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Conservação de Massa
Esvaziamento de um tanque de água
Características do Tanque
• Base retangular com 13,9cm por 32,0cm de dimensões internas, e profundidade máxima de 25,0cm.
Característica Experimental
• ho nível inicial da água; • hf é o nível final é ; • h é o nível da água no instante genérico t;• m é a massa correspondente de água contida no
reservatório nesse mesmo instante; • A, uma constante neste caso, é a área da superfície
livre da água.
Resultados Experimentais
Primeira etapa da Modelagem – Lei fundamental de conservação
• Em um instante t e um pequeno intervalo de tempo t, tem-se:
– No instante t a massa de água contida no tanque é m e esse valor sofre uma redução de m durante o intervalo de t, pois uma pequena quantidade de água abandona o reservatório.
m = - aQt, onde a é a massa específica da água e Q a vazão de efluxo.
• Dividindo-se por t, chega-se a m/t = - aQ, ou, no limite, com t tendendo a zero,
Qdt
dma
• Substituindo-se m pelo produto aA(h-hf) obtém-se a equação diferencial seguinte:
com a condição inicial, h=ho quanto t=0
Qdt
dma
A
Q
dt
hhd f )(
Segunda Etapa da Modelagem – lei particular
Conhecimento de como a Vazão (Q) depende da diferença de potencial (h-hf)
Primeira hipótese
• Supõe-se inicialmente, que a vazão de saída da água pelo orifício seja constante, igual a Qo, o seu valor observado no ínicio do processo, ou seja, na vizinhança de t=0.
• Como hf é uma constante
A
Q
dt
hhdof
)(
A
Q
dt
dh o
A
Q
dt
dh o
t
hh
dt
dh o
t
0lim
A
Q
t
hh oo
tA
Qhh oo .
Resultado
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm
)
Dadosequ. (3.5a)
Segunda hipótese
• Supõe-se que Q seja linearmente proporcional ao potencial (h–hf)
• em que Cb é uma constante.
• Substituindo-se este valor de Q na equação:
• Resulta uma nova equação diferencial:
)h(hCQ fb
A
Q
dt
)hd(h f
A
)h(hC
dt
)hd(h fbf
• O valor de Cb pode ser estimado a partir da condição inicial:
ou:
• Resulta na equação diferencial:
)h(hoCQo fb
)( f
ob hho
QC
)( fo
fof
hhA
)h(hQ
dt
)hd(h
Equação Diferencial Ordinária Linear de 1ªOrdem
Resultado da Integração
))hA(h
tQ)exp(h(hhh
fo
ofof
Gráfico
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm)
Dados
Equ. (3.5a)
Equ. (3.8)
1ª Hipótese
2ª Hipótese
Terceira Hipótese
• Supõe-se agora que Q = Cc (h – hf)1/2, em que Cc é uma nova constante.
A
)h(hC
dt
)hd(h fcf2/1
Q0 = Cc (h0 – hf)1/2
Equação Separável não Linear
Resultado da Integração
2
f0
0f0f t
)h2A(h
Q1)h(hhh
Gráfico
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400t (s)
h -
hf (
cm)
Dados
Equ. (3.10)3ª Hipótese
Outra Alternativa
• Uma outra alternativa, igualmente válida, poderia ser a de um maior investimento na linha dedutiva ao se construir o modelo matemático
• Deixando-se menos espaço para a busca de relações particulares como foi feito neste caso, no qual foi preciso pesquisar-se a relação entre a vazão de saída Q e a carga hidráulica (h – hf).
Imagine...
• Um reservatório com nível constante (condição para regime permanente) descarrega água (supostamente um fluido incompressível) por um orifício circular na sua base.
• Por hipótese, o escoamento não tem perdas (fluido hipoteticamente não viscoso).
• Nestas condições, pode-se aplicar a equação de Bernoulli (que resulta do princípio de conservação da quantidade de movimento linear) entre dois pontos da mesma linha de corrente, digamos, os pontos 1 e 2 na Figura abaixo:
Relação entre Q e (h-hf)
• Equação de Bernoulli
• Como p1 e p2 são iguais à pressão atmosférica e V1 é igual a zero, resulta que a vazão de saída Q é proporcional à raiz quadrada da carga hidráulica.
2222
2111 2
1
2
1VghpVghp
)(2 212 hhgV
Nova Situação
m = a (Qe - Qs).t
)( sea QQρdt
dm
m = aA(h–hf)
Note que Qe é constante e Qs é regido pela mesma lei particular observada nos experimentos anteriores.
A
dt
)hd(h sef
2/1)h(hA
C
A
Q
dt
)hd(hf
sef
