figura 3.21 – Variação da fase do coeficiente de reflexão em função de para e

.

Figura 3.22 – Atraso de grupo (à esquerda) e dispersão induzida (à direita) numa FBG

uniforme com e , para e .

Observamos que, na zona da banda proibida, a variação da fase é aproximadamente

linear, logo, nesta zona vai corresponder a um atraso de valor mínimo e consequentemente o

valor da dispersão é mínimo. Verificamos, pela figura 3.22, que apenas fora da banda proibida

ocorre o valor máximo de dispersão, e é mais elevado quanto maior for o valor do produto .

Estes valores elevados da dispersão são causados pelo elevado atraso na proximidade da

banda proibida, resultante das sucessivas reflexões nas extremidades da rede. Pela

observação do espetro da dispersão da rede, como era esperado, a dispersão é nula para o

comprimento de onda onde ocorre o máximo de refletividade.

Outro parâmetro importante de se realçar é a largura de banda deste dispositivo. De

seguida, representamos a largura de banda da banda proibida para diferentes valores de .

61

Figura 3.23 – Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para ,

e , em função do comprimento da rede , em .

Verificamos que, para fixo, quanto maior o comprimento da rede menor é a largura

de banda da banda proibida. Constatamos ainda que, a partir de um certo comprimento, por

mais que se aumente o comprimento a largura de banda não tem qualquer alteração, atingido

um valor mínimo para o valor de considerado. Todavia, quanto menor for o comprimentos da

FBG maior é a largura de banda proibida, mas consequentemente leva a um valor mais baixo

de refletividade máxima. Verificamos que as FBGs uniformes têm uma largura de banda

reduzida, não permitindo ser utilizada a altos ritmos binários [1].

É de notar que se não existisse acoplamento entre ondas, a reflexão apenas se

limitava ao comprimento de Bragg, deste modo espera-se que à medida que se aumenta o

acoplamento entre as ondas que se propaga no sentido positivo e no sentido contrapropagante

exista uma maior dependência dos parâmetros com a frequência e consequentemente uma

maior largura de banda [5].

3.3.4. Compensação de Dispersão Baseada em Redes Aperiódicas

De forma a permitir efetuar a compensação de dispersão para ritmos elevados,

criaram-se as chamadas redes aperiódicas, ou mais conhecidas por redes chirped (CFBG).

Este tipo de dispositivos possibilita a variação da condição de Bragg ao longo do seu

comprimento, isto é, uma variação progressiva do centro da banda proibida, através da

mudança do índice de refração efetivo modal e/ou através da variação do período espacial da

amplitude de modulação do índice ( ), ver expressão (3.11) [1]. Na figura 3.24,

representamos uma variação do período linearmente ao longo da posição longitudinal da rede,

que é expresso por

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Larg

ura

de B

anda [

nm

]

Lg [cm]

kg = 2.84 cm-1

kg = 1.62 cm-1

kg = 0.4 cm-1

62

( ) (3.28)

onde designa o período espacial da rede numa das suas extremidades e o coeficiente de

aperiodicidade, expresso usualmente em nm/cm ou nm/mm. Desta forma é possível obter uma

aperiodicidade linear, provocando o aumento do comprimento de onda Bragg e

consequentemente uma translação do centro da banda proibida para frequências cada vez

mais baixas à medida que aumenta o período espacial. Assim, os diversos comprimentos de

onda do sinal, que coincidem com o comprimento de onda de Bragg, são refletidos em

diferentes posições da CFBG, sendo as frequências mais altas refletidas logo de início e de

seguida as frequências mais baixas. Deste modo, as componentes mais lentas do espetro são

refletidas primeiro e as mais rápidas percorrem um caminho mais longo até serem refletidas,

correspondendo esta situação a uma DVG anómala. É possível também a mesma CFBG

proporcionar uma DVG normal, bastando apenas incidir o sinal no extremo contrário da CFBG.

Os demais comprimentos de onda são transmitidos normalmente. O caminho que cada

comprimento de onda percorre dentro do dispositivo é inversamente proporcional à velocidade

de propagação de cada sinal na fibra, por conseguinte, os sinais chegam à saída do dispositivo

praticamente no mesmo instante, efetuando assim a compensação da DVG [5].

Figura 3.24 – Compensação da dispersão de uma CFBG: Perfil do período espacial ( ) ao longo

do comprimento da CFBG (à esquerda); reflexão das baixas e altas frequências em pontos

diferentes (à direita) (adaptado de [1]).

Figura 3.25 – Reflexão e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento com

parâmetro de aperiodicidade total de , para DVG normal (obtido através do programa

OptiGrating 4).

63

O facto de diferentes comprimentos de onda serem refletidos em diferentes posições

da fibra, provoca um atraso de grupo dependente do comprimento de onda. É ainda de

sublinhar que, se a aperiodicidade for linear, o atraso de grupo também é linear, tornando-se

estas redes atrativas para implementar técnicas de compensação de dispersão em sistemas de

comunicação com fibra ótica [19]. Observamos que a CFBG, usualmente, possui uma largura

de banda mais extensa do que a largura de banda de uma FBG, uma vez que neste tipo de

redes a condição de Bragg verifica-se para um maior número de componentes espetrais, sendo

a banda total da CFBG constituída pela sobreposição de várias minibandas [1].

Tomando por referência a componente espetral refletida numa das extremidades da

rede, isto é para , observa-se que a componente refletida na extremidade oposta

apresenta um atraso dado por [12]

(3.29)

em que designa a velocidade da luz no vazio. Considerando as componentes espetrais

refletidas nos extremos, a expressão para dispersão da rede, que resulta da diferenciação do

atraso de grupo em ordem ao comprimento, é a seguinte [12]

(3.30)

onde designa a diferença entre as componentes espetrais refletidas nos extremos da CFBG,

dada por

(3.31)

O sinal da dispersão está diretamente relacionado com o sinal de , sendo positivo

quando a rede é orientada no sentido dos períodos crescentes e negativo por inversão da

mesma [12]. Aplicando a equação (3.31) na expressão (3.30) obtém-se a seguinte expressão

para dispersão da rede

(3.32)

Verificamos que uma rede de Bragg com aperiodicidade linear é independente do seu

comprimento, variando apenas com o coeficiente de aperiodicidade. Deste modo, recorrendo a

CFBG é possível compensar a DVG imposta por uma fibra convencional com comprimento na

ordem das centenas de quilómetros utilizando uma CFBG de comprimento na ordem das

dezenas de centímetros [1]. Este tipo de dispositivo de compensação apresenta características

muito importantes, nomeadamente uma largura de banda relativamente elevada comparada

com a DCF que apenas compensa na perfeição para um dado comprimento de onda. O seu

custo é reduzido pois são necessários poucos centímetros de FBG para compensar grandes

distâncias, sendo que se utilizássemos uma DCF seriam necessários vários troços com

64

comprimentos muito elevados, na ordem dos . Uma desvantagem das CFBG ao atuarem

como um filtro refletor é a utilização indispensável de um circulador para separar o sinal

refletido do incidente [5].

3.4. Conclusões

Neste capítulo, analisámos duas técnicas de compensação em regime linear, para a

compensação dos efeitos da DVG e da dispersão de ordem superior utilizando as DCF, e a

compensação da DVG empregando as FBGs.

Verificámos que com a introdução da DCF, de comprimento , conseguimos recuperar

totalmente o sinal que foi introduzido inicialmente na fibra ótica de transmissão que, devido à

DVG e à dispersão de ordem superior, tinha sofrido um alargamento. Contudo, para um

sistema WDM a abordagem utilizada não é a mais correta pois o coeficiente de dispersão ,

que depende do comprimento de onda, é otimizado apenas para um comprimento de onda.

Deste modo, para vários canais é necessário uma análise diferente para que os canais tenham

compensação de dispersão idêntica.

Estes tipos de fibras apresentam algumas desvantagens, tais como os elevados custos

e exibe altas perdas, comparativamente com as fibras convencionais. Outra desvantagem é

contribuírem para a ocorrência de fenómenos não-lineares, que devido ao facto de terem uma

densidade bastante inferior relativamente às fibras convencionais conduzem a um aumento

considerável da potência no seu interior.

Foram ainda focadas as principais características das FBG uniformes e, por fim,

realçada a aplicação deste dispositivo na compensação de dispersão. Utilizou-se a reflexão de

Fresnel e a teoria dos modos acoplados para uma descrição quantitativa dos fenómenos

existentes na FBG, que permite obter um conjunto de equações diferenciais para as duas

ondas com sentidos de propagação contrários. Devido a esta interação forma-se uma banda

proibida, onde se dá a reflexão máxima, demonstrando umas das suas muitas potencialidades

de funcionar como filtro ótico.

Concluímos que quanto maior for o produto do coeficiente de acoplamento pelo

comprimento da rede , a refletividade aproxima-se do valor máximo de 100%. Averiguámos

que a largura da banda proibida para um dado fator de acoplamento varia em função do

comprimento da rede. Constatámos que quanto menor for o comprimentos da FBG maior é a

largura de banda proibida, mas que consequentemente leva a um valor mais baixo de

refletividade máxima.

Verificámos que na proximidade da fronteira da banda proibida, o sinal sofre elevada

distorção não controlável, o que inibe a utilização desta zona para efetuar compensação de

65

dispersão. Desta forma, recorre-se às CFBG para realizar compensação de dispersão. Através

da variação do índice de refração ou pela variação da periodicidade da rede, os diferentes

comprimentos de onda são refletidos em diferentes lugares na rede, sendo os valores de DVG

estimados com base na diferença de percursos entre as altas e baixas frequências. Este valor

de DVG pode ser anómalo ou normal. Verificámos que estes valores são bastante elevados

comparativamente aos introduzidos por uma DCF, possibilitando que uma FBG com

comprimento na ordem de apenas algumas dezenas de centímetros possa compensar a

dispersão introduzida por uma fibra monomodal convencional com algumas centenas de

quilómetros. Neste tipo de redes, como a condição de Bragg é satisfeita para vários

comprimentos de onda, verifica-se que a sua largura de banda é superior relativamente às

redes convencionais. Uma das limitações do uso de FBG é a necessidade de utilização de um

circulador para separar os sinais refletidos dos sinais incidentes, introduzindo desta forma

perdas na ordem dos 2 dB.

66

67

Capítulo 4 – Compensação de Dispersão em Regime Não-

Linear

4.1. Introdução

Na análise apresentada nos capítulos anteriores, considerámos que as fibras óticas se

tratavam de meios lineares mas, de facto, verifica-se que nem para todas as aplicações se

pode fazer esta consideração. Trata-se de uma aproximação que para potências mais elevadas

do sinal de entrada ou para comprimentos maiores da ligação perde a sua validade,

começando a manifestar-se os efeitos não-lineares das fibras óticas. Confirmou-se que todos

os materiais se comportam de forma não-linear para intensidades elevadas do campo

eletromagnético, averiguando-se um aumento do índice de refração com o aumento da

intensidade [7]. Este efeito, que estabelece a dependência do índice de refração com a

intensidade do campo, é denominado por efeito ótico não-linear de Kerr. Para calcular essas

limitações ditadas pelo regime não-linear é necessário caracterizar e quantificar esses efeitos.

4.2. Efeito Não-Linear de Kerr numa Fibra Ótica

É importante estudarmos as consequências do efeito de Kerr na propagação de

impulsos em regime não-linear. Como referimos, o efeito de Kerr modifica o índice de refração

da fibra ótica, induzido por intensos campos óticos. Sendo a constante de propagação linear

e o correspondente índice de refração modal, tem-se [4]

(4.1)

em que é a constante de propagação no vácuo.

No plano transversal é possível relacionar a constante dielétrica relativa, , com o

índice de refração da fibra, , da seguinte forma

( ) ( ) (4.2)

Em regime linear, através da equação de Helmholtz pode-se escrever

[ ( )

] ( ) (4.3)

onde é a distribuição modal. De igual forma, em coordenadas retangulares,

(4.4)

68

Admitindo que, no caso da aproximação dos modos para fibras óticas de pequeno

contraste dielétrico, se pode considerar para o campo elétrico a expressão explicitada em

(2.24). Suponhamos que existe uma perturbação na constante elétrica relativa , tal que a

nova constante elétrica é dada por

( ) (4.5)

Consequentemente, a nova constante de propagação longitudinal é dada por

(4.6)

com

∫ ∫ | ( )|

∫ ∫ | ( )|

(4.7)

onde é uma perturbação na constante de propagação. Atendendo à equação (4.2), vem

( ) (4.8)

Sendo uma perturbação no índice de refração. Assumindo a aproximação ( ) , e

substituindo a equação (4.1) na equação (4.7), obtém-se a expressão

∫ ∫ | ( )|

∫ ∫ | ( )|

(4.9)

Numa fibra ótica de sílica, o efeito não-linear de Kerr determina que o novo índice de

refração é dado por

( ) | |

(4.10)

onde é um campo fictício e é o coeficiente do índice não-linear e tipicamente

. Considerando

| | | | (4.11)

tal que representa a intensidade ótica e é uma admitância apropriada. Concluímos que

| |

(4.12)

Atendendo à definição do campo elétrico e à variação longitudinal do campo,

representadas em (2.24) e (2.28), respetivamente, tem-se

| | ( ) ( ) | ( )| (4.13)

Aplicando a equação (4.12) e (4.13) em (4.9), verifica-se que

69

∫ ∫ | ( )|

∫ ∫ | ( )|

| ( )| (4.14)

Introduzindo uma nova amplitude

( ) ( )√ ∫ ∫| ( )|

(4.15)

a equação (4.14) pode ser reescrita na seguinte forma

| ( )| (4.16)

onde o coeficiente não-linear é dado por

(4.17)

em que é a área efetiva definida por

(∫ ∫ | ( )|

)

∫ ∫ | ( )|

(4.18)

Representando | ( )| pela potência transportada ( ), a equação (4.16) vem

dada por

( ) (4.19)

Tendo por outro lado

( ) ( ) (4.20)

sendo o coeficiente de atenuação e a potência máxima do impulso à entrada da fibra, a

fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será dada por

( ) ∫ ( )

∫

∫ ( )

(4.21)

Obtém-se

( ) ( ) (4.22)

onde é o comprimento efetivo tal que

( ) (4.23)

70

Verificamos que existe um desvio da fase não-linear. Este fenómeno é designado por

auto-modulação de fase (AMF), que origina uma variação da frequência instantânea ao longo

da propagação dos impulsos [4].

De notar que se forem utilizadas secções de amplificação, a fase não-linear à saída do

conjunto total das secções de amplificação é dada por

( ) (4.24)

onde designa o número de secções de amplificação.

Tendo em conta o efeito não-linear provocado pela AMF obtém-se o desvio de

frequência que é dado por

( )

(4.25)

Deste modo, temos na frente do impulso

( ) (4.26)

o que implica um desvio para o vermelho. De forma análoga, na cauda do impulso dá-se

origem a um desvio para o azul.

Recordando o coeficiente de dispersão da velocidade de grupo definido em (2.50), é

dado por

( )

|

(4.27)

Na zona de dispersão anómala em que , tem-se assim

|

(4.28)

com a velocidade de grupo a comportar-se como uma função crescente da frequência na

vizinhança da portadora, onde as frequências mais altas deslocam-se com maior velocidade

que as frequências mais baixas, observa-se um deslocamento para o azul na frente e um

deslocamento para o vermelho na cauda do impulso, efeito este contrário ao causado pela

AMF. Deste modo os efeitos da DVG e da AMF equilibram-se mutuamente, permitindo a

propagação de impulsos especiais, os quais são designados por solitões claros, ou

simplesmente solitões, impulsos estes que mantêm a sua forma ao longo da propagação [4].

Mais adiante iremos estudar em detalhe este tipo de impulso.

71

É de evitar o caso em que os efeitos da DVG e da AMF não se anulam um ao outro

visto que os efeitos somados provocam um maior alargamento dos impulsos, limitando ainda

mais o desempenho do sistema.

4.3. Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear

Apresentamos de seguida a dedução da equação não-linear, considerando a DVG e a

dispersão de ordem superior, tendo em conta a auto-modulação de fase. Desprezaram-se os

efeitos não-lineares de ordem superior, tais como os efeitos de Raman, que assumem um

papel importante na propagação de impulsos ultracurtos, com larguras inferiores a 1 ps, ou o

self-steepening [4].

Como considerámos no estudo da propagação de impulsos em regime linear, a

transformada de Fourier da envolvente é dada por

( ) ( ) ( ) (4.29)

com

( ) ( ) (4.30)

em que

( ) ∑

(4.31)

onde é a constante de atenuação. Desprezando-se os termos de ordem , aplicando a

equação (4.31) em (4.30) temos

( ) (

)

(4.32)

Devido ao efeito ótico de Kerr a constante de propagação sofre uma perturbação de

, de acordo com a equação (4.6), onde a perturbação é defina em (4.16). Admite-se que

essa perturbação não afeta a função modal ( ), de acordo com a equação (4.15) a nova

amplitude ( ) pode ser escrita por

( ) ( ) ( ) (4.33)

com

( ) ( ) [ ∫ ( ) ]

(4.34)

Atendendo à equação (4.16), vem ainda

72

( ) ( ) [ ∫ | ( )| ]

(4.35)

Pela regra de Leibniz, infere-se que

∫ | ( )| | ( )|

(4.36)

Apesar de ( ) variar ao longo do tempo, essa variação é bastante lenta. Logo, de

agora em adiante, vamos desprezar essa variação. Deste modo, tem-se

( ) | | (4.37)

com

( )

(4.38)

onde ( ) representa a parte linear, já anteriormente considerada.

Considerando as variáveis normalizadas e , já introduzidas no regime linear,

descritas nas equações (2.63) e (2.64), e atendendo à definição do comprimento dispersivo ,

definido em (2.65), conclui-se então

( )

| |

(4.39)

em que

| | (4.40)

(4.41)

onde é o coeficiente de dispersão de ordem superior e o parâmetro das perdas.

Introduzindo uma nova amplitude normalizada ( ), tal que

( ) ( )

√

(4.42)

onde é a potência de pico do impulso incidente. A equação (4.39) pode ser reescrita na

seguinte forma

( )

| |

(4.43)

sabendo que

73

(4.44)

onde representa o comprimento não-linear, que é dado por

(4.45)

É de referir que o coeficiente não é necessariamente um número inteiro, que pode

ser obtido através da seguinte expressão

√

| | (4.46)

ou, de acordo com a aproximação gaussiana

√

| | (4.47)

É usual introduzir-se uma outra amplitude normalizada ( ) tal que

( ) ( ) (4.48)

Averiguámos que com a introdução desta nova amplitude aplicanda à equação (4.43)

obtém-se

( )

| |

(4.49)

Desprezando as perdas, , e a dispersão de ordem superior, , a equação

(4.49) reduz-se à forma canónica da equação não-linear de Schrödinger (NLS), dada por [4]

( )

| | (4.50)

É possível fazer uma caracterização dos regimes de propagação em fibras óticas,

através dos comprimentos e , indicando em que condições se tornam predominantes os

efeitos da dispersão ou da não-linearidade, ou ambos os casos, ou ainda nenhum dos dois [6].

Ignorando os termos de ordem superior e as perdas, a equação (4.43) pode ser reformulada da

seguinte forma

( )

| | (4.51)

Admitindo o comprimento do sistema dado por , é possível definir quatro regimes de

propagação de impulsos. Quando e nem o efeito da dispersão nem o efeito da

74

não-linearidade se fazem sentir, podendo estes serem desprezados, logo da equação (4.51)

obtém-se

(4.52)

Este regime é conhecido como regime linear não dispersivo, no qual o impulso mantém

a sua forma durante a propagação.

Com e a propagação do impulso é dominada pelos efeitos de

dispersão, observando-se o alargamento temporal do impulso, como anteriormente foi

estudado. A este regime designa-se por regime linear dispersivo. A equação (4.51) reduz-se a

( )

(4.53)

Para o caso e os efeitos de não-linearidade predominam na

propagação do impulso, sendo os efeitos de dispersão desprezáveis. Verifica-se, novamente,

um alargamento temporal do impulso. Este regime é denominado por regime não-linear não-

dispersivo. A equação (4.51) vem

| | (4.54)

Por último, onde e , ambos os efeitos se manifestam, sendo a

propagação do impulso governada, simultaneamente, pelos efeitos de dispersão e pelos efeitos

de não-linearidade. Este regime é conhecido por regime não-linear dispersivo, que se

caracteriza por permitir a propagação de solitões. A propagação deste tipo de impulsos é

regida pela equação não-linear de Schrödinger, descrita na equação (4.50).

4.4. Sistemas com Solitões

A teoria dos solitões foi uma das mais interessantes descobertas efetuadas no âmbito

da física durante o século XX [15]. O solitão foi descrito como o comportamento de uma onda

que num meio dispersivo não-linear, sob certas condições, se propaga mantendo inalteradas

as suas características, nomeadamente a sua largura e amplitude, resistindo a colisões, e

apresenta um comportamento típico de partículas [9]. A propagação deste tipo de ondas

solitárias trouxe enormes vantagens aos sistemas de comunicação ótica de longas distâncias e

elevado ritmo de transmissão, compensando, simultaneamente, os efeitos dispersivos e os

efeitos não-lineares, os quais assumem um papel preponderante na degradação do

desempenho dos sistemas de comunicação ótica. Um impulso ótico do tipo solitão propaga-se

numa fibra resultante do equilíbrio perfeito entre a DVG e a AMF, e desta forma propaga-se

sem sofrer distorção. Os solitões que se propagam na zona de dispersão anómala, , são

75

denominados por solitões claros ou somente solitões, enquanto na zona de dispersão normal,

, são chamados solitões escuros. Nesta dissertação, vamos abordar apenas os solitões

claros, pois são aqueles que apresentam maior interesse para os sistemas de comunicação

ótica.

O estudo da propagação de solitões, em fibras óticas ideais, tem por base a equação

não-linear de Schrödinger. Através do método IST (inverse scattering transform) é possível

provar que a equação NLS aceita soluções com a seguinte forma

( ) ( ) (4.55)

Esta solução corresponde ao solitão fundamental. Este impulso propaga-se sem sofrer

distorção, uma vez que a amplitude não depende da variável normalizada , mas sim

dependente de . É possível ainda concluir que qualquer feixe incidente

( ) ( ) (4.56)

apresenta a forma

( ) ( ) (4.57)

em que o parâmetro corresponde a um número inteiro, definido em (4.44) e em (4.46). Os

impulsos com a forma descrita em (4.57) correspondem a solitões de ordem , com forma

secante hiperbólica. Para corresponde à situação do chamado solitão fundamental. Para

valores de são designados por solitões de ordem superior. Ao contrário do que se

verifica no solitão fundamental, os solitões de ordem superior não mantêm a sua forma, mas

contudo mostram uma evolução periódica, com período que em unidades reais

corresponde a

| | (4.58)

Representamos nas figuras 4.1 e 4.2 a evolução dos solitões de primeira e terceira

ordem, respetivamente.

76

Figura 4.1 – Evolução do solitão fundamental.

Figura 4.2 – Evolução do solitão de terceira ordem.

Na figura 4.2 observamos que a largura do solitão de terceira ordem inicialmente

contrai até a um pico de valor máximo, predominando os efeitos de auto-modulação de fase

sobre os efeitos da dispersão. De seguida, os efeitos da dispersão predominam em relação aos

efeitos da auto-modulação de fase causando alargamento do impulso e diminuição da sua

amplitude, para depois se dividir em várias componentes que voltam mais tarde a juntar-se,

recuperando a forma inicial quando a distância é igual ao período do solitão. Este

comportamento observa-se para todos os solitões de ordem superior, . Para o caso do

solitão fundamental, figura 4.1, este propaga-se mantendo inalterada a sua forma uma vez que

existe balanceamento dos efeitos da DVG e AMF durante toda a propagação do solitão na fibra

ótica. Apesar de os solitões de ordem superior poderem ser utilizados para compressão de

impulsos, o solitão fundamental é o mais interessante para os atuais sistemas de comunicação

pois não sofre distorção durante a sua propagação.

77

Contudo, a fibra ótica trata-se de um meio com perdas e desta forma o equilíbrio entre

a DVG e a AMF é perdido. Para que a propagação se dê sem alteração da configuração do

impulso é indispensável a utilização de amplificadores óticos para garantir que a potência ótica

nunca desça abaixo de um determinado valor, que é dado por [10]

( ) (4.59)

onde representa a largura FWHM do solitão, o índice de refração da bainha e

a dispersão total na ligação. Com a inclusão de amplificadores, estes vão introduzir ruído,

proveniente da emissão espontânea de amplificação degradando a relação sinal-ruído do

sistema e originando flutuações na amplitude e na fase do sinal ótico à saída do amplificador.

As flutuações de fase são as mais problemáticas pois, como a velocidade de grupo depende da

frequência da portadora , e qualquer flutuação de altera a derivada , tal vai fazer

com que a velocidade de grupo varie aleatoriamente na saída de cada amplificador. Esta

variação aleatória da velocidade de grupo provoca flutuações temporais aleatórias,

introduzindo jitter conhecido na literatura como jitter de Gordon-Haus [6]. A presença deste

efeito vai contribuir para degradação do sistema. Na prática, ao inserirem-se os amplificadores

para resolver a limitação, devido às perdas, vão ser introduzidas limitações provocadas pelos

efeitos do jitter [6]. Para combater estes efeitos são utilizadas técnicas de compensação de

dispersão ou técnicas de filtragem, que não iremos abordar nesta dissertação.

4.4.1. Efeito de Raman

Quando estamos na presença de sistemas de solitões com ritmos elevados, que

requerem impulsos com largura característica curta, os efeitos não-lineares de ordem superior

têm de ser contabilizados. O efeito não-linear de ordem superior mais significativo é o efeito de

Raman, ou denominado auto-desvio de frequência. Devido à largura reduzida do solitão o

espetro é mais largo, pelo que as frequências mais elevadas transferem energia para as

frequências mais baixas, através do fenómeno de desvio de frequência de Raman [6]. A

equação que descreve a propagação de um solitão numa fibra ótica, não desprezando os

efeitos de Raman, é dada por

| |

| |

(4.60)

com

(4.61)

78

onde é o coeficiente normalizado referente ao efeito de Raman e o desvio de frequência

devido ao efeito de Raman, que tipicamente para um fibra de sílica na terceira janela tem valor

. Verificamos, na figura 4.3, para um impulso com e , que o espetro é

transladado para o vermelho, refletindo-se num atraso temporal do solitão, que se acentua com

a distância, provocado pelo efeito de Raman. Este efeito de Raman é de carater determinístico

pois vai depender dos parâmetros característicos do impulso, como a energia e a largura. O

desvio de frequência induzido pelo efeito de Raman (RIFS), para um impulso sem chirp, cresce

linearmente com a distância, e é dado por [2]

( )

| |

(4.62)

onde | | . Isto mostra que o RIFS tem um papel significativo para impulsos

ultracurtos, uma vez que o desvio de frequência é maior quanto menor for a largura do impulso.

Figura 4.3 – Evolução do solitão fundamental com coeficiente do efeito de Raman .

Figura 4.4 – Evolução do solitão de segunda ordem com coeficiente do efeito de Raman .

79

No caso do solitão de segunda ordem, podemos verificar na figura 4.4 que existe uma

separação dos seus constituintes. A componente predominante é desviada para o vermelho

que consequentemente sofre um atraso em relação ao impulso de entrada, enquanto o impulso

de menor amplitude é adiantada em relação ao espetro inicial. O solitão de segunda ordem

como é mais largo que o solitão fundamental, o seu espetro muda a um ritmo mais baixo

comparativamente ao que acontece no solitão fundamental.

Com a introdução de amplificadores óticos, estes irão originar variações aleatórias na

amplitude do solitão, com estas a serem convertidas em desvio de frequência pelo efeito de

Raman, que por sua vez são convertidas em flutuações de posição pela DVG [6], contribuindo

para o agravar do jitter. Juntando esta contribuição com o jitter de Gordon-Haus, referido

anteriormente, estes vão constituir uma grande limitação para os sistemas de solitões com

ritmos elevados. Apesar do efeito de Raman ser indesejável, ele proporciona a amplificação de

sinais óticos fracos, sendo possível utilizá-lo para esquemas de amplificação ótica uma vez que

transfere energia para outro comprimento de onda.

Em sistemas de comunicação multicanal o efeito de Raman, devido à sua vasta largura

de banda, provoca interferência entre canais assumindo assim um aspeto crítico no projeto de

sistemas WDM de longa distância. Uma das soluções para combater o efeito de Raman passa

por introduzir filtros à saída dos amplificadores óticos que aumentam a relação sinal-ruído,

diminuindo o jitter, ou através de técnicas de gestão de dispersão [6].

De seguida, apresentamos técnicas de gestão de dispersão para reduzir os desvios de

frequência, efeitos que conduzem ao aparecimento de jitter.

4.4.2. Gestão de Dispersão

Para combater os desvios de frequência, é usual utilizar técnicas de gestão de

dispersão empregando troços de fibra com coeficientes de dispersão diferentes

alternadamente, para que durante a propagação se mantenha o valor médio da dispersão

dentro da zona anómala para permitir a propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga

durante a propagação ao longo da fibra [6]. Para ser possível minimizar o jitter, os valores do

coeficiente de dispersão devem ser escolhidos para que a dispersão média , dada por

(4.63)

seja praticamente nula. Isto permite não só elevar a potência de pico, que leva a um aumento

do valor da relação sinal-ruído do sistema, e à diminuição do jitter, bem como aumentar a

distância de transmissão máxima dos sistemas baseados em solitões. Considerando a variação

da dispersão, a equação que rege a propagação do solitão, desprezando os termos de ordem

superior, é definida da seguinte maneira

80

( )

| |

(4.64)

com

( ) ( )

(4.65)

onde ( ) é o coeficiente de dispersão normalizada, o termo da dispersão média e ( ) o

parâmetro da dispersão de um dado local da ligação. O parâmetro ( ) é dado por

( )

( ) (4.66)

Um dos mapeamentos de dispersão mais utilizado é representado na figura 4.6, com

e . Recorrendo a este mapa, ilustramos na figura 4.5 a evolução da gestão de

dispersão ao longo de um período de dispersão. Foram desprezadas as perdas e considerou-

se , ( ), ( ), , obtendo

( ). Verifica-se que a largura do impulso aumenta inicialmente durante o

primeiro troço de fibra pois e que no seguinte troço o impulso contrai porque ,

recuperando a forma do impulso inicial ao fim do período de .

Figura 4.5 – Evolução do solitão fundamental para um sistema com gestão de dispersão.

Figura 4.6 – Mapa de dispersão, para e [6].

81

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso inicial

Impulso final

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo

Am

plit

ude

Impulso inicial

Impulso final

4.5. Impulso Gaussiano

De seguida, analisamos a propagação do impulso Gaussiano em regime não-linear, na

zona anómala. Sendo a propagação deste impulso regida pela equação não-linear de

Schrödinger, equação (4.50), ilustramos nas figuras 4.6 e 4.7 a evolução do impulso Gaussiano

para e . Ao contrário do que se verificou na evolução do impulso Gaussiano em

regime linear, observa-se que o impulso Gaussiano, quando se considera a fibra ótica como um

meio não-linear, tem uma evolução completamente distinta [15]. Constata-se que o

alargamento e consequente diminuição da amplitude do impulso Gaussiano em regime não-

linear são menos pronunciados. Para curtas distâncias estabelece-se um estado de equilíbrio

das características do impulso, mantendo-se inalteráveis durante a sua propagação tendendo

para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão fundamental.

Figura 4.7 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra em regime não-linear para distâncias

(à esquerda) e (à direita).

Figura 4.8 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra em regime não-linear para

distâncias (à esquerda) e (à direita).

82

No entanto, quando consideramos distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura

do impulso oscilam devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas

com solitões, o impulso alarga e a amplitude diminui devido aos efeitos da DVG, sendo que

mais tarde o impulso sofre um estreitamento e consequentemente um aumento da amplitude,

predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG [15]. Deste modo, os impulsos

Gaussianos podem ser utilizados para descrever solitões em mapas de dispersão que

permitem baixar a DVG média da ligação.

4.6. Conclusões

Neste capítulo, efetuámos uma análise acerca dos vários efeitos não-lineares que

governam a propagação de impulsos. Verificámos que, na zona anómala, existe um equilíbrio

entre a DVG e a AMF dando origem a impulsos do tipo solitão. Através da equação não-linear

de Schrödinger conseguimos descrever a propagação dos solitões em fibras óticas. Estes

impulsos, quando se desprezam os efeitos das perdas, propagam-se sem alteração da forma,

apresentando grandes potencialidades para serem usados em sistemas de comunicação,

permitindo ritmos de transmissão muito elevados pois não se encontram limitados pela

interferência inter-simbólica. Averiguámos que os solitões de ordem superior, ao contrário do

solitão fundamental, mostram uma evolução periódica recuperando a sua forma inicial

periodicamente.

Se contabilizarmos as perdas, é necessário a introdução de amplificadores óticos para

ser possível a propagação de impulsos do tipo solitão. Mas com a utilização de amplificadores

óticos, observámos o aparecimento de jitter de Gordon-Haus, causado pela presença do ruido

de emissão espontânea.

Constatámos ainda que para impulsos curtos é importante considerar o efeito de

Raman, introduzindo atrasos, incitando ao aparecimento do jitter de Raman, sendo este o

efeito não-linear mais forte. O jitter de Raman e o jiiter de Gordon-Haus provocam as grandes

limitações dos sistemas baseados em solitões. Para minimizar o efeito do jitter recorre-se a

mapas de dispersão periódicos que mantêm o valor médio da dispersão na zona anómala para

permitir a propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga durante a propagação ao longo

da fibra, conseguindo recuperar, periodicamente, a forma inicial, à semelhança dos solitões de

ordem superior quando não são consideradas os efeitos das perdas. Desta forma, consegue-se

aumentar a relação sinal-ruido e reduzir o jitter.

Por último, simulámos o impulso Gaussiano, e verificámos que o alargamento e

consequente diminuição da amplitude do impulso em regime não-linear foram menos

pronunciados que o caso semelhante para regime linear. Para curtas distâncias estabeleceu-se

um estado de equilíbrio das características do impulso, mantendo-se inalteráveis durante a sua

propagação tendendo para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão

83

fundamental. Quando considerámos distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura do

impulso oscilaram devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas

com solitões, o impulso Gaussiano alargou e a amplitude diminuiu devido aos efeitos da DVG,

sendo que mais tarde o impulso sofreu um estreitamento e consequentemente um aumento da

amplitude, predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG. Portanto, o impulso

Gaussiano pode ser utlizado para descrever solitões em mapas de dispersão, baixando a DVG

média da ligação.

84

85

Capítulo 5 – Conclusões

Ao longo desta dissertação abordámos diversos aspetos relativos à propagação de

impulsos, em regime linear e em regime não-linear, em fibras óticas, com o objetivo de analisar

o problema da dispersão. Caracterizámos as limitações levantadas pela dispersão e

apresentámos, de seguida, diversas técnicas de compensação de dispersão possíveis de

serem utilizadas para ultrapassar essas limitações. Recorremos ao MATLAB para simular os

resultados demonstrados, para uma melhor compreensão destes.

No capítulo dois, começámos por fazer uma breve introdução à estrutura das fibras

óticas e verificámos que estas estão sujeitas a mecanismos dispersivos. Observámos que as

fibras óticas podem ser classificadas em monomodais ou multimodais, dependendo do número

de modos que se podem propagar nestas. O número de modos está diretamente relacionado

com o raio da fibra. Averiguámos que uma fibra está no regime monomodal quando a

frequência normalizada é inferior a 2.4048. Para uma fibra monomodal, constatámos que o

coeficiente de dispersão de segunda ordem, designado por coeficiente da dispersão de

velocidade de grupo (DVG), é responsável pelo alargamento que ocorre nos impulsos durante

a sua propagação na fibra. Este alargamento temporal vai causar interferência inter-simbólica,

provocando interferência entre os sinais, limitando o débito e o comprimento da ligação. O

parâmetro de dispersão total na fibra ótica resulta da soma do parâmetro de dispersão de

material com o parâmetro de dispersão de guia de onda. É exequível dimensionar fibras óticas

para obtermos dispersão total nula na ligação, através da manipulação das características da

fibra ótica para o comprimento de onda de operação, tais como o raio do núcleo e o contraste

dielétrico. Observámos que para uma fibra monomodal convencional, o zero do parâmetro de

dispersão ocorre em , e que para uma fibra de dispersão modificada convencional

o zero do parâmetro de dispersão ocorre na região da 3ª janela para .

Posteriormente, deduzimos a expressão da propagação de impulsos numa fibra ótica

em regime linear. Confirmámos que a propagação é influenciada pelos mecanismos

dispersivos, sendo a expressão da propagação de impulsos em sistemas de fibra ótica

representada através do coeficiente de DVG e do coeficiente de dispersão de ordem superior.

A variação de largura do impulso é calculada e de seguida contabilizada para um

impulso Gaussiano, para diferentes parâmetros de chirp, na região anómala. Considerámos o

impulso Gaussiano uma vez que a sua análise analítica e numérica é de menor dificuldade

comparativamente a outros tipos de impulsos. Concluímos que o alargamento do impulso

depende do parâmetro chirp. Desprezando-se os termos de ordem superior, o efeito do chirp

pode inicialmente conduzir a uma contração do impulso até a um determinado ponto, caso o

parâmetro de chirp seja positivo. A partir de um certo comprimento, o impulso começa a

alargar, com essa variação superior ao verificado para o caso do parâmetro chirp nulo. Para

86

distâncias menores que o comprimento dispersivo é vantajoso utilizar o parâmetro chirp

positivo pois pode servir como técnica de pré-compensação de dispersão. Para chirp negativo,

observou-se logo inicialmente um aumento da largura do impulso muito abrupto, revelando-se o

caso em que existe maior degradação do sistema.

Com auxílio do algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) simulámos a propagação de

diversos impulsos numa fibra ótica desprezando os efeitos de ordem superior, na região

anómala. Considerando-se que o meio onde se propaga o impulso não tem perdas, os

impulsos sofreram um acréscimo na sua largura e consequentemente uma diminuição na sua

amplitude de modo a manter o seu valor energético constante ao longo da sua propagação.

Para o impulso Gaussiano, confirmou-se o estudo analítico realizado anteriormente, onde se

constata que para chirp inicial este produz um maior alargamento do impulso. Para chirp

negativo, observámos um alargamento temporal mais abrupto que no caso do impulso sem

chirp, enquanto para chirp positivo há inicialmente uma contração do impulso mas de seguida

sofre um alargamento de fator semelhante ao que ocorre para chirp negativo. Verificámos que

o impulso super-Gaussiano alarga a um ritmo mais elevado do que o impulso Gaussiano e o

impulso exponencial, pois tem um espetro mais abrangente originando atrasos em cada

componente de frequência devido à DVG. No impulso com perfil de secante hiperbólica,

verificámos um andamento semelhante ao impulso Gaussiano, ambos mantêm inalterado o seu

perfil. Contudo, ostentam uma diferença do chirp induzido, sendo que para o impulso secante

hiperbólica a variação do parâmetro chirp é não-linear. Verificámos, ainda que, como não

considerámos as perdas da fibra, os espetros dos impulsos não sofreram qualquer alteração

durante a propagação na fibra ótica, com a DVG a não exercer influência sobre o espetro do

impulso.

Partindo da fórmula do impulso Gaussiano, com a sua solução dada em termos da

função de Airy, estudámos o coeficiente de dispersão de ordem superior. Concluímos que

estes efeitos manifestam-se para dois casos: quando o coeficiente da DVG é nulo e para

impulsos ultracurtos, em que o espetro é vasto.

Devido à grande degradação imposta pela dispersão nos sistemas de comunicação foi

necessário recorrer a técnicas de compensação de dispersão. No terceiro capítulo

apresentámos duas das técnicas de compensação de dispersão mais utilizadas em sistemas

de comunicação ótica em regime linear, as DCFs e as FBGs. Deste modo, conseguiu-se

aumentar consideravelmente o comprimento das ligações. Primeiro, estudámos a técnica de

compensação de dispersão usando DCFs, que combina troços de fibra ótica com coeficiente de

dispersão de sinal contrário às fibras de transmissão SMF, a fim de reduzir o valor médio da

dispersão a zero. No final do troço verificámos a recuperação total da forma inicial do impulso,

compensando os efeitos da DVG e da dispersão de ordem superior. Contudo, o seu custo é

elevado, introduz perdas na ligação e possibilita o aparecimento de efeitos não-lineares.

Depois, analisámos as redes de Bragg e observámos as grandes potencialidades e

versatilidades deste dispositivo na área dos sistemas óticos. Começámos por estudar as FBG

87

uniformes, verificando-se a existência de uma banda proibida, onde ocorre a reflexão máxima,

apresentando uma resposta na frequência similar a um filtro ótico. Observou-se que quanto

maior o produto entre o coeficiente de acoplamento e o comprimento da rede, maior era a

refletividade, aproximando-se do valor máximo de 100%. Na banda proibida, onde ocorre a

refletividade máxima, a dispersão induzida é nula, verificando-se que existe apenas dispersão

na fronteira da banda proibida devido às múltiplas reflexões de alguns comprimentos de onda

nas extremidades da rede para alguns comprimentos de onda. Demonstrámos que para

aumentar a largura de banda era necessário diminuir o comprimento da rede uniforme, contudo

a refletividade da rede seria menor. A largura destes dipositivos é inferior a 1 e depende

também do coeficiente de acoplamento entre as ondas de propagação.

Verificámos que a reduzida largura de banda e a elevada distorção não controlável do

sinal na zona próxima da fronteira da banda proibida inibem a utilização das FBGs uniformes

para efetuar compensação de dispersão. Deste modo, introduzimos a compensação da

dispersão baseada em CFBGs. Com este dispositivo, os diversos comprimentos de onda do

sinal que coincidem com o comprimento de onda de Bragg são refletidos em diferentes

posições da CFBG. Conseguiu-se, deste modo, compensar facilmente a dispersão normal ou

anómala com uma CFBG de comprimento apenas na ordem das dezenas de centímetros para

recuperar o sinal inicial que se propagou numa fibra de centenas de quilómetros. As CFBGs

são, assim, mais vantajosas que as DCFs pois quando utilizamos as DCFs para compensação

de dispersão foi necessário uma fibra de comprimento bastante superior. Uma desvantagem

das FBGs é a necessidade de um circulador para separar o sinal refletido do incidente,

introduzindo perdas na ordem dos 2 .

Por último, no quarto capítulo, analisámos a influência dos efeitos não-lineares na

propagação dos impulsos. Verificámos que a equação não-linear de Schrödinger é responsável

pela caracterização da propagação dos impulsos em meios não-lineares. Devido aos elevados

campos óticos induzidos, existe uma variação do índice de refração associado ao efeito ótico

não-linear de Kerr. Esta dependência da intensidade do campo vai ser responsável pelo efeito

de auto-modulação de fase. Em determinadas circunstâncias especiais observou-se um

balanceamento entre a DVG e a AMF, permitindo a propagação de solitões, impulsos estes que

não sofrem alterações na sua forma ao longo da fibra, o que os torna tão desejáveis para

comunicações óticas. Recorrendo-se ao método SSFM (Split-Step Fourier Method) simulámos

o solitão de ordem fundamental e o solitão de terceira ordem. Como era de esperar, o solitão

fundamental manteve a sua largura e amplitude inalteradas durante a propagação. O solitão de

terceira ordem apresentou uma periodicidade de , recuperando a sua forma inicial ao fim de

cada ciclo. Este apresentou picos de amplitude, em cada período, que resultaram do

estreitamento do impulso de modo a respeitar o princípio de conservação de energia.

Quando consideramos a fibra ótica um meio com perdas, é necessário amplificação

para o solitão manter a sua forma durante a sua propagação na fibra ótica. Com a introdução

de amplificadores, estes originam flutuações na amplitude e na fase, fazendo com que a

88

velocidade de grupo varie aleatoriamente na saída de cada amplificador. Esta variação da

velocidade de grupo provoca flutuações temporais aleatórias introduzindo jitter de Gordon-

Haus, que contribui para a degradação do sistema.

Estudámos, ainda, o efeito mais forte de ordem superior, o efeito de Raman.

Concluímos que este deve ser contabilizado para impulsos ultracurtos, introduzindo desvios de

frequência que levam a desvios temporais determinísticos significativos.

Para minimizar o jitter de Gordon-Haus e o efeito de Raman, utilizámos mapas de

dispersão para manter o valor médio da dispersão dentro da zona anómala e permitir a

propagação de impulsos cuja forma contrai e alarga durante a propagação ao longo da fibra,

aumentando a relação sinal-ruído da comunicação. Verificámos que durante o primeiro

segmento de fibra ótica o impulso alargou mas no seguinte troço o pulso contraiu recuperando

o impulso inicial ao fim do período.

Para finalizar, simulámos o impulso Gaussiano. Observámos que a evolução do

impulso Gaussiano em regime não-linear é diferente ao que verificámos para o impulso

Gaussiano em regime linear. O alargamento e consequente diminuição da amplitude do

impulso em regime não-linear foram menos pronunciados. Para curtas distâncias estabeleceu-

se um estado de equilíbrio das características do impulso, mantendo a sua forma durante a sua

propagação tendendo para a forma do solitão, perdendo energia até adquirir a forma do solitão

fundamental. Para distâncias muito elevadas, a amplitude e a largura do impulso variaram

devido aos efeitos da DVG e da AMF. Como verificámos para os sistemas com solitões, o

impulso alargou e a amplitude diminuiu devido aos efeitos da DVG, sendo que mais tarde o

impulso sofreu um estreitamento e consequentemente um aumento da amplitude,

predominando os efeitos da AMF sobre os efeitos da DVG. Desta forma, o impulso Gaussiano

pode ser utlizado para descrever solitões em mapas de dispersão, baixando a DVG média da

ligação.

5.1. Perspetivas para Trabalhos Futuros

Após o cumprimento dos objetivos propostos, existem alguns outros tópicos

interessantes que podem ser abordados em trabalhos futuros:

Estudo de técnicas de filtragem para controlo do jitter temporal;

Estudo de sistemas WDM em regime não-lineares;

Estudo de novos meios materiais, que têm surgido devido à constante evolução na

área da ótica, como por exemplo os cristais fotónicos. Estas fibras apresentam

grande flexibilidade permitindo controlar as propriedades dispersivas e não-lineares

da fibra;

Estudo do processo de amplificação em sistemas de comunicação ótica.

89

Anexo A - Fórmula Geral do Alargamento dos Impulsos em Fibras Óticas

Este anexo tem como objetivo a dedução de uma fórmula geral do alargamento de

impulsos durante a propagação em fibras óticas em regime linear. Esta fórmula permite

descrever o alargamento de impulsos de forma arbitrária. Mais tarde, aplicou-se este resultado

para o caso de propagação de um impulso Gaussiano inicial, tendo em conta os efeitos

dispersivos até à terceira ordem, desprezando-se a largura espetral da fonte.

A.1 – Dedução da Equação Geral de Propagação de Impulsos em Fibra

Ótica no Regime Linear

Geralmente, nos estudos de dispersão, a largura efetiva temporal para um impulso com

forma arbitrária, na saída da fibra, é caracterizada por

√⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (A.1)

onde ⟨ ⟩ representa os diferentes momentos característicos da forma do pulso, que podem

ser definidos em termos do espetro do impulso

⟨ ⟩ ∫ | ( )|

∫ | ( )|

(A.2)

Admitindo que

∫| ( )|

∫| ( )|

(A.3)

A expressão (A.3) possibilita simplificar a expressão (A.2) na seguinte forma

⟨ ⟩ ∫ | ( )|

(A.4)

o que permite definir os momentos de primeira ⟨ ⟩ e de segunda ordem ⟨ ⟩ nas seguintes

expressões

⟨ ⟩ ∫ | ( )|

(A.5)

⟨ ⟩ ∫ | ( )|

(A.6)

As equações (A.5) e (A.6) podem ser reescritas por

90

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )

(A.7)

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( )

(A.8)

Definindo a transformada de Fourier do impulso ( ) e a sua inversa

( ) ∫ ( )

(A.9)

( )

∫ ( )

(A.10)

e substituindo a equação (A.10) na equação (A.7), que define o momento de primeira ordem,

obtém-se

⟨ ⟩ ∫

( ) [

∫ ( )

] (A.11)

Alterando a ordem dos integrais, a expressão (A.11) fica

⟨ ⟩

∫ ( )

[∫ ( )

] (A.12)

Aplicando a segunda relação de Parseval

∫ ( ) ( )

∫

( )

(A.13)

à expressão (A.12), o momento de primeira ordem ⟨ ⟩, como se queria demonstrar, vem da

seguinte forma

⟨ ⟩

∫ ( )

( ) (A.14)

onde ( ) é a derivada parcial em relação à frequência da transformada de Fourier do

impulso ( ). Para determinar a expressão do momento de segunda ordem ⟨ ⟩ aplicamos

idênticos passos aos utilizados para definir o momento de primeira ordem ⟨ ⟩, sendo que para a

dedução de ⟨ ⟩ empregamos a terceira relação de Parseval

∫ ( ) ( )

∫

(A.15)

resultando na seguinte expressão para ⟨ ⟩

91

⟨ ⟩

∫ | ( )|

(A.16)

Calculados os momentos de primeira e segunda ordem, de seguida efetuamos os

cálculos para a variação do atraso de grupo, sendo necessário especificar ( ) da seguinte

forma

( ) ( ) ( ) (A.17)

em que ( ) é dado por

( ) ( ) ( ) (A.18)

no qual o parâmetro ( ) resulta do efeito chirp inicial do impulso, ( ) é o espetro do impulso

e é a constante de propagação.

Considere-se o atraso de grupo ( )

∫ ( )

(A.19)

onde se verifica a dependência da constante de propagação com a frequência e com a

coordenada longitudinal . Para efeitos de simplificação, daqui em adiante, parte-se do

princípio que não varia ao longo da propagação, ( ) e que ( ) . Assim, a

expressão (A.19) vem

(A.20)

As equações (A.17) e (A.18) permitem concluir que,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A.21)

no qual

( ) (A.22)

onde , e . Aplicando as expressões (A.17) e (A.21) na

expressão (A.14) tem-se que

⟨ ⟩

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

(A.23)

Tendo em conta a equação (A.18), a equação (A.23) pode ser reescrita da seguinte

forma

92

⟨ ⟩

∫ | | ( )

(A.24)

no qual admitimos que para . Como anteriormente foi referido, considerou-se

que não varia ao longo da propagação, substituindo a expressão (A.20) na equação (A.24)

tem-se

⟨ ⟩

∫ ( )| |

(A.25)

Seja

⟨ ⟩

∫ ( )| |

(A.26)

e comparando esta equação (A.26) com a equação (A.25) obtém-se a seguinte expressão final

para o momento de primeira ordem

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (A.27)

Utilizando o mesmo raciocínio utilizado para o cálculo do momento de primeira ordem,

calculamos, de seguida, a equação do momento de segunda ordem. Substituindo a equação

(A.21) na equação (A.16) resulta

⟨ ⟩

∫ | ( ) ( ) |

(A.28)

Tendo em conta a equação (A.18), a equação (A.28) pode ser reescrita da seguinte

forma

⟨ ⟩

∫ |

|

∫ | |

∫ | |

∫ | |

(A.29)

Com base na equação (A.26) infere-se que

⟨ ⟩

∫ |

|

⟨ ⟩ ⟨

⟩ ⟨ ⟩ (A.30)

Aplicando a expressão (A.30) e (A.27) em (A.1) vem

∫ |

| ⟨ ⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩ (A.31)

Fazendo

∫ |

| ⟨ ⟩

⟨ ⟩ origina finalmente a expressão para

largura efetiva temporal, para um impulso com forma arbitrária

93

√ [⟨

⟩ ⟨ ⟩ ] [⟨ ⟩ ⟨ ⟩⟨ ⟩] (A.32)

Observamos que a expressão do alargamento do impulso depende da média da

velocidade de grupo e do parâmetro que é responsável pelo efeito de chirp, tendo este

um papel importante no alargamento do impulso.

A.2 – Alargamento de um Impulso Gaussiano com Efeitos Dispersivos de

Ordem Superior

De seguida, desprezando-se o efeito da largura espetral da fonte, aplicamos a fórmula

geral do alargamento de impulsos, para o caso de propagação em regime monomodal linear

para um impulso inicial Gaussiano, com chirp . O parâmetro corresponde a uma variação da

frequência instantânea da portadora ótica ao longo de um impulso ótico que causa um

espalhamento do impulso, prejudicial para comunicações a longas distâncias.

Seja então a respetiva envolvente dada por

( )

[

(

) ]

(A.33)

sendo a sua transformada de Fourier definida da seguinte forma

( ) ∫ [

(

) ]

(A.34)

Atendendo à definição do integral

∫ [ ( )] √

(

)

(A.35)

podemos tirar da equação (A.34) e (A.35) que ( ) e . Resolvendo o

integral da expressão (A.34), aplicando a relação da expressão (A.35) tem-se

( ) √

( )

[

( )]

(A.36)

Sabendo que

√ [ ( )] (A.37)

tem-se assim

94

( ) √

√

[

]

[ (

( )

)] (A.38)

Para se calcular utiliza-se a equação (A.3), ficando

∫ | [

(

) ]|

∫

(

)

(A.39)

Resolvendo este integral através da relação da expressão (A.35), infere-se que

√ (A.40)

Utilizando este resultado em (A.38) obtém-se

( ) √

[

]

[ (

( )

)] (A.41)

Comparando a equação (A.41) com a equação (A.18) conclui-se que

( ) √

[

] (A.42)

( )

( )

(A.43)

É importante, para o resto da demonstração, definir os seguintes resultados

| | √

[

] (A.44)

(A.45)

Considerando-se razoável a aproximação do valor de até ao terceiro termo da série

de Taylor e que é independente de , implica que

( ) ∫ ( )

(

) (A.46)

Aplicando a equação (A.26), a expressão de ⟨ ⟩ é dada por

⟨ ⟩

∫ | |

∫ (

) | |

(A.47)

Atendendo aos integrais

95

∫ [ ] √

(A.48)

∫ [ ]

(A.49)

∫ [ ]

√

(A.50)

∫ [ ]

(A.51)

∫ [ ]

√

(A.52)

Desta forma, verifica-se que

∫ | |

(A.53)

∫ | |

(A.54)

∫ | |

(

) (A.55)

∫ | |

(A.56)

∫ | |

(

)

(A.57)

Por conseguinte, obtém-se

⟨ ⟩

(

) (A.58)

o que implica

⟨ ⟩ ( ) (

) [

(

)]

(A.59)

De igual forma, para o cálculo de ⟨ ⟩

⟨ ⟩

∫ (

)

| |

(A.60)

segue-se o mesmo raciocínio para o cálculo de ⟨ ⟩, aplicando-se à equação (A.60) as

equações (A.53), (A.54), (A.55), (A.56) e (A.57) pode-se reescrever (A.60) da seguinte forma

96

⟨ ⟩ ( ) (

) (

)

[(

)]

(A.61)

Passa-se, de seguida, para o cálculo do termo ⟨ ⟩ da equação geral de propagação,

aplicando-se as equações (A.45) e (A.46) em (A.26) tem-se

⟨ ⟩

∫ (

) (

) | |

(A.62)

Tendo em conta as equações (A.53), (A.54), (A.55), (A.56) e (A.57) infere-se que

⟨ ⟩

(A.63)

Já para o cálculo do termo ⟨ ⟩⟨ ⟩, atendendo à definição de , expressa em (A.45),

ao aplicar-se esta à expressão (A.26) obtém-se

⟨ ⟩

∫

| |

(A.64)

Atendendo ao integral da equação (A.54), ⟨ ⟩ e por esta razão

⟨ ⟩⟨ ⟩ (A.65)

Sendo assim, a equação para largura efetiva temporal , definida na expressão (A.32),

para o caso considerando é dada por

√

(

)

( ) (

√ )

(A.66)

Por fim, obtém-se a fórmula para o alargamento do impulso Gaussiano, , em

regime linear, considerando-se a dispersão de ordem superior

√(

)

(

)

( ) (

√ )

(A.67)

97

Referências

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[6] Canto, J. C. R. F., Gestão De Dispersão Em Sistemas De Comunicação Óptica: Regime

Não Linear, Trabalho Final de Curso, IST, DEEC, 2004.

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técnicas de compensação da dispersão, IST, 2011.

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[18] Lima, J. N. M., Teixeira, A. J., Frazão, O., André, P. S. B. A., da Rocha, J. R. F., Redes de

Bragg para Telecomunicações, Universidade do Porto em parecia com a Universidade de

Aveiro.

[19] Caldeira, M.A. B., Projecto e implementação de FBGs para aplicações em

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Informática, 2010.

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Compensação de Dispersão em Sistemas de Fibra Ótica · iii Resumo Nesta dissertação, pretendemos compreender a dispersão temporal em sistemas de comunicação ótica e procuramos