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Conceitos baacutesicos para os cursos de Engenharia
1ordf Parte
Prof Dulceval Andrade
Congruecircncia entre Triacircngulos
Dois triacircngulos (ou de forma geral duas figuras planas) satildeo congruentes quando tecircm a mesma forma e as mesmas dimensotildees ou seja o mesmo tamanho
Jaacute a semelhanccedila entre triacircngulos objeto do artigo aborda o conceito mais amplo onde se tem triacircngulos com a mesma forma mas natildeo necessariamente com o mesmo tamanho Em outras palavras congruecircncia eacute um caso particular de semelhanccedila entre triacircngulos no sentido de que se dois triacircngulos satildeo congruentes necessariamente eles satildeo semelhantes mas o contraacuterio natildeo eacute verdadeiro como vocecirc observaraacute daqui em diante
Definiccedilatildeo de Semelhanccedila entre Triacircngulos
Dizemos que dois triacircngulos satildeo semelhantes se e somente se possuem seus trecircs acircngulos ordenadamente congruentes e os lados homoacutelogos (homo = mesmo logos = lugar) proporcionais
Traduzindo a definiccedilatildeo em siacutembolos
1
Observe que as trecircs primeiras expressotildees entre os parecircntesis indicam a congruecircncia ordenada dos acircngulos e a uacuteltima a proporcionalidade dos lados homoacutelogos
Em bom portuguecircs podemos ainda definir a semelhanccedila entre triacircngulos atraveacutes da frase dois triacircngulos satildeo semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo)
Razatildeo de Semelhanccedila
Denominamos o nuacutemero real k que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homoacutelogos como a razatildeo de semelhanccedila dos triacircngulos
2
Exerciacutecios Semelhanccedila e Triacircngulo Retacircngulo
1)Uma rampa de inclinaccedilatildeo constante como a que daacute acesso ao Palaacutecio do Planalto em Brasiacutelia tem 4 metros de altura na sua parte mais alta Uma pessoa tendo comeccedilado a subi-la nota que apoacutes caminhar 123 metros sobre a rampa estaacute a 15 metros de altura em relaccedilatildeo ao solo
a) Faccedila uma figura ilustrativa da situaccedilatildeo descrita
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa
Resposta
b) 205 m
2) Um obelisco de 12 m de altura projeta num certo momento uma sombra de 48 m de extensatildeo Calcule a distacircncia maacutexima que uma pessoa de 180 m de altura poderaacute se afastar do centro da base do obelisco ao longo da sombra para em peacute continuar totalmente na sombra
Resp 408 m
3)Num terreno na forma de um triacircngulo retacircngulo com catetos com medidas 20 e 30 metros deseja-se construir uma casa retangular de dimensotildees x e y como indicado na figura adiante
3
a) Exprima y em funccedilatildeo de x
b) Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima
Resp a) y = 23(30-x)
b) Para x = 15 metros y = 10 metros
a) A soluccedilatildeo desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhanccedila de triacircngulos daiacute
4
b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue
Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10
4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute
a) radic3 m
5
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
Observe que as trecircs primeiras expressotildees entre os parecircntesis indicam a congruecircncia ordenada dos acircngulos e a uacuteltima a proporcionalidade dos lados homoacutelogos
Em bom portuguecircs podemos ainda definir a semelhanccedila entre triacircngulos atraveacutes da frase dois triacircngulos satildeo semelhantes se um pode ser obtido pela expansatildeo uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo)
Razatildeo de Semelhanccedila
Denominamos o nuacutemero real k que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homoacutelogos como a razatildeo de semelhanccedila dos triacircngulos
2
Exerciacutecios Semelhanccedila e Triacircngulo Retacircngulo
1)Uma rampa de inclinaccedilatildeo constante como a que daacute acesso ao Palaacutecio do Planalto em Brasiacutelia tem 4 metros de altura na sua parte mais alta Uma pessoa tendo comeccedilado a subi-la nota que apoacutes caminhar 123 metros sobre a rampa estaacute a 15 metros de altura em relaccedilatildeo ao solo
a) Faccedila uma figura ilustrativa da situaccedilatildeo descrita
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa
Resposta
b) 205 m
2) Um obelisco de 12 m de altura projeta num certo momento uma sombra de 48 m de extensatildeo Calcule a distacircncia maacutexima que uma pessoa de 180 m de altura poderaacute se afastar do centro da base do obelisco ao longo da sombra para em peacute continuar totalmente na sombra
Resp 408 m
3)Num terreno na forma de um triacircngulo retacircngulo com catetos com medidas 20 e 30 metros deseja-se construir uma casa retangular de dimensotildees x e y como indicado na figura adiante
3
a) Exprima y em funccedilatildeo de x
b) Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima
Resp a) y = 23(30-x)
b) Para x = 15 metros y = 10 metros
a) A soluccedilatildeo desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhanccedila de triacircngulos daiacute
4
b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue
Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10
4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute
a) radic3 m
5
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
Exerciacutecios Semelhanccedila e Triacircngulo Retacircngulo
1)Uma rampa de inclinaccedilatildeo constante como a que daacute acesso ao Palaacutecio do Planalto em Brasiacutelia tem 4 metros de altura na sua parte mais alta Uma pessoa tendo comeccedilado a subi-la nota que apoacutes caminhar 123 metros sobre a rampa estaacute a 15 metros de altura em relaccedilatildeo ao solo
a) Faccedila uma figura ilustrativa da situaccedilatildeo descrita
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa
Resposta
b) 205 m
2) Um obelisco de 12 m de altura projeta num certo momento uma sombra de 48 m de extensatildeo Calcule a distacircncia maacutexima que uma pessoa de 180 m de altura poderaacute se afastar do centro da base do obelisco ao longo da sombra para em peacute continuar totalmente na sombra
Resp 408 m
3)Num terreno na forma de um triacircngulo retacircngulo com catetos com medidas 20 e 30 metros deseja-se construir uma casa retangular de dimensotildees x e y como indicado na figura adiante
3
a) Exprima y em funccedilatildeo de x
b) Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima
Resp a) y = 23(30-x)
b) Para x = 15 metros y = 10 metros
a) A soluccedilatildeo desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhanccedila de triacircngulos daiacute
4
b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue
Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10
4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute
a) radic3 m
5
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
a) Exprima y em funccedilatildeo de x
b) Para que valores de x e de y a aacuterea ocupada pela casa seraacute maacutexima
Resp a) y = 23(30-x)
b) Para x = 15 metros y = 10 metros
a) A soluccedilatildeo desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhanccedila de triacircngulos daiacute
4
b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue
Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10
4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute
a) radic3 m
5
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
b) A aacuterea da casa aacute retangular logo temos que a mesma eacute dada por A = x y Poreacutem como y eacute dado em funccedilatildeo de x segue
Como o sinal de a= - 23 eacute negativo temos que a concavidade eacute voltada para baixo Uma vez que estamos procurando o ponto cuja aacuterea eacute maacutexima precisamos encontrar as coordenadas do veacutertice Sendo as raiacutezes 0 e 30 a abscissa do veacutertice dada pelo ponto meacutedio destas raiacutezes eacute 15 e o valor da ordenada correspondente eacute 10
4)Uma gangorra eacute formada por uma haste riacutegida AB apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C como na figura Quando a extremidade B da haste toca o chatildeo a altura da extremidade A em relaccedilatildeo ao chatildeo eacute
a) radic3 m
5
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
b) 3radic3 m
c) (6radic3)5 m
d) (5radic3)6 m
e) 2radic2 m
Alternativa D
5) Certa noite uma moccedila de 150 m de altura estava a dois metros de distacircncia de um poste de luz de 4 m de altura O comprimento da sombra da moccedila no chatildeo era de
a) 075 m
b) 120 m
c) 180 m
d) 240 m
e) 320 m
Alternativa B
6) Na figura B eacute um ponto do segmento de reta AC e os acircngulos DAB DBE e BCE satildeo reto
Se o segmento AD = 6 dm o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm as medidas possiacuteveis de AB em dm satildeo
6
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
a) 45 e 65
b) 75 e 35
c) 8 e 3
d) 7 e 4
e) 9 e 2
Alternativa E
7)
Numa cidade do interior agrave noite surgiu um objeto voador natildeo identificado em forma de disco que estacionou a 50 m do solo aproximadamente Um helicoacuteptero do exeacutercito situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura anterior Sendo assim pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede em m aproximadamente
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa A
8)Os triacircngulos ABC e AED representados na figura a seguir satildeo semelhantes sendo o acircngulo ADE congruente ao acircngulo ACB
7
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
Se BC = 16 cm AC = 20 cm AD = 10 cm e AE = 104 cm o periacutemetro do quadrilaacutetero BCED em centiacutemetros eacute
a) 326
b) 364
c) 408
d) 426
e) 444
Alternativa E
9) A sombra de um preacutedio num terreno plano numa determinada hora do dia mede 15 m Nesse mesmo instante proacuteximo ao preacutedio a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m
A altura do preacutedio em metros eacute
a) 25
b) 29
c) 30
d) 45
8
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
e) 75
Alternativa A
10) Um homem de 180 m de altura sobe uma ladeira com inclinaccedilatildeo de 30deg conforme mostra a figura No ponto A estaacute um poste vertical de 5 metros de altura com uma lacircmpada no ponto B Pede-se para
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima
Resp a) 225 m
11) A aacuterea do retacircngulo DEFB eacute
a) 24
b) 160
c) 120
d) 20
e) 180
12) Um observador situado num ponto O localizado na margem de um rio precisa determinar sua distacircncia ateacute um ponto P localizado na outra margem sem atravessar o rio Para isso marca com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontra de tal forma que P O e B estatildeo alinhados entre si e P A e C tambeacutem Aleacutem disso OA eacute paralelo a BC OA = 25 m BC = 40 m e OB = 30 m conforme figura
9
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
A distacircncia em metros do observador em O ateacute o ponto P eacute
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
Alternativa E
Relaccedilotildees trigonomeacutetricas de acircngulos
Na esmagadora maioria das aplicaccedilotildees trigonomeacutetricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triacircngulo recorrendo a determinadas relaccedilotildees dependentes de acircngulos internos Assim apresentam-se de seguida algumas relaccedilotildees trigonomeacutetricas com esse fim
10
cateto hipotenusa
y h
α
x
cateto
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
Seno de α
Eacute o quociente do comprimento do cateto oposto ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
y==hipotenusa
oposto cateto)sen(α
O seno de α pode aparecer com uma das seguintes representaccedilotildees senα sinα sen(α)
sin(α)
a) Coseno de αEacute o quociente do comprimento do cateto adjacente ao acircngulo α pelo comprimento da hipotenusa do triacircngulo ou seja
h
x==hipotenusa
adjacente cateto)cos(α
Em geral o coseno de α aparece com uma das duas representaccedilotildees cosα cos(α)
b) Tangente de αEacute o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente ou seja
x
y
x
h
h
y
hx
hy =sdot===
adjacente cateto
oposto cateto)tan(α
Eacute usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras tanα tan(α) tgα tg(α)
c) Co-tangente de αEacute definida como o reciacuteproco da tangente de α
oposto cateto
adjacente cateto
)tan(
1)cotan( ===
y
x
αα
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes
cotan(α) cotg(α) cotanα cotgα
Pelas definiccedilotildees em c) e d) e segundo as definiccedilotildees em a) e b) podemos ver ainda que
)cos(
)sen()tan(
ααα = e
)sen(
)cos()cotg(
ααα =
d) Secante e co-secante de αDefinem-se ainda as funccedilotildees secante de α e co-secante de α como respectivamente
x
h==)cos(
1)sec(
αα e
y
h==)sen(
1)cosec(
αα
A secante pode ser representada por sec(α) secα A co-secante pode ser representada
por cosec(α) cosecα csc(α) cscα
11
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
14
[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
15
Foacutermula fundamental da trigonometria
A foacutermula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitaacutegoras
12
2
2
2222 =+hArr=+
h
y
h
xhyx
Pela definiccedilatildeo de seno e de cosseno de um acircngulo dadas acima por a) e b) temos que
1)(cos)(sen 22 =+ αα
Vamos agora construir uma tabela com os acircngulos notaacuteveis
Exerciacutecios
Os acircngulos 30deg 45deg e 60deg satildeo chamados notaacuteveis por aparecerem frequentemente em caacutelculos Vamos determinar o seno cosseno e tangente de cada um deles Para isso vamos considerar o triacircngulo equilaacutetero ABC da figura 1
12
[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
13
O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
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[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
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[Figura 1]
Podemos destacar algumas relaccedilotildees
Cada lado do triacircngulo mede l
AD eacute a bissetriz de BAcircC
AD eacute a mediana de BC dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l2 em D
A altura h pode ser escrita em funccedilatildeo dos lados l da seguinte forma
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 30deg e 60deg
O seno de um acircngulo eacute definido como a razatildeo do cateto oposto a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
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O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
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[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
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O cosseno de um acircngulo eacute definido pela razatildeo entre o cateto adjacente a este acircngulo pela hipotenusa do triacircngulo
A tangente de um acircngulo eacute definida pela razatildeo entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este acircngulo
Determinaccedilatildeo do seno cosseno e tangente de 45deg
Para calcularmos o seno cosseno e tangente de 45deg vamos considerar o quadrado mostrado na figura 2
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[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
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[Figura 2]
A diagonal d forma com os lados l um acircngulo de 45deg e podemos escrever a diagonal d em funccedilatildeo dos lados l
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