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CONJUNTOS
La teoría de conjuntos nos permite describir de forma precisa conjuntos de números, de personas,
de objetos, etc que comparten una propiedad común. Esto puede ser de gran utilidad al establecer
las soluciones de cierto tipo de problemas.
La palabra “conjunto” será uno de los términos básicos no definidos, intuitivamente, un conjunto
es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Los objetos que integran un conjunto se
llaman “elementos” de ese conjunto, generalmente, nombramos los conjuntos con letras
mayúsculas A, B, C,… y los elementos de los conjuntos se los representa con letras minúsculas
a,b,c,x,y …, a menos que dichos elementos sean a su vez conjuntos.
Para indicar que un objeto a es elemento de un conjunto B se escribe que se lee “ a
pertenece a B” o “ a es elemento de B”. Si por el contrario “a no es elemento de B” o “a no
pertenece a B” se escribe .
Ejemplo 1 Sea A el conjunto cuyos elementos son 10, π y
.
Es claro que 10 es un elemento de A o 10 pertenece a A, es decir .
4 no pertenece o no es un elemento de A, es decir .
Ejemplo 2 Sea E el conjunto de los números naturales mayores o iguales a 5, menores que 9 y
diferentes de 7.
Es claro que los elementos de E son 5, 6,8, en cuyo caso escribiremos .
Un conjunto puede definirse por extensión haciendo una lista de los elementos del conjunto,
separando los elementos por comas y encerrándolos entre llaves. Así en el ejemplo 1, podemos
escribir
,
Pero si se especifica un conjunto estableciendo la propiedad que deben tener sus elementos,
entonces se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se
denota , siendo P la propiedad. Se dice que ésta es la forma de definición
por comprensión.
Por ejemplo, el E del ejemplo 2 se escribe .
En el ejemplo 2 hacemos referencia a los elementos del conjunto de los naturales, el cual se
llama universal o referencial.
2
El conjunto universal depende de la disciplina en estudio, se fija de antemano, y está formado por
todos los elementos que intervienen en el tema. En general se denota por .
Definición Se llama cardinalidad al número de elementos de un conjunto.
La cardinalidad del conjunto del ejemplo 2 es 3 y se indica o
Definición Un conjunto se dice unitario si tiene un único elemento, es decir su cardinalidad es 1
Ejemplos
3.
4. es el conjunto de todas las rectas del plano que pasan por dos puntos dados.
5.
Definición Un conjunto se dice vacío si no contiene elementos y se denota con el símbolo
simbólicamente .
Su cardinalidad es cero.
Ejemplos de conjuntos vacíos
Sea , es vacío.
Sea A el conjunto de todas las personas vivas mayores de 200 años, A es vacío.
La determinación de conjuntos por extensión no es posible en el caso en que el conjunto contiene
infinitos elementos, y hay que limitarse a la definición por comprensión.
Ejemplo 6 Sea P el conjunto de los números enteros pares
Por comprensión , P es el conjunto de múltiplos de 2.
Es imposible determinar P por extensión, a veces por abuso de notación, suele escribirse
. P es un conjunto infinito (es imposible terminar de contar sus
elementos).
INCLUSION - SUBCONJUNTOS
Definición: Sean A y B conjuntos. Si todos los elementos de A son también elementos de B,
decimos que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y escribiremos .
Simbólicamente
Se usan como equivalentes a las expresiones anteriores las siguientes
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“A es parte de B”
“A está contenido en B”
“B contiene a A”
“B incluye a A”
En muchas ocasiones se necesitará demostrar una inclusión del tipo , entonces de acuerdo
con la definición se toma un elemento y se demuestra que está en , como es arbitrario,
lo mismo debe suceder con todo elemento de , el mecanismo de esta demostración se verá en el
ejemplo 7 d) y e).
Ejemplo 7
a. El conjunto de los números naturales pares es un subconjunto de los números naturales
b. El conjunto de las rectas del plano que pasan por un punto P está contenido en el conjunto
de todas las rectas del plano.
c. Si D es el conjunto de todas las palabras de la lengua castellana, son partes o subconjuntos de
D los conjuntos
d. El conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos, esto es
Sea entonces entonces . Por lo tanto
e. El intervalo es un subconjunto del intervalo
En efecto, si entonces y como resulta que , con
lo cual y por lo tanto .
Teorema 1. Para todo conjunto E, se cumple
a.
b. y entonces
c. y entonces
Demostración
a. En efecto, todo elemento de es de E, luego .
b. Por ser F un subconjunto de E, resulta que todos los elementos de F están en E. Por otro lado
E no puede tener otros elementos distintos de los de F, ya que . Luego E y F tienen los
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mismos elementos, es decir .
c. Demostración ejercicio
Observación: El punto b del teorema anterior da un criterio de “igualdad de conjuntos” y un
procedimiento para demostrar que dos conjuntos tienen los mismos elementos.
Por ejemplo, si queremos demostrar la igualdad de los conjuntos E y F se toma un elemento
arbitrario y se prueba que , luego se toma un elemento arbitrario y se prueba
que ; con esto se demuestra la doble inclusión y que es equivalente por a y b
del teorema anterior a .
Simbólicamente:
Ejemplo 8
a. Los conjuntos y son iguales, ya que cada uno de los elementos
1, 2, 3, 4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 1, 2, 4, 3 de B pertenece a A.
Obsérvese, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos.
b. Los conjuntos y son iguales, ya que cada elemento de A pertenece a
B y cada elemento de B pertenece a A.
Obsérvese, que un conjunto no cambia si se repiten sus elementos.
c. Sean , y . Resulta
Propiedades del conjunto vacío
a) El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Vamos a probar que para todo conjunto A,
Sea x, (Antecedente falso implicación verdadera)
De acuerdo a la definición de inclusión, se tiene que .
Observación: La propiedad es válida cualquiera sea A; en particular, A puede ser vacío.
b) El conjunto vacío es único
Supongamos que tenemos dos conjuntos vacios, esto es sean y conjuntos vacios
Por a) y , luego por b. del teorema 1 resulta .
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Diagramas de Venn
Existe una representación de los conjuntos dada por diagramas llamados de Venn. En este sentido
el conjunto universal suele representarse por un rectángulo y cualquier otro conjunto (excepto el
conjunto vacío) por recintos cerrados.
Sea subconjuntos de , como indica el diagrama
En este caso se verifica que .
CONJUNTO DE PARTES
Definición Dado un conjunto A, se llama “conjunto de partes de A” al conjunto cuyos
elementos son todos los subconjuntos de A .
Se designa con al conjunto partes de A. Simbólicamente .
Por lo visto anteriormente en teorema 1 a. y la propiedad a) del conjunto vacío, se tiene que y
A son elementos de .
Ejemplo 8
a. Si , entonces
b. Si resulta
c. El conjunto de partes del vacío es
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
UNION
Definición Sean A y B dos conjuntos, se llama “unión de A y B” al conjunto cuyos elementos
pertenecen a A o a B.
Se designa con a la unión de los conjuntos A y B, en símbolos
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De acuerdo a la definición podemos decir que:
Su diagrama correspondiente es:
es la parte sombreada.
Ejemplo 9
a. Sean y , entonces
b. La unión del conjunto de los números naturales pares con el conjunto de los números
naturales impares es el conjunto de los números naturales.
c. La unión del conjunto de los números naturales con el conjunto de los números enteros es el
conjunto de los números enteros. Es decir
Propiedades de la Unión
Sean A y B conjuntos, se cumplen las siguientes propiedades
a) (Conmutativa)
b) y (Todo conjunto está incluido en su unión con cualquier otro)
c) (Asociativa)
d) (Idempotencia)
e) (Elemento neutro para la unión)
f) siendo el conjunto universal
g) y entonces
La demostración de las propiedades c), d), f) y g) se dejan como ejercicio. Se demostrará a), b) y
e).
Demostración
a)
7
En 1 y 3 aplicamos la definición de unión y en 2 propiedad conmutativa de la disyunción.
b)
En 1 aplicamos la implicación lógicamente equivalente y en 2 la definición de unión.
se demuestra de manera análoga.
e)
Para probar la igualdad probaremos que i) y ii)
i) Por la propiedad b)
ii) Sea
Por definición de unión 2 por ser falso
Observemos que la recíproca de g) no se verifica, puede ocurrir que y sin embargo
y
Ejemplo 10 Sean , y entonces
Es claro que y sin embargo y , el
diagrama de Venn correspondiente es
INTERSECCION
Definición Sean A y dos conjuntos, se llama “intersección de A y ” al conjunto cuyos
elementos pertenecen a A y a B .
Se designa con a la intersección de los conjuntos A y B, en símbolos
De acuerdo a la definición podemos decir que:
1
-1
4
0
0
2
A
1
8
Su diagrama correspondiente es
es la parte sombreada, es decir el conjunto formado por los elementos comunes a y a
Ejemplo 11
a) Sean y , entonces
b) Sean y , entonces
c) Sean y intervalos,
Representemos la intersección sobre la recta
Propiedades de la Intersección
Sean A y B conjuntos, se cumplen las siguientes propiedades
a) (Conmutativa)
b) y (La intersección está contenida en cada conjunto que la determina)
c) (Asociativa)
d) (Idempotencia)
e) para todo conjunto
f) siendo el conjunto universal (Elemento neutro para la intersección)
g) y entonces
La demostración de las propiedades a), b), c), d) y f) se dejan como ejercicio. Se demostrará e), y
g)
Demostración
e)
Por la propiedad b) podemos decir que (i)
-2 5 1 7
9
Probemos que
Sea , luego (ii) 1 antecedente falso, implicación verdadera
De (i) y (ii) podemos decir que se cumple
g) y entonces
Sea
1. Por definición de intersección 2. Por hipótesis y subconjuntos de 3.
Luego .
¿Se verifica la recíproca de g), es decir se cumple que si entonces y ?
Definición Dos conjuntos A y B son disjuntos si
Ejemplo 12
a) Son disjuntos los conjuntos y del ejemplo 11 b)
b) El conjunto vacío es disjunto con cualquier conjunto (ver propiedad e) de intersección)
Teorema
Dados tres conjuntos , valen las siguientes propiedades, llamadas distributivas
Demostración
Sea
Esta ley se la denomina distributiva de la unión respecto de la intersección
2. Demostración ejercicio
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Definición Sean A y B conjuntos, se llama diferencia de A y B al conjunto de los elementos de
A que no pertenecen a B.
Se denota la diferencia de A y B por , y se lee “ diferencia ”o “ menos ” en símbolos
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De la definición podemos decir que
es la parte rayada.
Ejemplo 13
a)
b)
c) El conjunto de los números naturales menos el conjunto de los números naturales pares es el
conjunto de los números naturales impares. Esto es
d) La diferencia de los intervalos reales y es el intervalo .
Propiedades de la diferencia
a)
b)
c)
d)
e)
f) Si entonces .
Demostración ejercicio
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Sea un subconjunto del conjunto universal
Definición Se llama complemento de al conjunto de elementos de que no pertenecen a .
Se designa el complemento de por o
A
B
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De acuerdo a la definición
En símbolos
es el conjunto sombreado.
También podemos considerar el complemento de un conjunto respecto de otro conjunto , tal
que y se simboliza .
Cuando no hay lugar a confusión y no interesa el conjunto respecto del cual se toma el
complemento se escribe simplemente , o
Propiedades del Complemento
a)
b)
c)
d)
e)
Demostración ejercicio
Observación
1.
Demostración
2. Si
Demostración
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Sean A y B conjuntos, vamos a relacionar el complemento con la unión y la intersección a través
de las siguientes leyes, llamadas leyes de De Morgan
Teorema
a. El complemento de la unión es igual a la intersección de los complementos
b. El complemento de la intersección es igual a la unión de los complementos
Demostración
a.
Se utiliza la definición de complemento, la observación 2 y la definición de intersección
b.
Se utiliza la definición de complemento, la observación 2 y la definición de unión
DIFERENCIA SIMETRICA
Definición Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica de A y B al conjunto
Se designa con a la diferencia simétrica de y , por definición
La diferencia simétrica de y es el conjunto de puntos que pertenecen a o a , pero no
ambos a la vez.
El siguiente resultado permite expresar la diferencia simétrica en términos de la unión,
intersección y el complemento.
A B
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Teorema
a.
b.
Demostración
a. Resulta inmediato de la definición y del hecho que
b.
=
Propiedades de la Diferencia Simétrica
a) Conmutativa
b) Asociativa
c)
d)
e) Distributiva de la intersección respecto de la diferencia
simétrica.
Demostración
a)
c) por propiedad b) y c) de la diferencia
d) por propiedad a) de la diferencia
b) y e) quedan como ejercicio.
