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CONCEITOS INICIAIS DE LIMITE
Considere a funo: 362)(
2
=
x
xxxf
no campo dos nmeros reais.
Sabe-se que essa funo no tem retorno real para x=3, e que a
expresso definida
por ela pode ser reduzida (para x 3) a xx
xx 23
)3(2=
Logo pode-se dizer que xxf 2)( = para x 3. Em x = 3, essa funo
tem um buraco, pois ela no definida nesse ponto . Logo o grfico
dessa funo como o seguinte:
Ok. No h valor da funo em x = 3, porm, h um fato observvel em
torno desse ponto.
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E eu respondo... SIM... Esse fato observado de EXTREMA
IMPORTNCIA !!! ACREDITE POR ENQUANTO... A PARTIR DESSA OBSERVAO QUE
SE GALGA TODO O CLCULO MATEMTICO.
Sendo assim, surgiu um NOVO conceito matemtico. Um conceito NO
de se DETERMINAR um valor e SIM DE SE OBTER A APROXIMAO DE UM
VALOR, a TENDNCIA DE UM VALOR. Aproximao aqui, no no sentido de
arredondamento e sim de CONVERGNCIA.
da que surge ento o operador chamado "Limite Matemtico" que pode
ser definido de maneira intuitiva como:
MEDIDA QUE X SE APROXIMA DE 3, OBSERVE QUE Y SE APROXIMA DE
6.
E ESSA VERDADE NO DEPENDE QUE EXISTA f(3).
ENTO, QUEM EST LENDO, NESSE MOMENTO PENSA: SIM, VERDADEIRA A
OBSERVAO
FEITA, MAS, E DA? ISSO REALMENTE RELEVANTE? QUAL A IMPORTNCIA DE
SE
OBSERVAR APENAS A APROXIMAO DO VALOR DE UMA FUNO? SE ELA NO TEM
VALOR EM
X=3, TEM ALGUMA IMPORTNCIA PRTICA VERIFICAR APENAS A SUA
APROXIMAO?
LIMITE O OPERADOR MATEMTICO QUE TEM A FINALIDADE DE SE OBTER O
VALOR PARA O QUAL SE APROXIMA
UMA FUNO, QUANDO SUA VARIVEL INDEPENDENTE SE
APROXIMA DE OUTRO.
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E assim temos na funo exemplificada desde o incio que:
O operador "lim" ento o que calcula a APROXIMAO, A TNDNCIA OU A
CONVERGNCIA DA EXPRESSO QUANDO X SE APROXIMA DE 3. E ESSA TENDNCIA
EXISTE, MESMO QUE NO EXISTA O VALOR DA FUNO EXATAMENTE SOBRE O
PONTO X=3.
COMO HAVIA DITO ISSO TEM EXTREMA IMPORTNCIA COMO MOSTRAREI EM
BREVE.
COMO TODA OPERAO QUE APRENDEMOS AT ENTO (SOMA, SUBTRAO,
MULTIPLICAO, DIVISO, POTNCIA, RADICIAO), ELA TEM SUAS PROPRIEDADES.
E, ESSAS PROPRIEDADES, NOS AUXILIA A CALCULAR EXPRESSES MAIS
COMPLEXAS.
DA MESMA FORMA, MEDIDA QUE VOC FOR SE APROFUNDANDO NA PARTE
PRTICA DE LIMITES, VOC VAI APRENDER PROPRIEDADES, LIMITES
FUNDAMENTAIS, TCNICAS DE CLCULO DE LIMITES E UMA DIVERSIDADE DE
FERRAMENTAS PARA APRENDER A CALCUL-LOS. ESTAMOS AQUI FOCADOS NO
CONCEITO, O MAIS DIFCIL PARA QUEM INICIA O APRENDIZADO DE
CLCULO.
AGORA QUE VOC TEM A NOO INTUITIVA DE LIMITE, CAPAZ DE ENTENDER
AS SEGUINTES IGUALDADES:
01lim = xx
= xx
1lim0
6362lim
2
3=
x
xx
x apesar de )3(f
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NOTE O SEGUINTE: O INFINITO NO UM NMERO, APENAS UMA DIREO DE
APROXIMAO, E JUNTAMENTE COM O CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE O
INFINITO PASSA A TER ALGUMA APLICABILIDADE.
E JUSTAMENTE COM ESSA IDEIA DE INFINITO QUE MOSTRAMOS A SEGUIR A
VISO PRTICA DE LIMITE. UMA SITUAO QUE VAI RESPONDER AS PERGUNTAS
QUE VEIO A CABEA ASSIM QUE FOI INTRODUZIDO AO CONCEITO DE
LIMITE.
VAMOS L: SUPONHAMOS QUE DESCONHECEMOS COMO CALCULAR O PERMETRO
DE UMA CIRCUNFERNCIA, MAS SABEMOS SOBRE NGULOS, SOBRE POLGONOS
REGULARES, SOBRE TRIGONOMETRIA, ETC. PENSE NUMA CIRCUNFERNCIA DE
RAIO R, E QUE NELA VAMOS INSCREVENDO POLGONOS REGULARES, COM CADA
VEZ MAIOR NMERO DE LADOS, CONFORME FIGURA ABAIXO:
Cinco Lados Seis Lados Sete Lados
Oito Lados Nove Lados Dez Lados
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OBSERVE QUE A MEDIDA QUE O NUMERO DE LADOS AUMENTA, O PERMETRO
DO POLGONO SE APROXIMA DO PERMETRO DA CIRCUNFERNCIA. E POSSVEL
INSCREVER UM POLGONO COM TANTOS LADOS QUANTO QUEIRAMOS NO INTERIOR
DESSA CIRCUNFERNCIA. O PERMETRO DO POLGONO SE APROXIMA DE UM VALOR
FIXO, MEDIDA QUE AUMENTAMOS O NMERO DE LADOS DELE, E ESSE VALOR
FIXO JUSTAMENTE O PERMETRO DA CIRCUNFERNCIA.
MAS J SABEMOS QUE EXISTE UM OPERADOR PARA CALCULAR A TENDNCIA DE
UMA FUNO, NESTE CASO UMA FUNO f(n) QUE CORRENPONDE AO PERMETRO DE
UM POLGONO DE n LADOS, INSCRITO NUMA CIRCUNFERNCIA RAIO R. ESSE
OPERADOR O LIMITE, E PODEMOS DIZER ENTO, NESTE CASO QUE:
)(lim nfn = PERMETRO DA CIRCUNFERNCIA
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PODE-SE OBTER f(n) DADA UMA CIRCUNFERNCIA DE RAIO R, CONFORME
FIGURA ABAIXO AUXILIA:
DO TRINGULO OAH DA FIGURA ACIMA:
==
nsenR
nsen
pipi.2
R/2
ll
O PERMETRO DO POLGONO EM FUNO DE n IGUAL A:
=
nsennRnf pi..2)(
E ASSIM, PODEMOS TER QUE:
n
sennRn
pi..2lim
IGUAL AO PERMETRO DA CIRCUNFERNCIA
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VOC APRENDER QUE O LIMITE DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNO IGUAL
A CONSTANTE VEZES O LIMITE SOMENTE DA FUNO, E POR ISSO:
=
n
sennRn
sennRnn
pipi.lim.2..2lim
AGORA PEGUE A EXPRESSO
nsenn
pi. , E CALCULE SEU VALOR VRIAS
VEZES, AUMENTANDO CADA VEZ MAIS n, COMO SE n ESTIVESSE INDO AO
INFINITO.
PERCEBA QUE ESSE VALOR CONVERGE PARA O NMERO PI, A MEDIDA QUE n
TENDE A INFINITO. E DE FATO, O REFERIDO LIMITE IGUAL A PI.
E PORTANTO, ENXERGAMOS UMA APLICAO PRTICA PARA O LIMITE
MATEMTICO MOSTRANDO QUE ATRAVS DELE, PUDEMOS OBTER O PERMETRO DE
UMA CIRCUNFERNCIA QUE IGUAL A Rpi2 .
Obrigado.
Espero que tenha ajudado a aprender.
Quaisquer dvidas adicionais sobre outros tpicos de Clculo I,
envie email para
[email protected]
Terei o maior prazer de ajud-lo no que eu puder.
Att,
Leonardo
