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CONCEPTOS DEHOMOLOGIA SIMPLICIAL
Jose Cristobal Molina CortesProyecto Curricular de Matematicas
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA DC
2016
CONCEPTOS DEHOMOLOGIA SIMPLICIAL
Jose Cristobal Molina CortesTrabajo de Grado
DirectorCarlos Orlando Ochoa Castillo
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA DC
2016
Dedicado aHernan Molina Sanabria mi Padre
Indice general
Introduccion 2
1. Complejos Simpliciales 31.1. Simplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Orientacion de Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Grupos de Homologıa Simplicial 132.1. Cadenas, Ciclos, Fronteras y Grupos de Homologıa . . . . . . 132.2. Ejemplos de Grupos de Homologıa . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Estructura de Grupos de Homologıa 283.1. El Teorema de Euler-Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Introduccion
La topologıa es una abstraccion de la geometrıa, se trata de conjuntos quetienen una estructura de continuidad y un concepto de cercanıa de puntos yconjuntos. Esta estructura, se determino originalmente a partir de las propie-dades estudiadas en el ambiente euclıdeo. Aunque los origenes historicos dela topologıa algebraica son un poco diferentes, esta y la topologıa conjuntistacomparten un objetivo en comun: determinar la naturaleza de los espaciostopologicos mediante propiedades que son invariantes bajo homeomorfısmos.La topologıa algebraica describe la estructura de un espacio topologico me-diante la asociacion con una estructura algebraica, por lo general un grupoo una sucesion de grupos.
2
Capıtulo 1
Complejos Simpliciales
En este capıtulo se introducen los conceptos y propiedades basicas de loscomplejos simpliciales que permiten una introduccion a la teoria de homologıasimplicial, y de esta manera definir un grupo de homologıa.
1.1. Simplejos
Un conjunto A = {a0, a1, ..., ar} de r+ 1 puntos de Rn, con n ≥ r se dicegeometricamente independiente si ningun plano (r− 1)-dimensional loscontiene, equivalentemente, si los vectores a1 − a0, a2 − a0, ..., ar − a0 sonlinealmente independientes.
Ejemplo 1.1. En la figura 1.1, el conjunto A = {a0, a1, a2} es geometri-camente independiente ya que solo un plano de dimension mayor o igual a2 contiene todos los puntos, mientras que el conjunto B = {b0, b1, b2} noes geometricamente independiente ya que una recta, es decir, un plano dedimension 1 contiene todos sus puntos.
(a) (b)
Figura 1.1: Independencia Geometrica
3
4 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES
Definicion 1.1. Sea {a0, a1, ..., ar} un conjunto de puntos de Rn geometrica-mente independiente. Un simplejo o r-simplejo, σr, generado por {a0, a1, ..., ar},es el conjunto de todos los puntos x en Rn, para los que existen numeros realesno negativos λ0, λ1, ..., λr, tales que:
x =∑r
i=0 λiai, con∑r
i=0 λi = 1.
Los numeros λ0, λ1, ..., λr son las coordenadas baricentricas del punto x, y elbaricentro de σr es br = 1
r+1
∑ri=0 ai. Los puntos a0, a1, ..., ar son los vertices
del r−simplejo σr; ası σr es el conjunto
σr = {∑r
i=0 λiai ∈ Rn :∑r
i=0 λi = 1, λi ≥ 0},
Se nota σr = 〈a0a1...ar〉 y se dice que r es la dimension de σr.
Un punto a en Rn es un 0−simplejo.
σ0 = {λa ∈ Rn : λ = 1, λ ≥ 0} = {a}
Un segmento es un 1−simplejo.
σ1 ={
Σ1i=0λiai ∈ Rn : Σ1
i=0λi = 1, λi ≥ 0}
={
Σ1i=0λiai ∈ Rn : λ0 = 1− λ1, 0 ≤ λ1 ≤ 1
}= {x ∈ Rn : x = (1− λ1)a0 + λ1a1, 0 ≤ λ1 ≤ 1}
y este conjunto representa el segmento de recta que une los puntos a0 y a1.
Un triangulo es un 2−simplejo.
σ2 ={
Σ2i=0λiai ∈ Rn : Σ2
i=0λi = 1, λi ≥ 0}
= {x ∈ Rn : x = λ0a0 + λ1a1 + (1− λ0 − λ1)a2, 0 ≤ λ0 + λ1 ≤ 1, λi ≥ 0}y este conjunto representa un triangulo de Rn con vertices a0,a1 y a2.
1.1. SIMPLEJOS 5
Ahora se definen los simplejos estandar que se notan por ∆n ⊂ Rn,como ∆n = 〈e0e1...en〉, donde e0 = 0 y {ei}ni=1 es la base canonica. De formaexplıcita,
∆n = {(λ1, λ2, ..., λn) ∈ Rn : λi ≥ 0,n∑i=1
λi ≤ 1}.
Un simplejo σk es una cara de un simplejo σr, k ≤ r, si cada vertice deσk es un vertice de σr.
Proposicion 1.1. ∆n ⊂ Rn, es compacto.
Demostracion. Sea {xk}∞k=1 una sucesion de elementos en ∆n que converge ax, luego xk = (x1,k, x2,k, ..., xn,k) con
∑ni=1 xi,k ≤ 1 y x = (x1, x2, ..., xn). Ası,
dado ε > 0 existe N ∈ N tal que ‖ xm − x ‖< ε si m ≥ N .Como | xi,m − xi |≤‖ xm − x ‖< ε para i = 1, ..., n y m ≥ N , entonces{xi,k}∞k=1 es una sucesion en R que converge a xi, y esto es para i = 1, ..., n.Como xi,k ≥ 0 para todo k ∈ N entonces xi ≥ 0.Se ve que
∑ni=1 xi ≤ 1, en efecto:
n∑i=1
xi,k ≤ 1
lımk→∞
n∑i=1
xi,k ≤ lımk→∞
1
n∑i=1
lımk→∞
xi,k ≤ 1
Y ası∑n
i=1 xi ≤ 1, luego x ∈ ∆n entonces ∆n es cerrado.
Sea y = (y1, y2, ..., yn) ∈ ∆n, ‖ y ‖2=∑n
i=1 y2i , del hecho que 0 ≤ yi ≤ 1
para cada i = 1, 2, ..., n se tiene que y2i ≤ yi, luego∑n
i=1 y2i ≤
∑ni=1 yi ≤ 1,
entonces
‖ y ‖≤ 1⇒ ∆n ⊆ B(0, 2) por tanto ∆n es acotado.
Ası ∆n es compacto.
Teorema 1.1. σn = 〈a0a1...an〉 es homeomorfo a ∆n.
Demostracion. Sea f : ∆n 7−→ σn definida por f(λ) =∑n
i=0 λiai, paraλ =
∑ni=1 λiei ∈ ∆n y λ0 = 1 −
∑ni=1 λi, f es una funcion biyectiva con-
tinua con inversa continua, en efecto:
6 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES
Sean λ, α ∈ ∆n tal que λ 6= α y se supone que f(λ) = f(α), luego:n∑i=0
λiai =n∑i=0
αiai
ya que λ0 = 1−∑n
i=1 λi y α0 = 1−∑n
i=1 αi, entonces
(1−n∑i=1
λi)a0 +n∑i=1
λiai = (1−n∑i=1
αi)a0 +n∑i=1
αiai
n∑i=1
λi(ai − a0) =n∑i=1
αi(ai − a0)
Pasando a restar la sumatoria de la derecha y factorizando los terminos(ai − a0), se tiene
n∑i=1
(λi − αi)(ai − a0) = 0
(λ1 − α1)(a1 − a0) + (λ2 − α2)(a2 − a0) + ...+ (λn − αn)(an − a0) = 0
Como λ 6= α, entonces λi 6= αi para algunos i ∈ {1, ..., n}, entonces losvectores a1 − a0, a2 − a0, ..., an − a0 son linealmente dependientes, lo cual esuna contradiccion, por tanto f(λ) 6= f(α), ası f es inyectiva.f es sobreyectiva ya que si x =
∑ni=0 xiai ∈ σn, entonces
∑ni=0 xi = 1 con xi ≥
0, luego∑n
i=1 xi ≤ 1 y∑n
i=1 xiei ∈ ∆n, y aplicando f tenemos:
f(n∑i=1
xiei) =n∑i=0
xiai
y ası, para x =∑n
i=0 xiai ∈ σn existe y =∑n
i=1 xiei ∈ ∆n tal que f(y) = x.Por tanto, todo elemento de σn es imagen de un elemento en ∆n y ası f essobreyectiva.Luego f es biyectiva.f es continua, efectivamente:Sea x =
∑ni=1 xiei ∈ ∆n; Como ∆n es cerrado, entonces existe una sucesion
(xm) en ∆n que converge a x.Si xm =
∑ni=1 xi,mei, entonces xi,m −→ xi para i = 1, 2, ..., n, luego.
lımk→∞
f(n∑i=1
xi,kei) = lımk→∞
[n∑i=1
xi,kai + (1−n∑i=1
xi,k)a0]
=n∑i=1
xiai + (1−n∑i=1
xi)a0
= f(x)
1.1. SIMPLEJOS 7
Entonces f es continua.Sea A ⊆ ∆n cerrado, como ∆n es compacto entonces A es compacto, yf(A) es compacto por ser f continua, en particular f(A) es cerrado. Ya que(f−1)−1 = f , entonces f−1 es continua.Y ya que f es una funcion biyectiva continua con inversa continua entoncesf es un homeomorfismo.
Proposicion 1.2. σn = 〈a0a1...an〉 es convexo y compacto.
Demostracion. Sean x =∑n
i=0 λiai y y =∑n
i=0 µiai elementos de σn. Paraβ∈[0, 1], se tiene que
βx+ (1− β)y =n∑i=0
(βλi + (1− β)µi)ai
pero
n∑i=0
(βλi + (1− β)µi) = βn∑i=0
λi + (1− β)n∑i=0
µi = β+(1− β) = 1
ademas (βλi+(1−β)µi) ≥ 0 entonces βx+(1−β)y ∈ σn y ası σn es convexo.
La compacidad se sigue del homeomorfismo entre σn y ∆n.
Definicion 1.2. Un complejo simplicial es una familia finita K de sim-plejos que satisfacen las siguientes condiciones:
1. Si un simplejo σk pertenece a K y τm es una cara de σk entoncesτm ∈ K.
2. Si σk y σr son elementos de K entonces σk ∩ σr = ∅ o σk ∩ σr es unacara de σk y σr.
La dimension de K es el entero positivo mas grande r tal que K tiene unr-simplejo.La union de los miembros de K se nota por |K| y se llama la realizaciongeometrica de K o el poliedro asociado con K.
Definicion 1.3. Si existe un complejo simplicial K cuyo poliedro |K| eshomeomorfo a un espacio topologico X, entonces se dice que X es un espaciotriangulable, y el complejo K se llama una triangulacion de X.
Definicion 1.4. La clausura de un r−simplejo σr, Cl(σr), es el complejoque consta de σr y todas sus caras.
8 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES
Definicion 1.5. Si K es un complejo y r un entero positivo, el r−esqueletode K es el complejo que consta de todos los simplejos de K de dimensionmenor o igual que r.
Ejemplo 1.2. Se considera el 3−simplejo σ3 = 〈a0a1a2a3〉. El 2−esqueletode la clausura de σ3 es el complejo K cuyos simplejos son las caras propiasde σ3. La realizacion Geometrica de K es la frontera de un tetraedro y eshomeomorfo a la 2−esfera.
S2 =
{(x1, x2, x3) ∈ R3 :
3∑i=1
x2i = 1
}
1.2. Orientacion de Complejos
Un r−simplejo orientado, r ≥ 1, se obtiene a partir de un r−simplejoσr = 〈a0a1...ar〉 por la eleccion de un ordenamiento de sus vertices. La cla-se de equivalencia de permutaciones pares del orden elegido determina laorientacion positiva simpleja +σr mientras que la clase de equivalencia depermutaciones impares determina la orientacion negativa simpleja −σr. Uncomplejo simplicial orientado se obtiene a partir de un complejo simpli-cial mediante la asignacion de una orientacion a cada uno de sus simplejos.
Si los vertices a0, a1, ..., ap son de un p−simplejo σp, entonces el sımbo-lo +〈a0a1...ap〉 denota la clase de permutaciones pares del orden indicadoa0, a1, ..., ap y −〈a0a1...ap〉 denota la clase de permutaciones impares. Si sedesea la clase de permutacion par determinando la orientacion positiva sim-pleja, entonces se escribe:
+σp = 〈a0a1...ap〉
o+σp = +〈a0a1...ap〉
Como ordenar vertices requiere mas de un vertice, no es necesario preocupar-se por la orientacion de un 0−simplejo. Para esto, es coveniente considerarun 0−simplejo orientado como positivamente.
Ejemplo 1.3. (a) En el 1−simplejo σ1 = 〈a0a1〉, si el orden se obtiene pora0 < a1, entonces
+σ1 = 〈a0a1〉, −σ1 = 〈a1a0〉
Si se imagina que el segmento 〈aiaj〉 es dirigido desde ai hasta aj, entonces〈a0a1〉 y 〈a1a0〉 tienen direcciones opuestas.
1.2. ORIENTACION DE COMPLEJOS 9
(b) En el 2−simplejo σ2 = 〈a0a1a2〉, asignando el orden a0 < a1 < a2.Entonces 〈a0a1a2〉, 〈a1a2a0〉 y 〈a2a0a1〉 denotan +σ2, mientras que 〈a0a2a1〉,〈a2a1a0〉 y 〈a1a0a2〉 denotan −σ2, ver Figura 1.2; Entonces
+σ2 = +〈a0a1a2〉, −σ2 = −〈a0a1a2〉 = +〈a0a2a1〉.
(a) (b)
Figura 1.2:
Definicion 1.6. Sea K un complejo geometrico orientado con simplejos σp+1
y σp cuyas dimensiones difieren en 1. Se asocia a cada par (σp+1, σp) unnumero de incidencia [σp+1, σp] definido de la siguiente manera: Si σp noes una cara de σp+1, entonces [σp+1, σp] = 0. Si σp es una cara de σp+1, seetiquetan los vertices a0, a1, ..., ap de σp tal que +σp = +〈a0a1...ap〉. Sea vel vertice de σp+1 que no esta en σp, entonces +σp+1 = ±〈vaoa1...ap〉. Si+σp+1 = +〈va0a1...ap〉, entonces [σp+1, σp] = 1. Si +σp+1 = −〈va0a1...ap〉,entonces [σp+1, σp] = −1.
Ejemplo 1.4. (a) Si +σ1 = 〈a0a1〉, entonces [σ1, 〈a0〉] = −1 y [σ1, 〈a1〉] = 1.(b) Si +σ2 = +〈a0a1a2〉, +σ1 = 〈a0a1〉 y +τ 1 = 〈a0a2〉, entonces [σ2, σ1] = 1y [σ2, τ 1] = −1.
Definicion 1.7. En un complejo orientado K. Sea {σpi }αp
i y {σp+1i }
αp+1
i de-notando los p−simplejos y (p+ 1)−simplejos de K, donde αp y αp+1 denotanel numero de simplejos de dimension p y p+ 1 respectivamente. La matriz
η(p) = (ηij(p))
donde ηij(p) = [σp+1i , σpj ], es la matriz de incidencia de orden p de K.
Ejemplo 1.5. Sea K el complejo formado por los simplejos de dimensionmenor o igual que 2, de Cl(σ3) con σ3 = 〈a0a1a2a3〉. Que se muestra en laFigura 1.3. K tiene 4 (0−simplejos), 6 (1−simplejos) y 4 (2−simplejos).
10 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES
Figura 1.3: Tetraedro
Como
η1i(0) = [σ11, σ
0i ] = [〈a0a1〉, σ0
i ] =
−1 i = 11 i = 20 i = 3, 4
η2i(0) = [σ12, σ
0i ] = [〈a0a2〉, σ0
i ] =
−1 i = 11 i = 30 i = 2, 4
η3i(0) = [σ13, σ
0i ] = [〈a0a3〉, σ0
i ] =
−1 i = 11 i = 40 i = 2, 3
η4i(0) = [σ14, σ
0i ] = [〈a0a4〉, σ0
i ] =
−1 i = 21 i = 30 i = 1, 4
η5i(0) = [σ15, σ
0i ] = [〈a0a5〉, σ0
i ] =
−1 i = 21 i = 40 i = 1, 3
η6i(0) = [σ16, σ
0i ] = [〈a0a1〉, σ0
i ] =
−1 i = 31 i = 40 i = 1, 2
La matriz de incidencia de orden 0 de K, η(0) es:−1 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 10 −1 1 00 −1 0 10 0 −1 1
1.2. ORIENTACION DE COMPLEJOS 11
y ran(η(0)) = 3, ran(η(0)) :=rango de la matriz η(0)Como
η1i(1) = [σ21, σ
1i ] = [〈a0a1a2〉, σ1
i ] =
1 i = 1, 4−1 i = 20 i = 3, 5, 6
η2i(1) = [σ22, σ
1i ] = [〈a0a1a3〉, σ1
i ] =
1 i = 1, 5−1 i = 30 i = 2, 4, 6
η3i(1) = [σ23, σ
1i ] = [〈a0a2a3〉, σ1
i ] =
1 i = 2, 6−1 i = 30 i = 1, 4, 5
η4i(1) = [σ24, σ
1i ] = [〈a1a2a3〉, σ1
i ] =
1 i = 4, 6−1 i = 50 i = 1, 2, 3
La matriz de incidencia de orden 1 de K, η(1) es:1 −1 0 1 0 01 0 −1 0 1 00 1 −1 0 0 10 0 0 1 −1 1
y ran(η(1)) = 3
Teorema 1.2. Sea K un complejo orientado, σp un p−simplejo de K y σp−2
una (p− 2)−cara de σp. Entonces∑[σp, σp−1][σp−1, σp−2] = 0, σp−1 ∈ K.
Demostracion. Se etiquetan los vertices v0, ..., vp−2 de σp−2 tal que +σp−2 =〈v0...vp−2〉. Entonces σp tiene 2 vertices adicionales a y b, se asume que +σp =〈abv0...vp−2〉.Los terminos diferentes de cero ocurren en la suma para 2 unicos valores deσp−1, es decir:
σp−11 = 〈av0...vp−2〉, σp−12 = 〈bv0...vp−2〉
Ahora se tratan cuatro casos determinados por la orientacion de σp−11 y σp−12 .
CASO I. Sean
+σp−11 = +〈av0...vp−2〉, +σp−12 = +〈bv0...vp−2〉.
12 CAPITULO 1. COMPLEJOS SIMPLICIALES
Entonces[σp, σp−11 ] = −1, [σp−11 , σp−2] = +1,
[σp, σp−12 ] = +1, [σp−12 , σp−2] = +1.
Luego[σp, σp−11 ][σp−11 , σp−2] + [σp, σp−12 ][σp−12 , σp−2] = 0
CASO II. Sean
+σp−11 = +〈av0...vp−2〉, +σp−12 = −〈bv0...vp−2〉.
Entonces[σp, σp−11 ] = −1, [σp−11 , σp−2] = +1,
[σp, σp−12 ] = −1, [σp−12 , σp−2] = −1.
Luego[σp, σp−11 ][σp−11 , σp−2] + [σp, σp−12 ][σp−12 , σp−2] = 0
CASO III. Sean
+σp−11 = −〈av0...vp−2〉, +σp−12 = +〈bv0...vp−2〉.
Entonces[σp, σp−11 ] = +1, [σp−11 , σp−2] = −1,
[σp, σp−12 ] = +1, [σp−12 , σp−2] = +1.
Luego[σp, σp−11 ][σp−11 , σp−2] + [σp, σp−12 ][σp−12 , σp−2] = 0
CASO IV. Sean
+σp−11 = −〈av0...vp−2〉, +σp−12 = −〈bv0...vp−2〉.
Entonces[σp, σp−11 ] = +1, [σp−11 , σp−2] = −1,
[σp, σp−12 ] = −1, [σp−12 , σp−2] = −1.
Luego[σp, σp−11 ][σp−11 , σp−2] + [σp, σp−12 ][σp−12 , σp−2] = 0
Y ası queda demostrado el teorema.
Capıtulo 2
Grupos de HomologıaSimplicial
2.1. Cadenas, Ciclos, Fronteras y Grupos de
Homologıa
Sea K un complejo simplicial orientado. Si p es un entero positivo, unacadena p-dimensional, o p-cadena, es una funcion cp con dominio en lafamilia de los p-simplejos orientados de K y codominio los enteros tal que,para cada p-simplejo σp, cp(−σp) = −cp(+σp). Una 0-cadena es una funcionde los 0-simplejos de K a los enteros.Una p-cadena elemental es una p-cadena cp para la cual existe un p-simplejoσp tal que cp(τ
p) = 0 para cada p-simpejo τ p distinto de σp. Una p-cadenaelemental se nota por g·σp donde g = cp(+σ
p) ∈ Z. Con esta notacion, unap-cadena dp se expresa como una suma finita formal
dp =∑
gi·σpide p-cadenas elementales donde el ındice i varıa sobre todos los p-simplejosde K.
Lema 2.1. Con la operacion de adicion puntual inducida por los enteros, lafamilia de p-cadenas forman un grupo abeliano que se denomina el grupode p-cadenas de K, y se nota por Cp(K).
Demostracion. Sean cp =∑fiσ
pi y dp =
∑giσ
pi p-cadenas sobre K. Luego
cp + dp =∑
fiσpi +
∑giσ
pi =
∑(fi + gi)σ
pi
cp + dp ∈ Cp(K).Si +σpα es un p-simplejo orientado tal que
13
14 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
cp(+σpα) = fα, dp(+σ
pα) = gα
Entonces(cp + dp)(+σ
pα) = fα + gα
(cp + dp)(−σpα) = −(fα + gα) = −(cp + dp)(+σpα)
Y ası cp + dp ∈ Cp(K).Las propiedades asociativa y conmutativa se tienen por ser Z un grupo abe-liano. El elemento identidad es la p−cadena trivial y el inverso aditivo de cpen Cp(K) es la p−cadena −cp.Por tanto Cp(K) es un grupo abeliano.
EL grupo de p−cadenas Cp(K) es isomorfo a la suma directa copias delgrupo (Z,+) de enteros sobre la familia de p−simplejos de K. Esto es, si Ktiene αp p−simplejos, entonces Cp(K) es isomorfo a la suma directa de αpcopias de Z.Un isomorfimo es obtenido por la siguiente correspondencia:
αp∑i=1
gi·σpi ←→ (g1, g2, ..., gαp)
Definicion 2.1. Si g·σp es una p−cadena elemental con p ≥ 1, la fronterade g·σp, se nota ∂(g·σp), y se define por:
∂(g·σp) =∑
[σp, σp−1i ]g·σp−1, σp−1i ∈ K
El operador frontera ∂ se extiende por linealidad a un homomorfismo
∂ : Cp(K) −→ Cp−1(K).
En otras palabras, si cp =∑gi·σpi es una p−cadena arbitraria, entonces se
define:∂(cp) =
∑∂(gi·σpi ), σpi ∈ K
∂(cp) =∑∑
[σi, σp−1j ]gi·σp−1j , σp−1j ∈ K, σpi ∈ K
La frontera de una 0−cadena se define por cero.
Teorema 2.1. Si K es un complejo orientado y p ≥ 2, entonces la compo-sicion ∂∂ : Cp(K) −→ Cp−2(K) en el diagrama
Cp(K) ∂−→ Cp−1(K) ∂−→ Cp−2(K)
Es el homomorfismo trivial.
2.1. CADENAS, CICLOS, FRONTERAS Y GRUPOS DE HOMOLOGIA15
Demostracion. Sea c ∈ Cp(K), p ≥ 2 tal que c =∑
σpi ∈K
gi·σpi . Ahora seaplica la composicion sobre c.
∂∂(c) = ∂(∑σpi ∈K
∂(gi·σpi ))
∂∂(c) = ∂(∑σpi ∈K
∑σp−1j ∈K
[σpi , σp−1j ]gi·σp−1j )
∂∂(c) =∑σpi ∈K
∑σp−1j ∈K
[σpi , σp−1j ]∂(gi·σp−1j )
∂∂(c) =∑σpi ∈K
∑σp−1j ∈K
[σpi , σp−1j ]
∑σp−2r ∈K
[σp−1j , σp−2r ]gi·σp−2r
∂∂(c) =∑σpi ∈K
∑σp−1j ∈K
∑σp−2r ∈K
[σpi , σp−1j ][σp−1j , σp−2r ]gi·σp−2r
Cambiando el orden de las sumatorias y agrupando, se tiene:
∂∂(c) =∑σpi ∈K
∑σp−2r ∈K
gi·σp−2r
∑σp−1j ∈K
[σpi , σp−1j ][σp−1j , σp−2r ]
Luego por teorema 1.2, se tiene que∑
σp−1j ∈K[σpi , σ
p−1j ][σp−1j , σp−2r ] = 0 para
cada σp−2r ∈ K.Por tanto
∂∂(c) = 0
Definicion 2.2. Sea K un complejo orientado. Si p es un entero positivo,un p−ciclo sobre K, es una p−cadena zp tal que ∂(zp) = 0.La familia de p−ciclos es el kernel del homomorfismo ∂ : Cp(K) −→ Cp−1(K)y es un subgrupo de Cp(K). Este subgrupo, se nota por Zp(K), y se llamael grupo de p− ciclos de K.El grupo Z0(K) de 0−ciclos es el grupo C0(K) de 0−cadenas.
Definicion 2.3. Si p ≥ 0, una p−cadena bp es una p−frontera sobre K, op−frontera, si existe una (p+ 1)−cadena cp+1 tal que ∂(cp+1) = bp.La famila de p−fronteras es la imagen del homomorfismo ∂(Cp+1(K)) y esun subgrupo de Cp(K). Este subgrupo se llama el grupo p−frontera de K yse nota por Bp(K).Si n es la dimension de K, entonces no existen p−cadenas sobre K para
16 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
p > n. En este caso se dice que Cp(K) es el grupo trivial {0}.En particular, no existen (n+ 1)−cadenas sobre K, esto es, Cn+1(K) = {0}y ası Bn(K) = {0}.
Teorema 2.2. Si K es un complejo orientado, entonces Bp(K) ⊂ Zp(K)para cada entero p tal que 0 ≤ p ≤ n, donde n es la dimension de K.
Demostracion. ◦ Si p = 0 entonces Z0(K) = C0(K) por definicion ycomo ∂ : C1(K) −→ C0(K), luego B0(K) = ∂(C1(K)) ≤ C0(K)entonces
B0(K) ⊂ Z0(K)
◦ Si p = n entonces Bn(K) = {0} y ası
Bn(K) ⊂ Zn(K)
◦ Si 0 < p < n. Sea bp ∈ Bp(K), luego existe cp+1 una (p + 1)−cadenatal que ∂(cp+1) = bp. Ahora se aplica el homomorfismo frontera a bp.
∂(bp) = ∂(∂(cp+1)) = ∂∂(cp+1)
y por teorema 1.3 se tiene ∂∂(cp+1) = 0, entonces bp ∈ Ker(∂) =Zp(K) y ası
Bp(K) ⊂ Zp(K)
Se piensa intuitivamente de un p−ciclo como una combinacion lineal dep−simplejos los cuales hacen un circuito completo. Los p−ciclos que encierranagujeros son los ciclos interesantes y son los unicos que no son frontera de(p+ 1)−cadenas.
Definicion 2.4. Dos p−ciclos wp y zp sobre un complejo K son homologos,notado wp ∼ zp, si existe una (p+ 1)−cadena cp+1 tal que
∂(cp+1) = wp − zp.
Si un p−ciclo tp es la frontera de una (p + 1)−cadena, se dice que tp eshomologo a cero y se escribe tp ∼ 0.Esta relacion de homologıa por p−ciclos es una relacion de equivalencia yparticiona Zp(K) en clases de homologıa.
[zp] = {wp ∈ Zp(K) : wp ∼ zp}
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 17
La clase de homologıa [zp] es la clase lateral
zp + Bp(K) = {zp + ∂(cp+1) : ∂(cp+1) ∈ Bp(K)}
Aquı las clases de homologıa son los miembros del grupo cociente Zp(K)
Bp(K). Se
puede usar la estructura del grupo cociente y adicionar clases de homologıa.
Definicion 2.5 (Grupo de Homologıa). Si K es un complejo orientado yp un entero positivo, el p−grupo de homologıa de K es el grupo cociente
Hp(K) =Zp(K)
Bp(K).
2.2. Ejemplos de Grupos de Homologıa
Ejemplo 2.1. Sea K la clausura de un 2−simplejo 〈a0a1a2〉 con la orientacioninducida por a0 < a1 < a2, ası K tiene 0−simplejos 〈a0〉, 〈a1〉 y 〈a2〉, y1−simplejos orientados positivamente 〈a0a1〉, 〈a1a2〉 y 〈a0a2〉 y 2−simplejosorientados positivamente 〈a0a1a2〉.Una 0−cadena sobre K es una suma de la forma:
c0 = g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉
Donde g0, g1 y g2 son enteros. Aquı C0(K) = Z0(K) es isomorfo a la sumadirecta Z⊕ Z⊕ Z, esto es, tres copias del grupo de los enteros.Una 1−cadena sobre K es una suma de la forma:
c1 = h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉
Donde h0, h1 y h2 son enteros. Ası C1(K) es isomorfo a Z⊕Z⊕Z. Ademas
∂(c1) = [〈a0a1〉, 〈a0〉]h0· 〈a0〉+ [〈a0a1〉, 〈a1〉]h0· 〈a1〉+ [〈a0a1〉, 〈a2〉]h0· 〈a2〉+[〈a1a2〉, 〈a0〉]h1· 〈a0〉+ [〈a1a2〉, 〈a1〉]h1· 〈a1〉+ [〈a1a2〉, 〈a2〉]h1· 〈a2〉+[〈a0a2〉, 〈a0〉]h2· 〈a0〉+ [〈a0a2〉, 〈a1〉]h2· 〈a1〉+ [〈a0a2〉, 〈a2〉]h2· 〈a2〉+
∂(c1) = −h0· 〈a0〉+ h0· 〈a1〉 − h1· 〈a1〉+ h1· 〈a2〉 − h2· 〈a0〉+ h2· 〈a2〉
∂(c1) = (−h0 − h2)· 〈a0〉+ (h0 − h1)· 〈a1〉+ (h1 + h2)· 〈a2〉 (1)
Aquı c1 es 1−ciclo si y solo si h0, h1 y h2 satisfacen las siguientes ecuaciones.
−h0 − h2 = 0 , h0 − h1 = 0 , h1 + h2 = 0
18 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
Del sistema obtenemos que h0 = h1 = −h2 del modo que los 1−ciclos soncadenas de la forma:
h· 〈a0a1〉+ h· 〈a1a2〉 − h· 〈a0a2〉 (2)
Donde h es cualquier entero. Ası Z1(K) es isomorfo al grupo Z de enteros.
El unico 2−simplejo de K es 〈a0a1a2〉, ası las unicas 2−cadenas son los ele-mentos h· 〈a0a1a2〉 donde h es un entero. Entonces C2(K) ∼= Z.Como
∂(h· 〈a0a1a2〉) = [〈a0a1a2〉, 〈a0a1〉]h· 〈a0a1〉+ [〈a0a1a2〉, 〈a1a2〉]h· 〈a1a2〉+[〈a0a1a2〉, 〈a0a2〉]h· 〈a0a2〉
∂(h· 〈a0a1a2〉) = h· 〈a0a1〉+ h· 〈a1a2〉 − h· 〈a0a2〉 (3)
entonces ∂(h· 〈a0a1a2〉) = 0 es solo cuando h = 0. Ası Z2(K) = {0}, luegoH2(K) = {0}.De las ecuaciones (2) y (3) se observa que 1−ciclos y 1−fronteras tienen lamisma forma, ası que Z1(K) = B1(K), entonces H1(K) = {0}.De la ecuacion (1) se observa que un 0−ciclo
g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉 (4)
es una 0−frontera si y solo si
g0 = −h0 − h2, g1 = h0 − h1, g2 = h1 + h2
Entonces g0+g1 = −g2, luego para 0−fronteras, 2 coeficientes son arbitrariosy el tercero es determinado por los dos primeros. Ası B0(K) ∼= Z⊕ Z.De las ecuaciones (1) y (4) se tiene que
h0 = h1 + g1 h2 = g2 − h1 g1 + g2 = h0 + h2
Luego
∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉) = (−g1−g2)· 〈a0〉+g1· 〈a1〉+g2· 〈a2〉 (5)
Trabajando ahora con la expresion del lado izquierdo de la igualdad se ob-serva que:∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉)
= ∂(g1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ g2· 〈a0a2〉 − h1· 〈a0a2〉)
= ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + ∂(h1· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉 − h1· 〈a0a2〉)
= ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + ∂(∂(h1· 〈a0a1a2〉))
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 19
∂(h0· 〈a0a1〉+ h1· 〈a1a2〉+ h2· 〈a0a2〉) = ∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉)
Ahora reemplazando en la ecuacion (5) y sumando g0· 〈a0〉 se tiene:
∂(g1· 〈a0a1〉+ g2· 〈a0a2〉) + (g0 + g1 + g2)· 〈a0〉 = g0· 〈a0〉+ g1· 〈a1〉+ g2· 〈a2〉
Esto significa que cualquier 0−ciclo es homologo a un 0−ciclo de la format· 〈a0〉, con t un entero. Aquı cada clase 0−homologica tiene un representantet· 〈a0〉 tal que H0(K) es isomorfo a Z.
Resumiendo los calculos, se tiene que:
H0(K) ∼= Z, H1(K) = {0}, H2(K) = {0}
Ejemplo 2.2. (Cinta de Mobius) Si M denota la triangulacion de lacinta de mobius, como se ve en la figura 2.1. Con la orientacion inducida porel orden b0 < b1 < b2 < b3 < b4 < b5. No hay 3−simplejos en M , entonces
Figura 2.1:
∂(C3(M)) = B2(M) = {0}.
2− simplejos = {〈b0b3b4〉, 〈b0b1b4〉, 〈b1b4b5〉, 〈b1b2b5〉, 〈b0b2b5〉, 〈b0b2b3〉}
Entonces:C2(M) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
1− simplejos = {〈b0b1〉, 〈b0b2〉, 〈b0b3〉, 〈b0b4〉, 〈b0b5〉, 〈b1b2〉, 〈b1b4〉, 〈b1b5〉,〈b2b3〉, 〈b2b5〉, 〈b3b4〉, 〈b4b5〉}.Luego C1(M) es isomorfo a la suma directa de 12 copias de Z
0− simplejos = {〈b0〉, 〈b1〉, 〈b2〉, 〈b3〉, 〈b4〉, 〈b5〉}
Entonces C0(M) es isomorfo a la suma directa de 6 copias de Z. Ahora
w = g0·〈b0b3b4〉+g1·〈b0b1b4〉+g2·〈b1b4b5〉+g3·〈b1b2b5〉+g4·〈b0b2b5〉+g5·〈b0b2b3〉
20 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
Es un 2−ciclo si ∂(w) = 0. Luego
∂(w) = g0 · 〈b0b3〉 − g0 · 〈b0b4〉 + g0 · 〈b3b4〉 + g1 · 〈b0b1〉 − g1 · 〈b0b4〉 + g1 ·〈b1b4〉+g2 · 〈b1b4〉−g2 · 〈b1b5〉+g2 · 〈b4b5〉+g3 · 〈b1b2〉−g3 · 〈b1b5〉+g3 · 〈b2b5〉+g4 · 〈b0b2〉 − g4 · 〈b0b5〉+ g4 · 〈b2b5〉+ g5 · 〈b0b2〉 − g5 · 〈b0b3〉+ g5 · 〈b2b3〉
∂(w) = g1 · 〈b0b1〉+ (g4 + g5) · 〈b0b2〉+ (g0− g5) · 〈b0b3〉+ (−g0− g1) · 〈b0b4〉 −g4 · 〈b0b5〉 + g3 · 〈b1b2〉 + (g1 + g2) · 〈b1b4〉 + (−g2 − g3) · 〈b1b5〉 + g5 · 〈b2b3〉 +(g3 + g4) · 〈b2b5〉+ g0 · 〈b3b4〉+ g2 · 〈b4b5〉
Ası g0 = g1 = g2 = g3 = g4 = g5 = 0
∂ : C2(M) −→ C1(M)
Ker(∂) = {0} = Z2(M) y ası H2(M) = {0}
Como Ker(∂) = {0} entonces ∂ es un homomorfismo inyectivo.
Luego C2(M) ∼= ∂(C2(M)) = B1(M).
Siw = h0 · 〈b0b1〉+ h1 · 〈b0b2〉+ h2 · 〈b0b3〉+ h3 · 〈b0b4〉+ h4 · 〈b0b5〉+ h5 · 〈b1b2〉+h6 · 〈b1b4〉+ h7 · 〈b1b5〉+ h8 · 〈b2b3〉+ h9 · 〈b2b5〉+ h10 · 〈b3b4〉+ h11 · 〈b4b5〉es un 1−ciclo entonces:∂(w) = (−h0−h1−h2−h3−h4)·〈b0〉+(h0−h5−h6−h7)·〈b1〉+(h1+h5−h8−h9)·〈b2〉+(h2+h8−h10)·〈b3〉+(h3+h6+h10−h11)·〈b4〉+(h4+h7+h9+h11)·〈b5〉
h0 + h1 + h2 + h3 + h4 = 0
h0 − h5 − h6 − h7 = 0
h1 + h5 − h8 − h9 = 0
h2 + h8 − h10 = 0
h3 + h6 + h10 − h11 = 0
h4 + h7 + h9 + h11 = 0
Luego
−h4 = h0 + h1 + h2 + h3; h7 = h0 − h5 − h6; h9 = h1 + h5 − h8
h10 = h2 + h8; h11 = h3 + h6 + h2 + h8
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 21
Tenemos que h4, h7, h9, h10 y h11 estan en funcion de h0, h1, h2, h3, h5, h6 y h8,entonces
Z1(M) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
H1(M) = Z1(M)/B1(M)
H1(M) ∼=Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
Por tanto H1(M) ∼= Z.
Para determinar H0(M), se observa que dos 0−cadenas 〈bi〉 y 〈bj〉 arbitrarias(i, j variando de 0 a 5) son homologas, por ejemplo:g · 〈b0〉 ∼ g · 〈b1〉 ya que:
∂(g · 〈b0b4〉−g · 〈b1b4〉) = −g · 〈b0〉+g · 〈b4〉+g · 〈b1〉−g · 〈b4〉 = g · 〈b1〉−g · 〈b0〉
Luego:∂(g3 · 〈b0b2〉 + (g2 + g4) · 〈b0b3〉 + (g1 + g5) · 〈b0b4〉 − g1 · 〈b1b4〉 + (g3 − g2) ·〈b2b3〉+ g4 · 〈b3b4〉+ g5 · 〈b4b5〉) = g1 · 〈b1〉+ g2 · 〈b2〉+ g3 · 〈b3〉+ g4 · 〈b4〉+ g5 ·〈b5〉 − (g1 + g2 + g3 + g4 + g5) · 〈b0〉+ g0 · 〈b0〉 − g0 · 〈b0〉
y ası se tiene que para cualquier 0−ciclo g0 · 〈b0〉 + g1 · 〈b1〉 + g2 · 〈b2〉 +g3 · 〈b3〉+g4 · 〈b4〉+g5 · 〈b5〉 existe su homologo (g0 +g1 +g2 +g3 +g4 +g5) · 〈b0〉
Luego H0(M) = {[k · 〈b0〉]; k ∈ Z} por tanto
H0(M) ∼= Z
Ejemplo 2.3. (Plano Proyectivo) El plano proyectivo se obtiene de undisco finito identificando cada par de puntos diametricalmente opuestos. Unatriangulacion P del plano proyectivo, con la orientacion indicada por losarreglos, se muestra en la figura 2.2.
No hay 3−simplejos en P, entonces B2(P) = {0}. Al calcular Z2(P), seobserva que cada 1−simplejo σ1 de P es cara de exactamente dos 2−simplejosσ21 y σ2
2. Se observa que cuando σ1 es 〈a3a4〉, 〈a4a5〉 y 〈a5a3〉, ambos numerosde incidencia [σ2
1, σ1] y [σ2
2, σ1] son +1.
[〈a1a3a4〉, 〈a3a4〉] = [〈a2a3a4〉, 〈a3a4〉] = 1
[〈a1a4a5〉, 〈a4a5〉] = [〈a0a4a5〉, 〈a4a5〉] = 1
[〈a2a5a3〉, 〈a5a3〉] = [〈a0a5a3〉, 〈a5a3〉] = 1
22 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
Figura 2.2:
Para las otras elecciones de σ1, un numero de incidencia es −1 y otro es +1,por ejemplo:
[〈a0a1a2〉, 〈a0a1〉] = −[〈a0a3a1〉, 〈a0a1〉]
[〈a0a1a2〉, 〈a0a2〉] = −[〈a0a2a4〉, 〈a0a2〉]
[〈a0a1a2〉, 〈a2a1〉] = −[〈a1a5a2〉, 〈a2a1〉]
Una 2−cadena w ∈ C2(P) es una combinacion lineal de la forma
w = g1 · 〈a0a1a2〉+ g2 · 〈a0a4a5〉+ g3 · 〈a0a2a4〉+ g4 · 〈a2a3a4〉+ g5 · 〈a2a5a3〉+g6 · 〈a1a5a2〉+ g7 · 〈a1a4a5〉+ g8 · 〈a1a3a4〉+ g9 · 〈a0a3a1〉+ g10 · 〈a0a5a3〉
Con gi ∈ Z. w es un 2−ciclo si ∂(w) = 0, entonces
∂(w) = (g1 − g9) · 〈a0a1〉 + (g3 − g1) · 〈a0a2〉 + (g9 − g10) · 〈a0a3〉 + (g3 −g2) · 〈a4a0〉+ (g2 − g10) · 〈a5a0〉+ (g6 − g1) · 〈a2a1〉+ (g8 − g9) · 〈a1a3〉+ (g7 −g8) · 〈a1a4〉+ (g6 − g7) · 〈a1a5〉+ (g5 − g4) · 〈a3a2〉+ (g4 − g3) · 〈a4a2〉+ (g5 −g6) · 〈a2a5〉+ (g4 + g8) · 〈a3a4〉+ (g5 + g10) · 〈a5a3〉+ (g2 + g7) · 〈a4a5〉
ası g1 = g2 = g3 = ... = g9 = g10 = g, luego
∂(w) = 2g · 〈a3a4〉+ 2g · 〈a4a5〉+ 2g · 〈a5a3〉
por tanto w es un 2−ciclo solo cuando g = 0, ası Z2(P) = {0} y H2(P) = {0}.
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 23
Se observa que cualquier 1−ciclo es homologo a un multiplo de
z = 1 · 〈a3a4〉+ 1 · 〈a4a5〉+ 1 · 〈a5a3〉
En efecto
v = h1 · 〈a0a1〉 + h2 · 〈a0a2〉 + h3 · 〈a0a3〉 + h4 · 〈a4a0〉 + h5 · 〈a5a0〉 + h6 ·〈a2a1〉+h7 · 〈a1a3〉+h8 · 〈a1a4〉+h9 · 〈a1a5〉+h10 · 〈a3a2〉+h11 · 〈a4a2〉+h12 ·〈a2a5〉+ h13 · 〈a3a4〉+ h14 · 〈a5a3〉+ h15 · 〈a4a5〉
es un 1−ciclo si ∂(v) = 0, luego
∂(v) = (h4 + h5− h1− h2− h3) · 〈a0〉+ (h1 + h6− h7− h8− h9) · 〈a1〉+ (h2−h6 + h10 + h11 − h12) · 〈a2〉 + (h3 + h7 − h10 − h13 + h14) · 〈a3〉 + (h8 − h4 −h11 + h13 − h15) · 〈a4〉+ (h9 − h5 + h12 − h14 + h15) · 〈a5〉
de dondeh5 = h1 + h2 + h3 − h4h6 = h7 + h8 + h9 − h1
h12 = h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11
h15 = h8 − h4 − h11 + h13
h14 = h10 + h13 − h3 − h7ası un 1−ciclo v es de la forma
v = h1 · 〈a0a1〉 + h2 · 〈a0a2〉 + h3 · 〈a0a3〉 + h4 · 〈a4a0〉 + (h1 + h2 + h3 −h4) · 〈a5a0〉 + (h7 + h8 + h9 − h1) · 〈a2a1〉 + h7 · 〈a1a3〉 + h8 · 〈a1a4〉 + h9 ·〈a1a5〉 + h10 · 〈a3a2〉 + h11 · 〈a4a2〉 + (h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11) ·〈a2a5〉+h13 · 〈a3a4〉+(h10+h13−h3−h7) · 〈a5a3〉+(h8−h4−h11+h13) · 〈a4a5〉
si v ∼ k · z con k ∈ Z, entonces existe w ∈ C2(P) tal que
∂(w) = v − k · z
de donde se obtiene
g1 − g9 = h1g3 − g1 = h2g9 − g10 = h3g3 − g2 = h4
g2 − g10 = h1 + h2 + h3 − h4
24 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
g6 − g1 = h7 + h8 + h9 − h1g8 − g9 = h7g7 − g8 = h8g6 − g7 = h9g5 − g4 = h10g4 − g3 = h11
g5 − g6 = h1 + h2 − h7 − h8 − h9 + h10 + h11g4 + g8 = h13 − k
g5 + g10 = h10 + h13 − h3 − h7 − kg2 + g7 = h8 − h4 − h11 + h13 − k
reorganizando, se obtine el siguiente Sistema
g1 − g9 = h1g3 − g2 = h4g3 − g1 = h2g4 − g3 = h11g5 − g4 = h10g6 − g7 = h9g7 − g8 = h8g8 − g9 = h7g9 − g10 = h3
g4 + g8 = h13 − kcon solucion
g1 = (h1 − h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2g2 = (h1 − 2h4 + h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2
g3 = (h1 + h2 − h11 − h7 + h13 − k)/2g4 = (h1 + h2 + h11 − h7 + h13 − k)/2
g5 = (h1 + h2 + h11 + 2h10 − h7 + h13 − k)/2g6 = −(h1 + h2 + h11 − 2h9 − 2h8 − h7 − h13 + k)/2
g7 = −(h1 + h2 + h11 − 2h8 − h7 − h13 + k)/2g8 = −(h1 + h2 + h11 − h7 − h13 + k)/2g9 = −(h1 + h2 + h11 + h7 − h13 + k)/2
g10 = −(h1 + h2 + h11 + h7 + 2h3 − h13 + k)/2
y ası, existe w = Σ10i=1giσ
2i ∈ C2(P), tal que para v = Σ15
i=1hiσ1i ∈ Z1(P), hi y
gi enteros con las caracterısticas antes mencionadas, se tiene que
∂(w) = v − k · z, k ∈ Z
entonces H1(P) = {[k · z] : k es un entero}. Sin embargo, cuando k = 2g,g ∈ Z.
z = 2g · 〈a3a4〉+ 2g · 〈a4a5〉+ 2g · 〈a5a3〉
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 25
de modo que z ∈ B1(P), y esto particiona {[k · z] : k es un entero} en dosclases de equivalencia, [0 · z] y [1 · z]. Por tanto H1(P) = Z2.
Sea
u = f1 · 〈a0〉+ f2 · 〈a1〉+ f3 · 〈a2〉+ f4 · 〈a3〉+ f5 · 〈a4〉+ f6 · 〈a5〉
una 0−cadena.Para que u sea frontera de una 1−cadena v = Σ15
i=1hiσ1i se debe cumplir que
f1 = h4 + h5 − h1 − h2 − h3f2 = h1 + h6 − h7 − h8 − h9f3 = h2 − h6 + h10 + h11 − h12f4 = h3 + h7 − h10 − h13 + h14f5 = h8 − h4 − h11 + h13 − h15f6 = h9 − h5 + h12 − h14 + h15
de donde obtenemos f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 0, y ası
B0(P) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
comoZ0(P) ∼= C0(P) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
entonces
H0(P) ∼=Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z⊕ Z⊕ Z
y ası H0(P) ∼= Z.
Ejemplo 2.4. (Esfera S2) Se considera el 3−simplejo σ3 = 〈a0a1a2a3〉. Elcomplejo orientado K es el 2−esqueleto de la clausura de σ3 con la orientacioninducida por a0 < a1 < a2 < a3. K denota la triangulacion de la esfera S2 ytiene 4 (0−simplejos), 6 (1−simplejos) y 4 (2−simplejos), ver figura 2.3.Si la 2−cadena
w = h1 · 〈a0a1a2〉+ h2 · 〈a0a1a3〉+ h3 · 〈a0a2a3〉+ h4 · 〈a1a2a3〉
con hi ∈ Z, es un 2−ciclo, entonces ∂(w) = 0
∂(w) = (h1 +h2) · 〈a0a1〉+ (h3−h1) · 〈a0a2〉+ (−h2−h3) · 〈a0a3〉+ (h1 +h4) ·〈a1a2〉+ (h2 − h4) · 〈a1a3〉+ (h3 + h4) · 〈a2a3〉
Luego h1 = −h2 = h3 = −h4, y ası un 2−ciclo es una 2−cadena w dela forma
26 CAPITULO 2. GRUPOS DE HOMOLOGIA SIMPLICIAL
Figura 2.3:
w = h · 〈a0a1a2〉 − h · 〈a0a1a3〉+ h · 〈a0a2a3〉 − h · 〈a1a2a3〉, con h ∈ Z.
Por tanto Z2(S2) ∼= Z. Como B2(S
2) = {0} entonces
H2(S2) =
Z2(S2)
B2(S2)∼= Z
Una 1−cadena
v = g1 · 〈a0a1〉+ g2 · 〈a0a2〉+ g3 · 〈a0a3〉+ g4 · 〈a1a2〉+ g5 · 〈a1a3〉+ g6 · 〈a2a3〉
con gi ∈ Z, es un 1−ciclo si ∂(v) = 0
∂(v) = (−g1−g2−g3)·〈a0〉+(g1−g4−g5)·〈a1〉+(g2+g4−g6)·〈a2〉+(g3+g5+g6)·〈a3〉
luego
−g1 − g2 − g3 = 0g1 − g4 − g5 = 0g2 + g4 − g6 = 0g3 + g5 + g6 = 0
de donde
g3 = −g1 − g2g5 = g1 − g4g6 = g2 + g4
Luego Z1(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z.
Si v =∑giσ
1i ∈ C1(S
2) fuese frontera, entonces
2.2. EJEMPLOS DE GRUPOS DE HOMOLOGIA 27
g1 = h1 + h2g2 = h3 − h1g3 = −h2 − h3g4 = h1 + h4g5 = h2 − h4g6 = h3 + h4
Resolviendo se tiene
g3 = −g1 − g2g6 = g2 + g4g5 = −g3 − g6
Luego B1(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z y ası
H1(S2) =
Z1(S2)
B1(S2)∼=
Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z
= {0}
Z0(S2) = C0(S
2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZUn 0−ciclo
z = f1 · 〈a0〉+ f2 · 〈a1〉+ f3 · 〈a2〉+ f4 · 〈a3〉, con fi ∈ Z
es 0−frontera si
f1 = −g1 − g2 − g3f2 = g1 − g4 − g5f3 = g2 + g4 − g6f4 = g3 + g5 + g6
de dondef1 + f2 + f3 + f4 = 0
entonces B0(S2) ∼= Z⊕ Z⊕ Z y ası
H0(S2) =
Z0(S2)
B0(S2)∼=
Z⊕ Z⊕ Z⊕ ZZ⊕ Z⊕ Z
∼= Z.
Capıtulo 3
Estructura de Grupos deHomologıa
En este capıtulo se hace una introduccion a la estructura de los grupos dehomologıa, desarrollando algunos de los principales resultados que permitenuna mejor caracterizacion y entendimiento de la teorıa.
El siguiente teorema muestra que los grupos de homologıa de un comple-jo son independientes de la eleccion de la orientacion para sus simplejos.
Teorema 3.1. Sea K un complejo geometrico con dos orientaciones, K1
y K2 los complejos geometricos orientados de K. Entonces los grupos dehomologıa Hp(K1) y Hp(K2) son isomorfos para cada dimension p.
Demostracion. Para un p−simplejo σp de K, sea iσp la orientacion positivade σp en el complejo Ki i = 1,2. Luego hay una funcion α definida sobrelos simplejos de K tal que α(σp) es ±1 y
1σp = α(σp)2σp
Se define una sucesion ϕ = {ϕp} de homomorfismos
ϕp : Cp(K1) −→ Cp(K2)
por
ϕp(∑
gi · 1σpi ) =∑
α(σpi )gi · 2σpi
donde∑gi · 1σpi representa una p−cadena sobre K1.
28
29
Para una p−cadena elemental g · 1σp sobre K1 con p ≥ 1,
ϕp−1∂(g · 1σp) = ϕp−1(∑
σp−1∈K
g · [1σp, 1σp−1]1σp−1)
=∑
σp−1∈K
α(σp−1)g · [1σp, 1σp−1]2σp−1
◦ Si [1σp, 1σp−1] = 0, entonces 1σp−1 no es una cara de 1σp
1σp = α(σp)2σp, 1σp−1 = α(σp−1)2σp−1
Luego 2σp−1 no es una cara de 2σp
entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]
◦ Si [1σp, 1σp−1] = ±1, 1σp−1 es una cara de 1σp y
α(σp)± 1 α(σp−1) = ±1
∗ α(σp) = ±1 y α(σp−1) = ±1, luego
1σp = ±2σp 1σp−1 = ±2σp−1
Entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]
∗ α(σp) = ±1 y α(σp−1) = ∓1, luego
1σp = ±2σp 1σp−1 = ∓2σp−1
Entonces [1σp, 1σp−1] = α(σp)α(σp−1)[2σp, 2σp−1]
Entonces
ϕp−1∂(g · 1σp) =∑
σp−1∈K
α(σp−1)α(σp)α(σp−1)g · [2σp, 2σp−1]2σp−1
=∑
σp−1∈K
α(σp)g · [2σp, 2σp−1]2σp−1
= α(σp)g ·∑
σp−1∈K
[2σp, 2σp−1]2σp−1
= ∂(α(σp)g · 2σp)= ∂(ϕp(g · 1σp))
Ası la relacion ϕp−1∂ = ∂ϕp se mantiene en el siguiente diagrama
Cp(K1)ϕp --
∂��
Cp(K2)
∂
Cp−1(K1) ϕp−1 00 Cp−1(K2)
30 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA
Si zp ∈ Zp(K1), entonces ∂(ϕp(zp)) = ϕp−1(∂(zp)) = ϕp−1(0) = 0. Asıϕp(zp) ∈ Zp(K2), por tanto ϕp(Zp(K1)) es un subconjunto de Zp(K2).Si ∂(cp+1) ∈ Bp(K1) entonces ϕp∂(cp+1) = ∂ϕp+1(cp+1), luego ϕp∂(cp+1) estaen Bp(K2).Ası ϕp mapea Bp(K1) en Bp(K2) e induce un homomorfismo ϕ∗p del grupo co-cienteHp(K1) = Zp(K1)/Bp(K1) al grupo cocienteHp(K2) = Zp(K2)/Bp(K2)definido por
ϕ∗p[zp] = [ϕp(zp)]
para cada clase de homologıa [zp] en Hp(K1)
Intercambiando los roles de K1 y K2 se tiene una sucesion de homomor-fismos
ψp : Cp(K2) −→ Cp(K1)
Con 2σp = α(σp)1σp
ψp(∑
gi · 2σpi ) =∑
α(σpi )gi · 1σpi
donde∑gi · 2σpi representa una p−cadena sobre K2
De igual manera para una p−cadena elemental g · 2σp sobre K2 con p ≥ 1 setiene que
ψp−1∂(g · 2σp) = ∂ψp(g · 2σp)ψp y ϕp son inversos para cada pSea g · 1σp una p−cadena elemental sobre K1
ψp(ϕp(g · 1σp)) = ϕp(α(σp)g · 2σp)= α(σp)α(σp)g · 1σp
= g · 1σp
Sea g · 2σp una p−cadena elemental sobre K2
ϕp(ψp(g · 2σp)) = ϕp(α(σp)g · 1σp)= α(σp)α(σp)g · 2σp
= g · 2σp
Por tanto ϕp y ψp son inversosAhora se demuestra que ϕ∗p es un isomorfismoϕ∗p es un homomorfismoSean [zp] y [wp] dos clases de homologıa en Hp(K1), luego
ϕ∗p[zp] = [ϕp(zp)] ϕ∗p[wp] = [ϕp(wp)]
31
ϕ∗p[zp + wp] = [ϕp(zp + wp)]
= [ϕp(zp) + ϕp(wp)]
= [ϕp(zp)] + [ϕp(wp)]
= ϕ∗p[zp] + ϕ∗p[wp]
ϕ∗p es inyectiva
Sea [zp] en Hp(K1) tal que ϕ∗p([zp]) = 0, luego
[ϕp(zp)] = 0⇔ ϕp(zp) ∈ Bp(K2)
Como ψp mapea Bp(K2) en Bp(K1), entonces ψp(ϕp(zp)) ∈ Bp(K1), luegozp ∈ Bp(K1), [zp] = 0 y Kerϕ∗p = {0}.Por tanto ϕ∗p es 1− 1.
ϕ∗p es sobreyectiva
Sea [wp] ∈ Hp(K2) tal que
wp +Bp[K2] = [wp], wp ∈ Zp(K2)
como ψp(Zp(K2)) ⊆ Zp(K1), entonces ψp(wp) ∈ Zp(K1). LuegoPara [wp] ∈ Hp(K2) existe ψp(wp) ∈ Zp(K1) tal que
ϕ∗p[ψp(wp)] = [ϕp(ψp(wp))] = [wp]
Por tanto ϕ∗p es sobreyectiva.
Y ası ϕ∗p : Hp(K1)→ Hp(K2) es un isomorfismo para cada dimension p.
Definicion 3.1. Sea K un complejo. Dos simplejos S1 y S2 estan conectadossi cumplen alguna de las siguientes condiciones:
S1 ∩ S2 6= ∅
Existe una sucesion σ1, σ2, ..., σp de 1−simplejos de K tal que S1∩σ1 esun vertice de S1, S2∩σp es un vertice de S2 y, para 1 ≤ i < p, σi∩σi+1
es un vertice en comun de σi y σi+1
Este concepto de conexion produce una relacion de equivalencia cuyas clasesde equivalencia se llaman las componentes combinatorias de K. El complejoK se dice que es conectado si solo tiene una componente combinatoria.
32 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA
Figura 3.1:
Ejemplo 3.1. Sea K el 2−esqueleto de la clausura de σ3 = 〈b0b1b2b3〉, elpoliedro que se muestra en la figura 3.1. Todos los p−simplejos del poliedroestan conectados. Por ejemplo, 〈b0〉 y 〈b1b2〉 estan conectados. El poliedro esconectado ya que solo tiene una componente combinatoria.
Teorema 3.2. Sea K un complejo con r componentes combinatorias. Enton-ces H0(K) es isomorfo a la suma directa de r copias del grupo Z de enteros.
Demostracion. SeaK ′ una componente combinatoria de K y 〈a′〉 un 0−simplejoen K ′.
Dado un 0−simplejo 〈b〉 en K ′, existe una sucesion de 1−simplejos
〈ba0〉, 〈a0a1〉, 〈a1a2〉, ..., 〈apa′〉
de b a a′ tal que cada dos 1−simplejos sucesivos tienen un vertice en comun.
Si g es un entero, se define una 1−cadena c1 sobre la sucesion de 1−simplejosasignando g o −g a cada simplejo (dependiendo su orientacion), de modo que∂(c1) es g · 〈b〉 − g · 〈a′〉 o g · 〈b〉+ g · 〈a′〉.
c1 = g · 〈ba0〉+ g · 〈a0a1〉+ g · 〈a1a2〉+ ...+ g · 〈apa′〉
∂(c1) = −g · 〈b〉+ g · 〈a0〉 − g · 〈a0〉+ ...+ g · 〈ap〉 − g · 〈ap〉+ g · 〈a′〉= g · 〈a′〉 − g · 〈b〉
Por tanto cualquier 0−cadena g · 〈b〉 es homologa a una de las 0−cadenasg · 〈a′〉 o −g · 〈a′〉
3.1. EL TEOREMA DE EULER-POINCARE 33
De aquı cualquier 0−cadena sobre K ′ es homologa a una 0−cadena elementalh · 〈a′〉 donde h es algun entero.
Aplicando este resultado a cada componente combinatoria K1, K2, ..., Kr deK, hay un vertice ai de Ki tal que cualquier 0−ciclo sobre Ki es homologoa una 0−cadena de la forma hi · 〈ai〉, donde hi es un entero. Entonces, paracualquier 0−ciclo c0 sobre K, existen enteros h1, h2, ..., hr tal que
c0 ∼r∑i=1
hi · 〈ai〉
Supongase que dos 0−cadenas∑hi · 〈ai〉 y
∑gi · 〈ai〉 representan la misma
clase de homologıa. Entonces∑(gi − hi) · 〈ai〉 = ∂(c1)
Para alguna 1−cadena c1. Como ai y aj pertenecen a diferentes componentescombinatorias cuando i 6= j, entonces la ecuacion no es verdadera a menosque gi = hi para cada i. Por tanto cada clase homologica [c0] en H0(K) tieneun unico representante de la forma
∑hi · 〈ai〉. La funcion∑
hi · 〈ai〉 → (h1, ..., hr)
Es el isomorfismo requerido entre H0(K) y la suma directa de r−copias deZ.
3.1. El Teorema de Euler-Poincare
Si |K| es un poliedro rectilıneo homeomorfo a la 2−esfera S2 con V verti-ces, E aristas y F caras 2−dimensionales, entonces
V − E + F = 2
Este resultado fue descubierto en 1752 por Leonard Euler (1707-1783).
Definicion 3.2. Sea K un complejo orientado. Una familia {z1p , ..., zrp} dep−ciclos es linealmente independiente con respecto a la homologıa, o lineal-mente independiente modBp(K), significa que no existen enteros g1, g2, ..., grno todos cero tales que la cadena
∑giz
ip es homologa a 0. El entero mas gran-
de r para el cual existen r p−ciclos linealmente independientes con respectoa la homologıa se nota por Rp(K) y es el numero de Betti de dimension pdel complejo K.
34 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA
Teorema 3.3. (El teorema de Euler-Poincare) Sea K un complejogeometrico orientado de dimension n, y para p = 0, 1, ..., n sea αp el numerode p−simplejos de K. Entonces
n∑p=0
(−1)pαp =n∑p=0
(−1)pRp(K)
donde Rp(K) denota el numero de Betti de dimension p de K.
Demostracion. Como K es el unico complejo en consideracion, la notaciones simplificada omitiendo esta referencia en la notacion de grupos.Notese que Cp, Zp y Bp son espacios vectoriales sobre el campo de los nume-ros racionales.
Sea {dip} un conjunto maximal de p−cadenas tales que cada combinacionlineal no propia de dip no es un ciclo, y sea Dp un subespacio lineal de Cpgenerado por {dip}. Entonces Dp ∩ Zp = {0} de modo que, como un espaciovectorial, Cp es la suma directa de Zp y Dp. Luego
αp = dimCp = dimDp + dimZp
dimZp = αp − dimDp, 1 ≤ p ≤ n.
Donde la abreviacion “dim”denota la dimension de espacio vectorial.Para p = 0, 1, ..., n− 1, sea bip = ∂(dip+1).
∂ : Cp+1 → Cp, ∂(cp+1) = Bp � Cp
∂ : Cp → Cp−1, Ker(∂) = Zp � Cp
Bp � Zp � Cp (�:= subgrupo)
Como la interseccion entre Zp+1 y el generado de {dip+1} es el grupo trivial,entonces Dp+1 ⊕ Zp+1 = Cp+1
Sea bp ∈ Bp entonces existe cp+1 ∈ Cp+1 tal que
bp = ∂(cp+1)
como cp+1 = h1d1p+1 + h2d
2p+1 + ...+ zp+1, luego
bp = ∂(cp+1) = ∂(h1d1p+1 + h2d
2p+1 + ...+ zp+1)
= ∂(h1d1p+1 + h2d
2p+1 + ...) + ∂(zp+1)
= ∂(h1d1p+1 + h2d
2p+1 + ...)
= h1∂(d1p+1) + h2∂(d2p+1) + ...
= h1b1p + h2b
2p + ...
3.1. EL TEOREMA DE EULER-POINCARE 35
Por tanto {bip} genera Bp
{bip} es Linealmente Independiente.Sean hi ∈ Q, i ∈ I (I un conjunto de ındices) y {bip} tales que0 = h1b
1p + h2b
2p + h3b
3p + ..., luego
0 =∑
hi∂(dip+1)
=∑
∂(hidip+1)
= ∂(∑
hidip+1)
Entonces∑hid
ip+1 ∈ Zp+1, y ya que Dp+1∩Zp+1 = {0} entonces
∑hid
ip+1 =
0 y ası hi = 0, ∀i ∈ I. Por tanto {bip} es Linealmente independienteEntonces el conjunto {bip} forma una base para Bp.
Sea {zip}, i = 1, ..., Rp el conjunto maximal de p−ciclos linealmente inde-pendiente modBp. Estos ciclos generan un subespacio Gp de Zp, en efecto:Sean ap =
∑giz
ip y dp =
∑hiz
ip elementos en el generado de {zip}.
ap + dp =∑
(gi + hi)zip
Si ap + dp fuera homologo a cero entonces existe cp+1 ∈ Cp+1 tal que∑
(gi +hi)z
ip = ∂(cp+1) y como {zip} es linealmente independiente modBp entonces
gi = −hi, ∀i ∈ I, y esto contradice el hecho de que fue arbitraria la eleccionde ap y dp.Por tanto Gp = el generado de {zip}, es un subespacio de Zp y Gp∩Bp = {0}Ahora Zp = Gp ⊕Bp, 0 ≤ p ≤ n− 1 y ası
dimZp = dimGp + dimBp
Como Rp = dimGp. Entonces
Rp = dimZp − dimBp = αp − dimDp − dimBp, 1 ≤ p ≤ n− 1.
Como {1 · σp+1i } el conjunto de p+ 1−cadenas elementales es una base para
Cp+1 y ∂ : Cp+1 → Cp es un homomorfismo entonces {∂(1 · σp+1i )} es una
base para ∂(Cp+1) = Bp, luego
∂(1 · σp+1i ) =
∑σpj∈K
[σp+1i , σpj ]σ
pj
=∑
ηij(p) · σpj
36 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA
donde (ηij(p)) = η(p) es la matriz de incidencia de dimension p. Ası
dimBp = ran(η(p))
Puesto que el numero de dip+1 es el mismo que el numero de bip, entonces
dimDp+1 = dimBp = ran(η(p)), 0 ≤ p ≤ n− 1
entonces
Rp = αp − dimDp − dimBp
= αp − ran(η(p− 1))− ran(η(p)), 1 ≤ p ≤ n− 1
Notese tambien que
R0 = dimZ0 − dimB0 = α0 − ran(η(0))
Rn = dimZn = αn − dimDn = αn − ran(η(n− 1))
En la suma alternante∑n
p=0(−1)pRp, todos los terminos ran(η(p)) se cance-lan y se tiene que
n∑p=0
(−1)pRp =n∑p=0
(−1)pαp
Definicion 3.3. Si K es un complejo de dimension n, el numero
χ(K) =n∑
p=0
(−1)pRp
es la caracterıstica de Euler de K.
Definicion 3.4. Un poliedro rectilıneo en el espacio tridimensional Eucli-diano R3, es un solido acotado por polıgonos convexos propiamente unidos.Los polıgonos acotados son caras, la interseccion de las caras son aristas, yla interseccion de las aristas son vertices. Un poliedro simple es un poliedrorectilıneo cuya frontera es homeomorfa a la 2−esfera S2. Un poliedro regulares un poliedro rectilıneo cuyas caras son polıgonos regulares planos y cuyosangulos del poliedro son congruentes.
Teorema 3.4. (Teorema de Euler) Si S es un poliedro simple con Vvertices, E aristas y F caras, entonces
V − E + F = 2.
Conclusiones
La teorıa de Homologıa representa un puente entre el algebra, la topologıay la geometrıa, y consiste en la asociacion de un espacio topologico con unasucesion de grupos abelianos. Esta asociacion permite hacer una descripcionmas simple acerca de la estructura del espacio topologico y con ello ayudaren la clasificacion de los espacios topologicos.
Para la construccion de grupos de Homologıa Simplicial de un espacio to-pologico X, es necesario que el espacio topologico X admita una triangula-cion, es decir, que sea homeomorfo a un Complejo Simplicial K. Una vez yase haya definido su triangulacion, se definen las p−cadenas Cp(K), una suce-sion de grupos abelianos libres que son generados por la combinacion linealde los p−simplejos de K sobre los enteros. Ahora se hace la construccion deuna sucesion de homeomorfismos frontera ∂p sobre las p−cadenas de K.
. . .∂p+2−−→ Cp+1(K)
∂p+1−−→ Cp(K)∂p−→ Cp−1(K)
∂p−1−−→ Cp−2(K)∂p−2−−→ . . .
Con la propiedad que ∂p ◦ ∂p+1 es el homomorfismo trivial.Los homeomorfismos frontera generan nuevos grupos. El grupo de p−ciclosZp(K) = Ker(∂p) de K y el grupo de p−fronteras Bp(K) = ∂p+1(Cp+1(K))de K, de modo que Bp(K) ⊆ Zp(K) ⊆ Cp(K). Se define el p−grupo deHomologıa Hp(K) de K como el grupo cociente.
Hp(K) =Zp(K)
Bp(K).
Estos grupos permiten hacer una clasificacion de los espacios topologicostriangulables, y establecer si dos espacios son homeomorfos. Por ejemplo:Los grupos de Homologıa de la esfera S2 son:
H0(S2) ∼= Z H1(S
2) ∼= {0} H2(S2) ∼= Z
y los grupos de Homologıa de la Cinta de Mobius M son:
H0(M) ∼= Z H1(M) ∼= Z H2(M) ∼= {0}
37
38 CAPITULO 3. ESTRUCTURA DE GRUPOS DE HOMOLOGIA
Como los grupos de Homologıa no son los mismos entonces se puede decirque la Esfera y la Cinta de Mobius no son espacios homeomorfos.
Bibliografıa
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