Comportamento evolutivo de organismos bentonicos interativos

na presenca do sedimento

Paulo Cesar Carmona Tabares,

Facultad de Ciencias Basicas y Tecnologıas, UNIQUINDIO,

630004 Armenia, Q. - Colombia

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica, IMECC - UNICAMP,

13083-859, Campinas, SP

E-mail: paulocct@uniquindio.edu.co, paulocct@ime.unicamp.br,

Luciana Torre

Laboratorio de Ecologıa Marina FCEFyNat - UNC Cordoba,

Cordoba, C. Argentina

E-mail: lutorre17@yahoo.com.ar

Joao Frederico C.A. Meyer

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica, IMECC - UNICAMP,

13083-859, Campinas, SP

E-mail: joni@ime.unicamp.br

Palavras-chave: Categoria 2, Ecologia Matematica, Dinamica Populacional, Metodo dos Ele-mentos Finitos, Metodo Crank-Nicolson

Resumo: Neste trabalho, apresentamos: modelagem, aproximacoes numericas e simulacoescomputacionais do comportamento evolutivo de organismos bentonicos interativos, na presencade material particulado (sedimento), numa regiao da antartica argentina.

1 Problema Ecologico

Na enseada Potter, regiao localizada na parte sul da Ilha King George (na antartica Argen-tina), ocorrem corregos de degelo nos meses de primavera e verao, gerando um acumulo desedimento capaz de variar as condicoes dos ecossistemas existentes. Na decada dos noventa,foi observado que algumas das especies bentonicas mudaram drasticamente sua distribuicao eabundancia na regiao, diminuindo drasticamente as densidades como no caso da Molgula pedun-culata e da Cnemidocarpa verrucosa; ou aumentando notavelmente a densidade como no caso daMalacobelemmom daytoni. Como estas mudancas estao acontecendo, a amplitude de variacao ea velocidade como vem ocorrendo tem sido objeto de pesquisa dos biologos, desde essa epoca(veja [6]). Neste trabalho, pretendemos oferecer uma ferramenta matematica, como instrumentoauxiliar para avaliar quantitativamente a relacao existente entre a distribuicao e abundancia dobento antartico e o sedimento. Neste caso, propomos um modelo para o ecossistema formadopelas ascıdias M. pedunculata e C. verrucosa (chamado de populacao 1) e o pennatulaceo M.daytony (chamado de populacao 2), junto com o sedimento.

2 Problema Matematico

Para estudar o fenomeno descrito anteriormente, apresentamos um modelo baseado em umsistema de tres equacoes diferenciais parciais nao lineares; nas quais temos, para os grupos

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bentonicos, duas equacoes do tipo reacao-difusao, com termos de reacao que envolvem a dinamicaLotka-Volterra de competencia intraespecifica e interespecifica, junto com um termo do tipoMichaelis-Menten para avaliar o efeito do sedimento nessas populacoes. Para o sedimento,temos uma equacao do tipo adveccao-difusao e um termo para as fontes pontuais, provocadaspelo degelo. Alem disso, a regiao espacial de estudo e um retangulo, e consideramos condicoesiniciais adequadas, conjuntamente com as condicoes de contorno dos tipos: Dirichlet homogeneae von Neumann homogenea para os organismos bentonicos; e condicoes de Robin e Dirichlethomogenea para o sedimento (veja a figura 1 e a equacao (2)).

H L

G1

0G 0G

0G

yx

W

EnseadaPotter

Figura 1: Domınio espacial do problema.

Especificamente, a densidade do primeiro grupo bentonico, denotada por P1 ≡ P1 (x, y, t)e,para o segundo grupo, uma densidade denotada por P2 ≡ P2 (x, y, t). Finalmente, o sedimentoe denotado por S ≡ S (x, y, t). Para os tres casos, temos (x, y) ∈ Ω = [0, L] × [0,H] ⊆ R

2 e otempo t ∈ J = (0, T ]. Assim, o sistema nao linear fica

∂P1

∂t− α1∇

2P1 + µ1P1 = λ1P1

(

1−P1 + a1P2

K

)

−β1S

γ1 + SP1

∂P2

∂t− α2∇

2P2 + µ2P2 = λ2P2

(

1−P2 + a2P1

K

)

−β2S

γ2 + SP2

∂S

∂t− αS∇

2S +W · ∇S = −σ1P1S − σ2P2S + f

(1)

onde os parametros (positivos) significam com os subındices adequados: α difusividade, µmortalidade, λ crescimento per capita, a competicao interespecifica, β a taxa de maximo danoprovocado pelo sedimento, γ constantes de Michaelis e σ a taxa de consumo de sedimento. Alemdisso, K representa a capacidade de suporte e f as fontes pontuais de sedimento.

No caso das condicoes iniciais e de contorno,

P1 (x, y, 0) = P 01 (x, y) , P2 (x, y, 0) = P 0

2 (x, y) e S (x, y, 0) ≡ 0

Pi⌋Γ0= 0 e

∂Pi

∂η

⌋

Γ1

= 0, para todo t ∈ J e i = 1, 2

S⌋Γ1= 0 e −αS

∂S

∂η= kS

⌋

Γ0

, para todo t ∈ J .

(2)

Para este problema, terıamos que procurar solucoes (de P1, P2 e S) que estivessem no espaco

V j =

w ∈ L2((0, T ] : H1(Ω));∂w

∂t∈ L2(Ω) ∀t ∈ J ; w⌋Γj

= 0

para j = 0, 1.

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Porem, como nao existem metodos analıticos para resolver problemas do tipo (1)-(2), trans-formamos o sistema em sua formulacao variacional (ou formulacao fraca); na qual, podemosencontrar uma boa aproximacao da solucao do problema original.

Para transformar o sistema (1), requeremos de espacos de funcoes adequados para trabalhar.Assim definimos o subespaco de H1(Ω)

Vj =

w ∈ H1(Ω) : w⌋Γj= 0

para j = 0, 1;

para depois procurarmos uma solucao aproximada (de P1, P2 e S) em subespacos convenientesde Vj (j = 0, 1).

Se usamos as notacoes (u|v) =∫

Ω uvdµ que corresponde ao produto interno entre u e v emL2(Ω), e (∇u||∇v) =

∫

Ω ∇u · ∇vdµ, passando pelo Teorema de Green, o sistema expresso naformulacao forte em (1), em sua formulacao variacional se transforma em:

(∂P1

∂t|w)− α1(∇P1||∇w) + µ1(P1|w) = λ1(P1(1−

P1 + a1P2

K)|w)− β1(

S

γ1 + SP1|w)

(∂P2

∂t|w)− α2(∇P2||∇w) + µ2(P2|w) = λ2(P2(1−

P2 + a2P1

K)|w)− β2(

S

γ2 + SP2|w)

(3)

(∂S

∂t|w)− αS(∇S||∇w) +W1(

∂S

∂x|w) +W2(

∂S

∂y|w) = −σ1(P1S|w)− σ2(P2S|w) + (f |w),

para todo w ∈ Vj com j = 0, 1.

3 Solucao do Problema Matematico

Para a aproximacao numerica da solucao de (3), iniciamos com uma aproximacao espacial usandoo metodo de elementos finitos ([4] e [2]), e logo faz-se uma aproximacao temporal com o metodode Crank-Nicolson [5].

Neste quadro de aproximacao (1)-(2) se transformam num sistema matricial nao linear dotipo

ME,j (·)P(n+1)j = MD,j (·)P

(n)j

ME,S (·)S(n+1)j = MD,S (·)S

(n)j + F

(n+1/2),

(4)

para j = 1, 2; e adotando a notacao (·) para representar(

P(n)1 ,P

(n+1)1 ,P

(n)2 ,P

(n+1)2 ,S(n),S(n+1)

)

.

Na resolucao do sistema discretizado (4), decidimos pela aplicacao do metodo das iteracoesincompletas desenvolvido por Douglas et. al. em [3].

4 Conclusoes

Finalmente, apresentamos os resultados numericos obtidos (mediante graficos qualitativamentedefinidos a partir de resultados numericos), e abordamos algumas conclusoes referentes ao im-pacto do sedimento nas populacoes estudadas.

Referencias

[1] M. Braun and H. Gossmann, “Glacial Changes in the Areas of Admiralty Bay and PotterCove, King George Island, Maritme Antarctica”, Geoecology of Antarctic ice-free coastallandscapes, Springer, pp. 75-89, 2002.

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[2] S. C. Brenner, L. R. Scott, “The Mathematical Theory of Finite Element Methods”, Springer,3a ed., 2007.

[3] J. Douglas Jr., T. Dupont, R. E. Ewing, “Imcomplete Iteration for Time-Stepping a GalerkinMethod for a Quasi-Linear Parabolic-Problem”, SIAM, Journal of Numerical Analysis, V.16, pp. 503-522, 1979.

[4] H. Kardestuncer, H. N. Douglas, “Finite Element Handbook”, Mcgraw-Hill, New York, 1987.

[5] R. LeVeque, “Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations:Steady-State and Time-Dependent Problems”, Society for Industrial and Applied Mathema-tics, Philadelphia, PA, 2007.

[6] R. Sahade, S. Tarantelli, M. Tatıan & G. Mercuri, “Benthic community shifts: A possiblelinkage to climate change?”, Berichte zur Polar und Meeresforschung/Reports on Polar andMarine Research, pp. 331-337, Bundesrepublik Deutschland, 2008.

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