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Considerações sobre a prova de Matemática do ENEM

Marcus Vinicius Basso

Elisabete Zardo Búrigo

Instituto de Matemática - UFRGS

Neste texto apresentamos algumas considerações sobre características da

prova de Matemática do Exame Nacional de Ensino Médio, com o objetivo de

contribuir para os debates a respeito da sua possível utilização como mecanismo

de ingresso, total ou parcial, na Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Inicialmente, revisamos os objetivos e critérios que orientam o atual

processo de avaliação (Concurso Vestibular) para ingresso na Universidade. A

seguir, examinamos um conjunto de questões de provas do ENEM, confrontando-

as com os objetivos e critérios de avaliação propostos para o Exame, segundo os

documentos do INEP.

Consta no Manual do Candidato ao Concurso Vestibular 2014:

5.15 - Avaliação

5.15.1 - O Concurso Vestibular constitui-se de provas que visam a avaliação dos

conhecimentos adquiridos pelos candidatos nas matérias do núcleo comum do

Ensino Médio, matérias essas que, para fins deste concurso, são as seguintes:

Física, Literatura de Língua Portuguesa, Língua Estrangeira Moderna, Língua

Portuguesa e Redação, Biologia, Química, Geografia, Matemática e História.

Cada conjunto de questões de uma matéria constitui uma prova.

Especificamente sobre a prova de matemática, o texto de apresentação, no

que se refere ao que é esperado dos candidatos, contém a seguinte redação:

Matemática

A prova de Matemática pretende identificar o aluno matematicamente alfabetizado,

capaz de ler, compreender, interpretar e resolver situações-problema apresentadas na

linguagem do cotidiano, na simbólica ou na linguagem dos gráficos, diagramas e

tabelas. Privilegia, ao invés da memorização de definições, teoremas e fórmulas

isoladas, a capacidade de o candidato usar o pensamento dedutivo e indutivo, o

combinatório, o estimativo, o geométrico e o algébrico, entre outros, para resolver

problemas e estabelecer conexões entre várias áreas dentro da própria Matemática.

Enfatiza, pois, mais os conceitos e as ideias matemáticas do que os símbolos e os

procedimentos de cálculo longos e formais. Apresenta, quando possível, questões que

envolvam uma visão integrada da Matemática com outras áreas de conhecimento do

candidato. As questões propostas abrangem conteúdos de Ensino Fundamental (1°

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Grau) e Ensino Médio (2° Grau) que possam servir de subsídio para os estudos

posteriores do aluno nos diferentes cursos de graduação.

Acompanhando essa redação, são listados os tópicos e subtópicos que

serão abordados no exame de matemática.

Conjuntos Numéricos

Números naturais e inteiros: números primos e compostos decomposição em fatores primos; divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.

Números racionais: operações com frações, com representações decimal e em notação científica; razões, proporções, porcentagem e juros.

Números reais: operações e propriedades; simplificação de expressões numéricas e algébricas; ordem, valor absoluto e desigualdades. Intervalos: representação gráfica e operações.

Números complexos: expressões algébrica, geométrica e trigonométrica; operações na forma algébrica.

Variáveis e Funções

Variáveis discretas e contínuas; grandezas diretamente e inversamente proporcionais; construção e interpretação de gráficos (cartesianos, por setores circulares, de barras), de tabelas numéricas e de diagramas.

Funções reais de variável real: domínio e imagem; classificação quanto ao crescimento; representação gráfica de y=f(x) e de suas transformadas (y=f(x+k), y=f(x)+k, y=f(k*x) e y=k*f(x), com k constante real não nula); função inversa; resoluções algébrica e gráfica de equações e de inequações.

Função linear e afim: expressão algébrica; construção e interpretação de gráficos (raiz, coeficientes angular e linear); resoluções algébrica e gráfica de inequações de 1° grau.

Função quadrática: expressão algébrica; construção e interpretação de gráficos (raízes, pontos de máximo e de mínimo, concavidade); resoluções algébrica e gráfica de inequações de 2° grau.

Progressões

Sequências numéricas: descrição pelo termo geral e por recorrência; construção e interpretação de gráficos

Progressões Aritméticas: termo geral, interpolação e soma dos termos.

Progressões Geométricas: termo geral, interpolação e soma dos termos.

Logaritmo e Exponencial

Funções exponenciais: expressão; construção e interpretação de gráficos; propriedades.

Funções logarítmicas: expressão; construção e interpretação de gráficos; propriedades.

Equações exponenciais e logarítmicas: resolução

Polinômios

Polinômios: grau e propriedades; operações; teorema do resto

Equações algébricas: resolução (raízes simples e múltiplas, racionais e complexas); teorema fundamental da Álgebra

Funções algébricas: expressão; construção e interpretação de gráficos (raízes, sinal)

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Trigonometria

Arcos e ângulos: medidas (graus e radianos), conversão de medidas

Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: seno, cosseno e tangente

Funções trigonométricas circulares: expressão; construção e interpretação de

gráficos; periodicidade; valores das funções nos arcos básicos

Relações fundamentais: identidades trigonométricas simples; fórmulas da adição e subtração de arcos

Resolução de triângulos quaisquer: leis dos senos e dos cossenos

Geometria Euclidiana Plana

Figuras geométricas planas: retas, semirretas, segmentos; ângulos; elementos, propriedades e construção de polígonos (triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e hexágono regular) e do círculo; relações de congruência e semelhança

Áreas e perímetros: polígonos; círculos e partes do círculo

Relações métricas: nos triângulos, polígonos, polígonos regulares e círculos; inscrição e circunscrição de polígonos e círculos

Geometria Espacial

Figuras geométricas espaciais: poliedros e poliedros regulares

Áreas de superfícies e volumes: prismas, pirâmides, cilindros, cones, esferas e partes da esfera

Relações métricas: inscrição e circunscrição de sólidos

Geometria Analítica Plana

Pontos: coordenadas cartesianas e polares; distância entre dois pontos e ponto médio em coordenadas cartesianas.

Retas: equações geral e reduzida; construção e interpretação gráfica; condições de paralelismo e perpendicularismo; intersecção de retas; distância de ponto à reta e entre retas paralelas.

Círculo: equações normal e reduzida; construção e interpretação gráfica.

Posições relativas entre pontos, retas e círculos.

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Matrizes: construção, operações e propriedades.

Determinantes: cálculo e propriedades

Sistemas lineares m x n, com m, n 4: discussão e resolução.

Análise Combinatória e Probabilidade

Princípios de contagem

Permutações, arranjos e combinações simples

Binômio de Newton: desenvolvimento e termo geral

Probabilidade: espaço amostral; resultados igualmente prováveis; probabilidade condicional e eventos independentes

Tomando como referência as provas de matemática dos anos de 2010,

2011, 2012 e 2013, constata-se que, nesses quatro exames, todos os tópicos do

programa de matemática foram contemplados. Desse modo, as provas sinalizam,

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para as Escolas, que tais tópicos são considerados relevantes para a formação dos

estudantes do Ensino Médio em termos de conceitos e habilidades básicos de

Matemática.

Acrescenta-se que as questões apresentam algumas características

importantes em termos da formação que se espera de um aluno postulante a uma

vaga na Universidade:

- domínio de conceitos básicos de Matemática;

- habilidade para interpretar textos contendo linguagem natural e

linguagem matemática;

- habilidade para resolver situações-problema;

- habilidade para estabelecer relações.

O ENEM, existente desde 1998 como exame de avaliação dos concluintes do

Ensino Médio, teve seu caráter alterado em 2009, quando passou a ser utilizado

como mecanismo de ingresso nas universidades públicas. A nova estrutura do

Exame, organizado segundo áreas do conhecimento, foi estabelecida pela

Portaria nº 109/2009 do INEP.

A avaliação dos candidatos que realizam a prova do ENEM tem por

referência uma Matriz, anexa à Portaria, contendo cinco eixos cognitivos:

I. Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa.

II. Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.

III. Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema.

IV. Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.

V. Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural.

Para cada área do conhecimento, a Matriz é desdobrada em competências

e habilidades a serem avaliadas. Para a área denominada Matemática, a Matriz

apresenta as competências e habilidades que seguem.

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Competência de área 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais. H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos. H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma. H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano. H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente. H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Competência de área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

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H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.

Competência de área 7 - Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

A seguir, apresentamos um conjunto de questões das provas do ENEM dos

anos de 2010, 2011 e 2012, para examiná-las do ponto de vista de critérios que

têm sido divulgados como características relevantes do Exame: a contextualização

das questões, a avaliação de habilidades, a ênfase na modelagem e na resolução

de situações-problema.

Como um primeiro exemplo, comentamos a questão 146 da prova amarela

do ENEM 2010.

2010

Observa-se que, no enunciado da questão, o “contexto” da siderúrgica e do

material utilizado é irrelevante para a construção e para a avaliação da

compreensão do conceito de volume pelo candidato.

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Caberia ainda perguntar: essa questão envolve resolver uma situação-

problema? De acordo com a literatura, resolver um problema envolve selecionar

dados, construir uma estratégia. Que seleção de dados e que estratégia o

candidato precisaria utilizar para marcar a resposta correta?

Examinando as questões 157 e 162 (prova amarela ENEM 2010),

apresentadas a seguir, podemos observar que nelas são dadas diferentes

aproximações para a constante : 3 e 3,1. Provavelmente, a intenção era a de

facilitar os cálculos necessários para se resolver cada questão. Entretanto, ao dar

as aproximações, as questões deixam de avaliar a habilidade do candidato de

obtê-las, e reforçam as confusões, recorrentes nos livros didáticos, entre os

números irracionais e suas aproximações.

2010

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2010

Na questão de número 168 (prova amarela ENEM 2010), temos novamente

um enunciado com um contexto artificial e que, à semelhança de outros tantos

enunciados das provas do ENEM, apresenta textos longos e que distraem o leitor

em termos do que é essencial para resolver a questão.

2010

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A questão 157 (ENEM 2012 – prova amarela) aborda a nomenclatura da

ordem dos números. Esse é um exemplo de questão que não avalia nenhuma das

habilidades constantes da Matriz de Referência do ENEM.

2012

Na questão 137 (prova amarela ENEM 2011), temos uma questão cuja

resposta está praticamente dada no enunciado, ou que avalia uma habilidade

muito básica de leitura de relógios analógicos.

2011

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Já na questão de número 149 (prova amarela ENEM 2011), temos um

exemplo de uma redação longa, mas que avalia habilidades simples de cálculo e

que apresenta alternativas dentre as quais é muito fácil selecionar a correta.

2011

Sobre a questão 151 (ENEM 2012 – prova amarela), questiona-se a

necessidade informar ao candidato que a área do forro, após ser lavado, é

(5-x)(3-y). A intenção é apresentar essa informação para auxiliar o candidato a

resolvê-la? Nessa situação, como em outras, é beneficiado o candidato que, ao

invés de ler cuidadosamente o enunciado, identifica rapidamente as “pistas” dadas

no enunciado e nas ilustrações.

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2012

Na questão 153 (ENEM 2012 – prova amarela), temos outro exemplo de

questão que apresenta um excesso de informações. A figura é apresentada na

suposição de que o candidato não será capaz de imaginá-la, a partir do texto?

Com esse formato, a questão deixa de avaliar o pensamento geométrico, que

pode ser facilmente substituído pela aplicação de uma fórmula bem conhecida.

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2012

As questões que abordam o conteúdo funções limitam-se aos modelos mais

simples, e em geral às funções lineares, afins ou quadráticas. Além disso, nas

questões 141 e 167 (Prova Cinza, ENEM 2012), observamos que não é avaliada a

habilidade de construir gráficos ou equações, bastando ao candidato escolher

dentre as alternativas dadas, dentre as quais as erradas podem ser facilmente

descartadas.

2012

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Sistematizando as considerações já feitas, podemos apontar que:

- são frequentes, nos enunciados, os contextos artificiais e que, além de

conterem enunciado longo e com informações em excesso ou distratoras, não

contribuem para a avaliação de habilidades e domínio de conceitos;

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- em geral, para resolver as questões, o candidato não necessita

equacionar, construir gráficos, desenhar ou imaginar figuras, pois são dados no

enunciado, ou é suficiente que o candidato reconheça as respostas erradas;

- embora a prova seja longa (45 questões), avalia poucos conceitos e

habilidades, que se repetem em várias questões;

- o volume e o formato das questões favorecem a leitura e a escolha

rápida de uma alternativa, isto é, uma interpretação superficial, contrariando o

discurso interdisciplinar segundo o qual haveria a análise de situações-problema

envolvendo as diferentes áreas.

Além disso, a organização da matriz do Enem segundo habilidades

genéricas oferece ampla liberdade ao INEP para escolher conteúdos que estarão

(ou não) envolvidos nas questões. Tópicos usualmente abordados no Ensino

Médio, como logaritmos, funções exponenciais, Trigonometria e Geometria

Analítica, não têm sido avaliados nas provas.

O grande volume de questões, a serem resolvidas em tempo exíguo, só se

justifica como mecanismo de produção de diferentes escores, permitindo a

classificação dos candidatos, uma vez que poucas habilidades, conceitos e

conteúdos têm sido de fato avaliados. Esse formato de prova favorece os

candidatos mais bem treinados e revela pouco acerca das aprendizagens em

Matemática.

Na prova de 2013, ainda não divulgada pelo INEP, pôde-se observar que

os enunciados foram, de maneira geral, mais breves, e que foram valorizadas

algumas habilidades mais complexas, como a do equacionamento. Entretanto,

ainda persistem contextualizações artificiais, ausência de alguns conteúdos

usualmente abordados nas Escolas de Ensino Médio e o tempo reduzido para

resolução de grande número de questões continua sendo um obstáculo para que a

maioria dos candidatos apresentem suas melhores habilidades e conhecimentos.

Para finalizar, diante da possibilidade da adoção do ENEM como

instrumento de avaliação para ingresso na UFRGS, propomos que seja discutida a

Matriz de Referência, pois trata-se de documento emanado pelo INEP, que não

encontra amparo na Lei de Diretrizes e Bases (Lei nº 9394/96).

Propomos também que seja solicitada ao INEP a divulgação de dados sobre

as provas, como:

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- critérios adotados para a seleção de questões, com indicação das

habilidades que cada questão pretende avaliar e de quais são as questões

consideradas fáceis, médias e difíceis, de modo que se possa avaliar a coerência

entre provas e documentos legais que orientam o Exame;

- o número de acertos por questão e, preferencialmente, o número de

marcações para cada item a, b, c, d e e, com desagregação regional, para seja

possível entender o que os candidatos estão acertando ou errando e como;

- análises de desempenho, tais como as que constam nos Relatórios

Pedagógicos, elaborados pelo INEP até 2008.

Referências

Silva. Patrícia Lima da. ENEM versus aprendizagem em matemática. Universidade

Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Matemática. Curso de Matemática:

Licenciatura, 2011. Disponível em

http://hdl.handle.net/10183/37123?locale=pt_BR. Acesso online em 14 nov 2013.

UFRGS. Manual do Candidato, vestibular 2014. Disponível em:

http://www.ufrgs.br/coperse/concurso-vestibular/vestibular-

2014/manual_CV2014.pdf/at_download/file. Acesso online: 14 nov 2013.