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expressões algébricas
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
14 de maio de 2013
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
INTRODUÇÃO
Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Expressões polinomiais;Expressões racionais;Radiciação.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.
BOM ESTUDO!
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Qaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes,podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos asidentidades:
19x3 − 34x3 = (19 − 34) · x3 = −15x3
5x9 + 12x9 = (5 + 12) · x9 = 17x9
4x5y6 − 6x5y6 = (4 − 6) · x5y6 = −2x5y6
O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima,ou seja, escrever diretamente o último membro.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
As identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. Ocuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, eefetuar as operações sobre eles.
1 (6x3+2x2−3x+1)+(2x3−4x2+2x−2) = 8x3−2x2−x−1.2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) =
4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13.3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) =
x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2.
4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 −3x2 +7y +9y − y3 −4y3 +3 = 24x5 −3x2 +16y −5y3 +3.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
EXERCÍCIOS: Simplifique a expressão, em cada caso:1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x)2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 63 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)]
4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v ] − 6v
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
Exemplos:
3t2(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t2
(4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) =
= 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 =
= 36a2 − 28ab + 8a + 9ab − 7b2 + 2b =
= 36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
Você pode, se preferir, dispor os cálculos como umamultiplicação entre números, como segue:
3t2·(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t2
4t3 − 12t + 33t2
12t5 − 36t3 + 9t2
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
(4a + b) · (9a − 7b + 2)
9a − 7b + 24a + b
36a2 − 28ab + 8a9ab − 7b2 + 2b
36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
O teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é oseguinte:Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado,(q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r , com 0 6 r < b.q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, dadivisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b sãochamados dividendo e divisor, respectivamente.Exemplo:Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta
234
= 5 +34
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Em geral,dividendo
divisor= quociente +
restodivisor
Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de umaexpressão polinomial por outra.Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Umaexpressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelotermo constante, tem grau 0.Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressõespolinomiais, análogo ao da divisão de números.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Exemplo:
8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 ‖ 2x2 + x − 3−8x4 − 4x3 + 12x2 ‖ 4x2 − 3x + 7
0 − 6x3 + 11x2 + 16x − 216x3 + 3x2 − 9x0 14x2 + 7x − 21
− 14x2 − 7x + 210
De acordo com o resultado acima, podemos escrever aidentidade em R
8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 = (2x2 + x − 3)(4x2 − 3x + 7) + 0Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Exemplo:
5x3 + 0x2 − 3x + 4 ‖ x2 − x + 1−5x3 + 5x2 − 5x ‖ 5x + 5
0 + 5x2 − 8x + 4 ‖− 5x2 + 5x − 5 ‖
0 − 3x − 1
Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que ograu 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, oquociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então,
5x3 − 3x + 4x2 − x + 1
= (5x + 5) +−3x − 1
x2 − x + 1
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Divida (isto é, dê o quociente e o resto)
1 4x2 − 3x + 6 por x + 22 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 43 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 14 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 15 x3 − 3 por x2 + x − 3
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplo: Efetue 2x2−1 − 5x4
x2+2x+1Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Daí,
2x2 − 1
−5x4
x2 + 2x + 1=
2(x + 1)(x − 1)(x + 1)2 −
5x4(x − 1)(x − 1)(x + 1)2 =
=2(x + 1) − 5x4(x − 1)
(x − 1)(x + 1)2 =2x + 2 − 5x5 + 5x4
(x − 1)(x + 1)2 .
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplos: Efetue 2x + 1
x2 − xx3−2x2 + 3
x2−2xFatorando denominadores a expressão fica:2x + 1
x2 − xx2(x−2) +
3x(x−2)
O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que
2x+
1x2 −
xx2(x − 2)
+3
x(x − 2)=
=2x(x − 2)x2(x − 2)
+1(x − 2)x2(x − 2)
−x
x2(x − 2)+
3xx2(x − 2)
=
=2x2 − 4xx2(x − 2)
+x − 2
x2(x − 2)−
xx2(x − 2)
+3x
x2(x − 2)=
=2x2 − 4x + x − 2 − x + 3x
x2(x − 2)=
2x2 − x − 2x2(x − 2)
.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Exemplos:
12x − 1x2 + 1
· xx + 1
=(2x − 1)x
(x2 + 1)(x + 1)
2
2x − 1x2 + 1
xx + 1
=2x − 1x2 + 1
· x + 1x
=(2x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)x
OBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R− {1}, e a identidadeem 2 é em R− {0}.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Vamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais emfatoração. Exemplo:Efetue e simplifique
x2 − 16x2 + 2x + 1
· x + 1x2 − 5x + 4
=
=
(x − 4)::::::
(x + 4)
(x + 1)2:::::::
·x + 1:::::
(x − 1)(x − 4)::::::
=x + 4
(x + 1)(x − 1)
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Exemplo: Efetue e simplifique
x3 − 1x2 + 1x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
=x3 − 1x2 + 1
· x4 + 2x2 + 1x2 − 1
=
(x − 1)(x2 + x + 1)x2 + 1
· (x2 + 1)2
(x − 1)(x + 1)=
(x2 + x + 1)(x2 + 1)x + 1
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Efetue e simplifique:
1x − 5
x2 + 5x· x2
25 − 5x
2
4x − 8x + 7
3x2 − 122x2 − 98
3x
x + 3+
x2
x2 − 9
42
x − 1−
3x + 1
+5 − x1 − x2
52x − 6
x2 − x − 2−
x + 2x2 + 4x + 3
+
+x − 1
x2 + x − 6
6x
x2 − 4−
2x2 − 5x + 6
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO
PropriedadesValem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1,m > 1:
1 n√
ab = n√
a n√
b
2 n
√ab=
n√
an√
b(b 6= 0)
3 ( n√
a)m = n√
am
4 p√
n√
a = pn√
a
Exemplos:1 3 7√
5 + 2 7√
5 − 7√
5 = (3 + 2 − 1) 7√
5 = 4 7√
5.2 5√
4 · 5√
6 = 5√
4 · 6 =5√
24.
3
7√
367√
6= 7
√366
= 7√
6.
4 ( 9√
8)2 =9√
82 = 9√
64.5
3√
4√
2 =12√
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO
ATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedadesacima o seguinte:
n√
a + b 6= n√
a +n√
b
Veja:√9 + 16 =
√25 = 5 e
√9 = 3,
√16 = 4. Claramente,√
9 + 16 6=√
9 +√
16.3√
1 +3√
1 = 1 + 1 = 2 e 3√
1 + 1 =3√
2. Claramente 2 6= 3√
2, ouseja, 3
√1 +
3√
1 6= 3√
1 + 1.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais queaparecem no denominador de uma fração. Esta operação éconhecida como RACIONALIZAÇÃO.
Para racionalizar 1/√
2, multiplicamos numerador edenominador por
√2:
1√2=
1√2·√
2√2=
√2
(√
2)2=
√2
2
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para racionalizar 1/(√
11 +√
5), multiplicamos numeradore denominador por 1/(
√11 −
√5), chamado de conjugado
de 1/(√
11 +√
5). Lembrando quea2 − b2 = (a − b)(a + b), vem:
1√11 +
√5=
1√11 +
√5·√
11 −√
5√11 −
√5=
√11 −
√5
(√
11)2 − (√
5)2=
=
√11 −
√5
11 − 5=
√11 −
√5
6.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Vamos definir ar como sendo q√
ap, ou seja,
apq =
q√
ap
onde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos ocaso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro:
a1n = n√
a
Exemplos: 27/8 =8√
27, 31/5 = 5√
3, 74/20 = 71/5 = 5√
7.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Exemplos:4√
x · 4x · 5√
x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 =4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/60
9√
x2 + 5 7√
x3
5√
x4=
x2/9 + 5x3/7
x4/5 =x2/9
x4/5 +5x3/7
x4/5 =
x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35)
(4√
2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 =32√
2( 8√
x · 5√
y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 =x40/8 · y80/5 = x5 · y16
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Simplifique:
1 x 3√
x + 4x4/3 − 5 3√
x4
2
3√
x2 ·√
x3 − 2x2 6√
x6√
x13
3
5√
x · x2 · x1/3 − (15√
x2)2 · x15√
x19
4 ( 3√
5 · a2/3)9
5
4√
3 3√
33√
3
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!
BOM ESTUDO!
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