NÚMEROS COMPLEXOS

1. DEFINIÇÃO

No conjunto dos números reais R, temos que a2 = a . a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C.

Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i2 = - 1. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em C, e que essas operações satisfazem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma:

z = a + bi,

onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simbolizamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re(z) e b = Im(z). Desta forma:

Definimos ainda que dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, serão iguais quando e b = d.

2. OPERAÇÕES ELEMENTARES

As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio.

Exemplo 1. Sejam z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i. Então,z1+ z2 = (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7iz1- z2 = (3 + 2i) - (1 + 5i) = 2 – 3i z1.z2 = (3 + 2i) . (1 + 5i) = 6 +15i +2i + 10i2 = 6 + 17i – 10 = - 4 + 17i

Chamamos de conjugado de um número complexo z = a + bi ao número . Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador. Por exemplo, usando z1 e z2 dados acima, temos:

3. PLANO DE ARGAND-GAUSS

Gauss associou a cada número complexo a+bi um par ordenado (a,b) com a,bR e representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de “Plano de Argand-Gauss” ou “Plano Complexo”: Im b P(a,b)

a Re

Exercício 1. Utilizando as idéias de Gauss represente os seguintes números no plano:

1

a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i e) P5 = -2i

Im

Re

Obs.: Simbolizamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de afixo o ponto que representa o número.

Chamamos de módulo do complexo z a distância do afixo de z até a origem e o representamos por z ou . Chamamos de argumento do número complexo z = a + bi, com z 0, ao ângulo θ,

, que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P.

Im P

θ Re

O

Exercício 2. Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos:a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi

4. POTENCIAÇÃO

Recordemos as fórmulas de adição e subtração de arcos trigonométricos:

cos( ) cos cos sen sen

sen( ) sen cos sen cos

a b a b a b

a b a b b a

Tendo em mãos estas fórmulas, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação de números complexos na forma trigonométrica são facilmente efetuadas. Em primeiro lugar, consideremos os números complexos

z1 = r1(cos a + isen a) e z2 = r2(cos b + isen b)

Calcule z1.z2, colocando r1.r2 em evidência e agrupando os termos semelhantes (lembre-se que ).

Agora, utilizando as fórmulas de soma e subtração de arcos dadas acima, observe que podemos escrever z1.z2 de uma forma mais sucinta:

z1.z2 = r1r2[cos(a+b) + isen(a+b)]

2

Note que o módulo do produto é o produto dos módulos dos fatores e o argumento é a soma dos argumentos dos fatores.

Utilizando um processo chamado Indução Matemática podemos provar que, se z r i (cos sen ) , então, para todo n ,

, onde

Esta fórmula é conhecida como Fórmula de Moivre.

5. RADICIAÇÃO

Chamamos de raiz n-ésima de um número complexo z o número complexo tal que . Por exemplo,

i é raiz quadrada de pois . i é raiz cúbica de pois . é raiz quarta de 16 pois .

A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números racionais não inteiros. Desta forma, podemos utilizar a fórmula de Moivre para calcular também as raízes enésimas de um número complexo:

, onde e

Exemplo 2. Encontre as raízes quadradas de

1º. Passo: calcular o módulo de

2º. Passo: determinar o argumento de

3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:

Ou seja, para

e para

3

6. EXERCÍCIOS

1. Obtenha o produto w = z z z1 2 3. . onde

a) z i

z i1

0 0

20 0

2 45 45

3 15 15

(cos sen )

(cos sen ) b)

c)

z i

z i

z i

1

2

3

16 160 160

5 325 325

308 308

(cos sen )

(cos sen )

cos sen

R. a) w= 3 2 60 600 0(cos sen ) b) w = 72(cos88+ isen88) c) w = 80(cos73º + isen73º)

2. Sendo z= 24 4

(cos sen )

i e utilizando a multiplicação definida acima, detemine z2, z3 e z4.

3. Determine o módulo e o argumento do número z 4 para os complexosa) z = 3(cos125+isen125) b) z = 2(cos300º + isen300º)

R. a) 81 e 140 b) 16 e 120

4. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébricaa) ( )1 3 8 i b) ( )3 6 i

R. a) -128 - 128 3 i b) -64

5. Dado o número complexo z = cos 45 + isen 45 , calcule w = z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6

R. w = (-1 - 2

2 ) + 2

2i

6. Escreva as expressões abaixo na forma :

a) b) c) d)

R. a) b) c) d)

7. Calcule e observe que as potências começam a se repetir depois de . Comprove este fato, mostrando que e aplique este resultado para calcular:

a) b) c) d)

R. a) 1 b) -64 c) -1 d) 18. Sendo um inteiro, que valores podem ter ?

R. 0, 2 ou -2

9. Determine real para que seja real.

R.

10. Determine real para que seja um imaginário puro.

R. 2

4

11. Resolva em C as seguintes equações:

a) b) c) d)

R. a) b) c) d)

12. Representar na forma trigonométrica:a) b) c) d)

R.a) b) c) d)

13. Para que valores de inteiro positivo é real?

R. n múltiplo de 4.

14. Qual é a forma algébrica do número complexo representado na figura abaixo?

R.

15. A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que , determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são

os pontos e .

R.

16. Calcule, dando a resposta na forma algébrica:

a) b) c) d)

R. a) 8i b) 256 c) d)

17. Encontre as raízes sextas de 8. Represente seus afixos no plano. Qual a medida de cada um dos arcos determinados pelos afixos? Qual é a conclusão?

5