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prof. Alessandro Ramaldes
Conjuntos numéricos.
N
Z
Q
I
R
prof. Alessandro Ramaldes
Z= inteiros
Regra dos sinais.
+ - = -
- + = -
+ + = +
- - = +
Só é aplicado na multiplicação e divisão.
Exemplos:
prof. Alessandro Ramaldes
Exemplos;
-4 + 5 = 1
-4 X -3 = 12
-128/-32 = 4
prof. Alessandro Ramaldes
Números racionais.
Todo numero que pode ser escrito em forma
de fração.
A com B diferente de zero.
B
A = numerador
B= denominador
prof. Alessandro Ramaldes
Soma e subtração com denominadores
iguais.
Somamos os numeradores e repetimos os
denominadores.
Ex:
¼ + ¾ = 4/4 = 1
Com denominadores diferentes.
½ + 2/3 = 3 + 4 = mmc 2,3 = 6
6
prof. Alessandro Ramaldes
Multiplicação
Numerador x numerador
Denominador x denominador
Ex:
2/3 x 1/5 = 2/15
prof. Alessandro Ramaldes
Divisão
Repete a primeira fração x o inverso da
segunda.
Ex:
½ / ¼ = ½ x 4/1 = 4/2 = 2
prof. Alessandro Ramaldes
Dizimas periódicas.
Ex; 1/3 = 0,333333333.....
como resolver o problema?
0,22222222.... x 0,33333333.....
Transformando uma dizima em fração 0,2222.....
1º notamos o período = 2
2º colocamos esse número como numerador
3º para cada algarismo existente no periodo colocamos um
9 no denominador. Daí teremos; 2/9
Fazendo o mesmo para 0,333... Temos 3/9 = 1/3
Agora resolvemos 2/9 + 1/3 = 5/9 que como dizima é
0,555...
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando
0,444444..... X 0,5555555.....
0,111111... X 0,999999.....
prof. Alessandro Ramaldes
Dizimas periódicas compostas.
Ex; 0,1222222...
1º notamos a parte não periódica. = 1
2º notamos a parte periódica. = 2
3º juntamos a parte não periódica com a periódica e formamos um novo
número. = 12
4º colocamos esse novo número no numerador
5º colocamos no denominador um 9 para cada algarismo da parte
periódica.
6º colocamos um zero para cada algarismo não periódico.
Até aqui temos; 12 feito isso subtraimos a parte não periodica
90
do novo numerador daí temos 12 - 1 = 11/90
90
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando;
0,23333333....
0,144444444....
0,3555555....
prof. Alessandro Ramaldes
Números decimais.
São números cujo os denominadores são
múltiplos de 10.
Ex; 1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
23/1000 = 0,023
prof. Alessandro Ramaldes
Trabalhando com números decimais
Soma e subtração
Mantém a virgula embaixo de virgula e
efetua a operação.
Ex; 0,23 + 0,001 = 0,231
0,123 – 0,12 = 0,003 = 0,003
prof. Alessandro Ramaldes
Multiplicação.
Se esquece a virgula e efetua a operação
depois somamos o número de casa decimais
das parcelas e atribuímos ao resultado.
Ex; 0,02 x 0,02 = 0,0004
O,012 x 0,3 = 0,0036
1,2 x 0,1 = 0,12
prof. Alessandro Ramaldes
Divisão
Colocamos o quociente e o divisor com o
mesmo número de casa decimais e
efetuamos a operação como se fossem
números naturais.
Ex; 0,123 / 0,3 = daí teríamos 123/300 = 0,41
0,3 / 0,15 = 2
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando.
Resolva as expressões
[(0,2 + 0,31) – ( 0,12 x 0,04)]
0,1236 / 0,3
(0,32 x 0,2) x ( 0,4 x 0,196 )
prof. Alessandro Ramaldes
Números irracionais
São todos os números que não podem ser
escritos em forma de fração.
Ex; ∏ = 3,141592653589793238462643383
√2 = 1,4142135623730950488016887242
prof. Alessandro Ramaldes
Trabalhando com raízes.
Quanto seria √2 + √3 = ?
prof. Alessandro Ramaldes
Resposta
√2 + √3
Ou seja não podemos modificar ao escrever
essas raízes na forma de raiz.
Agora; quanto seria √12 + √27=?
prof. Alessandro Ramaldes
Resposta
5 √3
Porque?
Temos que √12 temos 2x2x3 como temos dois
ao quadrado cortamos o quadrado com a
raiz. Daí temos 2 √3 pois não podemos
resolver a raiz de 3
√27= 3x3x3 temos um 3 ao quadrado
temos 3 √3 como 2 √3 + 3 √3 =5 √3
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando.
Resolva;
√18 + √8
√45 - √20
√50 + √45
prof. Alessandro Ramaldes
Multiplicação e divisão
Repete-se a raiz e realiza a operação com
os números que estão dentro.
Ex; √2 x √3 = √6
√8 x √18 = 2 √2 x 3 √2 = 6x √2x √2= 6x2 = 12
prof. Alessandro Ramaldes
Racionalização.
É encontrar uma formula de tirar do
denominador de uma fração uma raiz.
Ex: 1 / √2= √2/2 ( primeiro caso )
1 / √2 + 1 = √2 – 1 ( segundo caso )
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando.
Racionalize os denominadores abaixo.
3/ √2
4/ √12
1/ √3 + 1
2/ √2 – 2
prof. Alessandro Ramaldes
Questões de concursos.
Observe as frações e suas respectivas representações
decimais.
3/1000 = 0,003
2367/100 = 23,67
129/10000 = 0,0129
267/10 = 2,67
Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa
correta?
a. I e II
b. I e IV
c. I, II e III
d. I, II, III e IV
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
Qual o valor da √1,7777....
A)1,3333...
B)1,2222...
C)1,1111...
D)4,2
E)Nehuma das anteriores
prof. Alessandro Ramaldes
Propriedades de potência.
an . am = an+m
(an) / (am) = an-m
(am)n = am . n
(a - m) = 1/ am
an/m = m√ an
prof. Alessandro Ramaldes
Notação científica.
É uma maneira de escrever um número,
normalmente números grandes, de uma forma mais
simples.
Sempre sendo escrito dentro da regra 1<x<10
Ex: 3000 podemos escrever 3 x 1000 que também
pode ser escrito como 3 x 103
43000 = 4,3 x 104
543200000 = 5,432 x 108
prof. Alessandro Ramaldes
escrevendo números decimais em notação
científica.
0,003 = 3 x 10-3
0,000000435 = 4,35 x 10-7
prof. Alessandro Ramaldes
O número 0,000 000 25 escrito em notação
científica é:
a) 2,5 x 10-5
b) 2,5 x 10-6
c) 25 x 10-8
d) 25 x 10-6
e) 2,5 x 10-7
prof. Alessandro Ramaldes
Escrevendo-se 0,000 0072 obtém-se:
a) 0,72 x 10-6
b) 0,72 x 10-5
c) 7,2 x 10-5
d) 7,2 x 10-8
e) 7,2 x 10-7
prof. Alessandro Ramaldes
Efetuando-se 2,5 x 10-5 / 5 x 10-5, obtém-se:
a) 5
b) 0,5 x 10-1
c) 5 x 10-1
d) 0,5 x 10-3
e) 0,5 x 10-11
prof. Alessandro Ramaldes
Equação do 1º grau ou função linear ou ainda
função afim.
Sempre na fórmula y= ax + b
prof. Alessandro Ramaldes
Resolvendo problemas com a equação e
sistemas de equação do 1º grau.
Ex: A soma das idades de duas pessoas é 25
anos e a diferença entre essas idades é de
13 anos. Qual a idade de cada uma?
prof. Alessandro Ramaldes
Resolvendo o sistema.
x+y=25 (a)
x-y=13 (b)
Usaremos o método por isolamento.
(a) x=25 – y
(b) (25 – y ) – y = 13 25 – 2y = 13
-2y =13 – 25 -2y= -12 y= -12/-2 y= 6
(a) x= 25 – 6 x= 19
Ou seja uma tem 6 anos e outra 19 anos
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Questão 4
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 5. A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n.
Então, o valor de m³ + n é
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13
prof. Alessandro Ramaldes
Usando os pontos do gráfico temos.
Y=1 e x=3
Y=-9 e x= -2
Daí y = mx + n substituindo 1= m3 + n e também -9 = -2m + n
Resolvendo o sistema n= 1 – 3m substituindo -9 = -2m + ( 1-3m)
-9= -2m+ -3m +1 -9 -1 = -5m m= -10/-5 m=2
Como 1= m3 +n temos 1= 2.3 + n 1= 6 + n 1 – 6 = n n= -5
O que se pede é m³ + n temos 2³ + (-5) 8 – 5 = 3
Letra B
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 6
Uma repartição possui 120 cadeiras, das quais 15% estão
em conserto e o restante encontra-se nas salas A, B, C ou perdido.
A soma do número de cadeiras das salas B e C é o triplo do
número de cadeiras da sala A, a sala B contém o dobro do
número de cadeiras da sala C, e o número de cadeiras da sala B
menos o da sala A é igual a 25.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
1)
Mais de 20 cadeiras estão em conserto.
2)
As salas A e C apresentam a mesma quantidade de cadeiras.
3)
O número de cadeiras perdidas é superior a 5
prof. Alessandro Ramaldes
A+B+C+P=102 POIS 15% DE 120 É 18
B + C = 3A
B = 2C
B – A = 25
Como B = 2C 2C+C=3A 3C=3A C=A
Daí (B=2C) – A = 25 2A - A = 25 A = 25
Portanto C=25 e B= 50 daí temos 2 perdidas
1) Errada são 18 cadeiras em conserto
2) Certo
3)Errado não é superior a 5 pois são 2
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Questão 7
Um certo sultão tinha muitos cavalos. Certa vez, alguém lhe
perguntou quantos eles eram, e a resposta foi a seguinte:'
Se você somar um quarto do número de cavalos a um terço
do mesmo número, terá dez a mais que a metade do
número de cavalos.' Quantos cavalos tinha o sultão?“
A) 98 B) 102 c)115 d)120 e)132
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 9
prof. Alessandro Ramaldes
Inequação do 1º grau.
No geral se resolve uma inequação como
resolvemos um equação.
Ex; 2x – 6 > 12
2x > 12 + 6
2x > 18
x > 18/2
x > 9
prof. Alessandro Ramaldes
Temos que ter uma atenção especial para quando o
coeficiente for negativo, neste caso devemos inverter
a desigualdade.
Ex: 2x + 3 > 3x – 5
2x – 3x > -5 - 3
-x > -8 ( aqui multiplicamos tudo por -1 e
invertemos a desigualdade )
x < 8
prof. Alessandro Ramaldes
Exercitando;
Resolva as inequações abaixo.
3x + 2 > 2 – 5x
2x -9 < 4x – 4
5x – 3 < 8x + 3
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Equação do segundo grau ou função
quadrática.
Esta na forma ax2 + bx + c = y
Para descobrir as raízes de uma equação
usamos a fórmula de bhaskara.
prof. Alessandro Ramaldes
Informações importantes.
Δ = b2 - 4.a.c
prof. Alessandro Ramaldes
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prof. Alessandro Ramaldes
Resolvendo as raízes de uma equação de 2º grau.
Quais os coeficientes da equação x² + 4x – 5 = 0?
a = 1 b = 4 c = – 5
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Em uma equação do 2º grau podemos ter valores máximos e
mínimos. Que são dados pelo yv = -Δ/4a Ex;
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Exercícios de concursos.
Questão 1
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 2
A soma de dois números é 12 e a soma de
seus quadrados é 74. Determine o produto
desses números.
A) está entre 20 e 30
B) está entre 30 e 40
C) está entre 40 e 50
D) está entre 50 e 60
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Logo 7x5=35 letra b
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Questão 3
Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu.
Se multiplicarmos as idades que possuem
hoje, obtém-se um produto que é igual a três
vezes o quadrado da idade do filho. Quais são
as suas idades?
prof. Alessandro Ramaldes
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 4
O número de ocorrências policiais no dia x do mês é
dado pelo valor da função f(x) = -x2 + 12x -27, e os dias em que
ocorrências foram registradas são aqueles em que f(x) > ou = 0.
Com base nessas informações, julgue os itens abaixo.
17)
O número de dias em que foram registradas ocorrências é
superior a 9.
18)
O maior número de ocorrências em um único dia foi
inferior a 10.
19)
Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de
ocorrências registradas vai aumentando.
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 5
sabendo que as expressões
São iguais então o produto de suas raízes é;
A) 10
B) -10
C) 14
D) -14
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Questão 3
prof. Alessandro Ramaldes
Progressão Aritmética.
Ex; 2,4,6,8......
Fórmula termo geral.
an= a1+(n-1).r onde;
an= enésimo termo.
a1= primeiro termo.
n= números de termos.
r= razão.
prof. Alessandro Ramaldes
Razão de uma progressão aritmética.
r= a2-a1= a3-a2= a4-a3.....
Exercitando.
Qual o 35º termo da sequencia abaixo.
-3,-1,1,3,......
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 1
Quantos números ímpares há entre 13 e 193?
(A) 88
(B) 89
(C) 87
(D) 86
(E) 90
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 2
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 3
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 4
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 5
Seja uma progressão aritmética de razão -5 e
décimo termo igual a 12. o primeiro termo
desta progressão é.
50
57
63
89
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 6
Em uma progressão aritmética sabe-se que a4
= 12 e a9 = 27. então a5 vale;
10
15
20
25
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 7
Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números
em P. A. nesta ordem. Então x vale;
2
4
6
8
10
prof. Alessandro Ramaldes
Somatório dos termos de uma P.A.
Sn= ( a1 + an )n
2
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 1
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 4
A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000,
isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:
a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 6
A soma dos múltiplos de 4 compreendidos entre 10 e 90 é;
700
800
900
1000
1100
prof. Alessandro Ramaldes
Progressão geométrica
Termo geral
an= a1.rn-1
Onde
an= enésimo termo.
a1= primeiro termo.
n= números de termos.
r= razão.
prof. Alessandro Ramaldes
Razão de uma progressão geométrica.
r= a2\a1=a3\a2=a4\a3.........
Exercitando.
Determine o 8º termo da P.G.(1, 2, 4,...)
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 2
Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, o
termo de ordem 8 é;
1032
4096
6096
8000
10000
prof. Alessandro Ramaldes
Somatório de uma P.G.
Sn= a1(rn – 1)
r – 1
Soma dos infinitos termos de uma P.G.
a1
1-r
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Questão 1
prof. Alessandro Ramaldes
Questão 2
A soma da seguinte P.G infinita (10, 4, 8/5,...)
10\5
40\3
50\3
65\2
Nenhuma das anteriores.
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Logaritmo.
Log a = x equivale b x = a
b
Ex. log 81 = ?
3
Ex. log x = 5
2
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Exercitando.
Log 0,01 =?
10
Log 2√2 = ?
4
Log 0,25 = ?
2
prof. Alessandro Ramaldes
Propriedades logarítmicas.
Condições de existência de um logaritmo.
Seja log a = x
b
Temos
a > o
b > 0 e b ≠ 1
prof. Alessandro Ramaldes
Propriedades logarítmicas.
loga (x * y) = loga x + loga y
logax/y = logax – logay
logaxm = m*logax
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Ex.seja log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5
Calcule log 12=?
4
prof. Alessandro Ramaldes
Questões de concursos.
Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências
dos logaritmos)
prof. Alessandro Ramaldes
Os valores de x que satisfazem log x + log (x -
5) = log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4
prof. Alessandro Ramaldes
log3 (x + 5) = 2. podemos afirmar que x vale:
2
3
4
5
6
prof. Alessandro Ramaldes
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Calcule o valor do log
a) 3
b) 2.
c) 3/4
d) 3/2.
e) 6/12.
prof. Alessandro Ramaldes
Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor
correspondente a log 144.
a) 2,22.
b) 2,19.
c) 2,06.
d) 2,14.
e) 2,27.