1AT 2004
Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
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Aula 8• Resposta em
Frequência– conceito base
– filtros• passa-baixo
• passa-alto
• passa e rejeita banda
• MATLAB– freqz()
– butter()
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• Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides
• Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides
• Esta caracterização é conhecida como função de transferência – porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao
serem transferidos através do sistema
• Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes– resposta em amplitude e resposta de fase
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O conceito base• Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides
de várias frequências – para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa– considerando a resposta em amplitude só temos de medir a
amplitude na saída
• Exemplo (Amplitude de entrada 2 V)Frequência Amplitude da sáida125 Hz 2 V250 Hz 2 V500 Hz 1.98 V1000 Hz 1.42 V1500 Hz 0.50 V2000 Hz 0.18 V3000 Hz 0.02 V
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Problema• E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide
de 400 Hz ou 1733 Hz ?
• Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências – ou seja um número infinito de entradas !!!
• A solução passa pela utilização de um gráfico,– com frequência no eixo horizontal
– e amplitude no eixo vertical
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400 Hz 2 V
1733 Hz 0.3 V
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Passa-baixo• Vantagem importante:
– o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta
• No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada
• Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada
• Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo
– devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo sistema sem alteração
– enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas
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Respostas como quocientes• No primeiro exemplo todas as medições
usaram a mesma amplitude (2V)
• No entanto nem sempre é possível ou desejável essa situação
• Generaliza-se o conceito fazendo com que a resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência
Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)
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Aplicando ao exemplo anterior• Tabela:
Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada
125 Hz 2 V 2 1
250 Hz 2 V 2 1
500 Hz 1.98 V 2 0.99
1000 Hz 1.42 V 2 0.70
1500 Hz 0.50 V 2 0.25
2000 Hz 0.18 V 2 0.09
3000 Hz 0.02 V 2 0.01
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Filtros• Sistemas que deixam passar uma gama de
frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros
• Existem dois tipos principais de filtros– passa-baixo– passa-alto
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Comando MATLAB freqz• Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos
das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência– freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1– freqz(b,a,N,freq_amostragem);
• N = número de pontos para calcular
– [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem);• h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores
• f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta
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Passa-baixo• idealmente não afecta as sinusóides abaixo de
uma determinada frequência, designada por frequência de corte
fc
amplitude1
0
“pass band”
banda de passagem
“stop band”
banda de corte
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• Na vida real um passa baixo será por exemplo
em dB
transição não instantânea
frequência de corte definida pela frequência
onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo
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Passa-alto• Deixam passar sinusóides acima de um certa
frequência
• Idealmente
fc
amplitude1
0
“stop band”
banda de corte
“pass band”
banda de passagem
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Filtros em paralelo
1
0
fc1
1
0
fc2 +1
0
Rejeita banda
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Filtros em cascata
fc2
1
0
1
0
fc1
1
0
Passa banda
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Comando MATLAB butter• BUTTER Butterworth digital and analog filter
design.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). – The coefficients are listed in descending powers of
z. – The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0,
with 1.0 corresponding to half the sample rate.
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• If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter.
• [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].
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Resposta de fase• Geralmente muito menos relevante que a
resposta em amplitude– motivações perceptuais
• Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída
Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f)
• Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides
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CLTIDemo
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DLTIDemo
22AT 2004
TPC • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell
• e em especial rever os assuntos relacionados com as 7 aulas anteriores para a primeira avaliação (próximo Sábado, dia 4)