CONSONNI, D.; ORSINI, L. - Curso de Circuitos Elétricos 1.pdf

Curso de Circuitos Elétricos, L.Q.Orsini e D. Consonni, Cap.1

Escola Politécnica Universidade de São Paulo

Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 1

Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos

L. Q. Orsini e D. Consonni

Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres

Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.1

CURSO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Volume 1

1. Conceitos Básicos, Bipolos e Quadripolos

2. Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff

3. A Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas

4. Redução de Redes e Aplicações Tecnológicas

de Redes Resistivas

5. Estudo de Redes de Primeira Ordem

6. Estudo de Redes de Segunda Ordem

7. Introdução à Transformação de Laplace

8. Transformação de Laplace e Funções de Rede


ENGENHARIA INFORMAÇÃO

ELÉTRICA ENERGIA

A Engenharia Elétrica visa essencialmente prover

materiais, dispositivos

RECURSOS processos físicos e

químicos

MÉTODOS análise e síntese

para promover:

• Produção

• Transmissão

• Distribuição

• Armazenagem

• Transformação

• Processamento

de ENERGIA e INFORMAÇÃO


Engenharia Elétrica

Aplicações práticas de fenômenos

eletromagnéticos

Eletromagnetismo

- Oersted 1820

- Gauss / Ampère ~ 1825

- Faraday - Henry 1831

- Siemens ~ 1850

- Maxwell 1864

- Hertz 1888

- Landell de Moura 1894

- Marconi 1901


tensões e

correntes campos dentro de condutores

interação de campos

Teoria Eletromagnética

Restrições

Leis de Kirchhoff

Teoria das Redes Elétricas


Eletromag x Circuitos Teoria Clássica de Eletromagnetismo

Equações de Maxwell

Leis que relacionam campos elétricos e magnéticos

grandezas vetoriais

Métodos de solução complicados aproximações

Teoria Clássica de Circuitos

Leis de Kirchhoff

Relações entre tensões e correntes em elementos simples ideais: R L C

grandezas escalares

Métodos de solução bem estabelecidos


E x e m p l o s

a) Rede de distribuição de energia Elétrica: 60 Hz

5a harmônica: 300 Hz

λ = = =c

f

3.10

30010 metros

86

Sistema contido em um raio de 10 km

Vale a Teoria dos Circuitos

b) Receptor FM: 100 MHz

λ = =3.10

103 metros

8

8

λ/4 = 0,75 m Dimensões do circuito << 75 cm


TABELA DE UNIDADES

SISTEMAS CONSISTENTES

GRANDEZA S.I. A.F. R.F. U.H.F.

Tensão V V V V

Corrente A mA mA mA

Resistência Ω kΩ kΩ kΩ

Condutância S mS mS mS

Capacitância F µF nF pF

Indutância H H mH µH

Tempo s ms µs ns

Freq. angular rad/s krad/s Mrad/s Grad/s

Frequência Hz kHz MHz GHz

T Tera 1012

G Giga 109

M Mega 106

k Quilo 103

m Mili 10-3

µµµµ Micro 10-6

n Nano 10-9

p Pico 10-12


SISTEMAS DE UNIDADES CONSISTENTES

GRANDEZA S.I. ÁUDIO FREQ.

RÁDIO FREQ.

Tempo seg mseg µseg

Frequência Hz kHz MHz

Tensão V V V

Corrente A mA mA

Resistência Ω kΩ kΩ

Condutância S mS mS

Capacitância F µF nF

Indutância H H mH


MODELAMENTO

Lanterna:

Modelo :

chave

lâmpada

mola

pilhas

capa

R1 Rc

Rllll 3V

Rllll

3V

R1

Rc


MODELOSS

TEORIAS

INTERPRETAÇÃO DOS

FENÔMENOS

SÍNTESE PROJETO


CIRCUITOS ELÉTRICOS I :

CONCEITOS BÁSICOS: • CARGA ELÉTRICA q (t) :

Múltiplo inteiro de 1,602 . 10-19 coulombs

• CORRENTE ELÉTRICA ATRAVÉS DE UMA SUPERFÍCIE:

- VALOR MÉDIO:

i =

q(t)

t (AMPÈRES)m

∆∆

- VALOR INSTANTÂNEO:

i(t) =

dq(t)

dt ( AMPÈRES )


Carga elétrica

• Conservativa • Quantizada 1,6 . 10-19 C

• Bipolar Atração e Repulsão

• Móvel ou Fixa

• Materiais: CondutoresSemi condutoresIsolantes

−R

S||

T||

Corrente Elétrica ( física ) • Condução lâmpada incandescente • Convecção íons em eletrólitos → luz néon • Difusão semicondutores • Deslocamento dielétricos

i(t) = dq/dt

q t i d q t0t

t

0

b g b g b g= +z τ τ

+


CORRENTE ELÉTRICA

Q1 Q2

Sentido de Referência

Q3 Q4

i

Q

t

Q Q Q Q

tm1 2 3 4= = + − + −∆

∆ ∆

+

+


Contínua CC DC

Ex.: senoidal - Periódica, média nula num período

Alternativa CA AC

Ex.: exponencial

Não-periódica

Ex.: triangular Pulsada

i

t

i

t

i

t

i

t


A i

Amperímetro Ideal

curto-circuito

– 3 A 3 A

A A


CONCEITO DE TENSÃO ELÉTRICA ( ddp )

a) Circuito elétrico

b) Analogia mecânica

i

B i εεεε R

i


d w(t) = v(t) dq(t) d w(t) →→→→ energia ( trabalho ) necessária para separar cargas positivas de cargas negativas ( J ) dq(t) →→→→ quantidade de carga a ser separada ( C ) v(t) →→→→ tensão elétrica ( V )


Tensão Elétrica

Q

Q

E

Q Q

d v = 0 v = Ed

Polaridade de referência

Ele- mento v V

v = Ed v = Ed Q Q

Q Q

Referência de Potencial B

A A

vA vAB = vA - vB


FONTES DE TENSÃO

• Ação Química Baterias, Pilhas

• Magnetismo Geradores

• Luz → Fotoeletricidade Célula Solar

• Calor → Termo-eletricidade Par termoelétrico

• Pressão Mecânica → Piezoeletricidade Cristal piezoelétrico

• Fricção


Volta apresenta a Napoleão e a cientistas franceses sua grande invenção (1799)

A pilha inventada por Alessandro Volta


PILHA VOLTAICA

água sulfato de cobre

íons de cobre íons de zinco

corrente de elétrons

Cobre Zinco


Pilha Seca Alcalina

Células Primárias


BIPOLOS ELÉTRICOS

- SÍMBOLOS :

- PROPRIEDADES:

i t i' t , t

v t v t v t , tA B

b g b g

b g b g b g

= ∀

= − ∀

RS|

T|

i A

v

i’

B

i A

v

i’

B


i J x dSS

= z r r

v E x db

a= z r r

l

i

dqdt

=

vdwdq

= ( CAMPO POTENCIAL )

AMPERÍMETRO VOLTÍMETRO

i

v

a

b

i i A

V

v


I M P O R T A N T E :

AS FLECHAS DE REFERÊNCIA

DE TENSÃO E DE CORRENTE

SÃO -

- REGRAS PARA LIGAR

VOLTÍMETROS E AMPERÍ-

METROS AO CIRCUITO !


Potência instantânea : p(t) = ( W ) Mas : d w(t) = v(t) . d q(t) e d q(t) = i(t) . dt

p(t) = v(t) . i(t)

d w(t) dt


v(t)dw(t)

dq(t)=

- É MEDIDA PELOS VOLTÍMETROS

- POTÊNCIA INSTANTÂNEA:

p(t) = v(t) . i(t) ( WATTS )

- PARA SABER SE A POTÊNCIA

ESTÁ SENDO RECEBIDA OU

FORNECIDA É PRECISO FIXAR

CONVENÇÕES !

( VOLTS )


CONVENÇÕES

Gerador

Receptor

i A

V v

i

V

i

v

A

V v

i

A

V v

A


SENTIDOS DE REFERÊNCIA NOS BIPOLOS

Convenção do Receptor (SPICE)

Convenção do Gerador

i

v

i

v V

A

V

A


- CONVENÇÃO DO GERADOR:

v.i > 0 BIPOLO FORNECE

POTÊNCIA

- CONVENÇÃO DO RECEPTOR:

v.i > 0 BIPOLO RECEBE

POTÊNCIA


P

1t t

. p t .dt2 1

t

t

1

2=− z b g

CONVENÇÃO DE NOTAÇÃO:

- LETRAS MINÚSCULAS PARA FUNÇÕES DO TEMPO.

- LETRAS MAIÚSCULAS PARA GRANDEZAS INDEPENDENTES DO TEMPO.

- CASO DE v E i PERIÓDICOS COM PERÍODO T :

P

1T

v t . i t . dtT

= z b g b g

( WATTS )


w t, t p .d0 t

t

0

a f a f= =z τ τ

= z v . i . d

t

t

0

τ τ τb g b g

UNIDADE PRÁTICA DE ENERGIA:

- QUILOWATT – HORA ( kWh )

1 kWh = 3,6 . 106 J

- MEDIDOR DE ENERGIA: CALCULA

p . d

t

t

0

τ τb gz

( JOULES )


ALGUNS VALORES NUMÉRICOS

CARGA ELÉTRICA

• Carga em uma célula DRAM (quando o bit 1 é

armazenado) 50 fcoulomb

• Carga em um capacitor de potência 5 mcoulomb

• Carga em um raio 3000 coulomb

CORRENTE ELÉTRICA • Corrente de fuga em transistores de CIs fA

• Corrente de sinais em transistores de CIs µA-mA

• Limite de corrente suportada pelo corpo humano

~10mA

• Correntes de alimentação em CIs 100mA-10A

• LED 10mA-100mA

• Lâmpadas e eletrodomésticos pequenos 1A-10A

• Limite de Corrente residencial 20A

• Rede de distribuição residencial 100A

• Rede de distribuição comercial ou industrial 1000A


ALGUNS VALORES NUMÉRICOS

TENSÃO ELÉTRICA

• Sinal em uma antena 1µV

• Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) 1µV

• Sinal de áudio (CD player) 100mV

• Tensão de alimentação de um CI 1,8V a 12V

• Bateria de carro 12V

• Rede de distribuição residencial 10kV

• Monitor a cores 10kV

• Sistema de transmissão de potência 100kV

POTÊNCIA • Sinal em um microfone (fonte não-ruidosa) pW

• CIs µW a vários W

• Lâmpada residencial 100W

• Aquecedor elétrico 1kW

• Máximo consumo residencial 25kW

• Sistema de som em show de rock 50kW

• Central transmissora de rádio 100kW

• Sistema de iluminação de show de rock 250kW

• Usina de geração de energia elétrica 1GW


PASSIVOS

RESISTORES

CAPACITORES

INDUTORES

ATIVOSGERADORES DE TENSÃO

GERADORES DE CORRENTE

RS|T|

RST

R

S

||||

T

||||

CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RELAÇÃO CORRENTE-TENSÃO:

−−RST

LINEARES

NÃO LINEARES


v = r ( i ) i = g ( v )

1 – Linear Fixo Ideal v = R i R ΩΩΩΩ i = G v G S

p vi Ri GvvR

iG

2 22 2

= = = = =

2 – Linear Variável v ( t ) = R ( t ) i ( t ) reostato controle de corrente potenciômetro controle de tensão

3 – Não-linear

i

R v

B A

B

A


George Simon Ohm

• Alemão (Erlangen, 1789; Colônia, 1854)

• Físico e Matemático • Professor de Física, Univ.

de Colônia • 1827 Lei de Ohm

(empírica) 22 anos para ser reconhecida

• Pesquisas nas áreas de física molecular, acústica e comunicação telegráfica

Aparato Experimental usado por Ohm

RA

= ρ.l


v = r ( i ) i = g ( v ) Controlado por Controlado por corrente tensão

Ex: Diodo ideal Diodo real: i = g(v) = Is ( e

λλλλv – 1 )

i

v

i

v

v

i i

v

curto

aberto


1 – Carvão

Valor Potência máxima 1/8 1/4 1/2 1 2 watts

Tolerância 10 % 5 % 1% 0,5 % 0,1 %

ImaxPmax

R=

Tensão Frequência Resistência varia com Umidade Temperatura

2 – Fio Potências mais elevadas

Modelo:

3 – Filme Metálico: Circuitos integrados

Corrente máxima:


q ( t ) = C ( v )

1- Linear , Fixo →→→→ Ideal

q = C v

2 - Linear , Variável q ( t) = C ( t ) v ( t )

3 - Não – linear Ex.: q(t) = C ( v ) . v(t)

i

C v i Cdvd t

=

v1C

id t v t 0t

t

0

= +z b gp

12

Cd vd t

2

=

W12

C v v t12

qC

2 20

2

= − =b gd i

i (t) C tdv(t)

d tv (t)

d C t

d t= +( )

( )

0


Garrafa de Leyden

Universidade de Leyden ( Holanda )

1746

A ↑↑↑↑ d ↓↓↓↓ C ↑↑↑↑ C

Ad

= εεεε


Valores: µµµµF →→→→ pF

Especificações: Ex.: 100 nF / 500V Tipos: de acordo com o dielétrico •••• cerâmica •••• mylar •••• poliestireno •••• eletrolítico •••• tântalo

Modelo:

tensão de ruptura do dielétrico

C G


v1C

id t v 0= +z v1C

id t v 0= −z

v1C

idt v 0= − +z v1C

idt v 0= − −z

i(t)

v(t) v0

i Cdvd t

=

i(t)

v(t) v0

i Cdvd t

= −

i(t)

v(t) v0

i(t)

v(t) v0


ψψψψ = L ( i )

1 – Linear , Fixo →→→→ Ideal

vddt

Ld id t

= =ψ

i1L

v d t i t 0t

t

0

= +z b g

p12

Ld id t

2

=

w12

Li12

L i202= −

2 – Linear, Variável ψψψψ = L ( t ) i ( t )

v L tdi(t)dt

i(t)dL(t)

dt= +b g

3 – Não-linear Ex.:

i

v L

ψψψψ = L . i


Solenóide com espiras bem afastadas, mostrando

as linhas de indução magnética e a sua

concentração no interior da bobina.


iL

v dt i 0= +z1 i L

v dt i 0= −z1

i(t)

v(t) i0

i(t)

v(t) i0

v Ldidt

=

i(t)

v(t) i0

i(t)

v(t) i0

v Ldidt

= −

iL

v dt i 0= − +z1

iL

vdt i 0= − −z1


Tensão Corrente Resistência Condutância Indutância Capacitância Carga elétrica Fluxo magnético Aberto Curto

Carga elétrica Fluxo magnético

Indutância Capacitânciaa

Tensão Corrente

Resistência Condutância

Aberto Curto


RESISTOR CAPACITOR INDUTOR

p = R i2

G v2

v2/ R i2/ G

i

L v

i

C v

i

v R G

q = C v ψψψψ = L i

v = Ri v1C

idt v0= +z v Ldidt

=

i = Gv i Cdvdt

= i1L

vdt i0= +z

p Cdvdt

2

= 1

2 p Ldidt

2

= 1

2

w Cv2= 1

2 w Li 2= 1

2


p = v i = v2

G

R ( G )

v

i

v(t)

1

-1 t

G

p(t)

t

> 0

w(t)

t

w p dt

t

0

= z λλλλ λλλλb g

i(t)

G

-G t

i = G v


i

C v

i Cdvdt

= i(t)

C

-C t1 2 1 0 2

1

t

v(t)

v t1C

i d v t 0t

t

0

b g b g b g= +z λλλλ λλλλ

p(t)

C

-C t1 2

recebe

> 0 < 0

dá

p = v i

1 0 2

C/2

t

w(t)

w12

Cv2=

v(t0) = 0 t0 = 0

W > 0 passivo (convenção receptor)


Gerador Real:

E

ic

E RC

( carga )

Rg

vc

vc

ic

E ideal

real

vc

Rc

E ideal real

es(t)


FONTES DE ALIMENTAÇÃO AC/DC

Tensão AC Retificação e Filtragem

Tensão DC

a) Terminais disponíveis

b) Tensão positiva em relação ao terra

c) Tensão negativa em relação ao terra

d) Tensão flutuante


Gerador Real

ic

vc

I ideal

real

ic

Rc

I ideal

real

is(t) is(t) I

ic

I RC

( carga ) Rg vc


µµµµ - ganho de tensão rm - transresistência Geradores de Tensão gm - transcondutância ββββ - ganho de corrente

Geradores de Corrente

vc rm ic ic

vc ic ββββ ic gm vc

µµµµvc


Aplicação dos geradores vinculados

Transistor Bipolar

Símbolo

C - Coletor

E - Emissor

B - Base

Estrutura Física

Modelo em circuitos

rππππ ββββib

ib

ic

E

B

E

C ic = ββββ ib


H ( t ) = u-1 ( t ) = 1111( t ) =

H(t)

t

1

0 para t 0

1 para t 0

<

≥RST


Pulso retangular de duração ττττ f(t) = E [ H(t) – H ( t – ττττ ) ] Pulso senoidal

f(t) E sin2T

. t . H t H tT2m= F

HGIKJ − −

FHGIKJ

LNM

OQP

ππππ b g

E

ττττ 0 t

f(t)

Em

T/2 0 t

f(t)


Função co-senoidal

v

t

v t 115 2cos377t H tb g d i b g=

Função rampa

f (t) = t [ H(t) – H( t – T ) ]

Pulso de radar v(t) = V [ H(t – t0) –

-H(t – t0 – ∆∆∆∆)] sen ωωωω(t-t 0)

Onda quadrada

f t H sent

TH sen

tT

b g = FHGIKJ

FHG

IKJ − − F

HGIKJ

FHG

IKJ

ππππ ππππ

t

E

T

t t0 t0 +∆∆∆∆

+v

–v

1

T 2T -1

t


1/ττττ1

Função de Dirac:

A função de Dirac é, de fato, uma função generalizada .

1

ττττi ττττ2 τ1

f i(t)

t

f t

0 para t 0

t0 t

1 para t

ii

i

i

b g =

≤

< ≤

>

RS||

T||

ττττττττ

ττττ

f t

0 para t 0

10 t

0 para t

i'

ii

i

b g =

≤

< ≤

>

RS||

T||

ττττττττ

ττττ

1/ττττi

ττττi ττττ2 τ1

f i’(t)

t

1/ττττ2

δδδδ(t) = lim f i’(t) τi→0


PROPRIEDADES DA FUNÇÃO IMPULSIVA

• δ(t) = 0, ∀ t ≠ 0 • δ(t-t 0) = 0, ∀ t ≠ t0

Representações gráficas da função impulsiva:

δ(t) ∞ δ(t-t 0) ∞

0 t 0 t0 t

• δ τ τ( )dt

t= ∀ >

−z 1 01

, t, t 1

• )t(dt

)t(dHδ=

• f t T t dt f T( ). ( ) ( )− =−∞

∞z δ (para f (.) contínua em T)


f ’ 1

t

( E )

t2 t1

(–E )

E/ττττ f ’ 2

t

(–E )

ττττ

f3 E

1 2 t 3

–E

f ’ 3

t

( 2E )

1 3

(–2E )

2

( 2E )

(–2E )

f ’ 4

3T 2T t

( E )

T

( E ) ( E ) . . .

f1 E

t1 t2 t

E

ττττ t

f2

f4

E

T 2T t 3T

2E 3E

. . .


eg(t) = E e

s t E, s reais

s = – σσσσ E > 0, σ > 0

eg(t) = E e – σσσσ t = E e – t/ττττ

σσσσ →→→→ freqüência neperiana ( Np/s )

Para t = ττττ →→→→ eg = E/e

eg

t

E

ττττ 2ττττ 3ττττ

37 % 13,5 %

5 %

ττττσσσσ

= 1 →→→→ constante de tempo ( s )


EXCITAÇÃO CO-SENOIDAL

• Derivada e Integral → Senóides

Circuito em Regime Permanente Senoidal

• Dispositivos Reais →

geram excitação senoidal

• Soma de senóides de mesma freqüência =

senóide

• Análise de Fourier → ∀ função periódica =

=soma de senóides harmônicas, da forma

fk(t) =A km cos (k ωωωω0t + θθθθk ) (k = 0, 1, 2, …)

Akm = amplitude ou valor máximo ou valor de pico (real e > 0) da k-ésima harmônica ωωωω0 = freqüência angular fundamental (real, rd/s) θθθθk = defasagem (real, o ou rd) fk = freqüência da k-ésima harmônica (real , Hz ou ciclos/s) T = período (real, s) = 1 / f 0 , ωωωω0 = 2ππππ / T


Retangular ou Cartesiana

Fórmula de Euler : e

j φφφφ = cos φφφφ + j sin φφφφ

Séries de Mac Laurin:

sinx xx3!

x5!

x7!

. . . . . .3 5 7

= − + − +

cosx 1x2!

x4!

x6!

. . . . . .2 4 6

= − + − +

e cosx jsinx 1 jxjx

2!

jx

3!. . . .jx

2 3

= + = + + + +b g b g

j y

j b z

a x φφφφ

z

z = a + j b

z = z e j φφφφ = z φφφφ

Polar

z = z cos φφφφ + j z sin φφφφ = z (cosφφφφ + jsinφφφφ) = = z e j φφφφ


e jθθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ

Seja B = cosθθθθ + j senθθθθ ou

Integrando : lnB = j θθθθ + C ←←←← constante

Para θθθθ = 0 →→→→ B = 1 →→→→ lnB = 0 ⇒⇒⇒⇒ C = 0 ⇒⇒⇒⇒ B = e jθθθθ

⇒⇒⇒⇒ e j θθθθ = cosθθθθ + j senθθθθ

dBd

sen j cos

j cos + j sen

θθθθθθθθ

==== θθθθ θθθθ

= − +θ

b g

dBd

j Bθθθθ

=

dBB

j d= θθθθ


Fórmulas de Euler :

e jφφφφ = cos φφφφ + j sen φφφφ

e – jφφφφ = cos φφφφ – j sen φφφφ Forma Cartesiana: z = a + jb

Forma Polar : z = z e j φφφφ

a z cos

b z sen

=

=

RS|T|

φφφφ

φφφφ

z a b

arctg b a

2 2= +=

RS|T| φφφφ


1 – Soma e Subtração →→→→ Forma Retangular ou Cartesiana

z1 = a1 + j b1 z2 = a2 + j b2

z1 ±±±± z2 = ( a1 ±±±± a2 ) + j ( b1 ±±±± b2 ) 2 – Multiplicação e Divisão →→→→ Forma Polar z c e1 1

j 1= φφφφ z c e2 2j 2= φφφφ

z z c c e1 2 1 2j 1 2= +( )φφφφ φφφφ

j y

x

z1 + z2 z2

z1

z zcc

e1 21

2

j 1 2= −( )φφφφ φφφφ


Propriedades :

z = a + j b = z e jφφφφ

z* = a – j b = z e – jφφφφ

z + z* = 2 a = 2 Re ( z )

e jφφφφ = 1

e ±±±± j ππππ = 1 ±±±± ππππ = – 1

e ±±±± j ππππ/2 = 1 ±±±± ππππ/2 = ±±±± j 1

Fórmulas de Moivre :

cos t

12

e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= + −d i sen t

12 j

e ej t j tωωωω ωωωω ωωωω= − −d i


Coordenadas Retangulares: a, b Coordenadas Polares: r, Φ

Im

Re

z jb

r

a

Φ


Conjugados

Im

Re

z jb

r

a

Φ

-jb

r

-Φ

z*


Círculo Unitário

-1= e -j180 = e j180 1 = e j0

Im

Re

ejΦ senΦ

1

cosΦ

Φ

-j = e -j90

j = e j90


e –jΦ

Círculo Unitário

1 = e j0 -1= e j180

Im

Re

ejΦ senΦ

1

cosΦ

Φ

-j = e -j90

j = e j90

-cosΦ

sen(-Φ)

1

Φ

Φ


Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) =

12

A e A e

R e A e

mj t

m* j t

mj t

$ $

$

ωωωω ωωωω

ωωωω

+RS|

T|

−d i

Valor instantâneo do sinal →→→→

Domínio do tempo →→→→

s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) Fasor associado a sinal senoidal:

$S A e Am

jm= =θθθθ θθθθ


CO-SENÓIDES E FASORES

Função co-senoidal no domínio do tempo: y t Y t Ym m( ) cos( ) ,= + > >ω θ ω 0 0

Fasor que a representa:

• Exprimir a função como parte real do complexo:

ℜ = ℜ+e Y e e Y e emj t

mj j t[ ] [ . ]( )ω θ θ ω

• O fasor representativo dessa função será definido por:

$ $ , arg $Y Y e Y Y Ymj

m= = =θ θ

• Notação de Kennely : $Y Ym= ∠θ

ângulo θ pode ser fornecido em graus ou radianos

freqüência ω deve ser dada à parte

o módulo e o ângulo do fasor são, respectivamente, a

amplitude e fase da função co-senoidal


CO-SENÓIDES E FASORES

Função co-senoidal representada por fasor: Dados um fasor e sua freqüência, determinar a

correspondente função do tempo :

• Escrever o fasor na forma exponencial:

$Y Y emj= θ

• Adicionar a informação de freqüência :

$ ( )Y e Y ej t

mj tω ω θ= +

• Tomar a parte real desta expressão:

y t e Y e Y tmj t

m( ) [ ] cos( )( )= ℜ = ++ω θ ω θ

O módulo e o ângulo do fasor são,

respectivamente, a amplitude e a defasagem da

função y(t)


R

i

v

$ $V RI=

C

i

v

v L

i

i v

t

$ $V1

j CI=

ωωωω

i

v

t

$ $V j LI= ωωωω

i

v

t


DIAGRAMAS FASORIAIS NOS ELEMENTOS BÁSICOS DE

CIRCUITOS Resistências - corrente e tensão em fase i V R v V = R I I

Indutâncias - corrente atrasada de π / 2 i V L v I V = j ω L I

Capacitâncias - corrente adiantada de π / 2 i I V = -j I /(ω C) C v V


I = GV Resistor V = RI

Capacitor I = j ωωωωCV V = – j 1 ωωωωC

I

I = – j 1 ωωωωL

V Indutor V = jωωωωLI

Impedância: Z = V / I Admitância: Y = I / V

Resistor Z = R Y = G

Capacitor Z = 1 jωωωωC

Y = jωωωωC

Indutor Y = 1 jωωωωL

V – I

Z = jωωωωL


f(t) = Amsin(ωωωωt + φφφφ) = Amcos (ωωωωt + φφφφ – 90o)

sin a = cos ( a – 90o ) * sin a = cos ( 90o – a ) a = ωωωωt + φφφφ

Co-senóide + DC →→→→

Valor Médio

vAB

t

VAB

t Componente Contínua DC

V1T

v dtAB AB0

T

= z

vab

t Componente incremental AC ( alternativa )

+


– Amp Op µµµµ →→→→ ganho de tensão

– Trafo ideal

– Girador ideal

v1 v2

i1 i2

-µµµµv1

v v

i2 1

1

= −=

RSTµµµµ

0

i1

v1

i2

v2

n1 : n2 v

nn

v

inn

i

22

11

21

21

=

= −

RS||

T||

n1 / n2 = relação de transformação

v1 v2

i2 i1 k v k i

v k i1 2

2 1

== −

RST




Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff




B6 B1 B2

B3 B4

B5

1

2 3

4

1

B1 B2

B3

B4

B5

B6

2

3

4

B6 B1 B2

B3 B4

B5

1

2 3

4


Problema da Ponte de Königsberg (1736)

Topologia

Leonard Euler (1707-1783)

Matemático suíço, produziu cerca de 900 monografias em matemática, música, astronomia, mecânica, ótica, etc...Viveu muito tempo em São Petesburgo (Rússia), protegido pela czarina Catarina, a Grande. Perdeu um olho, e sofreu de cegueira crescente.


GRAFOS

Número de nós = nt = 4 Número de Ramos = r = 6 Ramos de árvore = 3 Ramos de ligação = 3 Número de árvores =

nt (nt-2) = 16


DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO

• ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo

conexo que contém todos os nós + conjunto

de ramos suficiente para interligar os nós ⇒

nenhum percurso fechado.

• LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2

e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2

nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória

fechada.

• CORTE (ou conjunto de corte) (de grafo

conexo) : conjunto de ramos tal que se

todos são removidos, o grafo fica dividido

em 2 partes; se todos são removidos menos

1, o grafo se mantém conexo.


TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES

Grafo Conexo com n t nós e r ramos: • Há um caminho único entre qualquer

par de nós em uma árvore

• n = n t – 1 Ramos de árvores

l = r – n t + 1 Ramos de ligação

• cada ramo de ligação ⇒⇒⇒⇒ um único laço

fundamental

l laços fundamentais

• Cada ramo de árvore ⇒⇒⇒⇒ um único

corte fundamental

n cortes fundamentais


Planares Grafos Não-planares

Os grafos não-planares contêm como sub-grafo pelo menos um dos:

GRAFOS DE KURATOVSKY

5 nós 10 ramos

6 nós 9 ramos


1a. Lei : Correntes ( nós e cortes )

Gustav Robert Kirchhoff

(1824-1887)

Físico alemão, publicou seu trabalho sobre correntes e tensões elétricas em 1847. Realizou pesquisas com Robert Bunsen, que resultaram na descoberta do césio e do rubídio.

2a. Lei : Tensões ( laços e malhas )

± =∑ j tkk

( ) 0

± =∑ v tkk

( ) 0


• Aplicada a um nó:

• Aplicada a um corte:

j 1 j 2

j 3 j 4

– j1 + j2 + j3 – j4 = 0

j1 – j2 – j3 = 0

orientação do corte

j 1 j 2 j 3

n1

n2


Simulação com o PSpice

iD

iR iC

iD

iR

iC


iC + iR – iD = 0

iD = iC + iR

iD

iC iR

iD

iC

iR

t

t

t


Aplicada a laços : llll = no de ramos no laço

v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0

± = ∀=∑ v ti

i 1

b gl

0000 t

j1

v1 v2 v3

v4 v5 v6

j2

j3 j4

j5

j6


Simulação com o PSpice

eg

vD vR

eg

vD

vR

eg = vR + vD


Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) =

12

A e A e

R e A e

mj t

m* j t

mj t

$ $

$

ωωωω ωωωω

ωωωω

+RS|

T|

−d i

Valor instantâneo do sinal →→→→

Domínio do tempo →→→→

s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) Fasor associado a sinal senoidal:

$S A e Am

jm= =θθθθ θθθθ


1a Lei K.: em cada nó 2a Lei K.: em um laço

Exemplo: Linha Trifásica

± =∑ $Jk

k

0

± =∑ $Vk

k

0

v1(t) = Vm cos ( ωωωωt – 90o )

v2(t) = Vm cos( ωωωωt + 150o)

v3(t) = Vm cos ( ωωωωt + 30o )

$ $ $V V V 01 2 3+ + =

v2

v1 v3


a sin ωωωωt + b cos ωωωωt = c cos (ωωωωt + θθθθ )

= c cos ωωωωt cos θθθθ – c sin ωωωωt sin θθθθ a = – c sin θθθθ b = c cos θθθθ

c a b2 2= +

θθθθ = −FHGIKJarc tg

ab


s(t) = A1 cos (ωωωωt + θθθθ1) + A2 cos (ωωωωt + θθθθ2)

+ . . . . + An cos ( ωωωωt + θθθθn )

Então:

$A A1 1 1= θθθθ

$A A2 2 2= θθθθ

$A An n n= θθθθ

$ $ $ $S A A ... . A1 2 n= + + +


s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t)

si(t) sinais senoidais mesma frequência

Se s(t) = s1(t) . s2(t)

$ $ $ $S S S ... . . . S1 2 n= + + +

$ $ $S S . S1 2≠


Se: s (t) = A1cos (ωωωωt + θθθθ1) . A2cos (ωωωωt + θθθθ2)

Então:

Lembrar que:

$

$

A A

A A1 1

2 2

=

=

θθθθ

θθθθ1111

2222

$ $ $S A . A1 2≠

cosa .cosb12

cos a b12

cos a b= − + +b g b g


Tensão Corrente Resistência Condutância Indutância Capacitância Carga elétrica Fluxo magnético Aberto Curto

Carga elétrica Fluxo magnético

Indutância Capacitânciaa

Tensão Corrente

Resistência Condutância

Aberto Curto



Curso de Circuitos Elétricos

Volume 1 – Capítulo 3

Análise Nodal e suas Variantes; Análise de Malhas

L. Q. Orsini e D. Consonni Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres


ANÁLISE DE REDES

ANÁLISE NODAL ⇒⇒⇒⇒

1a. Lei de Kirchhoff em NÓS

ANÁLISE DE MALHAS ⇒⇒⇒⇒

2a. Lei de Kirchhoff MALHAS

ANÁLISE DE CORTES ⇒⇒⇒⇒

1a. Lei Kirchhoff CORTES

FUNDAMENTAIS

ANÁLISE DE LAÇOS ⇒⇒⇒⇒

2a. Lei Kirchhoff LAÇOS

FUNDAMENTAIS


Etapas da Análise Nodal

1.Definir ramos e nós

2.Escolher nó de referência (“terra”)

3.Definir tensões nodais

4.Aplicar a 1a. Lei de Kirchhoff a cada nó,

exceto o de referência

5.Exprimir as correntes de ramo em

função das tensões nodais

6.Ordenar as equações em relação às

tensões nodais

7.Compor a equação matricial

relacionando tensões nodais e excitações


ANÁLISE NODAL

Nó Genérico i:

1ª. Lei de Kirchhoff:

– j1 + j2 + ··· – jk = is1 – is2 Relações Constitutivas j / v (Lei de Ohm):

– G1v1 + G2v2 + ··· – Gkvk = is1 – is2 Relações tensões de ramo / tensões nodais: – G1(e1 – ei) + G2(ei – e2) + ··· – Gk(ek – ei) = is1 – is2 Resultado:

– G1e1 – G2e2 + (G1 + G2 + ··· + Gk)ei + ··· – Gkek = is1 – is2

e1

j2

G2 v2 j1 G1

v1

GK

vk

jk

is1 is2

ei

e2

ek

. . .


Sentidos de Referências (Flechas) de Correntes e Tensões nos Bipolos

São regras para Ligar Amperímetros

e Voltímetros:

i v

B

A B

V

+

+ -

-

v

i


Exemplo de Análise Nodal

1ª. Lei de Kirchhoff nos nós:

Nó 1 : j1 + j2 – is1 = 0

Nó 2: – j2 + j3 + is2 = 0

Relações Constitutivas j / v e relações tensão de ramo / tensões nodais:

j1 = G1v1 = G1e1

j2 = G2v2 = G2 (e1 – e2)

j3 = G3v3 = G3e2

Resultado: Nó 1 : G1e1 + G2e1 – G2e2 – is1 = 0

Nó 2 : – G2e1 + G2e2 + G3e2 + is2 = 0

Matricialmente: ( )

( )

G G G

G G G

e

e

i

is

s

1 2 2

2 2 3

1

2

1

2

+ −− +LNM

OQPLNMOQP

=LNMOQP

G e t in sn. ( )~ ~

=

is1

1 j2

G2 j1

G1 G3 is2 j3

2

0

v1

v2

v3


ANÁLISE NODAL DE REDES RESISTIVAS LINEARES

Equação Geral Gn - Matriz das condutâncias nodais

- vetor das tensões nodais

- vetor das fontes de corrente

Sistema Algébrico Linear

G e t i tn sn. ( ) ( )~ ~

=

e t~( )

i tsn~

( )


Exemplo de Análise Nodal

Equação matricial de análise nodal:

is1 is2

is3

G1 G2 G6

G3

G4 G5 e3 e1 e2

( )

( )

( )

G G G G G

G G G G G

G G G G G

e

e

e

i i

i i

s s

s s

1 3 4 4 3

4 4 5 6 5

3 5 2 3 5

1

2

3

1 3

2 3

0

+ + − −− + + −− − + +

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

=

+

−

L

N

MMM

O

Q

PPP


ANÁLISE NODAL r tensões e r correntes desconhecidas

• Exprimir r tensões de ramos em função das

(n-1) tensões nodais → 2a Lei de Kirchhoff

(n-1) tensões e r correntes desconhecidas

• Exprimir r correntes de ramos em função das

(n-1) tensões nodais → Lei de Ohm

(n-1) tensões desconhecidas

• Escrever (n-1) equações independentes e

resolver → 1a Lei de Kirchhoff

Quando ramo = fonte de corrente →

r tensões e (r-1) correntes desconhecidas

RESPOSTA


ANÁLISE NODAL EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL

- Matriz de admitâncias nodais

Admitâncias:

- vetor dos fasores das tensões nodais

- vetor dos fasores das fontes de

corrente nodais

Sistema de Equações

Algébricas Complexas

Y j E In sn( ). $ $

~ ~

ω =

$

~E

$

~

Isn

Y jn ( )ω

YI

V=

$

$ j Cω

1

j Lω G


Exemplo de Análise Nodal em RPS

i t t

I

so

so

( ) cos ( )

$

= +

= ∠

10 2 45

10 45

1 2 2

2 0 5 2 0 25 01

2

+ −− + −LNM

OQPLNMOQP =LNMOQP

j j

j j j

E

E

I s

, ,

$

$

$

$ ,

$ ,

E

E

o

o

1

2

6 22 49

6 83 65

= ∠

= ∠

is(t)

1ΩΩΩΩ 1S

2ΩΩΩΩ 0,5S

1F j2

2H 1/j4

E1

^

E2

^


ANÁLISE NODAL MODIFICADA

Incógnitas: 1 - Tensões nodais

2 - Correntes nos ramos

tipo impedância : - indutores - geradores ideais de tensão, independentes ou vinculados - correntes controladoras de geradores vinculados Equações:

1a. L. K. nos nós independentes 2a. L. K. nos ramos tipo

impedância


ANÁLISE NODAL MODIFICADA

Obtenção das Equações: • Aplicar a 1a. L.K. aos nós

independentes e eliminar as correntes

nos ramos tipo admitância, em função

das tensões nodais

• Aplicar a 2a. L.K. aos ramos tipo

impedância, mantendo suas

correntes como incógnitas

• Ordenar as equações, nos dois tipos

de incógnitas: tensões nodais e

correntes dos ramos tipo impedância


Análise Nodal Modificada

Redes Resistivas

Equações de 1 a.L.K. :

No. de equações = No. de nós independentes

Equações de 2 a.L.K. :

No. de equações = No. de ramos tipo impedância

G e B i in s. .~ ~ ~

+ =

F e R i es. .~ ~ ~

+ =

G B

F R

e

i

i

en

s

s−LNM

OQPLNMMOQPP

=L

NMMO

QPP

~

~

~

~

1a. L. K

2a. L. K


Análise Nodal Modificada

(Padrão SPICE)

• Ramos Tipo Impedância

• Ramos Tipo Admitância

V + –

eS

L L + – E

µvC

+ – H rmic

R R

C C

F βic

G gmvc

I is


Programa Computacional para Análise de Circuitos

• Descrição do Circuito (Entrada)

• Montagem da Matriz de ANM

• Solução do Sistema

• Saída da Solução Desejada


Ramos Típicos para Análise Computacional C.C. - SPICE

Ramo “R”

(RK ≠≠≠≠ 0)

RK

ei ef

jk

ei ef jk

IG Ramo “I”

+ – ei ef jk

VG Ramo “V”

+

– VCONT

Ramo “F”

ic

ei

ef

jk

ββββic

Ramo “G” ei

ef

jk

gmvc

ec

et

vc

Ramo “H”

+

– VCONT

ic

ei

ef

jk

rmic + –

Ramo “E” ei

ef

jk

µµµµvc

ec

et

vc + –


Programa PSPICE

Ramos para Análise C.A.

“C”

“L”

ei ef

CK jk LK

ik ei ef

Ramo “C”: Ramo “L”:

( ik é corrente incógnita )

$ ( $ $ )J j C E Ek i f= − ω

$ $ $E E j L Ii f k− − = ω 0


Análise Nodal em Redes Não-Lineares

Diodos k=1,2

1a. Lei de Kirchhoff nos três nós independentes:

iG G1 G2

D1 D2

e3 e2

e1

iD1 iD2 v2 v1

i I eDk skvk= − ( λ 1)

G e e G e e i

G e e I e

G e e I e

G

se

se

1 1 2 2 1 3

1 2 1 1

2 3 1 2

2

3

1 0

1 0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

− + − =

− + − =

− + − =

λ

λ


DUALIDADE

Tensão ↔ Corrente

Resistência (R) ↔ Condutância (G)

Indutância (L) ↔ Capacitância (C)

Carga Elétrica (Q) ↔ Fluxo Magnético (ψ)

Aberto ↔ Curto

Impedância (Z) ↔ Admitância (Y)

Série ↔ Paralelo

Nó ↔ Malha


ANÁLISE NODAL ANÁLISE DE MALHAS

Nós Malhas

Nó de Referência Malha Externa

Incógnitas :

tensões nodais correntes de malha

1a. Lei de K. 2a.Lei de K. aos nós não de às malhas, referência exceto externa

Relações i/v Relações v/i nos ramos nos ramos Tensões nos Correntes nos ramos → ramos → tensões nodais correntes de

malhas Fontes de Fontes de

corrente tensão


MALHAS DE REDES PLANARES

Malhas internas são laços que não

contém nenhum ramo em seu interior.

- correntes de malha

A cada malha interna se atribui uma

corrente de malha .

malhas internas

malha externa


ANÁLISE DE MALHAS

Gráfico Planar

I

II III

1

2 3

4 5

6

i I

i II

i III

malha I : 1,4,5 malha II : 2,5,6 malha III : 3,4,6 malha externa : 1,2,3 Relações corrente de ramo/correntes de malha:

j1 = iI j4 = iI - iIII j2 = iII j5 = iII - iI j3 = iIII j6 = iIII - iII


Etapas da Análise de Malhas

1.Definir as malhas da rede planar

2.Atribuir uma corrente de malha a cada

malha independente

4.Aplicar a 2a. Lei de Kirchhoff a cada

malha independente

5.Eliminar as tensões, usando relações

constitutivas v/j

6. Exprimir as correntes de ramo em

função das correntes de malha

7.Ordenar as equações em relação às

correntes de malha

8.Compor a equação matricial

relacionando correntes de malha e

excitações


ANÁLISE DE MALHAS DE REDES RESISTIVAS LINEARES

Equação Geral

Rm - Matriz das resistências de malha

- vetor das correntes de malhas

- - vetor das fontes de tensão

Sistema Algébrico Linear

R i t e tm sm. ( ) ( )~ ~

=

~

( )i t

e tsm~

( )


ANÁLISE DE MALHAS RPS

Exemplo

Impedâncias:

3H

j6ΩΩΩΩ

-j0,25ΩΩΩΩ 2F 2ΩΩΩΩ

10∠∠∠∠45454545οοοο

ω = 2 2ΩΩΩΩ 5ΩΩΩΩ $I1$I2 $I3

ZV

I=

$

$

j Lω 1

j Cω

7 5 0

5 7 0 25 2

0 2 2 6

10 45

0

0

1

2

3

−− − −

− +

L

N

MMM

O

Q

PPP

L

N

MMM

O

Q

PPP

∠L

N

MMM

O

Q

PPP

j

j

I

I

I

o

,

$

$

$

=

$

$

$

, ,

, ,

, ,

I

I

I

o

o

o

1

2

3

2 995 41 76

2 120 38 81

0 696 32 75

L

N

MMM

O

Q

PPP

∠∠

∠ −

L

N

MMM

O

Q

PPP

=

R



Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 - Capítulo 4

Redução de Redes e

Aplicações Tecnológicas de Redes Resistivas



ASSOCIAÇÕES SÉRIE Req = R1 + R2 Geq = G1 . G2 G1 + G2

Leq = L 1 + L2

Ceq = C1 . C2 C1 + C2

ASSOCIAÇÕES PARALELO

Req = R1 . R2 R1 + R2 Geq = G1 + G2 Leq = L 1 . L2 L1 + L2 Ceq = C1 + C2

R1 R2

G1 G2

L1 L2

C1 C2

R1

R2

G1

G2

L2

L1

C1

C2


L 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 24ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

L

12ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

( a ) ( b )

12ΩΩΩΩ 12ΩΩΩΩ

L 12ΩΩΩΩ 12.24

12 248

+=

( c )

12ΩΩΩΩ

L 12ΩΩΩΩ 20ΩΩΩΩ

( d )

( f )

12ΩΩΩΩ

L 12.20

12 20152+

= L 12152

392

+ = ΩΩΩΩ

( e )


DIVISÃO DE TENSÃO

v2 = v0 . R2

R1 + R2 = i

DIVISÃO DE CORRENTE

i2 = i0 . G2 = i0 . R1 G1 + G2 R1 + R2 = v

R1

R2 v2 v0

i

G1 G2

i0 i2

v


FONTES EQUIVALENTES

v = es – Rs. i i = i s – v / Rp

⇒ v = Rp . i s – Rp . i

es – Rs . i = Rp. i s – Rp . i

válido para ∀∀∀∀v e ∀∀∀∀i SE :

Rp = Rs

Rp.i s = es

is Rp v

i

es v

i Rs


µµµµv

R

µµµµv R

R

R

gmv

R gmv R


FONTES POTENCIALMENTE DUAIS

FONTES ESTRITAMENTE DUAIS es = is

R = G

is G v

i

es v

i R


i

es

Rs

v is

i

Rp v

Rp = Rs es = Rp is

es

Ls

is Lp

d ( is(t) ) dt

Lp = Ls

es(t) = L

es

Cs

is Cp

Cp = Cs

is(t) = C

d ( es(t) ) dt


Teorema da Máxima Transferência de Potência

Rs fixo

Potência na carga R L :

pLmax. ocorre para RL = Rs →→→→ condição de carga casada

pv

R

e R

R RLL

s L

s L

= =+

2 2

2

.

( )

pe

RLs

smax .

=2

4 η = =p

pL

total

50%

Rendimento :

v es

Rs

RL

i

is

RL Rs


r E = 10V

R = 1

r

Pr


Tensão

a’ es

i1

a

d

c

b

i2

i3 es

i1

a

d

c

b

i2

i3

es

es

a’

i1 b

a’

es

a c i2

d i3

es

es

a

b

c d

e

is a

b

c d

e

is

is is

is

Corrente


R10

e1

R20 R30

e2 e3

R12

e1

R23

R31

e2 e3

R10 = R12 R31 R∆∆∆∆

R20 = R12 R23 R∆∆∆∆

R30 = R31 R23 R∆∆∆∆

R∆∆∆∆ = R12 + R23 + R31

R12 = R10 R20 RY

R23 = R20 R30 RY

R31 = R30 R10 RY

GY = G10 + G20 + G30

RY = 1 GY

Para R10 = R20 = R30 então Restrela = Rtriângulo 1 3


LINEARIDADE

Elemento

Linear

• HOMOGENEIDADE :

K. x(t) →→→→ K. y(t)

• ADITIVIDADE : Então :

Se : x1(t) →→→→ y1(t) x 1(t) + x 2(t) →→→→ x2(t) →→→→ y2(t) y1(t) + y2(t)

CONSEQÜÊNCIAS :

Proporcionalidade entre excitação e resposta

Superposição

K1. x1(t) + K 2. x2(t) →→→→ K1. y1(t) + K 2. y2(t)

x(t) y(t)


TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

REDE LINEAR VÁRIAS EXCITAÇÕES RESPOSTA = ∑ respostas devidas a cada gerador independente, com os demais desativados Fonte de Tensão = curto-circuito Fonte de Corrente = circuito aberto ATENÇÃO : Nunca inativar gerador vinculado


TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON

REDE LINEAR FIXA Ro = eo io = eo

io Ro

eo

Ro

v

i

io Ro v

i

R

R

R

v

i

v

i

R

is

es

Req v

i


Leon-Charles Thévenin (1857-1927)

Engenheiro telegráfico, oficial e educador francês (École Polytechnique), famoso por seu teorema publicado em 1883. Trabalhou ativamente no estudo e projeto de sistemas telegráficos (incluindo transmissão subterrânea), capacitores cilíndricos e eletromagnetismo.

Edward L. Norton (1898-1983)

Engenheiro elétrico, cientista e inventor americano, da Bell Laboratories. Propôs em 1926, na AT&T, o dual do teorema de Thévenin, para facilitar o projeto de instrumentos de gravação, operados por corrente. Realizou pesquisas nas áreas de circuitos, sistemas acústicos, telefonia e transmissão de dados. Obteve 19 patentes com seus trabalhos.


TEOREMAS DE THÉVENIN E DE NORTON

Rede “Morta” = Rede linear inativada

e0 = tensão em aberto produzida pela rede linear entre

os terminais A e B

i0 = corrente de curto produzida pela rede linear entre

os terminais A e B

Rede Linear

Rede

Arbitrária v

i A

B

B

Rede “Morta”

Rede “Morta”

Rede

Arbitrária

Rede

Arbitrária

v

v

i

i

A

A

B e0

i0

Thévenin:

Norton:


Aplicação dos Teoremas de

Thévenin e Norton

1- Circuito com Resistores e Geradores independentes:

®Calcular eo ou io com geradores ativados

®Calcular Ro com geradores desativados

2- Circuito com Resistores e Geradores vinculados (nenhum gerador independente)

® eo = io = 0

®Calcular Ro impondo tensão e calculando corrente (ou

vice-versa)

3- Circuito com Resistores e Geradores vinculados e

Geradores independentes

® Calcular eo

® Calcular io

® Calcular Ro = eo / io


ATENUADORES RESISTIVOS

• quadripolos resistivos

• tensão de saída vo é uma fração

conhecida da tensão de entrada v i

Tipos de atenuadores resistivos

• Lineares

• Logarítmicos

• Resistência característica constante

v i vo Atenuador


ATENUADOR RESISTIVO LINEAR

Atenuação com a chave na

k-ésima posição:

∑

∑

=

===f

ii

k

ii

i

kk

R

R

v

vA

1

1

Rf

Rk

R1

vi

vk

f f-1 k k-1 1


ATENUADOR RESISTIVO LOGARÍTMICO

Atenuação em decibéis (dB) com a chave

na k-ésima posição:

v i

vo

R0

R1

Rk

Rn

RF

A dBv

vko

i

( ) .log=FHGIKJ20


EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR LOGARÍTMICO

Atenuação/passo= -6 dB Dados No. passos: n=3 Resistência total: RT = 100kΩ

• Cálculo de N (atenuação por passo):

k=1 A1 = 20 logN=-6 N=0,501

• Cálculo de R0 :

R N RT0 1= −( ) = 49,9 kΩ

• Cálculo das resistências intermediárias:

R NR ii i+ = =1 0 1, ,

R N R k

R NR k1 0

2 1

25

12 53

= == =

RSTΩ

Ω,

• Cálculo de RF :

R R R R R kF T= − + + =( ) ,0 1 2 1257 Ω


ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE

Quadripolos que, terminados pela

resistência característica Rc,

apresentam à entrada a mesma

resistência Rc

Atenuação k = v2 / v1

Resistência característica: RC

RC v1 v2 RC


EXEMPLO DE CÁLCULO DE ATENUADOR DE RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA CONSTANTE

Atenuador em “T”

• Atenuação: k= 0,1

• Resistência característica: RT = 50 Ω Cálculo dos resistores:

Rk

kR

Rk

kR

S T

p T

= −+

= −+

=

=−

=−

=

1

1

1 0 1

1 0 150 40 91

2

1

0 2

1 0 0150 10 102

.,

,. ,

.,

,. ,

Ω

Ω

v2 v1

RT




Estudo de Redes de Primeira Ordem



CIRCUITO LINEAR INVARIANTE NO TEMPO

Modelo Matemático

Equação Diferencial Ordinária Linear e a

Coeficientes Constantes

f(t) = função dada

R

L

C

ENTRADA SAÍDA

f(t) y(t)

aod y

dt

d y

dt

n

n a a yn

n n + + + = f (t)1

1

1

−

− ...


F ( x , y , y’, y”, . . . . . y(n) ) = 0

•••• Ordinárias : F ( x , y(x), y’(x), . . . . yn(x) ) = 0 ordem n

•••• Lineares : C0(x) yn(x) + C1(x) yn-1(x) + . . . . + Cn(x) y(x) = f(x)

•••• Coeficientes Constantes : C0(x) = C0 C1(x) = C1 . . . . . Cn(x) = Cn constantes •••• 1a Ordem : A0 y’ + A1 y = f(x)

A0 + A1 y = f(x)

dy dx

Solução : y(x)


ordinária – ordem 2 não-linear – 4o grau coeficientes constantes

∂∂

= ∂∂ ∂FHGIKJ +

3

3

2 4y

xy

x tx tsin y tb g

derivada parcial ordem 3

2xd ydx

dydx

1y

2

2

2

+FHGIKJ =

ordinária não-linear coeficientes variáveis

d ydx

dydx

2

2

4FHGIKJ =

d ydx

xdydx

y tanx4

4

2

3+FHGIKJ − =

ordinária não-linear coef. variáveis

d ydx

a y sin x+ =

a ∈∈∈∈ RRRR

ordinária – ordem 1 linear coeficientes constantes


A0 + A1 x(t) = f(t)

A0 , A1 – coeficientes dependentes dos parâmetros do circuito

t – variável independente →→→→ tempo x(t) – resposta do circuito ( tensão ou corrente ) f(t) – depende da excitação do circuito Forma Padronizada :

x(t) + a x(t) = f(t)

dx dt


E. D. O. L. C. C. Completa : E. D. O. L. C. C. Homogênea:

Solução da Equação Completa = Solução Geral da Equação Homogênea

+ Solução Particular da Equação Completa

ad ydt

ad ydt

. . . . a y f t0

n

n 1

n 1

n 1 n+ + + =−

− b g

ad ydt

ad ydt

. . . . a y 00

n

n 1

n 1

n 1 n+ + + =−

−


( 1a Ordem )

Solução do P.V.I. :

x(t) tal que : 1 – Satisfaz à equação diferencial

2 – Passa pelo ponto ( x0 , t0 )

&x t ax t f t

x t condição inicial0 0

b g b g b gb g

+ =

= =

RS|T| x


( 1a Ordem ) 1 – Determinar raízes da equação característica

s + a = 0 →→→→ s1 = – a

2 – Determinar solução geral da equação homogênea

Sistema Livre f ( . ) = 0

A = constante de integração

x t A ehs t1b g =


( 1a Ordem ) 3 – Achar solução particular φφφφ ( t ) da equação completa 4 – Solução da equação completa : x(t) = xh(t) + φφφφ(t) = A e – at + φφφφ(t)

5 – Determinar a constante de integração

x 0

at

0A e t0= +− φφφφ b g

A e tat

0 00= −x φφφφb gc g


x(t) =

x t e t0 0a t t0− +− −φφφφ φφφφb g b gb g

1 24444 34444 123

Resposta Transitória Resposta Permanente

x(t) =

x e t e t0a t t

0a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g

1 24 34 1 244444 344444φφφφ φφφφ

Resposta Livre Resposta Forçada

( Entrada Zero ) ( Estado Zero )


x t x t e t0 0a t t0b g b g b gb g= − +− −φφφφ φφφφ

1 24444 34444 123

Transitória Permanente

x(t) =

x e e t0a t t a t t0 0− − − −+ − +b g b gb g b g

1 24 34 1 244444 344444φφφφ φφφφt0

Livre Forçada

x(t) =

x e e f d0a t t a t

t

t0

0

− − − −+ zb g b g b g1 24 34

1 24444 34444

λλλλ λλλλ λλλλ

Livre Forçada


Comportamento Livre

L R

i

i0 vL vR ττττ = L / R

ii0

t

i(t) = i0 e – t/ττττ

vL

–Ri0

t

vL = L di dt

vL(t) = – Ri0 e – t/ττττ

vR

Ri0

t

vR = R i

vR(t) = R i0 e – t/ττττ


•••• Respostas Livres : – Exponenciais decrescentes a partir de valor inicial. – Constante de tempo : L / R

•••• Energia inicialmente armazenada no indutor →→→→ Dissipada no resistor

•••• Indutor opõe-se à variação brusca de de corrente →→→→ provoca atraso no tempo para que se estabeleça o equilíbrio.

•••• Aumentar atraso →→→→ Aumentar ττττ →→→→ Aumentar L →→→→ Diminuir R


Resposta ao Degrau

ττττ = L / R es L

R i

i0 vL vR

es E

t i

E/R

t i0

i(t) = ( i0 – E/R )e – t/ττττ + E R

es(t) = E . H(t)

vR

E

t Ri0

vR(t) = ( Ri0 – E ) e – t/ττττ + E

vL

t

vL(t) = ( E – Ri0 ) e – t/ττττ

E – Ri0


i t i E R e E R0

t t 0

b g b g :b g

= − +− −

ττττ1 2444 3444

t

i

i0 t0

i0 – E R

transitório

i

i0

t0 t

i0

E R

t0

i

entrada zero ( livre )

estado zero ( forçada )

i t i eER

1 e0

t t t t0 0

b gb g b g

= + −FHG

IKJ

− − − −ττττ ττττ

t

i

i0

E R

t0

permanente

t


Resposta ao Pulso

es L

R i es

0 t

E

T

i

t T

E/R

ττττ

i t 1 eER

0 t T

i t 1 eER

e t T

t

T t T

b g c h b g

b g c h b gb g

= − ≤ ≤

= − >

R

S|||

T|||

−

− − −

ττττ

ττττ ττττ


Resposta ao Impulso

es L

R i

vL vR

es ( ψψψψ )

t

es(t) = ψψψψ δδδδ(t)

i t iL

e0tb g = +

FHG

IKJ

−ψψψψ ττττ

i i0 + ψψψψ/L

t i0

v t R iL

eR 0tb g = +

FHG

IKJ

−ψψψψ ττττ

vL ( ψψψψ )

t –R ( i0 + ψψψψ/L )

t

vR R ( i0 + ψψψψ/L )

v t t

R iL

e

L

0t

b g b g= −

− +FHG

IKJ

−

ψψψψ δδδδ

ψψψψ ττττ


•••• Indutor em t = t0 opõe-se à variação de corrente i = i0 •••• Para excitação contínua ( C.C. ) em t →→→→ ∞∞∞∞ indutor vira curto-circuito vL →→→→ 0

•••• Impulso de tensão →→→→ provoca fluxo magnético instantâneo ψψψψ →→→→ produz descontinuidade de corrente no indutor : ψψψψ/L


Impedância : Z ( j ωωωω ) = R + jωωωωL

i(t) = A e – t/ττττ + ip(t)

•Impor i ( t0 ) = i0

→→→→ Determinar A

es L

R i(t)

~ es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ )

$E E em m= jθθθθ

• Resposta Permanente

$ $I1

R j LEm m=

+ ωωωω

• Resposta Completa

$I cos tm ωωωω ψψψψ+b g


– Derivada da parte real de um complexo = parte real da derivada – Parte real da soma de complexos = soma das partes reais


es(t) = Em cos ( ωωωωt + θθθθ )

Para não haver transitório : Forçada = Permanente se : ψψψψ = 90o

i(t) =

i I cos e I cos t0 m

RL

t

m− + +−

$ $ψψψψ ωωωω ψψψψe j b g1 24444 34444 1 2444 3444

Transitória Permanente

i(t) =

i e I e I cos t0

RL

t

m

RL

t

m

− −

− + +124 34 1 24444444 34444444

$ cos $ψψψψ ωωωω ψψψψb gLivre Forçada

i I cos0 m= $ ψψψψ


EXEMPLO

es(t) 3H

6ΩΩΩΩ i(t)

~ es(t) = 12 cos 2t

i ( 0 ) = 2A

i0 = 2 A

i I cos 1 A0 m− =$ ψψψψ

0

2

1

–1

–2

21 3 4 5

t ( seg)

i(t)

i0 →→→→

ip

it

i = it + ip


RC paralelo Dual do RL série Equação : 1a Lei de Kirchhoff →→→→

C + = is + v =

Comportamento Livre v(t) = v0 e

– t / ττττ ττττ = RC energia armazenada no capacitor →→→→ dissipada no resistor

ou is R

iR

C iC

v0 v es C

R

v

es = isR

dv dt

v R

dv dt

1 RC

is

C

v

R

iR

C

iC

v0

v

v0

t

iR

t

v0

R

iC t

-v0

R


Comportamento Forçado Resposta ao Degrau

is(t) = I . H ( t – t0 ) v ( t0 ) = v0

t0 = 0 v ( t ) = R I + A e

– t / ττττ A = v0 – RI

v ( t ) = RI + ( v0 – RI ) e – t / ττττ

Para o circuito série : E = RI v ( t ) = E + ( v0 – E ) e – t / ττττ

es C

R

v(t)

vR

es

E

t

v

v0 t

RIs

vR

t

RIs – v0


Resposta ao Degrau

is C R v0

iR iC

v

is

I

t

v

v0 t

RI

is = I H ( t )

v = ( v0 – RI ) e – t / ττττ + RI

iR

v0/R t

I

iR = ( – I ) e – t / ττττ + I v0 R

iC

t

( I – v0/R ) iC = ( I – ) e – t / ττττ v0 R


Resposta ao Impulso

is(t) = Q δδδδ ( t ) ( A, s )

v ( 0+ ) = v ( 0 – ) +

v ( t ) = ( v ( 0 – ) + Q/C ) e – t /ττττ

Excitação Senoidal is(t) = Im cos ( ωωωωt + θθθθ )

RPS:

Q C

$I I em mj= θθθθ

$ $V1

1R

j CIm m=

+ ωωωω

Y jI

V

1R

j Cm

m

ωωωω ωωωωb g = = +$

$

Admitância complexa :

Resposta completa :

v t A e v ttp

V cos tm

b g b gb g

= +−

+

ττττ

ωωωω ψψψψ$

123

impor v ( t0 ) = v0


Circuito RC

Resposta Completa com Excitação Senoidal

ττττ = 1ms f = 1 kHz v


Resposta Permanente Senoidal :

Frequência de corte superior:

ωωωωC = =

es C

R

v

ττττ = RC

es

E

t

T Bom integrador

ττττ > > T

v

t

v

t

G1

1 R Cv 2 2 2

= =+

$

$

V

Es ωωωω

1 RC

1 τ

1

ωωωωC ωωωω

Gv

1 2

T

E


Resposta Permanente Senoidal : Frequência de corte inferior: ωωωωC = =

es

E

t

T Bom diferenciador :

ττττ < < < T

es

C

R v

ττττ = RC

v

t t

GR C

1 R Cv 2 2 2

= =+

$

$

V

Es

ωωωωωωωω

1 RC

1 τ

Gv

1

ωωωωC ωωωω

1 2

E

E


Circuito RC série

Diferenciador Integrador

ve vs ve vs

ve

vs

vs

vs

ττττ > > > Tp

ττττ ≈≈≈≈ Tp

ττττ < < < Tp


I – Constante de Tempo : – Inativar geradores independentes – Determinar resistência “vista” pelo elemento armazenador de energia – Calcular cte de tempo : L/R ou RC

II – Resposta Transitória – Comportamento Livre, Modo Natural A e – t / ττττ

III – Resposta Permanente – Depende da função de excitação IV – Transitória + Permanente – Impor condição inicial →→→→ Determinar A

– Condições iniciais :

t tC curto

L aberto0=RST

tC aberto

L curto= ∞RST

( para excitação contínua )


I – Função excitação definida por segmen- tos →→→→ Descontinuidades

– Aplicar “receita” para cada segmento

– Ajustar constantes admitindo as condi- ções finais de um segmento como condi- ção inicial para o próximo : ( v em C ou i em L ) II – Circuito modificado por operação de

chaves Idem

OBS.: Chaveamento de indutores ou capacitores →→→→ tensões ou correntes impulsivas →→→→ Estudo por Laplace III – Excitações Impulsivas →→→→ Descontinuidades de tensão em capacitores correntes em indutores


Excitação : is (t)

Resposta : v(t)

Degrau Impulso

(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S. Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)


Excitação : es (t)

Resposta : i(t)

Degrau Impulso

(tabela extraída de “Teoria Básica de Circuitos”, C .A. Desoer, E.S.

Kuh, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979)





Estudo de Redes de Segunda Ordem

L Q. Orsini e D. Consonni



Equação diferencial ordinária, linear, coeficientes constantes, 2a ordem

Sistemas de 2 equações de 1a ordem R , L , C 1 malha ou 1 par de nós Redes R + 2C , R + 2L

Duas condições iniciais

v0 resposta ( t0 )

i0 derivada da resposta ( t0 ) Aplicações : Circuitos sintonizados Filtros passa-banda Modelos de circuitos reais


Ciclo de Freqüência ω 0

1=LC

, Ciclo de freqüência:

+++

+++

++

++

- - -

- -

- - -

- -

++

++ - -

- -

i

i

i

i

i

i

v

v

v

v

v

v

ω 0

1=LC


Comportamento Livre es = 0 is = 0

Condições iniciais i ( t0 ) , vC ( t0 ) v ( t0 ) , iL ( t0 ) Equação característica

es i R

vC

2a L. K.

L C

Série Paralelo

is iL

G v

1a L. K.

L C

Ldidt

Ri1C

idt es+ + =zd i

dt

RL

didt

1LC

i =1L

dedt

2

2s+ +

Cdvdt

Gv1L

vdt i s+ + =zd vdt

GC

dvdt

1LC

v =1C

didt

2

2s+ +

sRL

s1

LC02 + + =

αααα R 2L

ωωωω 00002222 1 L C

sGC

s1

LC02 + + =

αααα G 2C

ωωωω 00002222 1 L C


raízes ou auto-valores ou freqüências complexas próprias •••• s1 ≠≠≠≠ s2 Distintos Solução geral : •••• s1 = s2 Duplos

Solução geral :

s 2 s 02 + + =αααα ωωωω 00002222

s1, 22

02= − ± −αααα αααα ωωωω

A e1s t1 , A e2

s t2

A e A e1s t

2s t1 2+

A e1s t1 , A t e2

s t1

A e A t e1s t

2s t1 1+


Comportamento Livre Constantes de integração : para s1 ≠≠≠≠ s2

i ( 0 ) = I1 + I2

L + R i(0) + v(0) = 0 ⇒⇒⇒⇒ = i(0) – i(0) – = s1I 1 + s2I 2

2 equações 2 incógnitas

i t I e I e

ou

i t I e I t e

1s t

2s t

1s t

2s t

1 2

1 1

b g

b g

= +

= +

RS|

T|

d i(0) dt

d i(0) dt

–R L

v(0) L

1

2 –R L

v(0) L

2a Lei K :


Constantes de integração : para s1 = s2

2 equações 2 incógnitas

i 0 I

RL

i 0v 0

Ls I I

1

1 1 2

b gb g b g=

− − = +

RS|T|

1

2


1 – Circuito Super – Amortecido s1, 2 = – αααα ±±±± ββββ

Solução: ∑∑∑∑ 2 exponenciais decrescentes

s 2 s 0202+ + =αααα ωωωω

s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222

α ω202>

R 2LC

>

ββββ αααα ωωωω= −202

i t I e I e1s t

2s t1 2b g = +

i

t

i0

i t e i cosh t sinh tvL

sinh tt0

0b g b g b g b g= −FHG

IKJ −

LNM

OQP

− αααα ββββααααββββ

ββββββββ

ββββ


2 – Circuito Oscilatório:

( complexos conjugados )

a) i(t) = Im e – αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ )

ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2s1, 2 = – αααα ±±±± j ωωωωd

R 2LC

<

α ω202< ou

i t I e e I e e1t j t

2t j td db g = +− − −αααα ωωωω αααα ωωωω

I I1 2*=

s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222


i t 2Re I e e1j tdb g = −α t ωωωω

I i i1

Lvm 0

2

d0

d0

2

= + +FHG

IKJ

ααααωωωω ωωωω

ψψψψωωωω

ααααωωωω

= +FHG

IKJarc tg

vL i

0

d 0 d


b) i(t) = B1 e

– αααα t cos ωωωωd t + B2 e – αααα t sin ωωωωd t

B1 = i0

B iv

L2d

00

d

= − −ααααωωωω ωωωω

T2

dd

= ππππωωωω

t

i e – αααα t

ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2


a) αααα = 0 ωωωωd = ωωωω0 LC ideal

b) αααα <<< ωωωω0 →→→→ ωωωωd ≈≈≈≈ ωωωω0 circuito altamente oscilatório

Índice de Mérito : Q0 ωωωω0 L / R

i t iCL

v cos t02

02

0b g b g= + +ωωωω ψψψψ

ψψψψ =FHG

IKJarc tg

CL

vi

0

0

i t iCL

v e cos t02

02 t

0b g b g≅ + +−αααα ωωωω ψψψψ

αααα ωωωωαααα

= ⇒ =R2L

Q20

0

Q →→→→ energia armazenada energia dissipada


3 – Amortecimento crítico αααα = ωωωω0 ⇒⇒⇒⇒ s1 = s2 = – αααα Solução : i(t) = I1 e

– αααα t + I2 t e – αααα t

Impondo as condições iniciais :

s1, 2 = − ± −αααα αααα ωωωω222200002222


R 2LCC =

i t 1 t i1L

v t e0 0tb g b g= − −

LNM

OQP

−αααα αααα

i

t

i0


Comparação das respostas livres dos Circuitos de 2 a ordem

Time

0s 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10sI(R1) I(R2) I(R3)

-0.5A

0A

0.5A

1.0A

Oscilatório ou sub-amortecido

Amortecimento crítico

Super-amortecido

F

R1 = 1 ΩΩΩΩ R2 = 2 ΩΩΩΩ R3 = 4 ΩΩΩΩ


•••• Resposta livre F C P s1 , s2 •••• s1 , s2 reais Super-amortecido ts grande •••• s1 , s2

Resposta oscilatória amortecida

αααα coeficiente de amortecimento

ωωωωd freqüência angular amortecida

ωωωω0 freqüência angular não-amortecida

Pulso Bidirecional

Tempo de amortecimento: ts

complexos


RLC Série RLC Paralelo Q0 = ωωωω0 / 2αααα

Q0 = ωωωω0 L / R Q0 = ωωωω0 C / G Q0 = ωωωω0 RC Q0 = R /ωωωω0 L 1 – Super-amortecido 2 – Amortecimento crítico 3 – Oscilatório ou Sub-amortecido

C G is L C R

es L

αααα G 2C

ωωωω 00002222 1 L C

αααα R 2L

ωωωω 00002222 1 L C

ωωωω ωωωω ααααd 02= − 2

R12

L C<

R R12

L CC= =R R 2 L CC= =

R 2 L C>

R < RC R > RC


Resposta Natural 1 – 2 – f(t) = Bm e

- αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ ) ou ( B1 cos ωωωωd t + B2 sin ωωωωd t ) e

- αααα t

sub-amortecido / oscilatório 3 – f(t) = ( D1 t + D2 ) e

- αααα t

f(t) →→→→ tensão ou corrente

f t A e A e1s t

2s t1 2b g = +

super-amortecido

amortecimento crítico


Resposta ao degrau es(t) = E H(t)

Como circuito livre mas com condição inicial = v0 – E

a) Super-amortecido Se i0 = v0 = 0

i(t) = e – αααα t sin h ββββ t b) Oscilatório i0 = v0 = 0

i(t) = e – αααα t sin ( ωωωωd t ) c) Amortecimento crítico i0 = v0 = 0

didt

RL

i1

LCidt

1L

vEL0+ + + =z

didt

RL

i1

LCidt

1L

v E 00+ + + − =z b g

ou t > 0

i(t) e i cosh tb

sinh tv E

Lsinh tt

00= −

FHG

IKJ −

−LNM

OQP

− αααα ββββ αααα ββββββββ

ββββb g

E ββββL

E Lωωωωd

E L

i(t) = t e – αααα t


Resposta ao Degrau 1 – 2 – f(t) = fp + Bm e – αααα t cos ( ωωωωd t + ψψψψ ) e – αααα t ou f(t) = fp + ( B1 cos ωωωωd t + B2 sin ωωωωd t ) e

– αααα t oscilatório 3 – f(t) = fp + ( D1t + D2 ) e

– αααα t f(t) →→→→ tensão ou corrente fp →→→→ valor final da resposta desejada

f t f A e A ep 1s t

2s t1 2b g = + +

super-amortecimento

amortecimento crítico


RLC Série RLC Paralelo

Resposta ao Impulso

EH(t) C R L i

t →→→→ ∞∞∞∞ vC →→→→ E vR →→→→ 0 vL →→→→ 0

L curto C aberto

i →→→→ 0

I H(t) C R v L

t →→→→ ∞∞∞∞ iC →→→→ 0 iR →→→→ 0 iL →→→→ I

v →→→→ 0

t > 0 →→→→ Comportamento livre

Degrau de corrente no indutor = ψψψψ/L

es(t) = ψψψψ δδδδ(t)

RLC série

Degrau de tensão no capacitor = Q/C

is(t) = Q δδδδ(t)

RLC paralelo


CIRCUITO RLC SÉRIE

Excitação Senoidal

Resposta Completa : Transitória + Permanente depende das Fasores, FCP Impedâncias

Oscilatório :

$E = E s ∠ θ

R

L

C

es i(t)

Z jE

IRs( )ω ω

ω= = + j L +

1j C

r

r

i tp ( ) ) = Re ( I ej tr ω

i t tt t( ) cos( ) = A e + A e + I1s

2s

1 2

rω θ φ+ −

i t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = I + I1

− + + −α ω θ ω θ φ1

r


CIRCUITO RLC PARALELO

Excitação Senoidal

Resposta Completa : Transitória + Permanente depende das Fasores, FCP Admitâncias

Oscilatório :

$I = I s ∠ θ

Y jI

VGs( )ω ω

ω= = + j C +

1j L

r

r

v tp ( ) ) = Re ( V ej tr ω

v t tt t( ) cos( ) = A e + A e + V1s

2s

1 2

rω θ φ+ −

v t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = V + V1

− + + −α ω θ ω θ φ1

r

R L C v(t) is


Circuito RLC

Transitório com excitação senoidal Oscilatório :

a) ω ωd ≈ 4 b) ω ωd ≈ 0 2,

v t e t ttd( ) cos( ) cos( ) = V + V 1

− + + −α ω θ ω θ φ1

r

a)

b)


Circuito RLC

Transitório com Excitação Senoidal

ωωωω<ωωωωd

ωωωω≈≈≈≈ωωωωd

ωωωω>ωωωωd


Soma de 2 senóides de freqüências

próximas : ω ω1 2≈

Período de Batimento

Resultado: Senóide de freqüência

ω ω1 2

2

+

com Envoltória : Senóide de freqüência

ω ω1 2

2

−

Freqüência de Batimento: ω ω1 2−


φφφφ = arc tg [ ( ωωωωL – 1/ωωωωC ) / R ]

Para ωωωω = ωωωω0 = φφφφ = 0 →→→→ e em fase Z = R →→→→ impedância puramente resistiva →→→→ resposta máxima permanente

Z j R j L1

j Cωωωω ωωωω

ωωωωb g = + +

Z R L 1 C2 2= + −ωωωω ωωωωb g

1 LC

$I $V

$max

I

$$

IE

Zs=


1a LK : C + Gp v + iL = 0

2a LK : L + Rs iL = v Equação Resultante : + + v = 0 Condições iniciais :

Resposta Permanente : vp(t) = Rs

Gp C L

I

Rs

iL

v

dv dt

diL

dt

d2 v

dt2 L Gp + Rs C LC

dv dt

Rs Gp + 1 LC

2αααα ωωωω0 2

v t vdvdt

1C

i G v0 0t

L0 p 0

0

b g d i= = − +

I Rp

Rs + Rp Resposta Completa :

v t A e A e v t1s t

2s t

p1 2b g b g= + +


1a LK : C1 =

1a LK: C 2 = – + is + 2αααα + v1 = is

Para is(t) = I H(t) →→→→ resposta permanente:

vp1(t) = I R2

Resposta completa :

R1

C2 is R2

C1 v2

v1

dv1

dt v2 – v1 R1

dv2

dt v1 – v2 R1

v2

R2

d2 v1

dt2 dv1

dt ωωωω0

2

v t A e A e v t1 1- t

2- t

p11 2b g b g= + +αααα αααα

FCP reais negativas !





Introdução à Transformação de Laplace



Introdução à Transformada de Laplace

Solução de Circuitos no Domínio do Tempo →→→→

• Equações não-homogêneas → apenas

alguns tipos de excitação

• Redes de ordem mais alta → sistemas

de equações íntegro-diferenciais

• Problema de descontinuidades →

imposição de condições iniciais


INTRODUÇÃO À TRANSFORMAÇÃO

DE LAPLACE

Ações da Transformada de

Laplace:

Derivadas →→→→ Multiplicações Integrais →→→→ Divisões

Equações íntegro-diferenciais →→→→ equações algébricas no campo complexo

Solução no Domínio da Freqüência

Complexa

Anti-transformada →→→→ solução da equação diferencial Inclui o problema do valor inicial


Pierre Simon, marquês de Laplace

• Francês (Normandia, 1749; Paris, 1827)

• Líder em Física-Matemática • Ministro do Interior no império de

Napoleão e marquês na restauração dos Bourbons

• Obra mais importante: Mécanique céleste

• Importante trabalho em astronomia, cálculo integral, equações diferenciais e teoria das probabilidades.


Transformada de Laplace

f(t) → função real ou complexa

definida em [ 0, ∞ )

ℒ [ f (t) ] =

Transformação Integral

s = σ + j ω (variável complexa, 1/seg)

F(s) = ℒ [ f (t) ]

t →→→→ s

Domínio do tempo → Domínio da freqüência complexa

e f t dtst−∞

−z0 ( )


Funções ℒℒℒℒ- transformáveis

Condições suficientes:

f(t) → contínua e integrável em intervalos

f(t) → ordem exponencial

i.e. se

para 0- < t < ∞ , A, α reais

ou seja, ∃ lim

para algum valor de s0

s0 abcissa de convergência

⇒ a integral é convergente para

Re [s] > Re [s0]

f t A e t( ) . < α

e f ts t− 0 . ( )


Região de Convergência

s0→ abcissa de convergência

⇒ a integral

é convergente para Re [s] > Re [s0]

so

σ = Re[s]

Re[s] > Re[so]

jω

s = σσσσ + jωωωω Plano s

e f t dtst−∞

−z0 ( )



• ∃∃∃∃ Transformada Bilateral :

• Unilateral → mais apropriada para Circuitos

• Funções não ℒ- transformáveis:

Ex. : , ,

• Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 →

Integral inclui, pois é tomada de t=0-

• Anti-transformação :

ℒ-1[F(s)] = f(t)

Unicidade !

−∞

+∞z

eet

et 2

t t



ℒ [ f (t) ] =

s = σ + j ω

F(s) = ℒ [ f (t) ]

Linearidade:

ℒ [ c1. f 1 (t) + c2. f 2(t) ] =

c1. F1 (s) + c2. F2 (s)

c1, c2 constantes

e f t dtst−∞

−z0 ( )


Transformada de Laplace de Funções

2 2

2 2

( )

1

1

-

( )

( )

1

cos

( )

at

f t

H t

e

sen t

F s

s

s a

s

st

s

t

ωω

ω

ωω

δ

+

+


Fórmulas de Euler-Moivre e

Representação Gráfica de Complexos

)e - e (j 2

1 sen

)e e (2

1 cos

sen j cos

j-j

j-j

ΦΦ

ΦΦ

Φ

=Φ

+=Φ

Φ+Φ=je

senj a Φ

Φ

yj

x

ja a e Φ=

cosa Φ


Teorema da Derivada da


ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒

ℒ [ t . f (t) ] = - d F(s) d s

Aplicação para a função degrau :

ℒ [ H (t) ] = 1 / s ℒ [ t . H (t) ] = 1 / s2

ℒ [ t2 . H (t) ] = 2 / s3

. . .

ℒ [ tn . H (t) ] = n ! / sn+1


t

f(t)

Teorema do Deslocamento

no campo real

ℒ [ f (t) ] = F(s) ⇒

ℒ [ f ( t – a ) ] = e -as . F(s)

t

f(t-a)

a

f t t H t( ) cos ( ) = . ω

F ss

s( ) =

+2 2ω

f t a t a H t a( ) cos ) . ( )− − = ( - ω

F se s

s

as

( ) =+

− . 2 2ω


Translação no Campo

Complexo

Multiplicação de argumento por constante

Transformada de funções periódicas

ℒ [ e-at . f (t) ] = F(s+a)

ℒ [ f (ωt) ] = 1 . F( s / ω ) ω

ℒ [ f (t) ] = 1

1 0− −z

−

ee f t dt

sT

T st

. ( )


Exemplo de Cálculo com o MATLAB (Tool Kit Symbolic)

» syms a s t w » f=exp(-a*t)*cos(w*t) f = exp(-a*t)*cos(w*t) » L=Laplace(f,t,s) L = (s+a)/((s+a)^2+w^2) » pretty(L) s + a ----------------- (s + a)2 + w2


Teorema da Derivada

Caso Particular: c.i.q.

ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-)

ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)

ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) -

- sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)

ℒ [ f (t) ] = s. F(s)

ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s)


Teorema da Integral


ℒ f dF s

s

f d

s

t( )

( ) ( )τ τ

τ τ +

−∞−∞z zL

NMOQP =

−0

ℒ f d

F s

s

t( )

( )τ τ

0−zLNM O

QP=



Indutor Fluxo em t=0-

V (s) = ℒ [ v (t) ]

I (s) = ℒ [ i (t) ]

v(t) = L

di(t)

dt

i

L v

V (s) = s L I(s) – L i (0-)


Transformada de Laplace Indutor i(0-)

i

L v

i(t) =

1

L v( ) d -

t

∞z τ τ

V (s) = ℒ [ v (t) ]

I (s) = ℒ [ i (t) ]

I(s) =

1

sL V(s) +

i(0

s- )

I(s) =

1

sL V(s) +

1

sL v( )d

-

0- τ τ∞z


Transformada de Laplace Capacitor

Carga em t=0-

I (s) = ℒ [ i (t) ]

V (s) = ℒ [ v (t) ]

i(t) = C

dv(t)

dt

I (s) = s C V(s) – C v (0-)

i

C v


Transformada de Laplace Capacitor v(0-)

v(t) =

1

C i( ) d -

t

∞z τ τ

I (s) = ℒ [ i (t) ]

V (s) = ℒ [ v (t) ]

V(s) =

1

sC I(s) +

v(0

s- )

V(s) =

1

sC I(s) +

1

sC i( )d

-

0- τ τ∞z

i

C v


Inversão da Transformada de Laplace

Anti-Transformada:

f (t) = ℒ-1 [ F(s) ]

Unicidade : f (t) ↔ F (s)

• Tabelas 1o. Método • Linearidade • Teoremas

2o. Método : Fórmula de inversão

integral sobre a reta s=σ

f (t) 1

2 j F(s) e dsst

- j

+ j=

∞

∞zπ σ

σ


Inversão da Transformada de Laplace

3o. Método : Anti-transformação

de Funções Racionais

Forma Fatorada: K = fator de escala (ganho) =

zi → zeros (i = 1,2,....m)

pk → pólos simples ou múltiplos (k= 1,2,...n) reais ou complexos

F(s) = N(s)

D(s) =

b s b s b b

a s a s a a0

m1

m-1m-1 m

0n

1n-1

n-1 n

+ + + ++ + + +

...

...

a , b a , b 0i i 0 0∈ ℜ ≠

F(s) = K . s - z

(s - p

i

k

( )

)

i

m

k

n=

=

∏

∏1

1

b

a0

0


Diagrama de pólos e zeros de Funções Racionais

• um pólo duplo na origem: p1,2 = 0 • dois pólos complexos conjugados: p3,4 = (-1± j 1) • dois zeros simples: z1 = -1; z2 = -2 • fator de escala: K = 10

F(s) = s 3s + 2)

s s + 2s = 10.

(s + 1)(s + 2)

s (s + 1) 1

2

4 3 2 2 2

10

2

.( ++ +

jω

σ

-1

K = 10

-2 0

(2)

j1

-j1 x pólos o zeros (m) multiplicidade


Anti-transformação de Funções Racionais

Própria : m ≤ n Estritamente própria : m < n a0 = 1 → polinômio D(s) é mônico

Expansão em Frações Parciais: Akj = resíduos – coeficientes a determinar

pk = k-ésimo pólo

mk = multiplicidade do k-ésimo pólo

(m1 + m2 + ...+ mq) = n = grau de D(s)

F(s) = N(s)

D(s) =

b s b s b b

a s a s a a0

m1

m-1m-1 m

0n

1n-1

n-1 n

+ + + ++ + + +

...

...

F(s) = A s - pkj

k=1

q

kj

m

j

k

=∑∑

1

1

( )


Anti-transformação de Funções Racionais

Expansão em Frações Parciais: Anti-transformar termo a termo:

ℒ-1

Derivada da Transformada

Translação no campo complexo

F(s) = A s - pkj

k=1

q

kj

m

j

k

=∑∑

1

1

( )

1

(s - p ) =

t

(j -1)! e

kj

j-1p tk

LNM

OQP


Contribuição de Pólos Complexos

1o. caso

Resíduo :

Pólo :

2o. caso

Resíduo :

Pólo :

A e + A e = 2 e A ekp t

k* p t

kp tk k

*kℜ

A A ek kj k= φ

p + j k k k= σ ω

2 e A e = 2 A e cos ( t + kp t

kt

k kk kℜ σ ω φ )

A = A + j Ak k'

k"

p + j k k k= σ ω

2 e A e = kp tkℜ

2 e A cos ( t - A sin ( tk tk'

k k"

kσ ω ω) )


Pólos Múltiplos - Exemplo

F(s) = N(s)

(s - p (s - p (s - p

1 2 3) ) )2 3

F(s) = A

( s - p +

A

( s - p +

A

( s - p ) 11

1

21

2

22

22) )

+ A

( s - p ) +

A

( s - p ) +

A

( s - p )31

3

32

32

33

33



Exemplo 1

Expansão em Frações Parciais:

A11 = 5 A12 = 10

A2 = 2,5 (-1 + j) A2* = 2,5 (-1 – j)

Anti-transformada:

ou

20 s + 60 s + 40

s + 4 s + 4 s

2

4 3 22

A

s +

A

s +

A

(s + 1 - j) +

A

(s + 1 + j)11 12

22 2

*

5 10 t + 5 2 e cos (t + 135-t o+ )

5 10 t - 5 e cos t + sin t-t+



Exemplo 2

Expansão em Frações Parciais:

A1 = 0,5 A2 = 2 A3 = -6,5

Anti-transformada:

s + 5 s + 4 s + 3 s + 1

s + 3 s + 2 s

4 3 2

3 2

s + 2 + A

s +

A

( s + 1 ) +

A

(s + 2) 1 2 3

′ +δ δ(t) 2 (t) + 0,5 + 2 e - 6,5 e-t -2t


PROGRAMA DE MATLAB PARA CÁLCULO DE PÓLOS, ZEROS E

RESÍDUOS DE FUNÇÕES RACIONAIS

%arq. polres.m LQO, 08/2005 % Vetor dos coeficientes do numerador: num = [-4 –1 1]; % Vetor dos coeficientes do denominador: den = [1 3 2 0]; % Cálculo dos pólos (p), resíduos (R) e termos em potências de s (k) % (estes últimos no caso de funções não estritamente próprias): [R, p, k] = residue(num, den)

F ss s

s s s( ) = − − +

+ +4 1

3 2

2

3 2


Decomposição de função racional através do MATLAB

Resultados: >> polres R = -6.5000 2.0000 0.5000 p =

-2 -1 0

k = 1 2

A1 = 0,5 A2 = 2 A3 = -6,5

A

s +

A

( s + 1 ) +

A

(s + 2) 1 2 3




Transformação de Laplace e Funções de Rede




DESCRIÇÃO ENTRADA-SAÍDA DE UM CIRCUITO RLC , LINEAR E

INVARIANTE NO TEMPO

u(t) = entrada ou excitação (causa )

y(t) = saída ou resposta (efeito )

A descrição entrada-saída deste circuito

será uma equação diferencial a

coeficientes constantes, relacionando

u(t) , y(t) e suas derivadas

RLC u(t) y(t)


Respostas dos Circuitos y(t) = Livre + Forçada (entrada (estado zero) zero) c.i.q. y(t) = Transitório + Permanente (tende a zero para t ∞, nos circuitos assintoticamente

estáveis)

y(t) = resposta completa

R u(t) y(t)

excitação resposta

condições iniciais


Resolução de Circuitos

Modelo matemático equação diferencial

Condições iniciais:

Resolução


R u(t) y(t)


y t a y t a y t u tn nn

( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ( )+ + + =−1

1

y

y

( )

&( )

0

00

1

−

−

==

αα

y nn

( ) ( )−− −=1

10 α


Teorema da Derivada:

ℒ [ resposta em ℒ [ resposta em estado zero] entrada zero]

D(s) polinômio característico (mônico !)

ℒ [ y t a y t a y tn nn

( ) ( )( ) ( ) ... ( )+ + +−1

1] =

ℒ [ u ( t ) ]

( ..... ) ( )s a s a s a Y sn nn n+ + + + =−

−11

1 .

U s s a sn n( ) ( ) ...... + + + +− −α α α01

1 1 02

+ + + + +− − −... ( ... )α α αn n na a1 1 2 1 0

Y sU s

D s

p s

D sci( )

( )

( )

( )

( ) = +


Teorema da Derivada


ℒ [ f (t) ] = s. F(s) - f (0-)

ℒ [ f (t) ] = s2. F(s) - s.f (0-) - f (0-)

ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s) - sn-1.f (0-) -

- sn-2. f(0-) - … - f (n-1)(0-)

ℒ [ f (t) ] = s. F(s)

ℒ [ f (n)(t) ] = sn. F(s)


Função de Rede

ou

R u(t) y(t)


G sY s

U s( )

( )

( ) =

c.i.q.

G sYsz s

U s( )

( )

( ) =


P. V. I. Equações diferenciais lineares a

coeficientes constantes + condições iniciais

(domínio do tempo)

Equações algébricas na variável complexa s

(domínio das freqüências complexas)

Solução do P.V.I. (no domínio Funções de rede do tempo)

ℒℒℒℒ

ℒℒℒℒ----1111 c.i.n.


G(s)

FUNÇÃO DE REDE ou

Função de Transferência

ou

Função de Sistema

Resposta Forçada (Estado Zero) ⇒⇒⇒⇒ c.i.n.

ysz (t) = ℒ –1 [ Ysz(s) ]

c.i.n.

e(t) ysz (t)

E(s) Ysz(s)=G(s).E(s) G(s)


FUNÇÃO DE REDE

Representação gráfica no plano s = σσσσ + jωωωω

-1 -2 -3

-j1

j1

jωωωω

σσσσ (2)

K = 10

F ss s

s s s s( ) = +

+ + + + 10

2

4 3 2

3

6 14 14 5


Resolução de Circuitos

Modelo matemático

equação íntegro-diferencial

Teorema da Integral:

&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt

+ + =−∞z1 2 λ λ

y( )0 0− = α

sY s a Y s

as

Y ss

y d U s

( ) ( )

( ) ( ) ( )

− + +

+ +LNM

OQP

=−∞

−z

α

λ λ

0 1

2

01 1

α −1


Obtendo Y(s) :

ℒ [ resposta em ℒ [ resposta em estado zero] entrada zero]

Polinômio característico:

Função de Rede:

Y ssU s

s a s a

s a

s a s a( )

( )=+ +

+ −+ +

−2

1 2

0 2 12

1 2

α α

D s s a s a( ) = + +21 2

G ss

s a s a( ) =

+ +21 2


Teorema da Integral

• Para integral de -∞ a t :

• Para integral de 0- a t :

ℒ f d

F s

s

f d

s

t( )

( ) ( )τ τ

τ τ +

−∞−∞z zL

NMOQP =

−0

ℒ f d

F s

s

t( )

( )τ τ 0−zLNM O

QP =


Cálculo das Funções de Rede

SÓ PARA REDES LINEARES

INVARIANTES NO TEMPO

Aplicar a transformação de Laplace a uma descrição entrada-saída da rede, com condições iniciais nulas

Tipos de descrição entrada-saída: a- Equação diferencial linear, a coeficientes constantes

b- Equação íntegro-diferencial linear, a coeficientes constantes c- Sistemas de equações diferenciais lineares a coeficientes constantes


REPRESENTAÇÃO ENTRADA-SAÍDA

a1 - Por equação diferencial sem derivada no segundo membro:

==++++ −

−

nulas! iniciais condições

)(

)()()()( 1)1(

1)(

tu

tyatyatyaty nnnn

&L

ℒℒℒℒ

FUNÇÃO DE REDE:

nnnn asasas

sG++++

=−

−1

11

1)(

L

EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA:

0)( 11

1 =++++= −−

nnnn asasassD L

PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)



a2 - Por equação diferencial com derivada no segundo membro:

++++=

=++++

−−

−−

nulas! iniciais condições

)()()()(

)()()()(

1)1(

1)(

0

1)1(

1)(

tubtubtubtub

tyatyatyaty

mmmm

nnnn

&L

&L

ℒℒℒℒ

FUNÇÃO DE REDE:

nnnn

mmmm

asasas

bsbsbsbsG

++++++++=

−−

−−

11

1

11

10)(L

L


0)( 11

1 =++++= −−

nnnn asasassD L

PÓLOS DE G(s) = ZEROS DE D(s)



b - Por equação íntegro-diferencial:

ℒℒℒℒ

FUNÇÃO DE REDE:


&( ) ( ) ( ) ( )y t a y t a y d u tt

+ + =−∞z1 2 λ λ

condições iniciais nulas

G ss

s a s a( ) =

+ +21 2

D s s a s a( ) = + + =21 2 0



c - Por sistema de equações diferenciais:

Exemplo de 2a. ordem:

=+++=+++

22222212121

12121211111

).().(

).().(

uybDaybDa

uybDaybDa

onde D ≡ d /dt é o operador de derivação. Agora há 4 Funções de Rede : Y1(s) / U1(s) Y1(s) / U2(s) Y2 (s) / U1(s) Y2(s) / U2(s)

A equação característica é:

0)(22222121

12121111 =++++

=bsabsa

bsabsasD


Procedimento para a obtenção da Função de Rede

1- Escrever a equação do circuito

( relação entrada-saída entre y(t) e u(t) )

- Equação diferencial ordinária

- Equação íntegro-diferencial

- Sistema de equações diferenciais

2- Aplicar Laplace com condições iniciais nulas 3- Resolver com relação a Y(s)

4- Determinar a relação: Y(s) / U(s)


TEOREMA DO VALOR INICIAL

Se F(s) = ℒ [ f (t) ], vale lim [ s F(s) ] = lim f(t) = f(0+) s→ ∞ t → 0+

TEOREMA DO VALOR FINAL

Se F(s) = ℒ [ f (t) ], vale lim [ s F(s) ] = lim f(t) s→ 0 t → ∞

Nota:

Os dois teoremas são fracos! Só valem se existirem os limites indicados!


Exemplo dos Teoremas dos valores inicial e final

2

4 3 2

: 0 , 0.05 , 20

3 2( ) :

5 3 2

( ) : 1 0,11.exp( 4,4. ) 0,89.exp( 0,29. ).cos(0,61. )

0,44.exp( 0,29. ). (0,61. )

t

s sY s

s s s s

y t t t t

t sen t

=

+ +=+ + +

= − − − − ++ −

0

1

2

0 5 10 15 20

y(t)

t

y s F ss

( ) lim . ( )0 0+ →∞= = y s F s

s( ) lim . ( )∞ = =

→01


Exemplo de Circuito Redutível

Em Laplace:

D(s) → polinômio característico D(s) =0 → equação característica

2 elementos armazenadores de energia

1 só pólo :

es R2

R1

C1 C2 v1

v2

C

dv

dtG v C

dv

dtG v1

11 1 2

22 2 0+ − − =

(1a. L.K.)

v v es1 2+ =

(2a. L.K.)

s C G s C G V

V

C v C v

E ss

1 1 2 2 1

2

1 10 2 20

1 1

+ − +LNM

OQPLNMOQP

=−L

NMOQP

( )

( )

D s s C C G G( ) ( )= + + + 1 2 1 2

sG G

C C11 2

1 2

= − ++

( )

( )


Exemplo de Circuito Degenerado

1a. L. K. :

Em Laplace:

⇒

Para ββββ = 1 e g = 1 ⇒ D(s) = 0

Se Is (s) = 0 ⇒ ∞ soluções

is 1

e1

i1 1 βi1

g.e1

− + + − =g e ede

dt

de

dtis. 1 1

1 1β

( ) ( )1 111− + −L

NMOQP

=β de

dtg e is

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )1 1 1 01 1− + − = + − −β β s g E s I s es

E sI s

s g

e

s gs

11

1 1

1 0

1 1( )

( )

[( ) ( )]

( ). ( )

[( ) ( )]=

− + −+ −

− + −−

ββ

β

D s s( ) ( )= −1 β + (1-g)


FUNÇÃO DE REDE E

RESPOSTA IMPULSIVA

G(s)

δδδδ (t) g(t)

ℒ

⇒ g(t) = resposta impulsiva = ℒ -1[ G(s)]

1 Ysz(s)=G(s).1=G(s) G(s)

U(s) Ysz(s)=G(s).U(s)

c.i.n.


INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO

Funções f1(t) e f2(t), definidas em (-∞,∞) Convolução : (f1 * f2)( t ) ou f1(t)*f2(t)

f3(t)=f1(t) *f2(t) = ∫ −∞∞−

21

)(.)( λλλ dtff

onde t = variável "externa"

λ = variável "interna", ou de integração

Para funções causais (nulas para t<0) :

f1(t) *f2(t) = ∫ −t dtff 0 21

)(.)( λλλ

Ver : www.jhu.edu/~signals/


PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO a) COMUTATIVA f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)

b) DISTRIBUTIVA f1 * (f2 + f3) = f1 * f2 + f1 * f3

c) ASSOCIATIVA

(f1 * f2) * f3 = f1 * (f2 * f3) = f1 * f2 * f3

d) ELEMENTO IDENTIDADE δ (t), pois f1(t) * δ (t) = f1(t)


TRANSFORMADA DE LAPLACE DA CONVOLUÇÃO

Se forem

S1(s)= ℒ [ s1(t )]

S2(s)= ℒ [ s2(t )]

valem:

ℒ [ s1(t ) * s2(t )] = S1(s) . S2(s)

ℒ-1 [ S1(s).S2(s)] = s1(t) * s2(t) A transformação de Laplace transforma

a convolução em produto !


RESPOSTA IMPULSIVA

g(t) → Resposta da rede ao impulso

unitário em c.i.n.

g(t) = ℒ–1 [ G (s) ]

Resposta da rede (em c.i.n.) a qualquer excitação u(t) :

y(t) = g ( t ) * u ( t )

ou

y(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]

y(t) →→→→ resposta forçada ou resposta em

estado zero da rede


RESPOSTA IMPULSIVA

É a resposta de uma rede excitada por

um impulso unitário, a partir de condições

iniciais nulas:

0 1 2 3

2

0

2

x( )t

0

t

REDE

(c. i. n.)

δδδδ (t) g(t)

g(t) δδδδ (t) ∞

t t


Resposta Impulsiva de um circuito sub-amortecido (oscilatório)

αααα = 0,1 seg-1 e ωωωω0 = 1 rad/s

g(t) = 1,005.exp(-0,1.t).sen(0,995.t)

0 5 10 15 20 -1

-0.5

0

0.5

1

t

g(t)

circuito sub-amortecido

G ss s

( ).

=+ +

1

0 2 12


Resposta Impulsiva de um circuito

em amortecimento crítico

αααα = 1 seg-1 e ωωωω0 = 1 rad/s

g(t) = t.exp(-t)

G ss

( )( )

=+1

1 2

0 2 4 6 8 -0.5

-0.25

0

0.25

0.5

g(t)

circuito em amortecimento crítico

t


Resposta Impulsiva de um transformador ressonante

(4 FCPs complexas)

REDE

(c. i. n.)

δδδδ (t) g(t)

δδδδ (t)

g(t)

Impulso: 10 pcoulomb


FUNÇÃO DE REDE

G(s) = Y(s) / U(s) c.i.n.

G(s) = Ysz / U(s)

G(s) = ℒ [ g (t) ]

RESPOSTA IMPULSIVA

y (t) para u(t) = δ (t) c.i.n.

g(t) = ℒ –1 [ G (s) ]

RESPOSTA EM ESTADO ZERO

ysz(t) = g ( t ) * u ( t )

ysz(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]

RESPOSTA COMPLETA

Estado zero (forçada) + Entrada zero (livre) OU

Transitória + Permanente


FUNÇÃO DE REDE E

REGIME PERMANENTE SENOIDAL

FUNÇÃO DE REDE : G(s) = Y(s) / U (s) c.i.n.

y(t) = ℒ –1 [ G (s) . U (s) ]

↓

resposta forçada (transitório +

permanente)

U(s) Y(s) = G(s).U(s) G(s)


FUNÇÃO DE REDE E

REGIME PERMANENTE SENOIDAL

TEOREMA IMPORTANTE:

RPS s →→→→ jωωωω

resposta permanente

G(jωωωω)

$U

$Y

G jY

U( )

$

$ω =

$ ( ). $Y G j U= ω

y t Y e j t( ) Re[ $. ]= ω


Cálculo da Resposta em Regime

Permanente Senoidal

• Excitação senoidal com freqüência ωωωω

• Todos os transitórios decaem a zero

• Na expressão G(s) = Y(s) / U (s) substituir:

será o fasor da resposta em

R.P.S. do circuito

U s U( ) $ por

Y s Y( ) $ por

G s G j( ) ( ) por ω

$Y


Função de Rede e

Regime Permanente Senoidal

Função complexa

Pode ser representada por duas curvas:

1- Curva de Resposta em freqüência

2- Curva de Defasagem

G jY

U( )

$

$ω =

M G j( ) ( )ω ω ω= ×

φ ω ω ω( ) arg ( )= ×G j

G j M e j( ) ( ). ( )ω ω φ ω=


Função de Rede e Regime Permanente Senoidal

Exemplo – Circuito de 2a. ordem

G ss

s s( ) =

+ +2 3 2

G jj

j( )ω ω

ω ω=

− +2 32

Frequency

0Hz 0.5Hz 1.0Hz 1.5Hz 2.0Hz 2.5Hz 3.0Hz1 V(Vs) 2 Vp(Vs)

0V

100mV

200mV

300mV

400mVmódulo

>>-100d

-50d

0d

50d

100ddefasagem

M(ωωωω) e φφφφ(ωωωω)


Função de Rede e Regime Permanente Senoidal

Exemplo - Filtro Passa-Faixa

Frequency

100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHz1 V(4) 2 VP(4)

0V

200mV

400mV

600mVmódulo

>>-800d

-600d

-400d

-200d

0ddefasagem

V(4) VP(4)

M(ωωωω) e φφφφ(ωωωω)


Função de Rede e Resposta em Freqüência

Filtro Passa-Faixa

Frequency

20mHz 40mHz 70mHz 200mHz 400mHz 700mHz 1.1Hz 2.0Hz 4.0Hz 7.0HzIP(R1)- VP(1)

-100d

-50d

0d

50d

100dfase

SEL>>

I(R1) / V(1)10m

30m

100m

300m

1.0módulo

M(ωωωω)

φφφφ(ωωωω)

ωωωω0

ω 0

11 41= =

LC, rad / s


Função de Rede e

Regime Permanente

Entrada : es(t) = cos(3t)

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-1.0V

0V

1.0V

Saída :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA


Função de Rede e Regime Permanente

Entrada : es(t) = cos(50 t )

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-1.0V

0V

1.0V

Saída :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA



Entrada: es(t) = cos(3 t) + cos(50 t )

Time

15.0s 15.5s 16.0s 16.5s 17.0s 17.5s 18.0s 18.5s 19.0s 19.5s 20.0sV(V1:+)

-2.0V

0V

2.0V

Saída :

Time

15s 16s 17s 18s 19s 20sI(R1)

-400mA

0A

400mA



Exemplo de Circuito de 2a. Ordem

Função de transferência

G sV s

V s

R

sL RsC R

sC R

s( )( )

( )= =

+ ++

1

1

1 11 3

1 3


Gráficos da Resposta em

Freqüência G(j ω) obtidos com o PSPICE

Frequency

10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHzV(Vs)

0V

5V

10VVP(Vs)

-100d

0d

100d

SEL>>

f0 160≈ Hz

M(ωωωω)

φφφφ(ωωωω)

f0 f1 f2


Programa em Matlab para construção dos gráficos de entrada e saída

%arq. resperm.m (30/11/08) t=0:0.0001:0.05; pi=3.1416; v1=10*cos(100*pi*t)+10*cos(320*pi*t)+10*cos(700*pi*t); v2=0.3*cos(100*pi*t+0.5*pi)+10*cos(320*pi*t)+0.6*cos(700*pi*t-pi/2); subplot(2,1,1) plot(t,v1), grid on, title('Tensao de entrada') subplot(2,1,2) grid on plot(t,v2), grid on, title('Tensao de saida')

Entrada : Composição de 3 co-senóides Amplitude : 10V – Frequências: f1, f0 e f2

Saída ≈ co-senóide Amplitude : 10V – Frequência f0

Efeito de Filtragem !

Documents

CONSONNI, D.; ORSINI, L. - Curso de Circuitos Elétricos 1.pdf