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Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição

António Teixeira

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Aula 8• Resposta em

Frequência– conceito base

– filtros• passa-baixo

• passa-alto

• passa e rejeita banda

• MATLAB– freqz()

– butter()

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• Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides

• Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides

• Esta caracterização é conhecida como função de transferência – porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao

serem transferidos através do sistema

• Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes– resposta em amplitude e resposta de fase

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O conceito base• Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides

de várias frequências – para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa– considerando a resposta em amplitude só temos de medir a

amplitude na saída

• Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)Frequência Amplitude da sáida125 Hz 2 V250 Hz 2 V500 Hz 1.98 V1000 Hz 1.42 V1500 Hz 0.50 V2000 Hz 0.18 V3000 Hz 0.02 V

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Problema• E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide

de 400 Hz ou 1733 Hz ?

• Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências – ou seja um número infinito de entradas !!!

• A solução passa pela utilização de um gráfico,– com frequência no eixo horizontal

– e amplitude no eixo vertical

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400 Hz 2 V

1733 Hz 0.3 V

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Passa-baixo• Vantagem importante:

– o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta

• No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada

• Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada

• Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo

– devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo sistema sem alteração

– enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas

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Respostas como quocientes• No primeiro exemplo todas as medições

usaram a mesma amplitude (2V)

• No entanto nem sempre é possível ou desejável essa situação

• Generaliza-se o conceito fazendo com que a resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência

Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)

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Aplicando ao exemplo anterior• Tabela:

Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada

125 Hz 2 V 2 1

250 Hz 2 V 2 1

500 Hz 1.98 V 2 0.99

1000 Hz 1.42 V 2 0.70

1500 Hz 0.50 V 2 0.25

2000 Hz 0.18 V 2 0.09

3000 Hz 0.02 V 2 0.01

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Filtros• Sistemas que deixam passar uma gama de

frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros

• Existem dois tipos principais de filtros– passa-baixo– passa-alto

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Comando MATLAB freqz• Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos

das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência– freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1– freqz(b,a,N,freq_amostragem);

• N = número de pontos para calcular

– [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);• h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores

• f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta

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Passa-baixo• idealmente não afecta as sinusóides abaixo de

uma determinada frequência, designada por frequência de corte

fc

amplitude1

0

“pass band”

banda de passagem

“stop band”

banda de corte

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• Na vida real um passa baixo será por exemplo

em dB

transição não instantânea

frequência de corte definida pela frequência

onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo

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Passa-alto• Deixam passar sinusóides acima de um certa

frequência

• Idealmente

fc

amplitude1

0

“stop band”

banda de corte

“pass band”

banda de passagem

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Filtros em paralelo

1

0

fc1

1

0

fc2 +1

0

Rejeita banda

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Filtros em cascata

fc2

1

0

1

0

fc1

1

0

Passa banda

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Comando MATLAB butter• BUTTER Butterworth digital and analog filter

design.

• [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). – The coefficients are listed in descending powers of

z. – The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0,

with 1.0 corresponding to half the sample rate.

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• If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2.

• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter.

• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

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Resposta de fase• Geralmente muito menos relevante que a

resposta em amplitude– motivações perceptuais

• Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída

Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)

• Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides

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CLTIDemo

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DLTIDemo

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TPC • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell

• e em especial rever os assuntos relacionados com as 7 aulas anteriores para a primeira avaliação (próximo Sábado, dia 4)