#ConquistaNoEstudo Semana6 Etapa2 · Divisão por (x - a): dispositivo prático de Briot-Ruffini Há um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x - a

Matemática

#ConquistaNoEstudo Semana6 Etapa2 Ensino Médio 3a. SÉRIE

Neste Guia você vai estudar sobre multiplicação e divisão de polinômios.

Pág. 33 a 46 do Módulo 11

Profa. Conceição Longo

Hoje, vou mostrar para vocês três maneiras diferentes de se multiplicar dois polinômios.

Preste bem atenção. Escolha uma que mais se aproxime às suas estratégias e... mão na massa!MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Hoje, vou mostrar para vocês três maneiras diferentes de

se multiplicar dois polinômios.

Preste bem atenção. Escolha uma que mais se aproxime àssuas estratégias e... mão na

massa!

O QUE SÃO POLINÔMIOS?São estruturas algébricas resultantes da

adição e/ou subtração de monômios.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑥𝑥𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎0

Observações: I. Os polinômios são representados, geralmente, com seus termos em

ordem decrescente de grau. 𝑎𝑎𝑛𝑛, 𝑎𝑎𝑛𝑛−1,… , 𝑎𝑎1 e 𝑎𝑎0 são os coeficientes do polinômio, com 𝑎𝑎0 sendo o termo independente de P(x).

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS

Hoje, vou mostrar para vocês três maneiras diferentes de

se multiplicar dois polinômios.

Preste bem atenção. Escolha uma que mais se aproxime àssuas estratégias e... mão na

massa!

O QUE SÃO POLINÔMIOS?São estruturas algébricas resultantes da

adição e/ou subtração de monômios.

𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑥𝑥𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎0

Observações: I. Os polinômios são representados, geralmente, com seus termos em

ordem decrescente de grau. 𝑎𝑎𝑛𝑛, 𝑎𝑎𝑛𝑛−1,… , 𝑎𝑎1 e 𝑎𝑎0 são os coeficientes do polinômio, com 𝑎𝑎0 sendo o termo independente de P(x).

©Sh

utte

rsto

ck/S

unda

toon

Determine o produto entre os polinômios P e Q

1ª maneira: utilizando a propriedade distributiva.


Dados: 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3


2𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 . 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3 = 2𝑥𝑥4. 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3 − 𝑥𝑥2. 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3 + 6𝑥𝑥. 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3= 2𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 6𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥4 + 5 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥3 − 30𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥= 2𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4 +11 𝑥𝑥3 − 33𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥

(a + b) . (x+y)

a.(x+y) + b(x+y)ax + ay + bx + by





(a + b) . (x+y)






(a + b) . (x+y)


2ª maneira: utilizando o algoritmo tradicional da multiplicação.


2𝑥𝑥4 + 0𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 0𝑥𝑥2−5𝑥𝑥 + 3

6𝑥𝑥4 + 0𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 0−10𝑥𝑥5 + 0𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3 − 30𝑥𝑥2 + 0𝑥𝑥

2𝑥𝑥6 + 0𝑥𝑥5 − 𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥3 + 0𝑥𝑥2

2𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4 + 11𝑥𝑥3 − 33𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥

X

+


2𝑥𝑥4 + 0𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 0𝑥𝑥2−5𝑥𝑥 + 3

6𝑥𝑥4 + 0𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 0−10𝑥𝑥5 + 0𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3 − 30𝑥𝑥2 + 0𝑥𝑥

2𝑥𝑥6 + 0𝑥𝑥5 − 𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥3 + 0𝑥𝑥2

2𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4 + 11𝑥𝑥3 − 33𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥

X

+

3ª maneira: utilizando uma tabela de dupla entrada.

Importante: qualquer que seja a maneirautilizada para multiplicar os polinômios, o produto será sempre o mesmo!

Adicionando os termos semelhantes, temos:2�6 − 10�5 + 5�4 + 11�3 − 33�2 + 18�

3ª maneira: utilizando uma tabela de dupla entrada.

Adicionando os termos semelhantes, temos:

X 2𝑥𝑥4 0𝑥𝑥3 −𝑥𝑥2 6𝑥𝑥 0𝑥𝑥2 2𝑥𝑥5 0𝑥𝑥5 −𝑥𝑥4 6𝑥𝑥3 0𝑥𝑥2

−5𝑥𝑥 −10𝑥𝑥5 0𝑥𝑥4 5𝑥𝑥3 −30𝑥𝑥2 0𝑥𝑥3 6𝑥𝑥4 0𝑥𝑥3 −3𝑥𝑥2 18𝑥𝑥 0

2𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 5𝑥𝑥4 + 11𝑥𝑥3 − 33𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥

Importante: qualquer que seja a maneira

utilizada para multiplicar os polinômios, o produto será sempre o mesmo!

DIVISÃO DE POLINÔMIOS


Também veremos dois métodos diferentes de

dividirmos dois polinômios.

Mas, antes, vamos relembrar no que consiste o “método da

chave”.

Observe que:


Também veremos dois métodos diferentes de

dividirmos dois polinômios.

Mas, antes, vamos relembrar no que consiste o “método da

chave”.

Observe que:

©Sh

utte

rsto

ck/S

unda

toon

Também veremos dois métodos diferentes de dividirmos dois polinômios.

Mas, antes, vamos relembrar no que consiste o “método da chave”.

Vamos utilizar a mesma técnica para dividir dois polinômiosVamos utilizar a mesma técnica para dividir dois polinômios

Dividir o polinômio 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 1 por 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2

1º𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥2

𝑥𝑥4: 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥𝑥

3º 𝑥𝑥4+ 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2+9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2

−𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 −2𝑥𝑥−2𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 1

−2𝑥𝑥3: 𝑥𝑥2 = −2𝑥𝑥

2º𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2

−𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2 = 𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2“Trocando” o sinal: −𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2

3º 𝑥𝑥4+ 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2+9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2

−𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 −2𝑥𝑥−2𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1

−2𝑥𝑥 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2 = −2𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥“Trocando” o sinal: 2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥

5º 𝑥𝑥4+ 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2+9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2

−𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1−2𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥2: 𝑥𝑥 = 1

6º 𝑥𝑥4+ 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2+9𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2

−𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1−2𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 −4𝑥𝑥

𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1− 𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥 + 1

1(𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2) = 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2“Trocando” o sinal: −𝑥𝑥2−3𝑥𝑥 + 2

𝑥𝑥4+ 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2+9𝑥𝑥 − 1 = ( 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 − 2).( 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1) + (2𝑥𝑥 + 1)

dividendo divisor quociente resto

Divisão por (x - a): dispositivo prático de Briot-Ruffini

Há um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x - a de uma maneira muito simples e rápida: é o chamado dispositivo prático, ou algoritmo de Briot- Ruffini.

Efetue a divisão de p(x) = 3x³ – 5x² – 3x – 2 por q(x) = x – 2Temos que: a raiz do divisor é o número que o torna igual a 0 x – 2 = 0 x = 2 (raiz do divisor)

1º 2 3 -5 -3 -2

2º 2 3 -5 -3 -23

Repetimos (ou abaixamos) o primeiro coeficiente do dividendo

3º 2 3 -5 -3 -23 1

Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos o produto com o próximo termo do dividendo

4º 2 3 -5 -3 -23 1 -1

Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente

5º 2 3 -5 -3 -23 1 -1 -4

Q(x) = 3x² + x - 1 e R(x) = - 4

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#ConquistaNoEstudo Semana6 Etapa2 · Divisão por (x - a): dispositivo prático de Briot-Ruffini Há um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x - a